C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 1

CIRCUITOS ELÉTRICOSCIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM

CIRCUITOS RL E RC

O estudo de circuitos RL e RC mostra que a evolução da tensão ou correnteno tempo, exige a resolução de uma equação diferencial de 1ª ordem da forma.

)()(.)(

tftxadt

tdx=+ (1)

então )()()( txtxtx cp += é uma solução para equação diferencial acima.

O termo )(tx p é chamado de solução particular ou resposta forçada, e )(txc é

chamada de solução complementar ou resposta natural.Considerando que f(t) = A = constante, a solução geral diferencial consiste de

duas partes que são obtidas resolvendo-se as seguintes equações.

Atxadt

tdxp

p =+ )(.)(

(2) e 0)(.)(

=+ txadt

tdxc

c (3)

Sendo A constante, a solução )(tx p deve também ser constante, portanto

1)( Ktx p = . Substituindo esta constante na equação (2), tem-se aA

K =1 .

Examinando a equação (3).

[ ] atxdtd

atx

dttdx

cc

c

−=→−= )(ln)(

)(

que implica em Ctatxc +−= .)(ln .

Logo tac eKtx .

2 .)( −= .

Portanto a solução da equação (1) é tacp eK

aA

txtxtx .2 .)()()( −+=+=

A constante cTa

=1

é chamada de constante de tempo do circuito.

Uma propriedade interessante da função exponencial é mostrada na figura 1.A cada constante de tempo Tc, o valor sofre uma queda de 63,2% do valor inicial.

Figura 1Para efeitos práticos a resposta do circuito atinge o valor de regime

permanente em 5 constante de tempo (>5Tc).

C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 2

Para comprovação, estudaremos dois circuitos específicos e em funçãodestes iremos delinear um método para manipular esses circuitos em geral.

Considere o circuito mostrado na figura 2. No instante t = 0, a chave éfechada.

Figura 2

A equação que descreve o circuito para t > 0 é ∫ =+ sVtiRdttiC

)(.).(1

Derivando a equação em t, temos:

0)()(

=+dt

tdiR

Cti

ou 0)(1)(

=+ tiRCdt

tdi cuja solução é da forma cT

t

eKti−

= .)( 2 , que

substituindo na equação diferencial de primeira ordem tem-se

RCTeKRCT c

Tt

c

c =⇒=

+−

−

0..11

2 Portanto, a solução é RCt

eKti−

= .)( 2

A constante K2 é escolhida para que a solução completa satisfaça ascondições particulares do circuito.

Examinando o circuito da figura 3 de maneira semelhante àquela empregadapara o circuito da figura 2, obtemos.

Figura 3A equação que descreve o circuito par t > 0 é

LV

tiLR

dttdi

VtiRdt

tdiL s

s =+⇒=+ )()(

)(.)(

que tem como solução: cTt

eKKti−

+= .)( 21 e

que substituindo na equação diferencial de 1ª ordem, vem:

LV

eKKLR

eKT

sTt

Tt

c

cc =++−−−

).(.1

212

Equacionando a constante e os termos exponenciais, tem-se:

C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 3

RV

KLV

KLR ss =⇒= 11 e

RL

TeKLR

T cTt

c

c =⇒=

+−

−

0..1

2

Portanto, a solução é t

LR

s eKR

Vti

−+= .)( 2 e a constante K2 é escolhida para

que a solução completa satisfaça as condições iniciais do circuito.Em geral, um circuito RL ou RC, que contém um único elemento de

armazenagem, alimentado com uma tensão ou corrente contínua, a solução daequação diferencial que descreve uma corrente ou tensão desconhecida emqualquer lugar na rede pode ser descrita como

cTt

eKKtx−

+= .)( 21

A constante K1 é obtida em estado estacionário e diretamente da equaçãodiferencial.

Da equação diferencial anterior, fazendo t → ∞, obtemos x(t) = K1. Nestecaso, como a fonte é corrente contínua, basta analisar o circuito para a solução doregime permanente, substituindo o capacitor por circuito aberto e o indutor por umcurto circuito.

A outra constante K2 pode ser obtida via solução de um circuito dc no qual umcapacitor é substituído por uma fonte de tensão ou um indutor é substituído por umafonte de corrente.

A intensidade da fonte de tensão para o capacitor ou fonte de corrente para oindutor é um valor conhecido em um instante de tempo. Em geral, usaremos o valorda condição inicial. O valor inicial da tensão do capacitor ou corrente no indutor édeterminado a partir do circuito anterior, ou seja, o circuito antes de comutar chave.

A constante de tempo Tc pode ser determinada, calculando a resistênciaequivalente de Thevenin nos terminais do elemento de armazenagem.

Para circuito RC, Tc = RTh.C e para circuito RL, Tc =ThR

L

Normalmente, o circuito atinge o regime permanente em tempo t > 5.Tc, apósa comutação das chaves.

CIRCUITOS SEM FONTES

CIRCUITO RCConsidere o circuito da figura 4. O capacitor está inicialmente carregado com

tensão Vc(0-) = V0 e em série com um resistor.

Figura 4

C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 4

Uma vez que a rede não tem nenhuma fonte independente, a resposta docircuito depende somente dos elementos passivos do circuito e da tensão inicial.

Empregando a LKC ao nó superior, para t > 0, tem-se

0)(.1)(

0)()(

=+⇒=+ tvRCdt

tdvRtv

dttdv

C cuja solução é cTt

eKKtv−

+= .)( 21

Sendo 10)( Ktv ==∞→ ; 02210)0( VKKKVvc =⇒+==− e RCTc =

Portanto RCt

eVtv−

= .)( 0 (V) e RCt

eR

VRtv

ti−

== .)(

)( 0 (A)

A energia armazenada no capacitor no instante t = 0 é 20.

21

)0( VCWc =+ (J).

À medida que o tempo passa, a tensão diminui, como mostrada na figura 5.

Figura 5

CIRCUITO RLConsidere o circuito da figura 6. O indutor tem uma corrente inicial i(0-) = I0.

Figura 6

Aplicando-se a LKT ao longo do laço tem-se

0)()(

0)(.)(

=+⇒=+ tiLR

dttdi

tiRdt

tdiL , cuja solução é cT

t

eKKti−

+= .)( 21

Sendo 00)( 1 =⇒=∞→ Kti ; 02210)0( IKKKIi =⇒+==− e RL

Tc =

Portanto t

LR

eIti−

= .)( 0 (A) e

A tensão no resistor é dada por t

LR

eIRtiRtv−

== ..)(.)( 0 (V)No instante t = 0, a energia armazenada no indutor é

C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 5

20.

21

)0()0( ILWWL == −+ (J)

À medida que o tempo passa, a corrente diminui, como mostrada na figura 7.

Figura 7

CIRCUITOS RLCVamos assumir que alguma energia está inicialmente armazenada tanto no

capacitor como no indutor.Considere o circuito RLC paralelo básico da figura 8.

Figura 8A equação nodal para este circuito é

)()(

)().(1)(

00

tidt

tdvCtidttv

LRtv

sL

t

t=+++ ∫

Derivando esta equação em relação a t, temos:

dttdi

tvLdt

tdvRdt

tvdC s )(

)(1)(

.1)(

2

2

=++ ou dt

tdiC

tvLCdt

tdvRCdt

tvd s )(.

1)(.

1)(.

1)(2

2

=++ (a)

Considere agora o circuito RLC série básico da figura 9

Figura 9A equação de laço (malha) para este circuito é

C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 6

)()(

)().(1

)(. 00

tvdt

tdiLtvdtti

CtiR sc

t

t=+++ ∫

Derivando em relação a t, obtemos

dttdv

Cti

dttdi

Rdt

tidL s )()()()(

2

2

=++ ou dt

tdvL

tiLCdt

tdiLR

dttid s )(

.1

)(.1)(

.)(

2

2

=++ (b)

Os circuitos RLC série e paralelo conduzem a uma equação diferencial desegunda orem com coeficientes constantes.

Note que as equações (a) e (b) apresentam soluções semelhantes.

DESENVOLVIMENTO MATEMÁTICO DAS EQUAÇÕES DE RESPOSTAComo regra geral, a equação diferencial de Segunda ordem é da forma.

)()()()(

212

2

tftxadt

tdxa

dttxd

=++ (c)

Se )()( txtx p= é uma solução para a equação (c), e se )()( txtx c= é uma

solução para a equação homogênea 0)()()(

212

2

=++ txadt

tdxa

dttxd

(d), então

)()()( txtxtx cp += é uma solução para a equação (c).

Se f(t) = A = constante, a solução da equação (c) será da forma

)()(2

txaA

tx c+=

A solução da equação homogênea (d), onde 1a e 2a são constantes, é do tiposteKtx .)( =

Substituindo essas constantes α21 =a e 202 ω=a , a equação homogênea tem

a seguinte forma: 0)()(

2)( 2

02

2

=++ txdt

tdxdt

txdωα .

Substituindo a solução steKtx .)( = na equação acima temos:0..2. 2

02 =++ ststst eKesKeKs ωα . Dividindo a expressão toda por steK . , temos:

0.2 20

2 =++ ωα ss que é normalmente chamada de equação característica eα = coeficiente de amortecimento exponencialω0 = freqüência de ressonância complexa.Resolvendo a equação característica, obtemos dois valores de s, s1 e s2 que

as satisfazem. 20

21 ωαα −+−=s e 2

02

2 ωαα −−−=sComo s1 e s2 satisfazem a equação homogênea, a solução natural da

equação (c) é da forma. tstsc eKeKtx 21 ..)( 21 += , onde K1 e K2 são constantes que

podem ser avaliadas a partir das condições iniciais )0(x e dt

dx )0(.

Analisando os valores que satisfazem a equação homogênea, deparamoscom 3 casos distintos:

CASO 1, α > ω0 ⇒ as raízes são reais e diferentes e são também chamadasde freqüências naturais. Este caso é normalmente chamado de superamortecido e aresposta natural é da forma tsts

c eKeKtx 21 ..)( 21 +=

C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 7

CASO 2, α < ω0 ⇒ as raízes são complexos e conjugados. Chamando22

0 αωω −=d , as soluções s1 e s2 são do tipo djs ωα +−=1 e djs ωα −−=2 .Este caso é normalmente chamado de subamortecido e a resposta natural é

então ( )tjtjtc

dd eKeKetx ωωα −− += ..)( 21 .Usando- se então a identidade de Euler, a solução é da forma

[ ]tAtAetx ddt

c ωωα sen.cos.)( 21 += − onde dω = freqüência de ressonâncianatural (rad/s).

CASO 3 , α = ω0 ⇒ as raízes são reais e iguais e o caso é chamado decriticamente amortecido, resulta em α−== 21 ss e a solução da equação

homogênea é da forma tc eKtx α−= .)( 3 , onde K3 = K1 + K2.

No entanto, esta não pode ser uma solução para a equação diferencial desegunda ordem porque geralmente não é possível satisfazer as duas condições

iniciais )0(x e dt

dx )0(com a única constante K3 .

Substituindo α = ω0 na equação homogênea, temos:

0)(.)(

2)( 2

2

2

=++ txdt

tdxdt

txdαα , cuja uma solução conhecida é teKtx α−= .)( 31

Para encontrar a outra solução, vamos utilizar um artifício matemático queserá mostrada abaixo.

)(.)(

0)(.)(

)(.)(

txdt

tdxy

txdt

tdxtx

dttdx

dtd

α

ααα

+=

=

++

+

0. =+ ydtdy

α

Cuja solução é teBy .1 . α−= portanto teBtx

dttdx .

1.)(.)( αα −=+

Resolveremos utilizando um fator de integração eαt

1)(..)(

Btxedt

tdxe tt =+ αα α ⇒ ( ) 211 .).().( BtBetxBetx

dtd tt +=⇒= αα

Portanto, a solução geral é ).()( 21 BtBetx tc += −α onde B1 e B2 são

constantes derivadas das condições iniciais.As figuras 10a e 10b ilustram graficamente os três casos.

Figura 10

C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 8

Figura 10

Note que a resposta subamortecida é uma senóide exponencialmenteamortecida cuja taxa de queda depende do fator α, a resposta criticamenteamortecida sobe e desce mais rapidamente do que a resposta superamortecida.

A RESPOSTA DA REDEPara o circuito RLC série, cuja equação diferencial homogênea de 2ª ordem

0)(1)(

.)(

2

2

=++ tiLCdt

tdiLR

dttid

, temos L

R2

=α e LC1

0 =ω

E para o circuito RLC paralelo, onde a equação diferencial homogênea de 2ª

ordem 0)(1)(

.1)(

2

2

=++ tvLCdt

tdvRCdt

tvd, temos

RC21

=α e LC1

0 =ω

Para demonstrar as técnicas de análise, serão desenvolvidos algunsexemplos, que estarão em um arquivo específico como exemplos de circuitos RLCsérie e paralelo.