CÁLCULO DE ÁREA

TOPOGRAFIA II

Cálculo de áreas

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PROCESSO GRÁFICO

Neste processo a área a ser avaliada é dividida em figuras geométricas, como

triângulos, quadrados ou outras figuras, e a área final será determinada pela somatória

de todas as áreas das figuras geométricas. A figura 1 ilustra a aplicação do método

gráfico, através do processo de divisão da área em quadrículas e em figuras

geométricas equivalentes.

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PROCESSO COMPUTACIONAL

Atualmente é uma forma bastante prática para o cálculo de áreas. Baseado no

emprego de algum programa gráfico, como por exemplo, o AutoCAD, no qual são

desenhados os pontos que definem a área levantada e o programa calcula esta área,

por métodos analíticos.

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PROCESSO MECÂNICO

Utiliza-se um equipamento denominado de planímetro (figura 2). Este consiste em dois

braços articulados, com um ponto fixo denominado de polo e um cursor na extremidade

dos braços, o qual deve percorrer o perímetro do polígono que se deseja calcular a

área. Também apresenta um tambor giratório. De acordo com CINTRA (1996), "pode-se

demonstrar que o giro do tambor, e portanto, a diferença de leituras, é proporcional à

área envolvida pelo contorno percorrido".

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A área será dada por:

Área = k. (Lf - Li)

onde:

k é a constante do aparelho para um dado comprimento do braço graduado;

Lf é a leitura final;

Li é a leitura inicial.

O valor de K pode ser determinado planimetrando-se uma área conhecida (S)

diversas vezes (n).

k = (n . S)/ (Lf - Li)

De acordo com CINTRA(1996) o pólo deve ser posicionado fora da área que esta

sendo avaliada, caso contrário, deve-se adicionar à área o chamado "círculo zero",

fornecido pelo fabricante.

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PROCESSOS ANALÍTICOS

Neste método a área é avaliada utilizando fórmulas matemáticas que permitem, a

partir das coordenadas dos pontos que definem a feição, realizar os cálculos desejados.

O cálculo da área de poligonais, por exemplo, pode ser realizado a partir do cálculo

da área de trapézios formados pelos vértices da poligonal (fórmula de Gauss). Através

da figura 3 é possível perceber que a área da poligonal definida pelos pontos 1, 2, 3 e 4

pode ser determinada pela diferença entre as áreas 1 e 2.

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Cálculo de áreas

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A área 1 pode ser calculada a partir das áreas dos trapézios formados pelos pontos 2',

2, 1, 1´ e 1', 1, 4, 4'. Na figura 4 é apresentada a fórmula de cálculo da área de um

trapézio qualquer.

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Para facilitar a compreensão, será calculada a área do trapézio formado pelos pontos

2', 2, 1, 1' (figura 5).

A área do trapézio será dada por:

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A equação pode ser representada genericamente por:

ou também de outra forma, conforme equação cuja dedução fica

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CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÂNCULO QUALQUER, CONHECENDO-SE APENAS

AS MEDIDAS DOS LADOS

Também conhecido como fórmula de Heron, permite o cálculo da área de um

triângulo utilizando-se apenas das medidas de seus lados.

Consideremos a figura do triângulo genérico a ser utilizado na demonstração:

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1. - O primeiro passo é encontrar o valor de cos  . Para isso, vamos aplicar Pitágoras

no triângulo AHB para encontrar o comprimento de AH .

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2. – Agora, utilizando o triângulo ABC, aplica-se a Lei dos Co-senos relativo ao ângulo

Â:

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Terrenos de formas irregulares (Curva) - FÓRMULA SIMPSON

A fórmula de Simpson é utilizada para calcular áreas que apresentam formas

irregulares (formas não conhecidas geometricamente), como mostra a figura abaixo:

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Para calcular esses tipos de áreas utiliza-se a fórmula a seguir:

onde:

d = Distância entre ordenas

E = Somatória das ordenadas externas

I = Somatória das ordenadas ímpares internas

p = Somatória das ordenadas pares

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1 – Normas de utilização da fórmula de Simpson:O primeiro passo e traçar uma reta base, a partir da qual vão ser traçadas as ordenadasde forma PERPENDICULAR.

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a) As ordenadas devem ser numeradas a partir de 1 (a primeira deve ser Y1).

b) As partes formas entre as ordenadas devem ter uma distância homogênea (d).

c) As partes devem ser sempre um número PAR de divisões (dando como resultado

número ímpar de ordenadas).

d) O número de partes mínimo é de 4 (resultando 5 ordenadas).

e) A distância entre ordenadas não deve ultrapassar 1 cm, em escala de até 1:100, e

não mais de 0,5 cm em escalas maiores que 1:100 (1:200, 1:500, etc.)

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2 – Significados da fórmula de Simpson:

a) d = distância entre as ordenadas.

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b) E = somatório do comprimento das ordenadas extremas = Y1 + Y11.

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c) I = somatório do comprimento das ordenadas impares internas = Y3+ y5 + Y7 + Y9.

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d) P = somatório do comprimento das ordenadas pares = Y2+ y4 + Y6 + Y8 + Y10.