Carregamentos Combinados - UnB

Carregamentos Combinados

Mecânica Dos Materiais II

Universidade de Brasília – UnB

Departamento de Engenharia Mecânica – ENM

Grupo de Mecânica dos Materiais – GAMMA

ÍNDICE

•Revisão sobre vigas

•Revisão de Propriedades geométricas de uma área

•Esforços Normais

•Esforços Cisalhantes

•Esforços Fletores

•Esforços Torsores

•Carregamentos Combinados

Revisão: VigasSaber determinar de maneira correta os esforços cortante, fletor, normal e torsor atuantes

São de fundamental importância para determinação do estado de tensões no ponto

•Estabelecer um eixo de coordenadas

•Calcular as reações nos apoios (DCL)

•Secionar a viga perpendicular a seu eixo em uma distância X

•Desenhar o diagrama de corpo livre dos segmentos

•Certificar-se que V e M sejam mostrados no sentido positivo segundo a convenção:

•A força cortante é obtida somando as forças perpendiculares ao eixo da viga

•O momento é obtido somando-se os momentos em torno da extremidade secionada

•Esquematizar os diagramas V x X e M x X

•Caso haja esforços normais e torção realizar o mesmo procedimento anterior

Revisão: Vigas

Corte A

Corte B

PQ

Revisão:Propriedades geométricas de uma Área

Centróide: ponto que define o centro geométrico de uma área

=

A

A

dA

xdA

x

=

A

A

dA

ydA

y

=A

xdAAx

=A

ydAAy

Apêndice A HIBBELER

A

dAxx

=

~

A

dAyy

=

~

Áreas compostas: desde que a área e a localização do centróide de cada parte da figura sejam

conhecidas:

yex ~~

( ) ( )( ) ( )

55,8

83210

835,112105

=

+

+=

=

A

Ayy

( ) ( )( ) ( )

55,8

3102813

310528135,6

=

−

+=

=

A

Ayy

Revisão:Propriedades geométricas de uma ÁreaApêndice A HIBBELER

=A

x dAyI 2Momento de inércia: =A

y dAxI 2

Figura A5 pag 613

HibellerMomento de inércia polar: yx

A

IIdArJ +== 2

0

Teorema dos eixos paralelos: se o momento de inércia de uma área em torno de um eixo for

conhecido, pode-se determinar o momento desta área em torno de qualquer eixo PARALELO

2AdyII xx +=

2AdxII yy += 2

0 AdIJo +=

Áreas compostas: conhecendo-se I das diversas “partes”constituintes da figura: II =

( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

4

2323

2

646

5,145,4383812

1555,8102102

12

1

pol

AdII yx

=

−++

−+=

+=

Revisão:Propriedades geométricas de uma Área

Esforço Normais

Esforços Normais

A

Fmed =

Para tensões Uniformemente distribuídas sobre a seção

transversal

Para haver tensão ou compressão uniforme, a força axial

deve agir através do centróide da área da seção

transversal

A

ydAy

=A

xdAx

=

Caso uma força não esteja agindo no centróide, esta pode

sempre ser substituída por um Fc e um Mc.

Esforços NormaisDuto circular vazado de alumínio suporta uma carga de compressão de 54 kips. Os diâmetros interno e

externo do duto são 3,6 in e 5,0 in, respectivamente. Determine a tensão de compressão no poste,

desconsiderando o peso do mesmo.

( ) ( ) 2222

1

2

2 456,96,3544

inAddA =−==−=

A carga é centrada? - SIM

Qual a área que resiste à carga mencionada?

psiA

F5710

456,9

54000===

Cálculo da Tensão normal compressiva

Tensor das Tensões e Elemento infinitesimal

−=

=

57100

00

yyx

xyxT

P

Esforços NormaisHaste circular de aço de comprimento L=40m e diâmetro d=8mm é utilizada para erguer um cadinho de

minério de peso W=1,5KN em sua extremidade inferior. Determine a solicitação MÁXIMA de tração na

haste, considerando o peso da mesma.

A carga é centrada? - SIM

Tensor das tensões e Elemento infinitesimal

Qual a posição em que a haste é mais solicitada? PORQUÊ?

Qual a magnitude desta solicitação?

hastecadinho WWF +=max

ALVWhaste ==

LA

W

A

ALW

A

F

+=

+== max

max

MPa9,32max =

=

=

9,320

00

yyx

xyxT

P

Esforços Cortantes

Esforços CortantesTensões de cisalhamento – agem tangencialmente à superfície devido à um esforço cortante

Elementos curtos L10t

Elementos longos L10t

Esforços CortantesElementos curtos

Não existem momentos ou gradrientes de momento

A tensão de cisalhamento depende do esforço cortante V

A

Vmed =

Simples

Duplo

A tensão de cisalhamento depende do esforço cortante V

It

VQ=

Esforços Cortantes

V = intensidade do esforço cortante interno

I = Mom. de inércia da sec transv. (em relação ao eixo neutro)

t = largura de seção transv. medida onde é calculado

AyydAQA

== '

O cortante Q depende da posição analisada ao longo da vigaElementos longos

Esforços CortantesSeções transversais mais comuns

−=

−

+

−=

2

1

21

11422

2

2y

hty

h

yyh

tQ

===2

1

h

y

tdyyydAyAQ

12

3thI =

−=

2

1

2

42y

h

I

V

A

V

A

V

I

Vh5,1

2

3

8

2

max ===

64

4DI

=

3

2

3

4

2

32 rrrQ =

=

( )( )( ) A

V

A

V

rr

rV33,1

3

4

24

32

4

3

max ===

( ) ( )2

1

2

1

2

1

2 488

yht

hht

Q ++−=

( )1212

3

1

3 halmaesptthI

−−=

( )2

1

2

1

2

max8

ehbhbhIe

V+−=

Esforços CortantesPrensa com diâmetro d usada para fazer furos em placas. Dada uma força P necessária para

realizar o procedimento, determine a tensão de cisalhamento na placa.

2589,0 indtespperimA ===

psiin

lb

dt

P

A

Pmed 47500

689,0

280002====

Determine a tensão de cisalhamento no pino de travamento

O pino tende a cisalhar em um plano

O pino tende a cisalhar em dois planos

( )22 r

P

A

Pmed

==

( )2r

P

A

Pmed

==

P

Esforços CortantesA viga mostrada é de madeira e está submetida a uma força cortante interna de V=3kip. Pede-se

determinar a tensão de cisalhamento no ponto P e calcular a tensão máxima de cisalhamento.

Momento de Inércia da seção transversal

em torno do eixo neutro

333 7,41)5)(4(12

1

12

1polpolpolbhI ===

Delimita-se a área transversal A’

( )( )( ) 3124222

15,0 polpolpolpolpolQ =+=

( )( )( )( )

ksipolpol

polkip

It

VQ216,0

47,41

1234

3

===

Tensão de cisalhamento em P

Para a tensão de cisalhamento máxima

( )( )( ) 31245,25,22

1 polpolpolpolQ ==

( )( )( )( )

ksipolpol

polkip

It

VQ225,0

47,41

5,1234

3

===

Tensão de cisalhamento máxima

P

Esforços Fletores

Esforços FletoresElementos estruturais submetidos à esforços internos de flexão experimentam uma distribuição

de tensões NORMAIS

Intensidade varia linearmente de zero (sobre a linha neutra da seção transversal) até um valor

máximo geralmente na fronteira do componente

I

Mc=

M = momento fletor do ponto avaliado.

c = distância do ponto avaliado à linha neutra

I = momento de inércia em relação ao eixo neutro

Esforços FletoresA viga simplesmente apoiada tem a área da seção transversal mostrada. Determinar a tensão de

flexão máxima.

PQ

Esforços Torsores

Esforços Torsores

J

T =

Eixos e tubos submetidos à momento torçor interno experimentam uma distribuição de tensões

CISALHANTES

Intensidade varia linearmente de zero (sobre a linha neutra da seção transversal) até um valor

máximo geralmente na fronteira do componente

T = momento torsor do ponto avaliado.

= distância do ponto avaliado à linha neutra

J= momento polar de inércia

• Para o sistema apresentado na fig. 1, determinar o

comportamento da tensão de Tresca ao longo do arco

AB

• Considerando a fig. 2, determinar o direção em que a

tensão normal de flexão é máxima.

Esforços TorsoresO eixo mostrado é suportado por dois mancais e está sujeito à três torques. Determinar a tensão

de cisalhamento desenvolvidas nos pontos A e B da seção a-a.

P

Torque da seção a-a

Reações dos mancais nulas para peso desprezível.

0.30.5,420 =−−= TpolkippolkipTx

polkipT .5,12=

Momento de inércia polar da seção

pold

J 497,032

4

==

( )ksi

J

T AA 9,18

497,0

75,05,12=

==

( )ksi

J

T BB 77,3

497,0

15,05,12=

==

Tensão cisalhante no ponto

Esforços Combinados

Esforços CombinadosPrincípio da superposição: Calculadas as componentes de tensão normais e cisalhantes

provocadas por cada caso de carregamento específico, estas devem ser somadas vetorialmente

como se atuassem de maneira independente.

Princípio da substituição: Uma força F atuante em um ponto A pode sempre ser substituída por

uma força F de mesma intensidade, atuante em B, e por um momento (conjugado) sem que seus

efeitos sobre o corpo sejam alterados.

FA

B

A

B

F

F

-Fd

B F

M=FdΞ Ξ

devido a

esforço normal devido a

momento fletor

+ =

devido ao carregamento

combinado

Cargas Combinadas Normal e Fletor com Cortante nulo

Desprezar o peso do elemento e determinar o estado de tensões nos pontos B e C

150lb

=

150lb

+

M=150x5=750lb.pol

Reação dos apoios150lb

MaFx

Fy

M=750lb.pol

pollbM

M

a

a

=

=−

750

0750

0=xF

lbF

F

y

y

150

0150

=

=−

150lb

MaFy

M=750lb.pol

Equilíbrio do corte

lbFy 150=pollbMa = 750

P

Cargas Combinadas Normal e Fletor com Cortante nulo

( ) ( )

( )( )psi

polpol

polpollb

I

Mc25,11

10412

1

5750

3max =

==

( )( )psi

polpol

lb

A

P75,3

410

150===

Esforços cortantes

Como o diagrama de momento é constante, o cortante é zero

P

psipsipsiB 5,775,325,11 =−=

psipsipsiC 1575,325,11 =+=

Estado de tensões resultante

Cargas Combinadas Normal e Fletor com Cortante não nulo

Determine o estado de tensões que a carga produz no ponto C

P

Cálculo das reações nos apoios

0

0

0

=

=

=

M

F

F

y

x

kNF

kNF

kNF

C

yA

xA

59,97

93,21

45,16

=

=

=

Cálculo dos esforços internos (corte)

mkNM

kNV

kNN

.89,32

93,21

45,16

=

=

=

Cargas Combinadas Normal e Fletor com Cortante não nulo

MPaMPaMPac 5,6415,6332,1 =+=

P

( ) ( )

( )( )MPa

mkNm

I

Mcc 15,63

250,0050,012

1

125,089,32

3

=

==

( )( )MPa

mm

kN

A

Pc 32,1

250,0050,0

45,16=== erfícienaponto

It

VQc sup0==

Estado de tensões resultante

K

A

V

A

V

I

Vh5,1

2

3

8

2

max ===

Cargas Combinadas Estado Geral de tensões

Haste maciça tem raio de 0,75pol. Qual o estado de tensões no ponto A quando submetida aos

carregamentos mostrados.

P

D

D

Fy = 500 lb

Ty = 800x14 lbxin

Fz = 800 lb

Mz = 500x14 lbxin




P

D

D

Fy = 500 lb

Ty = 800x14 lbxin

x

Fy = 500 lb

Ty = 800x14 lbxin

Mz = 500x14 lbxin

Fz = 800 lb

z

x

Mz = 500x14 lbxin

Fz = 800 lb

Mx = 800x10 lbxin

A




P

Seis equações de equilíbrio


Relação entre os Esforços Internos na Seção A

com as Tensões no Ponto A

F y M x

Normal () ou Cisalhante () ?

Plano de Atuação

Direção de Atuação

Relação entre Esforço

Interno e Intensidade da

Componente de Tensão

Valor da Componente de

Tensão no Ponto A

Representação do Tensor

das Tensões Associado

Esforço Interno

Co

mp

on

ente

de

Ten

são

Ass

oci

ada


Força Normal

( )( )psi

pol

lb

A

PA 283

75,0

5002===

P

Força Cortante

It

VQA =

Q é determinado pela área semicircular sombreada

332

2813,03

2

3

4

2pol

rrryAQ ==

==

( )( )

( ) ( )psi

polpol

pollb

It

VQA 604

75,0275,04

1

2813,0800

4

3

=

==

( )( )( ) A

V

A

V

rr

rV33,1

3

4

24

32

4

3

max ===


Momentos fletores de 8000lb.pol

( ) ( )

( )psi

polpollb

I

McA 126,21

75,04

1

75,0.7000

4

=

==

Momentos fletores de 7000lb.pol

O ponto A localiza-se no eixo neutro.

MPaI

McA 0==

No ponto A, c=0,75pol.

P


Momento de torção

No ponto A, =0,75pol.

( )

( )475,02

1

75,0.11200

pol

polpollb

J

T

==

P

Princípio da Superposição e resultado final

Estado Geral de tensões

P

Cargas Combinadas

Vasos de Pressão

Vasos de Pressão

Quando r/t=10 – erros de aproximadamente 4% na tensão máxima

Quando r/t aumenta – erros ainda menores

Distribuição de tensões tida como uniforme ao longo da espessuraVasos de parede fina (relação r/t>10)

Vasos cilíndricos Sentido circunferencial ou tangencial

Sentido longitudinal ou axial

Ambos os componentes exercem tração sobre o material

Vasos de Pressão

Ao se fabricar vasos de pressão cilíndricos de chapas laminadas, as juntas longitudinais devem ser

projetadas para suportar o dobro da tensão circunferencial

( ) ( ) 022

0

1 =−

=−

dyrptdy

FF pressãoresistivo

t

pr=1

( ) ( ) 02

0

2

2 =−

=−

rprt


t

pr

22 =

Vasos cilíndricos

0= xF0= yF

Vasos de Pressão

Qualquer direção é uma direção principal

( ) ( ) 022

0

2

2 =−

=−

rprt


122

==t

pr

Vasos esféricos

0== yx FF

Vasos de Pressão

P

t=2mm r1=1,8 Pi=800kPa

Determinar as tensões circunferencial e tangencial no vaso.

Determinar as tensões agindo na solda

9020

1800 ==t

r

É admissível a utilização de comportamento

de parede fina?

( )( )MPa

mm

mkPa

t

pr72

20

8,18001 ===

MPat

pr36

22

12 ===

2

1

2

1

022,036

8,0

1

==

iP

É admissível a utilização de z=0 (estado

plano de tensões?

P

• Prova : CESPE 2004

• Petrobrás

P

Prova : CESPE 2002

Petrobrás

P

• Prova : CESPE 2002

• Petrobrás

VASO DE PRESSÃO

C

C

E

C

E

BARRA CARREGADA

C

E

C

C

E

VASO DE PRESSÃO

E

E

C

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