Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP Curso: Arquitetura...

Disciplina: Sistemas Estruturais

Assunto: Estruturas Isostáticas – Momento Fletor e

Cortante

Prof. Ederaldo Azevedo

Aula 6

e-mail: [email protected]

Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP

Curso: Arquitetura e Urbanismo


6. Momento Fletor e Esforço Cortante

6.1 Generalidades

As forças são classificadas em: externas e internas.

Todos os corpos rígidos, ao serem submetidos a forças

externas: ativas (cargas) e reativas (reações de apoio),

apresentam mudança da forma geométrica

(deformações). No momento em que um corpo deforma,

entra em estado de tensão.

Tensão é o estado que a matéria assume decorrente de

uma deformação.





6.1 Generalidades

As forças se transmitem internamente de um ponto a

outro em um determinado elemento estrutural, por meio

das tensões.

A capacidade de transmissão de cargas está associada

às tensões admissíveis dos materiais de que são

compostos os elementos estruturais. Isso significa que,

dependendo do material de que é constituído determinado

elemento estrutural, maior ou menor será a sua

capacidade de transmissão de cargas.





6.2 Esforços Internos

As Forças internas são os esforços originados das

tensões desenvolvidas pelos materiais que constituem os

corpos rígidos.

As Forças internas são responsáveis por manterem

unidos os vários pontos materiais que constituem um

corpo rígido.

Determinar os esforços internos implica, determinar o

estado de tensão a que o elemento está submetido.





6.2 Esforços Internos

Para evidenciar as forças internas é necessário separar o

elemento estrutural em análise em duas partes, através

de um plano de corte imaginário. Este procedimento é

conhecido como método dos cortes ou método das

seções.

Neste estudo, serão abordados os esforços internos

associados ao estado simples e duplo de tensão.

Esforço cortante Q, Esforços normais N e Momento

Fletor M





6.2.1 Determinação dos Esforços Internos

A Determinação dos esforços internos independe das

características dos materiais.

Os Esforços Internos depende somente da forma

geométrica e dos esforços externos ativos e reativos e

portanto é um problema que pode ser resolvido pela

mecânica estática.

A determinação dos esforços internos é de fundamental

importância para o dimensionamento correto dos

elementos estruturais.






Por exemplo: de posse do valor do Momento fletor

máximo de uma viga, o profissional calculista terá

condições de estimar as dimensões desta.

De acordo com a Primeira Lei de Newton, para que uma

estrutura esteja estável, ou seja, em equilíbrio é

necessário que o somatório de todas as forças externas e

o somatório de todos os momentos de força que atuam no

sistema sejam iguais a zero.

∑(Fx=0) ∑(Fy=0) ∑(M=0)






Sendo o sistema carregado por uma carga vertical

uniformemente distribuída, cada apoio é responsável pela

absorção de 50% da carga vertical aplicada, ou seja, cada

apoio tem que resistir a 50% do peso da trave(vão).






Já a carga horizontal deverá ser absorvida em uma das

vinculações(apoio) do sistema.

Assim, podemos afirmar que o sistema apresenta um

equilíbrio global.

Agora separando parte do sistema(fig. a seguir), é

possível observar que o somatório das forças atuantes é

diferente de zero, o que indica que a parte do sistema

em análise não está em equilíbrio.






Se o sistema (como um todo) está estável, como pode parte dele não

estar em equilíbrio? È que na realidade o sistema não pode ser

analisado em partes separadas, pois o elemento estrutural é um

conjunto monolítico, em que cada parte tem responsabilidade com

outra parte. A parcela de carga ativa que falta para estabelecer o

equilíbrio é fornecida pela parte suprimida da parte em análise em

razão dos esforços internos.






Analisando a figura acima, concluimos que os equilibrios

vertical e horizontal estão garantidos.

E, Q é o esforço interno que garante o equilibrio vertical

do elemento em análise;

Q é o esforço cortante. O esforço cortante é

responsável pela transmissão de cargas oriundas das

tensões de corte.






N é o esforço normal(perpendicular) horizontal,

responsável pela transmissão de cargas oriundas das

tensões de tração ou compressão.

Uma viga ao ser submetido a deformações curvas(fig.

abaixo), o elemento entra em estado de tensão de flexão,

em que existe uma variação de um:

Estado máximo de tensão de flexão, em que existe

uma variação de um:

Estado máximo de tensão de compressão até um:

Estado máximo de tensão de tração, passando por

uma linha neutra.





6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas

Conceito de viga: é um elemento estrutural, cuja forma

geométrica é a de uma barra prismática(prisma) longa, em

que dimensão e comprimento são bem maiores que as

dimensões da seção.






Estruturalmente, a principal função das vigas é absorver

as cargas verticais e transmiti-las horizontalmente até os

pontos de apoio, geralmente pilares.

Geralmente, as vigas por estarem submetidas a esforços

verticais, desenvolvem somente tensões de flexão e

tensões de corte, que dão origem aos esforços cortante

e aos momentos fletores.

Para dimensionar a seção de uma viga, é necessário,

portanto determinar os esforços cortantes e os momentos

fletores decorrentes das tensões a que a viga está

submetida.






Como já vimos as forças internas aparecem aos pares

com sentidos opostos. Deste modo a parte esquerda da

seção age sobre a parte direita, da mesma forma que a

direita age sobre a esquerda.

Assim, o sentido das forças será definido quando o

elemento estrutural fica a esquerda da seção ou quando

fica a direita da seção.

Por convenção, os sentidos arbitrados das reações e

momentos nos diagramas abaixo serão utilizados para

cálculo dos esforços internos em todos os problemas

apresentados daqui em diante.






Se analisarmos direito os diagramas de corpo livre dos

dois segmentos, verifica-se que os esforços internos que

surgem no ponto seccionado têm o mesmo módulo,

mesma direção e sentidos contrários, condição

necessária para satisfazer a Terceira lei de Newton e

manter o equilíbrio interno.

Segundo a terceira lei de newton, para cada força

aplicada a um corpo esse tende a devolver uma outra

força de mesmo módulo, mesma direção e sentido

contrário/ toda ação provém uma reação.






Para determinação dos esforços cortante e momento

fletores adotaremos(esforços internos) o mesmo sistema

de referencia que adotamos para calculo de reação de

apoio, ou seja:

Sentido horário = (+)

Força para cima = (+) ; força para baixo =( -)

Força seta para direita =( +); força seta para esquerda = (-)





6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas

isostáticas.

A partir do modelo estrutural, verificam-se as cargas ativas

atuantes, traça-se o diagrama de corpo livre e calculam-se

as reações de apoio por meio das equações de equilíbrio

já estudadas no capítulo anterior.

Assim considerando o até agora estudado segue exercício

resolvido.

Exercício clássico:

1) Determinar os esforços internos(momento fletor e

Cortante) da viga isostática abaixo:






isostáticas.

Resolução: as reações de apoio já foram determinadas em

exercício anterior e é o seguinte: RH=0; RV1=qL/2 ;

RV2=qL/2






isostáticas.

Determinado o equilíbrio externo do elemento, o próximo

passo é verificar os trechos de continuidade de carga.

Onde houver descontinuidade no carregamento ativo

significa que existem trechos que se comportam de

forma diferente. Sendo assim é necessário que cada

trecho seja analisado individualmente.

Para proceder à analise dos esforços internos, é

necessário dividir a viga em trechos de continuidade e

verificar as forças atuantes em cada trecho.

No modelo deste exercício existe apenas um trecho.

Portanto ele será seccionado apenas uma vez.






isostáticas.

Escolhido o ponto do trecho a ser seccionado, traça-se o

diagrama de corpo livre de um dos segmentos A-S1 ou B-

S1, com todas as forças externas envolvidas e com os

respectivos esforços internos que surgem no ponto

seccionado.






isostáticas.

Analise dos esforços internos a partir do segmento

esquerdo A-S1.




Equações de Equilíbrio (EE)

𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

𝐅𝐱 = 𝟎 N + 0 =0 N=0 (esforço normal)

𝐅𝐲 = 𝟎 qL/2 – qx - Q = 0 Q= qL/2-qx(esforço cortante)

𝐌𝐒𝟏 = 𝟎 - M + (N x 0) + (Qx 0) - (q.x.x/2) + (qL/2.x) = 0

- M - qx²/2 + qxL/2=0 - M= +qx²/2-qxL/2

- M= +qx²/2-qxL/2 (x -1)

M= -qx²/2+qxL/2 (momento fletor)



isostáticas.

Análise dos resultados:

O esforço normal é nulo, e isso é porque não existem

forças externas horizontais ou diagonais atuando na viga;

O resultado obtido para o esforço cortante é uma

equação de 1º grau do tipo: Y= ax + b, equação geral da

reta, donde: y= Q; a= q; b= qL/2;

O resultado obtido para o momento fletor é uma equação

de 2º grau do tipo: Y= ax² + bx + c, equação da curva,

donde: Y= M; a= q; b= qL; c= constante;






isostáticas.


Como os valores de Q e M são obtidos em forma de

equação, é possível determinar o valor dos esforços

internos em qualquer ponto da viga, transformando as

equações em funções de x, onde x é uma variável

contida no intervalo fechado ( 0 a L) que representa o

tamanho da viga.

Assim, para a equação do cortante, Q(x) = -qx + qL/2

(0;L) Δx 0 a L (substituindo valores como:)

x=0 Q= qL/2

x=L/2 Q=zero(na metade da viga esforço cortante é zero);

x=L Q= -qL/2






isostáticas.


Para a equação do momento fletor, M(x)= -qx²/2 + qxL/2

(0;L) Δx 0 a L (substituindo valores como:)

x=0 M=zero

x=L/2 M=qL²/8

x=L M=zero.

Para facilitar a visualização das deformações provocadas

pelos esforços internos atuantes nos elementos

estruturais, é possível traçar gráficos a partir dos valores

obtidos por meio das funções;

Esses gráficos são chamados de diagrama dos esforços

internos.





isostáticas.

Diagrama dos esforços internos:

O diagrama dos esforços internos é representado no

plano cartesiano.

Para cada tipo de esforço é traçado um diagrama.




isostáticas.

Nota:



1. O eixo das abscissas(x) representa o eixo geométrico da viga;

2. O eixo das ordenadas(y) representa os esforços internos;

3. Observe que o valor do momento é máximo, no ponto em que o esforço

cortante é nulo. Essa é uma características das vigas simplesmente

apoiada;

4. Em muitos países, incluindo o Brasil, o gráfico usado para traçar o

diagrama do momento fletor é traçado com eixo das ordenadas apontado

para baixo, porque, dessa forma, a representação gráfica apresenta uma

grande semelhança com as deformações causadas pelos momentos

fletores.


isostáticas.

Nota:

1. O gráfico do diagrama do momento fletor já está

representado com o eixo das ordenadas apontando para

baixo;

2. Os resultados obtidos nessa análise são exatamente os

mesmos da análise anterior.





isostáticas.

Exercício Resolvido 01:

Considerando o modelo estrutural com suas cargas ativas e

reativas, determinar:

a)Os esforços internos(cortante e momento fletor);

b)Traçar os diagramas dos esforços internos.






isostáticas.

Resolução:






isostáticas.

Resolução:

ESFORÇOS INTERNOS ATUANTES NO TRECHO 1 ( 0;5)




Q1 N1M1

DCL - SEGMENTO ESQUERDO

x

S1

zero

q= 1,8 KN/m

3.375 kn

+

Sistema de Referência (SR)

+ -

+

-



isostáticas.





𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

𝐅𝐱 = 𝟎 N1 + 0 =0 N1=0 (ESFORÇO NORMAL)

𝐅𝐲 = 𝟎 3,375 – 1,800.X – Q1 = 0 Q1= -1,800.X + 3,375(esforço

cortante)

𝐌𝐒𝟏 = 𝟎 - M1 - (1,8.x.x/2) + (3,375.X) = 0

M1= -0,9 X² + 3,375.X M1= -0,9 X² + 3,375.X (momento

fletor)



isostáticas. ESFORÇOS INTERNOS ATUANTES NO TRECHO 2 ( 5;7,5), em função da

descontinuidade da viga a partir do ponto 5m as equações são diferentes.





𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

𝐅𝐱 = 𝟎 N2 + 0 =0 N2=0 (ESFORÇO NORMAL)

𝐅𝐲 = 𝟎 - 1,800.x + Q2 = 0 Q2= -1,800.X (esforço cortante)

𝐌𝐒𝟐 = 𝟎 +(1,800.x.x/2) + M2 = 0

M2= -900 X² M2= -0,9 X² (momento fletor)



isostáticas.

Traçar o diagrama de esforços internos.

Obs.: é possível observar que os valores, em determinado momento,

passam de positivos a negativos. Isso indica que existe um ponto da

viga em que o esforço cortante é nulo e que o momento fletor é

máximo. Para saber qual é esse ponto, é necessário igualar a equação

que determina o esforço cortante a zero.




P/ Trecho 1 que possuem equações definidas para intervalo: (0;5) Δx – 0 a 5

X=0 substituindo na equação(Q1= -1,800.X + 3,375), Q=3,375 e na

equação M1= -0,9 X² + 3,375.X e M1=0

X=5 substituindo na equação(Q1= -1,800.X + 3,375), Q= -5,625 e

na equação M1= -0,9 X² + 3,375.X e M1=-5,625.



isostáticas.




Logo: igualando Q1= -1800.X + 3,375 a zero temos:

-1,800.X + 3,375=0

-1,800.X= - 3,375

X=3,375/1,800

X= 1,875m Logo na posição X=1,875m o esforço cortante é zero e o momento fletor é

máximo.

E o valor do Mf em 1,875 m é:

M1= -0,9 X² + 3,375.X

M= -0,9.1,875² + 3,375.1,875

= - 3,164+ 6.328

Mf = 3,164 KNm



isostáticas.




E o valor do Mf no ponto 5,00 é:

M1= -0,9 X² + 3,375.X

M = -0,9.5² + 3,375.5

Mf= - 22,5 + 16,87

Mf=-5,63 KNm é momento fletor máximo da viga.



isostáticas.




E Para saber em que ponto o momento fletor é zero para o trecho 1, é

necessário igualar a equação que determina o momento fletor a zero.

Logo: igualando M1= -0,9 X² + 3,375.X a zero temos:

-0,9 X² + 3,375.X =0

-0,9 X² + 3,375X=0

X(-0,9X + 3,375)=0

X= 0

- 0,9X=-3,375

X= 3,75 m

Logo na posição X=3,75m o momento fletor é zero.



isostáticas.




P/ Trecho 2 que possuem equações definidas para intervalo: (5;7,5) Δx – 0

a 2,5

X=0 substituindo na equação(Q2= -1,800.X), Q=0 e na equação M2=

-0,9 X² e M1=0

X=2,5 substituindo na equação(Q2= -1,800.X), Q=4,5 e na equação

M2= -0,9 X² e M1=- 5,625



isostáticas. Assim fazendo o diagrama temos:






isostáticas.




Exercício resolvido:

Considerando o modelo estrutural, determinar:

a) Os esforços internos(cortante, normal e momento fletor) para as

seções transversais S1, S2 e S3.



isostáticas.

Resolução:





Resolução:

Escolhemos a parte esquerda da viga, devido ao menor número de forças

externas aplicadas.




Seção S1

Q1

N1M1

12,5 kN

DCL - SEGMENTO ESQUERDO

1,0 m

A

S1


𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

𝐅𝐱 = 𝟎 N1=0

𝐅𝐲 = 𝟎 12,5 – Q1 = 0 Q1= 12,5 kN

𝐌𝐬𝟏 = 𝟎 (N1 x 0) + (12,5x 0) - M1 + Q1.x1= 0

- M1 + Q1=0

M1=Q1

M1=12,5 kN.m

Os sinais positivos de N1 e M1 indicam que os esforços solicitantes

são positivos, como supostos inicialmente.

6. Momento Fletor e Esforço Cortante Seção S2

Escolheremos, de novo, a parte esquerda devido ao menor número de forças

externas aplicadas.





𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

𝐅𝐱 = 𝟎 N2=0

𝐅𝐲 = 𝟎 12,5 – 5 – Q2 = 0 Q2= 7,5 kN

𝐌𝐚 = 𝟎 (N2 x 0) + (12,5x 0) - M2 + Q2 x 3 + 1,5x5= 0

0 + 0 - M2 + 3Q2 + 7,5=0

- M2 + 3x7,5 + 7,5=0

M2=30 kN.m

6. Momento Fletor e Esforço Cortante Seção S3

Neste caso será mais cômodo trabalhar com a parte direita da viga:





𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

𝐅𝐱 = 𝟎 N3=0

𝐅𝐲 = 𝟎 Q3 – 15+17,5 = 0 Q3= - 2,5 kN

𝐌𝐛 = 𝟎 (N3 x 0) + (17,5x 0) + M3 - Q3x2,5 +15x2= 0

0 + 0 - M3 -(-2,5.Q3) + 30=0

- M3 + 2,5.Q3 + 30=0

- M3 + 2,5x2,5+ 30=0 - M3 + 6,25+30=0

- M3= - 36,25 kN.m M3= 36,25 kN.m

6. Momento Fletor e Esforço Cortante Exercício:




Determinar as expressões de força cortante(Q) e momento fletor(M), e

construir os respectivos diagramas na viga com cargas concentradas abaixo.






𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

𝐅𝐱 = 𝟎 N1=0

𝐅𝐲 = 𝟎 12,5 – Q1 = 0 Q1= 12,5 kN

𝐌𝐬𝟏 = 𝟎 - M1 + Q1.x= 0

- M1 + Q1X=0

M1=Q1X M1=12,5X






𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

𝐅𝐱 = 𝟎 N2=0

𝐅𝐲 = 𝟎 12,5 – 5 – Q2 = 0 Q2= 7,5 kN

𝐌𝐚 = 𝟎 - M2 + Q2 X + 1,5x5= 0

- M2 + Q2X + 7,5=0

- M2 + 7,5X + 7,5=0

M2= 7,5X + 7,5






𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

𝐅𝐱 = 𝟎 N3=0

𝐅𝐲 = 𝟎 Q3 – 15+17,5 = 0 Q3= - 2,5 kN

𝐌𝐛 = 𝟎 + M3 - Q3X +15x2= 0

- M3 -(-X.Q3) + 30=0

- M3 + Q3X + 30=0

- M3 + 2,5X+ 30=0 - M3 + 2,5X+30=0

M3= 2,5X + 30

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