Cilindro e cone – IIMA13 - Unidade 23

Eduardo Wagner

PROFMAT - SBM

ConeEm um plano H considere uma curva simples fechada C e seja Vum ponto fora de H. Por cada ponto P de C trace a reta VP. Areuniao dessas retas e uma superfıcie conica de vertice V .

A parte do espaco limitada pela superfıcie conica e pelo plano H eo cone de base C e vertice V . A distancia de V ao plano H e aaltura do cone. O segmento VP e uma geratriz do cone.

PROFMAT - SBM Cilindro e cone – II slide 2/13

Teorema

Toda secao paralela a base de um cone e uma figura semelhante abase.

Considere um cone de base C vertice V e altura h. Um planoparalelo a base distando h′ de V produziu no cone uma secao C ′.Para cada ponto X ∈ C considere X ′ a intersecao de X com C ′.A funcao s : C → C ′ tal que S(X ) = X ′ e uma semelhanca.De fato, para quaisquer X ,Y ∈ C e suas imagens X ′,Y ′ ∈ C ′

tem-seX ′Y ′

XY=

h′

h.

PROFMAT - SBM Cilindro e cone – II slide 3/13

Teorema

O volume do cone e a terca parte do produto da area da base pelaaltura.

Dado um cone com base de area A e altura h considere uma piramidecom mesma altura e base de mesma area. Coloque os dois solidos com asbases no mesmo plano H. Um plano paralelo a H corta os dois solidosformando secoes de areas A1 e A2.

Pelas propriedades do cone e da piramide temosA1

A=

(h′

h

)2

=A2

A.

Logo, A1 = A2 e os dois solidos tem mesmo volume.

O volume do cone com base de area A e altura h e V = 13Ah.

PROFMAT - SBM Cilindro e cone – II slide 4/13

Cone circular reto

Seja C uma circunferencia contida no plano H e seja V um pontotal que OV seja perpendicular a H. O cone de base C e vertice Ve o cone circular reto.

Todas as geratrizes do cone circular reto sao iguais.O cone pode ser imaginado como o solido de revolucao resultadoda rotacao do triangulo retangulo VOP em torno da reta quecontem OV .

PROFMAT - SBM Cilindro e cone – II slide 5/13

Area lateral do cone circular reto

Considere um cone de raio R e geratriz g .Cortando o cone ao longo de uma geratriz podemos aplicar suasuperfıcie lateral sobre um plano sem alterar sua area. Obtemosum setor circular de raio g que subtende um arco de comprimento2πR. A area lateral SL do cone e igual a area desse setor.

Como a area do setor circular e proporcional ao comprimento doarco correspondente temos que

SL =2πR

2πg· πg2 = πRg

PROFMAT - SBM Cilindro e cone – II slide 6/13

Tronco de cone circular de bases paralelas

Um cone com base de raio R foi cortado por um plano paralelo aoplano de sua base. A secao tem raio r e a distancia entre os doisplanos e h. O segmento da geratriz do cone compreendido entre osdois planos paralelos e a geratriz g do tronco de cone.

O volume do tronco de cone e V =πh

3(R2 + r2 + Rr).

A area lateral do tronco de cone e S = π(R + r)g .As demonstracoes estao no Apendice 1 desta aula.

PROFMAT - SBM Cilindro e cone – II slide 7/13

Esferas inscrita e circunscritaTodo cone circular reto (cone de revolucao) admite esfera inscrita ecircunscrita.Cone e esfera sao solidos de revolucao. Entao os centros das esferasinscrita no cone e circunscrita ao cone estao no eixo comum, ou seja, areta que contem o vertice e o centro da base.Corte o cone por um plano que contem o eixo. A secao e a figura aseguir.

eixo

b

Ab

B

bV

b

O

O ponto V e o vertice do cone e o segmento AB e o diametro da base.O raio da esfera inscrita no cone e o raio da circunferencia inscrita notriangulo VAB.

O raio da esfera circunscrita ao cone e o raio da circunferencia

circunscrita ao triangulo VAB.

PROFMAT - SBM Cilindro e cone – II slide 8/13

Apendice 1a) Volume do tronco de cone de altura h com bases de raios R e r .Faca uma figura.Do cone original de altura x foi retirado um cone de altura y . Assim,x − y = h.O volume do tronco de cone e a diferenca entre os volumes dos cones:

V =1

3πR2x − 1

3πr2y

V =1

3πR2(h + y)− 1

3πr2y =

1

3πR2h +

1

3πR2y − 1

3πr2y

V =1

3πR2h +

1

3π(R2 − r2)y =

1

3πR2h +

1

3π(R + r)(R − r)y

Da semelhanca entre os dois cones temos Rx = r

y = R−rh , ou seja,

(R − r)y = rh.Substituindo na formula do volume temos

V =1

3πR2h +

1

3π(R + r)rh =

1

3πR2h +

1

3πRrh +

1

3r2h

V =πh

3(R2 + r2 + Rr)

PROFMAT - SBM Cilindro e cone – II slide 9/13

b) Area lateral do tronco de cone de geratriz g com bases de raiosR e r .Faca uma figura.Seja x a geratriz do cone original e seja y a geratriz do cone quefoi retirado. Assim, x − y = g .A area lateral do tronco de cone e a diferenca entre as areaslaterais dos dois cones:

SL = πRx − πry

SL = πR(g + y)− πry = πRg + πRy − πry

SL = πRg + π(R − r)y

Da semelhanca entre os dois cones temos Rx = r

y = R−rg , ou seja,

(R − r)y = rg .Substituindo na formula da area temos

SL = πRg + πrg = π(R + r)g

PROFMAT - SBM Cilindro e cone – II slide 10/13

Secoes em superfıcie conica de revolucao

As retas r e e (eixo) sao concorrentes em V. A reta r gira em tornode e produzindo uma superfıcie conica de revolucao (de duasfolhas). Faca uma figura.

a) O plano corta todas as geratrizes de uma folha.

A secao e uma elipse.

PROFMAT - SBM Cilindro e cone – II slide 11/13

b) O plano corta as duas folhas

A secao e uma hiperbole.

PROFMAT - SBM Cilindro e cone – II slide 12/13

c) O plano corta uma folha e e paralelo a uma geratriz.

A secao e uma parabola.

PROFMAT - SBM Cilindro e cone – II slide 13/13