CF355

Física Moderna

Prof. Dante Mosca

Aulas em http://fisica.ufpr.br/CF355

Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica, (Campus).

PROGRAMA

EMENTA

Relatividade: O conceito de espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana. O princípio da relatividade de Galileu. Relatividade no esquema de Galileu-Newton. Experiências críticas. Transformações de Lorentz-Einstein. Medidas de comprimento e intervalo de tempo. Cinemática relativística. Dinâmica relativística. Equivalência entre massa e energia. Princípio de equivalência. Mecânia Quântica: Descoberta do elétron. Radiação como partícula. Matéria como onda. Modelos atômicos. Equação de Schrödinger.

PROGRAMA DE ENSINO

O conceito espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana: Nas mãos de Newton a mecânica foi fundamentada nos conceitos de espaço e tempo absolutos.

O princípio da relatividade de Galileu-Newton: Grandezas relativas e invariantes newtonianos. Transformação das equações da dinâmica de Newton.

Experiências críticas: Experiências relacionadas ao éter luminífero. Experiências sobre a propagação da luz.

Transformações de Lorentz-Einstein: Relatividade de acordo com Einstein e a universalidade da velocidade da luz. Relatividade e simultaneidade. Transformação de coordenadas do espaço-tempo. Diagramas de Minkowski. Um invariante do espaço-tempo.

Medidas de comprimento e intervalo de tempo: Observadores. Pontos eventos e suas transformações. Medidas de tempo. A contração de Lorentz. Dilatação do tempo. Observação da dilatação do tempo com raios cósmicos (mésons). Intervalo espaço-tempo e causalidade.

Cinemática relativística: Transformações de velocidades. Radiações de fontes em movimento rápido. Movimentos acelerados. O problema dos gêmeos.

Equivalência entre massa e energia: A “caixa” de Einstein e a equivalência entre massa e energia. Princípio de Equivalência.

Descoberta do elétron: Experiências de J. J. Thomson e Millikan.

Radiação como partícula: Corpo negro. Efeito fotoelétrico. Espalhamento Compton. Produção de raios X. Produção e aniquilação de pares.

Matéria como onda: difração de elétrons. Princípio da incerteza.

Modelos atômicos: Modelos de Thomson e Rutherford. Modelo de Bohr do átomode Hidrogênio.

Equação de Schrödinger: Interpretação de Born. Propriedades matemáticas. Equação independente do tempo. Quantização da energia. Poço infinito. Barreira de potencial. Tunelamento. Discussão elementar do oscilador

Programação das provas (40 % conceitual e 60 % problemas)

1ª PROVA – cinco primeiros tópicos em verde: Data 04/10/13

2ª PROVA – quatro tópicos seguintes em azul : Data .../09/13

3ª PROVA – três últimos tópicos em vermelho : Data .../09/13

Leis de Newton

Ação à distância e instantânea...

Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687. Isaac Newton

Princípios da Mecânica de Hertzespaço, tempo e massa

F = A - B

Contact forces ?

Forças ficticias ou pseudo-forças

Gravidade artificial

ammdt

dm

dt

dm )(2 rωω

rωr

ωF

Euler Coriolis Centrífuga

Sugestão

Sugestão : Mohazzabi, P., 1999. Free fall and angular momentum. Am. J. Phys. 67: 1017-1020

Por curiosidade, considere uma bola esférica que inicia a queda livre de uma altura h = 300 m na latitude = 45 norte. Estime o desvio desconsiderando efeitos de resistência do ar, assumindo que o momento angular é conservado, lembrando que altura h << R (= 6370 km), e admitindo uma aceleração gravitacional (g = 9,8 ms-2) contante.

R.: Encontra o chão 52 centímetros para o Sul e 8 centímetros para Leste.

Vácuo ...

Standard Model

graviton

HHiggs

0 ~125

Campos de força

http://cnx.org/aboutus/

http://en.wikipedia.org/wiki/Strong_interaction

Experimento de Michelson-Morley(1881 e reprise 1887)

Comprimento de Coerência

http://en.wikipedia.org/wiki/Coherence (physics)

Tempo de Coerência

Quanto uma onda é monocromática ...

12

Coerência e pulsos

Formam um pulso se são fixas as fases (coerentes)

Luz solar

Luz branca com fase e amplitude variáveis.

Interferência de pulsos de onda

1 2

3 = < 1 + 2 >

Grau de coerência ...

30 km/s

Sem mudança !

Domínios de validade

Relatividade Especial

Segundo postulado (invariabilidade de c): A luz se propaga no vácuo com uma velocidade constante c que independe dos estados de movimento do corpo emissor e do observador.

Primero postulado (princípio da relatividade):As leis físicas devem ser as mesmas em todos os referênciais inerciais.

Einstein, Albert (1905), "Zur Elektrodynamik bewegterKörper", Annalen der Physik 322 (10): 891–921.

Relatividade

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_conforme

z

z z2

Há diferença entre medir e observar ?Um observador « vê » realmente ?

A velocidade da luz ser finita insere o passado no instante da observação ?

?

Introdução aos Princípios da Relatividade

O « ver » é determinado pela luz que chega ao observador em um

dado momento.

A forma e o volume de um corpo

dependem de como a luz emitida chega

até o « observador ».

As equações de transformação de Galileu

Válidas para baixas velocidades

S S’

y y’

x x’

x’vt

x

evento

v

Invariância da velocidade da luz no vácuo e em todos os referenciais inerciais

As equações de Transformação de Lorentz

Válidas para qualquer velocidade fisicamente possível.

S S’y y’

x x’

x’vt

x

evento

v

Lorentz, Hendrik Antoon (1892), "La Théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants at the Internet Archive", Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles 25: 363–552

Transformações de Lorentz e Princípio da Relatividade

Registrando um evento

4 coordenadas: 3 espaciais 1 temporal

Eventos: colisão entre duas partículas, acender de uma lâmpada, passagem de um pulso luminoso, evolução de uma vida, ...

Relatividade: determina as relações entre as coordenadas atribuídas a um mesmo evento por 2 observadores se movendo um em relação ao outro.

Diagrama do cone de luz de Minkowski (observador sob alta aceleração)

21 /l l l

Quando um evento é Relativístico ...

Exercício:

Mostre que:

Substituindo c por – c :

Então a transformação de Lorentz dilata (contrai) o espaço-tempo (x,y,ct) por um

fator na direção do plano x = +ct (x = –ct ) ?

distorção relativística

P. A. Tipler, & R. A. Llewellyn, Fisica Moderna 3a Ed., LTC

A relatividade da simultaneidade

Não simultâneo

Simultâneo

Não simultâneo

Tempo próprio e comprimento próprioTempo próprio é decorrido entre dois acontecimentos, como medido por um relógio que passa através de ambos os eventos. Depende não apenas os eventos, mas também do movimento do relógio entre os eventos.

Um relógio acelerado mede um menor tempo decorrido entre dois acontecimentos do que o medido por um relógio não acelerado (inercial) entre os mesmos dois eventos: "paradoxo dos gêmeos".

Compimento próprio é o medido em um sistema de referência inercial em que os eventos são simultâneos. Então, se os dois eventos ocorrem em lados opostos de um objeto, o comprimento próprio é o comprimento do objeto medido por um observador que está em repouso em relação ao objeto.

A relatividade do tempo

D

v t

O fator de Lorentz e o parâmetro de velocidade

Fator de Lorentz Parâmetro de velocidade (% c)

Portanto:

(dilatação temporal)

VerificaçãoUma pessoa está de pé ao lado dos trilhos de uma estrada de ferro quando é surpreendida pela passagem de um trem relativístico. No interior de um dos vagões, um passageiro dispara um pulso de laser em direção à parte traseira do vagão. (a) A velocidade do pulso medida pela pessoa que está do lado de fora do trem é maior, menor, ou igual à velocidade medida pelo passageiro? (b) O tempo que o pulso leva para chegar à extremidade posterior do vagão, medido pelo passageiro, é o tempo próprio? (c) A relação entre o tempo medido pelo passageiro e o tempo medido pela pessoa que está do lado de fora é dada por: ?

Verificação

(a) lembrem-se do 2o. Postulado:

“A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todas das direções e em todos os referenciais inerciais.”

Portanto as velocidades são todas iguais.

(b) Não, pois os 2 eventos não acontecem nas mesmas coordenadas espaciais

(c) Não, pois não se trata do tempo próprio.

Exercícios e ProblemasO tempo médio de vida de múons estacionários é de 2,2 s. O tempo médio de vida dos múons de alta velocidade produzidos pelos raios cósmicos é de 16 s no referencial da Terra. Determine a velocidade em relação à Terra dos múons produzidos pelos raios cósmicos.

Tempo próprio

Exercícios e Problemas

A relatividade das distâncias

Em repouso: coordenadas das extremidades

Em movimento: simultaneamente (em nosso ref.)

(observador em repouso A)

(observador em movimento B)

A

Bv

?

A contração das distâncias

(contração das distâncias)

Comprimento próprio

Exercícios e Problemas

(a) Uma pessoa seria capaz, em princípio, de viajar da Terra até o centro da galáxia (que está a cerca de 23000 anos-luz de distância) em um tempo de vida normal? Explique por quê, levando em conta a dilatação dos tempos ou a contração das distâncias. (b) Com que velocidade constante a pessoa teria que viajar para fazer a viagem em 30 anos (tempo próprio)?

Exercícios e Problemas

(b)

Para pares de eventos

O referencial S’ está se movendo com velocidade v em relação ao referencial S.

VerificaçãoAs figuras abaixo mostram três situações nas quais um referencial x’y’ e um referencial xy estão em movimento relativo ao longo da direção comum dos eixos x e x’, como indica o vetor velocidade associado a um dos referenciais. Em cada situação, se tomarmos o referencial x’y’ como estacionário, o parâmetro v das equações anteriores será um número positivo ou negativo?

S

S’y

y’

x

x’

v

S S’y

y’

x

x’

v

S

S’y

y’

x

x’v

(a)

(b)

(c)v v > 0> 0 v v > 0> 0

v <v < 0 0

Algumas conseqüências

Simultaneidade

Dois eventos simultâneos em locais diferentes em S’:

Já em S:

Algumas conseqüências

Dilatação dos tempos

Dois eventos no mesmo local e em ocasiões diferentes em S’:

Já em S:

Algumas conseqüências

Contração das distâncias

Medidas simultâneas em S:

Como:

Exercícios e Problemas

Um astronauta parte da Terra e viaja com uma velocidade de 0,99c em direção a estrela Vega, que está a 26 anos-luz de distância. Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, (a) quando o astronauta chegar a Vega e (b) quando os observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta chegou a Vega? (c) Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?

Exercícios e Problemas

(a) No mesmo referencial inercial:

(b) Supondo que seja enviado um sinal de rádio, este viaja a c de volta:

(c) Temos que calcular o tempo próprio:

A relatividade das velocidades

S S’

y y’

x x’

v

u’ no ref. S’

u no ref. S

Partícula emite 2 sinais, logo:

A relatividade das velocidades

Dividindo:

Ou:

Fazendo:

Temos:

(transformação relativística das velocidades)

Perguntas

As naves A e B da figura abaixo estão em rota de colisão; as velocidades indicadas foram medidas no mesmo referencial. A velocidade da nave Aem relação a nave B e maior que 0,7c, menor que 0,7c ou igual a 0,7c.

AB

0,4c 0,3c

S (do observador inicial) S’ (nave B)

y y’

x x’

v

u’ no ref. S’

u no ref. S (nave A)

Precisamos calcular u’:

A

B

0,4c

0,3c

Como u = 0,4c e v = -0,3c:

Efeito DopplerPara o som:

v

Efeito Doppler para a luz

(fonte e detector se afastando)

Freqüência própria

Apenas a freqüência muda. Importante apenas veloc. entre fonte e detector

(fonte e detector se aproximando)

De acordo com o 2o Postulado:

“A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todas das direções e em todos os referenciais inerciais.”

Exercícios e Problemas

Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c. Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul (=450 nm) para os passageiros. Que cor teria a fonte para um observador terrestre que estivesse assistindo à partida da nave?

Comp. de onda próprio

(fonte e detector se afastando)

Amarelo-esverdeado

O efeito Doppler para a luz

Na astronomia, se a velocidade radial for pequena se pode usar comoaproximação razoável :

Ou:

Comp. de onda próprio

Deslocamento Doppler

v

v

VerificaçãoA figura mostra uma fonte que emite luz de freqüência própria f0 enquanto se move para a direita com velocidade c/4 em relação ao referencial S. A figura também mostra um detector de luz, que mede uma freqüência f>f0 para a luz detectada. (a) O detector esta se movendo para a esquerda ou para a direita? (b) A velocidade do detector em relação ao referencial S é maior que c/4, menor que c/4 ou igual a c/4?

c/4fontedetector

S

vv>>cc/4/4

Efeito Doppler transversal

D

PS

(efeito Doppler transversal)

Dilatação dos tempos:

Como T=1/f:

Outra versão do Slide 31 …

Usando um quadrivetor invariante no formalismo de Minkowski…

Construção de uma Dinâmica Relativística

Definições de velocidades usuais:

Transformações usando equações do Slide 51 :

Portanto

O que ocorre fora do eixo x de deslocamento ?

pois

Então

Similarmente,

Transformação das velocidades

Transformação da velocidade em versão vetorial

De acordo com o Slide 68:

Dividindo numerador e denominador por temos:

Admitindo uma variação de velocidade ao longo do eixo x de deslocamento temos :

O que ocorre fora do eixo x de deslocamento ?

As regras de transformação da Relatividade são diferentes da Mecânica Clássica. Podemos, portanto, esperar que muitas outras quantidades sejam afetadas.

Uma delas é a massa que deve ser transformada se introduzindo o conceito de massa relativística.

Transformação das acelerações

Massa relativística e massa de repouso

O conceito de "massa" é definida de duas maneiras diferentes na Relatividade.

A massa de repouso é definida como uma quantidade invariável que é a mesma para todos os observadores em todos os sistermas de referência.

A massa relativista é dependente da velocidade relativa do observador. Qualquer partícula que tem uma massa de repouso, energia cinética e momento não pode ser acelarada sem o aumento de sua massa relativísta.

A massa de repouso, massa invariante, massa intrínseca ou massa própria é uma característica da energia total e do momento de uma partícula, sendo a mesma em todos os referenciais relacionados por transformações de Lorentz.

Massa relativística

Massa de um objeto movendo em relação a um observador:

Logo (ver situação no Slide 69)

Como

Simplificando

Relatividade GeralPrincípio da Equivalência

(massa incercial) . (aceleração) = (massa gravitacional) .(intensidade do campo gravitacional)

Então, a gravidade é uma pseudo-força experimentada por um observador em um sistema de referência não-inercial (acelerado).

Objetos em queda livre seguem geodésicas do espaço-tempo. O que percebemos como a "força" da gravidade é resultado de não sermos capazes de seguir essas geodésicas do espaço-tempo, porque a resistência mecânica da matéria nos impede de fazê-lo.

Transformação da massa

Obs.1: Se então

Obs.2: Energia relativística

Unidades práticas

Unidade de massa atômica:

Elétron-volt:

c2:

Energia total (supondo Epot=0)

“A energia total E de um sistema isolado não pode mudar.”

Energia cinética

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

K (

MeV

)

v/c

K=mc2(-1)

K=(mv2)/2

Momento e energia cinética

Ou:

mc2

pc

E

mc2

Ksen =

cos = 1/

Verificação

(a) A energia cinética de um elétron de 1 GeV é maior, menor ou igual a de um próton de 1 GeV? (b) Repita o item (a) para a energia total.

(a) igual, pois o termo “de … GeV” significa de energia cinética.

(b) Energias de repousoElétron: 511 keV , Próton: 938 MeVComo a energia total é:

Eeletron < Eproton

Exercícios e Problemas

O tempo de vida médio dos múons em repouso é de 2,20 s. As medidas dos múons produzidos em um acelerador de partículas mostram que eles têm um tempo de vida de 6,90 s. Determine (a) a velocidade, (b) a energia cinética e (c) o momento destes múons no referencial do laboratório. A massa de um múon é de 207 vezes maior que a do elétron.

Sabemos:

(a)

(b)

(c)

Ou então:

Energia de repouso

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

K

(M

eV

)

v/c

K=mc2(-1)

K=(mv2)/2

Energia cinética

Momentum relativístico

Quadri-momentum

Momentum relativístico e energia relativística

Usamos a intercorrelação entre o momentum relativístico e a energia relativística para obter a transformação do momentum:

onde (ver situação no Slide 21):

Transformação relativística do momentum e da energia

Transformação relativística do momentum

A Força

Sendo

Logo

Como

Então

Exercício :

Mostre que:

Transformação relativística da força

Dividindo numerador e denominador por temos:

Substituindo:

Em versão vetorial

De acordo com Slide 94

Transformação da força em versão vetorial

Exercício:

Mostre que para uma determinada força atuando sobre uma partícula temos:

a)

b)

c) Se F é paralela a v, então F = F’.

Exercício:

a) É razoável falar em massa inercial longitudinal e transversal ?

b) O par de forças de ação e reação ao longo da mesma direção em sentidos opostos e com igual módulo da Mecânica Clássica prevalece na Mecânica Relativística ?

Alguns aspectos importantes a serem considerados na formulação da Eletrodinâmica

Invariância da carga elétrica :

Massa relativística :

Momentum relativístico :

Contração do volume :

Observações experimentais

Formalismo de Minkowski

Formulação de quadrivetores

Definição do produto escalar: invariante

Norma de um quadrivetor

Exemplo:

Quadri-momentum

Conforme visto no Slide 94

Linhas de campo elétrico e magnético de uma carga positiva em movimento uniforme conforme um observador estacionário !

EQ BQ

Campos de uma carga em movimento

EQ BQ

Campos de uma carga em movimento « lento » 

Q

Q

‘

‘

No entanto, temos :

Sendo

Direção radial

Direção azimutal

Linhas de campo elétrico de uma carga elétrica deslocando com velocidade = v/c.

Os pontos nas superfícies das esferas "imaginárias" estacionáriasindicam onde emergem as linhas de campo elétrico.

Ou seja, a densidade de pontosindica a intensidade do campo.

O campo elétrico deixa de ser isotrópico!

Não há campo magnético atrás ou a frente !

Equipotenciais de uma carga em movimento

Ação e Reação

Em (a) e (b) é descita a interação entre as cargas Q e q.

Efeito relativístico

Transformação dos campos elétrico e magnético

Uma carga Q com uma velocidade v imersa numa região imersa em campos

E e B conforme um referencial S está subletida a uma força :

Esta força medida num referencial inercial S’ movendo a uma velocidade com relação ao referencial S é dada por:

Se tivermos:

Então

Um elétron de 10 GeV.

Obtenha o fator de Lorentz e a velocidade.

1

Questões e

Problemas

1) Determine a razão entre velocidades v1 : v2 : v3 : v4 que corresponde a razão entre fatores de Lorentz 1 : : 3 : 4 igual a 1,01 : 10 : 100 : 1000

2) (a) Determine a energia total de um eletron de 2,489 MeV. (b)Determine o fator de Lorentz desse eletron. (c) Quanto mais lento que aluz está esse elétron?

3) Large Hadron Collider (LHC) do CERN, é o maior acelerador de partículas existente no mundo. Um de seus principais objetivos é obter dados sobre colisões de feixes de prótons a uma energia de 7 TeV. (a) Determine a massa relativística desses prótons.(b) Determine a energia em joules envolvida na colisão de 14 TeV.

4) Dois eventos ocorrem no mesmo local e ao mesmo tempo para um observador.(a) Ele será simultâneo para todos os demais observadores? (b) Ele irá ocorrer no mesmo local para todos os demais observadores?

5) Itaipu gera energia eleétrica usando a passagem d´água através das turbinas que giram o eixo de um gerador. De acordo com o conceito da equivalência massa-energiao aparecimento da energia elétrica pode ser identificada com a diminuiçao da massa em algum lugar? Se verdade, onde?

6) Se a carga elétrica variar 1 parte em 109 com a velocidade do elétron. Estime o valorda carga elétrica que seria observada numa esfera de cobre de raio 1 m inicialmentedescarregada após ser aquecida à 100 oC.

7) Encontre a velocidade de uma parícula que leva dois anos a mais que luz parapercorrer uma distância de 10 anos-luz.

8) Um avião supersônico voa em Mach 3 por 12 horas.Por qual fator o relógio doavião ficará atrasado em relação ao rel´sgio de um observador em Terra?

9) Um eletron com = 0,999 987 move-se no interior de um tubo de comprimento3 metros num laboratório. (a) Determine quanto mais lento que a luz está o elétron.(b) Qual o comprimento do tubo no referencial do elétron?

10) Um próton aproxima-se da Terra ao longo do eixo do polo Norte com uma velocidade 0,8c e outro com velocidade 0,6c em direção ao polo Sul. Determine avelocidadde relativa entre esses dois prótons.

11) Dois satélites mantém em órbita da Terra a uma velocidade de 20000 km/h. Seeles circulam em sentidos opostos, qual será a diferença entre a velocidade relativa deles seguindo-se a transformação de Galileu e a transformação de Lorentz?

12) Qual o trabalho necessário para levar um eletron a velocidade de 0,5c? E a 0,9c?

13) O consumo de enrgia elétrica no Brasil em 2012 foi aproximadamente 450 TW.hDetermine a massa equivalente.

14) Determine o momento cinético de um proton de modo que sua energia total seja 10 vezes a sua energia de repouso.

15) Explique o significado de massa própria, comprimento próprio e tempo próprio.

16) Descreva o experimento de Michelson e Morley. Explique o significado desseexperimento para a Fisica Moderna.

17) Enuncie os dois postulados de Einstein na Relatividade Especial.

18) Quanto rápido e em que direção deve se mover uma galáxia para um comprimento de onda de 550 nm (verde) observado numa galáxia estacionária aparecer deslocado para 450 nm (azul) (a "blue-shift")?

19) Dertermine a massa longitudinal e a massa transversal mencionadas no slide 101

20) Discuta a validade de cada uma das três Leis de Newton da Mecânica Clássica naRelatividade Restrita.