Cálculo II - Lista Polinômio de TaylorMaria José Pacifico

Instituto de Matemática - Universidad Federal do Rio de Janeiro

1. Nos itens a seguir, encontre a série de Taylor ou a série de Maclaurin Sf (a) da função f(x)em torno do ponto x = a. Qual é o raio de convergência da série Sf (a)?. É verdade quef(x) = Sf (a)? Justifique sua resposta.

(a) f(x) = e2x2 em torno de a = 0.

(b) f(x) = e3x−1 em torno de a = 1.

(c) f(x) = (x− 5)2ex em torno de a = 5.(d) f(x) = sinh(x) em torno de a = 0.

(e) f(x) = x cosh(x) em torno de a = 0.

(f) f(x) = sin(x) + cos(x) em torno de a = π/6.

(g) f(x) = sin(2x+ π/4) em torno de a = 0.

(h) f(x) = cos(x+ π/8) em torno de a = π/8.

(i) f(x) = x sin(x2) em torno de a = 0.

(j) f(x) = cos(x− π/4) em torno de a = π/4.(k) f(x) = x2 cos(2x) em torno de a = 0.

(l) f(x) = sin(x) cos(x) em torno de a = 0.

(m) f(x) = x2 sin(x) cos(x) em torno de a = 0.

2. Use as séries conhecidas para determinar a série de Taylor ou Maclaurin das seguintesfunções. Qual é o raio de convergência?

(i) f(x) =3

2 + x− x2.

(ii) f(x) =x+ 2

(7x− 2x2 − 3).

(iii) f(x) =1 + x

(1− x)(1 + x2).

(iv) f(x) = x3 arctan(x).

(iv) f(x) =∫ 21 + x5

dx.

(v) f(x) =∫ x1 + x9

dx.

(vi) f(x) = x2 ln(x+ 4).

(vii) f(x) = x3 ln(x+ 7).

3. Usando séries de potências, encontre a série de Taylos Sf (a) da funç ao f e conclua quef(x) = Sf (a). Qual é o a que você usou? Qual é o raio de convergência?

(i) f(x) =x

1− x3

(ii) f(x) =3

(2 + x)2

(iii) f(x) =2x

(5 + x)2

(iv) f(x) = ln(x+ 3

x− 3

)

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Instituto de Matemática - Universidad Federal do Rio de Janeiro

(v) f(x) = ln(x+ 1

x+ 2

)

4. Encontre o polinomio de Taylor Tn(x) de ordem n nos seguintes casos.

(i) f(x) = e3x, n = 2, 3, 4, a = 1

(ii) f(x) = cos(3x) + sin(3x), n = 2, 3, 4, a = π/9

(iii) f(x) = ln(2 + x), n = 2, 3, 4, a = 0

(iv) f(x) = ln(x+ 1

x+ 2

), n = 2, 3, 4, a = 0

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