Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Cálculo Estocástico

H. Dreifus1

1Departamento de Matemática AplicadaUniversidade de São Paulo

Caixa Econômica Federal/2010

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Cálculo Estocástico I

Mikosch T., Elementary Stochastic Calculus With Finance in View

1 Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Cálculo Estocástico II3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade

Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade

Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade

Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Variáveis Aleatórias

Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa

Variáveis Aleatórias

X : Ω→ R

Exemplo:X (cara) = 1

X (coroa) = −1

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Variáveis Aleatórias

Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa

Variáveis Aleatórias

X : Ω→ R

Exemplo:X (cara) = 1

X (coroa) = −1

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Variáveis Aleatórias

Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa

Variáveis Aleatórias

X : Ω→ R

Exemplo:X (cara) = 1

X (coroa) = −1

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Variáveis Aleatórias

Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa

Variáveis Aleatórias

X : Ω→ R

Exemplo:X (cara) = 1

X (coroa) = −1

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Variáveis Aleatórias

Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa

Variáveis Aleatórias

X : Ω→ R

Exemplo:X (cara) = 1

X (coroa) = −1

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Variáveis Aleatórias

Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?

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Variáveis Aleatórias

Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?

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Variáveis Aleatórias

Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

σ-álgebra

F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis

A ∈ F ;B ∈ F ⇒

A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F

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σ-álgebra

F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis

A ∈ F ;B ∈ F ⇒

A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F

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σ-álgebra

F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis

A ∈ F ;B ∈ F ⇒

A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

σ-álgebra

F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis

A ∈ F ;B ∈ F ⇒

A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F

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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Propriedades da Medida de Probabilidade

Para eventos A,B ∈ F

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

e, se A e B são disjuntos,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Além disto,

P(Ac) = 1− P(A), P(Ω) = 1 e P(∅) = 0

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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Exemplos de Distribuições

Binomial

P(X = k) =

(nk

)pk (1− p)n−k , k = 0,1,2, ...n.

Normal

fX (x) =1√2πσ

exp−(x − µ)2

2σ2

, x ∈ R

Fx =

∫ x

−∞fX (y)dy

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Exemplos de Distribuições

Binomial

P(X = k) =

(nk

)pk (1− p)n−k , k = 0,1,2, ...n.

Normal

fX (x) =1√2πσ

exp−(x − µ)2

2σ2

, x ∈ R

Fx =

∫ x

−∞fX (y)dy

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Variância e Momentos

EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções

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Esperança, Variância e Momentos

EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Variância e Momentos

EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Variância e Momentos

EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Estimativas Úteis

P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)

Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95

onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)

P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0

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Estimativas Úteis

P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)

Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95

onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)

P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0

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Estimativas Úteis

P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)

Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95

onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)

P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0

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Vetores Aleatórios

X = (X1,X2, ...,Xn)

é um vetor aleatório n-dimensional se os seus componentesX1,X − 2, ...,Xn são variáveis aleatórias unidimensionais avalores reais.

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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

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Exemplos:

FX1(x1) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

fX (x)dx2dx3

fX (x) =1

(2π)n/2(detΣ)1/2 exp−1

2(x − µ)t Σ−1(x − µ)

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Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

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Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

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Correlação

corr(X1,X2) =cov(X1,X2)

σX1σX2

=E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

σX1σX2

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Independência e dependência

Dois eventos A1 e A2 são independentes se

P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2)

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se

P(X1 ∈ B1,X2 ∈ B2) = P(X1 ∈ B1)P(X2 ∈ B2)

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Independência e dependência

Dois eventos A1 e A2 são independentes se

P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2)

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se

P(X1 ∈ B1,X2 ∈ B2) = P(X1 ∈ B1)P(X2 ∈ B2)

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Independência e dependência

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:

FX1X2(x1, x2) = FX1(x1)FX2(x2), x1, x2 ∈ R

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:

fX1X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2(x2), x1, x2 ∈ R

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Independência e dependência

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:

FX1X2(x1, x2) = FX1(x1)FX2(x2), x1, x2 ∈ R

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:

fX1X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2(x2), x1, x2 ∈ R

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Se X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes,

EF (X1)G(X2) = EX1F (X1)EX2G(X2)

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Variáveis aleatórias independentes são nãocorrelacionadas.Variáveis não correlacionadas não são necessáriamenteindependentes.

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Variáveis aleatórias independentes são nãocorrelacionadas.Variáveis não correlacionadas não são necessáriamenteindependentes.

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Uma coleção de variáveis aleatórias, Xt , t ∈ T éindependente se para toda escolha de índices t1, ..., tn ∈ T ,com n > 1, se as variáveis aleatórias Xt1, ...,Xtn foremindependentes.

Se uma coleção de variáveis aleatorias Xt , t ∈ T for tal queXt tem a mesma distribuição então nós dizemos que a coleçãoé i.i.d, independente identicamente distribuídas.

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Uma coleção de variáveis aleatórias, Xt , t ∈ T éindependente se para toda escolha de índices t1, ..., tn ∈ T ,com n > 1, se as variáveis aleatórias Xt1, ...,Xtn foremindependentes.

Se uma coleção de variáveis aleatorias Xt , t ∈ T for tal queXt tem a mesma distribuição então nós dizemos que a coleçãoé i.i.d, independente identicamente distribuídas.

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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Processos Estocásticos.

DefiniçãoPasseio Aleatório

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Processos Estocásticos.

DefiniçãoPasseio Aleatório

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Definição

Um processo estocástico X é uma coleção de variáveisaleatórias

Xt , t ∈ T = Xt (ω), t ∈ T , ω ∈ Ω

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Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,

Xt (ω) : Ω→ R

é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,

Xt (ω) : t ∈ T → R

é uma função do tempo t

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Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,

Xt (ω) : Ω→ R

é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,

Xt (ω) : t ∈ T → R

é uma função do tempo t

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Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,

Xt (ω) : Ω→ R

é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,

Xt (ω) : t ∈ T → R

é uma função do tempo t

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Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,

Xt (ω) : Ω→ R

é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,

Xt (ω) : t ∈ T → R

é uma função do tempo t

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Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,

Xt (ω) : Ω→ R

é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,

Xt (ω) : t ∈ T → R

é uma função do tempo t

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Distribuição

As distribuições de dimensão finita (disfi) de um processoestocástico X são as distribuições dos vetores de dimensãofinita.

(Xt1 ...Xtn ), t1...tn2 ∈ T ,

para todas as escolhas possíveis dos instantes t1...tn ∈ T epara todo n ≥ 1.

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Exemplo

Processo Gaussiano

P(Xt1 ≤ x1, ...,Xtn ≤ xn) = P(Xt1 ≤ x1)...P(Xtn ≤ xn) =

= Φ(x1)...Φ(xn)

0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn ≤ T , (x1...xn) ∈ Rn.

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Esperança, Covariância e Variância

A função esperança de X é dada por

µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T

A função de covariância de X é dada por

cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .

A função de variância é dada por

σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .

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Esperança, Covariância e Variância

A função esperança de X é dada por

µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T

A função de covariância de X é dada por

cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .

A função de variância é dada por

σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .

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Esperança, Covariância e Variância

A função esperança de X é dada por

µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T

A função de covariância de X é dada por

cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .

A função de variância é dada por

σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .

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Esperança, Covariância e Variância

A função esperança de X é dada por

µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T

A função de covariância de X é dada por

cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .

A função de variância é dada por

σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .

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Esperança, Covariância e Variância

A função esperança de X é dada por

µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T

A função de covariância de X é dada por

cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .

A função de variância é dada por

σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .

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Esperança, Covariância e Variância

A função esperança de X é dada por

µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T

A função de covariância de X é dada por

cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .

A função de variância é dada por

σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .

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Estrutura de Dependência

Processos Estacionários

Um processo estocástico é dito ser estacionário se os difi’s sãoinvariantes por translações em t .

(Xt1 ...Xtn )d= (Xt1+δ...Xtn+δ)

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Estrutura de Dependência

Processos com Incrementos EstacionáriosSeja X = (Xt , t ∈ T ) um processo estocástico e T ⊂ R umintervalo. Dizemos que X possui incrementos estacionários se

Xt − Xsd= Xt+δ − Xs+δ

para todo t , s ∈ T e δ, com t + δ, s + δ ∈ T X é dito possuirincrementos independentes se para cada escolha de ti ∈ Tcom t1 < ... < tn e n ≥ 1,

Xt2 − Xt1 ...Xtn − Xtn−1

são variáveis aleatórias independentes.

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Passeio Aleatório

Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ

Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita

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Passeio Aleatório

Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ

Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita

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Passeio Aleatório

Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ

Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita

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Passeio Aleatório

Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ

Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita

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Dinâmica do Passeio Aleatório

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

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Dinâmica do Passeio Aleatório

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

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Dinâmica do Passeio Aleatório

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

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Dinâmica do Passeio Aleatório

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

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Dinâmica do Passeio Aleatório

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

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Dinâmica do Passeio Aleatório

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

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Dinâmica do Passeio Aleatório

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

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Dinâmica do Passeio Aleatório

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

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Dinâmica do Passeio Aleatório

Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)

Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,

P(A|Bk )P(Bk ) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z

P(A|Bk )P(B) = P(A)

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Dinâmica do Passeio Aleatório

Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)

Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,

P(A|Bk )P(Bk ) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z

P(A|Bk )P(B) = P(A)

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Dinâmica do Passeio Aleatório

Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)

Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,

P(A|Bk )P(Bk ) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z

P(A|Bk )P(B) = P(A)

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Dinâmica do Passeio Aleatório

Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)

Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,

P(A|Bk )P(Bk ) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z

P(A|Bk )P(B) = P(A)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Dinâmica do Passeio Aleatório

Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)

Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,

P(A|Bk )P(Bk ) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z

P(A|Bk )P(B) = P(A)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Dinâmica do Passeio Aleatório

Considerando A = Xt+δ(ω) = j, temos

pj(t + δ) =∑k∈Z

Kjkpk (t)

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Dinâmica do Passeio Aleatório

Considerando A = Xt+δ(ω) = j, temos

pj(t + δ) =∑k∈Z

Kjkpk (t)

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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2K =

..

.0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

..

.

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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

pj(t + δ) =12

pj+1(t) +12

pj−1(t)

pj(t + δ)− pj(t) =12

pj+1(t) +12

pj−1(t)− pj(t)

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

pj(t + δ) =12

pj+1(t) +12

pj−1(t)

pj(t + δ)− pj(t) =12

pj+1(t) +12

pj−1(t)− pj(t)

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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆

px (t + δ)− px (t) =12

px+∆(t) +12

px−∆(t)− px (t)

px (t + δ)− px (t) =12

[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆

px (t + δ)− px (t) =12

px+∆(t) +12

px−∆(t)− px (t)

px (t + δ)− px (t) =12

[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆

px (t + δ)− px (t) =12

px+∆(t) +12

px−∆(t)− px (t)

px (t + δ)− px (t) =12

[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Considerando σ2δ = ∆2

px (t + δ)− px (t)δ

= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

2∆2

de forma que no limite δ → 0

∂p∂t

(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)

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Considerando σ2δ = ∆2

px (t + δ)− px (t)δ

= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

2∆2

de forma que no limite δ → 0

∂p∂t

(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Considerando σ2δ = ∆2

px (t + δ)− px (t)δ

= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

2∆2

de forma que no limite δ → 0

∂p∂t

(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

p(t , x) =1

σ√

4πt

∫ ∞−∞

e−(x−y)2

4tσ2 p(0, y)dy

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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano.

Propriedades da definiçãoProcessos derivados do movimento brownianoSimulações de caminhos amostrais brownianos

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano.

Propriedades da definiçãoProcessos derivados do movimento brownianoSimulações de caminhos amostrais brownianos

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Movimento Browniano.

Propriedades da definiçãoProcessos derivados do movimento brownianoSimulações de caminhos amostrais brownianos

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Movimento Browniano

Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:

ele começa no zero: B0 = 0;possui incrementos independentes e estacionários;para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);possui caminhos amostrais contínuos.

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Movimento Browniano

Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:

ele começa no zero: B0 = 0;possui incrementos independentes e estacionários;para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);possui caminhos amostrais contínuos.

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Movimento Browniano

Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:

ele começa no zero: B0 = 0;possui incrementos independentes e estacionários;para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);possui caminhos amostrais contínuos.

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Movimento Browniano

Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:

ele começa no zero: B0 = 0;possui incrementos independentes e estacionários;para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);possui caminhos amostrais contínuos.

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Movimento Browniano

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Movimento Browniano

As variáveis aleatórias Bt − Bs e Bt−s possuem umadistrobuição N(0, t − s) para s < t .

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Movimento Browniano

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =

E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =

E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =

E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =

E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =

E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

O movimento Browniano é um processo estocástico gaussianocaracterizado por:

µB(t) = 0

cB(s, t) = min(s, t)

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Auto-similaridade

Um processo estocástico (Xt , t ∈ [0,1)) é dito H-auto similarpara um dado H > 0 se os seus disfi’s satisfizerem à condiçãodada por

(T HBt1 ...THBtn )

d= (BTt1 ...BTtn )

para todo T > 0 e qualquer escolha dos ti ≥ 0, i = 1...n, en ≥ 1.

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Não diferenciabilidade

O movimento browniano é 0.5-auto-similar, i.e.,

(T 1/2Bt1 ...T1/2Btn )

d= (BTt1 ...BTtn )

para todo T > 0 e qualquer escolha dos ti ≥ 0, i = 1...n, en ≥ 1. Portanto, os caminhos amostrais não são diferenciáveisem parte alguma.

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Variação ilimitada

Os caminhos amostrais brownianos não possuem variaçãolimitada em nenhum intervalo finito [0,T ]. Isto significa que

supτ

n∑1

|Bti (ω)− Bti−1(ω)| =∞

onde o supremo é tomado sobre todas as partições possíveisτ : 0 = t0 < ... < tn = T do intervalo [0,T ].

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Processos Derivados do movimento Browniano

Movimento Browniano com drift

Xt = µt + σBt

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Movimento Browniano Geométrico

Xt = eµt+σBt

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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

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2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança Condicional.

Esperança condicional sob a condição discretaSobre σ-álgebrasA esperança condicional geralRegras para o cálculo da esperança condicionalA propriedade da projeção de esperanças condicionais

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Esperança Condicional.

Esperança condicional sob a condição discretaSobre σ-álgebrasA esperança condicional geralRegras para o cálculo da esperança condicionalA propriedade da projeção de esperanças condicionais

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança Condicional.

Esperança condicional sob a condição discretaSobre σ-álgebrasA esperança condicional geralRegras para o cálculo da esperança condicionalA propriedade da projeção de esperanças condicionais

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança Condicional.

Esperança condicional sob a condição discretaSobre σ-álgebrasA esperança condicional geralRegras para o cálculo da esperança condicionalA propriedade da projeção de esperanças condicionais

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança Condicional.

Esperança condicional sob a condição discretaSobre σ-álgebrasA esperança condicional geralRegras para o cálculo da esperança condicionalA propriedade da projeção de esperanças condicionais

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Preliminares

Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B) = P(A) se A e B forem independentes.

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Preliminares

Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B) = P(A) se A e B forem independentes.

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Preliminares

Função de distribuição condicional de uma variável aleatória Xdado B

FX (x |B) =P(X ≤ x |B)

P(B)

Esperança condicional de X dado B

E(X |B) =E(XIB)

P(B)

onde IB denota a função caracteristica do evento B.

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Preliminares

Função de distribuição condicional de uma variável aleatória Xdado B

FX (x |B) =P(X ≤ x |B)

P(B)

Esperança condicional de X dado B

E(X |B) =E(XIB)

P(B)

onde IB denota a função caracteristica do evento B.

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Preliminares

Função de distribuição condicional de uma variável aleatória Xdado B

FX (x |B) =P(X ≤ x |B)

P(B)

Esperança condicional de X dado B

E(X |B) =E(XIB)

P(B)

onde IB denota a função caracteristica do evento B.

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Preliminares

Função de distribuição condicional de uma variável aleatória Xdado B

FX (x |B) =P(X ≤ x |B)

P(B)

Esperança condicional de X dado B

E(X |B) =E(XIB)

P(B)

onde IB denota a função caracteristica do evento B.

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança condicional sob a condição discreta

Considere uma variável aleatória Y que assume valoresdistintos yi

Ai = ω ∈ Ω|Y (ω) = yi

Para uma variável aleatória X com E(|X |) <∞ nós definimos aesperança condicional de X dado Y como a variável aletóriadiscreta

E(X |Y )(ω) = E(X |Ai) = E(X |Y = yi) para ω ∈ Ai , i = 1,2,3...

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Propriedades da Esperança Condicional

A esperança condicional é linear no sentido de que paravariáveis aleatórias X1 e X2,

E(c1X1 + c2X2|Y ) = c1E(X1|Y ) + c2E(X2|Y )

As esperanças de X e E(X |Y ) são as mesmas

E(X ) = E(E(X |Y ))

Se X e Y são independentes,

E(X |Y ) = E(X )

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Propriedades da Esperança Condicional

A esperança condicional é linear no sentido de que paravariáveis aleatórias X1 e X2,

E(c1X1 + c2X2|Y ) = c1E(X1|Y ) + c2E(X2|Y )

As esperanças de X e E(X |Y ) são as mesmas

E(X ) = E(E(X |Y ))

Se X e Y são independentes,

E(X |Y ) = E(X )

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Propriedades da Esperança Condicional

A esperança condicional é linear no sentido de que paravariáveis aleatórias X1 e X2,

E(c1X1 + c2X2|Y ) = c1E(X1|Y ) + c2E(X2|Y )

As esperanças de X e E(X |Y ) são as mesmas

E(X ) = E(E(X |Y ))

Se X e Y são independentes,

E(X |Y ) = E(X )

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Propriedades da Esperança Condicional

A esperança condicional é linear no sentido de que paravariáveis aleatórias X1 e X2,

E(c1X1 + c2X2|Y ) = c1E(X1|Y ) + c2E(X2|Y )

As esperanças de X e E(X |Y ) são as mesmas

E(X ) = E(E(X |Y ))

Se X e Y são independentes,

E(X |Y ) = E(X )

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Propriedades da Esperança Condicional

A esperança condicional é linear no sentido de que paravariáveis aleatórias X1 e X2,

E(c1X1 + c2X2|Y ) = c1E(X1|Y ) + c2E(X2|Y )

As esperanças de X e E(X |Y ) são as mesmas

E(X ) = E(E(X |Y ))

Se X e Y são independentes,

E(X |Y ) = E(X )

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Propriedades da Esperança Condicional

A esperança condicional é linear no sentido de que paravariáveis aleatórias X1 e X2,

E(c1X1 + c2X2|Y ) = c1E(X1|Y ) + c2E(X2|Y )

As esperanças de X e E(X |Y ) são as mesmas

E(X ) = E(E(X |Y ))

Se X e Y são independentes,

E(X |Y ) = E(X )

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

σ - álgebras

Uma σ álgebra F sobre Ω é uma coleção de subconjuntos de Ωsatisfazendo

∅ ∈ F e Ω ∈ F

Se A ∈ F então Ac ∈ F

Se A1,A2, ... ∈ F então ∪∞i=1Ai ∈ F e ∩∞i=1Ai ∈ F

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σ - álgebras

Uma σ álgebra F sobre Ω é uma coleção de subconjuntos de Ωsatisfazendo

∅ ∈ F e Ω ∈ F

Se A ∈ F então Ac ∈ F

Se A1,A2, ... ∈ F então ∪∞i=1Ai ∈ F e ∩∞i=1Ai ∈ F

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σ - álgebras

Uma σ álgebra F sobre Ω é uma coleção de subconjuntos de Ωsatisfazendo

∅ ∈ F e Ω ∈ F

Se A ∈ F então Ac ∈ F

Se A1,A2, ... ∈ F então ∪∞i=1Ai ∈ F e ∩∞i=1Ai ∈ F

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

σ álgebra associada ao movimento browniano

Considere um movimento browniano Bt (ω) : [0,T ]× Ω→ R.Para cada n ∈ N considere

subconjuntos de Rn da forma C = (C1, ..., Cn), com Cj umintervalo aberto de Rescolhas de t1, t2, ..., tn; tj ∈ [0,T ].

A σ-álgebra, FT , associada ao movimento browniano é amenor σ-álgebra gerada pelas uniões e intersecçõesenumeráveis de subconjuntos de Ω da forma:

At1,t2,...,tn (C) =

ω ∈ Ω|Bt1(ω) ∈ C1, ...,Btn (ω) ∈ Cn

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

σ álgebra associada ao movimento browniano

Considere um movimento browniano Bt (ω) : [0,T ]× Ω→ R.Para cada n ∈ N considere

subconjuntos de Rn da forma C = (C1, ..., Cn), com Cj umintervalo aberto de Rescolhas de t1, t2, ..., tn; tj ∈ [0,T ].

A σ-álgebra, FT , associada ao movimento browniano é amenor σ-álgebra gerada pelas uniões e intersecçõesenumeráveis de subconjuntos de Ω da forma:

At1,t2,...,tn (C) =

ω ∈ Ω|Bt1(ω) ∈ C1, ...,Btn (ω) ∈ Cn

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σ álgebra associada ao movimento browniano

Considere um movimento browniano Bt (ω) : [0,T ]× Ω→ R.Para cada n ∈ N considere

subconjuntos de Rn da forma C = (C1, ..., Cn), com Cj umintervalo aberto de Rescolhas de t1, t2, ..., tn; tj ∈ [0,T ].

A σ-álgebra, FT , associada ao movimento browniano é amenor σ-álgebra gerada pelas uniões e intersecçõesenumeráveis de subconjuntos de Ω da forma:

At1,t2,...,tn (C) =

ω ∈ Ω|Bt1(ω) ∈ C1, ...,Btn (ω) ∈ Cn

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σ álgebra associada ao movimento browniano

Considere um movimento browniano Bt (ω) : [0,T ]× Ω→ R.Para cada n ∈ N considere

subconjuntos de Rn da forma C = (C1, ..., Cn), com Cj umintervalo aberto de Rescolhas de t1, t2, ..., tn; tj ∈ [0,T ].

A σ-álgebra, FT , associada ao movimento browniano é amenor σ-álgebra gerada pelas uniões e intersecçõesenumeráveis de subconjuntos de Ω da forma:

At1,t2,...,tn (C) =

ω ∈ Ω|Bt1(ω) ∈ C1, ...,Btn (ω) ∈ Cn

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σ álgebra associada ao movimento browniano

Considere um movimento browniano Bt (ω) : [0,T ]× Ω→ R.Para cada n ∈ N considere

subconjuntos de Rn da forma C = (C1, ..., Cn), com Cj umintervalo aberto de Rescolhas de t1, t2, ..., tn; tj ∈ [0,T ].

A σ-álgebra, FT , associada ao movimento browniano é amenor σ-álgebra gerada pelas uniões e intersecçõesenumeráveis de subconjuntos de Ω da forma:

At1,t2,...,tn (C) =

ω ∈ Ω|Bt1(ω) ∈ C1, ...,Btn (ω) ∈ Cn

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Esperança Condicional sob uma σ-álgebra F

Uma variável aleatória Z é denominada a esperançacondicional de X dada a σ-álgebra F se

Z não contém mais informação do que a contida em F:σ(Z ) ⊂ F

Z satisfaz a relação

E(ZIA) = E(XIA)

para todo A ∈ F

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Esperança Condicional sob uma σ-álgebra F

Uma variável aleatória Z é denominada a esperançacondicional de X dada a σ-álgebra F se

Z não contém mais informação do que a contida em F:σ(Z ) ⊂ F

Z satisfaz a relação

E(ZIA) = E(XIA)

para todo A ∈ F

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Esperança Condicional sob uma σ-álgebra F

Uma variável aleatória Z é denominada a esperançacondicional de X dada a σ-álgebra F se

Z não contém mais informação do que a contida em F:σ(Z ) ⊂ F

Z satisfaz a relação

E(ZIA) = E(XIA)

para todo A ∈ F

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Esperança condicional de X dada uma variávelaleatória Y

Seja Y uma variável aleatória e σ(Y ) a sigma álgebra geradapor Y .A esperança condicional da variável aleatória X dado Y édefinida por

E(X |Y ) = E(X |σ(Y ))

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Esperança condicional de X dada uma variávelaleatória Y

Seja Y uma variável aleatória e σ(Y ) a sigma álgebra geradapor Y .A esperança condicional da variável aleatória X dado Y édefinida por

E(X |Y ) = E(X |σ(Y ))

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Propriedade de projeção da esperança condicional

Seja X é uma váriável aleatória tal que E(X 2) <∞.A esperança condicional de X dado F, E(X |F), é a variávelaleatória em L2(F) que está mais próxima de X no sentindo doquadrado da média.Isto significa que

E [(X − E(X |F))2] = minZ∈L2(F)

E [(X − Z )2]

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Propriedade de projeção da esperança condicional

Seja X é uma váriável aleatória tal que E(X 2) <∞.A esperança condicional de X dado F, E(X |F), é a variávelaleatória em L2(F) que está mais próxima de X no sentindo doquadrado da média.Isto significa que

E [(X − E(X |F))2] = minZ∈L2(F)

E [(X − Z )2]

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Propriedade de projeção da esperança condicional

Seja X é uma váriável aleatória tal que E(X 2) <∞.A esperança condicional de X dado F, E(X |F), é a variávelaleatória em L2(F) que está mais próxima de X no sentindo doquadrado da média.Isto significa que

E [(X − E(X |F))2] = minZ∈L2(F)

E [(X − Z )2]

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Propriedade de projeção da esperança condicional

Seja X é uma váriável aleatória tal que E(X 2) <∞.A esperança condicional de X dado F, E(X |F), é a variávelaleatória em L2(F) que está mais próxima de X no sentindo doquadrado da média.Isto significa que

E [(X − E(X |F))2] = minZ∈L2(F)

E [(X − Z )2]

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Propriedade de projeção da esperança condicional

Seja X é uma váriável aleatória tal que E(X 2) <∞.A esperança condicional de X dado F, E(X |F), é a variávelaleatória em L2(F) que está mais próxima de X no sentindo doquadrado da média.Isto significa que

E [(X − E(X |F))2] = minZ∈L2(F)

E [(X − Z )2]

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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

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Martingais.

Propriedades definidorasExemplosA interpretação de um martingal como um jogo não viciado

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Martingais.

Propriedades definidorasExemplosA interpretação de um martingal como um jogo não viciado

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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

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Martingais.

Propriedades definidorasExemplosA interpretação de um martingal como um jogo não viciado

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Filtração

Uma coleção Ft , t ≥ 0 de σ-álgebras sobre Ω é chamada deFiltração se

Fs ⊂ Ft ; s < t

Um processo estocástico Y = Yt ; t ≥ 0 é dito adaptado àfiltração (Ft , t ≥ 0 seσ(Yt ) ⊂ Ft para todo t ≥ 0.

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Filtração

Uma coleção Ft , t ≥ 0 de σ-álgebras sobre Ω é chamada deFiltração se

Fs ⊂ Ft ; s < t

Um processo estocástico Y = Yt ; t ≥ 0 é dito adaptado àfiltração (Ft , t ≥ 0 seσ(Yt ) ⊂ Ft para todo t ≥ 0.

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Filtração

Uma coleção Ft , t ≥ 0 de σ-álgebras sobre Ω é chamada deFiltração se

Fs ⊂ Ft ; s < t

Um processo estocástico Y = Yt ; t ≥ 0 é dito adaptado àfiltração (Ft , t ≥ 0 seσ(Yt ) ⊂ Ft para todo t ≥ 0.

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Filtração

Uma coleção Ft , t ≥ 0 de σ-álgebras sobre Ω é chamada deFiltração se

Fs ⊂ Ft ; s < t

Um processo estocástico Y = Yt ; t ≥ 0 é dito adaptado àfiltração (Ft , t ≥ 0 seσ(Yt ) ⊂ Ft para todo t ≥ 0.

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Filtração

Uma coleção Ft , t ≥ 0 de σ-álgebras sobre Ω é chamada deFiltração se

Fs ⊂ Ft ; s < t

Um processo estocástico Y = Yt ; t ≥ 0 é dito adaptado àfiltração (Ft , t ≥ 0 seσ(Yt ) ⊂ Ft para todo t ≥ 0.

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Processos adaptados ao movimento browniano

Seja (Bt ; t ≥ 0) um movimento browniano e (Ft ; t ≥ 0) afiltração natural correspondente. Os processos estocásticos daforma

Xt = f (t ,Bt ), t ≥ 0

onde f é uma função de duas variáveis são adaptados aFt , t ≥ 0

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Processos adaptados ao movimento braowniano

Se um processo estocástico (Yt ; t ≥ 0 é adaptado à filtraçãobrowniana natural (Ft ; t ≥ 0), nós diremos que Y é adaptadoao movimento browniano. Isto significa que Yt é uma função de(Bs, s ≤ t).

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Martingale

O processo estocástico X = (Xt ; t ≥ 0) é um martingale detempo contínuo com respeito à filtração (Ft ; t ≥ 0) se

E(|Xt |) <∞ para todo t ≥ 0X é adaptado a Ft

E(Xt |Fs) = Xs

para todo 0 ≤ s ≤ t

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Martingale

O processo estocástico X = (Xt ; t ≥ 0) é um martingale detempo contínuo com respeito à filtração (Ft ; t ≥ 0) se

E(|Xt |) <∞ para todo t ≥ 0X é adaptado a Ft

E(Xt |Fs) = Xs

para todo 0 ≤ s ≤ t

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Martingale

O processo estocástico X = (Xt ; t ≥ 0) é um martingale detempo contínuo com respeito à filtração (Ft ; t ≥ 0) se

E(|Xt |) <∞ para todo t ≥ 0X é adaptado a Ft

E(Xt |Fs) = Xs

para todo 0 ≤ s ≤ t

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Martingale

O processo estocástico X = (Xt ; t ≥ 0) é um martingale detempo contínuo com respeito à filtração (Ft ; t ≥ 0) se

E(|Xt |) <∞ para todo t ≥ 0X é adaptado a Ft

E(Xt |Fs) = Xs

para todo 0 ≤ s ≤ t

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança de Martingais

E(Xt |Fs) = Xs ⇒

E(E(Xt |Fs)) = E(Xs) ⇒

E(Xt ) = E(Xs)

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Esperança de Martingais

E(Xt |Fs) = Xs ⇒

E(E(Xt |Fs)) = E(Xs) ⇒

E(Xt ) = E(Xs)

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Esperança de Martingais

E(Xt |Fs) = Xs ⇒

E(E(Xt |Fs)) = E(Xs) ⇒

E(Xt ) = E(Xs)

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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança de Martingais

E(Xt |Fs) = Xs ⇒

E(E(Xt |Fs)) = E(Xs) ⇒

E(Xt ) = E(Xs)

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Martingale como um jogo não viciado

E(Xt − Xs|Fs) = E(Xt |Fs)− Xs ⇒

Xs − Xs = 0

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Martingale como um jogo não viciado

E(Xt − Xs|Fs) = E(Xt |Fs)− Xs ⇒

Xs − Xs = 0

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Martingale como um jogo não viciado

E(Xt − Xs|Fs) = E(Xt |Fs)− Xs ⇒

Xs − Xs = 0

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

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2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

As integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes.

A integral de Riemann ordináriaA integral de Riemann-Stieltjes

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

As integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes.

A integral de Riemann ordináriaA integral de Riemann-Stieltjes

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Integral de Riemann

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Integral de Riemann-Stieltjes

E(X ) =

∫ ∞−∞

tdFX (t)

E [g(X )] =

∫ ∞−∞

g(t)dFX (t) =

∫ ∞−∞

g(t)dFX

dt(t)dt

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Integral de Riemann-Stieltjes

E(X ) =

∫ ∞−∞

tdFX (t)

E [g(X )] =

∫ ∞−∞

g(t)dFX (t) =

∫ ∞−∞

g(t)dFX

dt(t)dt

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Integral de Riemann-Stieltjes

E(X ) =

∫ ∞−∞

tdFX (t)

E [g(X )] =

∫ ∞−∞

g(t)dFX (t) =

∫ ∞−∞

g(t)dFX

dt(t)dt

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Integral de Riemann-Stieltjes

E [g(X )] ≈∑

i

g(xi)[FX (ti+1)− FX (ti+1)]

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Integral de Riemann-Stieltjes

E [g(X )] ≈∑

i

g(xi)[FX (ti+1)− FX (ti+1)]

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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

A integral de Ito.

Um exemplo motivadorA integral estocástica de Ito para processos simplesA integral estocástica geral de Ito

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

A integral de Ito.

Um exemplo motivadorA integral estocástica de Ito para processos simplesA integral estocástica geral de Ito

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

A integral de Ito.

Um exemplo motivadorA integral estocástica de Ito para processos simplesA integral estocástica geral de Ito

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Um exemplo motivador

Sn =n∑

i=1

Bti−1 [Bti − Bti−1 ]

Sn =12

B2t −

12

n∑i=1

(∆iB)2 =12

B2t −

12

Qn(t)

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Um exemplo motivador

Sn =n∑

i=1

Bti−1 [Bti − Bti−1 ]

Sn =12

B2t −

12

n∑i=1

(∆iB)2 =12

B2t −

12

Qn(t)

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Um exemplo motivador

Sn =n∑

i=1

Bti−1 [Bti − Bti−1 ]

Sn =12

B2t −

12

n∑i=1

(∆iB)2 =12

B2t −

12

Qn(t)

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Um exemplo motivador

E [Qn(t)] =n∑

i=1

E [(∆iB)2]

n∑i=1

E [(∆iB)2] =n∑

i=1

(ti − ti−1) = t

var[Qn(t)] = E [(Qn(t)− t)2] −−−→n→∞

0

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Um exemplo motivador

E [Qn(t)] =n∑

i=1

E [(∆iB)2]

n∑i=1

E [(∆iB)2] =n∑

i=1

(ti − ti−1) = t

var[Qn(t)] = E [(Qn(t)− t)2] −−−→n→∞

0

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Um exemplo motivador

E [Qn(t)] =n∑

i=1

E [(∆iB)2]

n∑i=1

E [(∆iB)2] =n∑

i=1

(ti − ti−1) = t

var[Qn(t)] = E [(Qn(t)− t)2] −−−→n→∞

0

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Um exemplo motivador

E [Qn(t)] =n∑

i=1

E [(∆iB)2]

n∑i=1

E [(∆iB)2] =n∑

i=1

(ti − ti−1) = t

var[Qn(t)] = E [(Qn(t)− t)2] −−−→n→∞

0

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Um exemplo motivador

E [Qn(t)] =n∑

i=1

E [(∆iB)2]

n∑i=1

E [(∆iB)2] =n∑

i=1

(ti − ti−1) = t

var[Qn(t)] = E [(Qn(t)− t)2] −−−→n→∞

0

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

∫ t

0BsdBs =

12

[B2t − t ]

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Integral de Ito

A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t

0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição

τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T

e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes

k−1∑i=1

Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]

e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].

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Integral de Ito

A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t

0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição

τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T

e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes

k−1∑i=1

Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]

e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].

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Integral de Ito

A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t

0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição

τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T

e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes

k−1∑i=1

Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]

e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].

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Integral de Ito

A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t

0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição

τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T

e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes

k−1∑i=1

Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]

e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Integral de Ito

A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t

0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição

τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T

e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes

k−1∑i=1

Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]

e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Integral de Ito

A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t

0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição

τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T

e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes

k−1∑i=1

Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]

e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].

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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Integral de Ito

A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t

0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição

τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T

e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes

k−1∑i=1

Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]

e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].

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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Propriedades da Integral de Ito

O processo estocástico∫ t

0 C(Bs)dBs, t ∈ [0,T ] é umamartingale com respeito a filtração natural Browniana.A integral estcástica de Ito possui esperança zeroA integral estocástica de Ito satisfaz a seguinte relação deisometria:

E

((∫ t

0Cs(Bs)dBs

)2)=

∫ t

0E(C2

s (Bs))ds

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Propriedades da Integral de Ito

O processo estocástico∫ t

0 C(Bs)dBs, t ∈ [0,T ] é umamartingale com respeito a filtração natural Browniana.A integral estcástica de Ito possui esperança zeroA integral estocástica de Ito satisfaz a seguinte relação deisometria:

E

((∫ t

0Cs(Bs)dBs

)2)=

∫ t

0E(C2

s (Bs))ds

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Propriedades da Integral de Ito

O processo estocástico∫ t

0 C(Bs)dBs, t ∈ [0,T ] é umamartingale com respeito a filtração natural Browniana.A integral estcástica de Ito possui esperança zeroA integral estocástica de Ito satisfaz a seguinte relação deisometria:

E

((∫ t

0Cs(Bs)dBs

)2)=

∫ t

0E(C2

s (Bs))ds

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Propriedades da Integral de Ito

O processo estocástico∫ t

0 C(Bs)dBs, t ∈ [0,T ] é umamartingale com respeito a filtração natural Browniana.A integral estcástica de Ito possui esperança zeroA integral estocástica de Ito satisfaz a seguinte relação deisometria:

E

((∫ t

0Cs(Bs)dBs

)2)=

∫ t

0E(C2

s (Bs))ds

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Propriedades da Integral de Ito

O processo estocástico∫ t

0 C(Bs)dBs, t ∈ [0,T ] é umamartingale com respeito a filtração natural Browniana.A integral estcástica de Ito possui esperança zeroA integral estocástica de Ito satisfaz a seguinte relação deisometria:

E

((∫ t

0Cs(Bs)dBs

)2)=

∫ t

0E(C2

s (Bs))ds

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

O lema de Ito.

A regra da cadeia clássica para a diferenciaçãoUma versão simples do lema de ItoVersões estendidas do lema de ItoA integral de Stratonovich e outras integrais

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

O lema de Ito.

A regra da cadeia clássica para a diferenciaçãoUma versão simples do lema de ItoVersões estendidas do lema de ItoA integral de Stratonovich e outras integrais

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

O lema de Ito.

A regra da cadeia clássica para a diferenciaçãoUma versão simples do lema de ItoVersões estendidas do lema de ItoA integral de Stratonovich e outras integrais

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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

O lema de Ito.

A regra da cadeia clássica para a diferenciaçãoUma versão simples do lema de ItoVersões estendidas do lema de ItoA integral de Stratonovich e outras integrais

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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

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Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

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Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

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Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

As equações diferenciais estocásticas de Ito.

O que é uma equação diferencial estocástica?Resolvendo EDEs usando o lema de ItoResolvendo equações diferenciais estocásticas de Itoatravés do cálculo de Stratonovich

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Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

As equações diferenciais estocásticas de Ito.

O que é uma equação diferencial estocástica?Resolvendo EDEs usando o lema de ItoResolvendo equações diferenciais estocásticas de Itoatravés do cálculo de Stratonovich

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As equações diferenciais estocásticas de Ito.

O que é uma equação diferencial estocástica?Resolvendo EDEs usando o lema de ItoResolvendo equações diferenciais estocásticas de Itoatravés do cálculo de Stratonovich

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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

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A equação diferencial linear geral.

Equações lineares com ruído aditivoEquações homogêneas com ruído multiplicativoO caso geralAs funções de esperança e variância da solução

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A equação diferencial linear geral.

Equações lineares com ruído aditivoEquações homogêneas com ruído multiplicativoO caso geralAs funções de esperança e variância da solução

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A equação diferencial linear geral.

Equações lineares com ruído aditivoEquações homogêneas com ruído multiplicativoO caso geralAs funções de esperança e variância da solução

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Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

A equação diferencial linear geral.

Equações lineares com ruído aditivoEquações homogêneas com ruído multiplicativoO caso geralAs funções de esperança e variância da solução

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Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

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Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

A aproximação de EulerA aproximação de Milstein

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A aproximação de EulerA aproximação de Milstein

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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento deopções.

Uma breve excursão através das finançasO que é uma opção?Uma formulação matemática do problema de apreçamentode opçõesA fórmula de Black e Scholes

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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento deopções.

Uma breve excursão através das finançasO que é uma opção?Uma formulação matemática do problema de apreçamentode opçõesA fórmula de Black e Scholes

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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

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