Circuitos_Eletricos

CIRCUITOS ELÉTRICOS

ENGENHARIA ELÉTRICA

Prof. Alexandre Maniçoba de Oliveira Bacharel em Engenharia Elétrica Mod. Computação

Mestre em Ciências – Engenharia Elétrica – Microeletrônica

Doutorando em Microeletrônica na grande área da Engenharia Elétrica

Apresentações E

Correntes E Tensões Alternadas

Senoidais

Prof. M.Sc. De Oliveira, A. M.

ICET – Instituto de Ciências Exatas e Tecnologia

Disponível em: https://goo.gl/q870Oe

Um pouco sobre a engenharia elétrica em

números:


De acordo a Lei 4.950-A/66, de 1966:

Jornada de 6 horas: 6 salários mínimos

Jornada de 7 horas: 7,25 salários mínimos

Jornada de 8 horas: 8,5 salários mínimos

Sendo o salário mínimo de R$ 788,00, um engenheiro elétrico deve ganhar no mínimo:

Jornada de 6 horas: R$ 4.728,00




Número de

faculdades 272 3.308

Vagas

disponíveis por

ano

28.916 569.256

Duração do

curso 5 anos 4 anos

Formandos por

ano 5.594 141.498

Eng. Elétrica Administração


Onde pode atuar:


Administração Projeto Pesquisa

Execução Ensino Consultoria


Um pouco sobre o professor:


8

Alexandre Maniçoba de Oliveira

University of São Paulo

2012, M.Sc., 1977 -

Ph.D. student.

João Francisco Justo Filho

Advisor

Massachusetts Institute of Technology

1997, Ph.D., 1966-

Sidney Yip

University of Michigan

1962, Ph.D., 1936-

Richard Kent Osborn

Case Institute of Technology

1951, Ph.D.,1923-1986

Leslie Lawrance Foldy

U. California at Berkeley

1948, Ph.D.,1919-2001

Julius Robert Oppenheimer

U. Göttingen

1927, Ph.D., 1904-1967

"Father of the atomic bomb“

Max Born

U. Göttingen

1906, Ph.D., 1882-1970

Nobel Prize in Physics (1954)

15 alunos de Engenharia

19 alunos de Sistemas de Informação

7 alunos de Tecnologia em Redes

4 alunos de Ciências da Computação

Prof. Alexandre Maniçoba de Oliveira (13) 98822-2124

[email protected]

Skype: amanicoba

Professional Profile


[email protected]

Skype: amanicoba

Member of

Institute of Electrical and

Electronics Engineers


[email protected]

Skype: amanicoba

https://sites.google.com/site/deoliveiraacademicgen/ . .

https://www.researchgate.net/profile/Alexandre_De_Oliveira2 / . .

http://www.linkedin.com/in/amanicoba . . . . . . . . . . . . .

http://lattes.cnpq.br/2351905355694162 . . . . . . . . . . . .

https://sites.google.com/site/padlsiepusp/people . . . . .

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CORRENTES E

TENSÕES ALTERNADAS

SENOIDAIS

12


13

Correntes E Tensões Alternadas Senoidais INTRODUÇÃO

REVISÃO HISTÓRICA

Os estudos de

eletromagnetismo tiveram

sua origem na observação,

já do conhecimento de

Tales de Mileto por volta

de 600 a.C. (HALLIDAY

& RESNICK, 1980)

14


REVISÃO HISTÓRICA Em 1820, Hans Christian

Oersted observou uma relação

entre campo elétrico e magnético

ao observar a deflexão da agulha

de uma bussola próxima a um

condutor energizado.

Fonte:

http://www.magnet.fsu.edu/education/tutori

als/pioneers/oersted.html

15


REVISÃO HISTÓRICA

O atual estudo sobre

Eletromagnetismo é fruto de

vários pesquisadores, dentre os

quais um dos mais importantes

foi Michael Faraday (1791-

1867). Fonte: The Telegraph, 2011

16


REVISÃO HISTÓRICA

James Clerk Maxwell

formulou as leis do

Eletromagnetismo da maneira

com são conhecidas hoje. Elas

desempenham no

Eletromagnetismo o similar

papel das leis do movimento e

da gravidade de Newton na

mecânica. Fonte:

http://fisicomaluco.com/experimentos/jame

s-clerk-maxwell/

17


REVISÃO HISTÓRICA

Na engenharia e em suas

aplicações, utilizam-se

constantemente as equações de

Maxwell para solucionar uma

grande variedade de problemas.

Fonte:

http://fisicomaluco.com/experimentos/jame

s-clerk-maxwell/

Fonte: http://satie.if.usp.br/cursos/aulas_fis3/notas_de_aula/node101.html

18


REVISÃO HISTÓRICA

Fonte:

http://www.sciencephoto.com/images/dow

nload_lo_res.html?id=724080456

Fonte:

http://www.vocamedia.com/Pages/SelectFr

eeBooksPage.aspx

Oliver Heaviside

Contribuíram

para o

esclareciment

o do estudo de

Maxwell.

19


REVISÃO HISTÓRICA

Heinrich Hertz (1857-1894)

contribuiu significativamente para

a ciência do Eletromagnetismo

quando, vinte anos depois de

Maxwell estabelecer sua teoria,

produziu em laboratório sua

primeira onda eletromagnética.

Fonte:

http://www.magnet.fsu.edu/education/tutori

als/pioneers/hertz.html

A tensão variante no tempo fornecida pelas empresas

geradoras de energia elétrica, é denominada tensão CA

(corrente alternada).

20


Figura 1 – Formas de ondas alternadas.

A principal razão para se concentrar a atenção na tensão

alternada senoidal é que esse tipo de tensão é o gerado

nas usinas de energia elétrica em todo o mundo.

As tensões alternadas senoidais podem ser geradas por

diversas fontes. A mais comum é que se obtém nas

tomadas residenciais e cuja origem é uma usina

geradora, em geral alimentada por quedas d´água, óleo,

gás ou fissão nuclear.

Em cada caso um gerador CA é o componente mais

importante no processo de conversão de energia. A

energia mecânica é utilizada para girar um rotor

(construído com pólos magnéticos alternados) envolvido

pelos enrolamentos do estator (a parte estacionária do

gerador), induzindo assim uma tensão no estator, como

definida pela lei de Faraday:

21

Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS

E DEFINIÇÕES

dt

dNe

22


E DEFINIÇÕES

dt

dNe

23


E DEFINIÇÕES

O Magneto de Hippolyte Pixii (1836)

24


E DEFINIÇÕES

24

O Dínamo de Antônio Pacinotti(1860)

(Dínamo de Pacinotti, Revista Nuovo Cimento, No. 19, 1865).

25


E DEFINIÇÕES

25 25

O Dínamo de Zénobe Gramme (1871)

(Dínamo de Pacinotti, Revista Nuovo Cimento, No. 19, 1865).

26


E DEFINIÇÕES

26 26

27


E DEFINIÇÕES

27 27

Exemplos de uso - Hidrelétricas

28


E DEFINIÇÕES

28 28

Exemplos de uso - Termoelétricas

29


E DEFINIÇÕES

29 29

Exemplos de uso – Ger. Eólico

30


E DEFINIÇÕES

30 30

Exemplos de uso – Usina Nuclear

A forma de onda com seus parâmetros é vista na Figura

2 e a partir dela serão definidos alguns termos básicos.

31


E DEFINIÇÕES

DEFINIÇÕES

Figura 2 – parâmetros importantes de uma tensão senoidal.

O eixo vertical dos gráficos é usado para representar tensões e

correntes, enquanto o eixo horizontal sempre representa o tempo.

32


E DEFINIÇÕES

DEFINIÇÕES


33


E DEFINIÇÕES

DEFINIÇÕES


Forma de onda – gráfico de uma grandeza, como a tensão na

Figura 2, em função de uma variável como o tempo, posição

graus, radianos, entre outras.

34


E DEFINIÇÕES

DEFINIÇÕES


Valor instantâneo – amplitude de uma forma de onda em um

instante de tempo qualquer. É representado por letras minúsculas

35


E DEFINIÇÕES

DEFINIÇÕES

Figura 2 – parâmetros importantes de uma tensão senoidal. Amplitude de pico – valor máximo de uma forma de onda em relação ao valor

médio. É representado por letras maiúsculas como Em para fontes de tensão e

Vm para quedas de tensão por meio de uma carga. Na Figura 2 o valor médio é

zero volt e Em é a amplitude indicada na figura.

36


E DEFINIÇÕES

DEFINIÇÕES


Valor de pico – valor máximo de uma função medido a partir do nível zero. No

caso da Figura 2, a amplitude de pico e o valor de pico são iguais, pois o valor

médio da função é zero volt.

37


E DEFINIÇÕES

DEFINIÇÕES


Valor pico a pico – diferença entre os valores dos picos positivo e negativo,

isto é, a soma dos módulos das amplitudes positiva e negativa. É denotado por

Epp ou Vpp.

38


E DEFINIÇÕES

DEFINIÇÕES


Forma de onda periódica – forma de onda que se repete continuamente após

certo intervalo de tempo constante. A forma de onda vista na Figura 2 é

periódica.

39


E DEFINIÇÕES

DEFINIÇÕES


Período (T) – intervalo de tempo entre repetições sucessivas de uma forma de

onda periódica (T1 = T2 = T3 na Figura 2), enquanto pontos similares

sucessivos podem ser usados para determinar o período T.

40


E DEFINIÇÕES EXERCÍCIO:

1) Identifique cada característica da forma de onda.

a

b

c d

v

t t1

b=T a=VP c=VPP d=v(1)

Respostas:

41


E DEFINIÇÕES

DEFINIÇÕES


Ciclo – parte de uma forma de onda contida em um intervalo de tempo igual a

um período. Os ciclos definidos por T1, T2 e T3 na Figura 2 parecem diferentes

na Figura 3, mas como estão todos contidos em um período, satisfazem à

definição de ciclo.

42


E DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES

Figura 4 – Efeito da mudança de freqüência sobre o período

de uma forma de onda senoidal.

Freqüência (f) – o número de ciclos que ocorrem em 1 segundo. A freqüência

da forma de onda vista na Figura 4(a) é 1 ciclo por segundo, e da Figura 4(b),

2,5 ciclos por segundo. No caso de uma forma de onda cujo período é 0,5

segundos (Figura 4(c)), a freqüência é 2 ciclos por segundo.

A unidade de freqüência é o hertz (Hz), onde:

1 hertz (Hz) = 1 ciclo por segundo (c/s)

43


E DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES

Figura 5 – (a) Fonte de tensão alternada senoidal; (b) fonte

de corrente alternada senoidal.

Polaridade e sentido – em cada caso da Figura 5, a polaridade e o sentido da

corrente serão correspondentes ao semiciclo positivo da forma de onda. Na

figura estão indicados os símbolos da fonte de tensão e corrente senoidais. As

duas grandezas são indicadas com letras minúsculas para indicar que variam

com o tempo.

CORRENTES E

TENSÕES ALTERNADAS

SENOIDAIS

Parte II

44


Disponível em: https://goo.gl/q870Oe

45

Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE

DEFINIÇÕES - Senóide

Figura 6 – Gráfico das funções

seno e co-seno com o eixo

horizontal em graus.

A senóide é a única forma de onda cuja

forma não se altera ao ser aplicada

a um circuito contendo resistores,

indutores e capacitores.

A unidade escolhida para o eixo

horizontal na Figura 6 é o grau,

representado pela letra grega α (alfa).

46


DEFINIÇÕES – Radiano (rad)

Figura 7 – Definição de

radiano.

Uma outra unidade de medida que pode

ser usada é o radiano (rad), que é

definida por um arco como o da Figura

7, cujo comprimento é igual ao raio da

circunferência.

Figura 8 – 360º equivalem a

2π radianos.

2xrxr2C

Definindo x como sendo o número de

intervalos de comprimento r (o raio) que

podem ser acomodados em toda a

circunferência, tem-se:

47


DEFINIÇÕES – Pi

O número π é a razão entre o

comprimento da circunferência de um

círculo e o seu diâmetro. A onda

senoidal é obtida a partir das projeções

de um vetor girando em torno de um

ponto fixo e ao completar 360º,é traçado

um ciclo completo da senóide. A

velocidade com que o vetor gira em

torno do centro, denominada velocidade

angular, pode ser determinada a partir

da seguinte equação:

Figura 8 – 360º equivalem a

2π radianos.

tsegundosem)t(tempo

radianosougrausem)(percorridoângulo)(angularvelocidade

48


DEFINIÇÕES – Velocidade angular

Como ω é normalmente expresso em

radianos por segundo, o ângulo α é

obtido em radianos.

Figura 9 – Influência do valor

de ω sobre a

freqüência e o período.

O tempo necessário para o vetor radial

completar uma revolução é igual ao

período (T) da senóide.

O número de radianos que corresponde

a este intervalo de tempo é 2π.

Substituindo na equação anterior, tem-

se:

f2então,f

1Tmas

T

2

49


DEFINIÇÕES– Velocidade angular

As equações estão ilustradas na Figura

9, na qual, para o mesmo vetor, tem-se

ω = 100 rad/s e ω = 500 rad/s.


de ω sobre a


f2então,f

1Tmas

T

2

A equação abaixo indica que quanto

maior a freqüência da forma de onda

senoidal maior a velocidade angular de

vetor.

50


EXEMPLO NUMÉRICO

Determine a velocidade angular relativa

a uma forma de onda senoidal cuja

freqüência é de 60 Hz.

Solução:

Determine o período e a freqüência da

senóide vista na Figura 9(b).

Solução:


de ω sobre a


s/rad377)Hz60(2f2

Hz56,79f1057,12

1

T

1fems57,12T

500

22T

3

51


EXERCÍCIOS:

Determine a velocidade angular relativa a uma forma de onda

senoidal cuja frequência é de 50 Hz.

Determine o período e a freqüência da senóide cuja velocidade

angular é de 750 rad/s.

sradHzf /314)50(22

HzfT

femsTT 36,1191038,8

1138,8

750

223

f2então,f

1Tmas

T

2

52


EXPRESSÃO GERAL PARA TENSÕES OU

CORRENTES SENOIDAIS

A expressão matemática geral para uma forma de onda senoidal é:

senAmonde Am é o valor de pico da onda e α é um ângulo na uma

unidade do eixo horizontal.

A equação α = ωt diz que o ângulo α do vetor girante é determinado pela

velocidade angular deste vetor.

tsenAm com ωt tendo a unidade de medida do eixo horizontal.

A expressão geral para uma senóide também pode ser escrita como:

Por exemplo, para uma determinada velocidade angular (ω fixo), quanto

mais tempo o vetor radial gasta para atingir um ponto maior será o valor do

ângulo em graus ou radiano descrito pelo vetor.

53


EXPRESSÃO GERAL PARA TENSÕES OU

CORRENTES SENOIDAIS

No caso das grandezas elétricas como a tensão e a corrente, as

expressões gerais são:

tsenVvetsenIi mm

As letras minúsculas indicam valores instantâneos e o índice m indica o

valor máximo.

54


RELAÇÕES DE FASE

Se o início da forma de onda senoidal for deslocado para a direita ou para a

esquerda de θº, em relação ao eixo vertical, a expressão passará a ser:

)t(senAm

55


RELAÇÕES DE FASE

Se a curvatura intercepta o

eixo horizontal à esquerda da

origem com inclinação positiva

(função crescente), como se vê na

Figura 10, a expressão é:

)t(senAm Figura 10

Em ωt = 0, o valor da função é calculado por Amsenθ.

Figura 11

Se o gráfico corta o eixo horizontal

com inclinação positiva, à direita

da origem, como na Figura 11 a

expressão é:

)t(senAm

56


RELAÇÕES DE FASE

)t(senAm

Figura 10

Figura 11

)t(senAm Os termos adiantados e

atrasados são usados para

indicar diferenças de fase entre

duas formas de onda senoidais

de mesma frequência plotadas

no mesmo gráfico.

57


VALOR MÉDIO

Figura 12 – Definição de valor médio

Na Figura 12(a) pode ser necessária

conhecer a altura média do monte de

areia para determinar o volume de ateia

disponível.

A altura média do monte de areia é a

altura que será obtida se for mantida

constante a distância entre as

extremidades do monte e espalhada a

areia até que a altura fique uniforme

como na Figura 12(b).

58


VALOR MÉDIO

Figura 13 – Definição de valor médio

O resultado deste aumento na distância

é visto na Figura 13(b).

Na Figura 13(a) a distância se estende

além da extremidade do monte original

visto na Figura 12.

Comparando-se ambas as situações, a

altura média diminui. Portanto, quanto

maior a distância, menor o valor médio.

59


VALOR MÉDIO

Figura 14 – Influência de

depressões (valores negativos)

sobre o valor médio.

Se existe uma depressão como indica a

Figura 14(a), uma parte da areia é

usada para preencher a depressão,

resultando num valor médio ainda

menor, como na Figura 14(b).

No caso de uma forma de onda

senoidal, a depressão tem a mesma

forma que o monte de areia (em um

ciclo completo), o que implica uma

altura média nula (ou zero volt para uma

tensão senoidal quando se calcula a

média para um período). Chamando de

G o valor médio, pode-se escrever:

curvadaocompriment

áreadaébricaasomaG

lg

60


VALOR MÉDIO

Figura 14 – Influência de

depressões (valores negativos)

sobre o valor médio.

A soma algébrica das áreas tem de ser

determinada, pois algumas podem estar

abaixo do eixo horizontal. As áreas

acima do eixo são tomadas com sinal

positivo, e as áreas abaixo do eixo, com

sinal negativo. Um valor médio positivo

estará acima do eixo, e um valor

negativo, abaixo.

O valor médio de qualquer corrente

ou tensão é o indicado por um

medidor de corrente contínua. Em

outras palavras, ao longo de um ciclo

completo, o valor médio de uma forma

de onda periódica é o valor CC

equivalente.

61


EXEMPLO NUMÉRICO

0Gms2

)ms1()V10()ms1()V10(G

V4G2

V6V14

ms2

)ms1()V6()ms1()V14(G

a) Por inspeção, a área acima do eixo é igual a área abaixo do mesmo ao

longo de um ciclo, resultando em um valor médio nulo.

b) Usando a equação para G, fica:

Solução:

Usando a equação para G, tem-se:

1- Determine o valor médio (2ms) da formas de onda vistas na figura abaixo:

a) b)

62


EXERCÍCIOS:

04

)2()10()2()10(

G

ms

msVmsVG

VGVV

ms

msVmsVG 4

2

1228

4

)2()6()2()14(

a) Por inspeção, a área acima do eixo é igual a área abaixo do mesmo ao

longo de um ciclo, resultando em um valor médio nulo.

b) Usando a equação para G, fica:

Solução:

Usando a equação para G, tem-se:

1- Determine o valor médio (4ms) da formas de onda vistas na figura abaixo:

a) b)

63


VALOR MÉDIO

Para calcular a área do pulso positivo usando integração

é usada a seguinte expressão:

0 m dsenAÁrea

0 e π são os limites de integração, Amsenα é a função a ser integrada e dα

indica que estamos integrando em relação a α.

A solução da integral acima resulta que a área é calculada por 2∙Am.

O valor médio pode então ser calculado por:

mm A637,0G

A2G

G

64


EXEMPLO NUMÉRICO

Determine o valor médio da forma de onda vista na figura abaixo:

Solução:

O valor pico a pico desta tensão é 18 mV.

A amplitude de pico da senóide é 18 mV/2 = 9 mV.

Subtraindo 9 mV de 2 mV (ou somando 9 mV a –16 mV),

obtém-se um valor médio (ou nível CC) de –7 mV, indicado pela

linha tracejada da figura.

Vp=Vpp/2 = 18 mV/2 = 9 mV

-7 mV

Vpp=2mV - (-16 mV)=18mV

65


EXERCÍCIO

Determine o valor médio da forma de onda vista na figura abaixo:

Solução:

O valor pico a pico desta tensão é 26 mV.

A amplitude de pico da senóide é 26 mV/2 = 13 mV.

Subtraindo 13 mV de 2 mV (ou somando 13 mV a –24 mV),

obtém-se um valor médio (ou nível CC) de –11 mV, indicado pela

linha tracejada da figura.

Vp=Vpp/2 = 26mV/2 = 13 mV

-11 mV

Vpp=2mV - (-24 mV)=26mV

-24 mv

66


VALOR EFICAZ

Uma questão surge frequentemente:

“como é possível que uma corrente forneça potência ao circuito, ao longo

de um ciclo, se seu valor médio for zero?”

R: independente do sentido e do valor da corrente através de um resistor,

este resistor dissipará potência.

67

Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – VALOR EFICAZ

Figura 15 – Arranjo experimental para estabelecer uma

relação entre grandezas CC e CA.

A partir do arranjo

experimental da Figura 15,

se pode obter uma relação

entre correntes e tensões

contínuas e alternadas. Um

resistor em um recipiente

com água é ligado por

chaves a duas fontes, uma

de corrente contínua e outra

de corrente alternada.

68




A partir do arranjo









de corrente alternada. Se a chave 1 for fechada, uma corrente contínua Icc, que depende da

resistência R e da tensão E da bateria, atravessará o resistor R. A temperatura

atingida pela água novamente é função da potência dissipada (convertida em

calor) pelo resistor.

69




A partir do arranjo









de corrente alternada. Se a chave 1 for fechada, uma corrente contínua Icc, que depende da

resistência R e da tensão E da bateria, atravessará o resistor R. A temperatura

atingida pela água novamente é função da potência dissipada (convertida em

calor) pelo resistor.

Se a chave 2 for fechada e a chave 1 for deixada aberta, a corrente no

resistor será uma corrente alternada cuja amplitude de pico será chamada de

Im. A temperatura atingida pela água novamente é função da potência

dissipada pelo resistor.

70




A fonte alternada é ajustada

para que a temperatura da

água seja a mesma que foi

alcançada quando a fonte

contínua foi ligada, a

potência elétrica média

dissipada pelo resistor R em

função da fonte alternada é a

mesma potência dissipada

em função da fonte contínua.

71














A potência instantânea fornecida pela fonte de corrente alternada é dada por:

mas

R)tsenI(PR)tsenI(R)i(P 22mca

2m

2caca

)t2cos1(2

1tsen2

72














A potência instantânea fornecida pela fonte de corrente alternada é dada por:

Portanto,

t2cos2

RI

2

RIPR)t2cos1(

2

1IP

2m

2m

ca2mca

A potência média fornecida pela fonte alternada corresponde apenas ao primeiro termo,

já que o valor médio de um co-seno é zero, mesmo que a freqüência da onda seja o

dobro da freqüência da forma de onda da corrente de entrada.

73




Igualando a potência média fornecida pela fonte de corrente alternada à

potência fornecida pela fonte de corrente contínua, tem-se:

mccccm2cc

2m

2cc

2m

cc)ca(médio

I707,0II2II2IRI2

RI

PP

74

Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – EXEMPLO NUMÉRICO

1 - A fonte contínua de 120 V mostrada na figura abaixo fornece 3,6 W à carga.

Determine os valores de pico da tensão aplicada (Em) e da corrente (Im) para

que a fonte alternada forneça a mesma potência a uma carga idêntica.

Solução:

cc cc cc cc

m cc m

m cc m

3,6P V I I 30mA

120

I 2 I 2 30 I 42, 42mA

E 2 E 2 120 E 169,68V

75

Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – EXERCÍCIO

1 - A fonte contínua de 200 V mostrada na figura abaixo fornece 3,6 W à carga.

Determine os valores de pico da tensão aplicada (Em) e da corrente (Im) para

que a fonte alternada forneça a mesma potência a uma carga idêntica.

Solução:

200V

VEEE

mAIII

mAIIVP

mccm

mccm

cccccccc

84,28220022

46,25101822

18200

6,3

3

76


2 - Calcule o valor eficaz da forma de onda vista na figura abaixo.

Solução:

É necessário achar v2.

VV

V

rms

rms

236,2

8

436

8

)4)1(()43( 22

77


2 - Calcule o valor eficaz da forma de onda vista na figura abaixo.

Solução:


VV

V

rms

rms

6,3

8

4100

8

)4)1(()45( 22

5

78


3 - Determine os valores médio e eficaz da onda quadrada mostrada na figura

abaixo.

Solução:

Por inspeção o valor médio é zero.


VVV

V

rmsrms

rms

401020

10160001016000

1020

))1010(40()1010(40(

3

33

3

3232

79


3 - Determine os valores médio e eficaz da onda quadrada mostrada na figura

abaixo.

Solução:

Por inspeção o valor médio é zero.


VVV

V

rmsrms

rms

501020

10250001025000

1020

))1010(50()1010(50(

3

33

3

3232

50

50

DISPOSITIVOS BÁSICOS

80


Elementos Resistivos

Será estudada a resposta dos dispositivos

básicos, resistor (R), indutor (L) e o

capacitor(C) à aplicação de tensões

senoidais, verificando como a freqüência

influencia nas características de ‘oposição’

de cada dispositivo.

81

DISPOSITIVOS BÁSICOS Introdução

82

DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA

𝑓 ′ 𝑥 = lim∆𝑥→0

𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑎

∆𝑥

f(x)

a a+Δx

f(a+Δx)

f(a) f '(x)

Defini-se a derivada dx/dt

como sendo a taxa de

variação de x em relação ao

tempo. Se não houver

variação de x em um instante

particular, dx = 0 e a derivada

será nula. No caso de uma

forma de onda senoidal, dx/dt

será zero apenas nos picos

positivo e negativo pois x não

varia nesses instantes.

83


Figura 1 – Valores máximos e mínimos da derivada de uma

função f(x).












84



função f(x).












85



função f(x).

O valor da derivada dx/dt em

um ponto é a inclinação da

curva neste ponto, ou seja, o

valor da tangente. Se for

traçada uma reta nos pontos

mencionados se verificará

que o valor da tangente será

zero.

86



função f(x).

87

DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA -Exemplo de aplicação

Controle

88


Proponha um algoritmo que automatize o

processo:

Cmd

Temp

Regras ou proposições

1. IF Cmd-Temp=N THEN Output=C

2. IF Cmd-Temp=Z THEN Output=NC

3. IF Cmd-Temp=P THEN Output=H

f(x)

d f(x)

dt

89


d f(x)

dt

d (Cmd-Temp)

dt

90


dt

)t(dVC)t(i i

R)t(i)t(VR

dt

)t(dVRC)t(V i

o

Dado que Vd=0

A Tensão VR é:

Como Vo(t) é:

-

+

Vo

Vi

C R i i

Vd

Vc VR

)t(V)t(V Ro

então:

A DERIVADA -Exemplo de aplicação

Circuito derivador (I)

91


Circuito derivador (I)

-

+

Vo

Vi

C R i i

Vd

Vc VR

Formas de onda

t [seg]

V [Vol]

Vi (sen(t))

Vo (cos(t))

t [seg]

V [Vol]

Vi(t)

Vo(t)

dt

)t(dVRC)t(V i

o

92


-

+

Vo

Vi

C R i i

Vd

Vc VR

dt

)t(dVRC)t(V i

o

-

+ Vo

V1 V2

Vd

Vi

R2 R1 Circuito derivador (I)

Circuito Inversor

20 RiV

1

2i2

1

i0

R

RVR

R

VV

1

2

i

o

R

R

V

V Se R1=R2 Vo=-Vi

93


A variação de x será

máxima quando ωt = 0, π

e 2π. Para diversos

valores de ωt entre esses

valores máximo e mínimo,

a derivada existe e tem

valores compreendidos

entre o mínimo e o

máximo (Figura 2). Figura 2 – Cossenóide - gráfico da derivada de uma função senoidal.

94


O valor de pico de uma cossenóide

é diretamente proporcional à

freqüência da senóide original.

Quanto maior a freqüência, maior a

inclinação no ponto em que a curva

corta o eixo horizontal e, portanto,

maior o valor de dx/dt nesse ponto,

como mostra a Figura 3 para duas

freqüências diferentes. Figura 3 – Efeito da freqüência sobre o valor de pico da derivada.

Observa-se na Figura 3 que, embora as duas formas de onda (x1 e x2)

tenham valores de pico iguais, a função senoidal de maior freqüência

produz uma função derivada com um valor de pico maior. Além disso, nota-

se que:

95


Figura 3 – Efeito da freqüência sobre o valor de pico da derivada.

A derivada de uma

senóide tem o mesmo

período

e a mesma freqüência

que a função original.

96


)t(senE)t(e m

)tcos(Ef2)tcos(E)t(edt

dmm

No caso de uma tensão senoidal:

a derivada pode ser determinada diretamente por

diferenciação, produzindo o seguinte resultado:

Observa-se que o valor de pico da derivada, 2πf∙Em,

depende da freqüência de e(t) e que a derivada de uma senóide

é uma função cossenóide.

97

NP2 01/06

SUB 08/06

EXM 15/06

Datas de Provas:


Resistor

98


99

DISPOSITIVOS BÁSICOS Resistor

Na prática, nas frequências da rede elétrica até as

frequências com algumas centenas de quilo-hertz, o valor da

resistência não é influenciado por tensões ou correntes

senoidais aplicadas. Nesta faixa de frequência o resistor pode

ser considerado constante e a lei de Ohm pode ser aplicada.

Para v = Vm sen (ωt):

)t(senI)t(senR

V

R

)t(senV

R

vi m

mm

, onde R

VI mm

Além disso, para uma dada corrente i:

))t(sen(V))t(sen(RIR))t(sen(IRiv mmm

onde .

,

RIV mm

100

DISPOSITIVOS BÁSICOS Resistor

O gráfico visto na Figura 4 revela que:

Para um dispositivo puramente resistivo, a tensão e a

corrente no dispositivo estão em fase, sendo a relação entre

os seus valores de pico dado pela lei de Ohm.

Figura 4 – Em um dispositivo resistivo a tensão e a corrente estão em fase.


Indutor

101


102

DISPOSITIVOS BÁSICOS Indutor

Figura 5(a) - Ilustração de como um dispositivo se opões à passagem de corrente;

Para a configuração em série vista na Figura 5(a), a tensão

vdispositivo do dispositivo no interior da caixa se opõe à da fonte e

e, assim, reduz a corrente i.

O valor da tensão sobre o dispositivo é determinado por sua

oposição ao fluxo de carga, ou seja, à corrente i. No caso de

um dispositivo resistivo, se observa que a oposição se deve à

resistência e que vdispositivo e i estão relacionados por:

vdispositivo = i∙R.

103


A tensão em um indutor é diretamente proporcional à taxa de

variação da corrente que o atravessa. Consequentemente,

quanto maior a frequência, maior a taxa de variação da

corrente no indutor e maior o valor da tensão induzida.

A indutância determina a taxa de variação do fluxo

magnético no indutor para uma variação da corrente. Quanto

maior a indutância, maior a taxa de variação do fluxo e maior

a tensão no indutor.


104


Portanto, a tensão no indutor é diretamente proporcional à

freqüência e à indutância do enrolamento. Para valores

crescentes de f e L, conforme a Figura 5(b), o valor da tensão vL

aumenta como descrito.

Figura 5(b) - Ilustração dos parâmetros que determinam a oposição de um indutor à

passagem de corrente.

105


Figura 6 – Indutor.

Matematicamente, no caso de um

indutor como o da Figura 6, tem-se que:

dt

diLv L

L

)tcos(IL)tcos(ILdt

diLv mm

LL

)tcos(I))t(senI(dt

d

dt

dimm

L

, onde diL/dt é dado por:

Portanto,

Definindo, sabendo-se que

mm ILV )º90t(sen)tcos(

)º90t(senVv mL Chega-se a:

106


Observa-se que o valor de pico de vL é diretamente

proporcional a ω (2πf) e a L.

Figura 7 – Em um indutor puro a tensão está adiantada 90º em relação à corrente.

O gráfico mostrado na Figura 7, revela que:

Para um indutor, vL está adiantada 90º em relação a iL

ou iL está atrasada 90º em relação à vL.

107


Se um ângulo de fase for incluído na expressão senoidal de iL,

como, por exemplo: )t(senIi mL

Então: )º90t(senILv mL

Agora, lembrando que:

m

m

I

V

efeito

causaOposição

oposição

causaEfeito

A oposição causada por um indutor em um circuito de corrente

alternada senoidal pode ser calculada agora a partir de:

LI

IL

I

V

efeito

causaOposição

m

m

m

m

108


Revelando que a oposição causada pelo indutor em um circuito

de corrente alternada senoidal é diretamente proporcional ao

produto da velocidade angular pela indutância.

A grandeza ωL denominada reatância (derivada da palavra

reação) indutiva, é simbolizada por XL e medida em ohms.

Ou seja: (ohms, Ω) LXL

A reatância indutiva é uma oposição à corrente que resulta

em uma troca contínua de energia entre a fonte e o campo

magnético do indutor.


Capacitor

109


110


Capacitor


No caso de circuitos capacitivos, a tensão no capacitor é

limitada pela taxa com que a carga é depositada nas placas do

capacitor ou ainda retirada delas, durante as fases de carga e

de descarga, respectivamente.

Isto é, uma variação instantânea da tensão no capacitor sofre

uma oposição devido ao fato de que é necessário um tempo

para carregar (ou descarregar) as placas de um capacitor, e

V = Q/C.

111


Capacitor


Como a capacitância é uma relação do tempo de carga, ou seja

o tempo com que um capacitor armazena carga em suas placas:

Para uma determinada variação da tensão em um

capacitor, quanto maior o valor da capacitância, maior

será a corrente capacitiva resultante.

A equação fundamental que relaciona a tensão no capacitor

á corrente dele,

dt

dvCi C

C

112


Capacitor

mostra que:

Para uma determinada capacitância, quanto maior a

taxa de variação da tensão entre os terminais de um

capacitor, maior será a corrente capacitiva.

Um aumento na frequência corresponde a um aumento da

taxa de variação da tensão no capacitor e a um aumento da

corrente, logo, esta corrente é diretamente proporcional à

frequência e á sua capacitância (Figura 8).

Figura 8 – Parâmetros que determinam a oposição de um

dispositivo capacitivo á passagem de corrente.

113


Determinando o valor

de dvc/dt tem-se:

Portanto:

Definindo, sabendo-se que

Chega-se a:

)tcos(V))t(senV(dt

d

dt

dvmm

C

)tcos(VC))tcos(V(Cdt

dvCi mm

CC

mm VCI )º90t(sen)tcos(

)º90t(senIi mC

Capacitor

114


Observa-se que o valor de pico de iC é diretamente

proporcional a ω (2πf) e a C. O gráfico mostrado na Figura 9,

revela que:

Para um capacitor, iC está adiantada 90º em relação à vC

ou vC está atrasada 90º em relação à iC.

Figura 9 – A corrente em um dispositivo puramente capacitivo está adiantada 90º em relação à tensão.

Capacitor

115


Se um ângulo de fase for incluído na expressão senoidal de vC,

como, por exemplo:

Então:

Agora, lembrando que:

A oposição causada por um capacitor em um circuito de corrente

alternada senoidal pode ser calculada agora a partir de:

)t(senVv mC

)º90t(senVCi mC

m

m

I

V

efeito

causaOposição

oposição

causaEfeito

C

1

VC

V

I

V

efeito

causaOposição

m

m

m

m

Capacitor

116


Revelando que a oposição causada pelo capacitor em um

circuito de corrente alternada senoidal é inversamente

proporcional ao produto da velocidade angular pela

capacitância.

A grandeza 1 / ωC denominada reatância capacitiva, e é

simbolizada por XC e medida em ohms.

Ou seja: (ohms, Ω)

A reatância capacitiva é uma oposição à corrente que resulta

em uma troca contínua de energia entre a fonte e o campo

elétrico no capacitor.

C

1XC

Capacitor

117


Resumindo:

Se a corrente estiver adiantada em relação à

tensão aplicada, o circuito será

predominantemente capacitivo e, se a tensão

aplicada estiver adiantada em relação à

corrente, ele será predominantemente indutivo.

Capacitor

118


EXEMPLOS NUMÉRICOS

1. Considerando a tensão no resistor como indicado abaixo, calcule as

expressões para a corrente sendo o resistor de 10 Ω. Esboce os gráficos

de v e i.

a) v = 100 sen (377t) b) v = 25 sen (377t + 60º)

A10I

10

V100

R

VI m

mm

)t377(sen10)t(senIi m

Como v e i estão em fase, resulta:

As curvas de v e i são mostradas abaixo.

A5,2I10

V25

R

VI m

mm

)º60t377(sen5,2)t(senIi m


As curvas de v e i são mostradas abaixo.


EXEMPLOS NUMÉRICOS

2. A corrente em um resistor de 5 Ω vale i = 40 sen (377t + 30º). Determine a

expressão senoidal para a tensão no resistor.

V200V540RIV mmm

)º30t377(sen200)t(senVv m

Solução:



EXEMPLOS NUMÉRICOS

3. A corrente em um indutor de 0,1 H é dada nos itens a e b a seguir. Determine em

cada caso a expressão para a tensão no indutor. Esboce as curvas de v e i.

a) i = 10 sen (377t) b) i = 7 sen (377t – 70º)

7,37)H1,0()s/rad377(LXL

V3777,37A10XIV Lmm

)º90t377(sen377v

)º90t(senVv m

Como v está adiantado 90º em

relação a i, resulta:

V9,2637,37A7XIV Lmm

)º20t377(sen9,263v

)º90º70t377(sen9,263v

)º90t(senVv m

Como v está adiantado 90º em

relação a i, resulta:


EXEMPLOS NUMÉRICOS

4. A expressão para a tensão em um capacitor de 1 μF é v = 30 sen (400t). Qual é a

expressão senoidal para a corrente?

2500X400

10

)F101()s/rad400

1

C

1X C

6

6C

mm m

c

V 30VI I 12mA

X 2500

)º90t400(sen1012)º90t(senIi 3m

Solução:

Sabendo-se que em um capacitor, a corrente i está adiantada 90º em relação à v:


EXEMPLOS NUMÉRICOS

5. Dados os pares de expressões para tensões e correntes a seguir, determine se o

dispositivo envolvido é um capacitor, um indutor ou um resistor e calcule os valores

de C, L e R, se houver dados suficientes para isso.

Solução:

a) v = 100 sen (ωt + 40º)

i = 20 sen (ωt + 40º)

b) v = 1000 sen (377t + 10º)

i = 5 sen (377t – 80º)

c) v = 500 sen (157t + 30º)

i = 1 sen (157t + 120º)

d) v = 50 cos (ωt + 20º)

i = 5 sen (ωt + 110º)


EXEMPLOS NUMÉRICOS

5. Solução:

PARAMOS AQUÍ!

5RA20

V100

I

VR

m

m

200XA5

V1000

I

VX L

m

mL

H521,0L377

200LLXL

500XA1

V500

I

VX C

m

mC F74,12C

500157

1C

C

1XC

)º110t(sen50v)º90º20t(sen50)º20tcos(50v

10RA5

V50

I

VR

m

m

a) Como v e i estão em fase, o dispositivo é um resistor e

b) Como v está adiantada 90º em relação a i, o dispositivo é um indutor e:

e

c) Como i está adiantada 90º em relação à v, o dispositivo é um capacitor e:

e

d)

Como v e i estão em fase, o dispositivo é um resistor e,

124


Para circuitos de corrente contínua, a frequência é zero e a

reatância de um indutor é dada por:

Comportamento de indutores e capacitores em regimes

de corrente contínua, alta frequência e baixa frequência.

0XL02Lf2LX LL

O que indica que em regime permanente, num circuito de

corrente contínua o indutor se comporta como um curto-

circuito.

Em altas freqüências, XL terá um valor muito elevado e, em

algumas aplicações práticas, o indutor pode ser tratado como

se fosse um circuito aberto.

125


O capacitor pode ser substituído por um circuito aberto em

circuitos de corrente contínua, pois f = 0, e

Comportamento de indutores e capacitores em regimes

de corrente contínua, alta frequência e baixa frequência.

Em freqüências muito altas, para capacitâncias finitas XC é

muito pequena e, em algumas aplicações práticas, o capacitor

pode ser substituído por um curto-circuito.

CC XC02

1

Cf2

1

C

1X

126


Sabe-se que a reatância indutiva aumenta com

a frequência, enquanto a reatância capacitiva

diminui. Entretanto, qual é o padrão para esse

aumento ou diminuição? Como a frequência dos

sinais aplicados podem variar de uns poucos

hertz até mega-hertz, é importante conhecer os

efeitos da frequência na intensidade das

reações dos dispositivos.

RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS DISPOSITIVOS

BÁSICOS

127


Como um componente real, todo resistor tem

capacitâncias parasitas e indutâncias dos

terminais, que são sensíveis ao valor da

frequência aplicada. Os valores dessas

capacitâncias e indutâncias são tão pequenos

que seus efeitos não são notados até que se

atinja a faixa dos mega-hertz.

RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS RESISTORES

128



Figura 10 – Variação da resistência com a frequência para resistores de carbono.

129




As curvas da resistência em função da frequência para alguns

resis-tores de carbono são fornecidas na Figura 10.

130




Observa-se que as resistências menores são menos afetadas

pelo valor da frequência. Pela figura é possível afirmar que o

valor da resistência permanece inalterado até que a

frequência atinja cerca de 10 MHz.

131


RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS INDUTORES

Para os indutores a equação XL = 2π∙f∙L, tem a forma de uma

equação de uma reta com uma inclinação de 2π∙L e intercepta

o eixo das ordenadas em zero, como mostra a Figura 11.

Quanto maior a indutância, maior a inclinação da reta para a

mesma frequência.

Figura 11 – XL em função da freqüência.

132


RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS CAPACITORES

No caso de capacitor, a expressão para a reatância XC = 1 /

(2π∙f∙C) pode ser escrita na forma XC∙f = 1 / (2π∙C), que

coincide com a forma básica de uma hipérbole, y∙x = k, sendo

y = XC, x = f e k = 1 / (2π∙C).

Figura 12 – XC em função da freqüência.

Para f = 0 Hz, a reatância de

um capacitor é tão grande,

como mostra a Figura 12, que

ele se comporta como um

circuito aberto. Á medida que

a frequência aumenta, a

reatância diminui, até que ao

final seja equivalente a um

curto-circuito.

133


RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

Figura 12 – XC em função da freqüência.

Figura 11 – XL em função da freqüência.

134


POTÊNCIA MÉDIA E FATOR DE POTÊNCIA

Para qualquer carga em um circuito de corrente alternada

senoidal, a tensão e a corrente na carga variam de forma

senoidal com o tempo. Tomando um caso geral e usando para

v e i as expressões abaixo:

)t(senVv vm )t(senIi im e

A potência será dada por:

)t(senI)t(senVivp imvm

Usando a identidade trigonométrica:

2

)BAcos()BAcos(senBsenA

A função sen(ωt + θv)∙sen(ωt + θi), torna-se:

2

)]t()tcos[()]t()tcos[( iviv

135



2

]t2cos[]cos[ iviv , de forma que

]t2cos[2

IV]cos[

2

IVp iv

mmiv

mm

Onde o primeiro termo representa uma parte fixa e o segundo termo varia

com o tempo. As curvas de v, i e p estão no mesmo gráfico da Figura 13.

Figura 13 – Determinação da potência

média de um circuito de corrente alternada

senoidal.

136



Note-se que o segundo termo na equação anterior representa

uma cossenóide de amplitude VmIm / 2 e freqüência duas vezes

maior que a da tensão e corrente. O valor médio desse termo é

zero e, portanto, ele não tem nenhuma influência no processo

de dissipação de energia.



senoidal.

]t2cos[2

IV]cos[

2

IVp iv

mmiv

mm

137



Já o primeiro termo da equação é constante (não depende do

tempo) e representa uma transferência líquida de energia. Este

termo é chamado de potência média.



senoidal.

]t2cos[2

IV]cos[

2

IVp iv

mmiv

mm

138



A potência média, ou potência real, é a fornecida à carga e

dissipada por esta. Ela corresponde à potência total dos

circuitos de corrente contínua.



senoidal.

]t2cos[2

IV]cos[

2

IVp iv

mmiv

mm

139



O ângulo (θv – θi) é o ângulo de fase entre v e i. Fazendo θ igual

a |θv – θi|, onde | | indica que apenas o valor absoluto é

importante, ou seja, o sinal é irrelevante, tem-se:



senoidal.

]t2cos[2

IV]cos[

2

IVp iv

mmiv

mm

cos2

IVP mm

(watts, W)

Onde P é a potência média em watts.

Esta equação também pode ser escrita na forma:

cosIVcos

2

I

2

VP efef

mm

(watts, W)

140

DISPOSITIVOS BÁSICOS POTÊNCIA MÉDIA EM RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES

Resistores - Em um circuito puramente resistivo, como v e i estão em fase,

|θv – θi| = θ = 0º e cos θ = cos 0º = 1, de forma que:

(watts, W) efef IVP

Indutores - Em um circuito puramente indutivo, como v está adiantada em

relação a i de 90º, |θv – θi| = θ = |–90º| = 90º, portanto:

W0P)º90cos(2

IVP mm

A potência média ou potência dissipada por um indutor ideal é zero.

Capacitores - Em um circuito puramente capacitivo, como i está adiantada

em relação à v de 90º, |θv – θi| = θ = |–90º| = 90º, portanto:

W0P)º90cos(2

IVP mm

A potência média ou potência dissipada por um capacitor ideal é zero.

141

DISPOSITIVOS BÁSICOS POTÊNCIA MÉDIA EM RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES

Resistores - Em um circuito puramente resistivo, como v e i estão em fase,

|θv – θi| = θ = 0º e cos θ = cos 0º = 1, de forma que:

(watts, W) efef IVP

Indutores - Em um circuito puramente indutivo, como v está adiantada em

relação a i de 90º, |θv – θi| = θ = |–90º| = 90º, portanto:

W0P)º90cos(2

IVP mm

A potência média ou potência dissipada por um indutor ideal é zero.

Capacitores - Em um circuito puramente capacitivo, como i está adiantada

em relação à v de 90º, |θv – θi| = θ = |–90º| = 90º, portanto:

W0P)º90cos(2

IVP mm

A potência média ou potência dissipada por um capacitor ideal é zero.

NÚMEROS COMPLEXOS

E FASORES

142


Em determinado ponto do desenvolvimento dos

métodos matemáticos, defrontou-se com a

necessidade de se introduzir um operador que

pudesse representar a raiz quadrada de um

número negativo.

143

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Introdução

144

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Introdução

Para suprir essa necessidade, criou-se a noção

do operador imaginário j (também chamado de

i), cuja propriedade fundamental é:

1j1j 2

Com a noção do operador imaginário,

introduz-se um novo conjunto de números, o

conjunto dos Números Complexos, que têm a

forma: bjaz .

onde a e b são números reais quaisquer.

145

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Um número complexo pode ser representado

na forma cartesiana, também chamada de

forma retangular, ou na forma polar.

146

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Representação cartesiana

Utilizando-se um sistema cartesiano de

coordenadas, chamado de Plano de Argand-

Gauss ou Plano Complexo, é possível

representar graficamente um número

complexo.

O número complexo z = a + jb, também pode

ser representado pelo par ordenado (a, b) e

plotado como um ponto cujas coordenadas

são, respectivamente, sua parte real e sua

parte imaginária.

147


Na Figura 1 tem-se o plano de Argand-Gauss

onde o eixo das abscissas é chamado eixo

real (Re) e o eixo das ordenadas é chamado

de eixo imaginário (Im).

F igura 1 – Representação do número complexo através do par ordenado (a, b).

148


Quando um número complexo z possui parte

real nula (a = 0) e parte imaginária não-nula (b

0), temos um número imaginário puro, bem

como quando a parte imaginária b de um

número complexo z é nula, estamos diante de

um número real.

F igura 1 – Representação do número complexo através do par ordenado (a, b).

149

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES EXEMPLOS NUMÉRICOS

A = 3 + j.3

B = 2 - j.4

C = -2 –j.2

D = j.2

E = -3 + j.5

F = -1

O Plano Complexo é

dividido em quatro quadrantes.

O primeiro quadrante (I Q) é

aquele em que tanto a parte

real como a parte imaginária

são positivas. A seqüência dos

quadrantes se dá no sentido

anti-horário. Assim, o segundo

quadrante (II Q) é o que possui

parte real negativa e parte

imaginária positiva, o terceiro

quadrante (III Q) é o que tem

tanto a parte real como a parte

imaginária negativas e o quarto

quadrante (IV Q) é o que

apresenta parte real positiva e

parte imaginária negativa.

150

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Forma polar

Um número complexo z pode ser representado no plano complexo através de um

segmento de reta unindo o ponto que tem por coordenadas sua parte real e sua

parte imaginária à origem do plano (ponto 0,0).

Esse segmento de reta é totalmente caracterizado pelo seu comprimento (rô),

chamado de módulo, e pelo ângulo φ que ele forma com o eixo dos reais, chamado

de argumento.

Figura 2 – Representação polar de um número complexo.

Essa é a chamada forma polar de um

número complexo, cuja notação é:

z

Outra forma de se escrever o mesmo

número complexo é:

zzOnde: 22 baz é o módulo ou intensidade do número complexo;

a

btg 1

é a fase ou argumento do número complexo.

151

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES TRANSFORMAÇÃO ENTRE AS FORMAS DO NÚMERO COMPLEXO

Para transformar uma forma na outra, utilizam-se as relações trigonométricas do

triângulo retângulo que surge quando utilizamos a representação no plano complexo.

Na Figura 2 verifica-se que a hipotenusa do triângulo é o módulo do número

complexo e a fase é o ângulo formado a partir do eixo real em sentido anti-horário.


Desta forma é possível extrair as relações entre a representação retangular e a

representação polar.

152

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Transformação de retangular para polar

Neste ponto, uma dúvida poderia surgir, visto que entre 0 e 360o existem dois

ângulos que satisfazem a essa equação (φ = 53o e φ = 233o).

Mas observe que, como tanto a parte real como a parte imaginária da representação

retangular são negativas, esse número só pode pertencer ao terceiro quadrante.

Logo, φ = 233o. Assim, z=5 233º. Este exemplo mostra a importância de levar em

conta o quadrante no momento da conversão, para que não se obtenha um resultado

equivocado.

a

btg 1

22 baz

Im

Re |z|

53º 233º

a

-a

-b

b

153

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Transformação de polar para retangular

Utilizando as relações trigonométricas, a

obtenção das coordenadas retangulares a e b

de um número complexo a partir de sua

representação polar é imediata (observar a

Figura 2).

Onde o número complexo na forma retangular será dado por z = a ± j b.

Será visto que as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de

números complexos, poderão ser sempre facilitadas pelo uso da forma polar, como

será visto a seguir.


cosza senzb

154

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS

Dois números complexos z1 = a1 + j.b1 e z2 = a2 + j.b2 são iguais se, e somente se,

suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais entre si, isto

é a1 = a2 e b1 = b2.


155

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES NÚMERO COMPLEXO CONJUGADO

O número complexo conjugado acontece quando

somente a parte imaginária (ou a fase) troca de

sinal.

Figura 3 – Número complexo conjugado.

Seja o número complexo definido como:

z = a + jb.

Diz-se que o conjugado deste número é

z = a – jb.

A Figura 3 apresenta a representação de números complexos conjugados. Note

ainda que . zz

Logo, dois números complexos serão conjugados se, e somente se, tiverem partes

reais iguais e partes imaginárias simétricas.

EXEMPLOS NUMÉRICOS

jzjz 4343 jzjz 33

156

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES POTÊNCIAS INTEIRAS DO OPERADOR j

Lembrando que, por definição,

j0 = 1 j1 = j j2 = -1

Podemos obter facilmente o valor das demais potências inteiras e positivas do

operador j:

Pode-se notar que a partir de j4 repete-se a seqüência de valores iniciada por j0.

EXEMPLOS NUMÉRICOS

j3 = j2 x j1 = -1 x j j3 = -j

j4 = j2 x j2 = -1 x -1 j4 = 1

j5 = j4 x j1 = 1 x j j5 = j

j6 = j4 x j2 = 1 x -1 j6 = -1

Portanto, para se obter o resultado de j elevado a uma potência inteira e positiva

qualquer, basta dividir o valor dessa potência por 4 e usar como expoente do

operador j o resto dessa divisão (que obviamente só poderá ser 0, 1, 2 ou 3).

a) j137 = ?

b) j19 = ? O resto da divisão de 137 por 4 é 1, logo, j137 = j1 = j

O resto da divisão de 19 por 4 é 3. Logo, j19 = j3 = -j

157

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES OPERAÇÕES ENTRE OS NÚMEROS COMPLEXOS

É possível realizar as operações elementares

com os números complexos, no entanto existe

um conjunto de regras que deve ser

obedecido. As operações mais básicas são

apresentadas a seguir.

158

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Adição e Subtração

Para somar ou subtrair números complexos, basta somar ou subtrair suas partes

reais, obtendo desse modo à parte real do resultado e somar ou subtrair suas

partes imaginárias, obtendo desse modo a parte imaginária do resultado.

Podem ser feitas na forma polar, mas para facilitar sempre se faz na forma

retangular.

Sejam dois números complexos abaixo definidos:

Definem-se as operações de adição e subtração entre eles como sendo:

Isto é: parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.

jbaz 1jdcz 2

e

)()(21 dbjcazz )()(21 dbjcazz e

159

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Multiplicação na forma retangular

Para efetuar a multiplicação de dois números complexos, seguem-se os passos

abaixo:

1- Multiplicam-se termo a termo as partes real e imaginária de cada um dos

fatores. Para tanto, será necessário utilizar as propriedades da potenciação

vistas acima.

Definem-se as operações de adição e subtração entre eles como sendo:

2- Somam-se as partes reais dos resultados parciais, obtendo-se a parte

real do resultado final.

3- Somam-se as partes imaginárias dos resultados parciais, obtendo-se a

parte imaginária do resultado final.

jbaz 1jdcz 2

e

)]()[()]()[(

)()()()(21

bcdajdbca

jdjbjbcjdacazz

160


Propriedade da Multiplicação de

Complexos Conjugados

Quando se multiplicam dois complexos

conjugados, o resultado será um número

real.

Demonstração:

(a + j.b) x (a – j.b) = a2 + j.a.b – j.a.b – j2b2 = a2 - b2 x -1 = a2 + b2,

número que possui parte imaginária nula, sendo, portanto, um número real.

161


Efetuar a multiplicação dos complexos z1 = 3 + j2 e z2 = – 5 – j3.

- Efetua-se a primeira multiplicação parcial:

(3 + j.2) x (-5) = -15 – j.10

- Soma-se as partes imaginárias dos resultados parciais:

-10 + (-9) = -19

- Efetua-se a segunda multiplicação parcial:

(3 + j.2) x (-j.3) = -j.9 – j2.6 = -j.9 + 6

- Soma-se as partes reais dos resultados parciais:

-15 + 6 = -9

EXEMPLOS NUMÉRICOS

- Obtém-se o resultado final:

(3 + j.2) x (-5 – j.3) = -9 – j.19

162

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Multiplicação na forma polar

Para multiplicar dois números complexos na forma polar, basta multiplicar os seus

módulos, obtendo assim o módulo do resultado e somar os seus argumentos,

obtendo assim o argumento do resultado.

Sejam dois números complexos definidos com sendo:

O produto entre eles é realizado como abaixo.

É possível realizar todas as operações usando-se qualquer forma de

representação.

11 zz 22 zze

)()( 2121 zzzz

No entanto, utilizar a forma cartesiana para realizar as operações de adição e

subtração e a forma polar para realizar as operações de multiplicação e divisão,

torna mais simples a obtenção dos resultados.

163

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Divisão de um número complexo por um número real

Para dividir um número complexo por um número real, basta dividir a parte real do

número complexo pelo número real, obtendo-se a parte real do resultado e dividir a

parte imaginária do número complexo pelo número real, obtendo-se a parte

imaginária do resultado.

EXEMPLOS NUMÉRICOS

(8 j.2)4 j

2

164

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Divisão de dois números complexos

Efetuar a divisão do complexo z1 = 4 – j2 pelo complexo z2 = – 1 + j.

Multiplico o numerador pelo conjugado do denominador:

2.6)1()2.4( jjj

Multiplico o denominador pelo seu conjugado:

Divido o primeiro resultado pelo segundo, obtendo o resultado final:

2)1()1( jj

jj

32

2.6

165

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Divisão de números complexos na forma polar

Para dividir um número complexo na forma polar por outro, basta dividir o módulo

do numerador pelo módulo do denominador, obtendo-se assim o módulo do

resultado, e subtrair do argumento do numerador o argumento do denominador,

obtendo-se assim o argumento do resultado.

Sejam dois números complexos definidos com sendo:

Então a divisão entre ambos é feita com indicado abaixo.

11 zz e 22 zz , com 02 z

)(2

1

2

1

z

z

z

z

166

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Potências inteiras de um número complexo na forma polar

Para elevar um número complexo na forma polar a uma potência inteira, basta

elevar o módulo do número a essa potência, obtendo assim o módulo do resultado,

e multiplicar o argumento do número por essa potência, obtendo assim o

argumento do resultado.

).()( nzzznnn

EXEMPLOS NUMÉRICOS

•Adição de números complexos:

)4030()454()22( jjz

)4030()45º45.(cos4)22( jjsenjz

)4030(2

2

2

2.4)22( jjjz

)4030()2.22.2()22( jjjz

)402.22()302.22( jz

)2.242()282.2( jz

83,4417,25 jz

167


EXEMPLOS NUMÉRICOS

•Divisão de números complexos:

755

1520z

•Transformação da forma cartesiana para a forma polar::

Obter a forma polar do número complexo z = -3 - 4 j.

Calculo o módulo da forma polar:

525)4()3( 2222 zba

604)75(155

20

Calculo o argumento da forma polar:

333,13

4arctgarctg

a

barctg

168


EXEMPLOS NUMÉRICOS

•Multiplicação na forma polar:

•Potência de um número complexo na forma polar:

4 30 5 20 (4 5) (30 ( 20 )) 20 10

15032)30.5(2)302( 555 z

169

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES

FASORES

170


FASORES

A adição de tensões e correntes senoidais é necessária com frequência quando analisamos circuitos CA.

Um método para se realizar esta tarefa é através da utilização de fasores, que são vetores radiais girantes que têm um módulo constante e uma extremidade fixa na origem.

Origem

171


FASORES

(a) (b) Figura 4 – (a) Representação fasorial das formas de onda senoidais; (b) obtenção da

soma de duas tensões alternadas.

O fasor estará, no instante t = 0, nas posições vistas na Figura 4(a) para cada uma das formas de onda mostradas na Figura 4(b).

172


FASORES

(a) (b) Figura 4 – (a) Representação fasorial das formas de onda senoidais; (b)

obtenção da soma de duas tensões alternadas.

Na Figura 4(b) se observa que v2 corta o eixo horizontal em t = 0 s, tornando necessário que o raio do vetor visto na Figura 4(a) coincida com o eixo horizontal neste instante para garantir que a projeção vertical seja zero volt.

173


FASORES



O seu comprimento, visto na Figura 4(a), é igual à amplitude da senóide. A outra senóide é gerada por um fasor que em t=0s já descreveu um ângulo de 90º em relação ao eixo horizontal, alcançando portanto a sua projeção vertical máxima, como mostra a Figura 4(a).

174


FASORES



Como a projeção vertical é máxima, o valor de pico da senóide que o fasor gera também é alcançado em t = 0 s, como ilustrado na Figura 4(b). Nota-se também que em t = 0 s tem-se vT = v1, pois v2 = 0 V neste instante.


FASORES

y(t) = y1(t) + y2(t)


FASORES

O caso de duas funções senoidais que têm ângulos de fase diferentes de 0º e 90º aparece na Figura 5.

(a) (b) Figura 5 – Adição de duas correntes senoidais cuja diferença de fase não é 90º


FASORES


Nota-se que as ordenadas das funções vistas na Figura 5(b) em t = 0 s são determinadas pelas posições

angulares dos fasores que se vê na Figura 5(a).


FASORES


Como se usa quase que exclusivamente os valores eficazes, e não os valores de pico, na análise de

circuitos CA o fasor agora será definido, por razões práticas e de uniformidade, como tendo um módulo

igual ao valor eficaz da função senoidal que representa.


FASORES


O ângulo (argumento) associado com o fasor continuará como descrito anteriormente – o ângulo de

fase.


FASORES

Em geral, a forma fasorial de uma tensão ou corrente senoidal será:

efVV efII

e

Deve-se ressaltar que na notação de fasores as grandezas envolvidas

sempre variam de forma senoidal e a frequência não é representada.

A álgebra dos fasores só pode ser aplicada a

formas de onda senoidais de mesma freqüência.


EXEMPLOS NUMÉRICOS

1. Converta as expressões a seguir do domínio do tempo para o domínio dos fasores.

a) )(502 tsen º050

b) 69,6 sen (ωt + 72º) → 0,707×69,672º → 49,2172º

c) 45 cos (ωt) → 0,707×4590º → 31,8290º

2. Escreva a expressão senoidal para os fasores a seguir se a frequência for 60 Hz.

a) I = 1030º )º30t377(sen14,14i)º30t602(sen102i

b) V = 115-70º )º70t377(sen6,162v)º70t602(sen1152v


EXEMPLOS NUMÉRICOS

3. Calcule a tensão de entrada no circuito visto na figura abaixo se:

Hz60f)º60t377(sen30v

)º30t377(sen50v

b

a

Solução:

Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões tem-se:

bain vve

Passando do domínio do tempo para o domínio

dos fasores, tem-se:

º60V21,21V)º60t377(sen30v

º30V35,35V)º30t377(sen50v

bb

aa

Passando da forma polar para a forma retangular

a fim de poder efetuar a adição:

V37,18jV61,10º60V21,21V

V68,17jV61,30º30V35,35V

b

a

Então:

V05,36jV22,41E

)V37,18jV61,10()V68,17jV61,30(VVE

in

bain

Passando da forma retangular para a polar, fica:

º17,41V76,54V05,36jV22,41Ein

Transformando do domínio dos fasores para o

domínio do tempo, obtém-se:

)º17,41377(43,77

)º17,41377(76,542º17,4176,54

tsene

tVsenVE

in

in

E represente as tensões graficamente.


EXEMPLOS NUMÉRICOS

3. Calcule a tensão de entrada no circuito visto na figura abaixo se

Hz60f)º60t377(sen30v

)º30t377(sen50v

b

a

)º17,41377(43,77 tsenein


BIBLIOGRAFIA

Santos Filho, A. L. – Apostila de Eletricidade. CEFET-SP –

UNED Cubatão. São Paulo/SP, 2006.

Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS

– 10ª Edição. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004.

CIRCUITOS DE

CORRENTE

ALTERNADA EM SÉRIE

185


Para o circuito puramente resistivo, v e i estão em fase

e suas amplitudes são dadas por:

186

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores


RIVR

VI mm

mm

Em forma fasorial:

º0VV)t(senVv m

Onde V = 0,707∙Vm.

Aplicando a lei de Ohm por meio da utilização da

álgebra de fasores, tem-se;

)º0(R

VI

R

º0VI R

R

Como i e v estão em fase, o ângulo associado a i deve

também ser 0º. Para satisfazer essa condição, θR tem

de ser igual a 0º. Substituindo θR = 0, encontra-se:

187



De maneira que, no domínio do tempo:

º0R

VI)º0º0(

R

V

º0R

º0VI

)t(senR

V2i

O fato de que θR = 0º é empregado na forma polar para

garantir uma relação de fase adequada entre a tensão e

a corrente no resistor;

188



A grandeza ZR, que tem um módulo e um ângulo

associado, é denominada impedância do elemento

resistivo.

º0RZR

Ela é medida em ohms e indica quanto o elemento

‘impede’ a passagem de corrente no circuito.

189



O formato usado será útil na análise de circuitos mais

complexos, onde as relações de fase não forem tão

evidentes.

º0RZR

É importante notar que ZR não é um fasor, embora a

notação R0º seja semelhante à notação fasorial.

O termo fasor é reservado para grandezas que

variam no tempo, sendo R e o seu ângulo associado

de 0º, grandezas fixas.

190


Reatância Indutiva

No caso do indutor puro, a tensão está adiantada de 90º

em relação à corrente e a reatância do indutor, XL, é

dada por ωL.

Aplicando uma tensão igual a v = Vm∙sem (ωt) (na

forma fasorial V0º), tem-se pela lei de Ohm:

)º0(X

VI

X

º0VI L

LLL

191


Reatância Indutiva

Como v está adiantada de 90º em relação à corrente i,

a corrente deve ter um ângulo de – 90º associado a ela.

Para satisfazer esta condição, θL tem de ser igual a

+ 90º. Substituindo esse valor na expressão acima,

obtém-se:

º90X

VI)º90º0(

X

V

º90X

º0VI

LLL


)º90t(senX

V2i

L

192


Reatância Indutiva

O fato de que θL = 90º será usado agora na seguinte

notação polar, para a reatância indutiva, para garantir a

relação de fase apropriada entre a tensão e a corrente

em um indutor:

A grandeza ZL, que tem um módulo e um ângulo

associado, é denominada impedância do indutor, é

medida em ohms e indica quanto o indutor ‘controla ou

impede’ a passagem de corrente no circuito.

É importante notar que ZL não é um fasor, embora a

notação XL90º seja semelhante à notação fasorial.

º90XZ LL

193

NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Reatância Indutiva

1- Determine a corrente i em um circuito com apenas uma reatância indutiva,

XL, de 3 Ω, sendo alimentada por uma tensão v = 24 sen(ωt).

EXEMPLOS NUMÉRICOS

Solução: º0V968,16Vfasorialforma)t(sen24v

º90A656,5Iº903

º0V968,16

º90X

V

Z

VI

LL

)º90t(sen0,8i)º90t(sen656,52i

formas de onda da corrente e tensão.

194


2-Determine a tensão v em um circuito com apenas uma reatância indutiva, XL,

de 4 Ω, sendo percorrida por uma corrente i = 5 sen(ωt + 30º).

EXEMPLOS NUMÉRICOS

Solução:

formas de onda da corrente e tensão.

º30535,3)º30(5 AIfasorialformatseni

º120V14,14V)º904()º30A535,3(º90X)I(ZIV LL

)º120t(sen20v)º120t(sen14,142v

195


3-Faça os diagramas de fasores para os circuitos dos dois exemplos

precedentes :

EXEMPLOS NUMÉRICOS

196


Reatância Capacitiva

No caso do capacitor puro, a corrente está adiantada de

90º em relação à tensão e que a reatância capacitiva,

XC, é dada por 1 / ωC.

Aplicando uma tensão igual a v = Vm∙sem (ωt) (na forma

fasorial V0º), tem-se pela lei de Ohm:

)º0(º0

C

CCC X

VI

X

VI

197



Como i está adiantada de 90º em relação à tensão v, a

corrente deve ter um ângulo de + 90º associado a ela.

Para satisfazer esta condição, θC tem de ser igual a

– 90º. Substituindo esse valor na expressão acima,

obtém-se:

º90X

VI))º90(º0(

X

V

º90X

º0VI

CCC


)º90t(senX

V2i

C

198



O fato de que θC = – 90º, será usado agora na seguinte

notação polar, para a reatância capacitiva, para garantir

a relação de fase apropriada entre a tensão e a corrente

em um capacitor: º90XZ CC

A grandeza ZC, que tem um módulo e um ângulo

associado, é denominada impedância do capacitor, é

medida em ohms e indica quanto o capacitor ‘impede’ a

passagem de corrente no circuito.

É importante notar que ZC não é um fasor, embora a

notação XC–90º seja semelhante à notação fasorial.

199


Diagrama de Impedâncias

Tendo associado ângulos de fase à resistência, à

reatância indutiva e à reatância capacitiva, cada uma

dessas três grandezas podem ser representadas no

plano complexo, como visto Figura 2.

-90º Figura 2 – Diagrama de impedâncias.

Em qualquer circuito, a resistência

sempre está na parte positiva do

eixo dos reais, a reatância indutiva,

na parte positiva do eixo dos

imaginários, e a capacitância, na

parte negativa desse eixo.

200



O resultado é um diagrama de impedâncias que pode

representar os valores individuais e o valor total da

impedância de qualquer circuito de corrente alternada.


Os circuitos podem ter diferentes

tipos de elementos que apresentam

uma impedância total cujo ângulo

está entre + 90º e – 90º. Se este

ângulo é igual a 0º diz-se que o

circuito é resistivo. Se o ângulo é

positivo, diz-se que o circuito é

indutivo. Se for negativo o circuito é

capacitivo.

201



Uma vez determinada a impedância total de um circuito, seu

módulo pode ser usado para determinar a intensidade da

corrente, enquanto o seu ângulo indicará se o circuito é

principalmente indutivo, capacitivo ou simplesmente resistivo.


Para qualquer configuração (série ou

paralelo), o ângulo associado à

impedância total é igual ao ângulo

de fase da tensão aplicada em

relação à corrente da fonte. Para

circuitos indutivos, θT é positivo,

enquanto para circuitos capacitivos

ele é negativo.

202


CONFIGURAÇÃO EM SÉRIE

As propriedades gerais dos circuitos CA em série são as mesmas

que as dos circuitos CC. A impedância total de um sistema em

série é a soma das impedâncias individuais.

Figura 3 – Impedâncias em série.

N321T ZZZZZ

203


CONFIGURAÇÃO EM SÉRIE

1- Construa o diagrama de impedâncias para o circuito abaixo e determine a

impedância total.

EXEMPLOS NUMÉRICOS

Solução:

Por meio da álgebra vetorial, tem-se:

º43,63944,8Z

8j4Z

jXRZ

º90Xº0RZZZ

T

T

LT

L21T

O diagrama de impedâncias é:

CIRCUITOS DE

CORRENTE

ALTERNADA EM

PARALELO

204


205

No caso dos circuitos de corrente contínua, a condutância (G) é

definida como sendo igual a 1/R. A condutância total de um

circuito em paralelo é então obtida somando-se as condutâncias

de cada ramo.

CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO

Em circuitos CA, define-se a admitância (Y) como sendo igual

a 1/Z. A unidade de admitância no sistema SI é o siemens, cujo

símbolo é S. A admitância é uma medida do quanto um circuito

CA admite a passagem da corrente. Portanto, quanto maior o seu

valor, maior será a corrente para a mesma tensão aplicada.

ADMITÂNCIA E SUSCEPTÂNCIA

206



A admitância total de um circuito também pode ser calculada

somando-se as admitâncias em paralelo. A impedância total ZT do

circuito será então, 1/YT admitância, ou seja, para o circuito da

Figura 1 tem-se:

N321T YYYYY Mas, como YT = 1/ZT:

Figura 1 – Circuito CA em paralelo.

N321T Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

207




21

21T

ZZ

ZZZ

313221

321T

ZZZZZZ

ZZZZ

Para duas impedâncias em paralelo:

Para três impedâncias em paralelo:

208




O inverso da reatância (1/X) é denominado susceptância,

cujo valor indica o quanto um componente é susceptível à


A susceptância também é medida em siemens e

representada pela letra B.

Para o indutor:

Definindo:

º90X

1

º90X

1

Z

1Y

LLLL

LL

X

1B (siemens, S), tem-se: º90BY LL

209




O inverso da reatância (1/X) é denominado susceptância,

cujo valor indica o quanto um componente é susceptível à


A susceptância também é medida em siemens e

representada pela letra B.

Para os capacitores:

Definindo:

C

CX

B1

(siemens, S), tem-se: º90 CC BY

º90X

1

º90X

1

Z

1Y

CCCC

210



Nos circuitos CA o diagrama de admitâncias é usado com as

três admitâncias representadas como mostra a Figura 2, onde a

condutância está no eixo real positivo, enquanto as

susceptâncias indutiva e capacitiva estão em sentidos opostos

no eixo imaginário.

Qualquer que seja a configuração

(série, paralelo, etc.), o ângulo de fase

associado à admitância total coincide

com o ângulo pelo qual a corrente está

adiantada da tensão aplicada.

Nos circuitos indutivos, θT é

negativo, enquanto nos circuitos

capacitivos, θT é positivo.

Figura 2 – Diagrama de admitâncias.

211

1- Para o circuito visto na figura ao lado:

a) Calcule as admitâncias dos dois termos.

b) Determine a admitância de entrada.

c) Calcule a impedância de entrada.

d) Construa ao diagrama de admitâncias

EXEMPLOS NUMÉRICOS

Solução:

a)

0jS05,0º0S05,0Y

º020

1

º0R

1º0GY

R

R

S1,0j0º90S1,0Y

º9010

1

º90X

1º90BY

L

LLL

b)

LT

LRT

jBGS1,0jS05,0Y

S1,0j00jS05,0YYY

c)

º43,6393,8Z

º43,63S112,0

1

S1,0jS05,0

1

Y

1Z

T

TT

d)



212

1- Para o circuito visto na figura ao lado:

a) Calcule as admitâncias dos dois termos.

b) Determine a admitância de entrada.

c) Calcule a impedância de entrada.

d) Construa ao diagrama de admitâncias

EXEMPLOS NUMÉRICOS

Solução:

a)

0jS05,0º0S05,0Y

º020

1

º0R

1º0GY

R

R

S1,0j0º90S1,0Y

º9010

1

º90X

1º90BY

L

LLL

b)

LT

LRT

jBGS1,0jS05,0Y

S1,0j00jS05,0YYY

c)

º43,6393,8Z

º43,63S112,0

1

S1,0jS05,0

1

Y

1Z

T

TT

d)

Quando for necessário se dividir o número 1 por um número complexo na forma

retangular pode-se usar a fórmula geral abaixo:

2222 ba

bj

ba

a

jba

1



213

No circuito CA em paralelo mostrado na Figura 3, a

impedância ou a admitância total é determinada como visto no

exemplo anterior, enquanto a corrente da fonte é calculada

usando-se a lei de Ohm, como segue:

TT

YEZ

EI



214





TT

YEZ

EI


Como a tensão é a mesma nos elementos em paralelo, a corrente

em cada ramo pode ser determinada usando-se novamente a lei

de Ohm:

11

1 YEZ

EI 2

22 YE

Z

EI e


215





TT

YEZ

EI


A lei de Kirchhoff para correntes pode então ser aplicada da

mesma maneira que nos circuitos de corrente contínua,

lembrando que agora se está lidando com grandezas que

possuem módulo e fase.

11

1 YEZ

EI 2

22 YE

Z

EI

2121 III0III


216





TT

YEZ

EI


A potência fornecida ao circuito é dada por:

11

1 YEZ

EI 2

22 YE

Z

EI

2121 III0III

TT cosIEP

Onde θT é a diferença de fase entre E e I.


217


CIRCUITO RL EM PARALELO

Um circuito R-L paralelo é dado na Figura 4.

Figura 4 – Circuito R-L em paralelo.

Sua notação fasorial é mostrada na Figura 5.

Figura 5 – Notação fasorial do circuito R-L da

Figura 4.

218



Figura 5 – Notação fasorial do circuito R-L

da Figura 4.

A admitância, YT e a

impedância, ZT, do circuito

podem ser determinadas

por:

º13,535,04,03,0º904,0º03,0

º905,2

1º0

33,3

1º90º0

SYSjSSSY

BGYYY

TT

LLRT

Sua notação fasorial do

circuito RL paralelo:

º13,532Zº13,53S5,0

1

Y

1Z T

TT

219




da Figura 4. º13,535,04,03,0º904,0º03,0

º905,2

1º0

33,3

1º90º0

SYSjSSSY

BGYYY

TT

LLRT



º13,532Zº13,53S5,0

1

Y

1Z T

TT

Sua notação fasorial é mostrada

na Figura 5.

Figura 6 – Diagrama de impedâncias do circuito R-L da Figura 4.

220




da Figura 4.

º13,535,04,03,0º904,0º03,0

º905,2

1º0

33,3

1º90º0

SYSjSSSY

BGYYY

TT

LLRT



º13,532Zº13,53S5,0

1

Y

1Z T

TT

A corrente I da fonte é calculada por: Figura 6 – Diagrama de impedâncias do circuito R-L da

Figura 4.

º0A10I)º13,53S5,0()º13,53V20(YEZ

EI T

T

221




da Figura 4.

º13,535,04,03,0º904,0º03,0

º905,2

1º0

33,3

1º90º0

SYSjSSSY

BGYYY

TT

LLRT



º13,532Zº13,53S5,0

1

Y

1Z T

TT

As correntes IR e IL ficam:

º0A10I)º13,53S5,0()º13,53V20(YEZ

EI T

T

º13,53A6I)º0S3,0()º13,53V20()º0G()º0E(º0R

º0EIR

º87,36A8I

)º90S4,0()º13,53V20()º90B()º0E(º90X

º0EI

L

LL

L

222




da Figura 4.

º13,535,04,03,0º904,0º03,0

º905,2

1º0

33,3

1º90º0

SYSjSSSY

BGYYY

TT

LLRT



º13,532Zº13,53S5,0

1

Y

1Z T

TT

A lei de Kirchhoff, I = IR + IL, também pode ser usada para se

determinar o valor das correntes.

º0A10I)º13,53S5,0()º13,53V20(YEZ

EI T

T

º13,53A6I)º0S3,0()º13,53V20()º0G()º0E(º0R

º0EIR

º87,36A8I

)º90S4,0()º13,53V20()º90B()º0E(º90X

º0EI

L

LL

L

223




da Figura 4.

O diagrama de fasores

mostrado na Figura 7 indica

que a tensão aplicada E está

em fase com a corrente IR e

adiantada 90º em relação à

corrente IL.

Figura 7 – Diagrama de fasores para o circuito R-L

da Figura 4.

A potência total em watts fornecida ao

circuito é:

W120P)º13,53cos()A10()V20(cosIEP TTT

O fator de potência deste circuito é:

atrasado6,0F)º13,53cos(cosF PTP

O fator de potência também pode ser determinado por:

atrasado6,0FS5,0

S3,0

Y

GcosF P

TTP

224



A corrente I também pode ser obtida pelo método da impedância,

ou seja:

Figura 7 – Diagrama de fasores para o circuito R-L

da Figura 4.

Portanto;

º13,532º87,36164,4

º90325,8

)º905,2()º033,3(

)º905,2()º033,3(

LR

LRT

ZZ

ZZZ

º0A10Iº13,532

º13,53V20

Z

EI

T

225


CIRCUITO RC EM PARALELO

Um circuito R-C paralelo é dado na Figura 8.

Figura 8 – Circuito R-C em paralelo.


Figura 9 – Notação fasorial do circuito R-C da

Figura 8.

226






podem ser determinadas por: Figura 9 – Notação fasorial do circuito R-C

T R C C

T T

1 1Y Y Y G 0º B 90º 0º 90º

1,67 1,25

Y 0,6S 0º 0,8S 90º 0,6S j0,8S Y 1,0S 53,13º

º13,531Zº13,53S0,1

1

Y

1Z T

TT

227







T R C C

T T

1 1Y Y Y G 0º B 90º 0º 90º

1,67 1,25

Y 0,6S 0º 0,8S 90º 0,6S j0,8S Y 1,0S 53,13º

º13,531Z

º13,53S0,1

1

Y

1Z T

TT

O diagrama de admitâncias é

apresentado na Figura 10:

Figura 10 – Diagrama de admitâncias do circuito R-C da Figura 8.

228







T R C C

T T

1 1Y Y Y G 0º B 90º 0º 90º

1,67 1,25

Y 0,6S 0º 0,8S 90º 0,6S j0,8S Y 1,0S 53,13º

º13,531Z

º13,53S0,1

1

Y

1Z T

TT

A tensão E fornecida pela fonte é calculada por:

º13,53V10º13,53S0,1

º0A10

Y

IZIE

TT

229







T R C C

T T

1 1Y Y Y G 0º B 90º 0º 90º

1,67 1,25

Y 0,6S 0º 0,8S 90º 0,6S j0,8S Y 1,0S 53,13º

º13,531Z

º13,53S0,1

1

Y

1Z T

TT

As correntes IR e IC ficam: º13,53V10

º13,53S0,1

º0A10

Y

IZIE

TT

º13,53A6I)º0S6,0()º13,53V10()º0G()º0E(IR

º87,36A8I

)º90S8,0()º13,53V10()º90B()º0E(I

C

CC

A lei de Kirchhoff, I = IR + IC, também pode ser usada para se determinar o valor das correntes.

230




O diagrama de fasores

mostrado na Figura 11 indica

que a tensão E está em fase

com a corrente IR e atrasada

90º em relação à corrente no

capacitor IC.

Figura 9 – Notação fasorial do circuito R-C

No domínio do tempo as

equações de tensão e

corrente ficam:

Figura 11 – Diagrama de fasores para o circuito R-C da

Figura 8.

)º87,36t(sen31,11)º87,36t(sen)8(2i

)º13,53t(sen48,8)º13,53t(sen)6(2i

)º13,53t(sen14,14)º13,53t(sen)10(2e

C

R

231



Um gráfico com todas as curvas das correntes e da tensão é

apresentado na Figura 12, onde se nota que e e iR estão em

fase e que e está atrasada 90º em relação à iC.

Figura 12 – Formas de onda para o circuito R-C da

Figura 8

232







Figura 8

A tensão E fornecida pela fonte é calculada por:



adiantado6,0F)º13,53cos(cosF PTP


adiantado6,0FS0,1

S6,0

Y

GcosF P

TTP

233







Figura 8


A tensão E também pode ser obtida pelo método da impedância, ou seja:

adiantado6,0F)º13,53cos(cosF PTP

adiantado6,0FS0,1

S6,0

Y

GcosF P

TTP

º13,531º87,3609,2

º9009,2

)º9025,1()º067,1(

)º9025,1()º067,1(

ZZ

ZZZ

CR

CRT

Portanto:

º13,53V10E)º13,531()º0A10(ZIE T

234


CIRCUITO RLC EM PARALELO

Um circuito R-L-C paralelo é dado na Figura 13.

Figura 13 – Circuito R-L-C em paralelo.


Figura 14 – Notação fasorial do circuito R-L-C da

Figura 13.

235



A admitância, YT e a impedância, ZT, do circuito podem ser

determinadas por:

Figura 14 – Notação fasorial do circuito R-L-C.

º13,53S5,0YS4,0jS3,0YS3,0jS7,0jS3,0Y

º90S3,0º90S7,0º0S3,0Y

º9033,3

1º90

43,1

1º0

33,3

1Y

º90Bº90Bº0GYYYY

TTT

T

T

CLCLRT

º13,532Z

º13,53S5,0

1

Y

1Z

T

TT

236



O diagrama de admitâncias é apresentado na Figura 15. Figura 14 – Notação fasorial do circuito R-L-C.

º13,53S5,0YS4,0jS3,0YS3,0jS7,0jS3,0Y

º90S3,0º90S7,0º0S3,0Y

º9033,3

1º90

43,1

1º0

33,3

1Y

º90Bº90Bº0GYYYY

TTT

T

T

CLCLRT

º13,532Z

º13,53S5,0

1

Y

1Z

T

TT

Figura 15 – Diagrama de impedâncias do circuito R-L-C da Figura 13.

A corrente I fornecida pela fonte é calculada

por:

º0A50I

)º13,53S5,0()º13,53V100(I

YEZ

EI T

T

237



Figura 14 – Notação fasorial do circuito R-L-C.

º13,53S5,0YS4,0jS3,0YS3,0jS7,0jS3,0Y

º90S3,0º90S7,0º0S3,0Y

º9033,3

1º90

43,1

1º0

33,3

1Y

º90Bº90Bº0GYYYY

TTT

T

T

CLCLRT

º13,532Z

º13,53S5,0

1

Y

1Z

T

TT

As correntes IR, IL e IC ficam:

º0A50I

)º13,53S5,0()º13,53V100(I

YEZ

EI T

T

º13,53A30I)º0S3,0()º13,53V100()º0G()º0E(IR

º87,36A70I

)º90S7,0()º13,53V100()º90B()º0E(I

L

LL

º13,143A30I

)º90S3,0()º13,53V100()º90B()º0E(I

C

CC

238



A lei de Kirchhoff, I = IR + IL + IC, também pode

ser usada para se determinar o valor das

correntes.

º13,53A30I)º0S3,0()º13,53V100()º0G()º0E(IR º87,36A70I

)º90S7,0()º13,53V100()º90B()º0E(I

L

LL

º13,143A30I

)º90S3,0()º13,53V100()º90B()º0E(I

C

CC

O diagrama de fasores mostrado na Figura 16

indica que a tensão E está em fase com a

corrente IR e atrasada 90º em relação à

corrente no capacitor IC.

Figura 16 – Diagrama de fasores para o circuito R-L-C da Figura 13.

No domínio do tempo as equações de

tensão e corrente ficam:

)º13,143(42,42)º13,143()30(2

)º87,36(98,98)º87,36()70(2

)º13,53(42,42)º13,53()30(2

)(70,70)()50(2

tsentseni

tsentseni

tsentseni

tsentseni

C

L

R

239


CIRCUITO RLC EM PARALELO Um gráfico com todas as curvas das correntes

e da tensão é apresentado na Figura 17, onde

se nota que e e iR estão em fase e que e está

atrasada 90º em relação à iC.

Figura 17 – Formas de onda para o circuito R-L-C da Figura 13.

240







241







242







A potência total em watts fornecida ao

circuito é:



atrasado6,0F)º13,53cos(cosF PTP

O fator de potência também pode ser determinado por:

atrasado6,0FS5,0

S3,0

Y

GcosF P

TTP

A corrente I também pode ser obtida pelo método da impedância, ou seja:

º13,532ZZZZZZ

ZZZZ

CRLLLR

CLRT

º0A50Iº13,532

º13,53V100

Z

EI

T

Portanto:


REGRA DOS DIVISORES DE CORRENTE

Para dois ramos em paralelo de impedâncias Z1 e Z2, como mostra a Figura 18:

21

T21

ZZ

IZI

21

T12

ZZ

IZI

ou

Figura 18 – Aplicação da regra dos divisores de corrente.


1 - Para o circuito da figura abaixo:

a) Determine YT.

b) Construa o diagrama de admitâncias.

EXEMPLOS NUMÉRICOS

Solução:

c) Calcule E e IL.

d) Calcule o fator de potência e a potência fornecida ao circuito.

a) Combinando os componentes em comum e

calculando a reatância do indutor e do capacitor

equivalente, tem-se:

84010TR

mHmHmHLT 4126

FFFCT 1002080

4104/1000 3 HsradLX L

1010100/1000

116 FsradC

XC

A admitância total é:

º90º90º0 CLCLRT BBGYYYY

º9010

1º90

4

1º0

8

1TY

º901,0º9025,0º012,0 SSSYT

SjSYSjSjSY TT 15,0125,01,025,0125,0

º194,50195,0 SYT



a) Determine YT.


EXEMPLOS NUMÉRICOS

Solução:

c) Calcule E e IL.


b) O diagrama de admitâncias é:

84010TR

mHmHmHLT 4126

FFFCT 1002080

4104/1000 3 HsradLX L

1010100/1000

116 FsradC

XC

A admitância total é:

º90º90º0 CLCLRT BBGYYYY

º9010

1º90

4

1º0

8

1TY

º901,0º9025,0º012,0 SSSYT

SjSYSjSjSY TT 15,0125,01,025,0125,0

º194,50195,0 SYT



a) Determine YT.


EXEMPLOS NUMÉRICOS

Solução:

c) Calcule E e IL.


c) E e IL são dados por:

º194,50195,0

º012

S

A

Y

IE

T

º19,5054,61 VE

º904

º19,5054,61 V

Z

VI

L

LL º81,3939,15 AIL

d) O fator de potência deste circuito é:

)IarelaçãoemadiantadoE(atrasado641,0FS195,0

S125,0

Y

GcosF P

TTP

WPAVIEP TTT 75,472)º19,50cos()12()538,61(cos

BIBLIOGRAFIA

Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004.

Instrumentos de medidas

Bipolo gerador ponte de operações

Ponte de Wehatstone

247


248

Aplicando a análise de malhas ou a análise

nodal no circuito em ponte da Figura 14 e

considerando que a corrente na impedância

Z5 vale zero, demonstra-se que:


CIRCUITOS EM PONTE

Figura 14 – Definição das correntes de malha e de blocos

de impedância no circuito em ponte.

3241 ZZZZ

Aplicando a análise de malhas ou a

análise nodal no circuito em ponte da Figura

14 e considerando que a corrente na

impedância Z5 vale zero, demonstra-se que:

Investigando este critério de equilíbrio,

considerando o circuito mostrado na Figura

15 onde I = V = 0, tem-se:

Como I = 0: e 31 II 42 II

Figura 15 – Investigação do critério de equilíbrio para um

circuito CA em ponte.

Além disso, para V = 0:

44332211 ZIZIeZIZI

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