FunçõesFunções: Expressão matemática que descreve como um valor é determinado por outro valor.Domínio: Conjunto de todos os valores que satisfazem a equação.Imagem: Conjunto de todos os valores de y tal que f(x) = y | x є Dom de f.As funções podem ser representadas por equações, gráficos e tabelas de valores.Teste da Reta Vertical: Para todo x є Dom de f há apenas um valor de y.

Função linear: f(x) = mx + cFunção modular: f(x) = |x|Função identidade: f(x) = xFunção polinomial: f(x) = axn + bxn – 1 + cxn – 2 + ... + kFunção afim: f(x) = ax + c => Função polinomial de primeiro grau.Função quadrática: f(x) = ax2 + bx1 + c => Função polinomial de segundo grau.Função racional: f(x) = g(x) ÷ h(x)Função composta: (f ° g)(x) = f(g(x))Função par: f(x) = –f(x)Função impar: f(x) = f(–x)Função injetora: cada valor da imagem é determinado por apenas um valor do domínio.Para elas usa-se o teste da reta horizontal. Apenas as funções injetoras podem ser invertidas.Função inversa: f(x) = f -1(x) => para inverter uma função basta trocar x por y e isolar y.Função exponencial: f(x) = ax + c => Função exponencial natural: f(x) = ex + c tem coeficiente angular 1 ao cruzar o eixo x. Usa-se a constante e ≈ 2,17828 geralmente usada para expressar crescimento ou decaimento exponencial (etx => t constante).Função logarítmica: f(x) = loga x => inversa da função exponencial.Propriedades dos logaritmos:log AB = log A + log B log x = log10 x log AB = B × log A ln x = loge xAlogA x = x => logA Ax = x Ax = ex × ln A

LogA x = ln x ÷ ln A

Funções trigonométricas:

Função Domínio Imagem Derivada Derivada Inv.

sen x [-π/2, π/2] [-1,1] cos x ddx

( sen−1 u )= 1

√1−u2

dudy

cos x [0, π] [-1,1] -sen x ddx

(cos−1u )= 1

√1−u2

dudy

tg x (-π/2, π/2, π/2) (--∞, ∞) sec2 x ddx

(tg−1 u )= 1

1+u2

dudy

cotg x (0, π) (-∞, ∞) -cosec2 x ddx

(cotg−1u )= 1

1+u2

dudy

sec x [0 , π/2)U (π/2, π] (-∞,-1] U [1,∞) sec x tg xd ( sec−1 u )

dx=

dudx

¿u∨√u2−1cosec x [-π/2,0)U (0, π/2] (-∞,-1] U [1,∞) -cosec x cotg x d ( cosec−1 u )

dx=

dudx

¿u∨√u2−1

Limites e ContinuidadeLimite: Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x0 talvez exceto em x0 o limite

de f(x), conforme x se aproxima de x0 é: L=lim ¿x→ x0f (x)¿.

Teorema I: lim A f(x) + B g(x) = A lim f(x) + B lim f(x)lim f(x) × g(x) = lim f(x) × lim g(x)lim f(x)n = [lim f(x)]n

Teorema II: Limites de funções polinomiais podem ser obtidos por substituição.Teorema III: Limites de funções racionais podem ser obtidos por substituição quando denominador é diferente de zero.Teorema IV (Confronto): se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) e limx→c f(x) = limx→c h(x) = L então:limx→c g(x) = LTeorema V: se f(x) ≤ g(x) para todo x exceto talvez em c => limx→c f(x) = limx→c g(x)Teorema VI: uma função terá limite em x→c se houver limites iguais em ambos os lados:

limx→ c+¿ f ( x )= lim

x →c−¿f ( x )=limx→ c

f ( x )=L ¿¿¿

¿

Teorema VII: limx →0

sen xx

=1

Teorema VIII: limx→ ∞

cx=0 => lim

x→ ∞

xc=∞ ou -∞ => lim

x →0

ccx

=∞ ou -∞

Continuidade: uma função é continua quando não há “buracos” em seu gráfico.Teorema IX: Se f e g são continuas em dado intervalo as seguintes combinações são continuas neste dado intervalo: f + g e f × gTeorema X: Se f é continua em c e g em f(c) a composta f(g(x)) é continua em c.Teorema XI: Se f é continua em b e limx→c f(x) = b => limx→c g(f(x)) = g(b) = g(limx→c f(x))Teorema XII (Valor Médio): Uma função continua em um intervalo [a, b] assume rodos os valores entre f(a) e f(b).

Extensão Continua: ( x−2 )(x+3)( x−2 )(x+2)

=x+3x+2

Transladando um gráfico de função:

Verticalmente => y = f(x) + kHorizontalmente => y = f(x + k)

Mudando escala de um gráfico de função: para c > 1y = f(x) × c => alonga o gráfico verticalmente por um fator c.y = f(x) ÷ c => comprime o gráfico verticalmente por um fator c.y = f(cx) => alonga o gráfico horizontalmente por um fator c.y = f(x ÷ c) => comprime o gráfico horizontalmente por um fator c.y = -f(x) => reflete o gráfico em torno do eixo x.y = f(-x) => reflete o gráfico em torno do eixo y.

Derivada

Derivada: dydx

=limh → 0

f ( x+h )−f ( x )h

Quando uma função é não derivável em um ponto: O gráfico apresenta um “bico” (derivadas laterais diferentes). Coeficiente angular de um lado tende +∞ e do outro a -∞. Uma tangente vertical (coeficiente +∞ ou -∞). Descontinuidade.

Teorema I: Se f é derivável em x = c, f é continua em x = c (a recíproca pode ser falsa).Teorema II (Darboux): Se f é derivável em [a, b] f’ assume todos os valores entre f’(a) e f’(b)

Regras de Derivação:

Derivada da Função constante: ddx

c=0

Derivada da Potencia: ddx

un=nun−1 dudx

Derivada da Soma: ddx

(u+v )=dudx

+ dvdx

Derivada do Produto: ddx

(u × v )=udvdx

+vdudx

Derivada do Quociente: ddx ( u

v )=v

dudx

−udvdx

v2

Derivada da Exponencial natural: ddx

eu=eu dudx

Derivada do Logaritmo natural: ddx

ln u=1u

dudx

Derivada do Logaritmo de base qualquer: ddx

log au= 1u ln a

dudx

Derivada de au: ddx

au=au ln adudx

Teorema III (Regra da Cadeia): Se f(u) é derivável em u = g(x) e g(x) em x a composta (f°g)(x) é derivavel em x e (f° g)’(x) = f’(g(x)) × g’(x).

Equações Paramétricas: se x = f(t) e y = g(t) em vez de descrever uma curva expressando sua ordenada em função de x é melhor expressa-las em função de uma terceira variável t.

Formula para dydx

: dydx

=

dydtdxdt

d ² ydx ²

=

dy 'dtdxdt

Derivação Implícita: Deriva os dois lados da equação em relação a x, reúna os termos dy/dx em um lado e ache dy/dx (pode substituir valores conhecidos).

Teorema IV: Regra da derivada para funções inversas ( f−1 )' (b )= 1

f '( f −1 (b ))

Teorema V: o numero e pode ser calculado como e=limx →0

(1+x )1x

Linearização: aproximação linear padrão quando x = a L ( x )=f (a )+ f ' (a)(x−a)Diferencial: a diferencial dx é a variável independente. A diferencial dy é: dy=f ' ( x ) dx

Aplicações das DerivadasExtremos de Funções: Seja f uma função de domínio D. Então f tem:Um valor máximo absoluto em D no ponto c tal que: f(x) ≤ f(c)Um valor mínimo absoluto em D no ponto c tal que: f(x) ≥ f(c)

Teorema I (Valor Extremo): Se f é continua num intervalo [a, b], f assume tanto um valor máximo M em f como um mínimo m tal que: M ≥ f(x) ≥ m para qualquer x em [a, b].Teorema II (Extremos Locais): f possui máximo ou mínimo local para f’(x) = 0 ou nas extremidades de f.Teorema III (Rolle): seja f(x) derivável em (a, b) e f(a) = f(b) há pelo menos um numero c tal que f(c) = 0.Ponto Crítico: Qualquer ponto de f onde f’ é 0 ou indefinida.Para se achar os máximos absolutos, calculamos f nos pontos críticos e extremidades e separamos o maior e menor valor.

Teorema IV (Valor Médio): seja f(x) derivável em (a, b), há pelo menos um ponto c tal que:f (b )−f (a)

b−a=f ' (c)

Definições para funções num intervalo (a, b):

n: índice onde k termina.ak: função para k.k = 1: fator inicial de k.

Se f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2, então f é crescente em (a, b). Se f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2, então f é decrescente em (a, b). Se f’(x) > 0 em qualquer x є (a, b). então f é crescente em (a, b). Se f’(x) < 0 em qualquer x є (a, b). então f é decrescente em (a, b).

Teste da primeira derivada (para extremos locais): Se f’ muda de positiva para negativa em c, f possui um mínimo local em c. Se f’ muda de negativa para positiva em c, f possui um mínimo local em c. Se f’ não muda de sinal em c, c não é um extremo local de f.

Teste da segunda derivada (para concavidade): o gráfico de uma função derivável y = f(x) é: Côncavo para cima em um intervalo aberto I, se f’ é crescente em I. Côncavo para baixo em um intervalo aberto I, se f’ é decrescente em I. Se f’’ > 0 em I, o gráfico de f ao longo de I é côncavo para cima. Se f’’ < 0 em I, o gráfico de f ao longo de I é côncavo para baixo.

Ponto de Inflexão: ponto onde o gráfico de uma função muda a concavidade.Em todo ponto de inflexão a segunda derivada é 0.

Teorema V (teste da segunda derivada para extremos locais): Suponha f’’ continua em c. Se f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, f possui um máximo local em x = c. Se f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, f possui um mínimo local em x = c. Se f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, f pode ter um máximo ou mínimo local ou nenhum.

Teorema VI (A Regra de L’Hôpital): para achar o limite de f(x)/g(x) quando f(x) = 0 e g(x) =

= 0 derivamos f e g até encontrarmos algo diferente de 0/0: limx →a

f (x)g(x )

=limx→ a

f '( x)g '(x )

Teorema VII (Valor médio de Cauchy): sejam f e g continuas no intervalo [a, b] e deriváveis

em (a, b) existe um numero c em (a, b) no qual: f '(c)g '(c)

=f ( b )−f (a)g ( b )−g(a)

.

Primitiva: uma função F é primitiva de f se F’ = f(x) em qualquer x num intervalo I.

Integração

Notação Sigma: ∑k =1

n

ak=a1+a2+…+an−1+an

Regras algébricas para somas finitas:

Regra da Soma: ∑k =1

n

(ak+bk )=∑k=1

n

ak+∑k=1

n

bk

Regra da Multiplicação por Constante: ∑k =1

n

c× ak=c×∑k=1

n

ak

Regra do Valor Constante: ∑k =1

n

c=n×c

Some de Riemann: soma de todas as “torres” quando ∆x→0 de um gráfico de função.

Integral Indefinida: conjunto de todas as primitivas de f em relação à x: ∫ f ( x )dx+C

Integral definida (limite das somas de Riemann): ∫a

b

f ( x )dx

Teorema I: Uma função continua em um intervalo [a, b] é integrável em [a, b].Teorema II (propriedades das integrais): Quando f e g são integráveis num intervalo [a, b]:

Ordem de Integração: ∫a

b

f ( x )dx=−∫b

a

f ( x ) dx

Intervalo de largura zero: ∫a

a

f ( x )dx=0

Multiplicação por constante: ∫a

b

kf (x ) dx=k∫a

b

f ( x )dx

Regra da Soma: ∫a

b

[ f ( x )+g ( x )]dx=∫a

b

f ( x )dx+∫a

b

g ( x )dx

Aditividade: ∫a

b

f ( x )dx+∫b

c

f (x ) dx=∫a

c

f (x ) dx

Desigualdade Max-min: min f ×(b−a)≤∫a

b

f ( x )dx ≤ max f ×(b−a)

Dominação: se f(x) ≥ g(x) em [a, b] ∫a

b

f ( x )dx ≥∫a

b

g ( x ) dx

Derivada do Logaritmo de base qualquer: ddx

log au= 1u ln a

dudx

A área sob a curva f(x) em f(x) é => ∫a

b

f ( x )dx

Valor médio de uma função em um intervalo [a, b] M ( f )= 1a−b

∫a

b

f ( x ) dx

Teorema III (Valor médio): Se f é continua em [a, b] há um c onde f ( c )= 1a−b

∫a

b

f ( x ) dx

Teorema IV (Fundamental do Calculo): F é uma primitiva de f.

F '(x )= ddx

∫a

x

f (t ) dt=f ( x ) ∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a)

Teorema V (Regra da Substituição): ∫a

b

f ¿¿

Teorema VI (Substituições em integrais definidas): ∫a

b

f ¿¿

Teorema VII: Se f é continua em um intervalo simétrico [-a, a]:

Se f é par, ∫−a

a

f (x ) dx=2∫0

a

f ( x ) dx

Se f é impar, ∫−a

a

f (x ) dx=0

Regra da potenciação na forma integral: Se u é derivável ∫undu= un+1

n+1+C

Área entre curvas: se f(x) ≥ g(x) para todo x em [a, b] a área entre as curvas de f(x) e g(x) é:

A=∫a

b

[ f ( x )−g ( x ) ]dx

Aplicações das Integrais Definidas

Volume: V=∫a

b

A ( x ) dx A(x) é a função da área da secção transversal do sólido.

Calculando o volume de um sólido: Esboce o gráfico da secção transversal típica. Encontre uma formula para A(x), a área de uma secção transversal do sólido. Encontre os limites de integração. Integre A(x) usando o teorema fundamental.

O princípio de Cavalieri: Dois sólidos de mesma altura e áreas transversais têm volume igual.Método do Disco: sólidos gerados pela rotação de uma área plana em torno de um eixo:

V=∫a

b

A ( x ) dx=∫a

b

π [r ( x )]2dx

Método do Anel: para sólidos com orifício no meio, têm um raio externo R e um interno r:

V=∫a

b

A ( x ) dx=∫a

b

π {[R ( x )]2−[r ( x )]2 }dx

Método das Cascas: obtido pela rotação de uma reta vertical do sólido em torno do eixo x:

V=∫a

b

2 π × (raio da casca )× (alturada casca ) dx

Calculando o volume de um sólido pelo método das cascas: Esboce o gráfico nomeando a altura e o raio. Determine os limites de integração para a variável espessura. Integre em relação a variável espessura.

Comprimento de uma curva paramétrica: uma curva definida por x = f(t) e y = g(t), a ≤ t ≤ b, onde f’ e g’ são continuas não simultaneamente nulas em [a, b], é percorrida de t = a até

t = b seu comprimento é: L=∫a

b

√ [ f ' (t )]2+[ g ( t )]2dt

Comprimento de y = f(x): o comprimento de uma curva em [a, b] é: L=∫a

b

√1+[g ' ( x )]2 dx

Descontinuidade em y = f(x): se em algum ponto a derivada dy/dx seja indeterminada podemos achá-la usando dx/dy escrevendo x em função de y.

Área da superfície de revolução: se f(x) ≥ 0 é derivável em [a, b], a área da superfície gerada

pela rotação de y = f(x) em trono de x é: S=∫a

b

2 πf (x )√1+[ f ' ( x )]2 dx

Para curvas parametrizadas: a área da superfície de uma curva x = f(t) e y = g(t) gerada pela

rotação em torno de x percorrida de t = a até t = b é: S=∫a

b

2 πf (x )√[ f ' ( x )]2+[ g ' ( x )]2dx

Teorema I (Pappus para Volumes): Se uma região plana é girada uma vez em torno de uma reta que não atravessa o interior da região, o volume do solido gerado igual a área da região vezes a distancia percorrida pelo centróide da região durante a revolução. Se ρ é a distancia entre o eixo de revolução e o centróide, então: V=2 πρATeorema II (Pappus para áreas de superfície): se o arco de uma curva plana é girado toda vez em torno de uma reta que não atravessa o interior do arco, a área da superficie gerada pelo arco é igual ao comprimento do arco vezes a distancia percorrida pelo centróide do arco durante a revolução. Se ρ é a distancia entre o eixo de revolução e o centróide: S=2πρLNestes casos ρ é uma diferencial.

Funções Transcendentes

A função logaritmo natural: ln x=∫1

x1t

dt x > 0

O numero e é aquele que satisfaz: ln e=∫1

e1t

dt=1

A derivada da ln x: ddx

ln u=1u

dudx

u > 0 ddx

ln ¿ x∨¿=1x

¿ x ≠ 0

Propriedades dos logaritmos:log AB = log A + log B log x = log10 x log AB = B × log A ln x = loge xAlogA x = x => logA Ax = x Ax = ex × ln A

A integral de u-1: ∫ 1u

du=ln|u|+C

A inversa de ln x é a função exponencial natural: ln−1 x=ex

e ln x=x ln e x=x

Derivada da Exponencial natural: ddx

eu=eu dudx

Integral da Exponencial natural: ∫ eu du=ex+C

A função exponencial geral com a > 0 é dada por: ax=e xln a l oga x= ln xln a

ddx

au=au ln adudx

∫ au du= au

ln a+C

Taxas de crescimento quando x → ∞: sejam f(x) e g(x) definidas para um x altamente grande

f(x) cresce mais rápido que g(x) se: limx→ ∞

f (x) /g( x)=∞

f(x) cresce mais lentamente que g(x) se: limx→ ∞

f (x) /g( x)=0

f(x) e g(x) crescem a mesma taxa se: limx→ ∞

f (x )/ g ( x )=L L finito e positivo

obs: 2x não cresce mais rápido que x; funções logarítmicas sempre crescem a mesma taxa.

Notações “Ozão e ozinho”:

uma função f é de ordem menor que g se: limx→ ∞

f (x ) / g ( x )=0

Indicamos esta situação dizendo f é “ozinho” de g f = o(g)

uma função f é no máximo da ordem de g se: f ( x )/ g ( x )≤ MIndicamos esta situação dizendo f é “ozão” de g f = O(g)

Funções hiperbólicas: formadas a partir de ex e e-x : ex= ex+e− x

2+ ex−e− x

2

senh x= ex−e− x

2 .cosh x= ex+e−x

2..

tgh x= ex−e−x

ex+e−x cotgh x= ex+e−x

ex−e−x

sec x= 2

ex+e− x cosec x= 2

ex−e− x

Técnicas de IntegraçãoFormula da integral por partes:

∫ f ¿¿ ∫udv=uv−∫ vduIntegração tabular: usada quando se precisa aplicar integração por patês varias vezes:

f(x) e suas integrais Exemplo:∫ x2 ex dx g(x) e suas integrais

x2 (+¿) ex

2x (−¿) ex

2 (+¿) ex

0 ex

Método de frações parciais (f(x)/g(x)) própria:Seja x + r um fator de g(x) e (x + r)m a maior potencia de x + r que divide g(x), associe a este

fator m frações parciais: A1

x−r+

A2

(x−r )2 +…+Am

(x−r )m faça isso para cada fator distinto

de g(x)Seja x2 + px + q um fator de g(x) e (x2 + px + q)n a maior potencia de x2 + px + q que divide

g(x), associe a este fator n frações parciais: B1 x+Cn

x2+ px+q+…+

Bn x+Cn

(x¿¿2+ px+q)n ¿ a cada

fator distinto.Iguale a soma dessas frações a f(x)/g(x), resolva o sistema e integre cada fração parcial.

Integrais trigonométricas:

Integrais na forma ∫sinm x cosn x : temos três casos a avaliar:

m impar: fazemos m = 2k + 1 e usamos a identidade sen2 x = 1 – cos2 x. m par e n impar: fazemos n = 2k + 1 e usamos a identidade cos2 x = 1 – sen2 x.

m e n pares: substituímos cos2 x=1+cos2 x2

e sin2 x=1−cos2 x2

.

Produtos de senos e cossenos: também temos três casos a avaliar:

Parte ímpar

Parte par

sin mx sin nx=cos (m−n ) x−cos (m+n ) x

2

sin mx cos nx=sin (m−n ) x+sin (m+n ) x

2

cos mx cosnx=cos (m−n ) x+cos (m+n ) x

2Integrais na forma ∫ tgm x secn x : usamos: tg2 x = sec2 x – 1 e sec2 x = tg2 x + 1

Substituições trigonométricas: em certos tipos de casos podemos fazer certas substituições: x=a tg θ →√a2+x2=a∨sec θ∨¿¿ x=a senθ →√a2−x2=a∨cosθ∨¿¿ x=a sec θ→√ x2−a2=a∨tgθ∨¿¿

Integrais impróprias: Integrais com limites infinitos de integração ou com integrando indo para infinito. Faz os testes nos limites, caso o limite é finito dizemos que a integral imprópria converge e que o limite é o valor da integral imprópria. Se o limite não existe dizemos que a integral imprópria diverge.ele é usado como valor, também deve-se “quebrar” a integral em duas (aditividade) (principalmente no ponto em que ela vai pra infinito) para evitar erros.Teorema I: sejam f e g continuas em [a, ∞), com 0 ≤ f(x) ≤ g(x), para qualquer x ≥ a:

∫a

∞

f ( x )dx converge se ∫a

∞

g ( x ) dx converge

∫a

∞

g ( x ) dx diverge se ∫a

∞

f ( x )dx diverge

Teorema II (comparação no limite): sejam as funções positivas f e g continuas em [a, ∞), se:

limx→ ∞

f (x )g (x)

=L ,→0<L<∞,→∫a

∞

f ( x ) dx e∫a

∞

g ( x )dx

São ambas convergentes ou ambas divergentes.

Sequências e Séries InfinitasSequência infinita: função cujo domínio é o conjunto dos naturais e n é o n-ésimo termo.

an=√n → {an }= {√1 ,√2 ,√3 …√n }= {√n }n=1

∞

Convergência: a medida que a sequência avança an se aproxima de um valor fixo.Divergência: conforme a sequência avança an não vai para um valor fixo ou tende a infinito.

Teorema I: sejam as sequencias {an} e {bn} com limn → ∞

an=A e limn → ∞

bn=B temos:

Regra da Soma: limn → ∞

(an+bn)=A+B

Regra do Produto: limn → ∞

(an ×bn)=A × B

Teorema II (Confronto): se an ≤ bn ≤ cn e limn → ∞

an= limn →∞

cn=L=¿ limn→ ∞

bn=L

Teorema III: seja a sequencia {an} com an→ L, então f (a¿¿n)→f (L)¿.

Teorema IV: se an=f (n) para n ≤ n0 podemos usar as regras de funções para qualquer an.

Teorema V: limites que aparecem com freqüência:

limn → ∞

ln nn

=0 limn → ∞

n√n=1

limn → ∞

xn=0 (|x| < 1) limn → ∞

n√ x=1 (x > 0)

limn → ∞

xn

n!=0

(todo x)limn → ∞ (1+ x

n )n

=ex(todo x)

Sequencia crescente: sequencia {an} com an≤ an+1 (sequencias constantes são crescentes).Teorema VI: uma sequencia crescente converge apenas se for limitada superiormente.

Série infinita: soma de todos os termos de uma sequencia {an}: ∑n=1

∞

an

Séries geométricas: séries na forma ar n−1, ∑n=1

∞

arn−1= a1−r

,∨r∨¿1

Séries telescópicas: séries na forma 1

n(n+1)=1

n− 1

n+1, ∑

n=1

∞1

n(n+1)=1

n− 1

k+1

Teorema VII: Se ∑n=1

∞

an converge, então an→ 0, se an≠ 0 a série diverge.

Teorema VIII: sejam ∑ an=A e ∑ bn=B convergentes, então:

∑ (a¿¿n+bn)=A+B ¿

Podemos somar ou tirar termos a uma serie ∑n=1

∞

an=a1+a2+…+ak+∑n=k

∞

an

Podemos reindexar sem alterar a convergência: ∑n=0

∞

antransformamos em ∑n=k

∞

an−k

Teorema IX (Teste da Integral): Se {an} = f(n) e f é uma função continua de x, então tanto a

série ∑n=1

∞

an quanto a integral imprópria ∫1

∞

f ( x )d x convergem ou ambas divergem.

Teorema X (Teste de Comparação): seja ∑ an uma série com termos positivos.

∑ anconverge se existe uma série convergente ∑ bn com bn≥ an para todo n.

∑ an diverge se existe uma série convergente ∑ cn com cn ≤ an para todo n.

Teorema XI (Comparação no limite): suponha que an > 0 e bn > 0 para todo n:

Se limn → ∞

an

bn

=c>0, então ambos ∑ an e ∑ bn convergem ou divergem.

Se limn → ∞

an

bn

=0, e ∑ bn converge então ∑ an converge.

Se limn → ∞

an

bn

=∞, e ∑ bn diverge então ∑ an diverge.

Teorema XII (Teste da Razão): seja ∑ an uma série com termos positivos:

Se limn → ∞

an+1

an

<1, então a série converge.

Se limn → ∞

an+1

an

>1, então a série diverge.

Se limn → ∞

an+1

an

=1, o teste é inconcludente.

Teorema XIII (Teste da Raiz): seja ∑ an uma série com an≥ 0:

Se limn → ∞

n√an<1, então a série converge.

Se limn → ∞

n√an>1, então a série diverge.

Se limn → ∞

n√an=1, o teste é inconcludente.

Teorema XIV (Teste de Leibniz): a série alternada ∑n=1

∞

(−1)n+1 an converge se:

an≥ 0 , an ≥ an+1 , an→ 0Teorema XV (estimativa de erro): uma série alternada convergente se aproxima do valor real com um erro menor que an+1 onde an é o primeiro termo não usado.

Teorema XVI (Convergência Absoluta): se ∑n=1

∞

¿an∨¿converge então ∑n=1

∞

anconverge.

Teorema XVII (Rearranjo): se ∑n=1

∞

an converge absolutamente e ∑n=1

∞

bn é um rearranjo da

sequencia {an}, então ∑n=1

∞

bn converge e ∑n=1

∞

an=∑n=1

∞

bn.

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