1

Universidade Federal do ABC

Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica

Circuitos Elétricos II

José Azcue, Prof. Dr.

Transformada inversa de Laplace

Definição

Funções racionais

Expansão em frações parciais

Teorema do valor inicial e final

2

Transformada inversa de Laplace

1º Método: Tabelas

Linearidade

Teoremas e Propriedades

Anti-transformada

𝑓 𝑡 = 𝐿−1[𝐹(𝑠)]

Unicidade

𝑓 𝑡 ↔ 𝐹(𝑠)

3

Exemplo – Obter a transformada inversa de Laplace de:

𝐹 𝑠 =1

(𝑠 + 3)2

Tem-se que:

ℒ 𝑡 =1

𝑠2 (Derivada da transformada)

ℒ 𝑒−𝑎𝑡𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑠 + 𝑎 (Translação na frequência)

Portanto: ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑡𝑒−3𝑡 , 𝑡 ≥ 0

4

• A transformada inversa de Laplace é dada por:

ℒ−1 𝐹 𝑠 =1

2𝜋𝑗 𝐹 𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑠

𝜎+𝑗∞

𝜎−𝑗∞

= 𝑓 𝑡

• Para 𝑡 > 0

ℒ−1 𝐹 𝑠 =1

2𝜋𝑗 𝐹 𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑠

𝜎+𝑗∞

𝜎−𝑗∞

= 𝑓 𝑡 𝐻 𝑡

H 𝑡 = 0 𝑡 < 01 𝑡 ≥ 0

2º Método: Fórmula de Inversão

Integral sobre a reta s=

5

3º Método: Anti-transformação de Funções Racionais

(Razão entre dois polinômios em s)

𝐹 𝑠 =𝑁(𝑠)

𝐷(𝑠)=

𝑏0𝑠𝑚 + 𝑏1𝑠

𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚−1 + 𝑏𝑚

𝑎0𝑠𝑛 + 𝑎1𝑠

𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛

𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 𝜖 ℜ 𝑎0, 𝑏0 ≠ 0

Forma Fatorada:

𝐹 𝑠 = 𝐾. (𝑠 − 𝑧𝑖)

𝑚𝑖=1

(𝑠 − 𝑝𝑘)𝑛𝑘=1

K = fator de escala (ganho) = 𝑏0

𝑎0

𝒛𝒊 ⇒ 𝒛𝒆𝒓𝒐𝒔 (𝑖 = 1,2, … , 𝑚)

𝒑𝒌 ⇒ 𝒑ó𝒍𝒐𝒔 (𝑘 = 1,2, … , 𝑛)

Simples ou múltiplos,

reais ou complexos

6

Funções racionais Exemplo

Aplicando a lei de Kirchhoff de correntes (LKC):

equação íntegro-diferencial em t

𝑣(𝑡)

𝑅+

1

𝐿 𝑣 𝑡 𝑑𝑡

𝑡

0

+ 𝐶.𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡= 𝐼𝑑𝑐 . 𝐻(𝑡)

7

Observações:

V(s) = variável de interesse

R, L, C e Idc = conhecidos

v(0-) = 0 (tensão inicial no capacitor)

O problema se reduz a uma equação algébrica em s

Aplicando Laplace:

𝑣(𝑡)

𝑅+

1

𝐿 𝑣 𝑡 𝑑𝑡

𝑡

0

+ 𝐶.𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡= 𝐼𝑑𝑐 . 𝐻(𝑡)

𝑉(𝑠)

𝑅+

1

𝐿

𝑉(𝑠)

𝑠+ 𝐶. [𝑠. 𝑉 𝑠 − 𝑣(0−)] = 𝐼𝑑𝑐 .

1

𝑠

8

Isolando-se V(s):

(x 𝑠

𝐶)

v(t) é a transformada inversa de V(s)

Função racional

𝑉(𝑠)

𝑅+

1

𝐿

𝑉(𝑠)

𝑠+ 𝑠. 𝐶. 𝑉 𝑠 = 𝐼𝑑𝑐 .

1

𝑠

𝑉 𝑠 =𝐼𝑑𝑐/𝐶

𝑠2 +1

𝑅𝐶𝑠 +

1𝐿𝐶

𝑉 𝑠 .1

𝑅+

1

𝑠𝐿+ 𝑠𝐶 =

𝐼𝑑𝑐

𝑠

9

Diagrama de pólos e zeros de Funções Racionais

𝐹 𝑠 =10(𝑠2 + 3𝑠 + 2)

𝑠4 + 2𝑠3 + 2𝑠2

𝐹 𝑠 = 10(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)

𝑠2 (𝑠 + 1 − 𝑗1)(𝑠 + 1 + 𝑗1)

• Um pólo duplo na origem: 𝑝1,2 = 0

• Dois pólos complexos conjugados:

𝑝3,4 = −1 ± 𝑗1

• Dois zeros simples: 𝑧1 = −1; 𝑧2 = −2

• Fator de escala; K=10

Forma Fatorada:

𝐹 𝑠 = 𝐾. (𝑠 − 𝑧𝑖)

𝑚𝑖=1

(𝑠 − 𝑝𝑘)𝑛𝑘=1

10

Expansão em frações parciais

𝐹 𝑠 =𝑁(𝑠)

𝐷(𝑠)=

𝑏0𝑠𝑚 + 𝑏1𝑠

𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚−1 + 𝑏𝑚

𝑎0𝑠𝑛 + 𝑎1𝑠

𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛

Função racional própria: m≤n

Hipóteses:

1. Estritamente própria m< n

2. a0 = 1 ⇒ polinômio D s é mônico

11

• Determinar as raízes de 𝑫(𝒔) e escrever o polinômio do denominador na forma fatorada.

• Determinar as constantes 𝑨𝒊 (denominadas Resíduos)

• Anti-transformar cada parcela (usando a linearidade)

𝐹 𝑠 =𝑁(𝑠)

𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 … (𝑠 − 𝑝𝑛)

𝐹 𝑠 =𝐴1

𝑠 − 𝑝1+

𝐴2

𝑠 − 𝑝2+ ⋯ +

𝐴𝑛

𝑠 − 𝑝𝑛

𝑓 𝑡 = 𝐴1𝑒𝑝1𝑡 + 𝐴2𝑒

𝑝2𝑡 + ⋯ + 𝐴𝑛𝑒𝑝𝑛𝑡

12

• Seja:

Para determinar os Resíduos A1 e A2, utilize o Método dos Resíduos.

Multiplicando ambos os lados por 𝑠 − 𝑝1

𝐹 𝑠 =(𝑎 + 𝑏𝑠)

𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 =

𝐴1

𝑠 − 𝑝1+

𝐴2

𝑠 − 𝑝2

𝐹 𝑠 =𝑎 + 𝑏𝑠

𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 𝑝1 ≠ 𝑝2

𝑎 + 𝑏𝑠

𝑠 − 𝑝2= 𝐴1 +

𝑠 − 𝑝1 𝐴2

𝑠 − 𝑝2

Frações

parciais:

(𝒔 − 𝒑𝟏) (𝒔 − 𝒑𝟏)

13

• Fazendo 𝑠 = 𝑝1

𝑎 + 𝑏. 𝑝1

𝑝1 − 𝑝2= 𝐴1 +

𝑝1 − 𝑝1 𝐴2

𝑝1 − 𝑝2

→ 𝐴1 =𝑎+𝑏𝑝1

𝑝1−𝑝2= 𝐹(𝑠) 𝑠 − 𝑝1 𝑠=𝑝1

e 𝐴2 =𝑎+𝑏𝑝2

𝑝2−𝑝1= 𝐹(𝑠) 𝑠 − 𝑝2 𝑠=𝑝2

0

𝑎 + 𝑏𝑠

𝑠 − 𝑝2= 𝐴1 +

𝑠 − 𝑝1 𝐴2

𝑠 − 𝑝2

14

Pólos simples

• Generalizando para 𝑛 pólos simples:

Exemplo:

𝐴𝑖 = 𝐹(𝑠) 𝑠 − 𝑝𝑖 𝑠=𝑝𝑖

𝐹 𝑠 =96(𝑠2 + 17𝑠 + 60)

𝑠3 + 14𝑠2 + 48𝑠

D(s), polinômio mônico estritamente próprio

=96(𝑠2 + 17𝑠 + 60)

𝑠(𝑠 + 6)(𝑠 + 8)

Fatorar denominador

𝐹 𝑠 =96(𝑠2 + 17𝑠 + 60)

𝑠(𝑠 + 6)(𝑠 + 8)=

𝐴

𝑠+

𝐵

𝑠 + 6+

𝐶

𝑠 + 8

𝑓 𝑡 = 𝐿−1 𝐹 𝑠 = 120 + 48. 𝑒−6𝑡 − 72𝑒−8𝑡 . 𝐻(𝑡)

𝐹 𝑠 =120

𝑠+

48

𝑠 + 6−

72

𝑠 + 8

15

Pólos simples complexos

Exemplo:

• Raízes do termo quadrático: )43).(43()256( 2 jsjsss

)43()43()6()256)(6(

)3(100 321

2 js

K

js

K

s

K

sss

s

• Assim:

• Pólos:

𝑲𝟐 =𝟏𝟎𝟎 𝒔 + 𝟑

𝒔 + 𝟔 𝒔 + 𝟑 + 𝒋𝟒 𝒔=−𝟑+𝒋𝟒

= 𝟏𝟎∠ − 𝟓𝟑° = 𝟏𝟎𝒆−𝒋𝟓𝟑

𝐹 𝑠 =100(𝑠 + 3)

(𝑠 + 6)(𝑠2 + 6𝑠 + 25)

𝑝1 = −6; 𝑝2,3 = −3 ± 𝑗4

𝑲𝟏 =𝟏𝟎𝟎 𝒔 + 𝟑

𝒔𝟐 + 𝟔𝒔 + 𝟐𝟓 𝒔=−𝟔

= −𝟏𝟐 𝑲𝟑 =𝟏𝟎𝟎 𝒔 + 𝟑

𝒔 + 𝟔 𝒔 + 𝟑 − 𝒋𝟒 𝒔=−𝟑−𝒋𝟒

= 𝟏𝟎𝒆𝒋𝟓𝟑

16

Observações:

Raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados

Os resíduos associados a esses pares também são conjugados

→ Para pólos complexos basta calcular um dos resíduos

• Lembrando que

•E usando a fórmula de Euler, eliminam-se os componentes imaginários:

𝐹 𝑠 =100(𝑠 + 3)

(𝑠 + 6)(𝑠2 + 6𝑠 + 25)=

−12

(𝑠 + 6)+

10𝑒−𝑗53

(𝑠 + 3 − 𝑗4)+

10𝑒𝑗53

(𝑠 + 3 + 𝑗4)

𝐿−1100(𝑠 + 3)

(𝑠 + 6)(𝑠2 + 6𝑠 + 25)= −12𝑒−6𝑡 + 10𝑒−𝑗53𝑒− 3−𝑗4 𝑡 + 10𝑒𝑗53𝑒− 3+𝑗4 𝑡 . 𝐻(𝑡)

𝑧 + 𝑧∗ = 2. 𝑅𝑒{𝑧}

𝑓 𝑡 = −12𝑒−6𝑡 + 20. 𝑒−3𝑡 . cos(4𝑡 − 53°) . 𝐻(𝑡)

17

No exemplo, tem-se:

Contribuição do par de pólos complexos na anti-transformada:

x2

𝑝2,3 = −3 ± 𝑗4 𝐴2,3 = 10𝑒∓𝑗53°

10𝑒−3𝑡+𝑗(4𝑡−53°) + 10𝑒−3𝑡−𝑗(4𝑡−53°) = 2𝑅𝑒 10𝑒−3𝑡𝑒𝑗 4𝑡−53°

= 2 10𝑒−3𝑡 . 𝑅𝑒 𝑒𝑗 4𝑡−53°

= 2 10𝑒−3𝑡 . 𝑅𝑒 cos(4𝑡 − 53°) + 𝑗 sin(4𝑡 − 53°)

= 20. 𝑒−3𝑡 . cos(4𝑡 − 53°)

𝐴2 = 10𝑒−𝑗53° 𝑝2 = −3 + 𝑗4

𝐿−1 𝐹(𝑠) = −12𝑒−6𝑡 + 10𝑒−𝑗53𝑒− 3−𝑗4 𝑡 + 10𝑒𝑗53𝑒− 3+𝑗4 𝑡 . 𝐻(𝑡)

18

Exemplo:

1𝑒−0,1𝑡 cos(30𝑡 − 53°)

1𝑒−0,5𝑡 cos(30𝑡 − 53°) 1𝑒−0,5𝑡 cos(10𝑡 − 53°)

1𝑒−0,1𝑡 cos(10𝑡 − 53°)

𝑝𝑘 = 𝜎 + 𝑗𝜔

19

Contribuição de Pólos Complexos

1º Caso

Resíduo:

Pólo:

2º Caso

Resíduo:

Pólo:

F

𝐴𝑘𝑒𝑝𝑘𝑡 + 𝐴𝑘∗ 𝑒𝑝𝑘

∗𝑡 = 2𝑅𝑒[𝐴𝑘𝑒𝑝𝑘𝑡]

𝐴𝑘 = 𝐴𝑘 𝑒𝑗𝜙𝑘

𝑝𝑘 = 𝜎𝑘 + 𝑗𝜔𝑘

𝑝𝑘 = 𝜎𝑘 + 𝑗𝜔𝑘

𝐴𝑘 = 𝐴𝑘′ +j𝐴𝑘

′′

2𝑅𝑒 𝐴𝑘𝑒𝑝𝑘𝑡 = 2 𝐴𝑘 𝑒𝜎𝑘𝑡 cos(𝜔𝑘𝑡 + 𝜙𝑘)

2𝑅𝑒 𝐴𝑘𝑒𝑝𝑘𝑡 =

2𝑒𝜎𝑘𝑡[𝐴𝑘′ cos 𝜔𝑘𝑡 −𝐴𝑘

′′ sin 𝜔𝑘𝑡 ]

20

No Exemplo:

Contribuição do par de pólos complexos na anti-transformada:

x2

x(-2)

𝑝2,3 = −3 ± 𝑗4 𝐴2,3 = 6 ∓ 𝑗8

6 − 𝑗8 𝑒 −3+𝑗4 𝑡 + 6 + 𝑗8 𝑒 −3−𝑗4 𝑡 = 2𝑅𝑒[ 6 − 𝑗8 𝑒 −3+𝑗4 𝑡]

= 2𝑅𝑒 𝑒−3𝑡 6 − 𝑗8 𝑒𝑗4𝑡 = 2𝑒−3𝑡[6 cos 4𝑡 + 8 sin(4𝑡)]

= 12𝑒−3𝑡 cos 4𝑡 + 16𝑒−3𝑡 sin(4𝑡)

𝐴2 = 6 − 𝑗8 𝑝2 = −3 + 𝑗4

21

Pólos múltiplos

raízes de Q(s)

multiplicidade

q1 é n vezes raiz de Q(s)

Cálculo dos resíduos

𝐹 𝑠 =𝑃(𝑠)

𝑄(𝑠)=

𝑃(𝑠)

𝑠 − 𝑞1𝑛

=𝐴1

𝑠 − 𝑞1𝑛

+𝐴2

𝑠 − 𝑞1𝑛−1

+ ⋯ +𝐴𝑛

𝑠 − 𝑞1

𝐴𝑘 =1

𝑘 − 1 !

𝑑𝑘−1 𝐹 𝑠 𝑠 − 𝑞1𝑛

𝑠=𝑞1

𝑑𝑠𝑘−1 𝑘 = 1,2, ⋯ , 𝑛

F

𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞3 = ⋯ = 𝑞𝑛

22

• O denominador tem 2 raízes (ou pólos), sendo 1 distinta: p1 = 0 e uma múltipla, de multiplicidade 2, em p2 = -1.

Exemplo:

𝐴1 = 𝐹 𝑠 . 𝑠 𝑠=0

= 2 𝐵1 = 𝐹 𝑠 . (𝑠 + 1)2 𝑠=−1

= −1

𝐹 𝑠 =𝑠 + 2

𝑠 𝑠 + 1 2=

𝐴1

𝑠+

𝐵1

𝑠 + 1 2+

𝐵2

(𝑠 + 1)

F

𝐹 𝑠 =𝑠 + 2

𝑠 𝑠 + 1 2

23

Exemplo (cont.)

Portanto,

𝑠 + 2

𝑠 𝑠 + 1 2=

2

𝑠−

1

𝑠 + 1 2+

𝐵2

(𝑠 + 1)

𝐵2 =1

2 − 1 !

𝑑2−1 𝐹 𝑠 𝑠 + 1 2𝑠=−1

𝑑𝑠2−1

𝐵2 =𝑑 (𝑠 + 2)/𝑠 𝑠=−1

𝑑𝑠=

𝑠 − 𝑠 + 2

𝑠2 𝑠=−1

= −2

𝑠 + 2

𝑠 𝑠 + 1 2=

2

𝑠−

1

𝑠 + 1 2−

2

(𝑠 + 1)

(k=2)

24

• Para anti-transformar as frações parciais, utilizamos:

𝑠 + 2

𝑠 𝑠 + 1 2=

2

𝑠−

1

𝑠 + 1 2−

2

(𝑠 + 1)

𝑓 𝑡 = [2 − 𝑡. 𝑒−𝑡 −2. 𝑒−𝑡 ]𝐻(𝑡)

𝐿−11

𝑠 − 𝑝𝑘𝑛

=𝑡𝑛−1

n − 1 !𝑒𝑝𝑘𝑡

Exemplo (cont.)

25

Exemplo - Pólos múltiplos complexos

Somente K1 e K2 são determinados, pois K1*e K2* são os valores conjugados

𝐹 𝑠 =768

𝑠2 + 6𝑠 + 25 2

768

𝑠 + 3 − 𝑗4 2 𝑠 + 3 + 𝑗4 2 =𝐾1

𝑠 + 3 − 𝑗4 2 +𝐾2

(𝑠 + 3 − 𝑗4)+

𝐾1∗

𝑠 + 3 + 𝑗4 2 +𝐾2

∗

(𝑠 + 3 + 𝑗4)

𝐾1 =768

𝑠 + 3 + 𝑗4 2 𝑠=−3+𝑗4

=768

𝑗8 2= −12

𝐾2 =𝑑

𝑑𝑠

768

𝑠 + 3 + 𝑗4 2 𝑠=−3+𝑗4

= −𝑗3

26

Agrupando a expansão em termos conjugados

Aplicando a transformada inversa, considerando a contribuição de pólos complexos conjugados:

F

𝐹 𝑠 =−12

𝑠 + 3 − 𝑗4 2 +−12

𝑠 + 3 + 𝑗4 2 +−𝑗3

(𝑠 + 3 − 𝑗4)+

𝑗3

(𝑠 + 3 + 𝑗4)

𝑓 𝑡 = −24𝑡𝑒−3𝑡 . cos 4𝑡 + 6𝑒−3𝑡 . cos 4𝑡 − 90° . 𝐻(𝑡)

Exemplo (cont.)

27

Funções racionais impróprias Neste caso, deve ser realizada a divisão entre os polinômios, e a

função poderá ser expressa como um polinômio somado a uma

função racional estritamente própria. Exemplo:

Dividindo o numerador pelo denominador, até que o resto seja

uma função racional estritamente própria:

𝑠 + 2 +−4𝑠2 − 𝑠 + 1

𝑠3 + 3𝑠2 + 2𝑠= 𝑠 + 2 +

−4𝑠2 − 𝑠 + 1

𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)

Frações parciais

𝑠4 + 5𝑠3 + 4𝑠2 + 3𝑠 + 1

𝑠3 + 3𝑠2 + 2𝑠

𝑠 + 2 +𝐴1

𝑠+

𝐴2

(𝑠 + 1)+

𝐴3

(𝑠 + 2)

28

Aplicando o método dos resíduos

função

Doublet (derivada da

função impulso

unitário)

𝐹 𝑠 = 𝑠 + 2 +0,5

𝑠+

2

(𝑠 + 1)−

6,5

(𝑠 + 2)

Portanto,

𝑠 + 2 +−4𝑠2 − 𝑠 + 1

𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)= 𝑠 + 2 +

𝐴1

𝑠+

𝐴2

(𝑠 + 1)+

𝐴3

(𝑠 + 2)

𝐴1 = 0,5 𝐴2 = 2 𝐴3 = −6,5

Anti-transformada:

𝛿′ 𝑡 + 2𝛿 𝑡 + 0,5 + 2𝑒−𝑡 − 6,5𝑒−2𝑡 ; t > 0

29

Inversão da Transformada de Laplace

30

Relação entre os pólos e a função f(t)

𝑅𝑒

𝐼𝑚

x

𝐹 𝑠 =𝐾

𝑠⇒ 𝑓 𝑡 = 𝐾

Pólo real na origem

31

𝑅𝑒

𝐼𝑚

x

x b

-b

Par de pólos complexos conjugados no eixo imaginário

𝐹 𝑠 =𝐾

𝑠 + 𝑗𝑏+

𝐾∗

𝑠 − 𝑗𝑏⇒ 𝑓 𝑡 = 2 𝐾 cos(𝑏𝑡 + 𝜙)

32

𝑅𝑒

𝐼𝑚

x -a

𝐹 𝑠 =𝐾

𝑠 + 𝑎⇒ 𝑓 𝑡 = 𝐾𝑒−𝑎.𝑡

Pólo real negativo

33

𝑅𝑒

𝐼𝑚

x a

𝐹 𝑠 =𝐾

𝑠 − 𝑎⇒ 𝑓 𝑡 = 𝐾𝑒𝑎.𝑡

Pólo real positivo

34

𝑅𝑒

𝐼𝑚

x

x b

-b

-a

| |

|

𝐹 𝑠 =𝐾

𝑠 + 𝑎 + 𝑗𝑏+

𝐾∗

𝑠 + 𝑎 − 𝑗𝑏⇒ 𝑓 𝑡 = 2 𝐾 𝑒−𝑎𝑡 cos(𝑏𝑡 + 𝜙)

Par de pólos complexos conjugados com parte real negativa

35

𝑅𝑒

𝐼𝑚

x

x b

-b

a |

| |

𝐹 𝑠 =𝐾

𝑠 − 𝑎 + 𝑗𝑏+

𝐾∗

𝑠 − 𝑎 − 𝑗𝑏⇒ 𝑓 𝑡 = 2 𝐾 𝑒𝑎𝑡 cos(𝑏𝑡 + 𝜙)

Par de pólos complexos conjugados com parte real positiva

36

Teoremas de valor inicial e final Os teoremas do valor inicial e do valor final possibilitam determinar a

partir de F(s) o comportamento de f(t) em t = 0 e t = .

Permite verificar os valores inicial e final de f(t) e analisar se estes

correspondem ao comportamento esperado para o circuito, antes de

determinar a transformada inversa de F(s).

st

ssFtf )(lim)(lim0

0)(lim)(lim st ssFtf

Teorema do valor inicial:

Teorema do valor final:

Hipóteses:

• f(t) não contém nenhuma função impulso.

• Existem os limites

37

Exemplo: Considere a 𝑓(𝑡) cuja transformada de Laplace é dada por:

Teorema do Valor Inicial (TVI)

𝑓 0+ = lim𝑠→∞

𝑠4𝑠 + 1

(𝑠2 + 2𝑠)=

4𝑠 + 1

(𝑠 + 2)=

4 +1𝑠

(1 +2𝑠)

= 4

𝐹 𝑠 =4𝑠 + 1

(𝑠2 + 2𝑠)

𝑓 0+ =4

Calcular 𝑓 0+ e 𝑓 ∞

38

Como:

Verifica-se que efetivamente:

𝐹 𝑠 =4𝑠 + 1

(𝑠2 + 2𝑠)

𝑓 ∞ = lim𝑠→0

𝒔𝟒𝒔 + 𝟏

(𝒔𝟐 + 𝟐𝒔)=

4𝑠 + 1

(𝑠 + 2)=

1

2

𝑓 ∞ = 0,5

Teorema do Valor Final (TVF)

𝑓 0+ = 4 𝑒 𝑓 ∞ = 0,5

𝑓 𝑡 = 0,5 + 3,5𝑒−2𝑡 . 𝐻(𝑡)

Exemplo (cont.)

39

𝑦 0+ = lim𝑠→∞

𝑠. 𝐹 𝑠 = 0

𝑦 ∞ = lim𝑠→0

𝑠. 𝐹 𝑠 = 1

Exemplo:

𝑡 ≔ 0, 0.05, 20

𝑦 𝑡 ≔ 1 − 0,11. exp −4,4𝑡 − 0,89. exp −0,29𝑡 cos 0,61𝑡 +

0,44. exp −0,29𝑡 sin(0,61𝑡)

𝑌 𝑠 =𝑠2 + 3𝑠 + 2

𝑠4 + 5𝑠3 + 3𝑠2 + 2𝑠

40

Problema 15.30

Determine a transformada inversa de Laplace de:

𝐹1 𝑠 =6𝑠2 + 8𝑠 + 3

𝑠(𝑠2 + 2𝑠 + 5) 𝐹2 𝑠 =

𝑠2 + 5𝑠 + 6

𝑠 + 1 2(𝑠 + 4)

𝐹3 𝑠 =10

(𝑠 + 1)(𝑠2 + 4𝑠 + 8)

𝑓1 𝑡 =3

5+

27

5𝑒−𝑡 cos 2𝑡 +

7

10𝑒−2 sin 2𝑡 𝑢(𝑡)

𝑓2 𝑡 =7

9𝑒−𝑡 +

2

3𝑡𝑒−𝑡 +

2

9𝑒−4𝑡 𝑢 𝑡

𝑓3 𝑡 = 2𝑒−𝑡 − 2𝑒−𝑡 cos 2𝑡 − 2𝑒−𝑡 sin 2𝑡 𝑢(𝑡)

Rptas:

41

Próxima Aula

Leitura: Cap 16 – livro texto

1. Aplicações da Transformada de Laplace.

42

Referências

1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de

Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.

2. Slides da prof. Denise,

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-

denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.

3. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.

1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.

4. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.

5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. “Circuitos Elétricos”, 8ª Ed.,

Editora Pearson, 2009.