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ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, So Carlos, v. 9, n. 38, p. 137-158, 2007

OTIMIZAO DE COMPONENTES DE CONCRETO PR-MOLDADO PROTENDIDOS MEDIANTE

ALGORITMOS GENTICOS

Vanessa Cristina de Castilho1; Mounir Khalil El Debs2; Maria do Carmo Nicoletti3

R e s u m o

Este trabalho trata da otimizao de painis alveolares e vigotas protendidas utilizando Algoritmos Genticos (AGs). A proposta de tal algoritmo foi inspirada no princpio da seleo natural de indivduos, onde o mais apto tende a permanecer na populao e se reproduzir, passando seu cdigo gentico para a prxima gerao. Em muitas situaes esse mtodo pode ser considerado uma abordagem alternativa aos mtodos tradicionais de otimizao. O principal objetivo do trabalho investigar o uso de AG como uma tcnica para a minimizao da funo custo da aplicao de painis alveolares e de vigotas protendidas. Na abordagem do problema esto includas as verificaes dos elementos nas etapas transitrias referentes produo, transporte e montagem. A funo custo avaliada considerando valores da realidade brasileira. O trabalho de pesquisa compara os resultados obtidos utilizando AGs com aqueles obtidos utilizando o mtodo de otimizao convencional conhecido como mtodo do Lagrangiano Aumentado. Foram propostas e analisadas trs famlias do AG simples, buscando identificar, dentre seus elementos, quais variantes mais adequados na busca da soluo dos problemas. Palavras-chave: painel alveolar, vigota protendida, lajes, algoritmos genticos, otimizao estrutural, minimizao de custos, mtodo Lagrangiano Aumentado

1 INTRODUO

Projetos com solues otimizadas tm sempre atrado pesquisadores da rea de Engenharia Estrutural. Poucos tpicos da anlise estrutural tm chamado tanta ateno quanto o da otimizao. Atualmente existem inmeros estudos nesta rea, quase sempre com o objetivo de desenvolver melhores mtodos para representar de maneira eficiente o problema analisado e buscar sua rpida soluo (tima, quando possvel).

Em geral, em um problema de otimizao h a necessidade de identificar as variveis envolvidas e seus limites de variao, bem como as constantes relevantes

1 Professora da Faculdade de Engenharia Civil da Univ. Federal de Uberlndia, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected] 3 Professora do Departamento de Computao da UFSCar, [email protected]

Vanessa Cristina de Castilho; Mounir Khalil El Debs; Maria do Carmo Nicoletti

Cadernos de Engenharia de Estruturas, So Carlos, v.9, n. 38, p. 137-158, 2007

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ao problema, de maneira a poder equacion-las em relaes matemticas, com o objetivo de representar formalmente o problema e suas restries para ento buscar a sua soluo. A soluo do problema consiste, basicamente, em encontrar uma soluo (a tima) que identifica um ponto de mximo ou de mnimo de uma funo objetivo, sujeita a algumas restries.

Vrios estudos e experimentos tm sido realizados na rea de Engenharia Estrutural utilizando, principalmente, mtodos convencionais de otimizao (o mtodo Lagrangiano, por exemplo). As pesquisas nesta rea, no mbito mundial, focalizam quase sempre, a minimizao do custo das estruturas em geral.

No mbito mundial, h vrios estudos na rea de otimizao estrutural que utilizam tais mtodos como, por exemplo, o trabalho de LOUNIS & CONH (1993) que minimizam o custo de produo e montagem de lajes e vigas de concreto protendido para pontes usando o mtodo Lagrangiano e o trabalho de KOSKITO & ELLINGWOOD (1997), que usa o mtodo de confiabilidade para resolver a minimizao do custo de produo de um painel alveolar.

No Brasil a utilizao dos mtodos convencionais de otimizao bastante difundida na anlise estrutural, focalizando principalmente a minimizao de custos. Destacam-se, nesta rea, vrios trabalhos tal como o de SOARES (1997) que desenvolve uma formulao para a minimizao do custo de uma seo transversal de uma viga e o de KRIPKA (1998) que investiga o uso de tcnicas de programao matemtica para reduzir e uniformizar os esforos em grelhas, em funo do posicionamento dos apoios.

Apesar do relativo sucesso na utilizao dos mtodos convencionais de otimizao na rea de anlise estrutural, tais mtodos tm algumas limitaes. Entre elas, conforme apontado em GOLDBERG (1989) e GEN & CHENG (1997): dificuldades na identificao de solues timas globais, em geral; dificuldades quando o problema envolve variveis contnuas e discretas; no so aplicveis otimizao multiobjetivos; no so indicados para programao em paralelo; tm domnio de aplicao restrito; no podem ser aplicados a alguns problemas de otimizao estrutural, onde as funes objetivo no so diferenciveis. Nesses casos preciso lanar mo de estratgias que no consideram derivadas ao longo do processo de otimizao.

Devido principalmente a essas limitaes, pesquisas nesta rea tm se voltado para a identificao de mtodos alternativos mais flexveis, que possam alcanar os mesmos resultados obtidos pelos mtodos convencionais. Os mtodos heursticos, como so denominados, utilizam estratgias mais simples e, geralmente, encontram uma boa soluo para diversos problemas de otimizao de um modo razoavelmente rpido e eficiente.

Os mtodos heursticos apresentam estratgias adicionais que buscam superar algumas limitaes dos mtodos convencionais. Dentre os mtodos heursticos mais utilizados esto: Redes Neurais Artificiais (RNA), Simulated Annealing (SA), Tabu Search (TS), GRASP e Computao Evolutiva incluindo Algoritmos Genticos (AGs), Scatter Search e Programao Gentica.

Dentre os inmeros mtodos existentes na literatura, o que se destaca pela eficincia, aquele baseado em Algoritmo Gentico. A proposta de tal algoritmo foi

Otimizao de componentes de concreto pr-moldado protendidos mediante algoritmos...


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inspirada no princpio da seleo natural de indivduos, onde o mais 'apto' tende a sobreviver e se reproduzir, passando seu cdigo gentico para a prxima gerao.

Vrios trabalhos na rea de otimizao estrutural, principalmente os que envolvem estruturas de ao, vm sendo desenvolvidos utilizando a tcnica de AGs [JENKIS (1997)]. No caso do concreto, geralmente, os problemas de otimizao so tratados via tcnicas convencionais de programao matemtica. Quando comparado ao problema do projeto timo de estruturas de ao, o problema do projeto timo de estruturas de concreto mais complexo uma vez que envolve um nmero maior de variveis. Quando do projeto timo de estruturas de ao, geralmente apenas um material (ao) considerado e o custo da estrutura proporcional a seu peso.

A otimizao de estruturas de concreto pr-moldadas, bem como a de seus elementos, de grande interesse principalmente devido forma como tais elementos so produzidos. No caso do elemento pr-moldado, tambm fazem parte da descrio do problema as etapas transitrias correspondentes execuo, transporte, e montagem, que podem apresentar solicitaes mais desfavorveis que as de estruturas moldadas no local. Essas etapas, de acordo com EL DEBS (2000) podem ser definidas como: produo execuo de elementos pr-moldados; transporte translado da rea de execuo at o local de montagem e montagem colocao dos elementos no local definitivo e efetuao das ligaes.

Para representar o problema de minimizao de custos de estruturas de concreto pr-moldado com vistas a obter uma soluo mais robusta, os custos de todas essas etapas devero fazer parte da representao do problema. Tendo em vista tanto a facilidade de implementao quanto alguns resultados promissores encontrados na literatura, o uso de AG no domnio da Engenharia Estrutural parece ser uma alternativa vivel para a soluo de problemas de otimizao.

O principal objetivo deste trabalho foi investigar AGs como tcnica de otimizao no domnio de Engenharia Estrutural, mais especificamente, concreto pr-moldado, focalizando principalmente a facilidade de representao do problema, a adeqabilidade para a busca de soluo, as vantagens e desvantagens, as limitaes e o impacto da escolha da representao de dados e dos parmetros genticos na soluo do problema. O trabalho investiga o uso de AG na otimizao da aplicao de elementos pr-moldados em lajes, focalizando dois elementos: painel alveolar e vigota protendida. Um objetivo subjacente ao objetivo principal do trabalho foi o de abordar os problemas via um mtodo convencional o mtodo do Lagrangiano Aumentado [MARTNEZ (1997)]. Buscou-se com isso obter resultados que permitissem subsidiar uma anlise emprica comparativa entre AGs e um mtodo convencional de otimizao.

2 CONSIDERAES SOBRE O PROJETO E APLICAO DE ELEMENTOS PR-MOLDADOS PROTENDIDOS EM LAJES

2.1 Painel Alveolar

Painis alveolares so os elementos pr-moldados mais empregados no mundo, em especial na Amrica do Norte e Europa Ocidental. A aplicao mais



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comum desse tipo de elemento em lajes, mas podem tambm ser empregado em sistemas de fechamentos. No caso de lajes podem ou no ser compostos de uma capa de concreto moldado no local, formando seo composta.

Geralmente os painis alveolares so tambm chamados de laje vazada ou oca. Os vazamentos desses elementos podem assumir forma circular, oval, pseudo elipse, retangular, etc. Normalmente esses elementos so de concreto protendido e so projetados para funcionar simplesmente apoiados.

Painis alveolares podem ser produzidos utilizando frmas fixas ou, mais comumente, usando uma extrusora ou frma deslizante, em uma pista de concretagem. Neste caso, os painis so produzidos utilizando todo o comprimento da pista e, posteriormente, so serrados no comprimento desejado. Na anlise estrutural das lajes executadas com painis alveolares admite-se que o comportamento do elemento corresponda ao de laje armada em uma direo. A faixa de vos em que esse tipo de elemento empregado est entre 5m e 15m e a largura entre 1,00m a 1,20m, podendo chegar a 2,50m. As alturas variam de 15cm at 30cm, podendo excepcionalmente atingir 50cm.

Segundo EL DEBS (2000), o dimensionamento de painis alveolares, feitos em pistas de protenso, apresenta as seguintes particularidades.

a armadura dos painis constituda apenas de armadura ativa, na parte inferior e, muitas vezes, tambm na mesa superior;

no existe armadura especial para resistir fora cortante e nem para solicitaes na direo transversal, o que obriga a contar com a resistncia trao do concreto para resistir a essas solicitaes;

a colocao de armaduras adicionais praticamente invivel devido ao processo de execuo e a colocao de conectores metlicos usada em situaes particulares.

2.2 Vigotas Protendidas

Um sistema de laje comumente utilizado no Brasil com faixas de vos relativamente pequenos aquele conhecido por laje com vigotas pr-moldadas. As lajes formadas por vigotas pr-moldadas so constitudas por elementos pr-moldados (as nervuras), elementos de enchimento tais como blocos vazados ou de poliestireno expandido (EPS), que so colocados sobre os pr-moldados e o concreto moldado no local.

As nervuras utilizadas no Brasil so de seo T invertido, em concreto armado ou concreto protendido ou com uma armadura em forma de trelia que projeta para fora da seo (a chamada laje com armao treliada). As vigotas de concreto protendido, objeto de estudo deste trabalho, so produzidas em grandes pistas de protenso em frmas fixas ou frmas deslizantes, de maneira semelhante aos painis alveolares. Geralmente esse tipo de laje permite vos da ordem de 10m.

O comportamento estrutural das lajes formadas por vigotas pr-moldadas corresponde aos das lajes armadas em uma direo (lajes unidirecionais), com seo resistente composta pela parte pr-moldada e pelo concreto moldado no local. O



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manuseio desses elementos feito sem o auxlio de equipamentos. O transporte realizado por caminhes e a montagem realizada manualmente. Utiliza-se ainda cimbramento para receber as nervuras, que permanece at o concreto moldado no local endurecer. Recomenda-se utilizar uma armadura na capa de concreto disposta nas duas direes que denominada armadura de distribuio.

No projeto estrutural desse tipo de laje, o clculo das solicitaes normalmente feito considerando a laje como viga, simplesmente apoiada ou contnua, conforme o caso. A seo resistente das nervuras pode ser considerada como a da parte pr-moldada somada parte moldada no local. Algumas diretrizes devem ser seguidas para o dimensionamento de lajes com vigotas protendidas. So elas:

Verificao da vigota isolada verificao do elemento aps a transferncia da fora de protenso;

Verificao da vigota na fase de construo deve ser verificada a necessidade ou no de escoramento;

Estado limite de fissurao deve ser projetada de tal forma que previna os efeitos da fissurao;

Estado limite de deformao deve ser projetado levando em considerao os efeitos instantneos e de retrao e fluncia;

Estado limite ltimo para solicitaes tangenciais verificao de resistncia fora cortante de elementos sem armadura transversal e verificao do cisalhamento da interface entre os dois concretos;

Estado limite ltimo para solicitaes normais verificao da resistncia para as solicitaes normais.

3 ALGORITMOS GENTICOS

3.1 Preliminares

Algoritmos Genticos (AGs) so algoritmos de busca que fazem uso de conceitos da Gentica e se baseiam nos mecanismos de evoluo de populaes de seres vivos. A proposta do AG foi inspirada no princpio da seleo natural e sobrevivncia do mais apto estabelecido por Charles Darwin. De acordo com esse princpio, em uma populao de indivduos aqueles com boas caractersticas genticas apresentam maiores chances de sobrevivncia e reproduo, enquanto indivduos menos aptos tendem a desaparecer durante o processo evolutivo (GOLDBERG (1989) e MICHALEWICZ (1996)). De maneira simplificada um AG tpico pode ser definido com o pseudocdigo mostrado na Figura 1. Um AG inicializado com uma populao de solues potenciais. Essas solues so geradas randomicamente e representam pontos espalhados do espao de busca que representam solues potenciais do problema.



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procedure AG begin

t 0 inicializa(p(t)) avalia(p(t)) while (not termination-condition) do

begin t t + 1 seleciona p(t) de p(t-1) cruzamento(p(t)) mutao(p(t)) avalia(p(t))

end end

Figura 1 - Algoritmo gentico tpico

3.2 Funo Aptido

A aptido um valor que expressa quo boa a soluo codificada por um cromossomo. Os cromossomos que tm melhores valores de aptido tero maiores chances de passarem gerao seguinte (via cruzamento ou elitismo). Cada cromossomo tem um valor de aptido a ele associado que, para um problema de otimizao estrutural com restrio dado pela equao (1).

F(x) = f(x) + pen(x) (1)

No existe uma orientao geral quando da definio da funo penalidade para problemas de otimizao com restrio. Neste trabalho adotada a funo

penalidade definida pela seguinte equao linear pen(x)= 1000=

m

1iic , onde:

m- nmero de restries; ci- valor associado restrio gi(x), calculado como:

se gi(x) 0 ento ci = 0 seno ci = 1

se gi(x) 0 ento ci = 0 seno ci = 1

3.3 Seleo

Inspirado no processo de seleo natural de seres vivos, o algoritmo gentico via operador de seleo, escolhe os melhores cromossomos da populao para determinar quais indivduos podem participar da fase de reproduo e contribuir na formao da gerao seguinte. O processo de reproduo se d atravs de um operador gentico denominado cruzamento. As formas de selecionar indivduos da populao para a reproduo, utilizadas neste trabalho, so: seleo rank, seleo MGA, seleo da roleta e seleo torneio.

seleo rank: os cromossomos so classificados por valor de aptido. Os melhores cromossomos possuem as melhores posies e, conseqentemente, maiores chances de reproduo;

seleo MGA: a seleo MGA foi proposta deste trabalho (CASTILHO (2003) e CASTILHO et al (2002b)) e baseada na seleo rank. A estratgia



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implementada pelo MGA se caracteriza por classificar a populao usando o valor da funo de avaliao de cada indivduo. Se a taxa de cruzamento for de x%, os x% primeiros indivduos sero selecionados para o cruzamento. Via de regra a seleo MGA implementa tambm um processo de restaurao da populao ao seu tamanho original de Npop indivduos;

seleo da roleta: nesta abordagem a probabilidade de seleo proporcional aptido do indivduo. A analogia com uma roleta lembrada porque pode se imaginar os indivduos da populao dispostos como uma roleta, onde a cada indivduo alocado uma seo da roleta que proporcional sua aptido. A partir de pi, calcula-se a probabilidade acumulada (qi) de cada cromossomo. Durante o processo de seleo a roleta girada Npop vezes, elegendo indivduos para a reproduo. Indivduos com maiores valores de probabilidade de seleo possuem maiores chances de serem escolhidos. Girar a roleta equivalente a gerar aleatoriamente um nmero r [0,1]. Se r q1 ento o primeiro cromossomo selecionado, caso contrrio selecionado o i-simo cromossomo si tal que

i1i qrq



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Pode-se tambm utilizar um operador de cruzamento mais simples denominado de crossover uniforme. Esse cruzamento produz apenas um filho cujas componentes ai (i=1,,n) so escolhidas aleatrias (uniforme) no intervalo (pi , mi]). Outro cruzamento referenciado na literatura o cruzamento simples, que pode ser considerado como o crossover de um ponto da representao real, realizando a troca de informao entre cromossomos (pai e me) a partir de um ponto escolhido.

b) Representao binria:

um-ponto: um ponto de cruzamento escolhido e a partir deste ponto as informaes genticas dos pais so trocadas (Figura 2).

Pai 1 0 1 0 1 1 0 Me 0 1 1 1 0 0 1 Filho1 1 0 1 1 0 0 1 Filho2 0 1 1 0 1 1 0

Figura 2 - Cruzamento um-ponto multipontos: troca de material gentico usando mais de um ponto, como ilustra a

Figura 3.

Pai 1 0 1 0 1 1 0 1 1 Me 0 1 1 1 0 0 1 0 0 Filho1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 Filho2 0 1 1 0 1 1 1 0 0

Figura 3 - Cruzamento dois pontos uniforme: no utiliza pontos de cruzamento mas determina, atravs de uma

mscara de bits aleatrios, quais genes de cada pai sero herdados por cada um dos filhos. Se o primeiro bit da mscara for 1, o primeiro bit do pai copiado para o primeiro bit do filho1; caso contrrio, o primeiro bit da me copiado para o primeiro bit do filho1. O processo se repete para todos os bits. Na gerao do segundo filho o papel dos pais invertido; se o bit da mscara for 1, ento ser copiado o bit da me; se o bit for 0 ser copiado o bit do pai. O cruzamento uniforme est ilustrado na Figura 4.

Mscara 1 1 0 0 1 0 0 1

Pai 1 0 1 0 1 1 0 0

Me 0 1 1 1 0 0 1 1

Filho1 1 0 1 1 1 0 1 0

Filho2 0 1 1 0 0 1 0 1

Figura 4 - Cruzamento uniforme



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varivel a varivel (Var_Var): uma tcnica de cruzamento proposta em HASANCEBI & ERBATUR (1998). Neste tipo de cruzamento os pares de indivduos que sero cruzados, so decompostos nas substrings que representam cada uma das variveis que equacionam o problema e esto representadas no cromossomo. Posteriormente define-se aleatoriamente um ponto de cruzamento prprio de cada substring e executa-se o cruzamento de um-ponto para cada varivel (substring), como mostra a Figura 5. O fato da representao binria de cada varivel envolvida ter seu prprio ponto de cruzamento confina a troca de informao dentro do escopo de cada uma das variveis.

x1 x2 x3 Pai 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 Me 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 Filho1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 Filho2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

Figura 5 - Tcnica de cruzamento varivel a varivel 3.4.2 Mutao

A utilizao do operador de mutao tem como objetivo a introduo e manuteno da diversidade gentica da populao. Desta forma, a mutao assegura que a probabilidade de examinar qualquer ponto do espao de busca nunca ser zero; contorna tambm o problema de mnimos locais. O operador de mutao aplicado aos indivduos com uma probabilidade dada pela taxa pm (0,0001pm0,1). a) Representao real: assim como para operadores de cruzamento, existem vrios operadores de mutao na codificao real. A mutao utilizada foi a randmica ou tambm chamada de mutao aleatria, que a simples substituio de um gene por um nmero escolhido aleatoriamente no intervalo permitido pelo problema.

b) Representao binria: na representao binria, altera-se arbitrariamente um ou mais genes de um indivduo.

4 DESCRIO E SOLUO DO PROBLEMA DE MINIMIZAO DO CUSTO DE PAINIS ALVEOLARES

Nesta Seo investigado o uso de AG na busca da soluo para o problema de minimizao do custo de produo e aplicao de um painel alveolar (CASTILHO et al (2002a)). So apresentados e discutidos tambm os resultados obtidos para a soluo do mesmo problema, usando o Mtodo do Lagrangiano Aumentado implementado via o software EASY (www.ime.unicamp/~martinez). Para a obteno dos resultados usando AGs foram feitas implementaes em C++, sob ambiente operacional Windows NT.

No equacionamento da funo so inseridos os custos de execuo, transporte externo e aplicao, usando os valores cedidos pela empresa Marka



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situada em Franca, SP e alguns obtidos na Revista Construo4. Os custos envolvidos na execuo englobam: custos de matria-prima, custos adicionais, custos indiretos administrativos e custos tributrios. O custo de transporte externo envolve os custos de transporte da fbrica ao local da obra. Os custos envolvidos na aplicao englobam os custos de: custos de montagem, custos do concreto da capa, custos da armadura complementar e custos indiretos administrativos (CASTILHO (2003)). Assim sendo, as prximas subsees vo tratar da busca da soluo via dos problemas: minimizao da funo custo relativa produo de painel alveolar sem capa estrutural para uma determinada aplicao, via AG e via o mtodo convencional EASY e minimizao da funo custo relativa produo de painel alveolar com capa estrutural para uma determinada aplicao, via AG e via o mtodo convencional EASY.

4.1 Otimizao de Painel Alveolar sem Capa Estrutural

Nesta seo investigado o uso de algoritmo gentico na busca da soluo para o problema de minimizao do custo de um painel alveolar considerando apenas uma capa de concreto moldado no local, para regularizao, de 4cm, para uma determinada situao. Foram consideradas protenso limitada e armadura localizada em um nvel apenas. As variveis do problema so a altura do painel (x1), a armadura (x2) e a resistncia do concreto (x3). A seo transversal do painel mostrada na Figura 6 com largura de 120cm. O dimensionamento segue as recomendaes das normas NBR 7197 da ABNT (1986) e NBR 6118 da ABNT (2001).

120cm

x1

x2

x1 altura do painel alveolar

x2 armadura de protenso

Figura 6 - Laje alveolar sem capa estrutural 4.1.1 Funo Custo Total

O problema de minimizao do custo de tal laje se resume ao problema de minimizao de f(x) (x = (x1,x2,x3)). O problema em questo se configura como um problema de minimizao sujeito restries, conforme detalhado em CASTILHO (2003), e pode ser equacionado da seguinte forma:

4 Construo, So Paulo, n. 2782, 4/6/2001



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Minimizar: f(x)= +++++ )0721,0)xlog(063,0)(25,74x75,24(1,1x0528,0663,12)xlog(578,11 1311

21 x4075,2)0721,0)xlog(0633,0( + Sujeita s seguintes restries:

Verificao do estado em vazio

Verificao do estado em servio:

Verificao do estado limite de utilizao de controle da deformao:

Verificao do estado limite ltimo solicitaes normais:

Verificao do estado limite ltimo solicitaes tangenciais

Alm dessas restries, as variveis que definem a funo devem satisfazer s seguintes desigualdades: 10 x1 45; 2,2 x2 12; 30 x3 50.

4.1.2 A Busca da Soluo do Problema via AG

Como um dos objetivos deste trabalho foi o de investigar as diferentes caractersticas e os diferentes valores que parmetros genticos podem assumir, buscando identificar a customizao do AG mais conveniente para o problema em questo, o algoritmo AG tpico mostrado na Figura 1 serviu de base para a proposta de vinte e dois AGs variantes. As definies de AGs variantes foram determinadas pelas diferentes combinaes da estratgia de seleo, esquema de reproduo e restaurao da populao ao tamanho original (Npop). Para facilitar e sistematizar as referncias a eles, os AGs variantes foram agrupados em trs famlias diferentes, usando como critrio a estratgia de seleo utilizada por eles. Essas famlias so a MGA, ROLETA e TORNEIO. Na Tabela 1 esto discriminados os valores de vrias caractersticas relativas a AGs, adotadas na implementao.

Para os experimentos foram considerados dois possveis esquemas de reproduo: substituio, avaliador. O esquema de substituio substitui os pais, pelos filhos, a cada gerao e o avaliador considera os valores da funo de avaliao dos pais e dos filhos e, ento, so escolhidos os melhores.

Tabela 1 - Principais caractersticas da implementao do AG Caractersticas Possveis Valores

Elitismo 1 indivduo Populao 100 Representao de dados real Estratgia de seleo MGA, roleta e torneio Cruzamento Operadores aritmticos com = 2/3 Probabilidade de cruzamento 0,85 Probabilidade de mutao 0,01 Critrio de parada 1000 geraes

4.1.3 Descrio dos Experimentos e Anlise dos Resultados

Uma vez que AGs so bastante sensveis populao inicial, o valor relativo a cada um dos experimentos descrito nas prximas tabelas a mdia dos valores obtidos em dez execues (run), cada uma delas tendo uma populao inicial gerada



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randomicamente. A Tabela 2 nomeia e descreve os elementos dos AGs variantes, identificando o esquema de reproduo adotado em cada um deles, bem como a estratgia usada para restaurar a populao.

Tabela 2 - Elementos da famlia MGA AGs

Variante Esquema Como populao restaurada a

Npop elementos MGA1, Roleta1, Torneio1 substituio indivduos aleatrios da populao corrente MGA2, Roleta2, Torneio2 substituio indivduos que no participaram do cruzamento MGA3, Roleta3, Torneio3 avaliador indivduos aleatrios da populao corrente MGA4, Roleta4, Torneio4 avaliador indivduos que no participaram do cruzamento

A seguir so apresentados os resultados obtidos para cada famlia.

Famlia MGA

Na Tabela 3 so apresentados o valor da funo custo, o desvio padro, o melhor e o pior absoluto, bem como os valores das trs variveis que definem a funo custo para todas os AGs variantes da famlia MGA.

Pode ser evidenciado na Tabela 3 que os dados relativos aos AGs variantes esto bastante prximos e que o melhor resultado foi o obtido com o MGA1. O nico valor de funo que destoa ligeiramente dos demais o obtido pelo MGA2. Pode se conjecturar duas razes que justifiquem os resultados obtidos. A primeira se deve ao fato do MGA2 restaurar a populao a seu tamanho original, usando indivduos que no participaram do cruzamento (indivduos que, provavelmente, no tiveram bons valores de funo de aptido). A segunda (que no exclui a primeira), seria o esquema de reproduo de substituio, que no leva em considerao valor de aptido quando substitui pais por filhos. Por outro lado, esse esquema tambm utilizado pelo variante MGA1, que obteve os melhores resultados dentre os algoritmos da famlia. Isso nos leva a pensar que o mecanismo de restaurao que influencia negativamente o desempenho do MGA2. Como mostra a Tabela 6, o EASY obteve o melhor desempenho que todos os outros variantes.

Analisando os resultados obtidos pelos variantes MGA2 e MGA4 e pelos variantes MGA1 e MGA3 pode-se inferir que, com o uso da estratgia avaliador o desempenho piora. Com relao aos resultados obtidos pelos variantes MGA1 e MGA2 (que compartilham o mesmo esquema substituio) e pelos variantes MGA3 e MGA4 (que compartilham o mesmo esquema avaliador) pode-se concluir que o mecanismo de restaurao que adota indivduos que no participaram do cruzamento no bom. O MGA2 foi o que teve o pior resultado da famlia.

Tabela 3 - Valores da funo custo e das variveis que a definem para a famlia MGA: x1 altura do painel, x2 rea de armadura e x3 resistncia do concreto FUNO CUSTO vo=6m

(R$/m2) VARIVEIS

AG variante

Valor da funo

Desvio padro

Melhor absoluto

Pior absoluto

x1 (cm)

x2 (cm2)

x3 (kN/cm2)

MGA1 75,91 0,1613 75,80 76,34 21,47 2,67 3,07 MGA2 78,36 0,7857 76,96 79,11 21,27 2,84 3,76 MGA3 76,04 0,3601 75,75 76,85 21,56 2,62 3,12 MGA4 76,42 0,5942 75,76 77,53 21,49 2,54 3,32 EASY 75,75 21,49 2,69 3,00



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Famlia ROLETA

A Tabela 4 apresenta os valores da funo custo, do desvio padro, do melhor e do pior absoluto e das trs variveis que definem a funo custo para todos os AGs variantes da famlia ROLETA. tambm apresentado o valor da funo custo obtido via o mtodo do Lagrangiano Aumentado (EASY).

Tabela 4 - Valores da funo custo e das variveis que a definem para a famlia ROLETA: x1 altura do painel, x2 rea de armadura e x3 resistncia do concreto

FUNO CUSTO vo=6m (R$/m2) VARIVEIS

AG variante

Valor da funo

Desvio padro

Melhor absoluto

Pior absoluto

x1 (cm)

x2 (cm2)

x3 (kN/cm2)

Roleta1 78,62 1,4449 76,89 81,09 22,19 2,83 3,56 Roleta2 78,86 1,3562 76,83 80,73 22,90 2,74 3,46 Roleta3 76,27 0,4576 75,80 77,23 21,66 2,54 3,22 Roleta4 76,28 0,6006 75,75 77,66 22,02 2,59 3,06 EASY 75,75 21,49 2,69 3,00

Considerando os valores mostrados na Tabela 4, referentes Famlia ROLETA, pode ser evidenciado que o melhor valor da funo custo foi obtido pelo variante Roleta3 e o pior pelo Roleta2. Embora os valores encontrados por Roleta1 e Roleta2 estejam relativamente prximos e o variante implementado por Roleta1 tenha obtido um melhor resultado, no se pode afirmar que, para o problema em questo, usando a estratgia da roleta, o procedimento de restaurao mais indicado aquele que considera indivduos aleatrios, dado que para os valores obtidos por Roleta3 e Roleta4, que tambm diferem apenas com relao ao esquema de restaurao, verificou-se tendncia oposta. Tambm, fica difcil fazer qualquer afirmao categrica neste caso dado que os esquemas implementados por Roleta1 e Roleta2 diferem do implementado por Roleta3 e Roleta4. Os resultados fornecidos pelo EASY foram melhores que os resultados obtidos pela famlia ROLETA.

Famlia TORNEIO

A Tabela 5 apresenta os valores da funo custo, desvio padro, melhor e pior absoluto e das trs variveis que definem a funo custo para todos os AGs variantes da famlia TORNEIO. tambm apresentado o valor da funo custo obtido via o mtodo do Lagrangiano Aumentado (EASY).

Tabela 5 - Valores da funo custo e das variveis que a definem para a famlia TORNEIO: x1 altura do painel, x2 rea de armadura e x3 resistncia do concreto

FUNO CUSTO vo=6m (R$/m2) VARIVEIS

AG variante

Valor da funo

Desvio padro

Melhor absoluto

Pior absoluto

x1 (cm)

x2 (cm2)

x3 (kN/cm2)

Torneio1 75,94 0,2552 75,76 76,48 21,60 2,64 3,06 Torneio2 75,85 0,1026 75,77 76,12 21,54 2,68 3,02 Torneio3 76,17 0,2714 75,81 76,53 21,33 2,62 3,23 Torneio4 76,56 0,6829 75,77 77,71 21,69 2,61 3,24

EASY 75,75 21,49 2,69 3,00



150

Como pode ser verificado na Tabela 5, os resultados encontrados por todos os variantes desta famlia esto bastante prximos, o que impossibilita a identificao e recomendao do melhor variante, quando a estratgia de seleo usada o torneio. Embora os resultados estejam muito prximos, os piores resultados so obtidos pelo esquema de restaurao que adota indivduos que no participaram do cruzamento. Da forma como o torneio foi implementado, os esquemas de reproduo e de restaurao da populao a Npop indivduos e eventual uso de populao intermediria pouco influenciam o resultado final. De qualquer forma, qualquer dos variantes no teve um melhor desempenho que o EASY.

4.2 Otimizao de Painel Alveolar com Capa Estrutural

Nesta seo investigado o uso de algoritmo gentico na busca da soluo para o problema de minimizao do custo de um painel alveolar com capa de concreto estrutural, moldada no local. Foram considerados os mesmos critrios definidos no experimento descrito na seo anterior: protenso limitada e armadura localizada em um nvel apenas. As variveis do problema so a altura do painel (x1), a armadura (x2), a resistncia do concreto (x3), a altura da capa de concreto (x4) e a resistncia do concreto moldada no local (x5). A seo transversal mostrada na Figura 7.

120cm

x1

x2

x4

x1 altura do painel alveolar

x2 armadura de protenso

x4 altura da capa de concreto

Figura 7 - Painel alveolar com capa estrutural

4.2.1 Funo Custo Total

O problema de minimizao do custo de tal laje se resume ao problema de minimizao de f(x) (x = (x1, x2, x3, x4, x5)). O problema em questo se configura como um problema de minimizao sujeito restries e conforme detalhado em CASTILHO (2003), pode ser equacionado da seguinte forma:

Minimizar: f(x)= +++++ 41451 x27,1x0528,0x)25,74x75,24(048,0178,13)x(ln578,11

213 x407,2)0721,0)xln(0633,0)(25,74x75,24(1,1 +++ Sujeita s seguintes restries:


Verificao do estado limite ltimo solicitaes normais



151


Alm dessas restries, as variveis que definem a funo devem satisfazer s desigualdades: 10 x1 45; 2,2 x2 12; 30 x3 50; 4 x4 10; 15 x5 30.


Nessa seo investigada a busca da soluo para o problema de otimizao de custos via AG usando o melhor AG variante de cada uma das famlias, identificados na seo anterior, ie, MGA1, Roleta3 e Torneio2. Para cada um desses AGs variantes, esta seo investiga o impacto de diferentes tipos de cruzamento (aritmtico, uniforme e simples). Este trabalho prope uma variante do cruzamento uniforme, referenciado como uniforme1 que, ao invs de apenas um filho, gera dois filhos aleatrios a partir de dois pais. Na Tabela 6 esto discriminados os valores de vrias caractersticas relativas a AGs, adotadas na implementao.

Tabela 6 - Principais Caractersticas da Implementao do AG Caractersticas Possveis Valores

Elitismo 1 indivduo Populao 100 Representao de dados real Estratgia de seleo MGA1 Cruzamento Aritmtico, uniforme, uniforme1, simples Probabilidade de cruzamento 0,85 Probabilidade de mutao 0,01 Critrio de parada 1000 geraes

4.2.3 Descrio dos Experimentos e Anlise dos Resultados

Na Tabela 7 so apresentados os resultados obtidos pelo MGA1 usando os quatro tipos de cruzamento, onde o cruzamento aritmtico foi implementado para o valor de =2/3. O melhor resultado foi obtido com o uso do cruzamento uniforme1 e difere em 6,8% quando comparado com o valor obtido pelo EASY, que teve o pior desempenho dentre todos, a menos do operador de cruzamento uniforme.

Tabela 7 - Valores da funo custo e das variveis que a definem para o MGA1: x1 altura do painel, x2 rea de armadura, x3 resistncia do concreto, x4 altura da capa e x5- resistncia do concreto moldado no local

MGA1

Cruzamento x1 (cm) x2

(cm2) x3

(kN/cm2)x4

(cm) x5

(kN/cm2)Funo custo R$/m2

Aritmtico 20,99 2,70 3,03 4,02 1,52 74,99 Uniforme 25,40 3,34 4,06 4,51 2,05 90,47

Uniforme1 20,86 2,72 3,02 4,02 1,51 74,78 Simples 22,39 2,50 3,00 4,00 1,50 75,65

EASY 27,41 2,36 3,10 4,00 1,50 80,23

Dentre os quatro cruzamentos, o uniforme foi o que obteve o pior desempenho. O cruzamento uniforme o que gera um indivduo aleatrio a partir de dois pais dentre dos limites de cada varivel. O que pode se conjecturar neste caso



152

especfico, dado que os valores das variveis se mantiveram razoavelmente prximos durante o processo evolutivo que esse tipo de cruzamento no introduziu muita diversidade e, da, o baixo desempenho.

5 DESCRIO E SOLUO DO PROBLEMA DE MINIMIZAO DO CUSTO DE LAJES COM VIGOTA PROTENDIDA

O trabalho tambm investigou o uso de AG na busca da soluo para o problema de minimizao do custo de produo e aplicao de uma vigota protendida. Neste domnio de problemas so analisados os variantes MGA1 e Roleta1A. Esse ltimo adota as mesmas caractersticas apresentadas no Roleta1. A diferena que na restaurao a Npop indivduos, o variante Roleta1A adota ainda uma populao intermediria (CASTILHO (2003)). Assim sendo, as prximas trs sees tratam, respectivamente, da busca da soluo via AG dos trs seguintes problemas:

otimizao do elemento para uma determinada aplicao; otimizao da aplicao para uma determinada seo transversal de vigota; otimizao do elemento e da aplicao para uma determinada seo

transversal de vigota.

5.1 Otimizao do Elemento Para Uma Determinada Aplicao

O problema de otimizao a ser tratado o da minimizao da funo custo total de uma laje com vigota protendida com a utilizao de escoras intermedirias para o vo de 4 metros. As variveis que definem a funo custo so: x1, x2,x3 armaduras dos trs nveis de protenso (cm2), x4 altura do segundo nvel de armadura (cm), x5 altura do terceiro nvel de armadura (cm). A seo transversal da laje mostrada na Figura 8.a) e as dimenses da vigota so apresentadas na Figura 8.b). Foram adotados os seguintes valores: a resistncia do concreto pr-moldado igual a 39 MPa e a de concreto moldado no local igual a 20 MPa e a medida do inter-eixo igual a 30cm.

O processo de dimensionamento de uma laje com vigotas protendidas foi o mesmo adotado em MERLIN (2002). Os critrios de dimensionamento atendem os estados limites de utilizao e estados limite ltimo.

30

5

15

65

2

11

x4x5

6

x3

x1

x2

a) Seo de laje b) Dimenses da seo da vigota protendida

Figura 8 - Dimenses da laje e da vigota protendida (medidas em cm)



153


O problema de minimizao do custo de produo de tal laje se resume ao problema de minimizao de f(x) (x = (x1,x2,x3,x4,x5)). O problema em questo se configura como um problema de minimizao sujeito a restries e conforme detalhado em CASTILHO (2003) pode ser equacionado da seguinte forma:

Minimizar f(x) = ))xx2(x)x2(xx2(

143,0)xxx(193,11550,31543421

321 +++++++++

Sujeita s seguintes restries:


Verificao de tenses na seo mais solicitada:

Verificao do estado limite de fissurao:

Verificao do estado limite de utilizao de controle da deformao:

Verificao do estado limite ltimo solicitaes normais:


Alm dessas restries as variveis devem satisfazer as desigualdades: 0,1 x1 3,0; 0,1 x2 2,7; 0 x3 1; 0,5 x4 6; 0,5 x5 8.


Os AGs descritos na Seo 3 foram implementados com as caractersticas listadas na Tabela 8. Para o problema em questo foi analisado o impacto de diferentes tipos de cruzamentos para a representao binria.

Tabela 8 - Caractersticas principais do AG caractersticas valores

Elitismo 1 individuo Tamanho da populao 100 Representao Binria 56 bits (1010101313) Cruzamento Um-ponto (1X), dois pontos (2X) multiponto (3X, 4X e 5X), uniforme, varivel-a-varivel Probabilidade de cruzamento 0,85 Probabilidade de mutao 0,1 Critrio de parada 1000 geraes

5.1.3 Descrio dos Experimentos e Anlises dos Resultados

Os resultados das variveis e da funo custo obtidos na minimizao da funo custo, para uma laje de comprimento de 4m, so apresentados na Tabela 9. O MGA1 foi o variante que obteve os melhores resultados. O variante MGA1 obteve resultados bem prximos um dos outros independentemente do operador de cruzamento utilizado.

Como pode ser verificado na tabela, os resultados obtidos pelo EASY foram os melhores e com uma grande margem sobre os demais. Deve-se salientar que os valores de armadura x2 e x3 obtidos pelo EASY para o comprimento de laje de 4m so valores mnimos, no tendo muito significado prtico.



154

Tabela 9 - Valores da funo custo e das variveis que a definem: x1, x2, x3 armaduras de protenso, x4, x5 distncias dos nveis de armadura

Variveis

Cruzamento x1 (cm2) x2

(cm2) x3

(cm2) x4

(cm) x5

(cm) Funo custo

(R$/m2) Uniforme 0,53 0,29 0,13 3,05 1,98 42,33

1X 0,56 0,24 0,14 2,85 2,78 42,33 2X 0,53 0,26 0,15 2,65 2,85 42,32 3X 0,55 0,28 0,12 3,50 1,91 42,32 4X 0,53 0,26 0,15 2,65 3,13 42,33 5X 0,56 0,26 0,10 3,93 2,01 42,33

MG

A1

Var_Var 0,56 0,27 0,11 3,31 2,88 42,34 EASY 0,40 0,10 0,01 4,00 4,00 34,40

5.2 Otimizao do Elemento Para Uma Determinada Aplicao

Esta subseo trata a minimizao da funo custo total de uma laje com vigota protendida para uma dada vigota sem escoras intermedirias para vo de 4 metros. Parte dos resultados esto descritos em CASTILHO et al (2001). As variveis envolvidas na definio da funo custo so: a altura do capeamento (x1), a resistncia do concreto moldado no local (x2) e a distncia do intereixo (x3). A seo transversal da laje mostrada na Figura 9.a) e as dimenses da vigota consideradas no dimensionamento da laje so apresentadas na Figura 9.b). A resistncia do concreto foi considerada de 45 MPa.

x3

x1

10

94

2

13

3

5

1.5

a) Seo de laje com vigota de concreto

protendido b) Dimenses da seo da vigota protendida

Figura 9 - Dimenses da laje e da vigota protendida (medidas em cm)


O problema de minimizao do custo de produo de tal laje se resume ao problema de minimizao de f(x) (x = (x1,x2,x3)). O problema em questo se configura como um problema de minimizao sujeito a restries e conforme detalhado em CASTILHO (2003), pode ser equacionado da seguinte forma:

Minimizar: f(x)= 32113

x0592,0)25,74x75,24(x012,0x552,1x

376,669 ++++

Sujeita s mesmas restries da seo anterior



155

Alm dessas restries as variveis devem satisfazer as desigualdades: 4 x1 10; 15 x2 30; 30 x3 50.


Os AGs descritos na Figura 1 foram implementados com as caractersticas listadas na Tabela 10. Vale lembrar que o operador varivel-a-varivel foi proposto e recomendado em HASANCEBI & ERBATUR (1998), quando da soluo de problemas em estruturas de ao.

Tabela 10 - Caractersticas principais do AG caractersticas valores

Elitismo 1 individuo Tamanho da populao 100 Representao Binria 32 bits (11-11-10)

Cruzamento Um-ponto (1X), dois pontos (2X) multiponto (3X, 4X e 5X), uniforme, varivel-a-varivel

Probabilidade de cruzamento 0,85 Probabilidade de mutao 0,1 Critrio de parada 1000 geraes

5.2.3 Descrio dos Experimentos e Anlises dos Resultados

Na Tabela 11 so apresentados os valores da funo custo e de suas variveis para o comprimento de laje 4m. O melhor resultado do MGA1 foi obtido usando cruzamento de um ponto e 5X e o pior usando o operador varivel-a-varivel.

Apesar das diferenas serem pequenas quando comparados com os resultados obtidos pelo MGA1, o EASY obteve o melhor resultados de todos. Pode ser verificado que o uso de qualquer dos operadores de cruzamento uniforme e n-X no provocou uma variao grande no resultado final.

Tabela 11. Valores da funo custo e das variveis que a definem: x1 altura da capa de concreto moldado no local, x2 resistncia do concreto moldado no local e x3 distncia do intereixo

FUNO CUSTO (R$/m2) VARIVEIS

Cruzamento Valor

da funo

Desvio padro

Melhor absoluto

Pior absoluto

x1 (cm)

x2 (kN/cm2)

x3 (cm) escoras

Uniforme 42,40 0,6594 41,97 43,64 6,28 2,92 34,16 0 1X 41,90 0,0657 41,82 41,97 6,18 2,98 34,74 0 2X 41,96 0,1513 41,82 42,32 6,17 2,97 34,49 0 3X 42,39 0,8196 41,82 44,01 6,26 2,98 35,28 0 4X 42,24 0,7157 41,97 44,27 6,22 2,97 34,81 0 5X 42,42 0,8134 41,82 44,24 6,31 2,94 35,00 0

MG

A1

Var_Var 43,25 0,6768 41,88 44,11 6,53 2,93 35,24 0 EASY 41,78 - - - 6,28 3,00 35,73 0



156

6 CONSIDERAES FINAIS E CONCLUSES

Este trabalho investiga o uso de algoritmo gentico na busca da soluo para o problema de minimizao do custo de produo e aplicao de painis alveolares e de vigotas protendidas. So analisadas vrias estratgias de seleo combinadas com diferentes propostas para a restaurao da populao, bem como avaliados diversos tipos de cruzamentos utilizando a representao binria e a real. As principais concluses do trabalho so descritas a seguir:

Nota-se que os resultados para as diferentes estratgias de seleo foram discrepantes. O melhor desempenho foi atribudo famlia MGA e TORNEIO e o pior foi obtido pela famlia ROLETA;

Dentre os quatro tipos de cruzamento utilizados na representao real (anlise dos trs variantes) os melhores resultados foram obtidos com o simples e com o uniforme1. O pior desempenho foi obtido com o cruzamento uniforme;

O operador de cruzamento varivel-a-varivel obteve os piores resultados quando associado com o variante MGA1 e os melhores quando associado com o variante Roleta1A;

Com base nos resultados obtidos nos vrios experimentos descritos pode-se dizer que o AG uma tcnica perfeitamente vivel em problemas de Engenharia Estrutural. Sua flexibilidade, robustez e facilidade de implementao so caractersticas positivas quanto da soluo de problemas prticos.

7 AGRADECIMENTOS

Agradecemos CAPES pelo apoio financeiro e ao Engenheiro No Marcos Neto da empresa Marka - Sistemas Construtivos em concreto estrutural da regio de Franca, SP pela valiosa ajuda.

8 REFERNCIAS

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS - ABNT (1986). NBR 7197 - Projeto de estruturas de concreto protendido. Rio de Janeiro.

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS - ABNT (2001). Texto conclusivo do projeto de reviso da NBR 6118 - Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro.

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