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ALGUMAS REVELAÇÕES SOBRE O CAMPO MULTIPLICATIVO NAS TRÊS COLEÇÕES DE LIVROS DIDÁTICOS DE 1º AO 5º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL MAIS VENDIDAS NO PAÍS EM 2013 CLAUDIA ALVES DE CASTRO

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ALGUMAS REVELAÇÕES SOBRE O CAMPO MULTIPLICATIVO NAS TRÊS COLEÇÕES DE LIVROS DIDÁTICOS DE 1º AO 5º ANO DO

ENSINO FUNDAMENTAL MAIS VENDIDAS NO PAÍS EM 2013

CLAUDIA ALVES DE CASTRO

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ALGUMAS REVELAÇÕES SOBRE

O CAMPO MULTIPLICATIVO

NAS TRÊS COLEÇÕES DE

LIVROS DIDÁTICOS DE 1º AO 5º ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL MAIS

VENDIDAS NO PAÍS EM 2013

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Claudia Alves de Castro

Professora Dra. Edda Curi

ALGUMAS REVELAÇÕES SOBRE

O CAMPO MULTIPLICATIVO

NAS TRÊS COLEÇÕES DE

LIVROS DIDÁTICOS DE 1º AO

5º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL MAIS

VENDIDAS NO PAÍS EM 2013

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Universidade Cruzeiro Do Sul

2016

© 2016

Universidade Cruzeiro do Sul

Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul –Profa Dra Sueli Cristina Marquesi

PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA

Pró-Reitor –Profa Dra Tania Cristina Pithon-Curi

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

Coordenação - Profa Dra Norma Suely Gomes Allevato

Banca examinadora

Profa. Dra. Edda Curi Profa. Dra. Cíntia Aparecida Bento dos Santos

Profa. Dr. Ruy Cesar Pietropaolo

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

C35a

Castro, Claudia Alves de.

Algumas revelações sobre o campo multiplicativo nas três

coleções de livros didáticos de 1° ao 5° ano do ensino fundamental mais vendidas no país em 2013 / Claudia Alves de Castro. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2016.

30 p. : il. Produto educacional (Mestrado em Ensino de Ciências e

Matemática). 1. Livro didático (Análise) - Matemática 2. Matemática – Ensino

fundamental 3. Programa Nacional de livros didáticos (PNLD). I. Título II. Série.

CDU: 51(075)

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Sumário

1 APRESENTAÇÃO ..................................................................................................................5

3 O PRODUTO: ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA DOS ANOS

INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL ..............................................................................10

3.1 COLEÇÃO ÀPIS ...............................................................................................................10

3.2 COLEÇÃO PORTA ABERTA ..........................................................................................16

3.3 COLEÇÃO PROJETO BURITI/ 2011 .............................................................................21

4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ...................................................................................27

REFERÊNCIAS .......................................................................................................................30

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5

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

1 APRESENTAÇÃO

O presente Produto Educacional é um relato de pesquisa, fruto do trabalho

da dissertação de Mestrado intitulada Problemas do Campo Multiplicativo

Apresentados nas Três Coleções de Livros Didáticos mais Vendidas em 2013:

um trabalho realizado com o objetivo de analisar as três coleções de Livros

Didáticos de Matemática do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental, mais

vendidasem 2013 noBrasil de acordo com o Programa Nacional de Livros

Didáticos (PNLD, 2013), na avaliada e indicada para o período de 2013-2015,

verificando como são apresentados os problemas de Multiplicação e Divisão em

cada ano da escolaridade.

Assim, diante das análises realizadas nas coleções, minha experiência

como pesquisadora e professora de Matemática da Educação Básica e Ensino

Superior, espero conseguir socializar com os professores que lecionam

Matemática, o que a pesquisa mostrou em relação aos problemas do Campo

Multiplicativo nos Livros Didáticos.

Comecei a lecionar muito jovem em 1993, iniciando a carreira na rede

pública do Estado de São Paulo, em minhas aulas sempre procurei aplicar

estratégias diferenciadas, de forma que pudesse contribuir com a aprendizagem

das crianças, quanto à alfabetização e à alfabetização matemática.

Com ênfase em minhas experiências, resolvi cursar uma graduação em

Pedagogia, com o propósito de buscar fundamentação teórica que poderia

contribuir para responder às minhas inquietações.

Apesar da contribuição que o Curso de Pedagogia me proporcionou, senti

que ainda faltava sustentação que pudesse completar e responder às minhas

indagações relacionadas à área das exatas. Assim, em 2004 iniciei o Curso de

Graduação em Matemática, concluindo-o em 2006. No ano seguinte tive a

oportunidade de atuar como Coordenadora Pedagógica na Rede Estadual de

Ensino e posteriormente, como diretora em uma escola particular de Ensino

Fundamental e Médio.

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

Desta forma, os conhecimentos pedagógicos e administrativos

contribuíram para a descoberta do que realmente era de meu interesse no

âmbito da Educação, a preocupação com a “formação de professores”.

Considerando todas essas experiências, decidi ingressar no Curso de

Mestrado em Ensino de Matemática. Depois de muito pesquisar me identifiquei

com o Programa da Universidade Cruzeiro do Sul (UNICSUL), Mestrado

Profissional em “Ensino de Ciências e Matemática”, e estou convicta que fiz a

escolha certa, pois confio plenamente na formação que tive e nas oportunidades

que este curso tem me proporcionado.

Nesse ínterim, tive a sorte de, em uma das primeiras conversas com a

Profa. Dra. Edda Curi, minha orientadora, definir e delimitar o universo do objeto

de minha pesquisa. Além disso, minha participação no grupo de pesquisa

Conhecimentos, Crenças e Práticas de Professores que ensinam Matemática

(CCPPM), liderado pela pesquisadora Dra. Edda Curi, docente e coordenadora

do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências, me fez notar a

existência de um conjunto de pesquisas sobre o ensino de Matemática nos anos

iniciais do Ensino Fundamental.

Nosso propósito foi fazer uma análise qualitativa, categorizando os

problemas do Campo Multiplicativo selecionados nos Livros Didáticos, a partir

dos nossos estudos teóricos.

Para selecionar os problemas, primeiro nos apropriamos dos estudos

teóricos, posteriormente consultamos o site do Fundo Nacional de

Desenvolvimento da Educação (FNDE), em que encontramos os documentos do

PNLD que apresenta as três coleções mais vendidas no país.

Os livros foram manuseados com a finalidade de identificar problemas

com números naturais que podem ser resolvidos por meio de uma operação de

multiplicação, uma operação de divisão, ou a combinação de ambas as

operações.

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

Foi analisado livro por livro de acordo com a coleção que pertenciam

(coleção por coleção). A partir dos estudos teóricos foram feitas marcas coloridas

para identificar os grupos de significados de acordo com as teorias e documentos

estudados.

Em função das marcas foram construídas as tabelas com a quantidade de

problemas de cada grupo por ano de escolaridade em cada coleção, uma vez

que esses dados foram analisados com base em nossos estudos.

Terminamos a investigação analisando o material destinado ao professor

de cada coleção com a finalidade de verificar se havia alguma indicação de

pesquisas recentes nas orientações sobre a resolução de problemas de

multiplicação e divisão.

Foi utilizado como método, a pesquisa documental, que proporcionou

investigar fontes originais (Livros Didáticos), seguindo técnicas a partir dos

estudos teóricos realizados.

Sendo assim, consideramos que a pesquisa documental permitiu nossa

investigação, dando subsídios para concluir as análises com detalhes

minuciosos.

.

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2 PARTE TEÓRICA: CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS

MULTIPLICATIVAS

Foi realizado um estudo da Teoria dos Campos Conceituais e das

Estruturas Multiplicativas, com o propósito de apresentar esclarecimentos sobre

as categorizações feitas por Vergnaud (2009) referentes aos problemas do

Campo Multiplicativo.

De acordo com o aprofundamento teórico sobre a Teoria dos Campos

Conceituais, evidenciou-se que esta teoria possibilita realizar análises

importantes quanto à relação que os alunos estabelecem entre os conceitos e a

organização dos procedimentos matemáticos, porém, é preciso considerar uma

variedade de situações que favoreçam a ruptura entre os conhecimentos prévios

e os novos (VERGNAUD, 2012).

Osestudos realizados sobre o Campo Multiplicativo apontam para

algumas preocupações em relação às operações de multiplicação e divisão,

principalmente ao que tange a abordagem dessas operações e o tratamento que

é dado à compreensão dos procedimentos matemáticos, considerando que o

aluno em cada procedimento estabelece conexões entre várias situações, as

quais não podem ser relacionadas a um único conceito e um conceito não se

resume a uma única situação. Por meio dessas conexões evidenciou-se que o

aluno pode reestruturar sua organização de pensamento, dando oportunidade a

novas formas de raciocínio, que contribuirão para a evolução do pensamento

dentro de um Campo Conceitual.

Foi possível reconhecer que as duas grandes categorias Isomorfismo de

Medidas e Produto de Medidas, segundo Vergnaud (2009), possibilitam

classificar os problemas de multiplicação e divisão. Tais categorias possibilitam

desenvolver um trabalho com os conceitos das operações de multiplicação e de

divisão, desde os anos iniciais do E. F., uma vez que devem ser estudadas ao

mesmo tempo e não dissociadamente.

A pesquisa teórica possibilitou perceber que os problemas mais simples

do Campo Multiplicativo implicam em uma proporção simples de duas variáveis,

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uma em relação à outra, porém, ressaltou-se que deva ser considerado o valor

numérico aplicado nos problemas e o domínio da experiência, uma vez que cada

problema apresenta um nível de dificuldade diferente do outro.

Evidenciaram-se, também, questionamentos que permeiam a categoria

Produto de Medidas, por ser tratar de uma categoria mais difícil de ser

compreendida pelas crianças, segundo Vergnaud (2009). Esta categoria deve

ser ensinada nos anos finais do E. F.

Vimos o quanto importante são os contextos aplicados nos problemas

estudados pelas crianças, pois se tornam um facilitador na compreensão e

elaboração dos procedimentos matemáticos que deve ser aplicados na

resolução de problemas, bem como estabelecer novas estratégias.

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3 O PRODUTO: ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA DOS

ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL

Neste capítulo apresentamos a análise das três coleções de Livros

Didáticos do E. F. dos anos iniciais, que segundo o PNLD de 2013, foram as

mais vendidas no país. As análises estão embasadas nos estudos de Gérard

Vergnaud (2009) e nos documentos curriculares que tomam por base os estudos

de Vergnaud.

As coleções analisadas foram:

Coleção Ápis, Luís Roberto Dante (2011);

Coleção Porta Aberta, Marília Centurión (2011);

Coleção Projeto Buriti, Mara Regina Garcia Gay (2011).

3.1 COLEÇÃO ÀPIS

No manual do professor, Dante (2012) procurou minimizar o cálculo

mecânico e problemas rotineiros do Campo Multiplicativo, contextualizando-os,

a fim de enfatizar a formulação e resolução de problemas, sem que os alunos os

desenvolvam por meio da memorização e mecanização, assim como,

preconizam os PCN.

Segundo o documento Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,

1997), os alunos devem desenvolver hipóteses para as resoluções das

situações-problema, para que assim, o conhecimento matemático aconteça de

forma natural e significativa.

As orientações descritas na coleção também ressaltam o fato da

matemática ser marcante e estar presente no dia a dia da criança. Tal dialógica

nos faz perceber que o autor desta coleção procurou desenvolver um trabalho

matemático com situações-problema que pudessem estar ligadasàs situações

da vivência do aluno, para que assim, os mesmos consigam construir

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significados das operações e delas se apropriarem. Logo, os resultados serão

satisfatórios no processo de ensino-aprendizagem.

Embora se perceba que há uma preocupação do autor da coleção, quanto

ao processo de ensino-aprendizagem da Matemática, no decorrer da análise não

foi detectado em nenhum momento das orientações aos professores, pesquisas

recentes sobre as estruturas multiplicativas discutidas nos documentos

curriculares como, por exemplo, as pesquisas de Vergnaud (2009) sobre o

campo multiplicativo, assim como, também, não dá pistas de abordagem dos

problemas que envolvam as operações de multiplicação e divisão.

Analisando o material de uso dos alunos foram encontrados os seguintes

tipos de problemas, apresentados na tabela 1 por ano de escolaridade e

quantidade de problemas.

Para a construção da tabela nos apoiamos nas categorias propostas pelos

PCN, para facilitar sua identificação por parte dos professores.

.

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TABELA 1

ANÁLISE DA COLEÇÃO ÁPIS QUANTIDADE DE PROBLEMAS

CATEGORIA GRUPO ANOS

1º 2º 3º 4º 5º

PROPORCIONALIDADE UM A MUITOS

- 22 75 72 67

MUITOS A MUITOS

-

-

1

4

7

DOBRO

- 3 1 1 -

TRIPLO

- 2 1 - 2

METADE

- 6 - - 1

ISOMORFISMO DE MEDIDAS

DUAS VEZES MAIS

- - - - -

MULTIPLICAÇÃO COMPARATIVA

TRÊS VEZES MAIS

- - - - -

TERÇA PARTE

- 1 3 1 -

QUARTA PARTE

- 1 - 1 -

QUINTA PARTE

- 1 1 - -

OUTRAS PARTES

- - - - -

CONFIGURAÇÃO

RETANGULAR

DISCRETAS

-

6

7

14

8

PRODUTO DE

MEDIDAS

CONTÍNUAS

-

-

-

3

4

COMBINATÓRIA

PRODUTO CARTESIANO

-

3

7

3

4

TOTAL - 45 96 99 93 Fonte: Elaboração da pesquisadora

Como é possível observar na tabela 1, o Livro Didático do 1º ano não

contempla problemas do Campo Multiplicativo. Segundo o autor da coleção, o

livro neste nível deve enfatizar apenas a ideia de correspondência um a um ou

correspondência biunívoca, por acreditar que seja neste nível, que a ideia de

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correspondência de um a um seja um instrumento eficaz para o saber de

agrupamentos de elementos e a construção das ideias de números.

Observou-se que o autor propõe um número grande de problemas para o

2º ano com o significado de proporcionalidade no que diz respeito à

correspondência de “um a muitos”, referentes à categoria Isomorfismo de

Medidas. No entanto, ao que tange a correspondência “muitos a muitos”, neste

nível, o autor não aborda nenhum problema. De acordo com nossa

fundamentação teórica, foi considerado que nessa faixa etária, não há

necessidade de abarcar esse tipo de problema.

Analisando esta mesma ideia para o 3º ano constatou-se um número

grande de problemas sobre a correspondência “um a muitos” e apenas um

problema de correspondência “muitos a muitos”, algo desproporcional

considerando que esses tipos de problema envolvem o mesmo significado

(proporcionalidade).

A investigação possibilitou perceber que do 2º ano para o 3º ano há um

aumento considerável na quantidade de problemas de correspondência de “um

a muitos”, quando deveria haver melhor distribuição de quantidade de problemas

na relação “muitos a muitos” e com os outros significados do Campo

Multiplicativo.

Analisando os problemas apresentados para o 3º ano para o 4º ano e para

o 5º ano observou-se que há um equilíbrio na quantidade de problemas no que

diz respeito aos problemas de correspondência de “muitos a muitos” com

aumento gradativo de um ano para o outro. No entanto, consideramos esse

aumento pequeno, uma vez que os alunos estão passando por um momento de

desenvolvimento de suas capacidades cognitivas, assim como, afirma Vergnaud

em suas pesquisas, ressaltando que as crianças sofrem avanços significativos a

cada nova situação.

Na categoria Isomorfismo de Medidas, no que se remete à ideia da

Multiplicação Comparativa, o autor aborda em sua coleção, problemas

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envolvendo dobro e triplo no Campo Multiplicativo do 2º ano ao 5º ano, na

mesma proporção, mas os problemas envolvendo metade, a abordagem

somente ocorre no 2º ano e no 5º ano. Mesmo abordando a ideia de metade no

5º ano, é algo questionável, pois apresenta apenas um problema envolvendo

essa ideia, e não aborda esse tema nos livros de 3º e 4º ano o autor deixa uma

lacuna referente a este significado (metade).

Percebe-se que a coleção focaliza quase que somente o significado de

proporcionalidade na relação “um a muitos” a partir do 3º ano, como é possível

perceber setenta e cinco em um total de noventa e seis no 3º ano; setenta e dois

em um total de 99 no 4º ano e sessenta e sete em um total de noventa e três no

5º ano.

Outro ponto relevante analisado nesta coleção é o fato de não

encontrarmos o significado de multiplicação comparativa com o uso das

expressões “duas vezes mais” e “três vezes mais”. Pesquisas realizadas pelo

grupo CCPPM mostram que as crianças de 2º ano apresentam mais dificuldades

ao resolver problemas envolvendo essas expressões do que os que envolvem

as ideias de dobro e triplo (CURI, 2015).

De acordo com as análises realizadas sobre o significado da multiplicação

comparativa, percebe-se que há uma incoerência quanto a está abordagem, pois

a coleção aborda problemas envolvendo a terça parte nos 2º, 3º e 4º anos; a

quarta parte é abordada somente no 2º ano e 4º ano; a quinta parte é abordada

no 2º ano e 3º ano.

Desta forma, torna-se discutível a organização dos problemas do campo

multiplicativo propostos na coleção, pois é perceptível que há uma falha no

encadeamento dos problemas ano a ano, uma vez que não existem problemas

referentes a esta ideia de partes para o 5º ano envolvendo o conjunto dos

números naturais.

Vale ressaltar que a coleção apresenta problemas envolvendo partes para

o 5º ano. No entanto, são problemas que utilizam números que pertencem ao

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conjunto dos Racionais. A coleção não segue o que se preconizam os

documentos que regem o currículo prescrito de nosso país, e não demonstra

uma preocupação com as habilidades descritas nas orientações curriculares.

Segundo Vergnaud (2009), os conhecimentos que a criança adquire

devem ser construídos por ela, em relação direta com as operações das

estruturas multiplicativas. No entanto, a coleção em análise deixa lacunas ao

longo da escolaridade dos anos iniciais, quanto ao conteúdo das operações do

campo multiplicativo como é evidenciado na tabela 1, p. 12.

Este hiato de conteúdos entre os anos de escolaridade pode acarretar

problemas quanto ao conjunto de noções, de relações e sistemas relacionais

que se apoiam uns sobre os outros (VERGNAUD, p. 16, 2009).

Na categoria Produto de Medidas foi possível observar que há um

equilíbrio em relação à ideia da Configuração Retangular,do 2º ano ao 5º ano,

mesmo sendo apresentado um número muito pequeno de problemas por ano de

escolaridade.

Embora o autor não deixe de abordar em sua coleção, em nenhum dos

anos de escolaridade dos anos iniciais, a ideia de Configuração Retangular, dá

maior ênfase aos problemas que envolvam grandeza discreta do 2º ano ao 5º

ano, enquanto a grandeza contínua é abordada apenas no 4º e 5º ano

envolvendo a noção de área.

Quanto ao significado de Combinatória, no que diz respeito ao Produto

Cartesiano, observa-se que esta ideia está presente do 2º ao 5º ano. No entanto,

o autor da coleção dá maior ênfase ao produto cartesiano no 4º ano da

escolaridade, embora não seja um número de problemas tão representativo

como mostra a tabela 1 apresentada na p. 12.

Diante das análises realizadas, podemos concluir que o autor, em todos

os anos de escolaridade procura enfatizar problemas do Campo Multiplicativo

que envolva a categoria Isomorfismo de Medidas com a correspondência “um a

muitos” em relação à correspondência “muitos a muitos”, sempre envolvendo

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grandezas discretas, dando menor ênfase aos problemas de Produto de

Medidas.

Cabe destacar que o conceito de multiplicação começa a ser construído

na abordagem de problemas de Produto de Medidas, pois, na classe de

Isomorfismo de Medidas é possível resolvê-los por adição de parcelas iguais.

3.2 COLEÇÃO PORTA ABERTA

Centurión (2011) estruturou a coleção Porta Aberta em duas partes, a

primeira denominada Coleção Porta Aberta Alfabetização Matemática, para

atender o 1º, 2º e 3º anos iniciais do E.F.. A autora procurou atender

recomendações dos PCN e do documento Ensino Fundamental de Nove Anos,

com o objetivo de incluir as crianças de seis anos de idade. Já a segunda parte

da coleção foi estruturada para atender o 4º e 5º anos iniciais do E. F. visando

atender as recomendações dos PCN e do documento Pró- Letramento da

Matemática – Programa de formação continuada de professores dos anos/séries

iniciais do Ensino Fundamental.

As orientações descritas no manual do professor em toda a coleção desde

o 1º ao 5º ano do E. F. sobre resolução de problemas enfatizam que cabe ao

professor selecionar situações que favoreçam a construção do conhecimento e

a compreensão de diferentes ideias envolvidas em cada operação.

Segundo Centurión (2011) para que a criança encontre sentido na

matemática, as mesmas devem ser estimuladas a confiarem em suas

capacidades de resolver os problemas, compreendendo que o erro é uma forma

de aprender novos conceitos.

Nas orientações aos professores, a autora da coleção articula de forma

clara e objetiva as orientações propostas pelos documentos: de ordem nacional,

municipal e estadual. Com o intuito de corroborar com o trabalho do professor,

mostrando a importância da resolução de problemas no contexto dos conteúdos

matemáticos.

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No decorrer das orientações sobre resolução de problemas a autora

propõe atividades coletivas e interativas relacionada ao cotidiano escolar, a fim

de incrementar o trabalho do professor.

De acordo com as orientações analisadas, foi detectado que a autora dá

exemplos de situações que devem ser consideradas como um pontapé inicial

para um ensino preocupado com a construção do conhecimento matemático.

Em toda a coleção é perceptível que há uma preocupação da autora em

mostrar que sua coleção está consolidada nos documentos que regem o sistema

educacional brasileiro. No entanto, não dá pistas se houve uso de pesquisas

recentes ao que tange cálculos e números envolvendo resolução de problemas

no campo multiplicativo.

De acordo com a análise realizada na coleção, foi detectado que há uma

contradição no que está apresentado no corpo dos livros quanto aos problemas

do campo multiplicativo e as orientações dadas pela autora, uma vez que foram

encontradas lacunas ao que tange as operações de multiplicação e divisão, que

deveriam estar sendo desenvolvidas nos problemas em todos os anos de

escolaridade.

Sendo assim, a análise realizada na Coleção Porta Aberta, proporcionou

os seguintes resultados apresentados na tabela 2. Usamos o mesmo

encaminhamento da coleção Ápis para a construção da tabela.

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TABELA 2

ANÁLISE DA COLEÇÃO PORTA ABERTA QUANTIDADE DE PROBLEMAS

CATEGORIA GRUPO ANOS

1º 2º 3º 4º 5º

PROPORCIONALIDADE UM A MUITOS

3 9 69 51 4

MUITOS A MUITOS

1

4

11

1

5

DOBRO

- 1 3 1 -

TRIPLO

- 2 2 2 -

METADE

3 - 6 10 -

ISOMORFISMO DE MEDIDAS

DUAS VEZES MAIS

- - - - -

MULTIPLICAÇÃO COMPARATIVA

TRÊS VEZES MAIS

- 2 - - 1

TERÇA PARTE

- - - 9 -

QUARTA PARTE

- - - 9 -

QUINTA PARTE

- - - 5 -

OUTRAS PARTES

- - - 5 -

CONFIGURAÇÃO

RETANGULAR

DISCRETAS

2

5

11

6

3

PRODUTO DE

MEDIDAS

CONTÍNUAS

-

-

-

6

-

COMBINATÓRIA

PRODUTO CARTESIANO

1

6

6

6

5

TOTAL 10 29 108 122 18 Fonte: Centurión (2008/2011). (Elaboração das pesquisadoras)

No 1º e 2º anos a autora da coleção trata a adição de parcelas iguais como

sendo uma ideia da multiplicação. Não há dúvida de que a adição de parcelas

iguais fundamenta a multiplicação, onde o primeiro fator representa a quantidade

de parcelas iguais, enquanto o segundo fator representa a parcela que se repete.

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No entanto, o raciocínio multiplicativo não se constrói com esse tipo de

procedimento.

A coleção aborda a correspondência de “um a muitos” e “muitos a muitos”

em todos os anos de escolaridade, mas podemos observar também que há uma

desigualdade na organização de um ano para outro, principalmente no que diz

respeito à correspondência de “muitos a muitos”.

Pode-se considerar que para o 1º e 2º anos é considerável a proporção

de problemas abordados pela autora quanto às correspondências de “um a

muitos” e “muitos a muitos”, pois é a fase em que as crianças estão passando

pela alfabetização, momento em que estão ampliando seu repertório numérico

para a realização das operações matemáticas.

Nos livros de 3º ao 5º ano, foi detectado uma grande quantidade de

problemas envolvendo a relação “um a muitos”. Vale ressaltar como mostra a

tabela 2, p. 17, que no 3º e 4º anos o volume de problemas com esta

correspondência é maior do que no 5º ano.

Mesmo não sendo citado na coleção, durante as análises foi detectado

que a partir do 3º ano a autora trabalha com a variação da posição da incógnita,

com o propósito de definir qual a operação a ser desenvolvida, corroborando

assim com os estudos de Vergnaud (2009).

Somente a partir do volume, direcionado para o 3º ano, a autora traz a

ideia da divisão, trabalhando com problemas onde o aluno em sua resolução irá

desenvolvê-la por meio da divisão como partilha.

Ficou evidente que no 4º ano a correspondência de muitos a muitos tem

maior ênfase, pois se trata de problemas que apresentam um nível de dificuldade

um pouco maior. Segundo os estudos de Vergnaud (2009) esses tipos de

problemas que envolvam noção de relação, a de relação-operador e a de

proporcionalidade, sejam com números naturais ou racionais são apropriados

para os dois últimos anos dos anos iniciais do E. F..

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De acordo com o destacado a partir da análise realizada, no 5º ano

constatou-se que a autora retoma o Campo Multiplicativo dando maior ênfase

aos problemas, com o objetivo de explorar a todos os cálculos, de modo que

favoreça a compreensão à percepção significativa das relações entre as

operações pelos alunos.

Na categoria Isomorfismo de Medidas, no que se remete a ideia da

Multiplicação Comparativa, a autora em sua coleção começa a abordar

problemas envolvendo dobro e triplo do 2º ao 4º ano em uma mesma quantidade.

Percebe-se que há uma preocupação em abordar estes problemas, uma vez que

são colocados antes dos problemas que envolvem a metade, como preconizam

as pesquisas sobre o campo multiplicativo.

Ao analisar os problemas envolvendo a ideia de metade, foi percebido que

esta ideia aparece no 1º ano com o propósito de partição (partes iguais), mas

some no 2º ano e torna a aparecer no 3º e 4º ano.

Foi detectado que a coleção não traz em nenhum ano de escolaridade a

ideia da multiplicação envolvendo a expressão “duas vezes mais”, mas, traz

alguns problemas no 2º e 5º ano envolvendo a expressão “três vezes mais”.

Segundo Vergnaud (2009), a forma verbal “duas vezes mais” e “três vezes

mais” aplicada aos problemas é um caso especial de isomorfismo de medidas,

uma vez que essas expressões marcam a diferença entre a noção de medida e

de escalar nas operações do campo multiplicativo ao que tange os problemas de

isomorfismo de medidas, pois todos envolvem a noção de proporcionalidade.

Com base nos estudos de Vergnaud (2009), se concluí que um trabalho

desenvolvido ao longo dos anos iniciais do E. F., onde os Livros Didáticos trazem

lacunas quanto aos conceitos multiplicativos, assim como, não desenvolve um

trabalho de acordo com o currículo prescrito, entende-se que será difícil para a

criança estabelecer uma relação direta com as estruturas multiplicativas, uma

vez que os conhecimentos adquiridos devem ser construídos por ela.

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Na categoria Produto de Medidas, a autora da coleção aborda a ideia de

configuração retangular envolvendo grandezas discretas do 1º ano ao 5º ano,

sendo assim, com base no aporte teórico pode-se afirmar que as crianças

poderão construir o conhecimento adquirido gradativamente.

Contudo, no que diz respeito à ideia de configuração retangular

envolvendo grandezas contínuas, a coleção deixa a desejar, pois, não traz

problemas envolvendo esta ideia ao longo dos anos de escolaridade, aparece

um número pequeno de problemas apenas no 4º ano de escolaridade, como se

fosse um conteúdo isolado.

Embora, os problemas envolvendo grandezas discretas e grandezas

contínuas façam parte da mesma configuração, observa-se que esta ideia

multiplicativa está sendo apresentada na coleção, como se fossem distintas.

Assim como, na configuração retangular envolvendo grandezas discretas,

o produto cartesiano é abordado do 1º ao 5º ano. Embora traga um número

pequeno de problemas em cada ano de escolaridade como mostra a tabela 2

apresentada na p. 18, é importante salientar que é percebido neste momento a

preocupação com a aprendizagem das crianças.

Porém, é fato que para que ocorra sucesso na aprendizagem, é preciso

que o aprendizado seja gradativo e construído ao longo da escolaridade da

criança, fato que não se percebe quanto ao Campo Multiplicativo, ao que diz

respeito à resolução de problemas, envolvendo as operações de multiplicação e

divisão.

3.3 COLEÇÃO PROJETO BURITI/ 2011

A coleção Buriti apresenta atividades que envolvem experimentações,

problematização e sistematização de conceitos matemáticos, demonstra uma

preocupação em apresentar livros que tragam situações que venham ao

encontro das necessidades atuais do aluno e do professor, de modo a

contribuírem para a aprendizagem nos dias de hoje.

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Os autores responsáveis pela elaboração da coleção elaboraram duas

grandes questões, com o intuito de que as respostas fossem norteadoras para a

elaboração da coleção, dando ao professor a possibilidade de interpretar

diferentes respostas e de considerar possíveis desdobramentos para as

atividades aplicadas.

Nas orientações gerais os autores destacam a importância da interação

no processo ensino-aprendizagem, ressaltando que o livro didático deva ser

visto como um aliado ao trabalho do professor, exercendo as funções de

organização de conhecimento matemático e organização didática baseada em

determinadas concepções de aprendizagens.

A coleção foi baseada em estudos teóricos e metodológicos, assim como,

também elegeram algumas temáticas para discussão que estão em sintonia com

os PCN. Uma delas é a resolução de problemas, foco de nossa investigação. De

acordo com os autores, a resolução de problemas é uma proficiência que merece

destaque nos dias atuais, principalmente quando utilizado contextos do

cotidiano, onde essas práticas são cada vez mais problematizadoras.

Segundo os autores um problema não se define pela sua forma, mas sim

pela relação que estabelece com o nível de conhecimento distinto do aluno, seja

com números grandes ou pequenos, nas orientações gerais os autores ainda

salientam que a dificuldade que os alunos apresentam na resolução de

problemas estão direcionadas aos problemas que envolvem a ideia de comparar,

uma ideia que requer dois tipos distintos de conhecimentos.

Analisando as orientações gerais da coleção podemos perceber que as

mesmas, estão alinhadas com pesquisas recentes, ou seja, pesquisas estas que

nos proporcionaram realizar a categorização da sessão Compreender

problemas, sessão que tem como objetivo a aquisição do conhecimento

matemático, possibilitando aos alunos reconhecer regularidades e propriedades.

No entanto, não são elencadas pesquisas que envolvam o significado das

operações.

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TABELA 3

ANÁLISE DA COLEÇÃO BURITI QUANTIDADE DE PROBLEMAS

CATEGORIA GRUPO ANOS

1º 2º 3º 4º 5º

PROPORCIONALIDADE

UM A MUITOS

4 10 23 37 20

MUITOS A MUITOS

1

1

4

9

-

DOBRO

- 2 2 - -

TRIPLO

- 2 5 1 -

METADE

4 - 1 6 6

ISOMORFISMO DE MEDIDAS

DUAS VEZES MAIS

1 - - - -

MULTIPLICAÇÃO COMPARATIVA

TRÊS VEZES MAIS

1 - - - -

TERÇA PARTE

- - - 4 4

QUARTA PARTE

- - - 6 6

QUINTA PARTE

- - - 4 1

OUTRAS PARTES

- - - - 3

CONFIGURAÇÃO

RETANGULAR

DISCRETAS

1

6

5

2

-

PRODUTO DE

MEDIDAS

CONTÍNUAS

-

-

-

2

2

COMBINATÓRIA

PRODUTO CARTESIANO

1

5

7

2

-

TOTAL 13 26 47 73 42 Fonte: (Elaboração das pesquisadoras)

Essa coleção aborda um número de problemas bem menor que as outras

duas analisadas e também se concentra no significado de proporcionalidade

com a relação “um a muitos”.

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De acordo com as análises, se percebe que há uma preocupação por

parte dos autores quanto à apresentação de situações problemas para o 1º ano,

por tratar-se de crianças de seis anos de idade, procuram abordar a multiplicação

em situações que explorem a ideia de parcelas iguais, como contagem de

pontos, contagem e combinações.

Quanto à divisão os autores apresentam noções da operação, enfatizando

a ideia intuitiva sobre “metade”, porém reforçam a necessidade matemática de

que cada parte seja do mesmo tamanho ou tenha mesma quantidade.

É importante salientar que nas orientações gerais dos livros, estão

contempladas atividades envolvendo a operação de multiplicação, onde o

professor é orientado a trabalhar com uma combinação de linhas horizontais e

verticais, bem como, Vergnaud (2009) propõe em sua teoria das Estruturas

Multiplicativas, ou seja, a análise vertical (escalar) e a análise horizontal (função).

No 2º ano, os autores dão continuidade às orientações que são dadas no

ano anterior quanto às operações de multiplicação e divisão. O que diferencia de

um ano para o outro é a questão de acrescentarem aos problemas do Campo

Multiplicativo a ideia de dobro e triplo, situações que não foram trabalhadas no

1º ano. No entanto, deixam de retomar problemas que correspondem à metade,

duas vezes mais e três vezes mais. Mas, aumentam a quantidade de problemas

que tangem a ideia da configuração retangular e produto cartesiano.

A análise permite ressaltar que os problemas que referenciam à ideia da

multiplicação comparativa, envolvendo partes (metade, terça parte, quarta parte,

quinta parte e outras partes) surgem na coleção, mas não traz problemas com o

mesmo significado tratado por Vergnaud em suas pesquisas, assim como, são

apresentados também no currículo prescrito. Os problemas selecionados para a

análise envolvem números naturais, no entanto, como resposta pode exigir um

número racional, na representação fracionária.

Para o 3º ano, os autores apresentam problemas envolvendo as ideias de

proporcionalidade, combinação de possibilidades e disposição retangular, pois,

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apresentam problemas envolvendo as operações de multiplicação e divisão de

forma articulada para possibilitar ao aluno uma revisão dos conteúdos já

trabalhados. As situações-problema são exploradas por meio de leitura e

interpretação de textos, para que o aluno possa pensar em outras soluções a

serem aplicadas aos problemas, e até mesmo consiga refletir sobre as próprias

estratégias.

No 4º e 5º ano os autores focam a operação da multiplicação abordando

suas propriedades e algoritmos usuais para o cálculo, assim como na operação

da divisão. No entanto, nestes anos de escolaridade, os autores incluem nos

livros do 4º e 5º anos, situações que contemplem resoluções envolvendo mais

de uma operação, presentes em expressões numéricas e não em situações-

problema.

De acordo com a tabela 3, p. 23 pode-se observar que no 5º ano há um

diferencial em relação ao 4ºano, ou seja, há um número bem pequeno de

problemas direcionados ao 5º ano, e, em algumas ideias os problemas nem

aparecem. Percebe-se então, que como os problemas são abordados com maior

ênfase no 4º ano envolvendo as ideias do Campo Multiplicativo, no 5º ano os

autores procuram trabalhar com um número maior de atividades de fixação

contemplando as propriedades matemáticas, ao invés de dar continuidade ao

trabalho de resolução de problemas.

Vale destacar que a categoria Isomorfismo de Medidas nesta coleção,

assim como nas outras, é a categoria mais trabalhada do 1º ao 5º ano,

principalmente ao que tange a correspondência de “um a muitos”. Enquanto, a

correspondência “muitos a muitos” é pouco abordada do 1º ao 4º ano e no 5º

ano os autores nem exploram esta correspondência.

Quanto à categoria Produto de Medidas, os autores apresentam

problemas envolvendo grandezas discretas e produto cartesiano, sempre do 1º

ao 4º ano. Como já citado acima no 5º ano os autores primam por atividades e

não por resolução de problemas.

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Como já citado anteriormente o produto cartesiano, é abordado do 1º ao

4º ano, pois, para o 5º ano a coleção abarca apenas atividades mecânicas e não

resoluções de problemas.

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4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

No manual do professor, de ambas as coleções foi possível observar que

os autores anunciam que procuram minimizar o cálculo mecânico e problemas

rotineiros do Campo Multiplicativo, contextualizando-os, a fim de enfatizar a

formulação e resolução de problemas, sem que os alunos os desenvolvam por

meio da memorização e mecanização, assim como, preconizam os PCN.

No entanto, a abordagem dos problemas deixa a desejar. Em nenhum

momento das orientações aos professores os livros didáticos apresentam

pesquisas recentes sobre as Estruturas Multiplicativas discutidas em

documentos curriculares como, por exemplo, as pesquisas de Vergnaud (2009)

sobre o Campo Multiplicativo, assim como, não dão pistas de abordagem dos

problemas que envolvam as operações de multiplicação e divisão.

No material do aluno as coleções trazem outro ponto em comum:

problemas que possam estar ligadosàs situações da vivência do aluno, para que

assim, os mesmos consigam construir significados das operações e delas se

apropriarem. Porém, enfatizam que cabe ao professor selecionar situações que

favoreçam a construção do conhecimento e a compreensão de diferentes ideias

envolvidas em cada operação, para que os resultados sejamsatisfatórios no

processo de ensino-aprendizagem.

Com fulcro nos resultados a partir das análises realizadas nas coleções,

foi detectado que há uma contradição no que está apresentado no corpo dos

livros didáticos quanto aos problemas do campo multiplicativo e as orientações

dadas pelos autores, uma vez que foram encontradas lacunas ao que tange as

operações de multiplicação e divisão, que deveriam estar sendo desenvolvidas

nos problemas em todos os anos de escolaridade.

Acredita-se que por conta dessas lacunas observadas, geram-se

dificuldades no desenvolvimento de raciocínio multiplicativo, ou seja, as coleções

não criam situações adequadas de aprendizagem em quantidades proporcionais

para que se propiciem o desenvolvimento do pensamento multiplicativo.

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Cabe ressaltar que em todos os anos de escolaridade os autores das três

coleções enfatizaram mais problemas do Campo Multiplicativo na categoria

Isomorfismo de Medidas envolvendo a correspondência “um a muitos” em

relação à correspondência “muitos a muitos”, sempre envolvendo grandezas

discretas, dando pouca ênfase aos problemas de Produto de Medidas.

De acordo com nosso aporte teórico, o significado da multiplicação

envolvendo as noções de duas vezes mais e três vezes mais é muito importante

para a construção dos significados dos problemas do Campo Multiplicativo, pois

para a criança esses termos são mais difíceis de compreender do que os termos

dobro, triplo, etc. No entanto, na análise das coleções foi detectado que as

mesmas apresentam poucos problemas envolvendo esta linguagem e sem

continuidade ano a ano, abordando parcialmente o significado de multiplicação

comparativa.

Na categoria Produto de Medidas foi possível observar que há um

equilíbrio em relação à ideia da Configuração Retangular, a partir do 2º ano ao

5º ano, mesmo, sendo um número muito pequeno de problemas por ano de

escolaridade. Os autores dão mais ênfase aos problemas que envolvam

grandeza discreta.

Na coleção Buriti (tabela 3, p. 23), é possível perceber uma grande

redução na quantidade de problemas em relação às coleções anteriores. O ano

de escolaridade com maior quantidade de problemas é o 4º ano. Há uma queda

bastante grande também da quantidade de problemas no 5º ano. A multiplicação

comparativa é pouco explorada na coleção, apesar de aparecer com a noção de

partes do todo nos 4º e 5º anos.

Há um trabalho com produto de medidas em todos os anos de

escolaridade, mas muito acanhado, pois a quantidade de problemas é pequena

e as grandezas contínuas só são exploradas em dois problemas no 5º ano.

Este Produto Educacional pode não sanar as fragilidades encontradas

nas coleções, mas desejamos que venha a contribuir como reflexão sobre este

tema para que traga reais contribuições para o Ensino da Matemática ao que

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tange o Campo Multiplicativo, de tal forma que ultrapasse o viés de uma simples

constatação, mas que possam servir como um possível caminho para enriquecer

a prática docente, por meio de um trabalho gradual realizado com os docentes,

para que o olhar destes possa ser ampliado e tornar-se investigativo quanto às

operações de multiplicação e divisão.

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REFERÊNCIAS

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