Cálculo II - A sequência de Fibonacci - Um pouco de históriaMaria José Pacifico

Instituto de Matemática - Universidad Federal do Rio de Janeiro

A Sequência de Fibonacci é a sequência numérica proposta pelo matemático Leonardo Pisa, maisconhecido como Fibonacci. Essa sequência começa normalmente por 0 e 1, na qual, cada termosubsequente corresponde à soma dos dois anteriores. A sequência recebeu o nome do matemáticoitaliano Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci, que descreveu, no ano de 1202, o crescimentode uma população de coelhos, a partir desta sequência. Esta ssequência já era, no entanto, conhecidana antiguidade.

Os números de Fibonacci são, portanto, os números que compõem a seguinte sequência:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, · · ·

A sequência é definida recursivamente pela fórmula abaixo, sendo o primeiro termo F1 = 1:

Fn = Fn−1 + Fn−2, e valores iniciais F1 = 1, F2 = 1.

1 Origens

No ocidente, a sequência de Fibonacci apareceu pela primeira vez no livro Liber Abaci (1202) deLeonardo Fibonacci, embora ela já tivesse sido descrita por gregos e indianos.

Fibonacci considerou o crescimento de uma população idealizada (não realista biologicamente) decoelhos. Os números descrevem o número de casais na população de coelhos depois de n meses se forsuposto que:

• no primeiro mês nasce apenas um casal;

• casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida;

• não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;

• todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal; e os coelhos nunca morrem.

Mas genericamente, chama-se sequência de Fibonacci qualquer função g tal que g(n + 2) = g(n) +g(n+1). Essas funções são precisamente as de formato g(n) = aF (n)+bF (n+1) para alguns númerosa e b, então as sequências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F (n) e F (n + 1)como base.

Em particular, a sequência de Fibonacci com F (1) = 1 e F (2) = 3 é conhecida como a sequência deLucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áureapara as n-ésimas potências: (

1

2(1 +

√5

)n=

1

2(L(n) + F (n)

√5).

1

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Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmulas:

L(n) = F (n− 1) + F (n− 2), F (2n) = F (n)L(n),n∏

p=1

L2p = F2n+1 , L(n) =

(1 +

√5

2

)n+

(1−

√5

2

)n.

Observando-se que

(1 +√5)(1−

√5) = −4, logo (1−

√5) =

−41 +

√5(1−

√5) =

−41 +

√5

e que

(1 +

√5

2

)2= 1 +

(1 +

√5

2

),

(1 +

√5

2

)2= 1 +

(1 +

√5

2

),

pois é a solução de x2 = 1 + x e substituindo isso em L(n), obtemos a fórmula apenas em termos daraiz positiva:

L(n) =

(1 +

(1+

√5)

2

))n+ (−1)n

(1+√5

2 )n

.

Com esta fórmula podemos montar a sequência de Fibonacci e descobrir, por exemplo, quantos coelhosforam gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até chegar ao ponto inicial de 1 e1, como mostra a figura abaixo:

Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos.

2

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1. F(6) = (F(6 - 1)) + (F(6 - 2)) = 5 e 4 → 8 (Soma do Resultado de F (5) e F (4))

2. F(5) = (F(5 - 1)) + (F(5 - 2)) = 4 e 3 → 5 (Soma do Resultado de F (4) e F (3))

3. F(4) = (F(4 - 1)) + (F(4 - 2)) = 3 e 2 → 3 (Soma do Resultado de F (3) e F (2))

4. F(3) = (F(3 - 1)) + (F(3 - 2)) = 2 e 1 → 2

5. F(2) = (F(2 - 1)) + (F(2 - 2)) = 1 e 0 → 1.

E a primeira posição 1.

Note que a sequência de Fibonacci está no resultado de cada posição: 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · ·

Conforme mencionado por Johannes Kepler, a taxa de crescimento dos números de Fibonacci, que é

Fn+1/Fn,

tende à Proporção áurea, denotada por

ϕ = 1+√5

2 ≈ 1, 61803398875.

Em outras palavras,

limn→∞

(Fn+1Fn

)= ϕ =

1 +√5

2≈ 1, 61803398875.

De um modo mais geral, tem-se

limn→∞

(Fn+kFn

)= ϕk =

1 +√5

2≈ 1, 61803398875.

Como ϕ é a raiz positiva da equação de segundo grau x2 − x− 1 = 0 temos que

ϕ2 = ϕ+ 1 ⇒ ϕn.ϕ2 = ϕn.(ϕ+ 1) ⇒ ϕn+2 = ϕn+1 + ϕn

e então a função ϕn é uma sequência de Fibonacci.

Notamos que ao desenhar um arco dentro desse Retângulo Aureo obtemos, por sua vez, a Espiral deFibonacci.

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A verdade é que a sequência de Fibonacci pode ser percebida na natureza. São exemplos disso asfolhas das árvores, as pétalas das rosas, os frutos como o abacaxi, as conchas espiraladas dos caracóisou as galáxias.

Muito interessante é o fato de que através do coeficiente de um número com o seu antecessor, obtém-sea constante com o valor aproximado de 1, 618 = ϕ.

Ela é aplicada em análises financeiras e na informática e foi utilizada por Da Vinci, que chamou asequência de Divina Proporção, para fazer desenhos perfeitos.

Um uso interessante da sequência de Fibonacci é na conversão de milhas para quilômetros. Por exem-plo, para saber aproximadamente a quantos quilômetros 5 milhas correspondem, pega-se o número deFibonacci correspondendo ao número de milhas (5) e olha-se para o número seguinte (8).

5 milhas são aproximadamente 8 quilômetros. Esse método funciona porque, por coincidência, o fatorde conversão entre milhas e quilômetros (1, 609) é próximo de ϕ ≈ 1, 618 (obviamente ele só é útil paraaproximações bem grosseiras: além do fator de conversão ser diferente de ϕ, a série converge para ϕ).

Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação, tal como nas artes visuais, deter-minar proporções entre elementos formais. Um exemplo é a Música para Cordas, Percussão e Celestade Béla Bartók.

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