Física IA (FIT112)- Prof. Antônio Carlosdarnassus.if.ufrj.br/~toni/fisicaI.pdfFundamentos de...

Física IA (FIT112)- Prof. Antônio Carlos Universidade Federal do Rio de Janeiro 13/3/2014 Instituto de Física- UFRJ [email protected]

Física IA (FIT112)- Prof. Antônio Carlos

2

Prof. Antônio Carlos ([email protected])

Departamento de Física Nuclear,

Sala A-307

Objetivos: Apresentar os princípios básicos da Mecânica Clássica, habilitando o aluno a resolver problemas

elementares acerca do movimento e suas causas.

Ementa: Vetores, cinemática unidimensional e tridimensional, Leis de Newton, Dinâmica, Trabalho e

Energia Mecânica, Conservação de Energia Mecânica, Momento linear e sua conservação, Rotação e

Momento angular, Dinâmica de Corpos Rígidos

Referências

Física I - Mecânica (Livro Texto)

Sears & Zemansky - Young & Freedman

12a. Edição - Pearson Addison-Wesley

Fundamentos de Física - Volume 1 - Mecânica

Halliday-Resnick - Jearl Walker

8a. Edição - LTC Grupo GEN

Curso de Física Básica 1 - Mecânica

H. Moysés Nussenzweig - Ed. Edgar Blücher LTDA

Física - Um curso universitário - Volume 1 – Mecânica

Marcelo Alonso & Edward J. Finn - Ed. Edgar Blücher

Física 1

Halliday-Resnick - Krane

4a. Edição - LTC

Critério de Avaliação

Página do curso com informações gerais: http://fisica1.if.ufrj.br/

mailto:[email protected]

http://fisica1.if.ufrj.br/


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Baixar o arquivo disponível em http://www.if.ufrj.br/~toni/fisicaI.pdf imprimir e levar

para aula!

Sugestões para um melhor aproveitamento nesta disciplina:

1- Leia cada tópico abordado antes de ir para a sala de aula. Seu aproveitamento em sala de aula será muito

maior.

2- Participe ativamente da aula. Faça perguntas, responda às questões propostas, faça anotações. Os

resultados das pesquisas em ensino de física mostrar que a participação ativa maximiza o seu

aproveitamento.

3- Após a aula releia o tópico abordado. Resolva os exercícios e problemas propostos no final de cada

capítulo. Para cada hora de aula semanal, recomendamos outra três de estudo em casa. A maioria dos

alunos pensa que para resolver o problema precisa apenas encontrar a fórmula correta e inserir os dados.

Mas não é isto que esperamos de você. A Equação F=ma é fácil de memorizar, difícil de utilizar, e ainda

mais difícil de compreender.

Como funciona a dinâmica da aula

Durante as aulas você será colocado em situações onde terá que pensar, ou seja, ser ativo. As situações

nas quais somos obrigados a pensar são aquelas nas quais temos que responder a questões porque

perguntas exigem uma resposta ativa. A melhor maneira de aprender como resolver problemas é receber

problemas a serem resolvidos. Aprender a pensar não é um processo de absorção, ou seja, assistir

passivamente a uma aula não é efetivo se queremos aprender a pensar. Macacos e crianças foram

treinados a fazerem escolhas cada vez mais refinadas e abstratas e foram capazes de aplicar os princípios

que aprenderam resolvendo problemas fáceis em problemas mais complicados que nunca tinham visto

anteriormente. Conforme os problemas ficaram mais complexos, eles foram capazes de aplicar os

princípios dos problemas anteriores. A prática com problemas simples melhorou e possibilitou a

resolução de problemas mais complexos. Esta habilidade é essencial para o desenvolvimento do poder de

raciocínio do aluno. Quando um aluno recebe um problema a ser resolvido, ele não apenas aplica os

princípios, mas faz combinações dos mesmos para formar novos princípios de ordens superiores. Pensar é

justamente a combinação e aplicação de princípios. O gestaltismo descreve a resolução de problemas

como um processo de alcançar “insights”, através do reconhecimento do problema, pelo ganho de

familiaridade com seus elementos, pela constante reorganização dos elementos, culminando em um

lampejo de compreensão através do encontro da solução. Por exemplo, crianças que foram ensinadas a

encontrar a área de um retângulo através da multiplicação de sua altura por seu comprimento podem

tentar várias maneiras de rearranjar um paralelogramo antes de ter ideia repentina de cortá-lo e formar um

retângulo, de modo a usar a regra aprendida nesta situação nova.

Formato geral da nossa aula:

1) pergunta feita;

2) Estudantes têm tempo para pensar;

3) Estudantes registram ou relatam respostas individuais;

4) Estudantes vizinhos discutem suas respostas;

5) Estudantes registram ou relatam as sua respostas revistas;

6) Feedback para o professor: distribuição de respostas;

7) Explicação da resposta correta;

Dicas para a aula:

1) Leia o tópico a ser apresentado ANTES da aula;

2) não é necessário copiar o material do quadro. Está tudo no livro! Você pode fotocopiar as notas

de aula se desejar;

3) seja ativo!

http://www.if.ufrj.br/~toni/fisicaI.pdf


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“Quem sou eu? De onde vim? O quê devo fazer?

De onde vem o mundo? O mundo pode acabar? O

que é beleza? Todas estas questões possuem um

aspecto em comum: estão relacionadas ao

movimento. Nossa busca por respostas nos leva ao

estudo do movimento em todos os seus detalhes.

Nesta busca, todo aumento na precisão de nossa

descrição do movimento é um passo em direção ao

pico da Montanha do Movimento. Quando

chegarmos ao topo da montanha, poderemos

saborear o que alcançamos e lembrar as emoções

que sentimos. Em nossa subida, aprenderemos

como nos movemos, como crescemos, de que

somos feitos.

Fonte: Christopher Schiller, Motion Mountain

(adaptado).

Teremos a experiência e a compreensão dos vários modos que a beleza aparece na natureza: cores,

formas, ritmos e acima de tudo: simplicidade”

“Primum movere, deinde docere” –Primeiro mova , então ensine. O movimento do coração chama-se motivação.

Ambos os termos possuem a mesma raiz latina

Alguns dos estudiosos do movimento

Parmenides

(ca. 530 a.C.- ca. 460 a.C.). Local: Eleia (perto da atual Nápoles). Argumentava que como nada vem do nada, a mudança não pode existir. Ele ressaltou a permanência da natureza e

afirmava que toda mudança e todo o movimento é uma ilusão.

Heráclito

(ca 540 a.c.-489 a.c) Local: Éfeso, cidade da Jônia (atual Turquia). Os filósofos de Mileto

(Tales, Anaximandro, Anaxímenes, entre outros) haviam percebido o dinamismo das

mudanças que ocorrem na physis, como o nascimento, o crescimento e a morte, mas não chegaram a problematizar a questão. Heraclito, inserido no contexto pré-socrático, parte do

princípio de que tudo é movimento, e que nada pode permanecer estático - Panta rei ou

"tudo flui", "tudo se move", exceto o próprio movimento.

Aristóteles

(Estagira, 384 a.C.- Atenas, 322 a.C.) filósofo grego aluno de Platão e professor de

Alexandre, o Grande. Seus escritos abrangem diversos assuntos, como a física, a metafísica,

as leis da poesia e do drama, a música, a lógica, a retórica, o governo, a ética, a biologia e a zoologia. Juntamente com Platão e Sócrates (professor de Platão), Aristóteles é visto como

um dos fundadores da filosofia ocidental. Em 343 a.C. torna-se tutor de Alexandre da

Macedónia, na época com 13 anos de idade, que será o mais célebre conquistador do mundo antigo. Em 335 a.C. Alexandre assume o trono e Aristóteles volta para Atenas, onde funda

o Liceu.

Galileu Galilei

(Pisa, 1564- Florença,1642). Desenvolveu os primeiros estudos sistemáticos do

movimento. Enunciou o princípio da inércia e o conceito de referencial inercial, ideias precursoras da mecânica newtoniana. Descobriu as manchas solares, as montanhas da Lua,

as fases de Vénus, quatro dos satélites de Júpiter, os anéis de Saturno, as estrelas da Via

Láctea. Estas descobertas contribuíram decisivamente na defesa do heliocentrismo. Contudo a principal contribuição de Galileu foi para o método científico, pois a ciência

assentava numa metodologia aristotélica.

Isaac Newton

(1643-1727) inglês, mais reconhecido como físico e matemático, embora tenha sido

também astrônomo, alquimista, filósofo natural e teólogo. Sua obra, Philosophiae Naturalis

Principia Mathematica, é considerada uma das mais influentes na história da ciência. Publicada em 1687, esta obra descreve a lei da gravitação universal e as três leis de

Newton, que fundamentaram a mecânica clássica.

http://pt.wikipedia.org/wiki/530_a.C.#Nascimentos

http://pt.wikipedia.org/wiki/460_a.C.#Falecimentos


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Aula 1 - Vetores

Nome:_______________________________________________________________________________

“you damn sadist,’ said Mr. Cummings, “you try to make people think” – Ezra Pound, Canto 89

1- Indique se as grandezas a seguir são grandezas escalares (E) ou vetoriais(V):

a) ( ) massa;

b) ( ) carga elétrica;

c) ( ) velocidade;

d) ( ) força;

e) ( ) volume;

2- Com base na figura abaixo, indique as opções corretas:

a) ( ) CBA

;

b) ( ) 0

DB (vetor nulo);

c) ( ) DCA

;

d) ( ) FDC

;

e) ( ) EBA

;

f) ( ) AFA

2

3- Ainda com base na figura acima, indique as opções corretas

a) ( ) FA

;

b) ( ) DB

;

c) ( ) EC

;

d) ( ) BD

;

e) ( ) GF

2 ;

f) ( ) HD

3

4- Ainda com base na figura acima, é corretoa afirmar que:

a) ( ) se é o ângulo que C

faz com a horizontal, então tg =3/2;

b) ( ) se é o ângulo que C

faz com a horizontal, então tg =2/3;

c) ( ) se é o ângulo que C

faz com a horizontal, então sen =2/3;

d) ( ) se é o ângulo que C

faz com a horizontal, então cos =2/3;

5- Com base na figura acima, o módulo de E

vale:

a) ( ) 5

b) ( ) 13

c) ( ) 3

d) ( ) 2


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Aula 2 - Vetores Nome:_______________________________________________________________________________

1- O módulo do vetor jiA ˆ4ˆ3

a) ( ) -25

b) ( ) -5

c) ( ) 5

d) ( ) 25

2- A soma dos vetores kjiA ˆˆˆ

e jiB ˆˆ

é

a) ( ) -2i-2j-1k

b) ( ) 2i+2j-1k

c) ( ) +1k

d) ( ) -1k

3- O produto escalar entre os vetores A=-1i-1j-1k e B=1i+1j é

a) ( ) 2

b) ( ) 1

c) ( ) -1

d) ( ) -2

4- O ângulo entre os vetores A=2i+3j e B=-3i+2j

a) ( ) 0o

b) ( ) 45o

c) ( ) 60o

d) ( ) 90o

5- O que resulta de AA

, o produto escalar de um vetor consigo mesmo?

6- Qual é a área do paralelogramo definido pelo vetores A e B com módulos A=2 e B=3 e que fazem um

ângulo de 30o entre si?

a) ( ) 6;

b) ( ) 4;

c) ( ) 3;

d) ( ) 2;

7- O produto k j é igual a:

a) ( ) i

b) ( ) 0

c) ( ) -i

d) ( ) j

8- Se A=1i-1j+1k e B=1i+1j, determine A B.

a) ( ) i+2k

b) ( ) i-j+2k

c) ( ) i+j

d) ( )-i+j+2k

9- Se A

e B

são vetores diferentes de zero, é possível que BA

e BA

sejam ambos zero? Explique.

10- Se 0BA

, é necessariamente verdadeiro que A=0 ou B=0? Explique.

11- Se 0

BA , é necessariamente verdadeiro que A=0 ou B=0? Explique.

12- O que resulta de AA

, o produto vetorial de um vetor consigo mesmo?

13- Quais das seguintes operações são legítimas: a) CBA

. ; b) CBA

; c) CBA

. ; d)

CBA

; e) CBA


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Para casa:

1- Uma sala tem dimensões 3 x 4 x 5 m3. Uma mosca parte de um de seus cantos e voa para o canto

diametralmente oposto. Qual é o módulo do deslocamento? Poderia sua trajetória ser menor do que este

deslocamento? Escolha um sistema de coordenadas convenientes e escreva este deslocamento na forma

vetorial.

2- Considere um corpo em movimento cujo vetor posição é dado (em cm) por

jtsenittr ˆ4ˆcos3)(

. a) mostre num gráfico em escala o vetor r num determinado instante t; b)

após um intervalo de tempo t pequeno, mostre no mesmo gráfico o novo vetor r; c) calcule o

deslocamento )()( trttrr

sofrido pelo corpo no intervalo t; d) calcule t

rv

e

verifique sua orientação para t = 0, /2, e 3 /2; e) calcule r.v e discuta o resultado; f) calcule r ×v e

discuta o resultado.


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Aula 3- Movimento Retilineo

Nome:______________________________________________________________________

“Observações simples do que nos rodeia mostram que a maioria das coisas sofre mudanças

(envelhecemos, o açúcar dissolve no café, a Terra se move, etc.. ), somente algumas ficam inalteradas.

Iremos nesta disciplina estudar as mudanças que envolvem o movimento de alguma forma. “ R. D.

Knight (adaptado)

Questão de motivação: Todos os motoristas têm as vezes que decidir rapidamente se devem ou não

ultrapassar um sinal amarelo. Cálculos podem revelar algumas situações em que a intuição não ajuda.

Para uma determinada duração do sinal luminoso e para determinadas dimensões de um cruzamento,

quais são as combinações de velocidade inicial e distância que se exigem para parar ? Quais os limites de

velocidade e distância que lhe permitem passar a tempo?

1- Você deseja viajar com uma velocidade média v e percebe que quando está no meio do caminho de seu

destino que sua velocidade média foi v/2. Como você teria que viajar o restante do caminho para obter

uma velocidade média v?

A) ( ) 3v/2;

B) ( ) 2v;

C) ( ) 5v/2;

D) ( ) 3v;

E) ( ) mais rápido do que a luz;

2- Você está fazendo uma viagem de ida e volta a uma velocidade uniforme v de A até B, e retornar de B até

A com uma velocidade constante de 2v. Qual é a sua velocidade escalar média?

A) ( ) 3v/2;

B) ( ) 4v/3;

C) ( ) 5v/2;

D) ( ) 2v/3;

E) ( ) não há informação suficiente para encontrar a solução;

3- Um homem exercita seu cão durante uma caminhada de 15 minutos arremessando uma vareta para que

seu cão corra e a traga de volta ao seu dono. De modo a manter o cão correndo pelo maior tempo possível

enquanto caminha, de que forma o homem arremessa a vareta?

A) ( ) à frente dele;

B) ( ) atrás dele;

C) ( ) lateralmente;

D) ( ) em qualquer direção, pois são todas equivalentes.

Considere o diagrama abaixo para responder às duas primeiras questões. O diagrama representa um

objeto movendo-se ao longo de uma superfície horizontal. As posições indicadas no diagrama estão

separadas por intervalos de tempo iguais. O primeiro ponto indica a posição em que o objeto começou a

se mover e o último quando ele voltou a ficar em repouso.

4- Qual dos gráficos seguintes representa melhor a velocidade do objeto em função do tempo?


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5- Qual dos gráficos seguintes representa melhor a aceleração em função do tempo?

Para responder às próximas três questões, baseie-se no gráfico da velocidade em função do tempo

mostrado a seguir, que representa o movimento de um objeto em uma dimensão

6- Qual é aproximadamente a aceleração média do objeto entre t= 0 e t= 6,0 s?

a) ( ) 3,0 m/s2

b) ( ) 1,5 m/s2

c) ( ) 0,83 m/s2

d) ( ) 0,67 m/s2

e) ( ) N. R. A

7- Qual o espaço percorrido pelo objeto entre t = 0 e t = 6,0 s?

a) ( ) 20 m

b) ( ) 8,0 m

c) ( ) 6,0 m

d) ( ) 1,5 m

e) ( ) N. R. A


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8- Qual é aproximadamente a velocidade média do objeto nos primeiros 6,0 s?

a) ( ) 3,3 m/s

b) ( ) 3,0 m/s

c) ( ) 1,8 m/s

d) ( ) 1,3 m/s

e) ( ) N. R. A.

9- Queda livre: A figura representa uma fotografia múltipla de uma bolinha sendo atirada verticalmente para

cima. A mola, com a bolinha em cima, foi comprimida até o ponto marcado X e então foi solta. A bola

deixou a mola no ponto marcado com Y, e atingiu a altura no ponto marcado Z. Assumindo que a

resistência do ar é desprezível, indique se verdadeiro (V) ou falso (F):

a) A) ( ) A maior aceleração da bola foi no

momento em que atingiu o ponto y (ainda em

contato com a mola);

b) B) ( ) A aceleração da bola foi decrescendo

em seu trajeto do ponto Y ao ponto Z.

c) C) ( ) a aceleração da bola foi zero no ponto

Z.

d) D) ( ) a aceleração da bola foi a mesma em

todos os pontos de sua trajetória, do ponto Y

ao Z.

10- Queda livre: Uma pedra é largada do alto de uma torre. Um segundo depois uma segunda pedra é largada.

A separação entre as pedras conforme caem ...

a) ( ) aumenta;

b) ( ) diminui;

c) ( ) permanece constante;

11- Na situação acima, a segunda pedra atinge o solo em um tempo..

a) ( ) menor do que um segundo após a primeir;

b) ( ) exatamente um segundo após a primeira;

c) ( ) maior do que um segundo após a primeira;

12- Duas pedras são largadas simultaneamente de alturas diferentes. Conforme caem a separação entre elas...

a) ( ) aumenta;

b) ( ) diminui;

c) ( ) permanece a mesma;

13- Na situação acima há um intervalo de tempo entre as chegadas de ambas as pedras ao solo. Suponha que

as pedras são largadas do mesmo modo de alturas superiores mas com a mesma diferença de altura. Então

o tempo entre ambos os impactos...

a) ( ) aumenta;

b) ( ) diminui;

c) ( ) permanece o mesmo;

14- Uma pedra é lançada verticalmente para cima e no ponto mais alto de sua trajetória...

A) ( ) a sua velocidade é nula e a aceleração é g;

B) ( ) a sua velocidade e a aceleração são ambas nulas;

C) ( ) a sua velocidade e a aceleração são ambas não nulas;

D) ( ) a sua velocidade é não nula e a aceleração é g;

E) ( ) dependa da velocidade inicial da pedra;

15- Um vídeo é feito sobre um objeto em queda livre (g aponta para baixo). Agora se o vídeo passa de trás

para frente, ele mostrará o objeto acelerando:

A) ( ) para cima;

B) ( ) para baixo;


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16- Dois ciclistas viajam a uma velocidade escalar constante de 10 km/h em direção um ao outro. No instante

em que os ciclistas estão afastados de 20 km, uma mosca voa de um ciclista ao outro com uma velocidade

de 25 km/h. A mosca toca o segundo ciclista e retorna rapidamente com a mesma velocidade escalar ao

primeiro ciclista. A mosca continua fazendo este movimento de ida e volta de um ciclista ao outro até que

ambos os ciclistas se encontrem. Qual foi a distância total percorrida nas suas idas e vindas. (Esta questão

pode ser muito simples ou muito difícil dependendo do modo como a resolva)

A) ( ) 20 km;

B) ( ) 25 km;

C) ( ) 50 km;

D) ( ) mais do que 50 km;

E) ( ) este problema não pode ser resolvido com as informações fornecidas;

Resposta da questão de motivação do inicio da aula: Quando se aproxima de um cruzamento no exato

instante em o sinal luminoso passa a amarelo, você escolhe entre parar com o máximo de aceleração

negativa (freiar), ou atravessar com uma aceleração positiva máxima, ou manter a mesma velocidade.

Considere que seu carro está a uma velocidade v quando o sinal muda para amarelo, o cruzamento tem

um comprimento L, e a duração da luz amarela é t, e aceleração máxima que seu carro alcança é a. Em

condições ideais em que o motor responde imediatamente ao acelerador e desprezando o seu tempo de

reação, podemos calcular as distâncias necessárias para as três opções possíveis. Para atravessar o

cruzamento sem problemas, tem de estar a uma distância inferior a d < (v t+a t2/2 – L) . Para parar a

tempo tem de estar a uma distância d> v2/2a . Entre estes extremos você pode optar.


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Aula 4- Movimento em 2 e 3 dimensões

Nome: ______________________________________________________________________

1- Um objeto movimenta-se no plano xy com a posição descrita como uma função do tempo dada por r =

x(t) i + y(t) j. O ponto O está em r=0. O objeto movimenta-se na direção de O quando

a) ( ) vx > 0, vy > 0

b) ( ) vx < 0, vy < 0

c) ( ) xvx + yvy < 0

d) ( ) xvx + yvy > 0

2- Um carro viaja 15 km para leste com velocidade de módulo constante de 20 km/h, então prossegue mais

20 km com uma velocidade de 30 km/h. O que se pode concluir sobre o módulo da velocidade média?

a) ( ) v < 25 km/h

b) ( ) v = 25 km/h

c) ( ) v > 25 km/h

d) ( ) N. R. A

3- Movimento bidimensional. Do topo de um edifício arremessamos três pedras idênticas e com a mesma

velocidade em módulo. A primeira é arremessada para cima, a segunda lateralmente e a terceira para

baixo. Qual pedra estará se movendo mais rapidamente quando atingir o solo?

a) ( ) a primeira;

b) ( ) a segunda;

c) ( ) a terceira;

d) ( ) todas terão a mesma velocidade;

4- Aceleração: a posição de uma partícula que se move no espaço é dada por r(t) = 2t3 i-3tj+5 k , onde t é

dado em segundos e r(t) em metros. A aceleração da partícula é (dica: a derivada de xn é nx

n-1)

a) ( ) a(t) = 2t i-(3/t)j+(5/t2) k

b) ( ) a(t) = t3 i-3tj

c) ( ) a(t) = 6t2 i-3j

d) ( ) a(t) = 12 ti

5- Movimento de um projétil. Um projétil é lançado com uma velocidade inicial de módulo vo com um

ângulo o medido da horizontal. Despreze a resistência do ar. Em que momento do movimento a

aceleração no projétil se iguala a zero?

a) ( ) Em algum ponto antes de atingir sua altura máxima;

b) ( ) No ponto mais alto;

c) ( ) Em algum ponto depois de atingir sua altura máxima;

d) ( ) Em nenhum ponto da trajetória;

6- Movimento de um projétil. Um objeto é lançado no ar com uma velocidade inicial dada por vo = (4,9 i +

9,8 j) m/s. Despreze a resistência do ar. No ponto mais alto, o módulo da velocidade é

a) ( ) 0.

b) ( ) 4,9 m/s.

c) ( ) 9,8 m/s.

d) ( ) (4,92 + 9,8

2)

1/2 m/s.

7- Quando um rifle é disparado contra um alvo distante, a direção do cano não coincide com o alvo. Por quê

? O ângulo da correção depende da distância ao alvo?


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Aula 5- Movimento circular, movimento relativo e referenciais

Nome:______________________________________________________________________

Questão de motivação1: É difícil encontrar física mais real do que aquela que pode envolver a nossa

própria morte. Por exemplo, suponha que você conduz um automóvel e que, de repente, vê uma manada

de gado no fim de um cruzamento em T. O quê fazer? Pisar fundo nos freios, sem derrapar e manter a

mesma direção? Curvar a alta velocidade? Ou curvar usando os freios da melhor maneira possível?

Questão de motivação 2: Devemos correr ou caminhar ou caminhar debaixo da chuva para não ficar tão

molhado?

1) Um antiquado disco compacto de vinil gira sobre o prato do aparelho a 5 rpm. Qual é a sua velocidade

angular em rad/s?

a) ( ) /6;

b) ( ) 10 ;

c) ( ) 2 ;

d) ( ) ;

2) No problema anterior, qual é o seu período em segundos?

a) ( ) 3;

b) ( ) 6;

c) ( ) 10;

d) ( ) 12;

3) Um grão de poeira está sob a superfície de um disco que gira em M. C. U. A equação horária da posição

angular do grão é (t) = - +2 t, onde é dado em radianos e t em segundos. O período de rotação do

disco em segundos é

a) ( ) 2

b) ( ) 1

c) ( ) (1/2 )

d) ( ) 2

4) (M.C. U) Indique se as afirmações abaixo sobre o M. C. U são verdadeiras (V) ou falsas (F)

a) ( ) a velocidade linear (vetor) é constante

b) ( ) a velocidade angular é constante

c) ( ) o módulo da velocidade linear é constante

d) ( ) a aceleração (vetor) é constante

5) Movimento relativo. Um objeto tem velocidade de módulo v1 em relação ao solo. Um observador que se

move com velocidade de módulo vo relativa ao solo mede a velocidade do objeto como sendo de módulo

v2 . Os módulos das velocidades estão relacionados por

a) ( ) vo v1 + v2

b) ( ) v1 vo + v2

c) ( ) v2 v1 + vo

d) ( ) vo = v1 + v2

6) Um menino sentado em um vagão ferroviário, que se move a uma velocidade constante, atira uma bola no

ar, em linha reta. De acordo com uma pessoa que está sentada próxima a ele, onde a bola irá cair?

a) ( ) atrás do menino

b) ( ) Na frente do menino

c) ( ) Nas mãos do menino

7) Onda a bola cairia se o trem estivesse acelerando para frente enquanto a bola está no ar?

a) ( ) atrás do menino

b) ( ) Na frente do menino

c) ( ) Nas mãos do menino

d) ( ) ao lado dele


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Baseie-se no gráfico abaixo para responder às três questões seguintes. Este diagrama representa um bloco

deslizando ao longo de uma rampa sem atrito. As oito setas numeradas representam direções a serem

tomadas como referência para responder às questões

1)

2) 8) A direção da aceleração do bloco, quando

estiver na posição A, é melhor representada

por qual das setas no diagrama?

a) A) ( ) 1

b) B) ( ) 2

c) C) ( ) 4

d) D) ( ) 5

e) E) ( ) 6


estiver na posição B, é melhor representada


a) A) ( ) 1

b) B) ( ) 3

c) C) ( ) 5

d) D) ( ) 7

e) E) ( ) nula


estiver na posição C, é melhor representada


a) A) ( ) 1

b) B) ( ) 3

c) C) ( ) 5

d) D) ( ) 6

e) E) ( ) nula

11) Em uma loja duas escadas rolantes estão dispostas como mostra a figura abaixo. O ângulo de

elevação de cada escada, em relação a horizontal é o mesmo. As escadas movimentam os degraus com

velocidades de mesmo módulo v, medidas em relação à Terra. Num dado instante duas pessoas A e B

entram simultaneamente nas escadas e ao entrarem permanecem paradas em relação aos degraus das

respectivas escadas. A pessoa A entra na escada que sobe e a pessoa B na escada que desce; vide a figura

abaixo. Considerando que a Terra é um referencial inercial, o módulo da velocidade da pessoa A em

relação à pessoa B, enquanto eles estão nas escadas é:

a) ( ) vA/B = 0;

b) ( ) vA/B = vcos ;

c) ( ) vA/B não é constante;

d) ( ) vA/B =2vsen ;

e) ( ) vA/B = vsen2 ;

Para casa: Um bêbado resolveu pegar uma canoa e remar rio acima. Quando passou embaixo de uma

pequena ponte, sem que percebesse, sua garrafa de cachaça caiu no rio e imediatamente passou a se

mover, em relacão às margens, coma velocidade do rio. Não tardou muito para que o bêbado se desse

conta dessa “tragédia”, e dois minutos depois da queda da garrafa, ele virou a canoa e começou a remar

rio abaixo, mas com a mesma intensidade com que remava rio acima. Quando ele por fim atingiu a

garrafa, para sua felicidade, ele se encontrava a 120m da ponte. Desprezando o tempo gasto pelo bêbado

para virar a canoa, calcule o módulo da velocidade do rio em relação às margens.

Resposta da questão de motivação 1: Se a manada for grande demais para poder contornar o melhor a

fazer é procurar parar o mais depressa possível. Descrever uma curva circular para tentar evitar a manada,

necessitaria despender uma força muito maior para fazer o carro parar.


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Aula 6 - Leis de Newton do movimento

Nome:________________________________________________________________________

LEX I – Corpus omne persevare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi

quatenus a viribus impressis cogitir statum illum mutare.

LEX II – Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam

qua vis illa imprimitur.

LEX III – Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se

mutuo semper esse aequales et in prtes contrarias dirigi.

Nature and Nature’s Laws lay hid in Night.

God Said, “Let Newton be”; and all was light

Alexander Pope

1- Primeira lei de Newton: Uma espaçonave interestelar, longe da influência de qualquer estrela ou planeta,

está se movendo em alta velocidade sob o empuxo de foguetes, quando um defeito nos motores faz os

mesmos pararem. A espaçonave irá:

a) ( ) parar imediatamente, jogando todos os ocupantes para a frente do veículo

b) ( ) começar a desacelerar, eventualmente atingindo o repouso no vazio frio do espaço;

c) ( ) continuar se movendo com velocidade constante por um período, mas começando, então, a desacelerar.

d) ( ) continuar se movendo para sempre na mesma velocidade

2- Primeira lei de Newton: Uma criança pequena está brincando com uma bola em uma superfície nivelada.

Ela dá um empurrão à bola para colocá-la em movimento. Então, a bola rola uma pequena distância até

parar. A bola reduz a velocidade e pára porque

a) ( ) a criança parou de empurrá-la

b) ( ) a velocidade é proporcional à força

c) ( ) deve ter existido alguma força sobre a bola, oposta ao sentido do movimento.

d) ( ) a força resultante sobre a bola é nula, então ela quer permanecer em repouso.

3- Segunda Lei de Newton: Um objeto está se movendo para o norte. De posse apenas desta informação,

pode-se concluir:

a) ( ) que existe uma única força sobre o objeto, direcionada para o norte

b) ( ) que existe uma força resultante sobre o objeto, direcionada para o norte;

c) ( ) que podem existir várias forças sobre o objeto, mas a maior deve estar direcionada para o norte;

d) ( ) nada acerca das forças sobre o objeto;

4- Segunda Lei de Newton: Um objeto está se movendo para o norte e a sua velocidade está aumentando. De

posse apenas desta informação, pode-se concluir:

a) ( ) que existe uma única força sobre o objeto, direcionada para o norte

b) ( ) que existe uma força resultante sobre o objeto, direcionada para o norte;

c) ( ) que podem existir várias forças sobre o objeto, mas a maior deve estar direcionada para o norte;

d) ( ) nada acerca das forças sobre o objeto;

5- Segunda Lei de Newton: Qual dos seguintes objetos não está experimentando uma força resultante

direcionada para o norte?

a) ( ) Um objeto que se move para o sul com a sua velocidade diminuindo;

b) ( ) Um objeto que se move para o norte com a sua velocidade aumentando;

c) ( ) Um objeto instantaneamente em repouso que inicia o movimento na direção norte;

d) ( ) Um objeto que se move para o norte com velocidade constante;

6- Terceira Lei de Newton: Uma pedra repousa sobre uma superfície nivelada. O módulo da força sobre a

superfície, exercida pela pedra, é FSP, e o módulo da força sobre a pedra, exercida pela superfície é FPS. Se

estas duas forças forem comparadas, observa-se que

a) ( ) FPS > FSP

b) ( ) FPS < FSP

c) ( ) FPS = FSP


16

7- Terceira Lei de Newton: Uma pedra repousa sobre uma superfície inclinada. A pedra inicialmente está em

repouso, mas começa a deslizar para baixo. O módulo da força sobre a superfície, exercida pela pedra, é

FSP, e o módulo da força sobre a pedra, exercida pela superfície é FPS. Se estas duas forças forem

comparadas, observa-se que

a) ( ) Sempre FPS > FSP

b) ( ) Sempre FPS < FSP

c) ( ) Sempre FPS = FSP

d) ( ) FPS = FSP, quando a pedra está em repouso; caso contrário, FSP> FPS;

8- No gráfico seguinte é mostrada a velocidade de um objeto em função do tempo.

Qual dos gráficos abaixo mostra a relação entre a força resultante e o tempo?

9- Um carro tem uma aceleração máxima de 3,0 m/s2. Qual será a sua máxima aceleração quando estiver

rebocando um outro carro com o dobro de sua massa?

a) ( ) 2,5 m/s2

b) ( ) 2,0 m/s2

c) ( ) 1,5 m/s2

d) ( ) 1,0 m/s2

e) ( ) 0,5 m/s2

10- Uma mulher pesando 6,0 102

N está dentro de um elevador que sobe do primeiro para o sexto andar.

Quando o elevador se aproxima do sexto andar, ele diminui sua velocidade de 8,0 m/s para 2,0 m/s em 3,0

s. Qual será a força média exercida pelo piso do elevador sobre a mulher durante este intervalo de tempo

de 3,0 s?

a) ( ) 120 N

b) ( ) 480 N

c) ( ) 600 N

d) ( ) 720 N

e) ( ) 1200 N

11- O diagrama a seguir representa um bloco que se move sobre uma superfície horizontal e sem atrito, no

sentido indicado pela seta tracejada. Uma força constante de módulo F (horizontal para a direita),

mostrada no diagrama, está agindo sobre o bloco. Para que o objeto fique sujeito a uma força resultante

na direção da seta tracejada, em qual das direções indicadas deverá estar agindo uma outra força?


17

a) a) ( ) A

b) b) ( ) B

c) c) ( ) C

d) d) ( ) D

e) e) ( ) E

Considere o diagrama ao lado para responder

às duas questões seguintes. Os blocos A e B,

cada um com massa de 1,0 kg estão

suspensos no teto de um elevador pelas

cordas 1 e 2.

12- Qual é a força exercida pela corda 1 sobre o bloco A, quando o elevador está subindo com uma

velocidade constante de 2,0 m/s?

a) ( ) 2N

b) ( ) 10 N

c) ( ) 12 N

d) ( ) 20 N

e) ( ) 22 N

13- Qual é a força exercida pela corda 2 sobre o bloco B quando o elevador está estacionário?

a) ( ) 2N

b) ( ) 10 N

c) ( ) 12 N

d) ( ) 20 N

e) ( ) 22 N

14- A força resultante que atua num carro em movimento circular uniforme em uma superficíe horizontal ...

a) ( ) aponta na direção na qual o carro está se movendo;

b) ( ) aponta para o centro do círculo;

c) ( ) é nula;

15- O motorista em um carro em movimento circular experimenta uma dada força centrípeta. Esta força

aumentará mais se

a) ( ) dobrar a velocidade do carro;

b) ( ) dobrar o raio da circunferência;

c) ( ) diminuir pela metade o raio da circunferência;

d) ( ) as alternativas a e b produzem o mesmo resultado;

e) ( ) as alternativas a e c produzem o mesmo resultado;

16- Conforme a bola rola abaixo (vide figura), a respeito da velocidade e da aceleração é correto afirmar que:

A) A) ( ) a sua velocidade aumenta e sua aceleração diminui;

B) B) ( ) a sua velocidade diminui e sua aceleração aumenta;

C) C) ( ) ambas aumentam;

D) D) ( ) ambas diminuem;

E) E) ( ) ambas permanecem constante;

Para saber mais:

[1] M. C. D. Neves, Uma Investigação Sobre a Natureza do Movimento ou Sobre uma História para a

Noção do Conceito de Força, Rev. Bras. Ens. Fís. 22, 543 (2000).


18

Questionário de Avaliação

Prezado Aluno, responda a este questionário de maneira consciente. Ele será empregado pra melhorar o

seu curso. Não se identifique. Imprima e entregue ao seu professor.

1 2 3 4 5

O professor preparava e organiza bem as aulas? Nunca Sempre

Ele se expressava de maneira Confusa clara

Quanto ao emprego do quadro-negro, ele era Confuso organizado

Durante a aula, o professor é Monótono vibrante

O professor aceita divergência de opinião Nunca Sempre

O professor estimula a participação do aluno Nunca Sempre

O relacionamento do professor com o aluno é antagônico amigável

O professor está disposto a ajudar ao aluno? Nunca Sempre

O professor é acessível fora da sala de aula? Nunca Sempre

Para você, o conhecimento do professor é fraco ótimo

Com relação às aulas, o professor demonstra insegurança segurança

O professor começava as aulas atrasado pontualmente

Você frequentou as aulas raramente sempre

Classifique sua participação na aula desligado atento

Seu interesse pela disciplina reduziu aumentou

seu tempo de estudo desta matéria é pequeno grande

Qual é o seu C. R. acumulado

O professor desta disciplina merece algum destaque (positivo ou negativo)

Coloque no espaço abaixo outras sugestões que considerar pertinentes.


19

Aula 7- Leis de Newton do movimento

Nome:_____________________________________________________________________

1- Um pequeno objeto de 2 kg está suspenso, em repouso, por dois fios, conforme mostrado na figura

abaixo. O módulo da força exercida por um fio no objeto é 13,9 N. o módulo da força da gravidade é 19,6

N. O módulo da força resultante no objeto é

a) ( ) 47,4 N

b) ( ) 33,5 N

c) ( ) 13,9 N

d) ( ) 8,2 N

e) ( ) 0 N

2- O fio do lado esquerdo da figura acima rompe-se repentinamente. No instante em que o fio se rompe, o

módulo da força resultante no objeto é

a) ( ) 47,4 N

b) ( ) 33,5 N

c) ( ) 13,9

d) ( ) 8,2 N

e) ( ) 0 N

Este enunciado se refere às questões 3, 4 e 5. Na figura abaixo, os corpos estão ligados por um fio

conforme indicado. Admitindo que as polias sejam ideais (sem massa, sem atrito).

3- Qual é a razão entre as acelerações dos corpos (a2/a1) ?. Dados: m1, m2, g.

a) ( ) -m2/m1

b) ( ) -m1/m2

c) ( ) -2

d) ( )-1

e) ( ) -½

4- Qual a relação entre a tensão no fio 1 e a tensão no fio 4 (T1/T4)?

a) ( ) m2/m1

b) ( ) m1/m2

c) ( ) 2

d) ( ) 1

e) ( ) ½

5- Qual a relação entre a tensão no fio 3 e a tensão no fio 4 (T3/T4)?

a) ( ) m2/m1

b) ( ) m1/m2

c) ( ) 2

d) ( ) 1

e) ( ) ½


20

6- Um punhado de moscas é mantido em um pote fechado. Você coloca o pote sobre uma balança. A

balança registrará um peso maior quando as moscas estiverem

A) ( ) apoiadas sobre a base do pote;

B) ( ) voando dentro do pote;

C) ( ) o peso do pote será o mesmo em ambos os casos.

7- Dois elos de correntes de massas iguais a m1 e m2 e entrelaçados, são puxados verticalmente para cima

por uma força F constante. Verifica-se que eles sobrem com velocidade constante. A expressão correta da

dinâmica do movimento dos elos é (lembre-se: negrito indica grandeza vetor):

a) ( ) F- (m1+m2)g=0

b) ( ) F+(m1-m2)g=0

c) ( ) F+ (m1+m2)g=0

d) ( ) F+ (m2-m1)g=0

e) ( ) nenhuma das respostas anteriores

Para saber mais:

V. B. Barbeta e I. Yamamoto, Dificuldades Conceituais em Física Apresentadas por Alunos Ingressantes

em um Curso de Engenharia, Rev. Bras. Ens. Fis. 24, 324, (2002)


21

Aula 8 - Aplicações das Leis de Newton

Nome:_____________________________________________________________________

1- Um objeto está livre para se mover sobre uma mesa, com exceção da força de atrito constante, que se

opõe ao movimento do objeto quando ele se move. Uma aceleração de 2,0 m/s2 é observada quando uma

força horizontal de 10,0 N é usada para puxar o objeto. Uma aceleração de 6,0 m/s2 é observada quando

uma força horizontal de 20,0 N é usada para puxar o objeto. Qual é a força de atrito?

a) ( ) 1,0 N

b) ( ) 3,33 N

c) ( ) 5,0 N

d) ( ) 10,0 N

2- Ainda sobre o objeto da questão acima. Qual é a sua massa?

a) ( ) 0,4 kg

b) ( ) 2,5 kg

c) ( ) 3,33 kg

d) ( ) 5,0 kg

3- Uma pessoa empurra um bloco com velocidade constante através de uma superfície horizontal rugosa,

aplicando uma força de módulo F. As setas no diagrama indicam corretamente as direções, mas não

necessariamente as intensidades, das várias forças sobre o bloco. Qual das seguintes relações entre as

intensidades das forças P, Fat, N e F deve ser verdadeira?

A) a) ( ) F= Fat;

B) b) ( ) F= Fat e N > P;

C) c) ( ) F> Fat e N < P;

D) d) ( ) F> Fat e N = P;

E) e) ( ) NRA

4- Considere a figura abaixo. Há atrito entre todas as superfícies. A opção que melhor representa a força de

atrito sobre o bloco A

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

5- A opção que melhor representa a força de atrito sobre o bloco B devido ao bloco A é

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

Um pequeno cilindro metálico repousa sobre uma

plataforma horizontal circular, a qual gira com

velocidade constante como ilustrado no diagrama

ao lado.


22

6 - Qual dos seguintes conjuntos de vetores descreve melhor a velocidade, aceleração e a força agindo

sobre o cilindro no ponto indicado no diagrama?

7- Suponha que o cilindro metálico do problema anterior tenha massa de 0,10 kg e que o coeficiente de

atrito estático entre a superfície e o cilindro seja 0,12. Se o cilindro está a 2,0 m do centro da plataforma,

qual é aproximadamente a máxima velocidade com que o cilindro pode se mover ao longo de sua

trajetória circular sem escorregar sobre a mesa?

a) ( ) 0

b) ( ) entre 0,5 m/s e 1,0 m/s

c) ( ) 1,0 m/s

d) ( ) 1,5 m/s

e) ( ) 2,0 m/s

8- Um paraquedista está em queda livre antes de abrir o seu paraquedas. A força resultante nele possui um

módulo F e é direcionada para baixo; esta força resultante é um pouco menor que o seu peso P, em função

do atrito com o ar. Então ele abre o paraquedas. A força resultante que age sobre ele, no instante após o

seu paraquedas inflar totalmente é

a) ( ) maior que F e direcionada para baixo;

b) ( ) menor que F e direcionada para baixo;

c) ( ) zero;

d) ( ) direcionada para cima, mas pode ser maior ou menor que F;

9- Um paraquedista caindo em posição horizontal sujeito a força de resistência do ar f =Dv2, onde D é uma

constante e v a sua velocidade. A sua velocidade terminal é

a) ( ) v=mg/D

b) ( ) v=(D/mg)1/2

c) ( ) v=D/mg

d) ( ) v=(mg/D)1/2

e) ( ) v=(mg/D)2

10- Um elefante e uma pena caem de uma árvore alta. Qual sofre uma resistência do ar maior ao cair?

A) ( ) O elefante;

B) ( ) a pena;

C) ( ) ambos sofrem forças iguais;

Para saber mais:

H. Caldas e E. Saltiel, Sentido das Forças de Atrito e Movimento I, Rev. Bras. Ens. Física 21, 359 (1999).

H. Caldas e E. Saltiel, Sentido das Forças de Atrito e Movimento II, Rev. Bras. Ens. Física 21, 542

(1999).


23

Problemas adicionais - Leis de Newton

1- 1- Um bloco de massa m encontra-se sobre uma

cunha de ângulo e massa M, conforme mostra a

figura. Não existe atrito entre a cunha e o chão, e o

o coeficiente de atrito estático entre a cunha e o

bloco é . A) Qual é o módulo da força horizontal

máxima F que pode se aplicada ao bloco m tal que

ele não deslize sobre a cunha? B) Qual é o valor da

força normal sobre o bloco m nesta situação?

2- Resp.: a) F=(m+M)(m/M)g(tg + )/(1- tg )

3- B) mg/(cos - sen )

Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato

4- 2- Um bloco de massa M encontra-se sobre outro

bloco de mesma massa, num plano inclinado liso,

de ângulo , conforme mostra a figura. O

coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é

, e entre o bloco inferior e o plano é zero. A)

Determine a máxima força F que pode ser aplicada

ao bloco superior sem que este deslize sobre o

bloco inferior. B) Neste caso, qual será a

aceleração do sistema?

5- Resp.:

6- A) F=2 Mgcos

7- B)a=g( cos -sen )


8- 3- Um bloco de massa M1 encontra-se sobre outro

bloco de massa M2, que desliza sobre o chão,

conforme mostra a figura. O atrito estático entre os

dois blocos é e. A) Determine a máxima força F

que pode ser aplicada ao bloco 2 sem que o bloco 1

deslize sobre ele. B) Se a força for aumentada tal

que M1 começa a deslizar, e o atrito cinético entre

os blocos também é c, qual será a aceleração de

cada massa?


9- 4- Um bloco de massa M encontra-se pendurado

através de uma corda ideal sobre uma cunha de

ângulo , conforme mostra a figura. Não existindo

atrito entre os blocos, pergunta-se qual é a

aceleração máxima que pode ser dada ao sistema

tal que o corpo M permaneça em contato com o

bloco triangular. Neste caso, qual é a tensão na

corda? Se o sistema estiver se deslocando com

velocidade constante, qual o valor da tensão na

corda e da normal sobre o bloco?


10- 5- Dado o ângulo de um plano inclinado sem

atrito, qual deve ser a aceleração aR tal que o bloco

de massa m mostrado na figura não deslize?


11- 6- Encontre a massa do corpo A tal que a

aceleração do corpo B na figura ao lado é nula.


24

12- Encontre a aceleração do corpo de 2 kg da

figura ao lado

13- No sistema mostrado ao lado, o bloco em

contato com a superfície horizontal sem atrito

está sujeiro a um força F. Existe um

coeficiente de atrito estático entre este bloco

e o bloco A de tal maneira que não existe

movimento relativo entre os três blocos que

compõem o sistema. Calcule: a) o ângulo .

B) a tensão na corda e c) o mínimo

14- Um bloco de massa M repousa sobre uma

mesa com coeficiente de atrito estático .

Uma força F é aplicada ao bloco de maneira a

formar um ângulo com a horizontal, como

mostra a figura ao lado. Supondo que o bloco

esteja sempre na iminência de deslizar, a) qual

o ângulo o que permite que a força aplicada

seja mínima? e b) neste caso, qual será o valor

desta força?


25

Aula 9 – Trabalho

Nome:________________________________________________________________________

Motivação:todos os animais terrestres, a despeito

de seu tamanho atingem ao pular uma altura

máxima de quase 2m, conforme mostrado na

figura ao lado. Por quê? A resposta está no final da

aula.

Altura atingida por um animal em função de seu comprimento

(Motion Mountain Vol. I).

1- Quanto trabalho é realizado pela força F= (6i-3j) N sobre uma partícula quando esta efetua o

deslocamento r = 2i m?

a) ( ) 0 J

b) ( ) -6 J

c) ( ) 12 J

d) ( ) -12 J

2- Trabalho realizado por uma força constante. Um aluno pega uma caixa que está sobre uma mesa e a

coloca no chão. Considere que o trabalho total realizado pelo aluno é W. Pode-se concluir que

a) ( ) W = 0

b) ( ) W > 0

c) ( ) W < 0

3- Trabalho realizado por uma força constante. Um objeto de massa igual a 2,0 kg move-se sobre uma mesa

horizontal sem atrito em um movimento circular uniforme. O raio do círculo é de 0,75 m e a força

centrípeta é de 10,0 N. O trabalho realizado por esta força enquanto o objeto se move durante a metade de

uma revolução completa é

a) ( ) 0 J

b) ( ) 10,0 J

c) ( ) 3,75 J

d) ( ) 7,5 J

4- Ainda sobre o item anterior, o trabalho realizado por esta força enquanto o objeto se move durante uma

revolução completa é

a) ( ) 0 J

b) ( ) 20,0 J

c) ( ) 7,5 J

d) ( ) 15 J

5- Quais das seguintes grandezas são independentes da escolha do sistema de referência inercial? (pode

existir mais de uma resposta)

a) ( ) velocidade

b) ( ) aceleração

c) ( ) força

d) ( ) trabalho.

6- Trabalho realizado por uma força variável. A força exercida por um dispositivo especial de compressão é

dada por F(x) = kx(x-L) para 0 x L, onde L é a máxima compressão possível e k é uma constante. A

força necessária para comprimir o dispositivo de uma distância d é máxima quando

a) ( ) d = 0

b) ( ) d = L/4

c) ( ) d = L/21/2

d) ( ) d = L/2

e) ( ) d= L


26

7- O trabalho necessário para comprimir o dispositivo de uma distância d é máximo quando

a) ( ) d = 0

b) ( ) d = L/4

c) ( ) d = L/21/2

d) ( ) d = L/2

e) ( ) d= L

8- Uma partícula de 2,0 kg que se move ao longo do eixo x experimenta a força representada na figura

abaixo. O trabalho entre as posições x = 0 m e x = 2 m é

a) a) ( ) 20 J

b) b) ( ) – 20 J

c) c) ( ) 10 J

d) d) ( ) – 10 J

e) e) ( ) 0 J

9- Com base na mesma figura, o trabalho entre x = 2 m e x= 4m é

a) ( ) 20 J

b) ( ) – 20 J

c) ( ) 10 J

d) ( ) – 10 J

e) ( ) 0 J

10- Ainda com base na figura acima, o trabalho entre x = 1 e x = 3 m é

a) ( ) 20 J

b) ( ) – 20 J

c) ( ) 10 J

d) ( ) – 10 J

e) ( ) 0 J

(este enunciado se refere às cinco questões a seguir- Probl. 6.57 do livro texto). Um carregador empurra

uma mala de massa M para cima de uma rampa com inclinação de acima da horizontal com uma força

F de módulo igual a F que atua paralelamente à rampa. O coeficiente de atrito cinético é dado por . Se a

mala se desloca uma distância d ao longo da rampa.

11- O trabalho realizado sobre a mala pela força F é

a) ( ) Fd

b) ( ) Fdcos

c) ( )-Fd

d) ( ) -Fdcos

e) ( ) zero

12- O trabalho realizado sobre a mala pela força gravitacional é

a) ( ) zero

b) ( ) -mgdcos

c) ( )-mgdsen

d) ( ) mgdcos

e) ( ) mgdsen


27

13- O trabalho realizado pela força normal é

a) ( ) zero

b) ( ) -mgdcos

c) ( )-mgsen

d) ( ) mgdcos

e) ( ) mgdsen

14- O trabalho realizado pela força de atrito é

a) ( ) - mgcos d

b) ( ) - mgsen d

c) ( ) mgtg d

d) ( ) mgcos d

e) ( ) zero

15- O trabalho total realizado sobre a mala é

a) ( ) zero

b) ( ) Fd-mgd(sen - cos )

c) ( ) Fd+mgd(sen - cos )

d) ( ) Fd-mgd(sen + cos )

16- Um homem pula de um prédio de 202 m de altura sobre um colchão que tem uma espessura de 2 m. Se o

colchão é comprimido a uma espessura de 0,5 m, qual é a aceleração média do homem enquanto ele pára?

a) a) ( ) g

b) b) ( ) 133 g

c) c) ( ) 5g

d) d) ( ) 2g

e) e) ( ) 266 g

Resposta à questão de motivação: Para pular até uma altura h, um animal de massa m precisa de uma

energia E=mgh e o trabalho disponível para os seus músculo é proporcional a m. Assim, a altura h

independe da massa do animal. Ou seja, a energia mecânica específica dos animais terrestres é de 1,5 0,7

J/kg.

Importante!

Em qualquer discussão sobre trabalho, é importante ter claro que o trabalho é realizado sobre um sistema

por uma força. Então é necessário identificar e categorizar o sistema. O sistema será sempre fechado, ou

seja, limitado por uma superfície que envolve o sistema e o separa da sua vizinhança.

rFW

onde o deslocamento é sempre o deslocamento do ponto de aplicação da força. Para um

sistema consistindo de uma única partícula ou objeto não deformável e que não gira, o deslocamento do

ponto de aplicação d força é igual ao deslocamento do centro de massa do sistema. No entanto, para

objetos deformáveis ou girantes, o deslocamento do CM pode ser diferente do deslocamento do ponto de

aplicação da força.

O trabalho total realizado por várias forças sobre um sistema é igual à soma dos trabalhos individuais

realizados sobre o sistema por cada força individual. Esta definição difere a definição usual: o trabalho

total realizado sobre o sistema é igual ao produto da força resultante sobre o sistema e o deslocamento do

objeto quando o objeto não é perfeitamente rígido e não-deformável.


28

Aula 10- Trabalho e Energia

Nome:_____________________________________________________________________

1- Uma partícula de 20 g está se movendo para esquerda a 30 m/s. Quanto trabalho deve ser realizado sobre

ela para fazê-la se mover para a direita a 30 m/s?

a) ( ) 18 J

b) ( ) -18 J

c) ( ) 9 J

d) ( ) – 9J

e) ( ) 0 J

2- (teorema do trabalho energia- probl. 6.27) Um carro se desloca sobre uma superfície com velocidade vo

no momento em que os freios ficam bloqueados, de modo que os pneus deslizam em vez de rolar. Qual a

distância mínima para o carro parar em função de vo, de g e do coeficiente de atrito cinético entre o pneu

e o solo .

a) ( ) d=vo2/ g

b) ( ) d=2vo2/ g

c) ( ) d=vo2/2 g

d) ( ) d=4vo2/ g

3- Ainda sobre o enunciado anterior, qual o fator da variação da distância mínima para o carro parar se

coeficiente de atrito cinético for dobrado (razão entre a nova distância e a anterior)

a) ( ) 1/4

b) ( ) ½

c) ( ) 2

d) ( ) 4

4- O mesmo se a velocidade escalar for dobrada

a) ( ) 1/4

b) ( ) ½

c) ( ) 2

d) ( ) 4

5- O mesmo se tanto o atrito cinético quanto a velocidade escalar inicial forem dobrados

a) ( ) 1/4

b) ( ) ½

c) ( ) 2

d) ( ) 4

6- (potência) Uma rocha de massa m está deslizando sobre uma superfície horizontal áspera com velocidade

inicial v e eventualmente para em função do atrito. O coeficiente de atrito cinético entre a rocha e a

superfície é . Que potência média é produzida pelo atrito até que a rocha pare?

a) ( ) mv2

g/2

b) ( ) mv g/2

c) ( ) 2mv2

g

d) ( ) 2mv g

7- Uma única força atua sobre uma partícula em movimento retilíneo. O gráfico da velocidade desta

partícula em função do tempo é mostrado na figura abaixo. Considerando os quatro intervalos de tempo

tA B, tB C, tC D, tD E,respectivamente nesta ordem, a opção que diz se o trabalho realizado pela força

sobre a partícula é positivo (+), negativo (-) ou nulo (0) é:


29

a) a) ( ) +, 0, +, -

b) b) ( ) +, 0, +, +

c) c) ( ) +, +, +, -

d) d) ( ) +, +. -. –

e) e) ( ) +, 0, -, +

Papai Noel e o consumo de Energia

Seja Nc o número de crianças cristãs e n o número de crianças por residência, o número de chaminés que

Papai Noel visita é Nc/n. O tempo disponível para ele para visitar cada chaminé é (em segundos)

24 3600 (Nc/n), ou seja T=86400n/Nc s. Papai Noel não pode perder muito tempo em cada casa, porque

ele dispõe somente de 24 horas para entregar todos os brinquedos. Por outro lado, ele não pode entregar

rápido demais porque ele precisaria de muito combustível resultando em um gasto enorme de energia.

Precisamos calcular o tempo gasto por chaminé que otimiza o gasto de energia. Seja t o tempo que Papai

Noel leva para descer (ou subir) por uma chaminé. Queremos escrever o consumo de energia de Papai

Noel em termos de t e encontrar o valor que minimiza o consumo de energia.Vamos supor, por

simplicidade, que a única energia que Noel utiliza é a energia necessária para alcançar a sua velocidade

final. Há dois tipos de utilização:a) para subir e descer pela chaminé e b) para ir de uma chaminé até a

próxima.

8- Se Noel tem que descer uma chaminé de altura h num tempo t, qual é a velocidade escalar média de

subida ou descida?

a) ( ) h/t

b) ( ) 2h/t

c) ( ) h/2t

d) ( ) 0

9- Sendo M a massa do Papai Noel e m a massa média de cada brinquedo, qual é a energia cinética total que

Noel gastará para entregar os n presentes?

a) ( ) (nm+2M)(h/t)2/2

b) ( ) (nm+M)(h/t)2

c) ( ) M(h/t)2/

d) ( ) (nm+M)(h/t)2/2

Para ir de uma chaminé a outra é um pouco mais complicado.Noel começa com todos os brinquedos e

conforme entrega, o número de brinquedos diminui. Lembrando que Nc/n é o número de casas, a energia

total consumida para entregar todos os brinquedos é

222

22

22

222

22

1

4

2

1

2

1

2

1

1....3212

1

2

1

...22

1

2

1

2

1

vmN

Mn

Nmv

n

N

nNnNnmvvMmN

n

N

n

NnmvvMmN

n

N

vMmnNvMmnNvMmNK

ccc

ccc

c

cc

c

ccc


30

Dividindo pelo número de casas e fazendo Ncm >> (M + Mn/2) encontramos ~Ncmv2/4= (Ncm/4)[d/(T-

2t)]2, onde d é a distância média entre duas casas consecutivas. Assim, a energia total t, por casa é

2

22

22

1

24)(

t

hMnm

tT

dmNtK c

Derivando com respeito ao tempo, obtemos que o tempo que minimiza o consumo de energia é:

t=T/(a+2), onde a={Ncmd2/[h

2(nm+2M)]}

1/3

Agora, vamos adicionar alguns números: Vamos estimar o número de crianças e o número de

casas. Há aproximadamente 1,5 bilhões de cristãos no mundo e vamos supor que somente 10% desta

população é constituída por crianças que se comportaram bem. Assim Nc = 1,5 108. Para tornar a vida de

Noel mais fácil, vamos supor 10 crianças por cãs. Assim o número de casas é 1,5 107 e T =0,00576 s.

Para ajudar ainda mais Noel nesta tarefa difícil, vamos colocar as casas bem próximas umas da outras,

com uma distância média de 10 m. Para cada uma, construímos uma chaminé de apenas 4m e a massa de

Noel como M=100kg e que cada brinquedo tenha uma massa m=2kg. Isto resulta num valor a=204,26 e a

fórmula para a energia cinética fica: K(t) = 7,5 109/(0,00576-2t)

2 + 1760/t

2. O valor que minimiza K é

2,79 10-5

s, ou 5,58 10-5

s por chaminé. Noel terá que cobrir 18 000 chaminés por segundo. Como isto

não viola nenhuma lei da física, vamos aceitar!

O mais importante é o consumo de energia. A energia gasta para descer a chaminé é (nm+M)(h/t)2/2 =

1,12 1012

J e para subir 1,03 1012

J. A energia para ir de uma casa a outra é 2,3 1014

J que é 100 vezes

maior que as anteriores. Assim podemos desprezar a energia gasta para subir e descer as chaminés. Para

as 15 milhões de casas, Noel precisa de 3,3 1021

J. Para ter uma ideia do que este número significa

vamos comparar com o consumo mundial de energia em um ano. Em 2001 este número foi 4 1020

J

incluindo uso residencial, industrial, agricultura e transporte. Noel precisa de 8 vezes este valor em um

dia. Mas se as pessoas aceitarem que Noel utilize toda esta energia – o que significa 8 anos sem energia-

há ainda uma destruição não intencional. A explosão ocorre porque há um grande consumo de energia em

um tempo muito curto (P=dK/dt). O consumo de energia de Noel ao descer pela chaminé equivale a

energia liberada por 307,5 T de TNT num intervalo de tempo de 27.9 s. Mas o perigo mesmo surge cada

vez que Noel pousa em uma chaminé, quando ele libera uma explosão equivalente a 4 bombas de

Hiroshima.

Para saber mais:

S. Hassini, Santa Claus and the conservation of energy, Phys. Ed. 40, 579 (2005).

Comentários adicionais – aula 10

Na definição de trabalho W=F. r, há duas interpretações possíveis para o deslocamento r: i) o

deslocamento do ponto de aplicação da força ou ii) o deslocamento do CM do sistema. Para um sistema

que consiste apenas de uma partícula ou um objeto não deformável e não girante, o deslocamento do

ponto de aplicação da força e o deslocamento do CM são idênticos. No entanto, para sistemas

deformáveis ou girantes, eles são diferentes. Por exemplo, considere uma força horizontal de módulo F

que empurra um bloco de massa m por uma distância x1. O bloco está ligado a um segundo bloco idêntico

ao primeiro por meio de uma mola de constante de força k. Enquanto o primeiro bloco se move para a

direita uma distância x1, o segundo bloco se move para a direita uma distância x2. O CM do sistema então

se desloca de (x1 + x2)/2. O trabalho realizado sobre o sistema é Fx1 e não F(x1+x2)/2. Como resolver esta

inconsistência?

Figura; J. W. Jewett Jr., TPT vol. 46, p.38, janeiro de 2008.

Em um nível de partícula (sem nenhuma estrutura interna), a energia do sistema muda somente quando

um trabalho é realizado sobre o sistema por forças externas. Assim, a variação da energia do sistema é


31

dada por E= W. A energia total do sistema é a soma da energia mecânica e a energia interna (E=Emec +

Eint).

Assim, pelo método (ii), para resolver o este problema, o teorema trabalho-energia pode ser definido com

W= F. rCM= Kcm . No caso dos blocos acima, o sistema inteiro é visto como tendo massa 2m. Assim

F(x1+x2)/2=(2m)vCM2/2. Por outro lado, a equação E=W torna-se (pelo método i): F.x1=(2m)vCM

2/2 +

Eint,. A Energia interna (vista do CM) é dada por Eint = K1’+K2’+U = (m/2)v’12 + (m/2)v’2

2 + (k/2)(x2-

x1)2. Pela simetria v1

’2 =v2

’2=vrel

2. Então Eint = 2(m/2)vrel

2 + (k/2)(x2-x1)

2. Como v1 = vcm + vrel e v2 = vcm –

vrel, temos que Fx1 = (1/2)mv12+ (1/2)mv2

2+ (1/2) k(x2-x1)

2.

Assim, é importante saber quais forças e quais deslocamentos estão envolvidos no teorema do trabalho-

energia. Dependendo do contexto, devemos estar cientes se estamos incluindo forças internas ou externas,

se elas são conservativas ou não. No caso de deslocamentos, há duas opções: o do C.M. ou o do ponto de

aplicação.

Primeira lei da termodinâmica

E= W+ Q, onde Q é a quantidade de calor transferido ao sistema, ou seja é positivo quando entra (Q >

0) e negativo quando sai (Q < 0) do sistema, e W é o trabalho realizado sobre o sistema. Note que a

primeira lei da termodinâmica não pode ser derivada da dinâmica.

A energia total do sistema: E = K + U + Eterm + Equim + ....

Exemplo 1: aceleração de uma caixa na presença de atrito.

Como não temos como saber os deslocamentos associados com os elementos da força de atrito sobre a

caixa, não podemos calcular o trabalho realizado pela força de atrito sobre a caixa. Podemos contornar

esta dificuldade tomando a caixa e o piso como o nosso sistema. Para este sistema, não há nenhuma

transferência de calor (Q = 0). O trabalho realizado sobre o sistema é devido por uma força externa F e é

expresso por W=F xcm. A mudança na energia do sistema tem duas componentes: uma mudança na

energia térmica interna da caixa e do piso Eterm e uma variação da energia cinética do sistema K. Assim

W = E

F xcm = Eterm + K

Mas K= (mvcm2/2)

Eterm = F xcm - (mvcm2/2)

Em outras palavras, a mudança da energia térmica do sistema caixa-piso é igual ao trabalho externo

realizado pela força externa sobre o sistema menos a energia cinética adquirida pelo sistema. Se o

deslocamento é realizado a velocidade uniforme sem alterar a energia cinética, todo o trabalho realizado

pela força externa é convertido em energia térmica, aumentando a temperatura do sistema.


32

Exemplo 2: Empurrando uma parede em cima de um skate

Neste caso, o sistema é o nosso corpo. Não há transferência de energia, logo W = 0, porque a força

normal não realiza trabalho. A mudança da energia é totalmente interna. Desprezando a variação da

energia térmica do nosso corpo e considerando a energia bioquímica dos nossos músculos: E= Ebio +

mvcm2/2 = 0, ou seja Ebio = -mvcm

2/2. Ou seja, a energia bioquímica se transforma em energia cinética.

Exemplo 3: pulando verticalmente


33

Aula 11- Conservação da Energia

Nome:_____________________________________________________________________

1- Um tijolo é largado de uma dada altura. Um segundo tijolo, pesando o dobro do primeiro, também cai da

mesma altura. Quando o segundo tijolo atinge o solo ele tem:

a) ( ) a metade da energia cinética do primeiro;

b) ( ) a mesma energia cinética do primeiro;

c) ( ) o dobro da energia cinética do primeiro;

d) ( ) quatro vezes a energia cinética do primeiro;

2- Um bloco de gelo é largado do topo de um plano inclinado, enquanto um segundo bloco de gelo é largado

de uma mesma altura. Qual o bloco que chega ao solo com maior velocidade?

a) ( ) o que deslizou;

b) ( ) o que caiu em queda livre;

c) ( ) ambos;

3- Quando uma partícula de 4,0 kg está pendurada por uma mola de massa desprezível que obedece à lei de

Hooke, a mola se alonga de 2,0 cm. Quando trabalho é necessário realizar por um agente externo para

alongar a mola de 4,0 cm da sua posição de equilíbrio?

a) ( ) 1,6 J

b) ( ) 0,4 J

c) ( ) 0,2 J

d) ( ) 3,2 J

e) ( ) 0,8 J

4- Energia potencial gravitacional. Uma caixa vazia desliza para baixo de uma rampa, começando com uma

velocidade inicial de módulo vo e atingindo a base com uma velocidade de módulo v e um energia

cinética K. Alguns livros são colocados no interior da caixa de modo que sua massa fica multiplicada por

quatro, A resistência do ar é desprezível e o coeficiente de atrito cinético é constante. Novamente

começando com uma velocidade inicial vo no topo da rampa, qual seria sua velocidade e sua energia

cinética na base da rampa, respectivamente?

a) ( ) v, K

b) ( ) 4v, 4K

c) ( ) v/4, K

d) ( ) v, 4K

5- Energia potencial elástica. Uma massa m é empurrada contra uma mola horizontal de constante de força

K sobre uma mesa de ar sem atrito. A mola é presa ao tampo da mesa, e a massa não está presa à mola.

Quando a mola for suficientemente comprimida para armazenar uma energia potencial U, a massa é

subitamente libertada do repouso. A maior velocidade escalar que a massa atinge e a maior aceleração da

massa são, respectivamente:

a) ( ) (U/m)1/2

, [(2U/k)1/2

]/m

b) ( ) (2U/m)1/2

, [(U/k)1/2

]/m

c) ( ) (2U/m)1/2

, [(2U/k)1/2

]/m

d) ( ) (U/m)1/2

, [(U/k)1/2

]/m

6- Energia potencial elástica. Na questão anterior, em que instantes a velocidade e a aceleração atingem o

seus respectivos valores máximos?

a) ( ) a velocidade e a aceleração atingem os valores máximos assim que a massa é libertada.

b) ( ) a velocidade e a aceleração atingem os valores máximos assim que a massa perde contato com a mola.

c) ( ) a velocidade o valores máximo assim que a massa é libertada e a aceleração atinge o seu valor

máximo assim que a massa perde contato com a mola.

d) ( ) a velocidade o valores máximo assim que a massa perde contato com a mola e a aceleração atinge o

seu valor máximo assim que a massa é libertada.


34

7- Fazendo uma volta completa (um loop-the-loop). Um carro em um parque de diversões se desloca sem

atrito ao longo do trilho indicado na figura abaixo. Ele parte do repouso no ponto A situado a uma altura h

acima da base do círculo. Considere o carro como uma partícula. Qual é o menor valor de h para que o

carro atinja o topo do círculo sem cair?

a) ( ) R/2

b) ( ) R

c) ( ) 3R/2

d) ( ) 2R

e) ( ) 5R/2

8- Se h=7R/2, calcule a velocidade no ponto C (altura R)

a) ( ) (gR/2)1/2

b) ( ) (gR)1/2

c) ( ) (2gR)1/2

d) ( ) (3gR/2)1/2

e) ( ) (5gR/2)1/2

9- Calcule o componente radial da aceleração no ponto C

a) ( ) g/2

b) ( ) g

c) ( ) 3g/2

d) ( ) 5g/2

e) ( ) 2g

10- Calcule o componente tangencial da aceleração no ponto C

a) ( ) g/2

b) ( ) g

c) ( ) 3g/2

d) ( ) 5g/2

e) ( ) 2g

Não vemos nem sentimos a energia. Podemos medir e sentir certos parâmetros que são relacionados à quantidade

conhecida como energia: massa, carga, velocidade, etc... A energia é determinada pela combinação destes parâmetros

de acordo com conjunto específico de expressões: mgh, mv2/2, mc T, qQ/4 r, etc... As fórmulas são invenções

humanas. Ninguém levou tábuas para o topo de uma montanha de modo a ter as fórmulas inscritas por um relâmpago.

Mas por quê as pessoas inventaram estas fórmulas?

Cada uma destas fórmulas resultou do esforço de físicos no intuito de sintetizar, de formar uma ampla generalização

que poderia unificar uma variedade de fenômenos sob a mesma rubrica. Muitos conceitos inicialmente distintos

foram unificados para formar um cordão. O conceito de energia propiciou amarrar estas cordas em uma única rede.

A formulação matemática do principio da energia resultou das necessidades dos engenheiros durante a Revolução

Industrial. Eles precisavam de um modo de comparar a eficiência das máquinas a vapor, dos motores elétricos, dos

animais de tração, etc... Tornou-se uma prática aceitável em engenharia comparar o resultado energético de uma

máquina com o produto W=P.d, onde P é o peso, e esta quantidade foi batizada trabalho. O fato é : a energia foi assim

definida porque é conservada. Mas a habilidade de realizar trabalho é conservada? Não! Não se pode transformar

100% de calor em trabalho (Segunda Lei da Termodinâmica, espere até Física II), embora seja possível transformar

100% de trabalho em calor (por exemplo, um bloco que se move sob a ação de forças de atrito). A conversão

completa de calor em trabalho em um processo cíclico é impossível. Cada vez que a energia é convertida, a sua

habilidade de realizar trabalho é perdida. Se a habilidade de realizar trabalho fosse conservada, um elevador poderia

funcionar continuamente desde que o levássemos uma única vez ao último andar. Conforme desceria, a sua

habilidade de realizar trabalho diminuiria e esta habilidade poderia ser armazenada em outro sistema. Assim esta

habilidade poderia ser utilizada para subir o elevador de novo até o topo. Logo, energia não é a habilidade de realizar

trabalho! A energia é sim uma medida escalar da mudança do estado do sistema.

Para saber mais:

[1] R. L. Lehrman, Energy is not the ability to do work, The Phys. Teach. January (1973) p. 15


35

Aula 12- Energia potencial

Nome:_____________________________________________________________________

1- Seja F= 2i N . Qual o trabalho desta força entre xo = 2 m e x= 4 m?

a) ( ) – 4J

b) ( ) 4 J

c) ( ) 0 J

d) ( ) 2 J

2- Qual das seguintes grandezas nunca pode ser negativa (pode haver mais que uma)?

a) ( ) massa;

b) ( ) tempo;

c) ( ) trabalho;

d) ( ) energia potencial;

e) ( ) energia cinética;

3- Um objeto situado em um ponto A possui energia cinética KA =5 J , energia potencial UA = -10 J se

move por ação de forças conservativas para um ponto B onde possui energia cinética KB = 10 J.. Qual é a

energia potencial do objeto no ponto B?

a) ( ) 0 J

b) ( ) 5 J

c) ( ) 10 J

d) ( ) 15 J

e) ( )-15 J

4- Uma partícula move-se ao longo do eixo x através de uma região em que a energia potencial U(x) varia

conforme ilustrado abaixo. A partícula tem uma energia mecânica constante de 4,0 J. Qual o valor da

energia cinética em x = 4 m?

a) ( ) 2 J

b) ( ) 3 J

c) ( ) 4 J

d) ( ) 5 J

e) ( ) 6 J

5- Ainda sobre o gráfico da questão anterior, qual o trabalho da força entre x =1 e x = 8?

a) ( ) 1 J

b) ( ) -1 J

c) ( ) 0 J

d) ( ) 2 J

6- Sobre o gráfico da questão 4: Qual o trabalho total para deslocar o objeto de x=8 m para para x = 4 m e

então de volta para x= 8 m?

a) ( ) 3 J

b) ( ) -3 J

c) ( ) -6 J

d) ( ) 6 J

e) ( ) 0 J


36

7- A respeito do gráfico da questão 4, indique se verdadeiro (V) ou falso:

a) ( ) o ponto x =4 m é um ponto de equilíbrio instável;

b) ( ) o ponto x= 6 m, a força é nula;

c) ( ) a força entre x = 0 e x= 1 m é F = 1 i N

d) ( ) A força é nula em x= 4 m

e) ( ) em x = 5 m a força é negativa (aponta para a origem)

f) ( ) o ponto x =4 é um ponto de equilíbrio estável;

8- Forças conservativas. Seja k a constante de uma mola ideal que possui um bloco de massa m preso a uma

das suas extremidades. O bloco se move de x1=d a x2 = 2d. A seguir o bloco retorna de x2 a x1. Quais os

trabalhos realizados pela força da mola enquanto se move de x1 a x2 (ida), de x2 a x1 (volta) e o trabalho

total (ida e volta), respectivamente?

a) ( ) kd2/2, kd

2/2, kd

2

b) ( ) -kd2/2, +kd

2/2, 0

c) ( ) kd2/2, -kd

2/2, 0

d) ( ) 3kd2/2, -3kd

2/2, 0

e) ( ) -3kd2/2, 3kd

2/2, 0

9- Força e energia potencial. A energia potencial de uma partícula se movendo ao longo do eixo x é dada por

U(x) =(kx2/2)+ (bx

4/4). Determine a força

a) ( ) –kx-bx3

b) ( ) +kx+bx3

c) ( ) (kx3/6)+(bx

5/20)

d) ( ) –(kx3/6)-(bx

5/20)

e) ( ) –kx-bx2

10- Uma partícula de massa m move-se sob a influência de um potencial U(x), conforme ilustrado abaixo. Se

a energia total do sistema é nula, qual o período do seu movimento?

A) a) ( ) zero

B) b) ( )

oU

md

C) c) ( )

oU

md2

D) d) ( )

oU

md

2

11- A energia potencial entre dois átomos em uma molécula diatômica é dada por U(r) = a/r12

– b/r6 , onde r é

a distância entre os átomos e a e b são constantes positivas. A) determine a força F(r) que um átomo

exerce sobre o outro em função de r.

a) ( ) a/r13

- b/r7

b) ( ) -12a/r11

+6b/r5

c) ( ) -12a/r13

+6b/r7

d) ( ) +12a/r13

-6b/r7

12- Determine a distância entre os átomos para que haja equilíbrio no item anterior

a) ( ) (a/b)1/6

b) ( ) (2a/b)

c) ( ) (2a/b)1/6

d) ( ) (a/2b)1/6


37

13- Forças conservativas forças não-conservativas: Indique se verdadeiro (V) ou falso (F)

a) ( ) Um força para a qual o trabalho realizado não é independente da trajetória chama-se força não

conservativa

b) ( ) O atrito é uma força conservativa

c) ( ) É possível definir uma energia potencial associada a uma força não-conservativa

d) ( ) Se F é uma força não-conservativa então 0. rdF

e) ( ) A energia do sistema Esis é a soma da energia mecânica Emec com a energia térmica Eterm (Esist = Emec

+ Eterm)

f) ( ) A energia pode ser transferida para um sistema realizando-se trabalho sobre ele

g) ( ) A energia potencial é uma função da velocidade da partícula

h) ( ) A energia potencial é uma função da posição da partícula

i) ( ) A energia pode ser transformada, dentro do sistema, entre cinética (K), potencial (U) e térmica (E term).

Este processo altera a energia do sistema.

j) ( ) Se Emec = 0 então o trabalho das forças não conservativas é nulo

k) ( ) A energia de um sistema isolado é conservada

14- Forças conservativas forças não-conservativas: Uma criança desce o escorregador de um playground

com velocidade de módulo constante. A transformação de energia envolvida é:

a) ( ) U K

b) ( ) K U

c) ( ) Não existe transformação porque a energia é conservada

d) ( ) U Eterm

e) ( ) K Eterm

15- Quanto trabalho é realizado pela vizinhança no processo representado na figura abaixo? A energia é

transferida da vizinhança para o sistema ou sentido contrário?

a) ( ) + 2 J

b) ( ) – 2 J

c) ( ) 0 J

d) ( ) + 1 J

e) ( ) - 1 J

16- Um bloco de massa m está se movendo com velocidade v e colide com uma mola com força restauradora

F= -k1x-k2x3 sobre uma superfície sem atrito. Encontre a compressão máxima da mola

a) a) ( ) (k1/k2)1/2

b) b) ( ) (k1/k2)[(1+mv2k2/k1

2)

1/2 -1]

c) c) ( ) (k1/k2)1/2

[(1+mv2k2/k1

2)

1/2 -1]

1/2

d) d) ( ) (k1/k2)[(1+2mv2k2/k1

2)

1/2 -1]

e) e) ( ) (k1/k2)1/2

[(1+2mv2k2/k1

2)

1/2 -1]

1/2


38

17- Um pêndulo simples de massa m é largado de uma altura h. Após colidir com uma mola que segue uma

lei de força não linear F = -kx-bx3. Calcule a compressão da mola.

a) a) ( ) x = k

mgh2

b) b) ( ) x = b

k2

c) c) ( ) x = 44

b

mgh

d) d) ( ) x =

2/12

4

b

k

b

k

b

mgh

e) e) ( ) x =

2/12

4

b

k

b

k

b

mgh

Confusões acerca da Conservação da energia

Energia potencial:

É importante lembrar que a energia potencial é uma propriedade de um sistema, não de um objeto. Está

associada com a força que atua entre membros do sistema. Uma partícula não pode possui energia

potencial. Está errado afirmar: “a energia potencial gravitacional da bola”. O correto é “ a energia

potencial gravitacional do sistema bola-Terra”

Calor:

A palavra mais incorretamente utilizada em física é calor. Calor é tanto um processo no qual a energia é

transferida quanto a quantidade de energia transferida, normalmente representado por Q. Não é a

entidade que está sendo transferida (calor não é transferido; é a energia que é transferida). Calor é um

substantivo, é o nome de um processo, não o nome daquilo que é transferido. Ao invés de falar:

“transferência de calor”, devemos falar em “transferência de energia por calor”.

Transferência de energia e transformação de energia

Há uma distinção entre transferência e transformação de energia. A transformação de energia ocorre

dentro do sistema. Por exemplo: energia cinética se transforma em energia potencial. A transferência de

energia ocorre através dos limites de um sistema. Há dois mecanismos de transferência de energia:

trabalho e calor. Em mecânica, a única forma de transferência de energia considerada é através do

trabalho de forças externas. Trabalho realizado sobre o sistema por forças externas (Wext) transfere

energia do ou para o sistema. A transformação de energia também ocorre através do trabalho, neste caso,

o trabalho é realizado por forças internas ao sistema Wint. É o trabalho realizado por um componente do

sistema sobre outro que causa a transformação de energia. Enquanto o trabalho das forças internas ao

sistema está relacionado a uma mudança na energia potencial, o trabalho externo pode estar associado

com uma mudança em qualquer forma de energia no sistema: cinética (W= KCM), potencial (levar um

bloco ao topo de um plano inclinado), energia térmica (aquecer as mãos, atrito).

Trabalho e conservação da energia.

A lei da conservação da energia não é derivável das leis da dinâmica, mas sim uma afirmação

independente. A lei da conservação da energia, incluindo transferência de energia por calor é uma lei que,

na maioria dos casos, tem muito pouco a ver com o teorema do trabalho-energia cinética (W= KCM).

Nem sempre os livros deixam este fato suficientemente claro para o aluno. Muitos alunos saem da


39

disciplina de mecânica pensando que W= KCM é uma equação fundamental para a energia. O teorema do

trabalho-energia cinética só pode ser utilizada quando (i) trabalho é o único mecanismo de transferência

de energia ao sistema e (ii) a energia cinética do sistema é o única forma de energia que se altera no

sistema.

A primeira lei da termodinâmica diz que há somente duas formas de transferir energia para ou do sistema:

por calor e/ou por trabalho, ou seja: extWQE , onde E é a energia interna do sistema, Q é

quantidade de energia cedida por calor ao sistema, e Wext o trabalho total das forças externas ao sistema.

E é a soma das várias formas de energia interna: E= Etérmica + Equímica + K+ U + ..., onde Etérmica

é a variação da energia térmica interna, Equímica é a variação da energia química interna, K é a variação

da energia cinética (de translação + de rotação), U é a variação da energia potencial (gravitacional +

elástica+ elétrica), e outras associadas a emissão de som, radiação, etc...

Categorizando o sistema

Um sistema não-isolado é aquela no qual ocorre transferência de energia através dos limites do sistema

( E 0). Um sistema isolado é aquele no qual não ocorre transferência de energia através dos limites do

sistema ( E = 0).Vamos considerar três casos especiais para ver como utilizar o principio da conservação

da energia na prática.

(i) suponha que o sistema é um objeto único que pode ser modelado como uma partícula sob a ação de

uma força externa. Como o sistema não é isolado e a única forma de energia que pode ser alterada no

sistema é a energia cinética, então Wext = K.

(ii) considere agora um sistema arbitrário que é isolado de modo que não há transferência de energia do

ou para o sistema. Suponha ainda que nenhuma força não conservativa atue no sistema. Então E =

K+ U = 0 e Wc = K=- U. Onde Wc é o trabalho das forças conservativas internas ao sistema.

(iii) Finalmente considere um sistema não-isolado onde pode ocorrer transferência de energia por calor ou

trabalho : extWQE .

Para saber mais:

[1] A. B . Arons, Teaching Introductory Physics, Part I, p. 146

[2]A. B. Arons, Developing the energy concepts in Introductory Physics , The Phys. Teach. , outubro

(1989) p. 506

[]A. B. Arons, Development of energy concepts in Introductory Physics Course , Am. J. Phys , vol. 67

(1999) p. 1063

[3] J. W. Jewett Jr., energy and the Confused Student I: work, The Phys. Teach. , vol. 46 (2008) p. 38

[4] J. W. Jewett Jr., energy and the Confused Student II: systems, The Phys. Teach. , vol. 46 (2008) p. 81

[5] J. W. Jewett Jr., energy and the Confused Student III: language, The Phys. Teach. , vol. 46 (2008) p.

149

[6] J. W. Jewett Jr., energy and the Confused Student IV: A global approach to energy, The Phys. Teach. ,

vol. 46 (2008) p. 269

[7] J. W. Jewett Jr., energy and the Confused Student V: The energy/momentum approach to problems

involving rotating and deformable systems, The Phys. Teach. , abril (2008) p. 210

[8] Carl. E. Mungan, A primer in work –energy relationships for introductory physics, The Phys. Teach. ,

janeiro (2005) p. 10

[9] E. Hecht, Energy and Change, The Phys. Teach. , fevereiro (2007) p. 88

[10] E. Hecht, Energy Conservation Simplified, The Phys. Teach. , vol.46 (2008) p. 77

[11] E. Hecht, An Historico-Critical Account of Potential Energy: Is PE Really Real?, The Phys. Teach.

41, 486 (2003)


40

Problemas adicionais – Conservação da energia

1- Considere um corpo de massa m preso a um aro de raio R,

sem atrito, através de uma mola de constante k e

comprimento livre nulo, como mostra a figura. O corpo é

solto do ponto O com velocidade inicial nula. Tomando o

zero da energia potencial gravitacional como mostrado na

figura, encontre: a) a energia mecânica do sistema no ponto

O, b) uma expressão para a energia mecânica no ponto P

descrito pelo ângulo , c) a velocidade da massa no ponto P,

d) a força de reação do trilho no ponto P, e e) o menor valor

de k para que a massa permaneça em contato com o trilho.


2- Um bloco de massa M desliza sobre uma mesa com

coeficiente de atrito cinético =3/4. Ele colide com uma mola

de massa desprezível, de constante de mola k, inicialmente na

posição relaxada, como mostra a figura. Na hora que o bloco

atinge a mola ele possui velocidade vo = (Mg2/k)

1/2. A)

Encontre a energia cinética K(x) como função da posição x,

b) complete quadrados e faça um gráfico de K(x), c) qual a

deformação máxima da mola? D) que fração da energia

inicial é dissipada pelo atrito neste processo?


3- Um corpo de massa m é acelerado uniformemente a partir do repouso até atingir a velocidade vf no tempo tf . Mostre que a potência instantânea fornecida ao corpo é P(t)=mvf

2(t/tf2)

4- Considere o sistema da figura ao lado onde a força F é constante e os planos têm coeficiente de atrito

dinâmico . Calcule o trabalho total realizado pelas forças agindo no sistema (força F, atrito, peso normal, tração no fio) quando o mesmo desloca-se uma distância

infinitesimal x.

Créditos: V. Bagnato e S. C. Zílio

5- Considere o potencial de Lennard-Jones comumente utilizado como sendo a energia de interação entre dois átomos constituindo uma molécula: U(r)=C[(ro/r)12 -2(ro/r)6]. A) Faça um gráfico de U(r) contra r; b) Mostre que o mínimo de energia (posição de equilíbrio) ocorre em ro ; c) Ache a força ente os átomos como função de r ; d) Qual é a energia necessária para separar os átomos que constituem a molécula?

6- Um pêndulo de massa m e comprimento l é solto de um

ângulo a partir do repouso, como indicado na figura ao lado. Ao atingir a posição vertical, o cordão do pêndulo encontra um prego colado a uma distância d do teto. Encontre a distância d mínima que a massa m execute rotação ao redor do prego.



41

7- Um corpo de massa m move-se no interior de um trilho circular vertical de raio R. Quando m está na posição mais baixa sua velocidade é vo. a) Qual é o mínimo valor de vo tal que o corpo percorra todo o trilho? B) se vo for 78% do valor determinado em a), o corpo sobre pelo trilho até o ponto P, perderá contato com o trilho.

Determine a coordenada deste ponto.


8- Um corpo de massa M, sujeito a um potencial U(x) =-cos x,é solto na origem (x=0)

com velocidade vo. a) Faça um esboço do potencial na região -1 x 1; b) Encontre a força F(x) agindo no corpo e c) Qual é a máxima velocidade vo que pode ser dada ao

corpo de tal maneira que ele fique confinado na região -1 x 1?

9- Uma massa m escorrega sem atrito ao longo da montanha russa mostrada na figura ao lado. A parte circular tem raio R e a massa parte do repouso no ponto B, à altura h medida em relação à base dos trilhos. A) Qual é a energia cinética de m no ponto P? b) Qual é a aceleração de m no ponto P, admitindo que a massa permaneça no trilho: c) Qual é o menor valor de h para que m execute o movimento circular? D) Para um valor de h maior que este mínimo escreva a expressão da força normal exercida pelo trilho sobre a massa.


Respostas:

4- W= (F-2 Mg) x

5-

6- 4l/5;

7- vo = (5gR)1/2 ; =20,3o


42

8-

9-K=mg(h-2R)=mvp2/2; ac = vp

2/R=g+N/m c) N=0 h=5R/2 d) N=mg(2h/R-2-3cos )


43

Aula 13- Momento Linear e Impulso

Nome:_____________________________________________________________________

“Em nossos estudos utilizamos modelos. A realidade é extremamente complicada. Jamais seríamos

capazes de desenvolver uma ciência se tivéssemos que nos preocupar com cada detalhe em cada situação.

Um modelo é uma descrição simplificada da realidade, usada para reduzir a complexidade de um

problema ao ponto em que ela pode ser analisada e compreendida.”

Motivação: Nas aulas de karatê ensinam a terminar um soco, um pontapé ou um golpe vários centímetros

adentro do corpo do adversário. Esta técnica é diferente da luta normal de rua, em que há muito corpo a

corpo. Qual das técnicas provoca mais estragos? Fazendo um cálculo aproximado, pode explicar por que

é que um lutador de karatê consegue partir uma tábua, um tijolo ou um osso humano com um soco?

1- Momento linear. Se a força resultante que age sobre um corpo é constante, o que pode ser concluído sobre

o seu momento?

a) ( ) o módulo e/ou a direção do momento podem mudar

b) ( ) o módulo do momento permanece constante, mas a sua direção pode mudar

c) ( ) a direção do momento não pode mudar, mas o seu módulo pode mudar

d) ( ) o módulo e a direção do momento permanecem constantes.

2- Momento linear. Uma bola de 2 kg que está caindo na vertical atinge o chão a 8 m/s. Ela ricocheteia para

cima com 6 m/s. Qual é o módulo da variação de momento da bola?

a) ( ) 2 kg.m/s.

b) ( ) 4 kg.m/s.

c) ( ) 14 kg.m/s.

d) ( ) 28 kg.m/s.

3- Momento linear. Um objeto está se movendo em círculo com velocidade de módulo constante v. O

módulo da taxa de variação de momento do objeto é

a) ( ) zero

b) ( ) proporcional a v

c) ( ) proporcional a v2

d) ( ) proporcional a v3

4- Impulso e momento. Um objeto está se movendo em círculo com velocidade de módulo constante v. Do

instante inicial ao instante final, o objeto percorre meia-volta do caminho circular. O módulo do impulso

devido à força resultante que age sobre o objeto durante este intervalo é

a) ( ) zero

b) ( ) proporcional a v

c) ( ) proporcional a v2

d) ( ) proporcional a v3

5- Impulso e momento. Se J representa o impulso de uma determinada força, o que representa a dJ/dt?

a) ( ) o momento

b) ( ) a variação do momento

c) ( ) a força

d) ( ) a variação da força

6- Impulso e momento. Uma força variável age sobre um objeto durante um intervalo de tempo t. O

impulso da força é nulo. Pode-se concluir que

a) ( ) r = 0 e p = 0

b) ( ) r = 0 e possivelmente p 0

c) ( ) possivelmente r 0 mas p = 0

d) ( ) possivelmente r 0 e p 0


44

7- Impulso e momento. Um objeto de 2,0 kg move-se para a direita com velocidade de 1,0 m/s quando

passa a experimentar a força representada pela parte A da figura acima. Qual é o módulo da velocidade

após a força cessar?

a) ( ) 2 m/s;

b) ( ) 4 m/s;

c) ( ) 6 m/s;

d) ( ) 8 m/s;

8- Impulso e momento. Um objeto de 1,0 kg move-se para a direita com velocidade de 1,0 m/s quando

passa a experimentar a força representada pela parte B da figura acima. Qual é o módulo da velocidade

após a força cessar?

a) ( ) 0 m/s;

b) ( ) 1 m/s;

c) ( ) 2 m/s;

d) ( ) 3 m/s;

9- Impulso e momento. Um deslizador de trilho de ar com massa m colide com uma mola fixa a uma das

extremidades do trilho. A mostra acima mostra a velocidade do deslizador (parte D) e a força exercida

sobre ele pela mola (parte C). Por quanto tempo o deslizador fica em contato com a mola?

a) ( ) mvo/Fo

b) ( ) 2mvo/Fo

c) ( ) 3mvo/Fo

d) ( ) 4mvo/Fo

e) ( ) 8mvo/Fo

10- Impulso e momento. Vamos trabalhar a ideia de momento e impulso um pouco mais. Considere um bloco

de gelo sobre uma superfície sem atrito. Suponha que uma força contínua atua sobre o bloco. Claro que

isto leva ao bloco a acelerar. Após a força ter atuado por algum tempo, a velocidade do bloco aumentou

de uma certa quantidade. Agora, se a força e a massa do bloco não mudam, mas o tempo que a força atua

dobra, então o aumento na velocidade será...

a) ( ) inalterado

b) ( ) dobrado

c) ( ) triplicado

d) ( ) quadruplicado

e) ( ) diminuído à metade


45

11- Agora, se a força e o tempo de ação não mudam, mas a massa do bloco dobra, então o aumento da

velocidade será....

a) ( ) inalterado

b) ( ) dobrado

c) ( ) a metade

d) ( ) um quarto do valor anterior

e) ( ) quadruplicado

12- E agora suponha somente que a força é dobrada enquanto a massa e o tempo de ação não mudam. Então

o aumento na velocidade será

a) ( ) inalterado

b) ( ) dobrado

c) ( ) a metade



13- Finalmente, suponha que a força aplicada, a massa, e o tempo de ação permanecem inalterados, mas de

algum modo a força da gravidade é dobrada – como se o experimento fosse realizado em outro planeta .

Então o aumento na velocidade será

a) ( ) inalterado

b) ( ) dobrado

c) ( ) a metade



14- Assinale se verdadeiro V ou falso F.

a) ( ) A conservação do momento é válido somente quando o principio de ação e reação também é válido;

b) ( ) Em um sistema composto por duas bolas na presença da gravidade, os pesos das esferas representam

forças internas ao sistema;

c) ( ) No sistema Terra-Lua, a força de atração da Terra pelo Sol é uma força interna ao sistema.

d) ( ) No sistema Terra-Lua, a força de atração da Terra pela Lua altera o momento linear do sistema.

e) ( ) A condição necessária e suficiente para que o momento de um sistema de duas partículas se conserve

é que a resultante das forças externas aplicadas ao sistema se anule

f) ( ) Considere o sistema solar. A força de atração entre o Sol e a Terra altera o momento do sistema.

15- Um carro pequeno que viaja em alta velocidade em uma estrada perde o controle. O motorista tem de

fazer uma escolha – colide com uma parede sólida de concreto ou com um caminhão de 10 toneladas

completamente carregado, e também se movendo em alta velocidade. Qual das escolhas resulta na colisão

mais séria? Considere que em ambos os casos o carro pequeno fica em repouso após a colisão.

a) ( ) a colisão com o caminhão

b) ( ) a colisão com a parede de concreto

c) ( ) ambas as colisões são igualmente sérias, uma vez que o mesmo impulso é assimilado pelo carro em

ambas as situações

d) ( ) são necessárias mais informações para avaliar as colisões

16- Policiais do esquadrão antimotim normalmente usam balas de borracha, em vez de balas comuns.

Suponha que nenhuma das balas penetre na pele e que ambas possuem mesma massa, mesmo tempo de

contato e mesma velocidade inicial. A diferença é que as balas comuns “aderem” enquanto que as de

borracha ricocheteiam. Qual das duas machuca mais?

a) ( ) a bala comum

b) ( ) a bala de borracha

c) ( ) as duas balas machucam da mesma forma

d) ( ) depende da região atingida

17- Momento e energia cinética. Se o momento de um corpo que cai dobra, a sua energia cinética....

a) ( ) dobra;

b) ( ) quadruplica;

c) ( ) é a mesma;


46

18- Momento e energia cinética. Um revólver recua quando disparado. O revolver e o projétil possuem....

a) ( ) a mesma energia cinética;

b) ( ) momentos iguais e opostos;

c) ( ) ambas as alternativas acima;

d) ( ) nenhuma das alternativas acima;

Refira-se a este enunciado para responder às próximas três questões: Considere dois objetos com a mesma

posição inicial sobre uma mesa horizontal sem atrito. O bloco B tem massa quatro vezes maior que o

bloco A. Os dois blocos são empurrados, a partir do repouso, por duas forças iguais até a linha de

chegada.

19- Qual dos blocos terá energia cinética maior ao atingir a linha de chegada

a) ( ) O bloco A

b) ( ) O bloco B

c) ( ) Ambos os blocos terão a mesma energia cinética

20- Qual dos blocos alcança primeiro a linha de chegada?

a) ( ) o bloco A

b) ( ) o bloco B

c) ( ) ambos chegarão juntos

21- Qual dos blocos terá maior momento ao alcançar a linha de chegada?

a) ( ) o bloco A

b) ( ) o bloco B

c) ( ) ambos terão o mesmo momento.

22- Conservação do momento. Considere um sistema formado por duas partículas. É possível que a lei de

conservação do momento seja violada para este sistema?

a) ( ) não

b) ( ) sim, se houver mais do que duas partículas

c) ( ) sim, se as forças entre as partículas variarem no tempo

d) ( ) sim, se duas partículas grudarem após a colisão

23- Um jogador de basquete salta para acertar a cesta. O seu momento é conservado?

a) ( ) sim, mas somente se for escolhido o sistema correto

b) ( ) sim, mas somente na direção horizontal

c) ( ) Não, porque a velocidade do jogador de basquete varia no tempo.

d) ( ) Esta não é uma boa questão, porque a conservação do momento é para objetos que se movem com

velocidade constante, e o jogador de basquete está acelerando.

24- Preparando-se para um julgamento, um advogado se questiona: Um vaso de flores de 1 kg cai de uma

altura de 1 m em cima da cabeça de sua cliente. Quanta força o vaso exerceu sobre a cabeça de sua

cliente?

a) ( ) 1N;

b) ( ) 10 N;

c) ( ) 100 N;

d) ( ) Não é possível responder com os estes dados;

Resposta da questão inicial: a técnica do corpo a corpo produz poucos efeitos, visto que consiste

sobretudo em empurrar o adversário. O golpe de karatê concentra-se numa zona situada cerca de 2 cm

dentro do corpo do oponente, de forma que o contato inicial dá-se quando a mão atinge a velocidade

máxima e, portanto, força do impacto também é máxima.


47

Aula 14 - Sistemas de 2 partículas

Nome:________________________________________________________________________

1- Qual o momento linear de cada uma das partículas 1 e 2 abaixo, respectivamente (ambas possuem massa

m e velocidade de módulo vo)?

a) ( ) jmvpjimvp ooˆ;ˆ

2

2ˆ2

221

b) ( ) jmvpjimvp ooˆ;ˆ

2

2ˆ2

221

c) ( ) jmvpjimvp ooˆ;ˆ

2

2ˆ2

221

d) ( ) jmvpjimvp ooˆ;ˆ

2

2ˆ2

221

2- Determine o centro de massa do sistema abaixo (ambas possuem velocidades de módulo vo)

a) ( ) dji

Rcm3

ˆˆ4

b) ( ) dji

Rcm3

ˆ2ˆ4

c) ( ) dji

Rcm3

ˆˆ7

d) ( ) dji

Rcm3

ˆˆ7

3- Qual o momento do centro de massa do sistema acima?

a) ( ) imvP oˆ

b) ( ) imvP oˆ

c) ( ) imvP oˆ2

d) ( ) 0

P

4- Um sistema é composto por duas partículas. A primeira está situada na posição r’1 = -2i+3 j (em metros)

em relação ao C. M. do sistema. Qual a posição da segunda partícula, com o dobro da massa da primeira,

em relação ao C. M.?

a) ( ) r’2 = +2i-3 j

b) ( ) r’2 = +2i+3 j

c) ( ) r’2 = +i-(3/2) j

d) ( ) r’2 = +(3/2)i- j

5- Na questão 2, qual é o momento total do sistema em relação ao C. M.

a) ( ) imvP oˆ

b) ( ) imvP oˆ

c) ( ) imvP oˆ2

d) ( ) 0

P


48

6) Dois blocos idênticos estão conectados por uma mola. O sistema está suspenso, em repouso, por um fio

preso ao teto, conforme mostrado abaixo. O fio se rompe repentinamente. Imediatamente após o fio se

romper, qual é a aceleração do bloco superior?

a) ( ) 0

b) ( ) g/2

c) ( ) g

d) ( ) 21/2

g

e) ( ) 2g

7) Dois discos sem atrito estão conectados por uma correia de borracha de massa desprezível. Um dos discos

é projetado sobe uma mesa de ar, a correia de borracha estica, e o segundo disco segue- de um modo

aparentemente aleatório – o primeiro disco. O centro de massa deste sistema de duas partículas é

localizado

a) ( ) sob uma distância fixa a partir de um dos discos

b) ( ) normalmente, mas nem sempre, entre os dois discos.

c) ( ) sob uma distância a partir de um dos discos, que é uma razão fixa entre os dois discos.

d) ( ) algumas vezes mais perto do primeiro disco, e algumas vezes mais perto do segundo disco.

8) Dois objetos estão se movendo sobre uma superfície. O centro de massa só existe se

a) ( ) os dois objetos estiverem fisicamente conectados

b) ( ) a superficie for plana

c) ( ) a superfície for sem atrito

d) ( ) N. R. A.

9) Dois objetos situam-se sobre uma superfície plana e sem atrito. Os objetos não estão conectados e nem se

tocando. Uma força de módulo F é aplicada em um dos objetos, que se move então com uma aceleração

de módulo a. Quais das seguintes afirmações é a mais correta?

a) ( ) o conceito de centro de massa não pode ser aplicado porque a atuação da força externa não se dá nos

dois objetos

b) ( ) o centro de massa se move com uma aceleração que pode ser maior que a

c) ( ) o centro de massa se move com uma aceleração que deve ser igual a a.

d) ( ) O centro de massa se move com uma aceleração que deve ser menor do que a.

10) Dois objetos de massas diferentes estão conectados por uma corda leve que passa por uma polia. Em um

dos objetos é dada uma condição inicial de velocidade para cima. O centro de massa do objeto irá

a) ( ) acelerar para cima ou para baixo, dependendo da massa relativa dos dois objetos.

b) ( ) acelerar para baixo somente depois que ele tiver alcançado o seu ponto mais alto

c) ( ) acelerar para baixo sob valores menores do que g

d) ( ) acelerar para baixo com um valor de g.

11) Dois objetos de massas diferentes estão conectados por uma mola comprimida. O objeto combinado é

lançado verticalmente. No ponto mais alto da trajetória a mola se solta, o que faz com que um dos objetos

seja projetado para um ponto ainda mais alto no ar. A mola permanece conectada ao outro objeto. Logo

após `a liberação da mola, o centro de massa do objeto está

a) ( ) movendo-se para cima e acelerando para cima

b) ( ) movendo-se para cima e acelerando para baixo

c) ( ) movendo-se para baixo e acelerando para cima

d) ( ) movendo-se para baixo e acelerando para baixo

e) ( ) N. R. A


49

12) Justifique porque a colisão abaixo é impossível

13) Uma mesma colisão vista em três referencias diferentes. Você saberia explicar cada um deles?


50

Aula 15 - Sistemas de muitas partículas

Nome:________________________________________________________________________

1- Um sistema é composto por três partículas de massas iguais. Seja Fij a força sobre a partícula i (i=1,2,3)

devido à partícula j (j i) e Fiext a força externa sobre a partícula i. Se F12 = Foi , F13 = -Foj, F1ext = Foj, F32

= Fok , F2ext = -Fok e F3ext = 0. Quanto vale a força total sobre a partícula 2?

a) ( ) +Foi+Fok

b) ( ) -Foi-Fok

c) ( ) -Foi

d) ( ) +Foi+2Fok

e) ( ) -Foi-2Fok

2- Ainda sobre o item anterior, qual é a força total que atua no sistema?

a) ( ) Fo(-j-k)

b) ( ) Fo(j+k)

c) ( ) Fo(-j-k)

d) ( ) Fo(j-k)

e) ( ) Fo(i +j+k)

3- Qual a aceleração do sistema na questão anterior?

a) ( ) (Fo/m) (j-k)

b) ( ) (Fo/m) (j+k)

c) ( ) (Fo/3m) (j+k)

d) ( ) (Fo/3m) (j-k)

e) ( ) (Fo/m) (-j-k)

4- Indique se verdadeiro (V) ou Falso (F)

a) ( ) A taxa de variação com o tempo do momento total de um sistema de partículas é igual à resultante

das forças internas e externas que atuam no sistema

b) ( ) O anulamento da resultante das forças externa é equivalente à conservação do momento total do

sistema

c) ( ) Um sistema isolado é aquele que está livre de forças externas

d) ( ) Um sistema não pode deslocar seu C. M. sob a ação puramente de forças internas.

5- Pendurando um imã em frente de um carro, irá fazê-lo se deslocar?

a) ( ) sim

b) ( ) não

c) ( ) irá se mover na ausência de atrito.


51

6- Questão para discussão: Se apenas as forças externas podem acelerar o centro de massa de um

sistema de partículas, como é possível que um carro se mova? Normalmente imagina-se o motor

fornecendo a força necessária para acelerar um carro, porém isto é de fato verdadeiro? Onde atuam as

forças externas que aceleram o carro?

7- Questão para discussão: Quando se aciona o pedal do freio para diminuir a velocidade de um carro,

um pastilha de freio é pressionada contra um disco de modo que o atrito da pastilha diminui a rotação

da roda. Entretanto, o atrito da pastilha contra o disco não pode representar a força que freia o carro,

uma vez que ela é uma força interna – tanto o disco quanto a roda fazem parte do carro; logo,

quaisquer forças entre eles são apenas internas ao sistema. Qual é a força externa que diminui a

velocidade do carro?

8- Questão para discussão: Ao oscilar para frente e para trás, um pêndulo conserva seu momento? E a

sua energia? Explique

9- (Unificado UFRJ 2012) Um menino, de massa m, encontra-se na extremidade esquerda de um barco

de comprimento L e massa M, distribuída homogeamente. Inicialmente, o conjunto, barco e menino,

move-se para a direita com velocidade 1V

, em relação a um referencial inercial colocado na margem

do lago. Num dado instante o menino move-se para a extremidade direita do barco, onde permanece.

Nesta situação o conjunto move-se com velocidade constante 2V

em relação ao mesmo referencial

inercial. Desprezando-se o atrito entre o barco e a água, pode-se afirmar, ao fim do processo, que:

a) ( ) V1 V2

b) ( ) V1 = V2

c) ( ) V2 = 0

d) ( ) Não se pode determina V2, pois não se conhece a força exercida pelo menino sobre o barco.

e) ( ) Não se pode determina V2, pois não se conhece a velocidade inicial do centro de massa do

sistema barco-menino.

10- Um projétil se fragmenta em três partes. Após a fragmentação, o primeiro pedaço de massa 2m possui

velocidade v1 = -vj, o segundo, de massa m, possui velocidade v2 = 2vj e o terceiro, de massa m, possui

velocidade v3 = vi. Qual era a velocidade do projétil imediatamente antes da fragmentação?

a) ( ) vi

b) ( ) (v/4)i

c) ( ) vj

d) ( ) -vj

e) ( ) v(-i+j)

11- Duas partículas de massas iguais a m estão conectadas por uma mola ideal sem massa que possui um

comprimento de equilíbrio lo e constante de força k, conforme mostrado na figura abaixo. O sistema está

livre para se mover sem atrito no plano da página. Se p1 e p2 representam as magnitudes dos momentos de

ambas as partículas, a energia total do sistema é:

a) ( ) 2

2

2

2

1 )(22

1ollk

m

p

m

p

b) ( ) 2

2

2

2

1 )(2

1ollk

m

p

m

p

c) ( ) 2

2

2

2

1 )(22

1ollk

m

p

m

p

d) ( ) 2

2

2

2

1 )(2

1ollk

m

p

m

p


52

Problemas adicionais – Sistema de partículas Conservação do momento

1- Calcule a potência necessária para levantar verticalmente uma corda inicialmente enrolada no solo,

com velocidade constante vo. A densidade linear de massa da corda é e no início ela está

completamente enrolada.

2- Um bloco de massa m repousa sobre uma

cunha de massa M e ângulo , que por sua vez

está colocada sobre uma superfície horizontal,

como mostrado na figura. Soltando o sistema

a partir do repouso, com o corpo a uma altura

h, determine a velocidade da cunha quando o

bloco tocar o solo. Todas as superfícies são

isentas de atrito.


3- Um carrinho motorizado, de massa m,

encontra-se sobre uma prancha de madeira de

massa M, que por sua vez encontra-se sobre o

chão extremamente liso (sem atrito), conforme

mostra a figura. O carrinho começa a se mover

com aceleração de módulo a relativa à

prancha. A) Encontre a distância que a

prancha percorre após decorrido um intervalo

de tempo t. B) Qual é a energia cinética

relativa ao centro de massa depois de

decorrido este tempo?



53

Aula 16- Colisões unidimensionais

Nome:_____________________________________________________________________

Motivação: Um escultor deve usar um martelo pesado ou leve quando cinzela? Que tipo de martelo se

deve usar para pregar um prego? Quando é que é preferível uma colisão elástica (isto é, com recuo do

martelo) a uma colisão inelástica? Imagine qualquer coisa maior, um bate-estacas, por exemplo: o bate-

estacas deve ser pesado ou leve, em comparação com as estacas?

1- Indique verdadeiro (V) ou falso (F)

a) ( ) A energia total apenas se conserva numa colisão elástica

b) ( ) A energia mecânica (K+U) pode converter-se em calor

c) ( ) A energia mecânica se conserva apenas quando as forças de interação são conservativas.

d) ( ) A energia cinética sempre se conserva

e) ( ) Numa colisão inelástica a energia cinética final é sempre menor que a energia cinética inicial.

f) ( ) Numa colisão completamente inelástica a energia cinética assume o menor valor possível devido

apenas a movimento internos do sistema.

Colisões entre dois corpos. Considere uma colisão unidimensional que envolve um corpo de massa m1,

originalmente se movendo no sentido positivo de x, com uma velocidade vo, colidindo com um segundo

corpo de massa m2, originalmente em repouso. A colisão pode ser completamente inelástica, com os dois

corpos se juntando, completamente elástica ou uma situação intermediária. Após a colisão, m1 move-se

com velocidade v1, enquanto m2 move-se com velocidade v2.

2- Se m1 > m2, então

a) ( ) –vo < v1 < 0

b) ( ) 0 < v1 < vo

c) ( ) 0 < v1 < 2vo

d) ( ) vo < v1 < 2vo

3- e sobre v2

a) ( ) –vo < v2 < 0

b) ( ) 0 < v2 < vo

c) ( ) vo/2 < v2 < 2vo

d) ( ) vo < v2 < 2vo

4- Se m1 < m2, então

a) ( ) –vo < v1 < 0

b) ( ) -vo < v1 < vo/2

c) ( ) 0 < v1 < vo/2

d) ( ) 0 < v1 < vo

5- e sobre v2

a) ( ) –vo < v2 < 0

b) ( ) –vo < v2 < vo/2

c) ( ) 0 < v2 < vo/2

d) ( ) vo < v2 < vo

6- (colisão elástica –alvo em repouso) Os reatores do Canadá usam moderadores de água pesada, nos quais

ocorrem colisões elásticas ente nêutrons de massa 1,0 u e dêuterons de massa 2,0 u. a) Qual a velocidade

de um nêutron, expressa em termos de sua velocidade inicial, depois de uma colisão frontal com um

dêuteron que estava inicialmente em repouso?

a) ( ) –1/3

b) ( ) +1/3

c) ( ) 2/3

d) ( ) –2/3


54

7- Ainda sobre o item anterior, qual é a energia cinética final do nêutron, expressa como uma fração da sua

energia cinética inicial?

a) ( ) 1/3

b) ( ) ½

c) ( ) ¼

d) ( ) 1/9

8- (colisão totalmente inelástica) Em uma colisão unidimensional não relativística uma partícula de massa

2m colide com uma partícula de massa m em repouso. Se as partículas ficam grudadas após a colisão,

qual é a fração da energia cinética inicial é perdida na colisão?

a) ( ) 0;

b) ( ) ¼;

c) ( ) 1/3;

d) ( )1/2;

e) ( ) 2/3;

9- (Colisão inelástica) Um projétil de borracha e um de alumínio têm o mesmo tamanho, velocidade e

massa. Eles são disparados contra um bloco de madeira. Qual é o mais provável de derrubar o bloco?

a) ( ) o de borracha

b) ( ) o de alumínio

c) ( ) ambos

10- Sobre o item anterior, qual é o mais provável de danificar o bloco?

a) ( ) o do borracha


c) ( ) ambos

11- Ainda sobre o item anterior. Qual transfere mais momento?

a) ( ) o de borracha


c) ( ) ambos

12- Mamãe está fazendo pipoca. O milho “decai” em uma pipoca que é lançada em uma direção. Durante o

“decaimento” é provável que

a) ( ) uma partícula subatômica como um neutrino seja emitido em uma direção oposta.

b) ( ) não há neutrino envolvido no decaimento, mas algo invisível é emitido no sentido oposto

c) ( ) nada é emitido no sentido oposto.

13- (colisão inelástica) Compare as consequências de colidir com um carro frontalmente com um carro

idêntico viajando em sua direção com a mesma velocidade com a colisão de mesma velocidade contra

uma intransponível parede de concreto. Se o tempo de colisão é o mesmo em ambos os casos, qual destas

situações resultaria em uma maior força de impacto?

a) ( ) a colisão com um carro

b) ( ) a colisão com o muro

c) ( ) ambos

14- Um boxeador leva um soco de seu oponente. De modo a reduzir a grande transferência de momento, ele

recua de modo a principalmente:

a) ( ) reduzir a velocidade de impacto

b) ( ) aumentar o tempo de contato

c) ( ) reduzir o momento do oponente

15- (colisão totalmente inelástica) Um projétil de massa m é disparado contra um pêndulo balístico de massa

M conforme mostrado na figura. O projétil permanece no bloco após a colisão e o sistema sobe a uma

altura h. Encontre o módulo da velocidade inicial do projétil


55

a) a) ( ) m

Mgh2

b) b) ( ) M

mgh2

c) c) ( ) Mm

mgh2

d) d) ( ) m

Mmgh2

16- Por quê o atrito e as forças gravitacionais podem ser desprezados durante nos problemas de colisão?

Resposta da pergunta inicial: Se o objetivo é deformar o objeto em que se bate, como é o caso da

escultura, então é preferível uma colisão não elástica. Quanto mais leve for o martelo, mais energia se

perde em cada colisão. Por isso, para esculpir devem-se usar martelos leves. Para bater estacas, pretende-

se transferir a energia cinética para as estacas, evitando-se qualquer perda de energia em deformações.

Portanto, nesse caso, devem usar-se martelos pesados.


56

Aula 17- Colisões bidimensionais

Nome:_____________________________________________________________________

Motivação: Por quê o céu é azul? Por quê o pôr do sol é vermelho? Como o efeito Tyndal funciona?

Qual(is) a(s) lei(s) fundamental(ais) por detrás das reações químicas? Qual o fenômeno físico por trás das

Leis de Snell da reflexão e refração? Qual é o fenômeno físico envolvido num tratamento de tumores por

radioterapia? O quê todos os processos acima têm em comum?

1- Indique se verdadeiro (V) ou falso (F)

a) ( ) O referencial do laboratório é aquele no qual o centro de massa (C. M.) do sistema está em repouso

b) ( ) O referencial do C. M. é aquela no qual o alvo está em repouso

c) ( ) O momento do sistema apenas se conserva numa colisão elástica

d) ( ) O momento do projétil sempre se conserva

Basear-se no diagrama ao lado para responder às

três próximas questões. O diagrama indica as

trajetórias de duas bolas de aço, P e Q, que

colidem.

2- Qual das setas representa melhor a direção da variação do momento linear da bola P ?

a) ( ) A ; b) ( ) B; c) ( ) C; d) ( ) D; e) ( ) E; f) ( ) F

3- Qual das setas representa melhor a direção da variação do momento linear da bola Q ?

a) ( ) A ; b) ( ) B; c) ( ) C; d) ( ) D; e) ( ) E; f) ( ) F

3) Qual das setas representa melhor a direção do impulso aplicado à bola Q pela bola P durante a colisão?

a) ( ) A; b) ( ) B; c) ( ) C; d) ( ) D; e) ( ) E; f) ( ) F

4) (colisões elásticas com massas iguais) Duas bolas de sinuca estão localizadas na posições indicadas na

figura abaixo. Se um jogador sem inexperiente consegue encaçapar a bola preta, a probabilidade da bola

branca cair na outra caçapa é:

a) ( ) grande

b) ( ) pequena

5) Dois objetos, A e B colidem, A possui massa m e B uma massa 3m. As velocidades antes da colisão são

vA = vo(i +2j) e vB = vo(-i +j). Após a colisão vAf = -voj . Qual a velocidade de B?

a) ( ) (-2i+3j)vo

b) ( ) (-2i+j)vo

c) ( ) (+i+9j)vo

d) ( ) (+2i-3j)vo


57

6) No item acima, a colisão é

a) ( ) elástica

b) ( ) inelástica

c) ( ) totalmente inelástica

7) (Colisões inelásticas -compartilhamento de energia – probl. 8.92) Um objeto com massa m, inicialmente

em repouso, explode em dois fragmentos, um com massa m1 e o outro com massa m2, onde m= m1 + m2.

Se a energia Q é liberada na explosão, quanta energia cinética cada fragmento terá imediatamente após a

colisão?

a) ( ) K1 = (m1/m)Q; K2 = (m2/m)Q;

b) ( ) K1 = (m2/m)Q; K2 = (m1/m)Q;

c) ( ) K1 = K2= Q/2;

d) ( ) K1 = (m1/m2)Q ; K2 = (m2/m1)Q;

8) (Colisões inelásticas - decomposição do nêutron – probl. 8.93) Um nêutron em repouso decai (se rompe)

em um próton e um elétron. Uma energia é liberada no processo de decaimento e se transforma em

energia cinética do próton e do elétron. A massa de um próton é mp e a massa do elétron é me (mp =

1836me). Qual é a fração da energia cinética total liberada (fração do fator Q) se converte em energia

cinética do próton (Kp/Q) (considere uma colisão frontal)?

a) ( ) (1+mp/me)-1

b) ( ) (1+mp/me)

c) ( ) (1+me/mp)-1

d) ( ) (1+me/mp)

9) Considere duas massas m1 e m2 movendo sobre uma superfície sem atrito. Encontre a distância de

máxima compressão da mola

a) ( ) 11 v

k

m

b) ( ) 22 v

k

m

c) ( ) 2121 )(

vvk

mm

d) ( ) 2121 )(

vvk

mm

e) ( ) 21

21

21 )(vv

mmk

mm

10) Uma partícula de massa m está se movendo ao longo do eixo x com velocidade v quando colide com uma

partícula de massa 2m em repouso. Após a colisão, a primeira partícula fica em repouso e a segunda

partícula se divide em duas massas iguais que se movem em ângulos >0o em relação ao eixo x, conforme

ilustrado abaixo. Quais das seguintes afirmações descreve corretamente as velocidades dos dois pedaços?


58

a) ( ) cada pedaço se move com

velocidade v

b) ( ) um pedaço se move com

velocidade v e o outro com uma

velocidade menor que v

c) ( ) cada pedaço se move com v/2

d) ( ) um pedaço se move com

velocidade v/2 e o outro com uma

velocidade maior que v/2

e) ( ) cada pedaço se move com

velocidade maior que v/2

Relação com a química (Wikipédia)

A Teoria das colisões é baseada na ideia que partículas reagentes devem colidir para uma reação ocorrer,

mas somente uma certa fração do total de colisões tem a energia para conectar-se efetivamente e causar a

transformação dos reagentes em produtos. Isto é porque somente uma porção das moléculas tem energia

suficiente e a orientação adequada (ou ângulo) no momento do impacto para quebrar quaisquer ligações

existentes e formar novas. A quantidade mínima de energia necessária para isto ocorrer é conhecida como

energia de ativação. Partículas de diferentes elementos reagem com outras por apresentar energia de

ativação com que acertam as outras. Se os elementos reagem com outros, a colisão terá sucesso, mas se a

concentração de ao menos um dos elementos é muito baixa, haverá menos partículas para outros

elementos reagirem com aqueles e a reação irá ocorrer muito mais lentamente. Com a temperatura

aumentando, a energia cinética média e velocidade das moléculas aumenta mas isto é pouco significativo

no aumento do número de colisões. A taxa da reação aumenta com a diminuição da temperatura porque

uma maior fração das colisões ultrapassa a energia de ativação. A teoria das colisões está intimamente

relacionada com a cinética química.

Problemas adicionais – Colisões

1- Dois corpos de massas m1 e m2 caminham

para a direita com velocidade com velocidades

v1 e v2 , tal que v1 > v2, conforme mostra a

figura. O corpo 1 possui uma mola de

constante de mola k, que é comprimida

durante a colisão. Qual será a máxima

deformação da mola?


2- Um homem de massa m está sobre um carrinho de massa M, que rola num terreno plano sem atrito,

com velocidade vo. Num certo instante ele pula para o chão com velocidade vo/2 em relação ao solo e

na direção oposta ao movimento do carro. A) qual é a velocidade do C. M. do sistema antes e depois

do pulo? B) qual é a velocidade do carrinho depois do pulo? C) transforme todas as velocidades para

o referencial do C.M. e indique num diagrama as velocidades iniciais e finais do homem e do carro

neste referencia. D) Que energia o homem dissipou no pulo? E) qual é a velocidade do centro de

massa depois que o homem atinge o chão e fica parado?

3- Uma partícula com velocidade inicial de

módulo vo colide com uma outra em repouso e

é desviada de um ângulo . A sua velocidade

depois da colisão possui módulo v. A segunda

partícula recua e a direção de seu movimento

faz um ângulo com a direção inicial do

movimento da primeira, como mostra a figura

ao lado. Mostrar que tg =vsen /(vo-vcos ).

Para obter estes resultado, é necessário admitir

que a colisão é elástica ou inelástica?


59

4- Uma mola de massa desprezível e constante k

está comprimida de uma quantia d entre dois

corpos de massa m1 e m2. A mola não está

presa aos corpos, mas sua compressão é

mantida inicialmente por um barbante sem

massa, conforme ilustrado na figura. O

sistema está se movendo sobre uma mesa sem

atrito, com velocidade VCM. Subitamente o

barbante se rompe. Calcule as velocidades

finais v1 e v2 das massas.




60

Aula 18 –Rotação de corpos rígidos

Nome:________________________________________________________________________

1- Uma joaninha está na borda de um disco girante e um outro inseto está no meio do caminho entre a

joaninha e o eixo do disco. A velocidade angular do inseto é

a) ( ) a metade da joaninha

b) ( ) o dobro da joaninha

c) ( ) igual a da joaninha

d) ( ) N. R. A

2- O disco sobre o qual a joaninha da questão anterior se situa está parando. No instante mostrado na figura

acima, a componente radial da aceleração da joaninha está

a) ( ) na direção +z

b) ( ) na direção –z

c) ( ) na direção +x

d) ( ) na direção –x

e) ( ) na direção +y

f) ( ) na direção –y

3- A componente tangencial da aceleração da joaninha está







4- O vetor que representa a velocidade angular da joaninha está







5- Considere quatro situações distintas de partículas em movimentos circulares: I) uma força tangencial de

módulo F atua na partícula da massa m que descreve uma circunferência de raio R; II) uma força

tangencial de módulo 2F atua na partícula da massa 2m que descreve uma circunferência de raio R; III)

uma força tangencial de módulo F atua na partícula da massa m que descreve uma circunferência de raio

2R; IV) uma força tangencial de módulo 2F atua na partícula da massa 2m que descreve uma

circunferência de raio 2R. A respeito das acelerações angulares em cada caso, qual é a alternativa correta?

a) ( ) 1 = 2; 3> 4> 1;

b) ( ) 1 = 2= 3= 4;

c) ( ) 1 = 2; 3= 4> 1;

d) ( ) 1 > 2; 3< 4< 1;

e) ( ) 1 = 2; 3= 4> 1;


61

6- Uma roda de 4 m de diâmetro gira com aceleração angular constante = 4 rad/s2. A roda começa do seu

movimento do repouso em t = 0s onde o vetor posição do ponto P sobre a borda faz um ângulo de 45o

com o eixo x. Encontre a posição angular do ponto P em um instante de tempo arbitrário t.

a) a) ( ) 45o

b) b) ( ) (45 + 2t2) graus

c) c) ( ) (45 + 114,6t2) graus

d) d) ( ) 4t2 graus

e) e) ( ) 229,2t2 graus

7- Um ventilador de teto com lâminas de diâmetro D gira com velocidade angular . Suponha que o

ventilador seja desligado e que suas pás fiquem rodando por um tempo t até parar devido a uma

aceleração angular constante. Qual é o módulo da velocidade da ponta de uma lâmina após um intervalo

t/2 após o ventilador ter sido desligado?

a) ( ) D

b) ( ) D/2

c) ( ) D/3

d) ( ) D/4

8- Sobre o ventilador do item anterior, qual a aceleração centrípeta de um grão de poeira situado na

extremidade de uma lâmina no instante t/2 após o ventilador ter sido desligado?

a) ( ) 2D

b) ( ) 2D/2

c) ( ) 2D/4

d) ( ) 2D/6

e) ( ) 2D/8

9- Qual a aceleração linear do grão de poeira do item anterior no mesmo naquele instante?

a) ( ) D/ t

b) ( ) D/2 t

c) ( ) D/4 t

d) ( ) D/8 t

10- O rolo de uma impressora gira um ângulo (t)= t2- t

3. Qual a velocidade angular do rolo em função do

tempo

a) ( ) 2 t+3 t2

b) ( ) t- t2

c) ( ) t+ t2

d) ( ) 2 t-3 t2

11- Ainda sobre o item anterior, qual a aceleração angular em função do tempo?

a) ( ) 2 -6 t

b) ( ) 2 - t

c) ( ) 2 +6 t

d) ( ) 2 -3 t

12- Qual é a velocidade angular positiva máxima e para qual valor de t isso ocorre?

a) ( ) máx = (42/ )+2 ; tmáx = /

b) ( ) máx = (2/ )-2 ; tmáx = /

c) ( ) máx = (42/3 )+2 ; tmáx =2 /3

d) ( ) máx = (42/3 )-2 ; tmáx =2 /3


62

Aula 19- Energia no movimento de Rotação

Nome:_____________________________________________________________________

1- Inércia rotacional. Em relação a que eixo um cubo uniforme tem a sua menor inércia rotacional?

a) ( ) qualquer eixo que passa pelo centro do cubo e o centro de um face

b) ( ) qualquer eixo que passa pelo centro do cubo e o centro de uma aresta

c) ( ) qualquer eixo que passa pelo centro do cubo e um vértice (uma diagonal);

d) ( ) Um cubo uniforme possui a mesma inércia rotacional para qualquer eixo de rotação que pela pelo seu

centro.

2- A figura abaixo mostra três partículas de massa m que foram coladas em uma barra de comprimento L e

massa desprezível. O conjunto pode girar em torno de um eixo perpendicular que passa pelo ponto O na

extremidade esquerda. Qual é o momento de inércia do sistema em relação ao eixo de rotação?

a) a) ( ) 3md2

b) b) ( ) 6md2

c) c) ( ) 9md2

d) d) ( ) 10md2

e) e) ( ) 14md2

3- Se o sistema gira com um período T, qual é a energia cinética do sistema?

a) ( ) md2/T

2

b) ( ) 72md

2/T

2

c) ( ) 142md

2/T

2

d) ( ) 282md

2/T

2

4- Qual o momento de inércia de uma barra delgada de massa m e comprimento L em relação a um eixo

perpendicular que passa por um de suas extremidades?

a) ( ) (m/3)L2

b) ( ) mL2

c) ( ) 2mL2

d) ( ) 3mL2

5- Dois cilindros uniformes, ambos girando em torno do eixo central (longitudinal) (Icm= MR2/2 ) com uma

velocidade angular , têm a mesma massa M e raios diferentes R1 e R2. Qual é a razão entre as energias

cinéticas dos cilindros (K2/K1) ?

a) ( ) (R2/R1)2

b) ( ) (R1/R2)2

c) ( ) (R2/R1)

d) ( ) (R1/R2)

6- Uma vara uniforme de massa M e comprimento L está posicionada verticalmente sobre um pivô fixo e

sem atrito cai no chão. Qual a velocidade a extremidade livre da vara colide com o chão?

a) a) ( ) (gL/3)1/2

b) b) ( ) (gL)1/2

c) c) ( ) (3gL)1/2

d) d) ( ) (12gL)1/2

e) e) ( ) 12(gL)1/2


63

Aula 20- Teorema dos eixos paralelos e torque

Nome:_____________________________________________________________________

Questão de motivação: Por quê as torradas, quando caem de uma mesa, sempre

ficam com a face da geleia voltada para baixo? A questão pode ser simplória, mas

ela tem sido objeto de sérias pesquisas científicas. A análise é muito complicada

para ser reproduzida aqui, mas R. D. Edge e D. Steinert mostraram que um pedaço

de torrada, empurrado levemente sobre uma mesa, na direção da borda, até cair,

geralmente cai quando forma um ângulo de 30o com a horizontal e tem uma

velocidade angular =0,956(g/L)1/2

, onde L é o comprimento de um dos lados do

pedaço de torrada (considerado quadrado). Continua no final desta aula....

1- Teorema dos eixos paralelos. Uma haste fina de massa m e comprimento L possui momento de inércia

ML2/3 em relação a um eixo que passa por uma das suas extremidades. Qual é o seu momento de inércia

em relação a um eixo paralelo ao primeiro e que passa pelo seu CM?

a) a) ( ) mL2/12

b) b) ( ) mL2/3

c) c) ( ) mL2/4

d) d) ( ) mL2/6

2- Sete moedas estão dispostas de um padrão hexagonal sobre um plano de modo a tocar a sua vizinha. Cada

moeda é disco circular de massa m e raio r. Qual é o momento de inércia do sistema em relação a um eixo

que passa no centro de simetria do sistema e perpendicular ao plano das moedas?

a) a) ( ) 7mr2/2

b) b) ( ) 13mr2/2

c) c) ( ) 29mr2/2

d) d) ( ) 49mr2/2

e) e) ( ) 55mr2/2

3- Teorema dos eixos perpendiculares. (probl. 9.95) Considere um corpo rígido constituído por uma placa

fina de forma arbitrária. Suponha que o corpo esteja sobre o plano xy e imagine que a origem seja um

ponto O no interior ou no exterior do corpo. Seja Ix o momento de inércia em relação ao eixo Ox, Iy o

momento de inércia em relação ao eixo Ou e Io o momento de inércia do corpo em relação a um eixo

perpendicular ao plano e passando pelo ponto O. Considerando elementos de massa mi como coordenadas

(xi, yi), qual a relação entre os três momentos de inércia?

a) ( ) Ix = Io + Iy

b) ( ) Iy = Io + Iy

c) ( ) Io = Ix + Iy

d) ( ) Io = (Ix + Iy)/2

4- Teorema dos eixos perpendiculares. (probl. 9.95) Para uma arruela de fina de massa M, raio interno R1 e

raio externo R2, qual o momento de inércia em relação a um eixo situado no plano da arruela e que passa

através do seu centro.

a) ( ) (½)M( R12+R2

2)

b) ( ) M( R12+R2

2)

c) ( ) (¼)M( R12+R2

2)

d) ( ) 2M( R12+R2

2)


64

5- (unificado UFRJ, 2012) A figura mostra uma placa metália quadrada de lado L e massa M uniformemente

distribuída, onde foi removido um pedaço correspondente a um quarto de sua área. A relação entre os

valores dos momentos de inércia Ia, Ib e Ic, desta placa, calculados segundo um eixo perpendicular a ela

passando pelos pontos a, b e c, respectivamente é dada por

a) ( ) Ia > Ib > Ic

b) ( ) Ia = Ic > Ib

c) ( ) Ia < Ib < Ic

d) ( ) Ib < Ia < Ic

e) ( ) Ia = Ic < Ib

6- Torque. O ponto de aplicação de uma força F=(5,3,-2) N é a posição r = (-2, 1, -3) m. Calcule o torque

a) ( ) 7i-19j-11z N.m

b) ( ) 11i+11j+1z N.m

c) ( ) -10i+3j+6z N.m

d) ( ) -11i-11j-1z N.m

e) ( ) -7i+19j+11z N.m

7- Torque. Uma partícula está localizada na posição r = (0,3,0) em metros. Uma força constante força

F=(0,0,4) N começa a agir sobre a partícula. À medida que a partícula acelera sob a ação desta força, o

torque, medido em relação à origem

a) ( ) aumenta;

b) ( ) diminui;

c) ( ) é zero;

d) ( ) é uma constante não nula.

8- Torque. Em um dos seus muitos filmes de ação, Jackie Chan pula de um prédio enrolando uma corda em

torno da sua cintura e, então deixa que ela se desenrole enquanto ele cai em direção ao chão, da mesma

forma que um ioiô. Supondo que a sua aceleração na direção do chão é uma constante muito menor que g,

a tração na corda é

a) ( ) quase igual ao peso

b) ( ) exatamente igual ao peso

c) ( ) muito menor que o peso

d) ( ) exatamente zero

9- Torque e aceleração angular de um corpo rígido. Uma caixa de massa m em repouso sobre uma

superfície horizontal e livre de atrito está atada a um bloco também de massa m por um cabo delgado e

leve que passa sobre uma polia com atrito desprezível (figura abaixo). A polia possui a forma de um disco

maciço e uniforme de massa m e raio R. Após o sistema ser libertado, ache a tensão no cabo sobre ambos

os lados da polia.

a) a) ( ) Lado direito: 3mg/5 ;Lado esquerdo 2mg/5

b) b) ( ) Lado direito: 2mg/5 ;Lado esquerdo 3mg/5

c) c) ( ) Lado direito: mg/5 ;Lado esquerdo mg/5

d) d) ( ) Lado direito: mg ;Lado esquerdo mg

10- Qual a aceleração da caixa no item anterior?

a) ( ) g/5

b) ( ) 2g/5

c) ( ) 3g/5

d) ( ) 4g/5


65

11- Quais as componentes horizontal e vertical da força que o eixo exerce sobre a polia.

a) ( ) vertical: 3mg/5 ;horizontal: 2mg/5

b) ( ) vertical: 2mg/5 ;horizontal: 3mg/5

c) ( ) vertical: mg ;horizontal: 0

d) ( ) vertical: zero ;horizontal: zero

12- Uma barra horizontal de 10 m de comprimento e pesando 200 N está presa a uma parede conforme

mostrado. A sua extremidade é suportada por um cabo que faz um ângulo de 60o com respeito à barra.

Uma pessoa de 500 N está sobre a barra a 2 m da parede. Determine a tensão no cabo.

a) a) ( ) 0 N

b) b) ( ) 700 N

c) c) ( ) 500 N

d) d) ( ) 231 N

e) e) ( ) 808 N

13- Uma massa m está sujeita à força gravitacional e ligada por um fio de massa desprezível a uma segunda

massa m’. Supondo que a roldana possui um momento de inércia I, encontre a aceleração da massa m

a) a) ( ) mg/(I/R2+m+m’)

b) b) ( ) g

c) c) ( ) mg/m’

d) d) ( ) mg/(m+m’)

e) e) ( ) (m-m’)R2g/I

14- Um disco de raio R está em equilíbrio. O coeficiente de atrito estático é . Encontre a tensão na corda

a) a) ( ) mgsen

b) b) ( ) mgcos

c) c) ( ) mgsen (1+cos )-1

d) d) ( ) mgcos (1+sen )-1

e) e) ( ) mg(1+cos )/sen

15- Colocando dois imãs em um catavento o fará girar?

a) ( ) sim

b) ( ) não

c) ( ) somente na ausência de atrito


66

Resposta da questão de motivação: Presumindo que o lado da geleia esteja voltado para cima, que lado se

voltará para o chão se o pedaço de torrada cai de uma mesa com 0,5 m de altura? E de 1,0 m de altura?

Assuma que a torrada tem lado com comprimento L=0,1 m e que o lado da geleia cairá para baixo se o

ângulo total de giro estiver entre 180oe 270

o . (Se a torrada girar de um ângulo maior que 360

o, será

necessário reduzi-lo a uma faixa entre 0o e 360

o). Tudo depende de como você deixou a torrada cair, de

onde ela caiu e quão grande a sua fatia de pão é realmente. Todos esses fatores definem se para o lado da

manteiga cai para cima ou o para baixo ao chegar ao solo. Em um cenário típico, a torrada desliza para

fora da mesa e começa a girar, conforme cai. Como a maioria das mesas de cozinha e de de trabalho estão

sobre a altura da cintura, a torrada só consegue girar metade de uma rotação completa antes de atingir o

solo, com o lado da manteiga para baixo. Então, se você quiser que a sua torrada caia com a face da

manteiga para cima, é melhor construir uma mesa duas vezes mais alta ou fazer fatias menores para que

elas tenham tempo para completar a rotação. Há uma outra maneira de evitar sujar o chão com manteiga.

Basta fazer sua torrada curva em forma de U. Referência: Robert Erlich, Why Toast Lands Jelly-side

Down: Zen and the Art of Physics Demonstrations:


67

Aula 21- Rotação de um corpo rígido em torno de eixos fixos e móveis (rolamento)

Nome:_____________________________________________________________________

1- Uma roda de bicicleta está rolando sobre uma superfície nivelada. Em um instante de tempo qualquer, a

roda

a) ( ) está submetida a um movimento de rotação puro

b) ( ) está submetida a um movimento de translação pura

c) ( ) está submetida a um movimento combinado de rotação e translação

d) ( ) está submetida a um movimento que pode ser descrito pelas respostas a e c.

2- Um aro de massa m e diâmetro D está rolando da esquerda para a direita sem deslizar, sobre um piso

horizontal com velocidade angular . Com que velocidade o seu centro está se movendo

a) ( ) D/2

b) ( ) D

c) ( ) 2 D

d) ( ) zero

3- Qual é a energia cinética total do aro (I=MR

2)?

a) ( ) MD2 2

/8

b) ( ) MD2 2

/4

c) ( ) 3MD2 2

/8

d) ( ) MD2 2

/2

e) ( ) MD2 2

4- Ache o vetor velocidade do ponto mais alto do aro em relação ao solo

a) ( ) Di

b) ( ) D/2(i+j)

c) ( ) D/2(i-j)

d) ( ) Dj

e) ( ) 0

5- Ache o vetor velocidade do ponto mais baixo do aro em relação ao solo

a) ( ) Di

b) ( ) D/2(i+j)

c) ( ) D/2(i-j)

d) ( ) Dj

e) ( ) 0

6- Ache o vetor velocidade de um ponto do lado direito do aro a meio caminho entre o ponto mais alto e o

mais baixo do aro em relação ao solo

a) ( ) Di

b) ( ) D/2(i+j)

c) ( ) D/2(i-j)

d) ( ) Dj

e) ( ) 0


68

7- Ache o vetor velocidade de um ponto do lado esquerdo do aro a meio caminho entre o ponto mais alto e o

mais baixo do aro em relação ao solo

a) ( ) Di

b) ( ) D/2(i+j)

c) ( ) D/2(i-j)

d) ( ) Dj

e) ( ) 0

8- Considere quatro objetos, todos esferas sólidas. A esfera A possui raio r e massa m, a esfera B possui raio

2r e massa m, a esfera C possui raio r e massa 2m e a esfera D possuir um raio r e massa 3m. Todos

podem ser colocados no mesmo ponto sobre o mesmo plano inclinado onde eles rolam sem deslizar até à

base do plano inclinado. Qual dos objetos possui maior inércia rotacional?

a) ( ) A

b) ( ) B

c) ( ) C

d) ( ) D

e) ( ) igual para todos

9- Se soltos do repouso, qual dos objetos experimenta o maior torque resultante?

a) ( ) A

b) ( ) B

c) ( ) C

d) ( ) D


10- Se soltos do repouso, qual dos objetos experimenta a maior aceleração angular?

a) ( ) A

b) ( ) B

c) ( ) C

d) ( ) D


11- Se for permitido que rolem para baixo sobre o plano inclinado, qual dos objetos apresentará a maior

velocidade na base do plano inclinado?

a) ( ) A

b) ( ) B

c) ( ) C

d) ( ) D


12- Se for permitido que rolem para baixo sobre o plano inclinado, qual dos objetos atingirá a base do plano

inclinado no menor tempo?

a) ( ) A

b) ( ) B

c) ( ) C

d) ( ) D


13- Um cilindro de raio R rola sem deslizar sobre um plano inclinado de altura h. Determine a razão entre a

sua velocidade e a velocidade de uma partícula pontual no ponto mais baixo do plano inclinado

a) a) ( ) 1

b) b) ( ) 21/2

c) c) ( ) 31/2

d) d) ( ) (2/3)1/2

e) e) ( ) 2


69

14- Um cilindro com massa M e raio R possui uma densidade que depende da distância ao centro. O cilindro

inicialmente em repouso rola sem deslizar por sobre um plano inclinado de altura H. Na parte inferior do

plano, sua velocidade é (8gH/7)1/2

. Qual é o momento de inércia do cilindro?

a) a) ( ) MR2/2

b) b) ( ) 3MR2/4

c) c) ( ) 7MR2/8

d) d) ( ) MR2

e) e) ( ) 7MR2/4

15- A figura abaixo mostra três ioiôs idênticos que estão inicialmente em repouso sobre uma superfície

horizontal. Para cada ioiô, o fio é puxado conforme indicado. Em cada caso existe atrito suficiente para

cada ioiô rolar sem deslizar. Desenhe um diagrama de corpo livre para cada ioiô. Qual é o sentido da

rotação de cada ioiô, respectivamente?

a) ( ) horário, horário, horário

b) ( ) anti-horário, horário, horário, horário

c) ( ) horário, anti-horário, horário

d) ( ) horário, horário, anti-horário

e) ( ) anti-horário, anti-horário, anti-horário

Problemas adicionais

1- Quando um objeto rola sem deslizar, a força de atrito de rolamento é muito menor do que a força de

atrito quando o objeto desliza sem rolar. Uma moeda rola sua periferia mais rapidamente do que

quando ela desliza com sua face voltada para baixo. Quando um objeto rola sem deslizar ao longo

de uma superfície horizontal, podemos desprezar a força de atrito, de modo que tanto a aceleração

linear do CM e a aceleração linear em torno do CM são nulas, ou seja, o atrito não realiza nenhum

trabalho quando o corpo rola sem deslizar . Uma bola de bilhar de massa M e raio R (I=2MR2/5)

desliza sem rodar com velocidade vo sobre uma mesa sem atrito. Subitamente ela encontra uma

parte da mesa com atrito com coeficiente de atrito cinético e depois de algum tempo está rodando

sem deslizar. Note que enquanto derrapa, a velocidade do CM da bola diminui enquanto a sua

velocidade angular aumenta até que v= R. a) Durante quanto tempo a bola derrapará? B) qual a

distância percorrida enquanto a bola derrapa? C) quantas voltas a bola dá antes de rolar? D) Calcule

a velocidade final do CM da bola; E) Qual é a energia dissipada no processo?

2- Considere um cilindro de massa M e raio R descendo um plano inclinado de ângulo sem deslizar.

O coeficiente de atrito de rolamento é . Calcule a aceleração do centro de massa e a força de atrito

agindo sobre o cilindro.

3- Uma bola de bilhar inicialmente em repouso

sobre uma superfície horizontal. O coeficiente

de atrito cinético é . recebe um impulso

instantâneo de um taco, que forma um ângulo

com a horizontal, como mostra a figura. A

bola sai com velocidade inicial vo e ao final do

movimento ela encontra-se em repouso. A)

determine o ângulo para que isto aconteça;

B) Qual é a velocidade ângular inicial da

bola? C) Qual foi a energia dissipada durante

o movimento?



70

4- Um cilindro de massa M e raio R roda sem

deslizar sobre um plano horizontal. A

velocidade do centro de massa é v. Ele

encontra um plano com ângulo à sua frente,

como mostra a figura. A) que altura o cilindro

sobe no plano inclinado? B) nesta posição,

qual foi a variação do momento angular? C)

quais foram os impulsos linear e angular? D)

qual é o tempo que o cilindro demora para

atingir a altura máxima?



71

Aula 22- Trabalho, Potência e momento angular

Nome:_____________________________________________________________________

(trabalho e potência no movimento de rotação). Este enunciado se refere aos itens 1 a 3. Um carrossel de

um parque possui raio R e momento de inércia I em torno de um eixo vertical passando em seu centro e

gira com atrito desprezível. Uma criança aplica uma força de módulo F tangencialmente à periferia do

carrossel durante um tempo t.

1- Se o carrossel está inicialmente em repouso, qual é a velocidade angular depois deste instante de tempo?

a) ( ) FR t/2I

b) ( ) FR t/I

c) ( ) 2FR t/I

d) ( ) 4FR t/I

e) ( ) FR t/4I

2- Sobre o item anterior, qual é o trabalho pela criança realizado sobre o carrossel?

a) ( ) (FR t)2/4I

b) ( ) (FR t)2/2I

c) ( ) (FR t)2/I

d) ( ) 2(FR t)2/I

e) ( ) 4(FR t)2/I

3- Qual a potência média fornecida

a) ( ) (FR)2

t/4I

b) ( ) (FR)2

t/2I

c) ( ) (FR)2

t/I

d) ( ) 2(FR)2

t/I

e) ( ) 4(FR)2

t/I

4- (momento angular) Uma pedra de massa m possui velocidade ivv

quando está no ponto

)ˆˆ( jidr

. Neste instante, qual é o seu momento angular em relação à origem ?

a) ( ) kmvd ˆ

b) ( ) 0

c) ( ) kmvd ˆ

d) ( ) jmvdˆ

5- Sobre o item anterior, se uma força jFF ˆ

atua sobre a partícula, qual é a taxa de variação do momento

angular neste instante?

a) ( ) kFd ˆ

b) ( ) kFd ˆ

c) ( ) 0

d) ( ) jFdˆ

6- (momento angular) Uma mulher com massa m em pé sobre a periferia de um grande disco que gira com

velocidade angular em torno de um eixo que passa através do seu centro. O disco possui massa M e

raio R (I=MR2/2). Calcule o módulo do momento angular total do sistema mulher-disco (suponha que a

mulher possa ser tratada como um ponto).

a) ( ) (M/2+m)R2

b) ( ) (M+m)R2

/2

c) ( ) 2(M+m)R2

d) ( ) (M/2+m)R2

/2

e) ( ) (M/2+m)R2

/4


72

Aula 23- Conservação do Momento angular

Nome:_____________________________________________________________________

Surpreendentemente, é possível girar a si mesmo sem se empurrar contra alguma coisa.

Você pode verificar isso em uma cadeira de escritório bem lubrificada: basta girar um braço.

Após cada giro de braço, a orientação da cadeira mudo por uma pequena quantidade. Os

gatos aprendem isso em sua juventude. Depois de terem aprendido a truque, se cairem com

as pernas para cima, eles conseguem girar de tal maneira que sempre caem em pé. Cobras também

sabem como girar em torno de si. Durante os Jogos Olímpicos podemos assistir

mergulhadores e ginastas executarem truques semelhantes.

1- Uma partícula se move com o vetor posição definido por r=3ti+4j onde r é medido em metros quando t é

medido em segundos. Para cada um dos casos a seguir, considere apenas t>0. O momento linear dessa

partícula

a) ( ) aumenta com o tempo;

b) ( ) é constante no tempo;

c) ( ) diminui com o tempo;

d) ( ) é indefinido;

2- A velocidade angular dessa partícula em relação à origem




d) ( ) é indefinida;

3- O momento angular dessa partícula




d) ( ) é indefinido;

4- Uma partícula se move com velocidade constante. O momento angular dessa partícula em relação à

origem é nula

a) ( ) sempre;

b) ( ) em um determinado tempo apenas;

c) ( ) apenas se a trajetória da partícula passar pela origem;

d) ( ) nunca;

5- Uma partícula move-se com momento constante p=(10 kg.m/s)i. A partícula possui uma momento

angular em relação à origem L=(20 kg.m2/s)k quando t=0 s. O momento angular dessa partícula

a) ( ) diminui;

b) ( ) é constante;

c) ( ) aumenta;

d) ( ) possivelmente é constante, porém não necessariamente;


73

6- Duas partículas possuem momentos angulares de módulos L1 e L2 medidos relativamente à origem.

Originalmente, a partícula 1 se move no plano xy e a partícula 2 se move no plano yz. Caso não existam

torques externos aplicados, o momento angular total do sistema é uma constante e vale em módulo

a) ( ) L1+L2

b) ( ) L1 – L2

c) ( ) (L12 + L2

2)

1/2

d) ( ) (L1 – L2) L (L1 +L2)

7- Duas partículas independentes estão originalmente movendo-se com momentos angulares L1 e L2 em uma

região do espaço sem qualquer torque externo aplicado. Durante determinado intervalo de tempo t, um

torque externo constante atua sobre a partícula 1, e não sobre a partícula 2. Qual é a variação no

momento angular total das duas partículas?

a) ( ) L= L1 – L2;

b) ( ) L= (L1 + L2)/2;

c) ( ) L= t;

d) ( ) A variação L para o sistema não está definida, uma vez que as duas partículas não estão conectadas;

8- Um corpo não necessariamente rígido está originalmente girando com velocidade angular cujo módulo é

o e com momento angular Lo. Alguns fenômenos causam uma leve diminuição em o.

Consequentemente

a) ( ) Lo deve também diminuir;

b) ( ) Lo poderia ser constante ou diminuir, porém nunca aumentar;

c) ( ) Lo poderia ser constante ou diminuir, ou ainda aumentar;

d) ( ) Lo poderia ser constante ou aumentar, porém nunca diminuir;

9- Um cilindro com momento de inércia Io gira com velocidade angular o. Um segundo cilindro com

momento de inércia I1 inicialmente parado cai sobre o primeiro cilindro e ambos alcançam a mesma

velocidade angular final f. Encontre f

a) a) ( ) f = o

b) b) ( ) f = (Io/I1) o

c) c) ( ) f = [Io/(I1+Io)] o

d) d) ( ) f = (I1/I0) o

e) e) ( ) f = [(I1+Io)/Io] o

10- Quatro objetos sólidos, todos com massa e raio idênticos, estão girando livremente com a mesma

velocidade angular. Que objeto necessita de maior trabalho para ser parado?

a) ( ) Uma esfera sólida girando em torno de um diâmetro

b) ( ) uma esfera oca girando em torno de um diâmetro

c) ( ) um disco sólido girando em torno de um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo centro

d) ( ) Um aro girando em torno de um eixo ao longo de um diâmetro

11- Quatro objetos sólidos, todos com massa e raio idênticos, estão girando livremente com o mesmo

momento angular. Que objeto necessita de maior trabalho para ser parado?





e) ( ) o trabalho é o mesmo para os quatro objetos

12- Quatro objetos sólidos, todos com massa e raio idênticos, estão girando livremente com o mesmo

momento angular e mesma velocidade angular. Que objeto necessita de maior trabalho para ser parado?


74





e) ( ) o trabalho é o mesmo para os quatro objetos

13- Um objeto sólido gira livremente sem que qualquer torque externo esteja atuando. Neste caso

a) ( ) tanto o momento angular quanto a velocidade angular possuem direção constante;

b) ( ) a direção do momento angular é constante porém a direção da velocidade angular pode não ser

constante;

c) ( ) a direção da velocidade angular é constante porém a direção do momento angular pode não ser

constante;

d) ( ) nem momento angular nem a velocidade angular possuem necessariamente uma direção constante;

14- Uma criança está na extremidade de um disco sólido de raio R. A massa da criança é m. O disco tem um

momento de inércia I e está girando com uma velocidade angula . A criança então anda lentamente em

direção ao centro do disco. Qual será a velocidade angular final do disco quando a criança alcança o

centro ? (o tamanho da criança pode ser desprezado)

a) a) ( ) (1+mR2/I)

1/2

b) b) ( ) (1+mR2/2I)

1/2

c) c) ( ) (1+mR2/I)

-1/2

d) d) ( ) (1+mR2/2I)

-1/2

e) e) ( ) (1-mR2/I)

1/2

15- (unificado) Em um sistema de três partículas de massas iguais a m movem-se na ausência de forças

externas com velocidades constantes v1 = vi, v2 = -vi e v3=vi. Num dado instante elas ocupam

posições indicadas na figura abaixo. O vetor momento angular total Lo deste sistema de partículas em

relação a origem O do eixo das coordenadas da figura é:

a) ( ) 0

b) ( ) -2avmk

c) ( ) avmk

d) ( ) -avmk

e) ( ) -3avmk

16- (unificado 2012) Um disco de raio R e massa M uniformemente distribuída, possui um pequeno furo

na sua periferia. Por este furão o disco é colocado no pino O, preso a uma parede vertical. No

posicionamento inicial do disco o ponto A de sua periferia localizado diametralmente oposto a O está

sobre o eixo vertical, acima de O; conforme mostra a figura abaixo. Como o disco está sob a

condição de equilíbrio instável, ele cai girando em torno do pino O. Sabe-se que o momento de

inércia ICM deste disco em torno de um eixo que passa pelo centro de massa e perpendicular ao plano

da página é igual a MR2/2. Desprezando-se o atrito entre o pino e o disco, quando o ponto A passa

pela linha vertical, abaixo de O, a velocidade angular do disco, é igual


75

a) ( ) 2(g/R)1/2

b) ( ) (g/2R)1/2

c) ( ) (2g/R)1/2

d) ( ) (3g/2R)1/2

e) ( ) 2(2g/3R)1/2

17- (Unificado 2012) Uma esfera maciça tem massa M, raio R e momento de inércia ICM segundo um

eixo que passa pelo seu centro. Ela está girando, com velocidade angular o, e é colocada

suavemente, com velocidade do seu centro de massa nula, sobre uma superfície plana e horizontal,

com o seu eixo de rotação posicionado paralelamente ao plano horizontal. Inicialmente ela rola e

desliza sobre o plano e após o intervalo de tempo t, reduz a sua velocidade angular, passando a rolar

sem deslizar com velocidade angular f constante. O módulo do torque resultante, considerado

constante, que atuou sobre a esfera, no intervalo de tempo t é igual a:

a) ( ) ICM( o- f)/ t

b) ( ) ICM o/ t

c) ( ) 0

d) ( ) RMg

e) ( ) N. R. A

Problemas adicionais

1- Uma partícula de massa m está presa ao

extremo de um fio e percorre uma trajetória

circular de raio r sobre uma mesa horizontal

sem atrito. O fio passa por um orifício de

mesa e o outro extremo se encontra

inicialmente fixo. Neste caso, o raio inicial é

ro e a velocidade angular inicial é o. Começa-

se então a puxar lentamente o fio de maneira a

diminuir o raio da trajetória circular, como

mostra a figura. A) Como variará a velocidade

angular em função de r?; b) Qual é o trabalho

realizado para levar a partícula até o raio ro/2?


2- Um disco de massa 2m e raio R repousa sobre

uma mesa horizontal extremamente lisa. Uma

bala de massa m, velocidade vo e parâmetro de

impacto R atinge o disco e engasta nele.

Calcule: a) a velocidade angular do sistema

logo após a colisão; b) a velocidade do centro

de massa após a colisão; c) a energia dissipada

na colisão;


3- Um disco de massa M e raio R pode mover-se

em torno de um eixo passando pelo seu centro

de massa O, conforme mostra a figura. Uma

partícula de massa também M segue uma

trajetória linear com velocidade v e parâmetro

de impacto d=R/2 relativo ao ponto O. Ao

chocar-se com o disco ela sofre uma deflexão

de 90o e tem sua velocidade mudada par

2v31/2

. A) Qual é a velocidade angular do

disco após a colisão? B) qual é a energia

dissipada na colisão?



76

Aula 24- giroscópios e precessão

Nome:_____________________________________________________________________

Motivação: As personalidades do piões. Por que é que os piões se aguentam em pé? Consegue explicar tal

fato utilizando só argumentos de força, sem invocar o momento angular? O pião mantém-se pé, contra a

gravidade; portanto deve haver uma força vertical. O que é que origina esta força? Pode explicar também

por que é que alguns piões têm uma personalidade própria? Uns “dormem”, isto é, mantém-se na vertical;

outros parecem desorientados, até que finalmente se fixam num movimento estável. Uns levam muito

tempo para parar, outros param de repente. Como se explicam estes temperamentos tão diferentes?

1- Dois cabos são fixados às extremidades do eixo de uma roda de bicicleta de forma que a roda fique

suspensa e livre para girar em um plano vertical. Uma alta velocidade de rotação é imposta à roda quando

um dos cabos de sustentação do eixo é cortado e a roda, vista desse lado, gira no sentido horário. Qual o

sentido da precessão do eixo da roda, quando vista por esse ângulo?

a) a) ( ) horário

b) b) ( ) anti-horário

c) c) ( ) A roda não apresentará precessão,

porque ela não é um pião

2- Antes de um dos cabos ser cortado, cada cabo estava sujeito a uma tração igual a P/2, onde P é o peso da

roda. Após o corte de um dos cabos, a intensidade da tração no cabo que ainda ficou conectado será

a) ( ) P/2

b) ( ) um pouco maior que P/2

c) ( ) aproximadamente P

d) ( ) exatamente P

3- O rotor (volante) de um giroscópio de brinquedo possui massa M. Seu momento de inércia em relação ao

seu eixo é I. A massa do suporte é m e seu comprimento é 2L. O giroscópio é suportado em um único

pivô e seu centro de massa está situado a uma distância L do pivô. O giroscópio possui movimento de

precessão em um plano horizontal, completando uma revolução em um tempo T. Ache o módulo força de

baixo para cima exercida pelo pivô

a) a) ( ) Mg

b) b) ( ) mg

c) c) ( ) (M+m)g

d) d) ( ) 0

4- Encontre a velocidade angular de precessão em rad/s

a) ( ) 2 /T

b) ( ) /T

c) ( ) 1/T

d) ( ) 2/T

5- Ache a velocidade angular com a qual o rotor gira em torno do seu eixo.

a) ( ) (M+m)gLT/ I

b) ( ) (M+m)gLT/2 I

c) ( ) (M+m)gLT/2I

d) ( ) mgLT/2 I

e) ( ) MgLT/2 I


77

6- Qual o vetor que melhor representa o momento angular do rotor no instante da figura acima

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

e) ( )

7- Qual o vetor que melhor representa o torque que atua sobre o rotor no instante da figura acima

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

e) ( )

8- Um giroscópio na Lua. Certo giroscópio realiza precessão a uma taxa de quando usado na Terra. Se

fosse levado para uma base lunar, onde a aceleração da gravidade é g’, qual seria a sua taxa de precessão?

a) ( )

b) ( ) g’/g

c) ( ) g/g’

d) ( ) zero

9- Um giroscópio possui movimento de precessão em torno de um eixo vertical. O que ocorre com a

velocidade de precessão quando a velocidade angular de spin do volante dobra

a) ( ) permanece a mesma

b) ( ) dobra

c) ( ) cai à metade

10- E quando o peso dobra?


b) ( ) dobra


11- E quando a distância entre pivô e o centro de gravidade dobra


b) ( ) dobra


Resposta à questão de motivação: O movimento geral do pião é muito complicado e está além do escopo

desta disciplina. Um pião assimétrico, certamente não será estável, e terá um comportamento irregular.

Um pião precessa (isto é, o seu eixo giratório roda em volta da vertical) devido a um momento resultante

de seu peso. Além dessa inclinação, há uma oscilação chamada nutação. Se um pião assimétrico tiver

inicialmente o seu eixo de rotação na vertical, manter-se-á assim enquanto a velocidade de rotação for

acima de um certo valor. Quando o atrito faz diminuir a velocidade de rotação abaixo desse valor, o pião

começa a oscilar.


78

Aula 26 - Conservação do Momento Angular I

Nome:_____________________________________________________________________

Para saber mais:

[1] G. F. Leal, Estudo Simplificado do Movimento do Pião com Rotação Constante ou Variável, Rev

Bras. Ens. Fis. 22, 568 (2000).

Buzz Group

Você irá trabalhar em dupla. A ideia é discutir e resolver um problema apresentado. O problema

geralmente será simples, mas exigirá um conhecimento do assunto em questão. O objetivo é clarificar os

pontos que eventualmente não foram completamente compreendidos. O objetivo poderá ser alcançado

pela ajuda do seu colega que pode ajudá-lo de um modo mais simples que o professor.


79

Definições e descrições atuais

Tempo: é aquilo que medimos com um relógio. Nenhuma definição mais fundamental é possível. O

tempo é deduzido pela comparação de movimentos. Para entender o tempo precisamos entender o

movimento.

Sistema: um conjunto de partículas

Relógio: é um sistema que se move cuja posição pode ser lida.

Força: é o agente de mudança do estado do sistema.

Energia: é uma medida escalar de mudança do estado do sistema. Energia não é a habilidade de realizar

trabalho.

Momento: é uma medida vetorial de mudança do estado do sistema. Em geral momento não é igual a mv!

Trabalho: É a transferência de energia de um sistema para outro pela ação de uma força.

Matéria: é tudo aquilo que interage (aqui fótons são considerados uma forma efêmera de matéria)

Massa: é a propriedade da matéria que surge, total ou parcialmente, através de interações. A massa

invariante de qualquer objeto elementar ou composto – é uma medida da energia mínima necessária para

criar aquele objeto, em repouso, conforme ele existe naquele momento.

Movimento: (descrição) mudança da posição como tempo

And the seasons they go 'round and 'round

And the painted ponies go up and down

We're captive on the carousel of time

We can't return we can only look behind

From where we came

And go round and round and round

In the circle game

Joni Mitchell, The Circle Game


80

Teaching tips

Since success is motivating, start with relatively easy problems.” Follow them with more challenging problems to avoid the assignments being significantly easier than the test problems

You can reduce student anxiety by having quizzes and exams more often so that each is worth a smaller percentage of their grade.

In the classroom • Learn names!

o Make sure you ask for the correct pronunciation of students’ names and

call them by name. [PCW, p. 125]

o Have a few students introduce themselves to the class at every session

until the entire class has been introduced. [PCW, p. 126] • “If you want students to talk, look at them… Asking students to speak in class is

easier to do if they use name cards or if you have learned their names. This will encourage them to use each others' names as well; people are more likely to talk when they know each other.” [Bok]

• “Create flexible learning processes that account for the variety of learning styles that may exist in a diverse classroom.” [Bok2]

• “Examine how your own experiences, values, beliefs, and stereotypes inform the way you interact with individuals whose racial backgrounds are different from your own.” [Bok2]

• Sometimes diverse classrooms with diverse views lead to hot moments in the classroom:

“When a student asks a question, instead of answering yourself, ask for an answer

from other members of the class. In a large group, always repeat a question or paraphrase a response before going on, so that all students can hear and understand (this is especially important when students in the class do not speak English as a native language).” [Bok]

“Pause in the lecture after making a major point. Show students a multiple-choice

question based on the material you have been talking about.

Do a one-minute paper at the end of class. In this exercise, students write down

what they consider (a) the main point of the class and (b) the main question they still have as they leave. You can use some of these questions to begin the


81

next lecture, or students can be asked to bring them to section or lab. One advantage of this technique is that students may listen more carefully and review their notes thoughtfully.” [Bok]

• Assign tasks that encourage active involvement from students, such as cooperative groups, role plays, debates, etc. [PCW, 42] “Help the students learn how to interact to achieve the purpose of the group.” [PCW, 95]

Engaging a Large Lecture Class Lecturers face a very human challenge: research shows that most students' attention

diminishes after ten minutes of listening, and that keeping their attention is crucial to

helping them learn.

What they learn in lecture is not only what we know, but also how we know it. The

lecture, as Wilbert McKeachie describes it, portrays "a scholar in action," synthesizing

information, identifying problems, and making hypotheses. Below are strategies and

suggestions to help you engage your students in a large lecture class, and thus facilitate

their understanding of course content and disciplinary method.

Extras


82


83

Primeiro teste de Mecânica da Partícula (2013/1)

Nome:____________________________________________________________________________

1) (0,5 ponto) Inicialmente leia a descrição das três situações abaixo:

Exercício I

Dois nadadores estão flutuando em um rio; cada um deles está preso a boias distintas. Um deles está em

repouso em relação às margem e o outro está involuntariamente sendo levado com uma velocidade

constante pela correnteza. Um peixe salta fora d’água.

Exercício II

Dois paraquedistas estão caindo verticalmente, cada um com uma velocidade diferente, porém ambas

constantes. Um deles deixa cair um objeto e o outro pega o objeto.

Exercício III

Em um aeroporto, uma esteira rolante ao longo do corredor ajuda os viajantes a chegarem ao portão de

embarque mais rapidamente. Há dois homens, A e B: A está parado no corredor; B está sobre a esteira

rolante se apoiando sobre o corrimão. Ambos estão olhando um terceiro homem, C, que está andando

sobre a esteira rolante.


84

Agora responda:

Exercício I:

As duas quantidades são as mesmas para ambos os nadadores? Sim Não

O tempo que o peixe fica fora d’água

O comprimento do peixe

O comprimento do pulo do peixe

A velocidade do peixe em um dado momento

Exercíco II

As duas quantidades são as mesmas para ambos os paraquedistas?

A duração da queda do objeto

A distância que o objeto cai

O tamanho do paraquedas

A velocidade do objeto em um dado momento

Exercíco III

As duas quantidades são as mesmas para ambos os observadores A e B?

A duração de um passo de C

A largura de um cartaz

A altura de um cartaz

A distância que C percorre em um passo

A velocidade de um cartaz em um dado momento

A velocidade de C em um dado momento

2) (0,5 ponto) Uma bola de gude rola horizontalmente com velocidade escalar vo e cai do topo de uma

plataforma de altura h sem sofrer nenhuma resistência significativa do ar. No nível do solo, a uma

distância d da base da plataforma há um buraco escancarado de largura L. Para quais valores de vo a bola

de gude aterrissará no buraco? Considere a aceleração da gravidade como g.

Proposta para a primeira prova de Mecânica da partícula

1- Atira-se duas vezes uma bola, verticalmente, de uma mesma altura em relação ao solo; despreze

o efeito do ar. Na primeira vez (situação A) a velocidade inicial tem sentido para cima e no

segundo caso (situação B) o sentido é para baixo. Nos dois casos as velocidades iniciais tem o

mesmo módulo. Na situação A, a bola chega ao solo com velocidade de módulo vA e na situação

B, com velocidade de módulo vB. É correto afirmar que:

a) ( ) vA > vB

b) ( ) vA < vB

c) ( ) vA = vB

d) ( ) Não é possível determinar a relação entre vA e vB, pois a altura de lançamento não é

conhecida.

e) ( ) Não é possível determinar a relação entre vA e vB, pois ambas dependem das velocidades

iniciais.


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2- Um pequeno bloco de massa m desliza sobre um plano de inclinação 0 < < /2 com a

horizontal, sem atrito. Sobre ele atuam: a força normal N

exercida pela plano e o peso P

. A

opção correta abaixo é:

a) ( ) cosPN

b) ( ) O módulo da aceleração do bloco é igual a g.

c) ( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é: Psen

d) ( ) O módulo da força normal é Psen

e) ( ) A aceleração do bloco tem sempre o mesmo sentido da velocidade, independente de qual

seja a sua velocidade inicial.

3- Considere as seguintes afirmações sobre os vetores velocidade e aceleração de um corpo em

movimento: I) A velocidade pode ser zero e a aceleração ser diferente de zero. II) O módulo do

vetor velocidade pode ser constante, com o vetor velocidade mudando com o tempo. III) O vetor

velocidade pode ser constante mas seu módulo variar com o tempo. IV) O vetor velocidade pode

mudar de sentido com o tempo mesmo que o vetor aceleração permaneça constante. São

verdadeiras as afirmações:

a) ( ) Todas as afirmações

b) ( ) I, II e III somente

c) ( ) II e III somente

d) ( ) I, II e IV somente

e) ( ) nenhuma das afirmações anteriores

4- Uma partícula de massa m pendurada por um fio ideal de comprimento L é abandonada de um

ângulo o a partir do repouso, com o fio totalmente estendido, como mostra a figura abaixo.

Sejam a tração no fio T

e o peso P

as forças que atuam na partícula e despreze a resistência do

ar. Qual das afirmações está correta?

a) ( ) P

varia com o ângulo

b) ( ) o módulo da aceleração da partícula é constante

c) ( ) No ponto mais baixo da trajetória L

mvT

2 onde v é o módulo da velocidade neste

ponto.

d) ( ) para = o a aceleração é nula

e) ( ) No ponto mais baixo da trajetória PT

5- Nas figuras abaixo, a parábola representa a trajetória de um lançamento oblíquo para o 0, de

um projétil nas proximidades da superfície da Terra. No ponto mais alto da trajetória do projétil,

o diagrama que melhor representa os vetores velocidade v

e aceleração a

, neste ponto é:

(despreze o efeito da resistência do ar)

a) ( ) I

b) ( ) II

c) ( ) III

d) ( ) IV

e) ( ) Nenhum dos diagramas


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6- Um bloco de massa M está sob a ação de uma força horizontal de módulo F constante sobre uma

superfície horizontal sem atrito. Sobre ele há um bloco de massa m, preso à esquerda por um fio

ideal. Este fio passa por uma roldana ideal que encontra-se fixa a uma parede vertical, e o

conecta ao bloco de massa M. Os segmentos do fio são paralelos ao plano horizontal: vide a

figura abaixo. Suponha que haja atrito entre os blocos em contato entre si. Considere como

conhecidos os valores dos coeficientes de atrito estático e e cinético c, as massas m e M e o

módulo da aceleração da gravidade.

a) Isole os blocos e represente por meio de um diagrama de corpo livre todas as forças que

atuam em cada um deles.

b) Suponha inicialmente que os corpos estejam em repouso. Determine o valor máximo do

módulo da força, Fmax para que o sistema permaneça em repouso.

c) Considere que a força, cujo módulo F’ seja capaz de colocar os blocos em movimento com

aceleração constante. Para o intervalo de tempo no qual os blocos permanecem em contato

entre si, determine os vetores aceleração de cada bloco em função de F’ , c, m, M e g.

d) Determine o módulo da tração no fio para o caso do item anterior (item c).

7- Um projétil é lançado com velocidade de módulo vo formando um ângulo o com a horizontal. O

ponto de lançamento está localizado a uma altura h acima do solo. A figura mostra o sistema de

referência XOY fixo, que está localizado no solo e tem o eixo vertical OU alinhado

verticalmente com o ponto de lançamento. De acordo com este referencial, pressupondo que a

resistência do ar é desprezível e que a Terra é um referencial inercial:

a) Escreva os vetores posição )(tr

e velocidade )(tv

, como funções do tempo t, usando os

unitários i e j dos eixos OX e OY , respectivamente, indicados na figura.

b) Calcule o tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima

c) Calcule o tempo de voo do projétil

d) Determine, quando o projétil toca o solo, o módulo de sua velocidade.


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Note que as questões e problemas a seguir não devem ser ignorados. Eles servem de guia de estudo

essencial que estimulam o raciocínio, interpretação e digestão das ideias sendo desenvolvidas. Eles são


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indispensáveis para um estudo sério e para uma boa compreensão. Sem tal prática, os estudantes não

constroem os conceitos necessários e não aprendem como aprender.

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