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CilindroMA13 - Unidade 23

Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:A. Caminha M. Neto. Geometria. Colecao PROFMAT

Cilindro

Em um plano H considere uma curva simples fechada C e seja r umareta nao contida em H. Por cada ponto P de C trace uma reta paralela ar . A reuniao dessas retas e uma superfıcie cilındrica.

Um plano H ′ paralelo a H corta a su-perfıcie cilındrica segundo uma curva C ′,congruente a C .

Os planos H e H ′ cortam a reta r nospontos A e A′ e seja AA′ = g .

A parte do espaco limitada pela superfıciecilındrica e pelos planos H e H ′ e um ci-lindro de base C e geratriz g .

A distancia entre os planos H e H ′ e aaltura do cilindro.

Cilindro slide 2/7

O volume do cilindroO volume do cilindro e o produto da area da base pela altura.

Dado um cilindro de altura h com base de area A considere umparalelepıpedo retangulo com mesma altura e base de mesma area.Coloque os dois solidos com bases no mesmo plano como mostra a figuraacima.Tanto no cilindro quanto no paralelepıpedo, toda secao paralela a base econgruente com a base. Assim, se um plano paralelo ao plano da basedos dois solidos produz no cilindro uma secao de area A1 e noparalelepıpedo uma secao de area A2, entao, A1 = A + A2 e, peloprincıpio de Cavalieri, os dois solidos tem mesmo volume.

O volume do cilindro de base de area A e altura h e V = Ah.

Cilindro slide 3/7

Cilindro circular reto

Um cilindro e reto quando as geratrizes sao perpendiculares aoplano da base. Se, alem disso a base for um cırculo temos ocilindro circular reto.

O volume do cilindro circular de raio R e altura h e V = πR2h.A superfıcie lateral do cilindro pode ser cortada ao longo de umageratriz e desenrolada, sem alterar sua area, para obter um cilindrode base 2πR e altura h.A area lateral do cilindro circular reto e, portanto, SL = 2πRh.Obs: cilindro equilatero e o que possui altura igual ao diametro.

Cilindro slide 4/7

Tronco de cilindro circular

Em um cilindro circular reto um plano oblıquo ao eixo cortou todasas geratrizes. Cada uma das partes em que o cilindro ficou divididoe um tronco de cilindro.

A base do cilindro tem raio R e o eixo do cilindro cortou a base e asecao em dois pontos cuja distancia e d . O volume do tronco eV = πR2d . Justifique.Obs: A secao e uma elipse cujo eixo menor e 2R.Veja a demonstracao no livro, pag. 324.

Cilindro slide 5/7

Solidos de revolucao

Quando uma figura plana F gira em torno de uma reta r de seuplano e que nao a atravessa ela gera um objeto chamado solido derevolucao. A reta r e o eixo desse solido.Se um retangulo gira em torno de uma reta r que contem um deseus lados, o solido de revolucao formado e um cilindro circularreto.

O cilindro circular reto tambem e chamado cilindro de revolucao.

Cilindro slide 6/7

Superfıcie de revolucao

Quando uma linha plana L gira em torno de uma reta r de seuplano, ela gera uma superfıcie chamada superfıcie de revolucao. Areta r e o eixo dessa superfıcie.

Cilindro slide 7/7

ConeMA13 - Unidade 23


ConeEm um plano H considere uma curva simples fechada C e seja Vum ponto fora de H. Por cada ponto P de C trace a reta VP. Areuniao dessas retas e uma superfıcie conica de vertice V .

A parte do espaco limitada pela superfıcie conica e pelo plano H eo cone de base C e vertice V . A distancia de V ao plano H e aaltura do cone. O segmento VP e uma geratriz do cone.

Cone slide 2/13

Teorema

Toda secao paralela a base de um cone e uma figura semelhante abase.

Considere um cone de base C vertice V e altura h. Um planoparalelo a base distando h′ de V produziu no cone uma secao C ′.Para cada ponto X ∈ C considere X ′ a intersecao de X com C ′.A funcao s : C → C ′ tal que S(X ) = X ′ e uma semelhanca.De fato, para quaisquer X ,Y ∈ C e suas imagens X ′,Y ′ ∈ C ′

tem-seX ′Y ′

XY=

h′

h.

Cone slide 3/13

Teorema

O volume do cone e a terca parte do produto da area da base pelaaltura.

Dado um cone com base de area A e altura h considere uma piramidecom mesma altura e base de mesma area. Coloque os dois solidos com asbases no mesmo plano H. Um plano paralelo a H corta os dois solidosformando secoes de areas A1 e A2.

Pelas propriedades do cone e da piramide temosA1

A=

(h′

h

)2

=A2

A.

Logo, A1 = A2 e os dois solidos tem mesmo volume.

O volume do cone com base de area A e altura h e V = 13Ah.

Cone slide 4/13

Cone circular reto

Seja C uma circunferencia contida no plano H e seja V um pontotal que OV seja perpendicular a H. O cone de base C e vertice Ve o cone circular reto.

Todas as geratrizes do cone circular reto sao iguais.O cone pode ser imaginado como o solido de revolucao resultadoda rotacao do triangulo retangulo VOP em torno da reta quecontem OV .

Cone slide 5/13

Area lateral do cone circular reto

Considere um cone de raio R e geratriz g .Cortando o cone ao longo de uma geratriz podemos aplicar suasuperfıcie lateral sobre um plano sem alterar sua area. Obtemosum setor circular de raio g que subtende um arco de comprimento2πR. A area lateral SL do cone e igual a area desse setor.

Como a area do setor circular e proporcional ao comprimento doarco correspondente temos que

SL =2πR

2πg· πg2 = πRg

Cone slide 6/13

Tronco de cone circular de bases paralelas

Um cone com base de raio R foi cortado por um plano paralelo aoplano de sua base. A secao tem raio r e a distancia entre os doisplanos e h. O segmento da geratriz do cone compreendido entre osdois planos paralelos e a geratriz g do tronco de cone.

O volume do tronco de cone e V =πh

3(R2 + r2 + Rr).

A area lateral do tronco de cone e S = π(R + r)g .As demonstracoes estao no Apendice 1 desta aula.

Cone slide 7/13

Esferas inscrita e circunscritaTodo cone circular reto (cone de revolucao) admite esfera inscrita ecircunscrita.Cone e esfera sao solidos de revolucao. Entao os centros das esferasinscrita no cone e circunscrita ao cone estao no eixo comum, ou seja, areta que contem o vertice e o centro da base.Corte o cone por um plano que contem o eixo. A secao e a figura aseguir.

eixo

b

Ab

B

bV

b

O

O ponto V e o vertice do cone e o segmento AB e o diametro da base.O raio da esfera inscrita no cone e o raio da circunferencia inscrita notriangulo VAB.

O raio da esfera circunscrita ao cone e o raio da circunferencia

circunscrita ao triangulo VAB.

Cone slide 8/13

Apendice 1a) Volume do tronco de cone de altura h com bases de raios R e r .Faca uma figura.Do cone original de altura x foi retirado um cone de altura y . Assim,x − y = h.O volume do tronco de cone e a diferenca entre os volumes dos cones:

V =1

3πR2x − 1

3πr2y

V =1

3πR2(h + y)− 1

3πr2y =

1

3πR2h +

1

3πR2y − 1

3πr2y

V =1

3πR2h +

1

3π(R2 − r2)y =

1

3πR2h +

1

3π(R + r)(R − r)y

Da semelhanca entre os dois cones temos Rx = r

y = R−rh , ou seja,

(R − r)y = rh.Substituindo na formula do volume temos

V =1

3πR2h +

1

3π(R + r)rh =

1

3πR2h +

1

3πRrh +

1

3r2h

V =πh

3(R2 + r2 + Rr)

Cone slide 9/13

b) Area lateral do tronco de cone de geratriz g com bases de raiosR e r .Faca uma figura.Seja x a geratriz do cone original e seja y a geratriz do cone quefoi retirado. Assim, x − y = g .A area lateral do tronco de cone e a diferenca entre as areaslaterais dos dois cones:

SL = πRx − πry

SL = πR(g + y)− πry = πRg + πRy − πry

SL = πRg + π(R − r)y

Da semelhanca entre os dois cones temos Rx = r

y = R−rg , ou seja,

(R − r)y = rg .Substituindo na formula da area temos

SL = πRg + πrg = π(R + r)g

Cone slide 10/13

Secoes em superfıcie conica de revolucao

As retas r e e (eixo) sao concorrentes em V. A reta r gira em tornode e produzindo uma superfıcie conica de revolucao (de duasfolhas). Faca uma figura.

a) O plano corta todas as geratrizes de uma folha.

A secao e uma elipse.

Cone slide 11/13

b) O plano corta as duas folhas

A secao e uma hiperbole.

Cone slide 12/13

c) O plano corta uma folha e e paralelo a uma geratriz.

A secao e uma parabola.

Cone slide 13/13

Volume da esfera. Volume do segmentoesferico

MA13 - Unidade 24


Volume da esfera

A primeira figura e um cilindro de revolucao de centro V , raio R ealtura 2R subtraıdo dos dois cones de vertice V com bases sobreas bases do cilindro.A segunda figura e uma esfera de centro O e raio R.Os dois solidos estao apoiados no plano horizontal H.

Volume da esfera. Volume do segmento esferico slide 2/8

Continuacao

A reta VO e paralela ao plano H.Um plano paralelo a H, distando x de VO cortou os dois solidosproduzindo secoes de areas s1 e s2, respectivamente.A primeira secao e uma coroa circular limitada pelas circunferenciasde centro C e raios CQ e CP. Observe que CQ = R.Como as arestas dos cones fazem 45◦ com o plano H entao otriangulo retangulo CVP e isosceles com CP = CV = x .


Continuacao

A segunda secao e um cırculo de centro A e raio AB. No trianguloAOB retangulo em A tem-se OA = x e OB = R.Calcularemos as areas das secoes.

S1 = πR2 − πx2 = π(R2 − x2) = πAB2 = S2

Pelo princıpio de Cavalieri os dois solidos tem mesmo volume.


Continuacao

O volume V da esfera e igual ao volume do cilindro subtraıdo dosdois cones.

V = πR2 · 2R − 2 · 1

3· πR2 · R = 2πR3 − 2

3πR2 =

4

3πR3

V =4

3πR3


Segmento esferico

Cortando uma esfera por um plano, cada um dos solidos em queela ficou dividida e um segmento esferico.Um segmento esferico e definido pelo raio R da esfera na qual estacontido e pela sua altura h, que e a maior distancia de um pontode sua superfıcie ao plano da secao.


O volume do segmento esferico

Considere na mesma figura que utilizamos para encontrar o volumeda esfera, um plano H1 paralelo a H distando h de H. Agora, amesma situacao aparece em um desenho simplificado.

Pelo Princıpio de Cavalieri o volume do segmento esferico de alturah em uma esfera de raio R e igual ao volume de um cilindro deraio R e altura h subtraıdo do volume de um tronco de cone dealtura h cujas bases tem raios R e x .


Continuacao

Para fazer as contas observe que o raio da base menor do troncode cone e x = R − h.

O volume do cilindro de raio R e altura h e

V1 = πR2h .

O volume do tronco de cone de altura h com bases de raios R e x e

V2 =πh

3(R2 + x2 + Rx)

O volume do segmento esferico e V = V1 − V2.

Faca as contas. A resposta e

V =πh2

3(3R − h)


Superfıcie de revolucao. Area da esferaMA13 - Unidade 24


Rotacao de um segmento

Um segmento AB e uma reta e sao coplanares. O segmento ABgira em torno de e (eixo), produzindo uma superfıcie de revolucao:a superfıcie lateral de um tronco de cone.

Superfıcie de revolucao. Area da esfera slide 2/9

Continuando

Seja h a projecao de AB sobre o eixo e. Girando AB em torno doeixo os pontos A e B descrevem circunferencias de raios R e r ,respectivamente. Seja M o ponto medio de AB e m sua distanciaao eixo.

e

r

m

R

h

bA

bB

bM b

b

b

b

b

m = R+r

2


Superfıcie gerada por um segmento

Na figura a seguir considere: AA′ ⊥ e, BB ′ ⊥ e, MM ′ ⊥ e,BC ⊥ AA′, MD ⊥ AB, AB = g e A′B ′ = h.

e

mh

z

g

b

A

bB

bM b

M′

b B′

b

A′

b

b

b

D

b

C

b

b

Os triangulos BCA e MM ′D sao semelhantes. Assim ABMD = BC

MM′

ou seja, gz = h

m . Entao, mg = zh.


Continuando

A superfıcie gerada pela rotacao de um segmento em torno de umeixo e a superfıcie lateral de um tronco de cone. Sua area eS = π(R + r)g onde R e r sao os raios das bases e g e a geratriz(v. Resumo anterior).

Com os elementos da figura anterior essa area e igual a

S = π(R + r)g = 2πR + r

2g = 2πmg = 2πzh

onde h e o comprimento da projecao do segmento sobre o eixo e ze a parte da mediatriz do segmento compreendida entre osegmento e o eixo.


Superfıcie gerada por uma poligonal regular

Considere uma semicircunferencia decentro O e diametro AA′ e a reta e(eixo) passando por A e A′. Seja B umponto da semicircunferencia. Divida oarco AB em n partes iguais pelos pontosP1,P2, . . .Pn−1. A reuniao dos segmen-tos AP1,P1P2, . . .Pn−1B e uma poligo-nal regular inscrita na semicircunferencia.A area da superfıcie gerada pela poligo-nal e

S = 2πzh1 + 2πzh2 + . . .+ 2πzhn

S = 2πz(h1 + h2 + · · ·+ hn)

S = 2πzh

onde h e a projecao da poligonal sobre oeixo e z e o apotema da poligonal.

z

h1

h2

h3

h

e

bA′

bA

bP1

bO

bP2

bB

b

b

b

b

b

b

b

b


Calota esferica

Cortando a superfıcie de uma esfera por um plano, cada uma daspartes em que ela fica dividida e uma calota esferica.

A secao e a base da calota. A altura da calota e a maior distanciade um de seus pontos ao plano da secao.


A area da calota

Considere uma semicircunferencia dediametro AA′ e a reta e (eixo) passandopor A e A′. Seja B um ponto da semicir-cunferencia.A superfıcie gerada pela rotacao do arcoAB em torno do eixo e e uma calotaesferica.Considere agora a poligonal regular deextremidades A e B e faca n → ∞. Apoligonal tende ao arco AB e o apotemaz tende ao raio R da semicircunferencia.Em uma circunferencia de raio R a areade uma calota de altura h e

S = 2πRh

e

h

R

bA′

bA

b bB

b


Area da esfera

Nas figura anterior, faca B coincidir com A′. A rotacao do arcoAB em torno do eixo e gera a esfera de raio R.

2R

e

b

B

bA

Como h = AA′ = Ab = 2R, a area da esfera e S = 2πR · 2R, ouseja,

S = 4πR2


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