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Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim

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Módulo 9

Objetivos:

- Identificar representações de ponto, reta e plano em situações

concretas; - Representar e nomear ponto, reta e plano; - Identificar as posições das retas em vertical, horizontal e inclinada, - Identificar as posições de 2 retas num plano em paralelas, concorrentes

e coincidentes; - Identificar segmento de reta, segmentos consecutivos e segmentos

congruentes; - Identificar um polígono; - Distinguir os lados e as diagonais de um polígono e calcular o nº de

diagonais; - Calcular o perímetro de um polígono; - Identificar o uso de ângulos; - Reconhecer os ângulos : reto, agudo e obtuso; - Determinar os ângulos complementares e suplementares; - Reconhecer ângulos congruentes e ângulos opostos pelo vértice; - Caracterizar um triângulo representando e nomeando seus elementos; - Verificar a existência de um triângulo formado com três segmentos dados; - Determinar a medida de um dos ângulos internos de um triângulo,

conhecendo as medidas dos outros ângulos; - Identificar a mediana, a altura e a bissetriz de um triângulo; - Classificar triângulos quanto à medida dos lados e quanto à medida dos ângulos; - Identificar triângulos semelhantes; - Determinar a razão de semelhança em triângulos semelhantes; - Calcular a medida de lados em triângulos semelhantes;. - Aplicar p Teorema de Talles; - Aplicar as relações métricas no triângulo retângulo em resolução de situações-problemas.

Roteiro de estudo: - Para estudar e aprender o conteúdo deste módulo você deverá ler com

muita atenção, pensando e raciocinando sobre o que você leu. - Você deverá resolver os exercícios do módulo e fazer a correção pelo

gabarito.

FAÇA OS EXERCÍCIOS NO SEU CADERNO, NÃO ESCREVA NA APOSTILA.

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Introdução à Geometria

Finalmente você vai estudar uma parte da matemática onde

não será preciso “decorar” teoremas ou fórmulas. É a GEOMETRIA (estudo de medidas e formas que existem na terra).

GEO significa terra e METRIA significa medida.

PONTO, RETA E PLANO

1- Conceito (idéia) de PONTO:

Observando o mundo em que vivemos certas idéias surgem de modo intuitivo

Exemplo: A marca da ponta de um lápis, uma marca de giz no quadro negro, a localização de uma cidade no mapa, tudo isso nos dá a idéia de ponto em geometria.

O ponto não tem dimensões (tamanho) e é normalmente indicado por letras maiúsculas do nosso alfabeto. Ex.: . A . B ( ponto A ) ( ponto B )

2- Conceito de RETA:

Exemplo: Um fio esticado por duas pessoas, a linha divisória de um campo de futebol sugerem a idéia de reta em geometria, com uma diferença básica: a reta não tem começo e nem fim, portanto não pode ser medida.

As retas são indicadas por letras minúsculas do nosso alfabeto.

Ex.: r s a

(reta r) (reta s) (reta a)

3- Conceito de PLANO:

Qualquer superfície (a parede de uma sala, um pedaço de madeira compensada, o piso de um campo de futebol), sugerem a idéia de plano em geometria.


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Usualmente os planos são indicados por letras do alfabeto

grego.

Ex: (alfa), (beta), (gama) Representação:

(plano alfa) (plano Beta)

Conclusão: - O ponto, a reta e o plano são noções intuitivas, ou seja, são modelos criados por nossa imaginação e usados justamente para compreendermos melhor certos aspectos do mundo em que vivemos.

Posições de uma reta:

Vertical, Horizontal, Inclinada

A figura acima nos mostra um campo de voleibol onde:

cada vara lateral sugere a idéia de reta (r, t );

cada faixa da rede sugere a idéia de reta (s, u );

o campo sugere a idéia de plano ( ).

t

u


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Em relação ao campo ( plano ) as varas laterais ( letra r , t )

ocupam a posição vertical. Representação da reta vertical

Observe a posição vertical do mastro da bandeira

Em relação ao campo (plano ) as faixas da rede (s, u ) ocupam a posição horizontal.

Representação da reta horizontal

Observe a posição horizontal da flexa:

Um foguete ocupa a posição inclinada em relação ao chão quando está em movimento.

Representação da reta inclinada

Observe a posição inclinada do foguete:

Posições relativas de duas retas em um plano: Retas Paralelas e Concorrentes


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A figura anterior mostra uma quadra de voleibol. Nela você observa que:

as linhas laterais que sugerem a idéia de retas (retas a e b) não se cruzam, então, as linhas laterais são paralelas (mantém sempre a mesma distância entre elas);

as faixas da rede que sugerem a idéia de retas (retas r e s) não se cruzam, então as faixas das retas são paralelas.

RETAS PARALELAS: Quando duas retas de um mesmo plano não se cruzam elas mantêm sempre a mesma distância entre si, portanto, não possuem ponto em comum e são denominadas retas paralelas.

Representação de retas paralelas

a

b r s a || b r || s

(lê-se: a é paralela a b) (lê-se: r é paralela a s)

Veja novamente a figura da quadra de voleibol na página anterior e observe:

As linhas laterais e as linhas de fundo sugerem a idéia de retas que se interceptam (cruzam a com c ou b com c) isto é, têm um ponto comum, por isso são chamadas de concorrentes.

A vara lateral e a faixa da rede sugerem a idéia de retas (t e r ou t e s) que se cruzam em um ponto comum, então, a vara lateral e a faixa de rede são concorrentes.

Portanto:

A linha do trem exemplifica o conceito de paralelismo, pois mantém sempre a mesma

distância entre seus trilhos.


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RETAS CONCORRENTES: Quando duas retas de um mesmo

plano possuem um ponto comum, isto é, que pertence às duas retas são denominadas retas concorrentes (se cruzam em um ponto).

Representação de retas concorrentes

c t P A a r

a x c t x r lê-se a é concorrente a c lê-se t é concorrente a r P é o ponto em comum A é o ponto em comum

RETAS COINCIDENTES: Quando duas retas r e s possuem todos os pontos comuns isto é, uma está sobreposta (encima) à outra.

Representação de retas coincidentes

r=s lê-se r é coincidente a s

SEGMENTO DE RETA (pedaço da reta)

Considere uma reta r e sobre ela marque dois pontos A e B distintos (diferentes). O conjunto de pontos formados por A, por B e por todos os pontos que estão entre A e B, denomina-se segmento de reta AB . O segmento é identificado por um traço em cima das letras que identificam o início e o fim do segmento

Observe as duas agulhas de tricô que se cruzam num ponto. Elas nos dão a idéia de

concorrentes.


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A

F H

A B r Veja um exemplo prático

SEGMENTOS CONGRUENTES ( tem a mesma medida)

De acordo com a figura acima observe que:

Os segmentos AB e CD têm a mesma medida logo são congruentes

Os segmentos AC e BD são congruentes (têm a mesma medida)

Então: Tomando a mesma unidade de referência, dois segmentos

que têm a mesma medida são denominados segmentos congruentes.

Você pode representar a congruência usando o símbolo . Veja: AB CD (segmento AB é congruente ao segmento CD).

Os pontos A e B são chamados

extremidades do segmento

AB determinado sobre a reta r.

LEMBRE-SE: RETA não tem começo e nem fim. Não pode ser medida. SEGMENTO DE RETA tem começo e fim logo pode ser

medido.

AF leia segmento AF

FH leia segmento FH

B

D

A

C


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A

F H

SEGMENTOS CONSECUTIVOS

Observe o desenho acima. O segmento FH

começa no mesmo ponto onde termina o segmento AF . Eles são chamados segmentos consecutivos (um após o outro). Então:

Dois segmentos que têm em comum apenas uma extremidade são denominados segmentos consecutivos.

Observe o desenho ao lado: AB e BC são segmentos consecutivos pois têm em comum o ponto B.. BC e CD são segmentos consecutivos com o ponto C em comum.

FIGURAS POLIGONAIS

Observe as figuras desenhadas abaixo. Elas são formadas por segmentos consecutivos.

( aberta ) (fechada) (aberta) (fechada)

Essas figuras geométricas planas são chamadas de figuras poligonais. Elas podem ser abertas ou fechadas.

As figuras poligonais fechadas recebem o nome de POLÍGONOS.

G H E F

A D B C

M N

O P

X

Y Z

A

B

C D


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ELEMENTOS DOS POLÍGONOS

LADOS: são os segmentos de reta (AB, BC, CD, DF, FH, HG e EA) que formam o primeiro polígono desenhado acima.

VÉRTICES: são as extremidades comuns a dois lados consecutivos de um polígono, ou seja, os pontos A, B, C, D, E, F, G ,H são os vértices do polígono acima desenhado

Existem diferentes tipos de polígonos e eles são classificados de acordo com a quantidade de lados ou de ângulos. Veja alguns deles:

Nome dos polígonos

Nº de lados Nome 3 lados triângulo

4 lados quadrilátero 5 lados pentágono

6 lados hexágono 7 lados heptágono

8 lados octógono

9 lados eneágono 10 lados decágono

11 lados undecágono 20 lados icoságono

Diagonais de um polígono: são todos os segmentos com extremidades em dois vértices não-consecutivos.

A quantidade de diagonais depende do nº (quantidade) de

vértices do polígono. Para saber quantas diagonais têm um polígono faça o cálculo aplicando a fórmula:

AC , AE diagonais em relação ao vértice A

BD , BE diagonais em relação ao vértice B DC diagonal em relação ao vértice D ou C

A

B

C

D

E



Onde n = quantidade de lados do polígono

n = 5 (no desenho acima)

Então:D = 2

355 = 2

25 = 2

10 = 5 diagonais

Exemplo: O eneágono (polígono de 9 lados) tem quantas

diagonais?

Substituindo n por 9 na fórmula acima,você tem:

D = 9 . (9 – 3) = 9 . 6 = 54 = 27 diagonais 2 2 2

PERÍMETRO de um polígono qualquer: é a soma das medidas de todos os seus lados.

Exemplo 4cm 3cm 2cm

2,5cm

ÂNGULOS

Você já viu que os polígonos são formados por lados (segmentos) e vértices (ângulos).

O que são ângulos? É toda região interna ou externa compreendida entre duas

semi-retas que têm o mesmo ponto de origem. A unidade de medida do ângulo é o grau.

O perímetro do polígono é

4+3+2+2,5= 11,5cm

D = n . (n - 3) 2

O

A

B

Região interna formada por duas semi-retas AÔB = ângulo interno Os ângulos também podem ser representados por letras gregas

tais como: a, ß,

ou simplesmente com o acento circunflexo na letra: Â, C, H



Â

Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:

ÂNGULO DE 360º - é o ângulo que forma uma circunferência.

ÂNGULO RASO - é igual a 180º. É a metade da circunferência.

ÂNGULO RETO - ângulo cuja medida é 90º. Esse ângulo é o mais usado em arquitetura, construções, etc É o ângulo de 360º dividido em 4 partes iguais. O ângulo reto é representado pelo símbolo

ÂNGULO ÂGUDO – ângulo com medida menor do que 90º. É o ângulo fechado representado pelo sinal

ÂNGULO OBTUSO – ângulo com medida maior do que 90º ( é o ângulo aberto)

B

90º

Ângulo A > 90º

Â > 90º

90º

O

Ângulo O < 90º

Ô < 90º

50º

145º

A



MEDIDAS DE ÂNGULOS

Um ângulo não tem comprimento, nem largura nem espessura. Ele só tem uma medida chamada amplitude e sua unidade de medida é o graus representado pelo sinal º Ex. 30º (trinta graus)

O instrumento usado para medir um ângulo é o transferidor. Observe o desenho do transferidor e veja como se faz para medir um ângulo.

.

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

Considere os ângulos AÔB, de medida x = 40°, e DÊF, de medida Y = 50º

Observe que se você “juntar” os dois ângulos você forma um ângulo de 90º.

Então : X + Y = 90° 40º + 50º = 90º Nesse caso, os ângulos AÔB e DÊF são complementares. Veja a representação de ângulos complementares no desenho do transferidor, no início desta página.

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°

B

40º O A

50º E D

F

O transferidor é dividido em unidades de medidas denominadas GRAUS, no intervalo de 0º à 180º (meia circunferência) ou de 0º à 360º (uma cirunferência).

Esta região está marcando um ângulo de 40º



Veja o exemplo:

1- Calcule o complemento do ângulo de 20º Solução: Sendo X a medida do complemento do ângulo de 20° você tem: X + 20° = 90° (calculando o valor de X) X = 90º - 20º X = 70º ( complementar de 20º)

ÂNGULOS SUPLEMENTARES

Considere os ângulos AÔB, de medida x=35°, e DÊF, de medida y = 145º

Observe que X + Y = 180° Nesse caso dizemos que AÔB e DÊF são ângulos suplementares. Veja a ilustração no exemplo abaixo

Veja o exemplo:

Região do arco de linha pontilhada = 55º Região do arco de linha cheia = 125º

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°.

55º O A

B

125º

E D

F

A

B

C O

55º 125º



Calcule o suplemento do ângulo de 30º Solução Sendo X a medida do suplemento do ângulo de 30º você tem: X + 30° = 180° (calculando o valor de X) X = 180º - 30º X = 150º (suplemento do ângulo de 30º)

Ângulos congruentes – ângulos que têm a mesma medida Observe os seguintes ângulos:

Eles têm a mesma medida portanto são ângulos congruentes.

Representação: AÔB RST (lê-se: AÔB é congruente a RST)

Ângulos opostos pelo vértice

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são semi-retas opostas aos lados do outro.

Você vai dar continuidade a geometria estudando um polígono especial formado por 3 lados e 3 ângulos, chamado triângulo.

O 50º

A

B

50º

R

T

S

OBSERVE OS ÃNGULOS: X e Y são ângulos opostos pelo vértice ( A)

A

X

Y

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes ( têm a mesma medida).


CLASSIFICAÇÃO DE ÂNGULOS

ÂNGULO DE 360°

- forma

uma circunferência (uma volta inteira)

ÂNGULO RASO

– mede 180° (meia volta)

Ex.: um livro inteiramente aberto forma um ângulo de

180° em relação ao fechado

(180°)

ÂNGULO RETO

– mede 90° - é representado pelo símbolo

Ex.: Os ponteiros do relógio (horas e minutos) às 3 horas

ÂNGULO AGUDO

– são

ângulos com medidas menores do que 90° (são os ângulos fechados)

Ex.: uma pasta entreaberta

ÂNGULO OBTUSO

– são ângulos com medidas maiores do que 90° (são os ângulos abertos)

Ex.: O ângulo entre o assento e o encosto da poltrona.


Módulo 10

Objetivos:

O aluno será capaz de:

Reconhecer as características de um triângulo,

Identificar e classificar os triângulos,

Conceituar proporcionalidade,

Identificar triângulos semelhantes,

Entender o Teorema de Tales,

Aplicar esses conceitos em resolução de problemas;

Identificar triângulo retângulo,

Reconhecer a relação métrica a ser usada,

Calcular as medidas desconhecidas nos triângulos,

Aplicar esses conhecimentos para solução de problemas.

Roteiro:

Leia atentamente o módulo;

Faça os exercícios e depois confira as respostas no gabarito;

Anote as dúvidas no caderno para perguntar ao orientador.



TRIÂNGULOS

Você vai estudar neste módulo o mais simples e o mais importante dos polígonos: o triângulo.

São inúmeras as aplicações práticas do triângulo em construções e estruturas que exigem rigidez e uma boa distribuição de forças.

Observe as figuras abaixo e veja se consegue enxergar onde estão os triângulos, sabendo que:

TRIÂNGULO é um polígono que possui 3 lados e 3 ângulos.



Representação e elementos de um triângulo qualquer

CLASSIFICAÇÃO

Você pode classificar os triângulos observando os lados e os ângulos.

Quanto aos lados os triângulos são classificados em:

equilátero isósceles escaleno

A

B

C

Representação: ABC

ELEMENTOS: Vértices: A, B, C

Lados: AB. AC, BC

Ângulos internos: Â, ^

B , ^

C



EQUILÁTERO: os 3 lados são congruentes (tem a mesma medida).

ISÓSCELES: têm dois lados congruentes (mesma medida) e um diferente.

ESCALENO: as medidas dos 3 lados são diferentes.

Quanto aos ângulos os triângulos são classificados em:

RETÂNGULO: 1 ângulo tem medida

Igual a 90º (ângulo reto ^

X ). ( Observe o desenho)

OBTUSÂNGULO: tem um ângulo com medida maior do que 90º (ângulo Ô aberto).

ACUTÂNGULO: os 3 ângulos têm medidas menores do que

90º (ângulos ^

A , ^

B ,^

C fechados) 70º A

60ª B

C

50º

120º

O

X



OBSERVAÇÕES:

Base ( b ) é o lado sobre o qual o triângulo

se apoia. No triângulo isósceles, considera-se a base o lado de medida diferente.

Altura ( h ) é a medida da base até o vértice oposto.

A altura é representada por uma linha pontilhada.

Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes (de mesma medida) é chamado ângulo do vértice.

No triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes ( mesma medida)

Num triângulo retângulo denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados denominam-se catetos.

CURIOSIDADE : CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Para você construir um triângulo qualquer é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Veja o exemplo:

9 < 5 + 7 ou 5 < 7 + 9 ou 7 < 5 + 9

hipotenusa

cateto

cateto

7

9 5



Medida ^

A = 70º

Medida ^

B = 55º

Medida ^

C = 55º

^

A + ^

B + ^

C = 180 º 70º + 50º + 60º = 180º

Copie e responda em seu caderno:

1) Classifique os triângulos abaixo:

a) Quanto aos lados. b) Quanto aos ângulos

2) É possível construir um triângulo com os lados medindo 8cm, 10cm e 15 cm ?

SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO

(TEOREMA ANGULAR DE TALES)

Tales, filósofo e matemático grego ( Mileto, 625 a.C.), foi um dos chamados 7 sábios da Grécia. Ele usou a geometria para prever um eclipse solar.

Este é um teorema importante das medidas dos ângulos de um triângulo qualquer, descoberto por Tales.

“ A SOMA DOS TRÊS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO QUALQUER É IGUAL A 180º ”



Este triângulo é denominado retângulo, portanto a medida do ângulo Â é 90º então: X + Â + 40º = 180 X + 90º + 40 = 180

X + 130 = 180 X = 180 – 130 X = 50º

X + X + 2X = 180 4X = 180 X = 180

4

X = 45º

1º Exemplo:

Observe o desenho abaixo e veja como calcular a medida do

ângulo ^

C do triângulo A^

B C sabendo que a soma dos 3 ângulos é igual a 180º.

^

A + ^

B + ^

C = 180º 55 + 65 + X = 180

120 + X = 180

X = 180 – 120 X = 60º

2º Exemplo:

3º Exemplo:

M + N + O = 180º 20 + 2X + 10 + X = 180

2X + X + 20 + 10 = 180

3X + 30 = 180 3X = 180 – 30 3X = 150 X = 150

3 X = 50º 4º Exemplo:

55º

A

B

65º

X C

40º

X

A

2X + 10 N

X O

M 20º

X 2X

X




3) Determine o valor do ângulo x nos triângulos abaixo.

ELEMENTOS DO TRIÂNGULO

São medidas usadas no TRIÂNGULO.

Mediana: é o segmento de reta que une um dos vértices ao ponto médio do lado oposto.

AM

é a mediana relativa ao lado BC BM

BC (mesma medida)

Altura: é a medida do segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo, traçado pelo seu vértice oposto.

A ) B)

C) D)

E)



AH

é a altura relativa ao lado BC

AH

(perpendicular)

Bissetriz : é o segmento de reta que divide um ângulo interno em outros dois congruentes (mesma medida).

FIGURAS SEMELHANTES

Na Matemática uma foto e sua ampliação são exemplos de figuras semelhantes, pois têm as mesmas características, porém suas medidas são diferentes mas proporcionais ( a largura da figura A é o dobro da largura da figura B).

O mesmo princípio é válido para qualquer figura geométrica.

B ^

A D D^

A C

A

B C H

h

Ângulo de 90º

Observe que a foto dobrou de tamanho.

A

B



TRIÂNGULOS SEMELHANTES

Dois triângulos têm a mesma forma uma vez que ambos têm 3 lados e 3 ângulos, mas nem sempre são semelhantes.

Para que dois triângulos sejam semelhantes devem ter seus ângulos correspondentes congruentes (mesma medida) e seus lados correspondentes proporcionais.

Não semelhantes ( ângulos diferentes) semelhantes ( ângulos congruentes)

Dois círculos são sempre semelhantes.

NOÇÃO DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Observe os dois triângulos ABC e DEF da figura abaixo:

Eles têm ângulos correspondentes congruentes ( mesma

medida ) : ^

A^

D , ^

B^

E , ^

C^

F

Esses dois triângulos têm a mesma “forma”. Eles são

semelhantes. A razão de semelhança é 2

1 .ou 0,5

Os lados dos triângulos são respectivamente paralelos



Vamos retirar o ABC de dentro do DEF:

1º) Você pode observar que os ângulos são ordenadamente

congruentes: ^

A^

D , ^

B^

E , ^

C^

F

2º) Os lados correspondentes ( ou homólogos ) são proporcionais:

DE

AB =DF

AC =EF

BC

Veja alguns exemplos :

Dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos correspondentes congruentes e os lados homólogos

(correspondentes) proporcionais.

Note que são triângulos

semelhantes, pois os ângulos

correspondentes são congruentes.

1º )

2º )

8

10

6

5

3 4



12

4

9 X

12 = 9

4 x

12.X = 4.9 X = 36

12 X = 3

X

6 10

14 20º

20º

80º

80º

Os triângulos acima são semelhantes, pois os lados correspondentes são proporcionais.

Veja : 4

8 = 2 3

6 = 2 5

10 = 2 Note que a

razão de semelhança neste caso é 2 ( o primeiro triângulo é duas vezes maior que o segundo ).

EXERCÍCIO RESOLVIDO 1: Os triângulos abaixo são semelhantes. Descubra a medida do lado X.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 2: Calcule o valor de x :

14

x = 10

6 ( aplicando a regra da proporção)

10 . X = 14 . 6

10. X = 84 X = 10

84 X = 8,4




4

2

8

X

6

Y

b )

4) Sabendo que os triângulos das figuras abaixo são semelhantes, determine as medidas dos lados indicados.

18

20

X

Y

10

5

c)



TEOREMA DE TALES

Curiosidades sobre Tales de Mileto

Você sabe quem foi Tales? - Foi um legislador, filósofo matemático e astrônomo. - Tales nasceu em Mileto (atualmente pertence à Turquia) no ano

646 aC. e morreu em 546 aC. - A ele são atribuídas as seguintes descobertas geométricas:



ESTUDO DO TEOREMA DE TALES E SUAS APLICAÇÕES

NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Você já aprendeu no módulo 9 que quando dois triângulos são semelhantes , os seus lados correspondentes são proporcionais. A mesma teoria se aplica quando duas retas (m e n) cortam três retas paralelas (r, s, t ). Os seus segmentos a, b, c, d, também são proporcionais. Veja o exemplo resolvido abaixo, aplicando a propriedade da proporção:o produto (multiplicação) dos meios é igual ao produto dos extremos.

b

a = d

c ou a

x = c

y ou b

x = d

y

5

10 = 7

14 10

15 = 14

21 5

15 = 7

21

10 • 7 = 5 • 14 15 • 14 = 10 • 21 15 • 7 = 5 • 21 70 = 70 210 = 210 105 = 105

Observe que aplicando o teorema das proporções você pode determinar a medida de um dos segmentos das retas transversais que você desconhece.

12 = 20 multiplicando X . 20 = 12 . 10 12 20 x 10 X . 20 = 120 X = 120

x 10 20 X = 6

c = 14

r

s

t

m

n

a = 10

b = 5 d = 7

x = a + b y = c + d



Você sabe que existem situações que é difícil efetuar

medições, então, pode-se usar o Teorema da Proporcionalidade (Tales) aplicando a teoria dos triângulos semelhantes.

APLICAÇÃO PRÁTICA

Imagine que uma ponte deve ser construída sobre um rio. Como calcular a largura do rio para saber qual será o comprimento da ponte?

Veja o esquema abaixo e observe como achar o valor de x que representa o comprimento da ponte. Do ponto A até o ponto E e de E até o ponto C você pode medir assim como do ponto A até o ponto D (início da ponte). Com essas medidas você forma um triângulo imaginário e calcula o comprimento da ponte.

Observe que o triângulo ADE é semelhante ao triângulo ABC, pois seus ângulos são congruentes ( mesma medida) e seus lados correspondentes tem as medidas proporcionais então, pode-se usar o Teorema de Tales como foi demonstrado acima no próprio desenho.



5

3

4

12

9

X

1º EXEMPLO: observe os lados correspondentes:

12

4 = 9

3=

X

5 proporções dos lados correspondentes

para calcular o valor de X multiplique cruzando:

X

5 = 9

3 3 • X = 5 • 9

X = 45 X = 15 3


5) Calcule o valor de X dos exercícios abaixo:

A

a)

2 2,4

B E

1 X

C D

b)

X 1,4

2,4 1,2



c) Calcule a medida do lado X do triângulo:

APLICAÇÕES PRÁTICAS:


6) Como você pode calcular a altura da torre de uma igreja que projeta uma sombra de 18 m de comprimento se, no mesmo instante, uma vara de 1,5 m produz uma sombra de 2,5m?

Observe o desenho abaixo:

7) Se uma haste de 1m projeta uma sombra de 2m, qual será a altura de um poste de iluminação que, no mesmo instante tem uma sombra de 15 m?

SUGESTÃO; faça a representação do problema com os desenhos dos triângulos.

20

8

10 x

T O R R E X

18m

SOMBRA

V A 1,5 R A 2,5

SOMBRA



TRIÂNGULO RETÂNGULO

TRIÂNGULO RETÂNGULO : É um tipo especial de triângulo que tem dois lados perpendiculares formando um ângulo reto ( 90º ). Os triângulos retângulos foram assuntos dos estudos de Pitágoras, importante matemático grego que descobriu uma propriedade válida para todos esses triângulos.



RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

TRIÂNGULO RETÂNGULO ( tem um ângulo reto Â

= 90º que é representado pelo símbolo ).

Hipotenusa – é o lado oposto ao ângulo reto Â

(fica na frente do ângulo de 90º). É o lado maior do triângulo.

Catetos - são os outros dois lados que formam o ângulo de 90º (são perpendiculares entre si ).

Altura - medida que parte do vértice até o lado oposto. O segmento da altura em relação ao ângulo de 90º divide a hipotenusa em duas partes denominadas projeções.

HIPOTENUSA

CATETO CATETO

A L T U R A

PROJEÇÃO PROJEÇÃO

A

Observe o triângulo retângulo e seus elementos (catetos, hipotenusa, altura e projeções desenhado abaixo)



CATETO

CATETO

HIPOTENUSA

No triângulo retângulo temos quatro relações métricas que nos possibilitam calcular as medidas de seus elementos. A principal delas é o TEOREMA DE PITÁGORAS: “ O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”

1)

TEOREMA DE PITÁGORAS

Ex.: Determine a medida Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

hip² = cat² + cat² x² = 3² + 4²

x² = 9 + 16 x² = 25 x = 25 x = 5

Você sabe o que fazer para achar a medida de um cateto do triângulo retângulo?

OBSERVE:

Você sabe que: HIPOTENUSA é o lado oposto ao ângulo reto.

CATETOS: são os outros dois lados. ALTURA: medida que vai do vértice A até a

hipotenusa, formando um ângulo de 90º. PROJEÇÕES: medidas que resultam da divisão

da hipotenusa ao ser traçada a altura. Cada cateto tem a sua projeção na hipotenusa.

Hip2 = cat2 + cat²

3

4

X

x

5

Hip² = cat² + cat² 5² = X² + 3² 25 = X² + 9

25 - 9 = X² 16 = X X = 4

3

LEMBRE-SE! 3² = 3 • 3 = 9




8) Determine o valor de X:

a-) b-)

As outras relações métricas você irá usar quando precisar calcular as medidas internas do triângulo:

( altura ou projeções).

Veja como usar essas fórmulas:

4 3

5

X

1º EXEMPLO No triângulo ao lado são dadas

as medidas dos catetos ( 3 e 4 ), e da hipotenusa ( 5 ).

Falta achar a medida da altura ( X )

6

8

X

X

6

4

2) Cat² = hip . proj

3) Hip . alt = cat . cat

4) Alt² = proj . proj



Há duas fórmulas (3 e 4) onde aparece altura. 3) Hip . alt = cat . cat

4) Alt² = proj . proj

Qual delas devo usar?

Na relação nº 4 é necessário ter

as medidas das projeções e no triângulo acima não tem então, a relação nº 3 é a mais adequada.

Veja as medidas:

Cat. = 4 Cat. = 3 hip . alt = cat . cat Hip. = 5 5 . x = 3 . 4 Alt. = X 5x = 12 x =

5

12

x = 2,4

9) Determine o valor de X:

a-) b-)

c-)

6

8

X

3

8

X

12

15

9

X

No exercício b você tem a medida da hipotenusa e do cateto e quer determinar

a medida da projeção. No exercício c você tem as medidas das

projeções e quer calcular a medida da altura.

Veja na página anterior as fórmulas 2,3,4 e descubra qual a mais indicada para

cada caso.



APLICAÇÕES PRÁTICAS: esses teoremas são usados para resolver situações problemas. É conveniente fazer a representação através do desenho.

1º exemplo

Uma torre metálica de 10m de altura será fixada ao solo por um cabo de aço em um ponto distante a 30m da extremidade inferior da torre. Quantos metros de cabo de aço serão necessários ?

Passos para resolver o problema:

1- Faça a representação do problema com desenho anotando as medidas dadas e identificando o lado X;

2- Identifique o lado da hipotenusa e o dos catetos;

3- Escolha a fórmula mais adequada;

4- Resolva para calcular o valor de X.

Hip² = cat² + cat²

X² = 10² + 30² X² = 100 + 900 X² = 1000 X = 1000 X = 31,62

Serão necessários aproximadamente 31,62 metros de cabo de aço.

10m cat X hip

30m cat




10) Um bombeiro precisa colocar uma escada até a janela do 2º

andar que está a 15m de altura do chão. A escada está fixada a 8m de distância da parede. Qual deve ser a medida mínima da escada?

Observe a representação geométrica do problema:

11) Um monumento será construído em forma de triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10m, um dos catetos mede 6m e o outro 8m. Qual será a altura desse monumento?

Parede = 15m

Escada (X)

8 m

10m

6m 8m

X



GABARITO:

1) A - I = Eqüilátero B - I = acutângulo II = Isósceles II = Obtusângulo III = Escaleno III= Retângulo

2) Sim

3) a) 40º b) 55º c) 30º d) 40º e) 108º

4 ) a) X = 12

5-) a) X = 1,2 b) X = 2,8 c) X = 16

6-) X = 10,8

7-) X = 7,5

8-) a) X = 10 b) X = 4,4 9-) a) X = 7,2 b) X = 4,5 c) X = 4,8

10-) X = 17

11-) X = 4,8

B) X = 4

Y = 3

C ) X = 10 Y = 9



Bibliografia:

Desenhos ilustrativos tirados dos livros:

BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995.

IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999.

SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997.

ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007:

- Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans

COLABORAÇÃO:

- Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos

DIREÇÃO:

- Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper

COORDENAÇÃO:

- Neiva Aparecida Ferraz Nunes

APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim


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