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Universidade Federal do ABC

Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica

Circuitos Elétricos II

José Azcue, Prof. Dr.

Potência em Sistemas Trifásicos

2

Potência em Carga Monofásica

Potência instantânea:

1cos( )cos( ) cos( ) cos( )

2A B A B A B

𝑝 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑖 𝑡 = 2𝑉𝐼 cos 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 − 𝜑

𝑖 𝑡 = 2𝐼cos(𝜔𝑡 − 𝜑)

𝑣 𝑡 = 2𝑉cos(𝜔𝑡)

𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚𝑎𝑥cos(𝜔𝑡 − 𝜑)

𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥cos(𝜔𝑡)

3

( ) cos cos(2 ) p t VI VI t

potência flutuante (oscilante ou pulsante)

Potência instantânea

P = potência média (ativa ou real) [W, kW]

A potência associada a tensões e correntes senoidais tem um

parcela não constante (potência flutuante) que pode causar

diversos problemas dependendo da aplicação.

Nas máquinas elétricas a potência flutuante pode causar fortes

vibrações mecânicas.

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Componente que depende da potência

reativa (Q) potência vai-e-vem (valor médio nulo)

Componente que depende da potência

média (P)

Potência instantânea:

Trigonometria: cos( ) cos cosA B A B senAsenB

𝑝 𝑡 = 𝑉𝐼 cos(𝜑) + 𝑉𝐼 cos(𝜑) cos(2𝜔𝑡) + 𝑉𝐼 sin(𝜑) sin(2𝜔𝑡)

Potência Reativa [var, kvar]

Q P P

Potência Média [W, kW]

P

𝑝 𝑡 = 𝑉𝐼 cos(𝜑) + 𝑉𝐼 cos(2𝜔𝑡 − 𝜑) 𝑝 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑖 𝑡

5

potência vai-e-vem (valor médio nulo)

Componente que

depende de P

Existe se 𝝋 ≠ 𝟗𝟎° Existe se 𝝋 ≠ 𝟎°

𝑝 𝑡 = 𝑉𝐼 cos 𝜑 (1 + cos(2𝜔𝑡)) + 𝑉𝐼 sin(𝜑) sin(2𝜔𝑡) P Q

2P

0

Q

0

-Q

6

Potência aparente

𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠 (VA, kVA)

Fator de potência

𝑭𝑷 =𝑃

𝑆= cos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 = cos(𝜑)

𝑷 = 𝑺 𝐜𝐨𝐬(𝝋)

𝑸 = 𝑺 𝐬𝐢𝐧(𝝋) 𝑺

FP = 1

FP = 0

0 ≤ FP ≤ 1

FP

[indutivo]

[capacitivo]

𝜑 = tan−1𝑄

𝑃

𝑍 =𝑉

𝐼 =

𝑉𝑚∠𝜃𝑣𝐼𝑚∠𝜃𝑖

=𝑉𝑚𝐼𝑚

∠(𝜃𝑣−𝜃𝑖)

𝝋

7

Potência Aparente Complexa - Monofásico

Então:

𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠∠ 𝜑

𝑆 = 𝑉 𝑟𝑚𝑠𝐼 𝑟𝑚𝑠∗

𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠𝑐𝑜𝑠(𝜑) + 𝒋𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠𝑠𝑖𝑛(𝜑)

P Q

𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄

𝑆 =1

2𝑉 𝐼 ∗

𝜑 = 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖

𝑆 = (𝑉𝑟𝑚𝑠∠𝜃𝑣)(𝐼𝑟𝑚𝑠∠−𝜃𝑖)

𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠∠(𝜃𝑣−𝜃𝑖)

P potência média (W) (ou pot. ativa, ou pot. real)

Q potência reativa (var) (ou pot. imaginaria)

Se: 𝑆 = S∠ 𝜑

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𝑆 = 𝑉 𝑟𝑚𝑠𝐼 𝑟𝑚𝑠∗

𝑆 = (𝐼 𝑟𝑚𝑠𝒁)𝐼 𝑟𝑚𝑠∗

𝑆 = 𝐼 𝑟𝑚𝑠𝐼 𝑟𝑚𝑠∗ 𝒁

𝑆 = 𝐼 𝑟𝑚𝑠2𝒁

𝑆 = 𝑉 𝑟𝑚𝑠𝑉 𝑟𝑚𝑠

𝒁

∗

𝑆 = 𝑉 𝑟𝑚𝑠𝑉 𝑟𝑚𝑠

∗

𝒁∗

𝑆 =𝑉 𝑟𝑚𝑠

2

𝒁∗

𝑆 = 𝐼 𝑟𝑚𝑠2(𝑅 + 𝑗𝑋)

𝑆 = 𝐼 𝑟𝑚𝑠2𝑅 + 𝑗 𝐼 𝑟𝑚𝑠

2𝑋

P Q 𝑋𝐿 = 𝜔𝐿

𝑋𝐶 = −1

𝜔𝐶

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Potência em Sistemas Trifásicos Equilibrados

Em uma carga trifásica equilibrada ligada em Estrela ou

Triângulo, a potência instantânea recebida pela carga é:

)()()()()()()()1( 332211 titvtitvtitvtp

Supondo o sistema simétrico e equilibrado, sequência

positiva e a defasagem entre v(t) e i(t):

)3

2cos()()

3

2cos()()4(

)3

2cos()()

3

2cos()()3(

)cos()()cos()()2(

max3max3

max2max2

max1max1

wtItiwtVtv

wtItiwtVtv

wtItiwtVtv

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Substituindo (2), (3) e (4) em (1) e usando algumas identidades

trigonométricas

3

82cos

3

42cos2coscos3

2

.)( maxmax wtwtwt

IVtp

Os 3 últimos termos se anulam !

A potência instantânea é constante e não há potência flutuante !

cos32

.)( maxmax

IVtp cos3

2

22)( rmsrms

IVtp

𝑝 𝑡 = 3𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠 cos 𝜑

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Neste caso, o torque desenvolvido no eixo de um motor

trifásico é constante, o que significa menos vibração nas

máquinas acionadas por sistemas trifásicos.

É constante! Não varia com o tempo.

Potência Instantânea

Não há potência flutuante !

fase, RMS linha, RMS

𝑝 𝑡 = 3𝑉𝑓𝐼𝑓 cos 𝜑 = 3𝑉𝐿𝐼𝐿 cos(𝜑)

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φ → defasagem entre a tensão e a corrente na carga = fase da

impedância de carga

𝐹𝑃 =𝑃

𝑆 = cos 𝜑

𝑆 = 3𝑉𝑙𝐼𝑙∠𝜑 = 𝑃 + 𝑗𝑄 Potência aparente complexa (VA, kVA)

𝒁𝑐 = 𝒁𝒄 ∠𝜑

𝒁𝑐 =𝑉 𝑓

𝐼 𝑓

Potência 1𝜙: 𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠∠ 𝜑

Potência 3𝜙:

𝑆 = 𝑆 = 𝑃2 + 𝑄2 = 3𝑉𝑙𝐼𝑙 Potência aparente (VA, kVA)

𝑆 = 3𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠∠𝜑 = 3𝑉𝑙𝐼𝑙∠𝜑

RMS

13

𝑆 = 3𝑉𝑙𝐼𝑙∠𝜑 = 3𝑉𝑙𝐼𝑙 cos 𝜑 + 𝑗 3𝑉𝑙𝐼𝑙 sin 𝜑 = 𝑃 + 𝑗𝑄

Potência Ativa (ou real)

𝑃 = 3𝑉𝑙𝐼𝑙 cos 𝜑 [ W, kW ]

Atraso da corrente de fase em relação à tensão de fase φ =

Potência Reativa (ou imaginaria)

[ var, kvar ]

Carga indutiva Q > 0

Carga capacitiva Q < 0 Q = 3𝑉𝑙𝐼𝑙 sin 𝜑

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Carga indutiva:

Carga capacitiva:

0TQ

0TQ

Triângulo de Potências

Pap [VA]

PT [W]

QT [VAr]

S

[var]

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Potência em Sistemas Trifásicos Desequilibrados

𝑆 = 𝑆 1 + 𝑆 2 + 𝑆 3 = (𝑃1+𝑃2 + 𝑃3) + 𝑗 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 = 𝑃𝑡 + 𝑗𝑄𝑡

𝑆 = 𝑆 = 𝑃𝑡2 + 𝑄𝑡

2

Fator de potência

𝐹𝑃 =𝑃𝑡

𝑆 =

𝑃𝑡

𝑃𝑡2 + 𝑄𝑡

2

Somam-se as potências aparentes complexas nas 3 fases:

[ VA, kVA ]

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Correção de Fator de Potência

O processo de aumentar o FP sem alterar a tensão ou corrente da

carga original é conhecido como correção de fator de potência.

Diagrama fasorial

𝜃1

𝜃2

𝑽

𝑰𝑳

𝑰

𝑰𝑪

17

Correção de Fator de Potência

18

Correção de Fator de Potência

Vrede Carga RL Capacitor

V=220 Vef 𝑄𝐿 = 3𝑘𝑣𝑎𝑟 𝑄𝐶 = −1𝑘𝑣𝑎𝑟

f=60Hz 𝑃 = 6𝑘𝑊

19

Correção de Fator de Potência

Vrede Carga RL Capacitor

V=220 Vef 𝑄𝐿 = 3𝑘𝑣𝑎𝑟 𝑄𝐶 = −3𝑘𝑣𝑎𝑟

f=60Hz 𝑃 = 6𝑘𝑊

20

Correção de Fator de Potência

𝑄1 potência reativa inicial

𝑄2 potência reativa final (após a correção)

𝑄𝐶 =𝑉𝑟𝑚𝑠

2

𝑋𝑐 𝑄𝐿 =

𝑉𝑟𝑚𝑠2

𝑋𝐿

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Problema 12.29

Um sistema trifásico balanceado Y − ∆ , tem 𝑉𝑎𝑛 = 240∠0° V eficazes e 𝑍∆ = 51 + 𝑗45 . Se a impedância da linha por fase é 0,4 + 𝑗1,2Ω, encontre a potência complexa total entregue a carga.

Rpta: 𝑆 = 5,197 + 𝑗4,586 kVA

22

Problema 12.30

O valor eficaz da tensão de linha é 208V. Encontre a

potência média entregue à carga.

Rpta: P=1,02 kW

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Problema 12.33

Um fonte trifásica entrega 4,8 kVA para uma carga

conectada em Y com uma tensão de fase de 208V e

um fator de potência de 0,9 (atrasado). Determine a

tensão e a corrente de linha da fonte.

Rpta: IL = 7,69𝐴; 𝑉𝐿 = 360,3𝑉

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Problema 12.54

Uma fonte trifásica conectada em estrela equilibrada

com 𝑉𝑝 = 210𝑉 RMS alimenta uma carga trifásica

conectada em estrela com impedância por fase

𝑍𝐴 = 80Ω , 𝑍𝐵 = 60 + 𝑗90Ω e 𝑍𝐶 = 𝑗80Ω . Calcule as correntes de linha e a potência complexa total

liberada para a carga, considerando:

a) Que os neutros estejam interligados.

b) Que os neutros não estejam interligados.

Rpta: (a)

𝐼 𝑎 = 2,625∠0°𝐴; 𝐼 𝑏 = 1,941∠ − 176,31°𝐴;

𝐼 𝑐 = 2,625∠30°𝐴; 𝐼 𝑛 = 3,19∠ − 158,14𝐴 𝑆 𝑇 = 777,4 + 𝑗890,48𝑉𝐴

Rpta: (b)

𝐼 𝑎 = 2,55∠ − 33,34°𝐴; 𝐼 𝑏 = 3,02∠ − 172,37°𝐴;

𝐼 𝑐 = 2,0018∠64,27°𝐴; 𝑆 𝑇 = 1,067 + 𝑗1,14𝑘𝑉𝐴

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Problema Prático 12.8

Suponha que as duas cargas

equilibradas sejam alimentadas por

uma linha de 60Hz, 840 Vrms. A carga

1 é conectada em estrela com 30+j40 Ω

por fase, enquanto a carga 2 é um

motor trifásico equilibrado absorvendo

48 kW com fator de potência 0,8

(atrasado). Supondo-se a sequência abc,

calcule:

(a) a potência complexa absorvida pela

carga associada;

(b) o valor nominal de kvar de cada um

dos três capacitores ligados em

triângulo em paralelo com a carga para

elevar o fator de potência para o valor

unitário;

(c) a corrente drenada da fonte na

condição de fator de potência unitário. 𝑅𝑝𝑡𝑎𝑠: 𝑎 56,47 + 𝑗47,29𝑘𝑉𝐴

𝑏 15,76𝑘𝑣𝑎𝑟 𝑐 38,81𝐴

𝐶 = 59,26𝑢𝐹

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Resumo

A geração, transmissão e distribuição de energia

elétrica são mais eficientes em sistemas

trifásicos, que utilizam três tensões de mesma

amplitude e frequência, defasadas entre si de

1200.

Sequência de fases é a ordem na qual ocorrem

as tensões de um gerador trifásico simétrico em

relação ao tempo. Em uma

sequência𝐴𝐵𝐶positiva, 𝑉 𝐴𝐵está adiantada em relação a 𝑉 𝐵𝐶 que por sua vez, está adiantada em relação a 𝑉 𝐶𝐴 de 120

0.

27

Resumo

Uma fonte trifásica é formada por três fontes de

tensão senoidais ligadas em 𝐘 (estrela) ou em 𝜟 (triângulo ou delta).

A carga de um circuito trifásico é formada por

impedâncias ligadas em 𝐘 ou 𝜟.

A rede elétrica para ligar a fonte à carga pode ter

três ou quatro fios.

A corrente no fio neutro de uma ligação Y-Y

simétrica e equilibrada é zero.

28

Resumo

Os circuitos trifásicos podem ser analisados,

usando fasores e impedâncias, para

determinar a resposta em regime permanente

senoidal.

A forma mais fácil de analisar um circuito

trifásico simétrico e equilibrado é fazer os cálculos

do circuito monofásico correspondente a uma das

fases.

Uma carga em Δ pode ser substituída por uma

carga em Y equivalente usando uma

transformação Δ-Y.

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Resumo

A corrente de linha em uma carga em Δ

equilibrada é igual a 3vezes a corrente de fase e está defasada de 300 em relação à corrente de fase. A tensão de linha de uma carga em Δ é igual

à tensão de fase.

A corrente de linha em uma carga em Y

equilibrada é igual à corrente de fase. A tensão de

linha de uma carga em Y é igual a 3vezes tensão de fase, estando 300 defasada em relação à mesma.

30

Resumo

Os cálculos de potência em trifásicos

(equilibrados ou desequilibrados) devem levar em

conta as três impedâncias de fase da carga, e são

normalmente realizados a partir das grandezas

de linha (tensões e correntes).

Para sistemas trifásicos simétricos e equilibrados,

as expressões para o cálculo das potências ativa,

reativa e aparente são as mesmas tanto para

cargas ligadas em Y como para cargas ligadas em

Δ.

O fator de potência de um sistema trifásico

simétrico e equilibrado é calculado como cosϕ,

sendo ϕ o ângulo da impedância Z da carga.

31

Próxima Aula

Leitura: Cap 15 – livro texto

1. Transformada de Laplace

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Referências

1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de

Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.

2. Slides da prof. Denise,

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-

denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.

3. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.

1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.

4. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.

5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. “Circuitos Elétricos”, 8ª Ed.,

Editora Pearson, 2009.

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-denise/aulashttps://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-denise/aulashttps://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-denise/aulashttps://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-denise/aulas