Decomposição em frações parciais

Caso 2 – O polinômio do denominador possui fatores lineares repetidos

Prof. Luís Cláudio LA

Referencial teórico

Considere uma função racional própria onde Q(x) possui fatores lineares repetidos. Se possuir “r” cópias, então produzirá uma soma na forma:

𝐴1

𝑥−𝑥𝑖+

𝐴2

(𝑥−𝑥 𝑖 )2+⋯

𝐴𝑟

(𝑥−𝑥 𝑖 )𝑟

Para os fatores lineares que não repetem usamos o que foi discutido no Caso 1.

Exemplos sobre a forma da decomposição

Exemplo 1 – Decompor em frações parciais a função racional dada

Precisamos encontrar os valores das constantes A, B e C.

Qual o significado das estrelas?

Ao clicar nas interrogações (?) você terá a oportunidade de ver uma explicação detalhada. Use se precisar.

como encontrar a outra constante?

Para encontrar a outra constante não podemos usar o mesmo método que usamos para encontrar os valores de A e C. Para isso, partiremos do princípio que a igualdade seguinte

Deve valer para TODOS os valores de “” que não anulam o denominador. Assim, exceto e poderá fazer com que “” assuma qualquer outros valores. Por exemplo: podemos fazer com que na igualdade acima (poderia ser outro valor qualquer – que não torne o denominador nulo. Ficará assim

Hmmm... E por que será que não posso usar o mesmo método aqui?

como encontrar a outra constante?

2

4 . (4−3 )2=𝐴4

+𝐵4−3

+𝐶

(4−3 )2

De onde virá o seguinte:

Como e então, substituindo, ficaremos com:

Não terá dificuldade em perceber que . Desse modo

E como usar o maxima para checar se o cálculo está correto?

Comandos do MAXIMA

Clique no ícone para adicionar uma imagemf : expressão(atribui à letra “f” a expressão a ser decomposta).

partfrac(f, variável)(comando para decomposição em frações parciais).

FimProf. Luís Cláudio LA

O que significam as estrelas?

As estrelas estão sendo usadas para mostrar a você quais constantes podemos encontrar pelo método rápido.

As que não têm estrela são aquelas que irá encontrar o valor dela atribuindo um valor qualquer (que não anule o denominador) para a variável “x”, estabelecendo uma relação entre todos os parâmetros que se encontram nos numeradores. Daí, usando os valores já conhecidos, você descobrirá o valor das constantes sem a estrela. Isso ficará claro com os exemplos.

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Ficou com dúvida?Na igualdade

Multiplicando ambos os membros por “” ficaremos com

Depois de simplificar ficará assim:

Essa relação deve ser válida para todos os valores de “x” que não anulem o denominador. Em particular, se a primeira e a segunda parcela do segundo membro serão anuladas e ficaremos com

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Ficou com dúvida?Na igualdade

Multiplicando ambos os membros por “” ficaremos com

Depois de simplificar ficará assim:

Essa relação deve ser válida para todos os valores de “x” que não anulem o denominador. Em particular, se a segunda e a terceira parcela do segundo membro se anularão e ficaremos com

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Por que não podemos usar o mesmo procedimento para encontrar “B”?Na igualdade

Multiplicando ambos os membros por “” ficaremos com

Depois de simplificar ficará assim:

O natural aqui era fazer , mas não podemos pois esse valor anula o denominador. Por isso não é possível encontrar o valor de B diretamente.

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