Projeto dos alunos

Bruna Y Otsuka 1155Bruno Rafael Meneguetti 1142Emerson Luiz Pereira 1260Fabiane Oliveieri 1341Ferencz Sebok Junior 1230Heitor Flavio de Lima 1222Katiane de Souza Siltratildeo 1101Leandro R Breda 1258Marcelo Reis 1136Osmir AP Vieira 1299Patrick Fabiano Nunes 1257Roberval Adame -------Rogeacuterio Brandatildeo Silva 1231

Professora Eliane Matesco Cristovatildeo

Sumaacuterio

Lista de Imagens

O Laboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica (LEM) vinculado ao Curso de Licencia-tura em Matemaacutetica da Faculdade de Administraccedilatildeo e Artes de Limeira (FAAL) teve suas atividades iniciadas entre o segundo semestre do ano de 2007 e primeiro semes-tre do ano de 2008 a partir do trabalho realizado com licenciandos em Matemaacutetica nas disciplinas Estatiacutestica e Praacutetica de Ensino

Diante da aceitaccedilatildeo e sucesso da ldquoI Mostra de Jogosrdquo do laboratoacuterio no ano de 2008 a pesquisa com formandos naquelas jaacute citadas disciplinas e oficinas com alunos de Educaccedilatildeo Baacutesica passaram a constituir uma das metas do LEM A oficializaccedilatildeo do LEM ocorreu com o lanccedilamento deste cataacutelogo ainda no mesmo ano

A ecircnfase dada agrave pesquisa agrave confecccedilatildeo e agrave aplicaccedilatildeo de jogos de estrateacutegia jogos para trabalhar conteuacutedos e quebra-cabeccedilas possibilitou seu reconhecimento e valorizaccedilatildeo Entretanto na busca de atingir a meta de oferecer aos que procuram o LEM orientaccedilatildeo e assessoria na confecccedilatildeo de jogos e na montagem de laboratoacuterios para fins didaacuteticos estamos reunindo neste material a apresentaccedilatildeo de _____ jogos que estatildeo confeccionados no acervo do referido laboratoacuterio

Os jogos mencionados acima foram adaptados ou apreendidos por transmissatildeo oral conforme referecircncia bibliograacutefica

Esta primeira versatildeo do cataacutelogo foi organizada pela atual professora de Praacutetica de Ensino escrita pelos alunos da turma 2007 e editado por uma aluna do curso de Design

Nossa pretensatildeo eacute poder atualizar este cataacutelogo de acordo com aumento no volume de produccedilotildees presentes no LEM com o desenvolvimento deste trabalho junto aos alunos das novas turmas do curso de Licenciatura em Matemaacutetica que jaacute teratildeo como exemplo o trabalho realizado pela primeira turma de Matemaacutetica da FAAL

APRESENTACcedilAtildeO

1 Agrave eacutepoca ministradas pela Professora Zionice Garbelini Martos Rodrigues atual coordenadora do curso2 Professora Eliane Matesco Cristovatildeo Alunos da licenciatura ______ Alunas de Design Mariana Dias e Silvia Helena Bito Ricardo

1

Tangram

OrigemConta-se que um dia na China haacute 4000 anos o Imperador Tan partiu o seu espelho

quadrado quando o deixou cair ao chatildeo O espelho partiu-se em sete bocados Tan apesar de um pouco aborrecido com a perda do espelho descobriu uma forma de se entreter foi construindo figuras e mais figuras usando sempre as sete peccedilas sem as sobrepor Assim se pensa ter aparecido o conhecido puzzle chinecircsTangram Este puzzle tambeacutem conhecido pela ldquoplaca das sete astuacuteciasrdquo possibilita a construccedilatildeo de diversas figuras a partir de sete poliacutegonos muito simples

ObjetivoO objetivo pedagoacutegico do Tangram assim como qualquer outro quebra-cabeccedila eacute

desenvolver e aprimorar o raciociacutenio loacutegico e a criatividade atraveacutes de uma brincadeira muito divertida Atraveacutes da comparaccedilatildeo e mediccedilotildees de suas peccedilas podem ser explorados conceitos como periacutemetro aacuterea classificaccedilatildeo e semelhanccedila de triacircngulos aleacutem das pro-priedades dos quadrilaacuteteros que podem ser exploradas durante os recortes

2

1deg Passo Construir um quadrado a partir de uma folha de sulfite A4 medindo cerca de 20 cm de lado

2deg Passo Marque o veacutertice superior esquerdo com um quadradinho vermelho o superior direito com um quadradinho verde o veacutertice inferior esquerdo com um quadra-dinho amarelo e o veacutertice inferior direito com um quadradinho azul

3deg Passo Faccedila uma dobra unindo o quadradinho vermelho ao azul de modo a obter uma rasura que corresponda a uma ligaccedilatildeo entre o quadradinho verde e o amarelo Com a ajuda da reacutegua passe uma reta com o laacutepis formalizando a uniatildeo do quadradinho verde ao amarelo no qual originaraacute uma diagonal do quadrado maior

4deg Passo Agora faccedila a dobra unindo o quadradinho verde ao amarelo obtendo uma rasura que une o quadradinho vermelho ao azul posteriormente trace uma reta com o apoio da reacutegua e do laacutepis do quadradinho vermelho ateacute a diagonal formada na uniatildeo do quadradinho verde com o amarelo

5deg Passo Marque uma bolinha de cor preta no centro do quadrado Ela deveraacute coincidir com o ponto de encontro da reta traccedilada no 4deg passo com a diagonal obtida no 3deg passo

6deg Passo Agora encoste o quadradinho azul na bolinha preta de modo a obter uma rasura formando uma paralela inferior a diagonal Depois passe o laacutepis sobre a rasura ob-tida formando o triacircngulo meacutedio

7deg Passo Agora passe uma reta iniciando-a no centro do triacircngulo meacutedio feito no 6deg passo levando-a ateacute o centro da diagonal onde se encontra a bolinha preta Essa reta coincidiraacute com a rasura que teve origem no 4deg passo

8deg Passo Agora encoste o quadradinho amarelo na bolinha preta de modo a obter uma rasura com a dobra Faccedila uma reta com o laacutepis para definir a rasura dando origem assim a um triacircngulo pequeno e um quadrado

9deg Passo Finalmente faccedila uma bolinha alaranjada no veacutertice do triacircngulo meacutedio que se encontra no centro da reta que liga o quadradinho verde ao azul Depois encoste a bolinha alaranjada na bolinha preta Com a dobra realizada obteraacute uma rasura que forma-raacute um outro triacircngulo pequeno e um paralelogramo Recorte os traccedilos e estaacute pronto

Como construir

Haacute diversas maneiras de jogar com o Tangram A mais conhecida eacute a de montar um quadrado mas tambeacutem haacute como construir vaacuterias figuras tais como coelho gato casa pessoa outras figuras geomeacutetricas enfim atividade eacute o que natildeo falta com o Tangram

Como jogar

httpwwwcefetspbredugueratomat_cur_tangranhtmh t t p n e t e s c o l a p r g o v b r n e t e s c o l a e s c o l a 0 8 7 0 4 5 0 0 5

construC3A7C3A3o_de_tangranhtm

Referecircncias

3

Geoplano

ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado

para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado

Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-

vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios

4

Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade

Como jogar

Referecircncias

BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-

luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-

sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-

ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-

bioEL654geoplanogeoplanohtm

quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano

1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e

horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com

horizontais

5

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-

ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares

Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-

Ponte de Euler

6

Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta

Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas

A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante

Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia

Como jogar

Como construir

Objetivo

Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg

do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica

Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas

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Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida

Objetivo

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-

pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma

Boliche Matemaacutetico

8

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-

ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados

Como construir

9

OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do

professor Imenes

ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio

combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees

Copos Combinatoacuterios

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Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

11

Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

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Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

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Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

Sumaacuterio

Lista de Imagens

O Laboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica (LEM) vinculado ao Curso de Licencia-tura em Matemaacutetica da Faculdade de Administraccedilatildeo e Artes de Limeira (FAAL) teve suas atividades iniciadas entre o segundo semestre do ano de 2007 e primeiro semes-tre do ano de 2008 a partir do trabalho realizado com licenciandos em Matemaacutetica nas disciplinas Estatiacutestica e Praacutetica de Ensino

Diante da aceitaccedilatildeo e sucesso da ldquoI Mostra de Jogosrdquo do laboratoacuterio no ano de 2008 a pesquisa com formandos naquelas jaacute citadas disciplinas e oficinas com alunos de Educaccedilatildeo Baacutesica passaram a constituir uma das metas do LEM A oficializaccedilatildeo do LEM ocorreu com o lanccedilamento deste cataacutelogo ainda no mesmo ano

A ecircnfase dada agrave pesquisa agrave confecccedilatildeo e agrave aplicaccedilatildeo de jogos de estrateacutegia jogos para trabalhar conteuacutedos e quebra-cabeccedilas possibilitou seu reconhecimento e valorizaccedilatildeo Entretanto na busca de atingir a meta de oferecer aos que procuram o LEM orientaccedilatildeo e assessoria na confecccedilatildeo de jogos e na montagem de laboratoacuterios para fins didaacuteticos estamos reunindo neste material a apresentaccedilatildeo de _____ jogos que estatildeo confeccionados no acervo do referido laboratoacuterio

Os jogos mencionados acima foram adaptados ou apreendidos por transmissatildeo oral conforme referecircncia bibliograacutefica

Esta primeira versatildeo do cataacutelogo foi organizada pela atual professora de Praacutetica de Ensino escrita pelos alunos da turma 2007 e editado por uma aluna do curso de Design

Nossa pretensatildeo eacute poder atualizar este cataacutelogo de acordo com aumento no volume de produccedilotildees presentes no LEM com o desenvolvimento deste trabalho junto aos alunos das novas turmas do curso de Licenciatura em Matemaacutetica que jaacute teratildeo como exemplo o trabalho realizado pela primeira turma de Matemaacutetica da FAAL

APRESENTACcedilAtildeO

1 Agrave eacutepoca ministradas pela Professora Zionice Garbelini Martos Rodrigues atual coordenadora do curso2 Professora Eliane Matesco Cristovatildeo Alunos da licenciatura ______ Alunas de Design Mariana Dias e Silvia Helena Bito Ricardo

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Tangram

OrigemConta-se que um dia na China haacute 4000 anos o Imperador Tan partiu o seu espelho

quadrado quando o deixou cair ao chatildeo O espelho partiu-se em sete bocados Tan apesar de um pouco aborrecido com a perda do espelho descobriu uma forma de se entreter foi construindo figuras e mais figuras usando sempre as sete peccedilas sem as sobrepor Assim se pensa ter aparecido o conhecido puzzle chinecircsTangram Este puzzle tambeacutem conhecido pela ldquoplaca das sete astuacuteciasrdquo possibilita a construccedilatildeo de diversas figuras a partir de sete poliacutegonos muito simples

ObjetivoO objetivo pedagoacutegico do Tangram assim como qualquer outro quebra-cabeccedila eacute

desenvolver e aprimorar o raciociacutenio loacutegico e a criatividade atraveacutes de uma brincadeira muito divertida Atraveacutes da comparaccedilatildeo e mediccedilotildees de suas peccedilas podem ser explorados conceitos como periacutemetro aacuterea classificaccedilatildeo e semelhanccedila de triacircngulos aleacutem das pro-priedades dos quadrilaacuteteros que podem ser exploradas durante os recortes

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1deg Passo Construir um quadrado a partir de uma folha de sulfite A4 medindo cerca de 20 cm de lado

2deg Passo Marque o veacutertice superior esquerdo com um quadradinho vermelho o superior direito com um quadradinho verde o veacutertice inferior esquerdo com um quadra-dinho amarelo e o veacutertice inferior direito com um quadradinho azul

3deg Passo Faccedila uma dobra unindo o quadradinho vermelho ao azul de modo a obter uma rasura que corresponda a uma ligaccedilatildeo entre o quadradinho verde e o amarelo Com a ajuda da reacutegua passe uma reta com o laacutepis formalizando a uniatildeo do quadradinho verde ao amarelo no qual originaraacute uma diagonal do quadrado maior

4deg Passo Agora faccedila a dobra unindo o quadradinho verde ao amarelo obtendo uma rasura que une o quadradinho vermelho ao azul posteriormente trace uma reta com o apoio da reacutegua e do laacutepis do quadradinho vermelho ateacute a diagonal formada na uniatildeo do quadradinho verde com o amarelo

5deg Passo Marque uma bolinha de cor preta no centro do quadrado Ela deveraacute coincidir com o ponto de encontro da reta traccedilada no 4deg passo com a diagonal obtida no 3deg passo

6deg Passo Agora encoste o quadradinho azul na bolinha preta de modo a obter uma rasura formando uma paralela inferior a diagonal Depois passe o laacutepis sobre a rasura ob-tida formando o triacircngulo meacutedio

7deg Passo Agora passe uma reta iniciando-a no centro do triacircngulo meacutedio feito no 6deg passo levando-a ateacute o centro da diagonal onde se encontra a bolinha preta Essa reta coincidiraacute com a rasura que teve origem no 4deg passo

8deg Passo Agora encoste o quadradinho amarelo na bolinha preta de modo a obter uma rasura com a dobra Faccedila uma reta com o laacutepis para definir a rasura dando origem assim a um triacircngulo pequeno e um quadrado

9deg Passo Finalmente faccedila uma bolinha alaranjada no veacutertice do triacircngulo meacutedio que se encontra no centro da reta que liga o quadradinho verde ao azul Depois encoste a bolinha alaranjada na bolinha preta Com a dobra realizada obteraacute uma rasura que forma-raacute um outro triacircngulo pequeno e um paralelogramo Recorte os traccedilos e estaacute pronto

Como construir

Haacute diversas maneiras de jogar com o Tangram A mais conhecida eacute a de montar um quadrado mas tambeacutem haacute como construir vaacuterias figuras tais como coelho gato casa pessoa outras figuras geomeacutetricas enfim atividade eacute o que natildeo falta com o Tangram

Como jogar

httpwwwcefetspbredugueratomat_cur_tangranhtmh t t p n e t e s c o l a p r g o v b r n e t e s c o l a e s c o l a 0 8 7 0 4 5 0 0 5

construC3A7C3A3o_de_tangranhtm

Referecircncias

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Geoplano

ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado

para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado

Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-

vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios

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Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade

Como jogar

Referecircncias

BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-

luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-

sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-

ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-

bioEL654geoplanogeoplanohtm

quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano

1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e

horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com

horizontais

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OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-

ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares

Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-

Ponte de Euler

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Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta

Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas

A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante

Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia

Como jogar

Como construir

Objetivo

Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg

do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica

Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas

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Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida

Objetivo

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-

pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma

Boliche Matemaacutetico

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Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-

ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados

Como construir

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OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do

professor Imenes

ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio

combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees

Copos Combinatoacuterios

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Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

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Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

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O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

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Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

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Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

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OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

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Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

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OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

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Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

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Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

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Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

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Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

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Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

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Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

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Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

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O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

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A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

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Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

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A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

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O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

Lista de Imagens

O Laboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica (LEM) vinculado ao Curso de Licencia-tura em Matemaacutetica da Faculdade de Administraccedilatildeo e Artes de Limeira (FAAL) teve suas atividades iniciadas entre o segundo semestre do ano de 2007 e primeiro semes-tre do ano de 2008 a partir do trabalho realizado com licenciandos em Matemaacutetica nas disciplinas Estatiacutestica e Praacutetica de Ensino

Diante da aceitaccedilatildeo e sucesso da ldquoI Mostra de Jogosrdquo do laboratoacuterio no ano de 2008 a pesquisa com formandos naquelas jaacute citadas disciplinas e oficinas com alunos de Educaccedilatildeo Baacutesica passaram a constituir uma das metas do LEM A oficializaccedilatildeo do LEM ocorreu com o lanccedilamento deste cataacutelogo ainda no mesmo ano

A ecircnfase dada agrave pesquisa agrave confecccedilatildeo e agrave aplicaccedilatildeo de jogos de estrateacutegia jogos para trabalhar conteuacutedos e quebra-cabeccedilas possibilitou seu reconhecimento e valorizaccedilatildeo Entretanto na busca de atingir a meta de oferecer aos que procuram o LEM orientaccedilatildeo e assessoria na confecccedilatildeo de jogos e na montagem de laboratoacuterios para fins didaacuteticos estamos reunindo neste material a apresentaccedilatildeo de _____ jogos que estatildeo confeccionados no acervo do referido laboratoacuterio

Os jogos mencionados acima foram adaptados ou apreendidos por transmissatildeo oral conforme referecircncia bibliograacutefica

Esta primeira versatildeo do cataacutelogo foi organizada pela atual professora de Praacutetica de Ensino escrita pelos alunos da turma 2007 e editado por uma aluna do curso de Design

Nossa pretensatildeo eacute poder atualizar este cataacutelogo de acordo com aumento no volume de produccedilotildees presentes no LEM com o desenvolvimento deste trabalho junto aos alunos das novas turmas do curso de Licenciatura em Matemaacutetica que jaacute teratildeo como exemplo o trabalho realizado pela primeira turma de Matemaacutetica da FAAL

APRESENTACcedilAtildeO

1 Agrave eacutepoca ministradas pela Professora Zionice Garbelini Martos Rodrigues atual coordenadora do curso2 Professora Eliane Matesco Cristovatildeo Alunos da licenciatura ______ Alunas de Design Mariana Dias e Silvia Helena Bito Ricardo

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Tangram

OrigemConta-se que um dia na China haacute 4000 anos o Imperador Tan partiu o seu espelho

quadrado quando o deixou cair ao chatildeo O espelho partiu-se em sete bocados Tan apesar de um pouco aborrecido com a perda do espelho descobriu uma forma de se entreter foi construindo figuras e mais figuras usando sempre as sete peccedilas sem as sobrepor Assim se pensa ter aparecido o conhecido puzzle chinecircsTangram Este puzzle tambeacutem conhecido pela ldquoplaca das sete astuacuteciasrdquo possibilita a construccedilatildeo de diversas figuras a partir de sete poliacutegonos muito simples

ObjetivoO objetivo pedagoacutegico do Tangram assim como qualquer outro quebra-cabeccedila eacute

desenvolver e aprimorar o raciociacutenio loacutegico e a criatividade atraveacutes de uma brincadeira muito divertida Atraveacutes da comparaccedilatildeo e mediccedilotildees de suas peccedilas podem ser explorados conceitos como periacutemetro aacuterea classificaccedilatildeo e semelhanccedila de triacircngulos aleacutem das pro-priedades dos quadrilaacuteteros que podem ser exploradas durante os recortes

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1deg Passo Construir um quadrado a partir de uma folha de sulfite A4 medindo cerca de 20 cm de lado

2deg Passo Marque o veacutertice superior esquerdo com um quadradinho vermelho o superior direito com um quadradinho verde o veacutertice inferior esquerdo com um quadra-dinho amarelo e o veacutertice inferior direito com um quadradinho azul

3deg Passo Faccedila uma dobra unindo o quadradinho vermelho ao azul de modo a obter uma rasura que corresponda a uma ligaccedilatildeo entre o quadradinho verde e o amarelo Com a ajuda da reacutegua passe uma reta com o laacutepis formalizando a uniatildeo do quadradinho verde ao amarelo no qual originaraacute uma diagonal do quadrado maior

4deg Passo Agora faccedila a dobra unindo o quadradinho verde ao amarelo obtendo uma rasura que une o quadradinho vermelho ao azul posteriormente trace uma reta com o apoio da reacutegua e do laacutepis do quadradinho vermelho ateacute a diagonal formada na uniatildeo do quadradinho verde com o amarelo

5deg Passo Marque uma bolinha de cor preta no centro do quadrado Ela deveraacute coincidir com o ponto de encontro da reta traccedilada no 4deg passo com a diagonal obtida no 3deg passo

6deg Passo Agora encoste o quadradinho azul na bolinha preta de modo a obter uma rasura formando uma paralela inferior a diagonal Depois passe o laacutepis sobre a rasura ob-tida formando o triacircngulo meacutedio

7deg Passo Agora passe uma reta iniciando-a no centro do triacircngulo meacutedio feito no 6deg passo levando-a ateacute o centro da diagonal onde se encontra a bolinha preta Essa reta coincidiraacute com a rasura que teve origem no 4deg passo

8deg Passo Agora encoste o quadradinho amarelo na bolinha preta de modo a obter uma rasura com a dobra Faccedila uma reta com o laacutepis para definir a rasura dando origem assim a um triacircngulo pequeno e um quadrado

9deg Passo Finalmente faccedila uma bolinha alaranjada no veacutertice do triacircngulo meacutedio que se encontra no centro da reta que liga o quadradinho verde ao azul Depois encoste a bolinha alaranjada na bolinha preta Com a dobra realizada obteraacute uma rasura que forma-raacute um outro triacircngulo pequeno e um paralelogramo Recorte os traccedilos e estaacute pronto

Como construir

Haacute diversas maneiras de jogar com o Tangram A mais conhecida eacute a de montar um quadrado mas tambeacutem haacute como construir vaacuterias figuras tais como coelho gato casa pessoa outras figuras geomeacutetricas enfim atividade eacute o que natildeo falta com o Tangram

Como jogar

httpwwwcefetspbredugueratomat_cur_tangranhtmh t t p n e t e s c o l a p r g o v b r n e t e s c o l a e s c o l a 0 8 7 0 4 5 0 0 5

construC3A7C3A3o_de_tangranhtm

Referecircncias

3

Geoplano

ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado

para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado

Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-

vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios

4

Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade

Como jogar

Referecircncias

BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-

luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-

sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-

ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-

bioEL654geoplanogeoplanohtm

quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano

1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e

horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com

horizontais

5

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-

ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares

Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-

Ponte de Euler

6

Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta

Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas

A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante

Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia

Como jogar

Como construir

Objetivo

Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg

do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica

Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas

7

Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida

Objetivo

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-

pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma

Boliche Matemaacutetico

8

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-

ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados

Como construir

9

OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do

professor Imenes

ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio

combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees

Copos Combinatoacuterios

10

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

11

Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

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Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

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OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

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Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

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Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

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Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

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Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

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Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

O Laboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica (LEM) vinculado ao Curso de Licencia-tura em Matemaacutetica da Faculdade de Administraccedilatildeo e Artes de Limeira (FAAL) teve suas atividades iniciadas entre o segundo semestre do ano de 2007 e primeiro semes-tre do ano de 2008 a partir do trabalho realizado com licenciandos em Matemaacutetica nas disciplinas Estatiacutestica e Praacutetica de Ensino

Diante da aceitaccedilatildeo e sucesso da ldquoI Mostra de Jogosrdquo do laboratoacuterio no ano de 2008 a pesquisa com formandos naquelas jaacute citadas disciplinas e oficinas com alunos de Educaccedilatildeo Baacutesica passaram a constituir uma das metas do LEM A oficializaccedilatildeo do LEM ocorreu com o lanccedilamento deste cataacutelogo ainda no mesmo ano

A ecircnfase dada agrave pesquisa agrave confecccedilatildeo e agrave aplicaccedilatildeo de jogos de estrateacutegia jogos para trabalhar conteuacutedos e quebra-cabeccedilas possibilitou seu reconhecimento e valorizaccedilatildeo Entretanto na busca de atingir a meta de oferecer aos que procuram o LEM orientaccedilatildeo e assessoria na confecccedilatildeo de jogos e na montagem de laboratoacuterios para fins didaacuteticos estamos reunindo neste material a apresentaccedilatildeo de _____ jogos que estatildeo confeccionados no acervo do referido laboratoacuterio

Os jogos mencionados acima foram adaptados ou apreendidos por transmissatildeo oral conforme referecircncia bibliograacutefica

Esta primeira versatildeo do cataacutelogo foi organizada pela atual professora de Praacutetica de Ensino escrita pelos alunos da turma 2007 e editado por uma aluna do curso de Design

Nossa pretensatildeo eacute poder atualizar este cataacutelogo de acordo com aumento no volume de produccedilotildees presentes no LEM com o desenvolvimento deste trabalho junto aos alunos das novas turmas do curso de Licenciatura em Matemaacutetica que jaacute teratildeo como exemplo o trabalho realizado pela primeira turma de Matemaacutetica da FAAL

APRESENTACcedilAtildeO

1 Agrave eacutepoca ministradas pela Professora Zionice Garbelini Martos Rodrigues atual coordenadora do curso2 Professora Eliane Matesco Cristovatildeo Alunos da licenciatura ______ Alunas de Design Mariana Dias e Silvia Helena Bito Ricardo

1

Tangram

OrigemConta-se que um dia na China haacute 4000 anos o Imperador Tan partiu o seu espelho

quadrado quando o deixou cair ao chatildeo O espelho partiu-se em sete bocados Tan apesar de um pouco aborrecido com a perda do espelho descobriu uma forma de se entreter foi construindo figuras e mais figuras usando sempre as sete peccedilas sem as sobrepor Assim se pensa ter aparecido o conhecido puzzle chinecircsTangram Este puzzle tambeacutem conhecido pela ldquoplaca das sete astuacuteciasrdquo possibilita a construccedilatildeo de diversas figuras a partir de sete poliacutegonos muito simples

ObjetivoO objetivo pedagoacutegico do Tangram assim como qualquer outro quebra-cabeccedila eacute

desenvolver e aprimorar o raciociacutenio loacutegico e a criatividade atraveacutes de uma brincadeira muito divertida Atraveacutes da comparaccedilatildeo e mediccedilotildees de suas peccedilas podem ser explorados conceitos como periacutemetro aacuterea classificaccedilatildeo e semelhanccedila de triacircngulos aleacutem das pro-priedades dos quadrilaacuteteros que podem ser exploradas durante os recortes

2

1deg Passo Construir um quadrado a partir de uma folha de sulfite A4 medindo cerca de 20 cm de lado

2deg Passo Marque o veacutertice superior esquerdo com um quadradinho vermelho o superior direito com um quadradinho verde o veacutertice inferior esquerdo com um quadra-dinho amarelo e o veacutertice inferior direito com um quadradinho azul

3deg Passo Faccedila uma dobra unindo o quadradinho vermelho ao azul de modo a obter uma rasura que corresponda a uma ligaccedilatildeo entre o quadradinho verde e o amarelo Com a ajuda da reacutegua passe uma reta com o laacutepis formalizando a uniatildeo do quadradinho verde ao amarelo no qual originaraacute uma diagonal do quadrado maior

4deg Passo Agora faccedila a dobra unindo o quadradinho verde ao amarelo obtendo uma rasura que une o quadradinho vermelho ao azul posteriormente trace uma reta com o apoio da reacutegua e do laacutepis do quadradinho vermelho ateacute a diagonal formada na uniatildeo do quadradinho verde com o amarelo

5deg Passo Marque uma bolinha de cor preta no centro do quadrado Ela deveraacute coincidir com o ponto de encontro da reta traccedilada no 4deg passo com a diagonal obtida no 3deg passo

6deg Passo Agora encoste o quadradinho azul na bolinha preta de modo a obter uma rasura formando uma paralela inferior a diagonal Depois passe o laacutepis sobre a rasura ob-tida formando o triacircngulo meacutedio

7deg Passo Agora passe uma reta iniciando-a no centro do triacircngulo meacutedio feito no 6deg passo levando-a ateacute o centro da diagonal onde se encontra a bolinha preta Essa reta coincidiraacute com a rasura que teve origem no 4deg passo

8deg Passo Agora encoste o quadradinho amarelo na bolinha preta de modo a obter uma rasura com a dobra Faccedila uma reta com o laacutepis para definir a rasura dando origem assim a um triacircngulo pequeno e um quadrado

9deg Passo Finalmente faccedila uma bolinha alaranjada no veacutertice do triacircngulo meacutedio que se encontra no centro da reta que liga o quadradinho verde ao azul Depois encoste a bolinha alaranjada na bolinha preta Com a dobra realizada obteraacute uma rasura que forma-raacute um outro triacircngulo pequeno e um paralelogramo Recorte os traccedilos e estaacute pronto

Como construir

Haacute diversas maneiras de jogar com o Tangram A mais conhecida eacute a de montar um quadrado mas tambeacutem haacute como construir vaacuterias figuras tais como coelho gato casa pessoa outras figuras geomeacutetricas enfim atividade eacute o que natildeo falta com o Tangram

Como jogar

httpwwwcefetspbredugueratomat_cur_tangranhtmh t t p n e t e s c o l a p r g o v b r n e t e s c o l a e s c o l a 0 8 7 0 4 5 0 0 5

construC3A7C3A3o_de_tangranhtm

Referecircncias

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Geoplano

ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado

para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado

Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-

vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios

4

Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade

Como jogar

Referecircncias

BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-

luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-

sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-

ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-

bioEL654geoplanogeoplanohtm

quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano

1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e

horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com

horizontais

5

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-

ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares

Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-

Ponte de Euler

6

Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta

Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas

A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante

Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia

Como jogar

Como construir

Objetivo

Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg

do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica

Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas

7

Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida

Objetivo

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-

pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma

Boliche Matemaacutetico

8

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-

ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados

Como construir

9

OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do

professor Imenes

ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio

combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees

Copos Combinatoacuterios

10

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

11

Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

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Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

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Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

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Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

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Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

1

Tangram

OrigemConta-se que um dia na China haacute 4000 anos o Imperador Tan partiu o seu espelho

quadrado quando o deixou cair ao chatildeo O espelho partiu-se em sete bocados Tan apesar de um pouco aborrecido com a perda do espelho descobriu uma forma de se entreter foi construindo figuras e mais figuras usando sempre as sete peccedilas sem as sobrepor Assim se pensa ter aparecido o conhecido puzzle chinecircsTangram Este puzzle tambeacutem conhecido pela ldquoplaca das sete astuacuteciasrdquo possibilita a construccedilatildeo de diversas figuras a partir de sete poliacutegonos muito simples

ObjetivoO objetivo pedagoacutegico do Tangram assim como qualquer outro quebra-cabeccedila eacute

desenvolver e aprimorar o raciociacutenio loacutegico e a criatividade atraveacutes de uma brincadeira muito divertida Atraveacutes da comparaccedilatildeo e mediccedilotildees de suas peccedilas podem ser explorados conceitos como periacutemetro aacuterea classificaccedilatildeo e semelhanccedila de triacircngulos aleacutem das pro-priedades dos quadrilaacuteteros que podem ser exploradas durante os recortes

2

1deg Passo Construir um quadrado a partir de uma folha de sulfite A4 medindo cerca de 20 cm de lado

2deg Passo Marque o veacutertice superior esquerdo com um quadradinho vermelho o superior direito com um quadradinho verde o veacutertice inferior esquerdo com um quadra-dinho amarelo e o veacutertice inferior direito com um quadradinho azul

3deg Passo Faccedila uma dobra unindo o quadradinho vermelho ao azul de modo a obter uma rasura que corresponda a uma ligaccedilatildeo entre o quadradinho verde e o amarelo Com a ajuda da reacutegua passe uma reta com o laacutepis formalizando a uniatildeo do quadradinho verde ao amarelo no qual originaraacute uma diagonal do quadrado maior

4deg Passo Agora faccedila a dobra unindo o quadradinho verde ao amarelo obtendo uma rasura que une o quadradinho vermelho ao azul posteriormente trace uma reta com o apoio da reacutegua e do laacutepis do quadradinho vermelho ateacute a diagonal formada na uniatildeo do quadradinho verde com o amarelo

5deg Passo Marque uma bolinha de cor preta no centro do quadrado Ela deveraacute coincidir com o ponto de encontro da reta traccedilada no 4deg passo com a diagonal obtida no 3deg passo

6deg Passo Agora encoste o quadradinho azul na bolinha preta de modo a obter uma rasura formando uma paralela inferior a diagonal Depois passe o laacutepis sobre a rasura ob-tida formando o triacircngulo meacutedio

7deg Passo Agora passe uma reta iniciando-a no centro do triacircngulo meacutedio feito no 6deg passo levando-a ateacute o centro da diagonal onde se encontra a bolinha preta Essa reta coincidiraacute com a rasura que teve origem no 4deg passo

8deg Passo Agora encoste o quadradinho amarelo na bolinha preta de modo a obter uma rasura com a dobra Faccedila uma reta com o laacutepis para definir a rasura dando origem assim a um triacircngulo pequeno e um quadrado

9deg Passo Finalmente faccedila uma bolinha alaranjada no veacutertice do triacircngulo meacutedio que se encontra no centro da reta que liga o quadradinho verde ao azul Depois encoste a bolinha alaranjada na bolinha preta Com a dobra realizada obteraacute uma rasura que forma-raacute um outro triacircngulo pequeno e um paralelogramo Recorte os traccedilos e estaacute pronto

Como construir

Haacute diversas maneiras de jogar com o Tangram A mais conhecida eacute a de montar um quadrado mas tambeacutem haacute como construir vaacuterias figuras tais como coelho gato casa pessoa outras figuras geomeacutetricas enfim atividade eacute o que natildeo falta com o Tangram

Como jogar

httpwwwcefetspbredugueratomat_cur_tangranhtmh t t p n e t e s c o l a p r g o v b r n e t e s c o l a e s c o l a 0 8 7 0 4 5 0 0 5

construC3A7C3A3o_de_tangranhtm

Referecircncias

3

Geoplano

ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado

para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado

Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-

vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios

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Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade

Como jogar

Referecircncias

BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-

luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-

sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-

ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-

bioEL654geoplanogeoplanohtm

quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano

1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e

horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com

horizontais

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OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-

ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares

Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-

Ponte de Euler

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Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta

Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas

A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante

Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia

Como jogar

Como construir

Objetivo

Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg

do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica

Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas

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Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida

Objetivo

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-

pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma

Boliche Matemaacutetico

8

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-

ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados

Como construir

9

OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do

professor Imenes

ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio

combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees

Copos Combinatoacuterios

10

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

11

Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

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Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

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Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

2

1deg Passo Construir um quadrado a partir de uma folha de sulfite A4 medindo cerca de 20 cm de lado

2deg Passo Marque o veacutertice superior esquerdo com um quadradinho vermelho o superior direito com um quadradinho verde o veacutertice inferior esquerdo com um quadra-dinho amarelo e o veacutertice inferior direito com um quadradinho azul

3deg Passo Faccedila uma dobra unindo o quadradinho vermelho ao azul de modo a obter uma rasura que corresponda a uma ligaccedilatildeo entre o quadradinho verde e o amarelo Com a ajuda da reacutegua passe uma reta com o laacutepis formalizando a uniatildeo do quadradinho verde ao amarelo no qual originaraacute uma diagonal do quadrado maior

4deg Passo Agora faccedila a dobra unindo o quadradinho verde ao amarelo obtendo uma rasura que une o quadradinho vermelho ao azul posteriormente trace uma reta com o apoio da reacutegua e do laacutepis do quadradinho vermelho ateacute a diagonal formada na uniatildeo do quadradinho verde com o amarelo

5deg Passo Marque uma bolinha de cor preta no centro do quadrado Ela deveraacute coincidir com o ponto de encontro da reta traccedilada no 4deg passo com a diagonal obtida no 3deg passo

6deg Passo Agora encoste o quadradinho azul na bolinha preta de modo a obter uma rasura formando uma paralela inferior a diagonal Depois passe o laacutepis sobre a rasura ob-tida formando o triacircngulo meacutedio

7deg Passo Agora passe uma reta iniciando-a no centro do triacircngulo meacutedio feito no 6deg passo levando-a ateacute o centro da diagonal onde se encontra a bolinha preta Essa reta coincidiraacute com a rasura que teve origem no 4deg passo

8deg Passo Agora encoste o quadradinho amarelo na bolinha preta de modo a obter uma rasura com a dobra Faccedila uma reta com o laacutepis para definir a rasura dando origem assim a um triacircngulo pequeno e um quadrado

9deg Passo Finalmente faccedila uma bolinha alaranjada no veacutertice do triacircngulo meacutedio que se encontra no centro da reta que liga o quadradinho verde ao azul Depois encoste a bolinha alaranjada na bolinha preta Com a dobra realizada obteraacute uma rasura que forma-raacute um outro triacircngulo pequeno e um paralelogramo Recorte os traccedilos e estaacute pronto

Como construir

Haacute diversas maneiras de jogar com o Tangram A mais conhecida eacute a de montar um quadrado mas tambeacutem haacute como construir vaacuterias figuras tais como coelho gato casa pessoa outras figuras geomeacutetricas enfim atividade eacute o que natildeo falta com o Tangram

Como jogar

httpwwwcefetspbredugueratomat_cur_tangranhtmh t t p n e t e s c o l a p r g o v b r n e t e s c o l a e s c o l a 0 8 7 0 4 5 0 0 5

construC3A7C3A3o_de_tangranhtm

Referecircncias

3

Geoplano

ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado

para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado

Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-

vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios

4

Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade

Como jogar

Referecircncias

BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-

luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-

sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-

ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-

bioEL654geoplanogeoplanohtm

quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano

1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e

horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com

horizontais

5

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-

ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares

Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-

Ponte de Euler

6

Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta

Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas

A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante

Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia

Como jogar

Como construir

Objetivo

Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg

do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica

Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas

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Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida

Objetivo

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-

pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma

Boliche Matemaacutetico

8

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-

ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados

Como construir

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OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do

professor Imenes

ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio

combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees

Copos Combinatoacuterios

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Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

11

Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

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Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

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OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

3

Geoplano

ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado

para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado

Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-

vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios

4

Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade

Como jogar

Referecircncias

BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-

luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-

sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-

ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-

bioEL654geoplanogeoplanohtm

quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano

1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e

horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com

horizontais

5

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-

ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares

Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-

Ponte de Euler

6

Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta

Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas

A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante

Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia

Como jogar

Como construir

Objetivo

Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg

do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica

Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas

7

Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida

Objetivo

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-

pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma

Boliche Matemaacutetico

8

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-

ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados

Como construir

9

OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do

professor Imenes

ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio

combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees

Copos Combinatoacuterios

10

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

11

Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

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Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

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OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

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Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

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Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

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Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

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Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

4

Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade

Como jogar

Referecircncias

BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-

luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-

sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-

ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-

bioEL654geoplanogeoplanohtm

quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano

1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e

horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com

horizontais

5

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-

ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares

Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-

Ponte de Euler

6

Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta

Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas

A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante

Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia

Como jogar

Como construir

Objetivo

Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg

do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica

Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas

7

Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida

Objetivo

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-

pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma

Boliche Matemaacutetico

8

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-

ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados

Como construir

9

OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do

professor Imenes

ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio

combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees

Copos Combinatoacuterios

10

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

11

Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

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Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

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A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

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Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

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A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

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O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

5

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-

ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares

Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-

Ponte de Euler

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Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta

Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas

A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante

Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia

Como jogar

Como construir

Objetivo

Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg

do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica

Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas

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Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida

Objetivo

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-

pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma

Boliche Matemaacutetico

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Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-

ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados

Como construir

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OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do

professor Imenes

ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio

combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees

Copos Combinatoacuterios

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Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

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Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

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Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

6

Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta

Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas

A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante

Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia

Como jogar

Como construir

Objetivo

Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg

do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica

Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas

7

Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida

Objetivo

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-

pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma

Boliche Matemaacutetico

8

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-

ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados

Como construir

9

OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do

professor Imenes

ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio

combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees

Copos Combinatoacuterios

10

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

11

Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

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OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

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Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

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Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

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Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

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SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

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Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

7

Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida

Objetivo

OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-

pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma

Boliche Matemaacutetico

8

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-

ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados

Como construir

9

OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do

professor Imenes

ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio

combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees

Copos Combinatoacuterios

10

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

11

Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

8

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-

ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados

Como construir

9

OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do

professor Imenes

ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio

combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees

Copos Combinatoacuterios

10

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

11

Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

9

OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do

professor Imenes

ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio

combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees

Copos Combinatoacuterios

10

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

11

Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

10

Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes

Nuacutemero de participantes Indeterminado

Como jogar

Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe

um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem

Como construir

ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues

11

Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

11

Gobangue

ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na

vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal

Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

12

O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo

Como jogar

ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

13

Jogo do Xsup2

OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas

nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

14

Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado

Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa

a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo

Como jogar

ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

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OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

15

OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um

jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa

Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade

ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-

ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus

Jogo da Velha

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

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OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

16

Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel

Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O

Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo

Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos

Como construir

Como jogar

ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

17

OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-

res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2

Curva de Gauss

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

18

Objetivo

Como construir

Como jogar

Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal

Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar

Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha

Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL

- Limeira SP

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

19

Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo

ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos

O Fatiacutedico 13

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

20

Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-

ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

21

Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5

(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro

ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-

ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo

Torre de Hanoacutei

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

22

Como jogar

Observaccedilotildees

Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor

1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento

2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos

3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos

4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

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Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

23

ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos

Jogo dos Palitos

Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

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25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

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Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

24

Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo

Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

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Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

25

ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro

Tabuleiro Enigmaacutetico

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

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27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

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Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

26

Como construir

Como jogar

Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo

Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente

Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha

leva agrave peccedila

ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

27

ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes

Pentaminoacutes

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

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Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

28

Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo

com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5

quadrados) em diferentes formas

Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as

peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com

a figura

Soluccedilatildeo

ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

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Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

29

SoacutelidosGeomeacutetricos

Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico

Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria

Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas

Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo

Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico

soacutelido geomeacutetricofigura plana

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

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Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

30

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo

Prismas

Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)

Faces (Laterais)

Base

Arestas(Encontro das Faces

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

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Base

x

yEixo

Aresta

31

A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide

O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais

Piracircmides

Base

Veacutertice Principal

Veacutertices

Arestas

Faces

32

Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

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Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

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Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo

Soacutelidos de revoluccedilatildeo

Aresta

Linha Geratriz

Figura Geradora

Eixo

Facey

Superfiacutecie Ciliacutendrica

Base Inferior

33

A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

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Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

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A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo

Esfera

x

y

Superfiacutecie Esfeacuterica

Centro da Esfera

Raio da Esfera

Diacircmetroda Esfera

34

O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta

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O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta

Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior

Cone

Referecircncias

Figura Geradora

Veacutertice

Superfiacutecie Cocircnica

Base

x

yEixo

Aresta