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CE062 - Tópicos em Biometria

Silva, J.P; Taconeli, C.A.

17 de outubro, 2019

Silva, J.P; Taconeli, C.A. CE062 - Tópicos em Biometria 17 de outubro, 2019 1 / 1

Módulo 4 - Curvas de referência (curvas centílicas)

Módulo 4 - Curvas de referência (curvascentílicas)



Introdução

Na construção de faixas de referência, é comum os valores da variávelde interesse dependerem de alguma covariável contínua;

O caso mais típico é quando a covariável em questão trata-se da idadedo indivíduo;

Neste caso, variáveis referentes ao crescimento, composição corporal eestado nutricional têm suas distribuições alteradas ao longo da infância,adolescência,. . . ;

Chamamos de curvas de referência (ou curvas centílicas) arepresentação gráfica das faixas de referência que variam conforme osvalores de uma covariável contínua.



Introdução

O centil 100p de uma variável aleatória y é o valor yp tal queP(y ≤ yp) = p;

Assim, yp = F−1(p), 0 < p < 1 é a função quantil de y ;

Na construção de curvas centílicas consideramos os centis de ycondicionais ao valor de uma covariável x , representados poryp(x) = F−1

y |x (p);

Variando o valor de x , obtemos uma sequência de valores para yp(x)que permitirão a construção da curva centílica 100p.



Introdução

A Organização Mundial de Saúde utiliza as seguintes curvas centílicascomo referência para padronização de medidas antropométricas:

100p = (3, 15, 50, 85, 97), em seus gráficos;

100p = (1, 3, 5, 15, 25, 50, 75, 85, 95, 97, 99), em suas tabelas.



Introdução

Figura 1: Caso 1: curvas de referência (ilustração 1)



Introdução




Introdução

Figura 4: Expectativa e realidade



Introdução




Construção de curvas de referência

O método LMS, proposto originalmente em Cole and Green (1992), éreferência para a construção de curvas de referência;

As curvas de referência são obtidas modelando a locação, a dispersão ea assimetria da variável de interesse como funções suaves (nãoparamétricas) da covariável x ;

Dessa forma, é permitido que não apenas a locação (ou mediana) dadistribuição da resposta (chamemos de w) varie conforme x , mastambém sua escala e forma;

Adicionalmente, o ajuste de funções suaves (splines, por exemplo) de xpermite maior flexibilidade e a modelagem de relações não lineares.



O método LMSSuponha que w uma variável aleatória que assume valores positivoscom mediana µ, e que yν (ou ln(y), para ν = 0) tenha distribuiçãoNormal;

Nesse contexto podemos considerar a família de transformações deBox-Cox:

y = (w/µ)ν − 1ν

, ν 6= 0

ou

y = ln(w/µ), ν = 0.

Esta transformação mapeia a mediana de w para y = 0, e é contínuaem w = 0.



O método LMS

A variável transformada y tem distribuição Box-Cox Cole and Gren(BCCG) de parâmetros µ, σ e ν, com função densidade deprobabilidade:

f (y ;µ, σ, ν) = 1√2πσ

yν−1

µνexp

(−z2

2

),

onde z = [(y/µ)ν − 1] /(νσ), se ν 6= 0, ou z = ln(y/µ)/σ, se ν = 0, paray > 0, µ > 0, σ > 0 e ν ∈ (−∞,+∞).



O método LMS

O método LMS baseia-se no ajuste do seguinte modelo:

y |x ∼ BCCG(µ, σ, ν);g1(µ) = s1(u)g2(σ) = s2(u)g3(ν) = s3(u)u = x ε

em que g1, g2 e g3 são funções de ligação, e s1, s2 e s3 são funçõessuavizadoras (splines).

O parâmetro ε permite transformar também a covariável usando umatransformação do tipo potência, e também deve ser estimado.



O método LMS

Como alternativas à distribuição BCCG, temos outros modelosconstruídos a partir da introdução de um parâmetro de potência (ν) adistribuições alternativas à normal.

Dependendo da alternativa usada, temos condições de modelar nãoapenas locação, escala e assimetria, mas também a curtose de y comofunção suave de x ;

Os casos mais usuais são as distribuições Box-Cox t (BCT) e Box-Coxpower exponential (BCPE), brevemente descritas na sequência.



O método LMS

A variável aleatória y , com distribuição BCT de parâmetros µ, σ, ν eτ , tem função densidade de probabilidade:

f (y ;µ, σ, ν, τ) = yν−1

µνσ

Γ [(τ + 1)/2]Γ(1/2)Γ(τ/2)τ0.5

[1 + (1/τ)z2

]−(τ+1)/2,

onde z = [(y/µ)ν − 1] /(νσ), se ν 6= 0, e z = log(y/µ)/σ se ν = 0, paray > 0, µ > 0, σ > 0, ν ∈ (−∞,+∞) e τ > 0.



O método LMS

A variável aleatória y , com distribuição BCPE de parâmetros µ, σ, ν eτ , tem função densidade de probabilidade:

f (y ;µ, σ, ν, τ) =yν−1τ exp

[−1

2∣∣ z

c∣∣τ ]

µνσ2(1+1/τ)Γ(

1τ

) ,

onde c =[2(−2/τ)Γ(1/τ)/Γ(3/τ)

]0.5, e z = [(y/µ)ν − 1] /(νσ), se ν 6= 0,

e z = log(y/µ)/σ se ν = 0, para y > 0, µ > 0, σ > 0, ν ∈ (−∞,+∞) eτ > 0.



O método LMS

Para ambas as distribuições BCT e BCPE, curvas de referência podemser obtidas ajustando o modelo:

y |x ∼ BCT(ou BCPE)(µ, σ, ν, τ);g1(µ) = s1(u)g2(σ) = s2(u)g3(ν) = s3(u)g4(τ) = s4(u)u = x ε

em que g1, g2, g3 e g4 são funções de ligação, e s1, s2, s3 e s4 são funçõessuavizadoras (splines).



Seleção de modelos na construção de curvascentílicas

A seleção do modelo para construção de curvas centílicas requer aespecificação da distribuição (D), da suavização aplicada em cadaparâmetro (definida pelos respectivos graus de liberdade,dfµ, dfσ, dfν , dfτ ), e o parâmetro de potência (ε);

Diferentes procedimentos foram propostos para seleção de modelos,baseados, dentre outros, na minimização de AIC, BIC ou namaximização da verossimilhança penalizada.

A penalização atua sobre a falta de suavidade dos ajustes, prevenindooverfitting (excesso de ajuste);

A função lms() do pacote gamlss implementa a seleção de modelos eajuste de curvas centílicas;



Curvas centílicas

Uma vez ajustado o modelo, para cada particular valor x para acovariável, a faixa de referência de ordem p (0 < p < 0.5) fica definidapor:

(l1; l2) =(F−1(p; µ̂x , σ̂x , ν̂x , τ̂x );F−1(1− p; µ̂x , σ̂x , ν̂x , τ̂x )

),

ou seja, pelos quantis p e 1− p estimados pelo modelo.



Predição

No contexto de curvas centílicas, as seguintes formas de predição sãopossíveis:

1 Para novos valores de x , predizer níveis de referência (centis de ordem)p de y , ou seja:

Determinar yp tal que P(Y ≤ yp) = p;

2 Para novos valores de x , predizer escores normalizados (centis z), deordem p:

Determinar z tal que P(Z ≤ z) = P(Y ≤ yp) = p.



Predição

Figura 8: Cálculo do escore normalizado


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