CET166 Dinamica Dos Solidos Capitulo 5

7/21/2019 CET166 Dinamica Dos Solidos Capitulo 5

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CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS - UFRB

Capitulo 5 : Cinemática deCorpos Rígidos

CET166 : DINÂMICA DOS SÓLIDOS

abdon tapia

10/01/2015

Relações de Deslocamento, Velocidade e Aceleração do Movimento de corpos rígidos.



CET166 – Dinâmica dos Sólidos

Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB145

Capítulo 5: Cinemática de Corpos Rígidos

Relações que existem entre tempo, posição, velocidade e a aceleração dos

vários pontos que formam um corpo rígido.

Translação:

Todos os pontos do corpo deslocam-se segundo trajetórias

paralelas (retilínea, curvilínea).

Rotação em torno de um eixo fixo:

Os pontos do corpo rígido deslocam-se em planos paralelos ao

longo de circunferências, cujos centros estão ao longo de uma

mesma reta fixa (eixo de rotação).

Movimento plano Geral:

Os pontos do corpo rígido se deslocam em planos paralelos

(translação + rotação).

Movimento em torno de um ponto fixo:

Movimento tridimensional de um corpo rígido com um ponto

fixo (pião, etc.).

“Engrenagens, barras de conexão e articulações, movimento de placas, etc.”

Centro instantâneo de rotação.

Aceleração Coriolis.





5.1. Translação

Sistema de referência fixo;

Vetor posição dos pontos A e B do corpo rígido; Vetor posição relativa do ponto B em relação à , do C.R.;

Velocidades dos pontos A e B do corpo rígido em relação ao .;

Aceleração dos pontos A e B do corpo rígido em relação ao .

Da figura temos: ;

Derivando a equação, temos:

()

;

Como:

; () ;

; ;

Derivando novamente temos: ;





5.2. Rotação em Torno de um Eixo Fixo


Vetor posição do ponto do corpo rígido; Eixo de rotação ao longo do eixo ; Coordenada angular do corpo rígido;

Ângulo formado entre

e o eixo

.

Como:

; ; ;temos:

;

Fazendo:





Como: Velocidade angular do corpo rígido .

Portanto:

;

Velocidade do ponto P do corpo rígido. | | || ; ;

Derivando a equação temos:

;

; Aceleração angular do corpo rígido em relação ao eixo ( ) ;

Componente tangencial da aceleração:

Componente normal da aceleração:





5.3. Rotação no Plano (placa representativa)


Eixo de rotação do corpo rígido; Ponto do corpo rígido; Vetor posição do ponto P do corpo rígido; Velocidade do ponto P do corpo rígido em relação à ;

Velocidade angular de qualquer ponto P do corpo rígido.

.

Como: ;

Temos que: ; .

Como:

Da figura temos:





⏟ ⏟ ;

;

;

;

5.4. Equações que Definem a Rotação de um Corpo Rígido em

Torno de um Eixo Fixo.

;Como: ;

.- Mov imen to de ro tação uni fo rme: ;

.- Mov imento d e rotação unif o rmemente acelerado :

;

;

;

5.5. Movimento plano geral

Translação + rotação





5.6. Velocidades Absoluta e Relativa no Movimento Plano

Velocidades absolutas dos pontos B e A do corpo rígido em relação ao O xy; Vetor posição do ponto B em relação ao ponto A do corpo rígido;

Velocidade relativa do ponto B em relação ao ponto A do corpo rígido;

Velocidade angular do corpo rígido em relação ao O x’y’ .

Da definição de velocidade relativa, temos: ;

Da definição de velocidade angular, temos:





;

;

Exemplo:

Dado :

Como: ;

Do triângulo de velocidades:

;

; ; ; .“A velocidade angular de um corpo rígido de movimento plano é

independente do ponto de referência.”





“Os mecanismos que têm vários elementos em movimento e articulados,

cada um dos componentes pode ser estudado como um corpo rígido, sem

esquecer que os pontos de articulação deles devem ter a mesma velocidade

absoluta” (engrenagens, etc.)

“Se os elementos do mecanismo possuem um deslizamento relativo entre si,

deve-se levar em conta a velocidade relativa das partes em contato.”

5.7. Centro Instantâneo de Rotação no Movimento Plano

Para qualquer instante as velocidades dos pontos dos corpos rígidos, são

iguais aqueles que surgiriam com o corpo rígido girando em torno de um eixoperpendicular ao seu plano (eixo instantâneo de rotação; “C” centro instantâneo

de rotação).

Velocidade absoluta do ponto A do corpo rígido no instante t; Velocidade angular do C.R. em torno do ponto A, do C.R no instante t;

Centro instantâneo de rotação do corpo rígido no instante t; Distância entre C e o ponto A do corpo rígido.

Trabalha-se somente com velocidades absolutas.

O pode estra dentro ou fora do corpo rígido num movimento plano.

O

no instante “t ” tem velocidade nula. E o “C” é válido só para o instante

t .





O no geral tem , portanto não pode-se calcular as acelerações dos

pontos do corpo rígido, como se estivesse girando em torno de Conforme o corpo rígido move-se, o move-se no espaço.

5.8. Aceleração Absoluta e Relativa no Movimento Plano

Aceleração dos pontos A e B do corpo rígido em relação ao sistema fixo O xy;

Aceleração relativa do B em relação ao ponto A do corpo rígido

considerando o sistema O (em ).





Componentes tangencial e normal da aceleração relativa

em relação ao sistema ; Velocidade angular do corpo rígido;

Aceleração angular do corpo rígido.

Da definição de aceleração relativa, temos: ;

Como: | | ;

; ;

;

Do triângulo das acelerações, temos: ∑ ; ;

∑ ;

;





Exemplo:

; ; ∑ ;

;

∑ ; ;





“Um mecanismo composto por várias partes móveis ligados por pinos cada

componente pode ser analisada como corpo rígido. Mas a dos pontos de

interligação dos componentes ligados é a mesma.”

5.9. Análise do Movimento Plano em Função de um Parâmetro

Quando é possível exprimir as coordenadas x e y de todos os seus pontos

principais, através de relações analíticas simples contendo um único parâmetro.

;

;

; ;

; ;

.





Problema 5.1: O peso B está ligado a uma poliadupla por um dos dois cabos inextensíveis mostradosna figura. O movimento da polia é controlado pelocabo C , que tem uma aceleração constante de 0,229m/s² e uma velocidade inicial de 0,305 m/s, ambaspara a direita. Determine (a) o número de revoluçõesexecutadas pela polia em 2s, (b) a velocidade e avariação da posição do peso B depois de 2s e (c) aaceleração do ponto

D na periferia da polia interna,

no instante inicial.

Dados

.- Polia dupla;

.- Cabos inextensíveis; Aceleração do cabo C: ;Velocidade inicial do cabo C:

; Determinar: para t=2s;

a.- Numero de evoluções: N = ?;

b.- Velocidade do peso B: ; Variação da posição do peso B: ;

c.- Aceleração do ponto D, no instante inicial:

.

Solução

a.- Numero de evoluções: N = ?; para:

Para um movimento acelerado temos:

; ;

; (1)

D e C a corda:

; ;Também: | |;

|| ; ;

Na aceleração: ;

como:

;

Sabe-se, que: ; ;

; ;

;

Para , substituindo na equação (1),

temos:

; ;

Sabemos que: ; ;

b.- Para: ;

E e B a corda ;

;

;

; ;

; ;





Como: ; ;

;

c.- Para:

Como: ; ; ;

;

; ; ; ;

;





Problema 5.2: No sistema motor esboçado nafigura, a manivela AB possui uma velocidade angularconstante de 2000 rpm no sentido horário. Determinarpara a posição da manivela indicada na figura: (a) avelocidade angular da biela BD ; (b) a velocidade dopistão P .

Dados

Manivela AB:

= cte. Determine:

a – Para a posição mostrada a velocidadeangular da biela BD. ;

b - A velocidade do pistão P. .

Solução

Diagrama:

Manivela AB:

;

como: ;

.

Da figura:

Do triângulo ABD temos da lei dos senos:

;

;

;

;

Decompondo o movimento de BD em uma

translação e em uma rotação em torno de B:

A relação entre as velocidades: ;

Desenhamos o triângulo de velocidades:

Da figura, temos:

; ;

Da lei dos senos no triangulo de velocidades:

;

;

⁄ ;

⁄ ;

como: ; .

Temos que: ;

; .





Problema 5.3: Determinar a velocidade angular daplaca circular no instante amostrado na figura,sabendo-se que a manivela AB de comprimento iguala 4 cm tem nesse instante uma velocidade angular de3 rad/seg em sentido anti-horário. (a barra BD gira emtorno do ponto C , no momento amostrado no pontomeio da barra BD ).

Dados

Manivela :ω AB =3 rad/s

= 4 cm

Barra BD:Gira em torno de C (ponto meio) Determine:.- Velocidade angular da placa circular:

ω PC =?

Solução

- Manivela :

Como: B = AB x AB

AB = 3 ⁄

AB = 4 AB : cm sendo: AB AB

;

- Barra :

Do diagrama temos:C = B + (1)

= BC x BC

como:

BC

BC ;

= ω BC |

BC |

substituindo os valores:

| BC | = 4 cm; e BC = - BC

temos: = - 4 ω BC ; = - 4 ω BC Cos 60° - 4 ω BC Sen 60° ; A velocidade de B é: B = - 12 Cos 60° + 12 Sem 60° ; A velocidade de C é:

C = -C Cos 30° + C Sen 30° ;Substituindo em (1) temos:

- Em x:

-C Cos 30°= - 12 Cos 60° - 4 ω BC Cos 60°;

√ C = -12 Cos 60° + 4 ω BC (2)

Em y:

.Sen 30° = 12 Sen 60° - 4 ω BC Sen 60°;

√ √ (3)

Resolvendo as equações (2) e (3):

ω BC = 1,5rad/s; C = 1,61 cm/s

Do diagrama da barra BD temos: D = B + D/B (4)

D/B = BD x BD

Também:

BD BD = ω BD | BD|

Substituindo os valores:

| BD| = 8 cm e ω BD = 1,5 rad/s;

D/B = 1,5 x 8 = 12 cm/s; = -12 Cos 60° – 12 Sem 60° ;.





Da figura: = - Cos( θ ) + Sen( θ ) ;

Substituindo na equação (4) temos:

Em x:

- D Cos θ = -12 Cos(60) – 12 Cos(60);

Dx = D Cos θ = -12 cm/s;

Em y: D Sen θ = 12 Sen(60) – 12 Sen(60);

Dy = D Sen θ = 0 cm/s

Portanto: = -12 cm/s

Da placa circular:

Como: Dy = ω PC . ;

Temos:

= 4 cm;

Dy = 0;

0 = ω PC .4;

ωC = 0 rad/s.





Problema 5.4: O solido rígido ABC tem avelocidade e aceleração angular ⁄ e ⁄ , respectivamente; ambas em sentidohorário. Determine a aceleração dos pontos C e B quando AB está sobre uma linha horizontal.

Dados

.- Corpo rígido ABC:Velocidade angular: √ ⁄ Velocidade angular:

⁄

Determinar: Aceleração dos pontos C e B: Solução

.- Diagrama do C.R. ABC:

Aceleração do ponto A é igual a: ;

√

;

A aceleração do ponto B e igual a: ; √ ;

Como: ⁄ ;

⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄ ; sendo:

⁄ ; ⁄ ;

⁄ ⁄ ;

⁄ ;

⁄ ;

⁄ Substituindo em (1) temos: √

√ Considerando as componentes, temos:

Em ·:

√ Em

√ Resolvendo o sistema de equações (2) com (3)

acima temos: ⁄ ;

⁄;

Agora e substituir os valores achados de

nas equações (*) e (**), temos:

√ ;

√ ;

Do diagrama temos: ⁄

⁄ ⁄ ⁄ ;

como: ⁄ ;

sendo: ;

⁄ ; ⁄ ;

⁄ ;





Substituindo: ⁄ ;

⁄ ;Substituindo na equação (4):

;

;

;

⁄ .





Problema 5.5: No instante mostrado os trilhos A eB têm velocidade e acelerações que são indicadas nafigura. Determinar a velocidade a aceleração docentro O da roda e do ponto F situado a 4 cm docentro O e sobre um diâmetro horizontal. O raio daroda é de 7 cm.

Dados

.- Corredeira A:

⁄

⁄ .- Corredeira B: ⁄ ⁄ .- Roda dentada:

Centro: “O”;

Raio = 7 cm;

Ponto F: (sobre o diâmetro);

.- Determinar:

Velocidade do centro “O”: ;Velocidade do ponto “F”: ;

Aceleração do centro “O”: ;

Aceleração do ponto “F”:

Solução

.- Diagrama da roda dentada:

D ponto de contato com a corredeira A:

E

ponto de contato com a corredeira B:

Como “O” não é o centro de rotação

da roda.

Sendo o ponto “C” o centro instantáneo de

rotação temos:

;

;

;

; ;

;

;

; ;

Como:

; ⁄ ;

⁄ ;Como: ; ;

; ;

; ⁄ ;

Também:

;

;

; ;

Substituindo, temos:

⁄ ;

√ ⁄

As acelerações tangencias dos pontos D e E da

roda dentada são as acelerações das corredeiras:

⁄

⁄

Como: ; ; ; ; ;

;

;

⁄;

;

⁄ ;





Como: ⁄ ; ⁄ ⁄ ⁄ ;

⁄ ; ; ;

⁄ ; ⁄

;

⁄ ;

⁄

Substituindo temos:

;

Em : ;

⁄ ;

Como: ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ;

⁄ , ;

⁄

⁄ ; ⁄ ;

Substituindo na equação (1), temos: ;

;

⁄ ;

Como:

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ; ;

⁄ ;

⁄ ;

⁄

;

⁄ ;Substituindo na equação (2), temos:

;

;

⁄ ;





5.10. Derivada Temporal de um Vetor em Relação a umSistema em Rotação.

Sistema de Referência fixo; Sistema de Referência em rotação em torno do eixo fixo OA;

Velocidade angular do sistema ;

Função vetorial ;

A derivada de depende do sistema que for tomado como referência.

Derivada de

em relação ao sistema

;

Derivada de em relação ao sistema ;

no sistema :

Derivando





no sistema :

Derivada de em relação ao sistema fixo

Se estivesse fixo relativamente ao sistema :

⇨

velocidade de um ponto material localizado na extremidade de e

ao corpo rígido unido ao sistema

.

;

Substituindo os valores temos:

;

Devido à rotação do sistema Determinação da derivada do vetor em relação ao sistema de referência

fixo , quando o vetor é definido por suas componentes segundo os eixos

do sistema móvel, sem precisar do cálculo das e

.

5.11. Movimento Plano de um Ponto Material em Relação a um

Sistema em Rotação





Sistema de referência fixo.

Sistema de referência móvel em rotação. Velocidade absoluta do ponto material P (sistema O xy )

Pode-se escrever:

; Vetor posição do ponto P no sistema O xy.

Vetor posição do ponto P no sistema Ouv.

Velocidade angular do sistema Ouv em relação ao sistema O xy no

instante considerado.

Mas:

Velocidade do ponto em relação ao sistema Ouv.

Se a placa rígida ligada ao , é a velocidade de P ao longo da

trajetória descrita sobre a placa.

Velocidade do ponto P' da placa (sistema em rotação) que

coincide com P no instante t.

; <> ;

A aceleração absoluta do ponto em relação ao :





( );

Como: ( ) ; ;

; ⇨ ;⇨ ( ) ;

⇨ ( ) ;

Onde:

( ) Aceleração do ponto P' do sistema rotativo que

coincide com o ponto P no instante t. Aceleração Absoluta do ponto material P.

Aceleração de P em relação ao sist. em movimento .

Aceleração complementar ou de Coriolis .

Portanto:

;

;

;

Como:

⇨ ;

A aceleração de Coriolis será nula, quando:

.

5.12. Movimento em Torno de um Ponto Fixo.

O movimento mais geral de um corpo rígido que tem um ponto Fixo “O” é,

equivalente a uma rotação do corpo rígido em torno de um eixo que passa por

“O”.





Conclui-se que o movimento de um corpo rígido com um ponto Fixo “O”,

durante um intervalo de tempo Δt , pode ser considerado como uma rotação de

Δ em torno de um certo eixo.

A velocidade de qualquer ponto P do corpo rígido pode ser definida: ;

Onde:

Vetor posição do ponto material P do corpo rígido. Velocidade angular do corpo rígido em torno de “O”.

Aceleração angular do corpo rígido em torno de “O”.

A aceleração absoluta do ponto P será:

; ;

No caso do movimento de um corpo rígido que tem um ponto fixo, o muda

em direção e módulo de instante para instante (juntamente com o eixo

instantâneo de rotação).

O vetor é tangente à curva descrita no espaço pela extremidade do vetor .





;

5.13. Movimento Geral

Pontos do corpo rígido; Sistema de referência fixo;

Sistema de referência móvel.

A velocidade do ponto

em relação ao sistema

é:

; Velocidade absoluta do ponto A do corpo rígido; Velocidade de B em relação ao sistema A x'y'z' .

;

Vetor posição de B em A x'y'z' ;

Velocidade angular do corpo rígido no instante considerado.

A aceleração de em relação ao sistema é: ;

Aceleração absoluta do ponto A do corpo rígido em O xyz; Aceleração relativa de B em A x'y'z'

( );

Aceleração angular do corpo rígido no instante considerado.





“O movimento mais geral de um corpo rígido é equivalente com um dado

instante à soma de uma translação e de um movimento em que o ponto

material é suposto fixo e corpo gira em torno dele”

“A velocidade angular e a aceleração angular de um C.R. num dado instante

são independente do ponto de referência escolhido.” “No geral e não são colineares.”

5.14. Movimento Tridimensional de um Ponto Material em

Relação a um Sistema em Rotação.

Função vetorial; Sistema de referência fixo;

Sistema de referência em rotação em torno do eixo fixo OA; Eixo instantâneo de rotação do sistema ;

Velocidade angular no instante t; Ponto material do corpo rígido em movimento tridimensional; Vetor posição do ponto P no instante t em relação a O xyz;

Velocidade absoluta do ponto P em relação a O xyz;

; <> ;





Velocidade do ponto P' (do sistema em movimento ) que coincide com o

ponto P; Velocidade do ponto P em relação ao sistema .

A aceleração Absoluta do ponto P é:

( ) ;

;

Onde: Aceleração do ponto P' (do sistema em movimento ) que coincide com

P;

Aceleração de P com relação ao sistema

; Aceleração complementar ou de Coriolis.

.

; se ; ou ; ou .

“Uma escolha adequada dos sistemas rotativos conduzirá muitas vezes, a

análise mais simples do movimento de um corpo rígido do que seria possívelcom eixos de orientações fixas.”

5.15. Sistema de Referência no Movimento Geral





Sistema de referência fixo.

Sistema de referência com movimento em relação ao O xyz; Ponto material que se move no espaço;

Vetor posição de P no sistema O xyz;

Vetor posição de P no sistema A x'y'z' ; Vetor posição de A no sistema O xyz.

Da figura temos: ;

A velocidade Absoluta do ponto P é:

;

;

Como: Velocidade de P no sistema A x'y'z' ;

Mas:

;

onde:

Velocidade angular do sistema Auvw no instante t.

A aceleração Absoluta do ponto P é:

;

Aceleração Absoluta da origem "A" no sistema O xyz;

Aceleração de P em relação ao sistema O x'y'z' .Como:

( ) ;

portanto:

( )

(

);

“Estas equações possibilitam a determinação da velocidade e da aceleração

de um dado ponto material em relação a um sistema de referência fixo quando





se conhece o movimento do ponto material em relação a um sistema em

movimento.”

Como:

;

;

Velocidade do ponto P' do sistema em movimento que coincide com o

ponto P no instante t.

Também:

(

)

; ;

Aceleração do ponto P' do sistema em movimento que coincide com o

ponto P no instante t.

Aceleração de P em relação ao sistema (A x'y'z' );

Aceleração de Coriolis.





⁄

Como:

⁄ Também: || ;

|| ;

Da figura:

⁄ ;

⁄ ⁄

Para aceleração no ponto P: ;

Considerando o disco D ( , a

aceleração absoluta do ponto P é:

( );

Como: ;

( );

; ⁄ ;

Aceleração do ponto P´ coincidente com P:

( );

;

; ;

; ⁄

Aceleração relativa:

Aceleração de Coriolis:

⁄;

⁄

;

Como: ⁄ ⁄ ⁄ ;

Na direção tangente (perpendicular à fenda),

temos:

⁄ ;

Substituindo os valores, temos:

⁄;





Problema 5.7: O guindaste mostrado na figura giracom uma velocidade angular constante de 30rad/s. Ao mesmo tempo, sua lança é levantada comvelocidade angular constante de 0,50 rad/s emrelação à cabina. Sabendo-se que o comprimento dalança OP é l = 12m, determinar (a) a velocidadeangular ω da lança, (b) a aceleração angular a dalança, (c) a velocidade da extremidade da lança e

(d) a aceleração a da extremidade da lança.

Dados:

Guindaste:Cabine:

-Velocidade angular: ⁄ Lança:

-Velocidade angular em relação à cabine:

⁄ -Comprimento da lança:

Determinar:a.- Velocidade angular da lança: b.- Aceleração angular da lança c.- Velocidade da extremidade da lança: d.- Aceleração da extremidade da lança:

Solução

Diagrama:

; ⁄ ;

⁄ ;

a) Velocidade angular da lança,

b) Aceleração angular da lança,

;

como: ; ;

Como, é relativo à cabine, segue que:

;

como: , em relação à cabine:

;

;

⁄ ;c) Velocidade da extremidade da lança, Como:

; ;

;

⁄ ;

d) Aceleração da extremidade da lança : ; ;





; ⁄ ;

;

⁄





Problema 5.8: O braço telescópico AB é usadopara elevar um trabalhador até uma rede elétrica outelefônica. Sabendo-se que o comprimento AB aumenta à razão constante ⁄ ⁄ e que obraço gira à razão constante ⁄ emtorno de um eixo vertical, mantendo sua inclinação θ constante, determine a aceleração do ponto B para

Dados:

.- Braço telescópico AB: ⁄

Velocidade angular do braço AB: ⁄ Inclinação constante:

Determinar:

- Aceleração do ponto B: , para L = 6 m.

Solução

Diagrama:

sistema de referência fixo.

sistema de referência .móvel fixo no braço

telescópico.

Considerando o sistema móvel fixo no braço AB,temos:

Aceleração no ponto B:

⁄ ( ) ;

Como:

; ;

;

Da figura: ;

Substituindo: ;

( );

; ..(1);.- ⁄

⁄ ⁄ ; ⁄ .- ⁄ ;

⁄ ;

⁄ ⁄ ;

⁄ ;

;

; (2)

Substituindo:

Para L= 6 m, temos: ;

⁄

⁄ ;





Problema 5.9: A excêntrica mostrada na figura, de , gira ao redor do ponto O situado no seuborde. A variação do ângulo θ é igual a Aesfera B desliza-se sobre a excêntrica com uma leihorária igual a , estando S emcentímetros e t em segundos. No instante odiâmetro OA é perpendicular ao eixo OX , pede-sedeterminar: A velocidade e aceleração da esfera B

para o instante .

Dados:

.- Excêntrica Raio: R = 10 cm Deslocamento angular:

- Esfera B Deslocamento relativo: (cm) Para t=0:

AO é perpendicular a ; Determinar: Para t = 2 s

Velocidade da esfera B: Aceleração da esfera B:

Solução

Diagrama do sistema:

Sistema de referencia fixo.

Sistema de referência móvel preso na

excêntrica.

Para , temos:

; ;

Da figura temos:

;

;

Da definição de velocidade, temos que: ⁄ ; (1)

Como:

; ;

⁄ ; ; ;

;

;

;

;

Substituindo: ; ⁄

.- ⁄ ;





;

Para: ; ⁄ ;

⁄ ;

⁄ ;

⁄

Substituindo em (1), tem-se: ; ;

⁄ ;

Também:

⁄ ; (2)

;

Como: ;

;Como: ;

;

Substituindo: ;.-

:

⁄ ⁄ ; (3)

⁄ ;

⁄ ⁄ ;

⁄ ;

⁄ ;

⁄ ;

⁄ ; ;

⁄ ⁄ ;

⁄ ;

⁄ ; ⁄ ;

Substituindo em (3):

;.- :

;

; ;Substituindo em (2):

; ;

⁄ .





Problema 5.10: A barra AB desliza pela guia quegira em torno de O , e no extremo de B da barra temuma velocidade constante para cima de ⁄ naranhura fixa. Para o instante em que ⁄ ,determine: (a) A velocidade e aceleração angular dabarra AB ; (b) A velocidade e aceleração do ponto C ,que pertence à barra AB e cuja posição coincide como ponto O .

Dados:

.- Barra AB:Gira em torno de "O".Velocidade no extremo B: ⁄

.- Ranhura fixa; Determinar: Para,

⁄;

a) A velocidade, aceleração angular e vel.angular da barra AB; b) A velocidade e aceleração do ponto “C” da

barra AB que coincide com o ponto “O”. ; ;

Solução

Diagrama do sistema:

Sistema de referencia fixo;

Sistema de referência móvel fixo na guia;

como: ⁄

⁄ ; ;

a)

Para o sistema, temos que: ⁄ .(1)

No instante mostrado “C” é 0,o que resulta em: ;

; ;

⁄ ; (2)

Como:

⁄ ⁄ ⁄ ;

- Considerando a barra , temos: ⁄ ;

; ⁄ ;

; ; ;

; (3)

De (2) e (3), temos:

⁄ ⁄ ; ( * )

⁄ ⁄ ; ( ** )

- Fazendo, ( ** ) ( * ):

;

; ⁄

Substituindo temos que:

⁄ ⁄ ;

⁄ ⁄ ;

⁄ ;

⁄ ;

b)




Para o diagrama: ⁄ (4)

Como: ;

;

⁄ ; .(4)

Temos: ⁄ ⁄ ⁄ ;

⁄ ⁄ ⁄ ;

⁄ ;

( ) ;


⁄ ⁄ ; (5)

Analisando a barra , temos: ⁄ ;

como:

;

;

⁄ ; (6)

Temos: ⁄ ;

;

;

;

;

; ;

Substituindo na equação (6), temos: ;

(7)

⁄ ; (8)

Em : ⁄ ; (9)

das equações (8) e (9), temos:

⁄ ; ⁄ ⁄ ;


;

Em módulo:

⁄;

CET166 Dinamica Dos Solidos Capitulo 5

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