CDI – Comunicação Digitalmdoniak/CDI_20705/CDI_Cap1.pdf · É sempre bom lembrar o que levou os...

CDI – Comunicação Digital

Revisão de Sinais e Espectro

“Digital Communications – Fundamentals and Applications”Bernard Sklar

2ª edição – Prentice Hall

Marcio Doniak

www.sj.ifsc.edu.br/[email protected]

CDI 20705 – Comunicação Digital 1/35

http://www.sj.ifsc.edu.br/~mdoniak

mailto:[email protected]

1. Introdução

A principal característica de um sistema de comunicação digital (DCS) é o envio de uma

forma de onda, selecionada dentro de um grupo, com uma duração de tempo predeterminada. Ao

contrário de um sistema analógico, que envia uma forma de onda, selecionada a partir de uma

infinidade de outras, com resolução infinita do ponto de vista teórico. Em um DCS o objetivo no

receptor não é reproduzir exatamente a forma de onda transmitida, mas sim determinar a partir

da relação sinal-ruído qual foi a forma de onda transmitida dentre as possíveis. Para isso, uma

importante medida de desempenho de um DCS é a probabilidade de erro.

É sempre bom lembrar o que levou os sistemas de comunicação serem todos digitais:

• A principal vantagem é a facilidade com que os sistemas digitais conseguem

regenerar o sinal, conforme está ilustrado na Figura 1. Essa distorção ocorre porque

tanto os circuitos quanto as linhas de transmissões possuem uma função de

tranferência que não é ideal, além do ruído elétrico e outros sinais interferentes.

Figura 1: Degradação e Regeneração.

• DCS são menos susceptíveis a interferência e distorções, devido a sua forma, por

exemplo, ligado e desligado, a perturbação deve ser grande o suficiente para

conseguir modificar a informação transmitida.


• DCS são mais confiáveis e podem ser produzidos com custos mais baixos. Podem ser

usados diversos componentes de propósito geral produzidos e testados em larga

escala.

• DCS oferecem uma maior segurança para a informação. Esta pode ser agrupada em

pacotes.

• Entretando, DCS exigem um maior processamento do sinal, e necessitam alocar

muitos recursos para estabelecer o sincronismo.

2. Revisão de Sinais

2.1. Série de Fourier:

Considere um conjunto de funções { e jwn t }, n ∈ ℤ , wn=(2π/T )n , T ∈ ℝ+ . e

duas importantes propriedades:

1ª) e jwn (t+ kT ) = e jwn t⋅e jwn kT

Como, wn=2/T n , então:

e jwn ( t+ kT ) = ej 2πT nt

⋅ej 2πT nkT

ej 2πT nkT

= e j 2πnk = cos(2πnk )+ jsen(2πnk ) = cos(2πnk )

Logo, e jwn (t+ kT ) = e jwn t → as funções são periódicas!

2ª) ∫−T /2

T /2

e jw n t e− jwm t dt = ∫−T /2

T /2

e j wn−wm tdt = ∫−T /2

T /2

ej 2T n−m t

dt =

= 1

j 2πT

(n−m)(e jπ(n−m )−e− jπ(n−m )) = 1

πT(n−m)

(e j π(n−m)−e− jπ(n−m))2j

=

= T sen [n−m]n−m

= T sinc [n−m] = 0, p / n ≠ m1, p / n = m

Seja f(t) uma função periódica com período T. Assim, f(t) pode ser expressa por:

f (t) = 1T ∑

n=−∞

+ ∞

cn e jw n t (1)


cn = ∫−T /2

T /2

f (t )e− jw nt dt (2)

Exemplo 1:

Figura 2: Exemplo 1, sinal no tempo.

cn = ∫−T /2

T /2

A.e− jw n tdt = ∫−/2

/2

A. e− jw n tdt = −Ajw n

e− jw n/2−e jw n/2 =

=2Awn

. e jwn/2−e− jwn /2

2j =2Awn

. sen wn/2 = A. .sen w n/2wn/2

=

= A. . sincwn/2

Figura 3: Função sinc.

wn = wn − wn−1 = 2T

.n− n−1 = 2T

= wn (3)


Esse valor é válido para qualquer f(t), e não apenas para esse exemplo.

Exemplo 2:

f t = cos 2T

. t = 12e

j 2T .t

e− j 2

T . t

wn=2/T n ,

Neste caso:

c1 = T2, c−1 = T

2e cn = 0, para n ≠±1.

2.2. Transformada de Fourier

Aplicando a equação (3) em (1) e (2), temos:

f t = 12

. ∑n=−∞

∞

cn . e jwn t .w

No limite, quando T ∞ , temos:

w dw , wn w , cn F w , assim, temos a Transformada de Fourier para

um sinal não periódico.

f t = 12

.∫−∞

∞

F w .e jwt .dw

F w = ∫−∞

∞

f t . e− jwt .dt

Exemplo 3:

Se, f t = t , qual é a F(w)?

F w = ∫−∞

∞

t .e− jwt .dt = 1.


Figura 4: Transformada de Fourier da função impulso unitário.

Algumas propriedades:

a) Dualidade:

f t F wF t 2 f −w

Ƒ-1{2πf(-w)} = 12

.∫−∞

∞

2 f −w .e jwt .dw , fazendo = −w

Ƒ-1{2πf(-w)} = ∫−∞

∞

f . e− j t . d

b) Deslocamento no tempo e na frequência

f t ↔ F w

f t − t 0 ↔ e− jwt0 .F w

Exemplo 4: Foi visto que:

f t = t F w = 1

f t − t 0 = t − t0 F w = 1.e− jwt 0

Da propriedade da dualidade:

t 0 = w0 , então, e jw0 t ↔ 2 w−w0

ou de forma geral: f te jw0 t ↔ F w−w0

Aplicando em Série de Fourier:

Seja f(t) periódico com período T. Então,

f t = 1T

. ∑n=−∞

∞

cn. ejwn t ↔ F w

F w = 2T ∑

n=−∞

∞

cnw−wn

Assim, o espectro de um sinal periódico é discreto no tempo e contém impulsos. O

espaçamento entre os impulsos é w = 2T

, conforme está ilustrado na Figura 3.


c) Simetria da Amplitude e da Fase

Considere um sinal f(t) real, então, F w = ∣F w∣. e j w apresenta as seguintes

simetrias:

∣F w ∣ → é par; e w → é ímpar.

F w = ∫−∞

∞

f t . e− jwt .dt

F w = ∫−∞

∞

f t . cos wt .dt − j∫−∞

∞

f t . sen wt .dt

∣F w∣2 = [∫−∞

∞

f t . coswt .dt ]2 [− j∫

−∞

∞

f t . sen wt .dt ]2

∣F w ∣2 = [∫−∞

∞

f t . cos wt .dt ]2 [∫

−∞

∞

f t . sen wt . dt ]2

→ é par

w = − arctan ∫−∞

∞

f t. sen wt .dt

∫−∞

∞

f t. cos wt .dt → é ímpar

d) Convolução

f t ∗g t ↔ F w.G w

f t .g t ↔1

2F w∗G w

Exemplo 5:

igual *

Figura 5: Exemplo 5, propriedade da convolução.

Em t = 0, a amplitude é A2 , que é a amplitude máxima do sinal.


M = A2 A = M

A partir da propriedade da convolução:

x t ∗x t = y t ↔ Gw2

Gw = M

.2 . sen2w/2w/2

= A sen2w/2w/ 2

= Y w

2.3. Amostragem

Seja x(t) um sinal contínuo no tempo e em amplitude, com energia finita. Considere suas

amostras nos instantes de tempo: t=0, ±Ts, ±2Ts, … Onde,

Ts → é o intervalo entre as amostras

f s =1T s

→ é a taxa de amostragem dada em amostras/segundo.

Figura 6: Sinal x(t) contínuo.

Figura 7: Sinal x(t) amostrado.

O sinal amostrado será:


xδ(t ) = ∑n=−∞

∞

x(nT s) .δ(t−nT s) = x (t ).δT s( t) , onde

δT s(t ) = ∑

n=−∞

∞

δ(t−nT s) .

Observe que δT s(t) é um sinal periódico, com período Ts. Vamos recorrer a Série de

Fourier:

δT s(t ) = 1

T s∑n=−∞

∞

cnejw n t , onde, wn = 2π

T s.n = 2π. f s .n

cn = ∫−T s/2

T s /2

δT s(t) . e jw n t dt = 1

Realizando a Transformada de Fourier para δT s(t ) , obtemos:

2πT s

∑n=−∞

∞

δ(w−wn) , cn = 1 e w = 2π f

= 1T s

∑n=−∞

∞

δ( f−nf s)

x (t ).δT s= xδ(t ) ↔ X δ( f )

Aplicando a propriedade da convolução na frequência em x(t), obtemos:

X δ( f ) = X ( f ) ∗ 1T s

∑n=−∞

∞

δ( f−nf s)

X δ( f ) = 1T s

∑n=−∞

∞

X ( f−nf s)

Figura 8: Transformada de Fourier do sinal periódico.

Se f m < f s/ 2 é possível recuperar o sinal original a partir das amostras.


Para reconstruir o sinal original, considere novamente xδ(t ):

xδ(t ) = ∑n=−∞

∞

x(nT s)δ(t−nT s)

Realizando a Transformada de Fourier em ambos os lados, temos:

X δ( f ) = ∑n=−∞

∞

x (nT s)e− j2πnfT s

que pode ser visto como a Série de Fourier para a função periódica no domínio da frequência,

X δ( f ) , sendo x (nT s) os coeficientes da série.

Se a taxa de amostragem for 1/T s = 2f m , temos:

X δ( f ) = ∑n=−∞

∞

x ( n2f m

)e− jπnf / f m

E o sinal original corresponde a um período de X δ( f ) :

X ( f ) = T s X δ( f ) = 12 f m

X δ( f ) , ∣ f ∣< f m

X ( f ) = 12f m

∑n=−∞

∞

x ( n2f m

). e− jπnf / f m

Logo, X ( f ) é completamente determinada pelas amostras x ( n2f m

).

Tomando-se a Transformada Inversa de Fourier, temos:

x (t ) = ∫− f m

f m

X ( f )e j2π ft df

x (t ) = ∫− f m

f m 12f m

∑n=−∞

∞

x ( n2f m

) .e− jπnf / f m . e j2π ft df

x (t ) = 12f m

∑n=−∞

∞

x ( n2f m

)∫− f m

f m

ej2π f (t− n

2fm)df

Aplicando a fórmula da interpolação:

x t = ∑n=−∞

∞

x n2f m

sen 2f mt−n2f mt−n

= ∑n=−∞

∞

x n2f m

sinc 2f m t−n


Algumas considerações importantes:

• Todo sinal com duração finita vai ter espectro infinito.

• Pelo Teorema de Nyquist, o espectro deve ser finito.

• Isso gera um conflito, pois, os sinais possuem duração finita.

• A rigor a energia do sinal deve ser finita, portanto, seu espectro deve ser finito.

Exemplo 6:

Seja x t = 2 sen 2t−12t−1

, com f s = 2f m = 2.

Figura 9: Função sinc no tempo.

Figura 10: Transformada de Fourier da função sinc.

• Duração no tempo é infinita


• Espectro é finito

• Energia: ∫−∞

∞

∣x t ∣2dt = ∫−∞

∞

∣X f ∣2df (Teorema de Parseval), assim, a energia é

finita.

Alguns Aspectos Práticos da Amostragem

Impulsos não são fisicamente realizáveis, mas pulsos curtos, sim.

Figura 11: Exemplo de amostragem com pulsos curtos.

Amostras de duração finita, s1t = x t c t . Expressando c(t) pela Série de Fourier,

temos:

c t = TAT s

∑n=−∞

∞ sen nT /T snT /T s

ej2n TT s

t, f s =

1T s

, cn =sennT /T snT /T s

c t = TAT s

∑n=−∞

∞

cn ej2n TT s

t

Então:

s1 t = x t TAT s

∑n=−∞

∞ sen nT /T snT /T s

ej2n T

T st

Tomando-se a Transformada de Fourier de s1(t), temos:


x t−t 0 ↔ e j2 ft0 X f

x t e jw0 t ↔ X w−w 0

S1 f = f sTA ∑m=−∞

∞ sen m f sT m f sT

X f −mf s

Figura 12: Sinal amostrado.

Como sen m f sT m f sT

não depende de f, não haverá distorção, e X(f) pode ser recuperado

por uma filtragem, assim como no caso ideal.

No caso de empregar amostas com pulso plano, Sample and Hold:

Figura 13: Sample and Hold.

s2t = [x t T st ] ∗ h t = x∗ ht


s2t = [ ∑n=−∞

∞

x nT s t−nT s] ∗ ht

s2t = ∑n=−∞

∞

x nT s ht−nT s

Tomando-se a Transformada de Fourier, temos:

S2 f = X f H f = f s ∑m=−∞

∞

X f −mf sH f

onde, H f = T sen fT fT

e− j fT

Neste caso, haverá distorção em amplitude devido ao efeito de abertura. Para contornar ou

minimizar essa distorção, a solução é aplicar um equalizador. Sendo que se, T /T s0,1 a

equalização não é necessária.

3. Sinais Aleatórios

O principal objetivo de um sistema de comunicação é transmitir informação através de um

canal. Ao transmitir uma mensagem o transmissor a seleciona aleatoriamente, ou seja, o receptor

não sabe, a priori, qual mensagem, dentre as diversas possíveis, será transmitida. Associada a isto,

o canal impõe um ruído onde, normalmente, é variante no tempo. Ou seja, a cada nova

transmissão temos que considerar uma nova condição de ruído.

3.1 Variáveis Aleatórias

Seja:

Ω → espaço amostral que contém todos os possíveis pontos amostrais;

ξ → classe de eventos.

Por exemplo, o evento A consiste de 1 ponto amostral ou um conjunto de pontos amostrais.

A medida de probabilidade associada a cada evento A é definida como:

a) P(Ω) = 1;

b) 0 P A 1 ;

c) P A ∪ B = P A P B , se A∩ B =∅


Variável aleatória:

É uma função do espaço amostral em uma faixa dos Reais.

Exemplo 1: moeda → Ω = {cara, coroa}

Seja A = cara e B = coroa

X(A) = 0 e X(B) = 1 → X(Ω) = {0, 1}

Exemplo 2: variável aleatória contínua

A = tensão > 5 V

X(A) > 5

Função Distribuição:

A função distribuição de uma variável aleatória X é dada por:

F X x = P X x ,

onde P X x é a probabilidade de que o valor tomado pela variável aleatória X ser menor ou

igual ao número real x.

A função distribuição possui as seguintes propriedades:

a) 0 F X x 1 ;

b) F X x1 F X x2 , se x1 x2 ;

c) F X −∞ = 0 ;

d) F X ∞ = 1.

Função Densidade de Probabilidade (PDF):

p X x =dF X x dx

Da mesma forma que a função distribuição, a função densidade de probabilidade é uma

função do número real x.

Seja:


P x1 x x2 = P X x2 − P X x1

P x1 x x2 = F X x2 − F X x1

P x1 x x2 = ∫−∞

x2

p X x dx −∫−∞

x1

pX x dx

P x1 x x2 = ∫x1

x2

pX xdx

Propriedades:

a) p X x 0 → função não decrescente.

b) ∫−∞

∞

p X xdx = F X ∞− F X −∞ = 1− 0 = 1

Desta forma, a função densidade de probabilidade é sempre uma função não-negativa com

área total igual a 1.

Variáveis Aleatórias Discretas

∑iP X = x i = 1

Valor Médio

O valor médio ou valor esperado da variável aleatória X é:

mX = E {X } = ∫−∞

∞

x . p X x dx , onde E {⋅} é chamado de valor esperado.

O n-ésimo momento da PDF de uma variável aleatória X é:

E {X n} = ∫−∞

∞

xn . p X x dx

Para os propósitos de sistemas de comunicação, os momentos mais importantes são os dois

primeiros. O primeiro momento, quando n = 1, resulta na média e, quando n = 2, temos a variância

da variável aleatória X, definida como:

var X = E { X −mX 2} = ∫

−∞

∞

x − mX 2 . pX x dx


E {X −mX 2} = E { X 2 − 2XmX mX

2 }

E {X −mX 2} = E {X 2}− E {2Xm X } E {mX

2 }

E {X −mX 2} = E {X 2}− 2mX E {X } mX

2 , como E {X } = mX

E {X −mX 2} = E {X 2}− 2mX

2 mX2

E {X −mX 2} = E {X 2}− mX

2 = X2

X2 → variância de X, E {X 2} = ∫

−∞

∞

x2 . p X x dx

4. Processos Estocásticos

Um processo aleatório X(A, t) pode ser visto como uma função de duas variáveis: um evento

A e o tempo. A Figura 14 ilustra um processo aleatório. Nesta figura existem N funções amostra no

tempo, {Xj(t)}. Cada uma das funções amostra pode ser considerada a saída para um determinado

ruído. Para um evento específico Aj, temos uma única função no tempo X(Aj, t) = Xj(t). O total de

funções amostras possíveis é chamado de conjunto (ensemble). Para um tempo específico tk, X(A,

tk) é uma variável aleatória X(tk) cujo valor depende do evento. E para um evento específico A = A j,

e para um tempo específico t = tk, X(Aj, tk) é um valor determinístico, ou seja, apenas um número.


Figura 14: Processos aleatórios com ruído.

Média Estatística de um Processo Estocástico

De maneira geral, a forma da PDF de um processo estocástico será diferente para os

diferentes instantes de tempo. Em muitas situações não é conveniente determinar empiricamente

a PDF de um processo estocástico. Embora, uma descrição parcial consistindo da média e da

função de autocorrelação normalmente já são suficientes para as necessidades dos sistemas de

comunicações. A média de um processo estocástico pode ser definida como:

E {X t k } = ∫−∞

∞

x p X kx dx = mX t k ,

onde X t k é a variável aleatória obtida amostrando-se o processo estocástico em t = t k ,

e a PDF de X t k , a densidade dentre o conjunto de eventos no tempo tk, é denominado

p X kx .

A função de autocorrelação de um processo estocástico X(t) é definida como uma função de


duas variáveis, t1 e t2, dada por:

RX t 1 , t 2 = E {X t 1 X t2} = E {X 1 X 2}

RX t 1 , t 2 = ∫−∞

∞

∫−∞

∞

x y p X 1 , X 2x , y dx dy

RX t 1 , t 2 mede o quanto as variáveis aleatórias X1 e X2 são correlacionadas.

Estacionaridade

a) No sentido estrito

Um processo estocástico X(t) é estacionário no sentido estrito se:

• X t1 , X t 2 , ... , X tN tem a mesma densidade de probabilidade. Ou seja,

P X kx é a mesma para todos instantes de tempo;

• p X 1 , X 2 ,... , X Nx1 , x2 ,... , x N independe dos instantes de tempo t 1 , t 2 , ... , tN e de

N.

b) No sentido amplo

Um processo estocástico X(t) é estacionário no sentido amplo se:

• apenas os dois primeiros momentos independem do deslocamento no tempo,

E {X t } = mX = constate ∀ t

• RX t 1 , t 2 = R X 0, t 2−t1 = RX t 2−t 1

RX t 1 , t 2 = R X , = t2 − t 1

Estacionaridade no sentido estrito implica em estacionaridade no sentido amplo. Mas o

inverso não é necessariamente verdade. Um processo estocástico estacionário no sentido amplo

nem sempre é estacionário no sentido estrito. Uma exceção é o processo estocástico Gaussiano.

Pois, ele é caracterizado apenas pela média e variância.

Autocorrelação de um Processo Estocástico Estacionário no Sentido Amplo

Assim como a variância proporciona uma medida de aleatoridade para variáveis aleatórias,

a função de autocorrelação proporciona uma medida similar para processos estocásticos. Em um

processo estacionário em sentido amplo, a função de autocorrelação é apenas uma função da


diferença de tempo = t2 − t 1 .

RX = E {X t X t} , para −∞ ∞

Para um processo estacionário no sentido amplo (WSS) com média zero, RX indica a

extensão nos quais os valores do processo separados por segundos são estaticamente

correlacionados. Ou seja, RX nos traz uma ideia da resposta em frequência que está

associada com o processo estocástico. Se RX muda vagarosamente com o aumento de ,

isto indica que, na média, os valores amostrados de X(t) para t = t 1 e t = t 1 são

aproximadamente iguais. Assim, nós esparamos uma representação no domínio da frequência de

X(t) contendo preponderadamente baixas frequências. Por outro lado, se RX decrescer

rapidamente com o aumento de , nós esparamos que X(t) mude rapidamente com o tempo e

consequentemente, contenha predominantemente altas frequências.

Propriedades da função de Autocorrelação de um Processo Estacionário no Sentido Amplo

Seja X(t) um processo estocástico real:

(1) RX = RX −

(2) RX RX 0 , ∀

(3) RX ↔ GX f , densidade espectral de potência

(4) RX 0 = E {X 2t } → valor médio quadrático ou potência do processo estocástico

∫−∞

∞

RX . e− j2 f .d = G X f

∫−∞

∞

RX . e− j2 f .d = G X f

RX 0 = ∫−∞

∞

G X f .df → potência do processo estocástico

Médias Temporais e Ergodicidade

Para calcular mX e RX de um processo estocástico estacionário, precisamos

conhecer p X x e P X 1 , X 2x1 , x2 . Mas na prática, isso nem sempre é possível. Então,

recorremos as médias temporais.


Um processo estocástico é dito ERGÓTICO se suas médias temporais, a partir de qualquer

função amostra, são iguais as suas médias estatísticas.

Processo ergótico em média:

mX = limT ∞

1T ∫

−T /2

T /2

X t .dt

Processo ergótico em função de autocorrelação:

RX = limT ∞

1T ∫

−T /2

T /2

X t . X t−.dt

Uma vez que um processo é dito ergótico, algumas relações entre os valores de parâmetros

elétricos do sinal, tais como, o valor da componente dc, valor rms, e potência média do sinal,

podem ser relacionadas aos momentos de um processo ergótico.

• O valor mX = E {X t} é igual ao nível dc do sinal.

• A quantidade mX2 é igual a potência normalizada da componente dc.

• O segundo momento de X(t), E {X 2t }, é igual a potência média total

normalizada.

• E {X 2t } é igual ao valor médio quadrático (rms) do sinal de tensão (ou de

corrente).

• A variância, X2 , é igual a potência média normalizada no tempo ou da

componente ac do sinal.

• Se o processo tem média zero, mX = mX2 = 0 , então X

2 = E {X 2t }, e a

variância é igual ao valor rms, ou a variância representa a potência total

normalizada.

• O desvio médio padrão, X , é o valor rms da componente ac do sinal.

• Se mX = 0 , então, o desvio médio padrão, X , é o valor rms do sinal.

Densidade Espectral de Potência de um Processo Estocástico

Um processo estocástico X(t) pode normalmente ser classificado como um sinal de potência


com densidade espectral de potência, GX f , na forma: GX f = limT∞

1T∣X T f ∣

2 .

GX f é muito útil na análise de sistemas de comunicações, porque ela descreve a distribuição

de potência do sinal no domínio da frequência.

Propriedades para um processo estocástico real:

(1) GX f ≥ 0

(2) GX f = GX − f , para X t real

(3) GX f ↔ RX

(4) P X = ∫−∞

∞

G X f df → potência média total

O que significa o termo correlação? Quando nós indagamos sobre a correlação entre dois

fenômenos, nós estamos perguntando o quão próximo eles se correspondem em comportamento

ou aparência, o quão bem eles correspondem um ao outro. Matematicamente, uma função de

autocorrelação de um sinal (no domínio do tempo) descreve a correspondência do sinal consigo

mesmo. Assim, uma cópia exata do sinal é feita e posicionada no tempo em menos infinito. Então,

nós movemos a cópia no sentido positivo, e a cada incremento, perguntamos: “Como a cópia e o

sinal se correspondem agora?”. E assim por diante.

A Figura 15-1 (a) ilustra uma forma de onda amostrada de um processo estocástico (PE)

estacionário em sentido amplo (WSS), X(t). A forma de onda é uma sequência binária aleatória

com pulsos de amplitude unitária positiva e negativa, pulsos bipolar. A duração de cada pulso é de

T segundos, e a média mX , ou valor dc da sequência aleatória é zero. A Figura 15-1 (b) ilustra a

mesma sequência deslocada de 1 segundos, sendo definida como X t−1 . Vamos assumir

que o processo é ergótico na função de autocorrelação, assim, nós podemos trabalhar com a

média temporal ao invés da média estatística para encontrar RX . O valor de RX 1 é

obtido fazendo o produto das duas sequências X t e X t−1 , e encontrando o valor

médio entre elas, usando a equação: RX = limT ∞

1T ∫

−T /2

T /2

X t . X t−.dt . O resultado

desta equação é válido para um processo ergótico apenas no limite. Embora, integrá-la sobre um

número inteiro de períodos nos dá uma boa estimativa de RX . Note que RX 1 pode ser


obtido com um deslocamento positivo ou negativo de X t . O cálculo de RX é mostrado

na Figura 15-1 (c) usando a sequência amostrada e sua réplica deslocada conforme ilustrado

previamente também na Figura 15-1.

Figura 15-1: Exemplo de Autocorrelação e Densidade Espectral de Potência para um sinal lento.

Na Figura 15-1 (c) as áreas com linhas diagonais abaixo do produto X t X t−1 resulta

em valores positivo do produto, já a área pintada de cinza resulta em valores negativo do produto,

e as áreas pintadas de branco indica que o produto é zero. A integral de X t X t−1 sobre

vários períodos de tempo resulta em um valor de área que é definido como RX 1 da função

RX . Então, as sequências podem ser deslocadas de 2 ,3 , ... , sendo que a cada

deslocamento é produzido um novo valor de área da função RX . O resultado de RX é

mostrado na Figura 15-2 (d), onde o valor de pico ocorre para =0, RX 0. Assim, podemos


afirmar que RX R X 0 , ∀ , e RX decresce quando ∣∣ cresce.

A expressão analítica para a função de autocorrelação, RX , é:

Figura 15-2: Continuação do exemplo de Autocorrelação e Densidade Espectral de Potência para

um sinal lento.

Note que a função de autocorrelação nos traz informação sobre a frequência; ela nos diz

algo a respeito da largura de banda do sinal. Entretanto, a função de autocorrelação é uma função

no domínio do tempo, ou seja, não existe uma componente de frequência associada a ela. Então,

como esta função nos dá informação sobre a largura de banda do sinal?

Considere que é um sinal muito lento (pequena largura de banda). Como foi mostrado nas

figuras 15-1 e 15-2, para cada passo de é feita a pergunta: “O quão boa é a correlação entre a

amostra original e a sua cópia?”, e a correlação será boa por um instante. Ou seja, o formato

triangular da função de autocorrelação vai desacelerar gradualmente com . Mas se o sinal for

rápido (grande largura de banda) é possível que em um pequeno deslocamento de resulta na

correlação das funções. Neste caso, a função de autocorrelação terá uma aparência muito

íngreme. Logo, o formato da função de autocorrelação nos diz algo a respeito da largura de banda


do sinal. Assim, se a função for íngreme, trata-se de um sinal com grande largura de banda. Por

outro lado, se a rampa desacelera gentilmente, então, é um sinal com uma pequena largura de

banda. As Figuras 15-1 e 15-2 ilustram o caso do sinal lento e as Figuras 15-3 e 15-4 ilustram o caso

de um sinal com grande largura de banda.

Figura 15-3: Exemplo de Autocorrelação e Densidade Espectral de Potência para um sinal rápido.

A função de autocorrelação nos permite expressar a densidade espectral de potência (PSD)

do sinal aleatório diretamente. Pois, a PSD e a função de autocorrelação são relacionadas pela

Transformada de Fourier. A PSD, GX f , da função de autocorrelação definida na Figura 15-2 (d)

é:


GX f = T sen fT fT

2

= T sinc2 fT , onde sincx =sen x x

A PSD está ilustrada na Figura 15-2 (e) e na Figura 15-4 (j).

Figura 15-4: Continuação do exemplo de Autocorrelação e Densidade Espectral de Potência para

um sinal rápido.

Note que a área da função PSD representa a potência média do sinal. Uma medida

conveniente para a largura de banda do sinal é medir o espectro do lóbulo principal. Note também

que a largura de banda do sinal está inversamente relacionada a duração do símbolo ou largura do

pulso, como pode ser visto nas figuras 15-1 até 15-4. Assim, para um pulso de curta duração (taxa

de bit elevada) vai ter uma grande largura de banda.

• T pequeno → sinal tem uma faixa de frequência larga

• T grande → sinal tem uma largura de banda estreita

4. Ruído em Sistemas de Comunicação

O ruído se refere a um sinal elétrico indesejado que está sempre presente em sistemas

elétricos. A presença do ruído sobreposto ao sinal tende a mascarar o sinal, limitando o receptor


em tomar a decisão correta sobre o símbolo transmitido, e assim, limita a taxa de informação

transmitida. O ruído surge a partir de uma variedade de fontes, como por exemplo: radiações

eletromagnéticas, variações de temperatura, etc.

Existe um tipo de ruído que não pode se consegue eliminar, ele é chamado de ruído

térmico. Este ruído é causado pela movimentação térmica dos elétrons em todos os componentes

dissipativos, tais como: resistores, cabos, etc. Os mesmos elétrons que são responsáveis pela

condução elétrica do sinal, também são os responsáveis pelo ruído térmico.

O ruído térmico pode ser descrito pelo processo estocástico Gaussiano com média zero. O

processo estocástico n(t), para qualquer instante t é uma variável aleatória Gaussiana com função

densidade de probabilidade (PDF):

p (n) = 1σ √2π

exp(− n2

2σ2 )

onde 2 é a variância de n, dada por: 2 = ∫−∞

∞

n2 pn ndn

A PDF do ruído Gaussiano normalizado com média nula é obtido assumindo uma variância

unitária. Esta PDF normalizada pode ser visualizada na Figura 17.

A Figura 16 ilustra a informação recebida após passar pelo canal de comunicação.

Figura 16: Sinal após passar pelo canal.

Assim, podemos determinar a média e a variância do sinal recebido, z.

E {z} = E {a+ n } = E {a }+ E {n }, mas como o ruído possui média nula, E {n} = 0

E {z} = E {a} = a , ou seja, o valor médio de z é o próprio sinal de informação.

E {(z−a)2} = E {[(a+ n)−a ]2} = E {n2} = σn2 = σz2

Logo, a PDF do sinal recebido, z, é dada por:


p (z ) = 1σz√2π

exp(−(z−a )2

2σz2 )

Neste caso, a PDF ilustrada na Figura 17, está deslocada de a, ou seja, o valor de pico ocorre

quando z = a.

Figura 17: PDF do ruído Gaussiano normalizado.

Ruído Branco

Um modelo simplificado do ruído apresenta uma densidade espectral de potência (

G n( f ) ) plana para todas as frequências. Na pratica vai até a faixa de terahertz (1012 Hz).

G n( f ) =N 0

2[Watts /Hz]

O fator 2 na divisão de G n( f ) indica a PSD de dois lóbulos, ou dois lados. Assim, se uma

largura de banda B for alocada para as frequências positivas, terá uma banda B alocada também

nas frequências negativas.

Como as funções de autocorrelação e densidade espectral de potência estão relacionadas

pela Transformada de Fourier, podemos definir a função de autocorrelação para o ruído Gaussiano


branco:

Rn( τ ) =N 0

2δ(τ )

As funções de densidade espectral de potência e de autocorrelação são apresentadas na

Figura 18.

Figura 18: (a) Densidade espectral de potência do ruído branco; (b) autocorrelação do ruído

branco.

Note que a potência média é infinita porque a largura de banda é infinita.

Pn = ∫−∞

∞ N 0

2df = ∞

Como fica a função de autocorrelação do ruído para uma dada largura de banda B?

Rn( τ ) = ∫BGn( f )df =

N 0

22B = N 0B

Embora a abstração do ruído branco seja muito útil, nenhum processo com ruído consegue

ser verdadeiramente branco. Entretanto, o ruído encontrado em muitos sistemas reais podem

assumir para serem aproximadamente branco, simplificando a análise. Para isso, basta observar o

ruído após este passar por um sistema real com largura de banda finita. Então, quanto maior for a

largura de banda do ruído, sendo muito maior do que a largura de banda do sistema, o ruído pode

ser considerado ter uma largura de banda infinita.

Na função de autocorrelação do ruído branco, a função delta que expressa que o ruído, n(t),

é totalmente descorrelacionado da sua cópia deslocada no tempo para qualquer τ> 0. Como

essas amostras são variáveis aleatórias (v.a.) podemos fazer as seguintes afirmações:


• v.a. descorrelacionadas → v.a. independentes

• v.a. Gaussianas descorrelacionadas → v.a. Gaussianas independentes

• O ruído afeta cada símbolo transmitido independentemente → canal sem memória

• Usamos a sigla AWGN (Additive White Gaussian Noise).

5. Transmissão de Sinais e Processos Estocásticos através de Sistemas Lineares

Um sistema linear pode ser igualmente caracterizado tanto no domínio do tempo quanto

no domínio da frequência. O sinal de entrada, mostrado na Figura 19, pode descrito tanto no

domínio do tempo, x(t), como no domínio da frequência, X(f), tendo como sinal de saída,

respectivamente, y(t) e Y(f). O sistema linear é definido no domínio do tempo como a resposta ao

impulso, h(t); e no domínio da frequência é chamado de função de transferência, H(f). O sistema

além de ser linear, também é invariante no tempo.

Figura 19: Sistema linear considerando um sinal qualquer na entrada.

h(t) → resposta ao impulso

H(f) → função de transferência

y t = x t ∗ht = ∫−∞

∞

x ht−d

Y f = X f H f

H f =Y f X f


Figura 20: (a) Sinal de entrada x(t) igual a função impulso; (b) sinal de saída y(t) é a resposta ao

impulso do sistema h(t).

Figura 21: Sistema linear de um processo estocástico.

Se um processo estocástico está na entrada de um sistema linear invariante no tempo, a

saída também será um processo estocástico, como ilustra a Figura 21. Logo, para cada função

amostra na entrada terá uma função amostra na saída. A densidade espectral de potência na

entrada GX f e a densidade espectral de potência na saída GY f são relacionada da

seguinte forma:

RX = E {x t x t−}

RY = E {y t y t−} = E {x t ∗h t x t−∗h t }

RY = RX ∗ht ∗conj h t = R X ∗ht ∗h −t

GY f = GX f H f conj H f

GY f = GX f ∣H f ∣2

Propriedade: Se x(t) for um processo estocástico (PE) Gaussiano, então y(t) também será

um PE Gaussiano. E se a média na entrada for zero, também será na saída.


6. Canal de Comunicação Ideal (sem distorção)

O sinal de saída de uma transmissão por um canal ideal pode apresentar um certo atraso

comparado com o sinal de entrada, e também, uma amplitude diferente com relação à entrada,

sendo apenas uma mudança de escala. Mas de forma alguma deve apresentar distorção, ou seja, o

sinal de saída deve manter a mesma forma que o sinal de entrada. Assim, a saída pode ser descrita

da seguinte forma:

y t = K x t−t 0

onde K e t0 são constantes. Realizando a Transformada de Fourier em ambos os lados, temos:

Y f = K X f e− j2 ft0

Substituindo Y(f) em H f =Y f X f

, a função de transferência de um canal ideal pode

ser definida como:

H f =K X f e− j2 ft0

X f = K e− j2 ft0

Para alcançar uma transmissão ideal sem distorção a resposta sobre todo o sistema deve

ser uma resposta de magnitude constante e o deslocamento de fase deve ser linear com a

frequência. Assim, não é suficiente o sistema amplificar ou atenuar todas as componentes de

frequência igualmente. Mas todas as componentes de frequência devem também chegar ao

mesmo tempo, ou seja, com o mesmo atraso. Tendo em vista que o deslocamento de atraso do

sinal, t0, está relacionada a um deslocamento de fase e da frequência angular, w = 2 f , logo:

t 0 = [radianos ]

2 f [ radianossegundo

][ segundo]

A resposta em frequência de um canal ideal é mostrada na Figura 22.

É claro que o deslocamento de fase deve ser proporcional a frequência para que o atraso de

todas as componentes do sinal seja o mesmo. Uma característica normalmente utilizada para

medir a distorção de atraso de um sinal é chamado de atraso de grupo, que é definido como:

f = − 12

d f df


Figura 22: Resposta em frequência de um canal ideal.

Figura 23: (a) Filtro ideal passa-banda; (b) filtro ideal passa-baixa; (c) filtro ideal passa-alta.


Logo, para um canal de comunicação sem distorção (ideal), uma forma de caracterizar a

fase para ser linear com a frequência é caracterizar o atraso de grupo para ser constante.

Na prática, um sinal será distorcido ao passar por algumas partes do circuito, assim,

correções de fase e de amplitude são introduzidas, equalização, para corrigir as distorções

impostas ao sinal.

Infelizmente um sistema com canal de comunicação ideal não é realizável, devido a função

de transferência do canal, H f = K e− j2 ft0 = ∣H f ∣e− j f , necessitar de uma função de

transferência infinita. Uma aproximação de um canal ideal, com largura de banda infinita, é truncar

a banda entre fl e fu de forma que todas as componentes de frequência entre estas passem sem

distorção. Sendo fl a frequência de corte mais baixa e fu a frequência de corte mais alta. Esta

técnica implementamos o filtro ideal, como é ilustrado na Figura 23 os filtros ideiais passa-bada,

passa-baixa e passa-alta.

A resposta ao impulso de um filtro ideal passa-baixa, ilustrado na Figura 24 é:

h t = ∫−∞

∞

H f e j2 ft df = ∫− f u

f u

H f e j2 ft df

onde:

H f = ∣H f ∣e− j f ,

∣H f ∣ = 1 para∣ f ∣ f u , e = 0 para o resto

e− j f = e− j2 ft0

Assim:

h t = ∫− f u

f u

e− j2 ft0 e j2 ft df = ∫− f u

f u

e j2 f t−t 0df

h t = 2f usen 2 f ut−t 0

2 f ut−t 0= 2f u sinc2f ut−t 0

A resposta ao impulso é não causal, o que significa que a saída é zero antes de ser aplicado

qualquer valor na entrada no instante t = 0.

Deve ficar claro, que o filtro ideal não é realizável.


Figura 24: Resposta ao impulso de um filtro ideal passa-baixa.

Qual efeito de um filtro ideal em um ruído branco? Seja um ruído branco com densidade

espectral de potência G n f =N 0

2na entrada de um filtro ideal passa-baixa. A densidade

espectral de potência e a função de autocorrelação na saída deste filtro são:

GY f = G n f ∣H f ∣2

GY f = 2 para ∣ f ∣ f u , e zero para o restante

RY = N 0 f usen 2 f u

2 f u= N 0 f u sinc 2 f u

Note que RY tem o mesmo formato que a resposta ao impulso do filtro ideal, h(t). O

filtro ideal passa-baixa a função de autocorrelação do ruído branco, definida como a função delta,

em uma função sinc. Após o filtro, não teremos mais ruído branco. O sinal de ruído na saída terá

correlação zero com as suas cópias deslocadas, apenas para os deslocamentos de = n/2f u ,

sendo n um valor inteiro qualquer diferente de zero.


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