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CLEIDE BETENHEUSER ROX

UNIDADE DIDÁTICA

OS CONCEITOS ÁREA E PERÍMETRO E SUAS APLICAÇÕES NO ESTUDO DO

RETÂNGULO ÁUREO

CURITIBA

2011

CLEIDE BETENHEUSER ROX

UNIDADE DIDÁTICA

OS CONCEITOS ÁREA E PERÍMETRO E SUAS APLICAÇÕES NO ESTUDO DO

RETÂNGULO ÁUREO

Material didático-pedagógico – Unidade didática apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE, da Secretaria Estadual de Educação do Paraná - SEED

Orientadora: Profª Drª Tânia Teresinha Bruns Zimer

CURITIBA 2011

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

Professora PDE: Cleide Betenheuser Rox

Área PDE: Matemática

NRE: Curitiba

Professora Orientadora IES: Tânia Teresinha Bruns Zimer

IES vinculada: Universidade Federal do Paraná (UFPR)

Escola de Implementação: Colégio Estadual Bom Pastor – Ensino Fundamental e

Médio

Público objeto da intervenção: alunos de 8ª série / 9º ano do Ensino Fundamental

Público alvo: 16 alunos de 8ª série / 9º ano do turno matutino

Autora: Cleide Betenheuser Rox

Editora: Secretaria Estadual de Educação do Paraná - SEED

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 – EQUIVALÊNCIA DE ÁREAS ................................................................ 11

FIGURA 2 – RELAÇÕES ENTRE OS QUADROS QUE COMPÕEM O CONCEITO

DE ÁREA ............................................................................................ 13

FIGURA a ................................................................................................................ 14

FIGURA b ................................................................................................................. 14

FIGURA c ................................................................................................................. 14

FIGURA d ................................................................................................................. 14

FIGURA e ................................................................................................................. 14

FIGURA f .................................................................................................................. 15

FIGURA g ................................................................................................................. 15

FIGURA 3 – SEGMENTO ÁUREO ........................................................................... 19

FIGURA 4 – PARTENON ......................................................................................... 21

FIGURA 5 – RETÂNGULO ÁUREO ......................................................................... 21

FIGURA 6 – RETÂNGULO ÁUREO E SEQUÊNCIA DE FIBONACCI ..................... 23

FIGURA 7 – FIGURAS GEOMÉTRICAS PARA RELACIONAR EQUIVALÊNCIA DE

ÁREAS ................................................................................................ 37

FIGURA 8 – ÁREAS DE FIGURAS A PARTIR DE UNIDADES DADAS .................. 39

FIGURA 9 – ÁREAS DE FIGURAS COM SUPERFÍCIES OU UNIDADES DE

MEDIDA IGUAIS ................................................................................. 51

FIGURA 10 – ÁREAS DE RETÂNGULOS PROPORCIONAIS ................................ 52

FIGURA 11 – TELA INICIAL DO GEOGEBRA ......................................................... 58

FIGURA 12 – FERRAMENTAS DESFAZER E REFAZER ....................................... 58

FIGURA 13 – MENU EXIBIR E SEUS APLICATIVOS ............................................. 59

FIGURA 14 – BARRA DE FERRAMENTAS ............................................................. 59

FIGURA 15 – JANELA DA OPÇÃO GRAVAR ARQUIVOS ...................................... 62

FIGURA 16 – JANELA POLÍGONO REGULAR ....................................................... 64

FIGURA 17 – JANELA PROPRIEDADES DO OBJETO .......................................... 66

FIGURA 18 – CÍRCULO DEFINIDO PELO CENTRO E UM DE SEUS PONTOS ... 71

FIGURA 19 – SEMIRRETAS DEFINIDAS POR DOIS PONTOS ............................. 71

FIGURA 20 – O RETÂNGULO ÁUREO CONSTRUÍDO .......................................... 72

LISTA DE QUADROS

QUADRO 1 – QUADRO DE INTERVENÇÕES......................................................... 31

QUADRO 2 – REGISTRO DE ÁREAS DE FIGURAS .............................................. 35

QUADRO 3 – IDENTIFICAÇÃO DO PERÍMETRO DE ACORDO COM A MEDIDA DE

ÁREA DADA ...................................................................................... 43

QUADRO 4 – IDENTIFICAÇÃO DE ÁREA DE ACORDO COM A MEDIDA DO

PERÍMETRO DADA ...................................................................... 47

QUADRO 5 – IDENTIFICAÇÃO DE PROPORÇÃO ENTRE LADOS DE

RETÂNGULOS ........................................................................ 53

QUADRO 6 – MEDIDAS DE ÁREAS E PERÍMETROS DE RETÂNGULOS

PROPORCIONAIS .......................................................................... 54

QUADRO 7 – IDENTIFICAÇÃO DE POLÍGONOS DESENHADOS NO GEOGEBRA

DE ACORDO COM O NÚMERO DE LADOS ................................. 63

QUADRO 8 – IDENTIFICAÇÃO DE RETÂNGULOS ÁUREOS FORMADOS A

PARTIR DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI ..................................... 78

QUADRO 9 – ÁREA E PERÍMETRO DE PEÇAS QUADRADAS ............................ 80

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 8

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................... 10

2.1. OS CONCEITOS ÁREA E PERÍMETRO: UMA SIGNIFICAÇÃO ...................... 10

2.2. HISTÓRIA DA GEOMETRIA .............................................................................. 16

2.3. PROPORÇÃO ÁUREA, RETÂNGULO ÁUREO E SEQUÊNCIA DE FIBONACCI .

............................................................................................................................ 18

2.4. INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS .................................................................. 24

2.5. GEOMETRIA DINÂMICA – O GEOGEBRA ....................................................... 27

3. DESENVOLVIMENTO DAS ATIVIDADES ........................................................... 30

3.1. INVESTIGANDO ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS ................................ 33

3.1.1. Objetivo geral ................................................................................................. 33

3.1.2. Objetivos específicos ...................................................................................... 33

3.1.3. Recursos necessários .................................................................................... 33

3.1.4. Estratégias de ação ........................................................................................ 33

3.1.5. Desenvolvimento ............................................................................................ 34

3.1.6. Avaliação ....................................................................................................... 38

3.2. E SE A UNIDADE DE MEDIDA MUDAR, COMO CALCULAR A ÁREA? .......... 38

3.2.1. Objetivo geral ................................................................................................. 38





3.2.6. Avaliação ....................................................................................................... 41

3.3. INVESTIGANDO PERÍMETROS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS .................... 41

3.3.1. Objetivo geral ................................................................................................. 41




3.3.5. Observações importantes ............................................................................... 42


3.3.7. Atividade complementar ................................................................................. 45

3.3.8. Avaliação ........................................................................................................ 45

3.4. ANALISANDO RELAÇÕES ENTRE ÁREA E PERÍMETRO DE

RETÂNGULOS .............................................................................................. 46

3.4.1. Objetivo geral ................................................................................................. 46





3.4.6. Avaliação ....................................................................................................... 49

3.5. INVESTIGANDO GEOMETRICAMENTE ÁREA, PERÍMETRO, RAZÃO E

PROPORÇÃO ................................................................................................. 49

3.5.1. Objetivo geral ................................................................................................. 49





3.5.6. Avaliação ....................................................................................................... 55

3.6. CONHECENDO UM POUCO O GEOGEBRA ................................................... 55

3.6.1. Objetivo geral ................................................................................................. 55






3.6.7. Avaliação ....................................................................................................... 67

3.7. O RETÂNGULO ÁUREO NO GEOGEBRA. QUAL A RELAÇÃO COM ÁREA E

PERÍMETRO? ................................................................................................... 68

3.7.1. Objetivo geral ................................................................................................. 68






3.7.7. Avaliação ....................................................................................................... 75

3.8. INVESTIGANDO RETÂNGULOS DE FIBONACCI ........................................... 76

3.8.1. Objetivo geral ................................................................................................. 76






3.8.7. Avaliação ....................................................................................................... 81

3.9. POR QUE A PROPORÇÃO ÁUREA É TÃO ATUAL? ....................................... 81

3.9.1. Objetivo geral ................................................................................................. 81





3.9.6. Avaliação ....................................................................................................... 84

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 84

REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 86

APÊNDICES ............................................................................................................. 91

8

1. INTRODUÇÃO

Área e perímetro são conceitos fundamentais no ensino-aprendizagem de

Matemática e podem ser aplicados a outros conhecimentos matemáticos. A

construção desses conceitos envolve aspectos geométricos e de grandezas que não

são explorados de uma forma geral em sala de aula, privilegiando-se apenas os

aspectos numéricos e algébricos, ou seja, exclusivamente o cálculo a partir de

fórmulas dadas. Por isso, muitos alunos possuem dificuldades em assimilá-los e/ou

diferenciá-los, confundindo-se inclusive entre aplicações de fórmulas e unidades de

medida.

Nas séries finais do Ensino Fundamental, tais conhecimentos são aplicados

a outras situações de ensino. Nesses momentos, observam-se as dificuldades de

entendimento ou não-assimilação desses conceitos, vindo a ser um dos fatores que

prejudicam e/ou dificultam a aplicação ou resolução de situações-problema. Em vista

disso, surge a necessidade de revisar e ensinar alguns pontos básicos e

necessários de área e perímetro, aplicando-os a outros específicos de 8ª série/9º

ano - razão e proporção e semelhança de polígonos -, os quais também

apresentam dificuldades no ensino-aprendizagem.

A presente Unidade Didática, caracterizada como atividade de produção

didático-pedagógica, constitui-se como estratégia de ação elaborada para a

implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica junto ao Programa de

Desenvolvimento Educacional (PDE), implantado pela Secretaria de Educação do

Estado do Paraná, com o intuito de buscar formas de contribuir para a melhoria da

educação pública.

Nessa perspectiva, a problemática que norteia o estudo e a elaboração de

tal produção didático-pedagógica é:

“Quais compreensões os alunos evidenciam dos conceit os área e

perímetro e suas aplicações no estudo de proporções no retângulo áureo

mediante uma metodologia envolvendo atividades de i nvestigação

matemática?”

Essa problemática leva em consideração as dificuldades encontradas pelos

alunos na assimilação dos conceitos de área e perímetro, assim como proporções e

9

semelhança em Geometria.

Para tanto, esses conteúdos são abordados metodologicamente nesta

Unidade Didática por meio de atividades de investigação matemática, uma das

tendências metodológicas da Educação Matemática incorporada às Diretrizes

Curriculares do Estado do Paraná, sendo mais uma alternativa a ser articulada com

as demais tendências, no intuito de contribuir para a melhor compreensão da

matemática.

As investigações matemáticas proporcionam o desenvolvimento da lógica,

do raciocínio, da criatividade na resolução das questões, da formulação e verificação

de conjecturas e da argumentação, pois o aluno inicia um processo de “fazer

matemática”, de forma que “o trabalho do aluno aproxima-se, assim, do trabalho do

matemático” (PONTE; et al, 1998).

Como se presume que os alunos não estão familiarizados com atividades

de exploração e investigação matemática, estas são elaboradas em princípio sob a

forma de um “estudo dirigido”, auxiliando-os na delimitação das estratégias que eles

irão explorar para solucionar as questões das atividades e construir por si o

conhecimento matemático.

Com base neste contexto e para uma abordagem mais interativa, tais

conteúdos básicos – área e perímetro, razão e proporção e semelhança de

polígonos – são explorados também no estudo da proporção áurea. Nesse

momento, será utilizado como recurso tecnológico o software de Geometria

Dinâmica GeoGebra, para a construção do retângulo áureo e medição de seus

lados, objetivando uma análise mais detalhada da proporção áurea.

Incluem-se também, de uma forma mais restrita, atividades investigativas de

proporções entre áreas e perímetros a partir da sequência de Fibonacci, que pode

ser observada nas construções geométricas incorporadas no retângulo áureo.

A proporção áurea, apesar de ser estudada por povos antigos, é muito atual

em suas aplicações, principalmente no design gráfico, na fotografia, nas artes e na

arquitetura. Por isso, inclui-se a análise de algumas dessas aplicações, como

atividade investigativa complementar, demonstrando sua real utilização.

10

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1. OS CONCEITOS ÁREA E PERÍMETRO: UMA SIGNIFICAÇÃO

As pesquisadoras francesas Regine Douady e Marie-Jeanne Perrin Glorian1

(1989, apud Silva e Bellemain, 2010) propõem uma abordagem do conceito de área

de figuras planas como uma grandeza, o que corresponde a distinguir três quadros:

o geométrico, o das grandezas e o numérico.

De acordo com Teles e Bellemain (2010, p. 4), o quadro geométrico refere-

se às superfícies planas (triângulos, quadriláteros, figuras com contornos

curvilíneos); o quadro numérico refere-se às medidas da área das superfícies, que

pertencem ao conjunto dos números reais positivos; e o quadro das grandezas

refere-se ao estabelecimento de classes de equivalência formadas por figuras de

mesma área, integrando os dois primeiros quadros.

Para considerar a área como uma grandeza é preciso distinguir área e figura (pois figuras distintas podem ter a mesma área) e também área e número (pois se medimos a área de uma figura com diferentes unidades, obtemos números diferentes para expressar a medida de área e obviamente a área não se altera). (Id.)

A abordagem de área como grandeza se articula do ponto de vista do

desenvolvimento cognitivo com a ideia de conservação, a qual permite ao sujeito

admitir que figuras qualitativamente diferentes possam ser equivalentes quanto ao

atributo área. (Id.)

Segundo Kordaki2 (2003, apud Teles e Bellemain, 2010, p. 4), a noção de

conservação de área articula-se com a ideia de equidecomposição de polígonos e

permite falar em área enquanto grandezas. A área, como um espaço dentro de uma

figura e a noção de conservação da área, são conceitos preliminares para a

compreensão do conceito e da medida da área.

Como exemplo, se observarmos as figuras a seguir (Figura 1), formadas por

12 cartões quadrados com lados representando unidade de 1 cm, observamos que

1 DOUADY, R.; PERRIN-GLORIAN, M. –J. Un processus d’aprentissage du concept d’aire de surface plane. In : Educational Studies in Mathematics. v. 20, n. 4, p. 387-424, 1989. 2 KORDAKI, Maria. The effect of tools of a computer microworld on student’s strategies regarding the concept of conservation of area. Educational Studies in Mathematics . 52: 177 – 209, 2003.

11

não há duas figuras iguais, mas todas têm a mesma área (12 cm2) e por isso são

equivalentes entre si. (IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005, p. 200)

FIGURA 1 – EQUIVALÊNCIA DE ÁREAS

FONTE: IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005, p. 200

Na construção do conceito de área enquanto grandeza, Douady e Perrin-

Glorian (1989, apud Silva e Bellemain, 2010, p. 6) afirmam:

Que é preciso elaborar um processo de aprendizagem de área relacionando-a com o lugar ocupado por uma superfície no plano. Do ponto de vista matemático, o que se procura é uma função, denominada função medida, que associa superfícies planas a números, de tal forma que seu domínio seja um certo conjunto de superfícies planas e seu contradomínio seja o conjunto de números reais não-negativos.

Silva e Bellemain (2010, p. 6) destacam ainda que na “medição de área

atribui-se um número real positivo a cada superfície plana, ou seja, constrói-se uma

função (função área) com valores numéricos, de modo que comparar superfícies

planas reduz-se a comparar números, que são as medidas de área.” Para isso

“escolhe-se uma superfície de valor um (superfície unitária). A partir daí, a medição

de área de uma superfície plana consiste na indagação intuitiva: ‘Quantas vezes a

superfície unitária cabe na superfície plana em questão?’ ”

Construída a função área, define-se área como sendo uma classe de

equivalência de superfícies planas de mesma área, pertencente a esse conjunto. E a

área da superfície unitária passa a ser denominada de unidade de área. (Id.)

Baltar3 (1996, apud Silva e Bellemain, 2010, p. 6) analisa a construção do

conceito de área sob a ótica da Teoria dos Campos Conceituais de Gerard

Vergnaud4. Nesse sentido, propõe uma classificação dos tipos de situações que dão

3 BALTAR, Paula Moreira. Enseignement et aporprentissage de la notion d’aire de surface planes: une étude de l’acquisition des relations entre les longueurs et les aires au collège. Tese de Doutorado em Didática da Matemática pela Université Joseph Fourier, Grenoble, 1996. 4 Gerard Vergnaud, diretor de pesquisa do Centro Nacional de Pesquisa Científica (CNRS) da França, discípulo de Piaget, toma como premissa que o conhecimento está organizado em campos conceituais, ou seja, a essência do desenvolvimento cognitivo é a conceitualização. (MOREIRA, 2002, p. 1)

12

sentido à área: situações de comparação, de medida e de produção.

• Situações de comparação: situam-se em torno do quadro das grandezas.

Comparando-se duas superfícies, pode-se verificar se elas pertencem ou não

a uma mesma classe de equivalência.

Exemplo: Dando uma só mão de tinta, em qual das paredes o pintor gastaria

mais tinta.

• Situações de medida: destacam-se o quadro numérico e a passagem do

quadro das grandezas ao numérico através da escolha da unidade. O

resultado esperado nessa situação é um número seguido de uma unidade.

Exemplo: Usando uma régua, meça os lados do retângulo abaixo e calcule o

seu perímetro.

• Situações de produção: são diferentes das anteriores do ponto de vista da

tarefa cognitiva do aluno, pois enquanto nas situações de comparação e

medida em geral há apenas uma resposta correta para cada situação, as

situações de produção admitem frequentemente várias respostas corretas.

Exemplo: Numa folha de papel quadriculado, considerando um quadradinho

dessa folha ( □ ) como unidade de medida, desenhe polígonos de:

a) área igual a 16 quadradinhos; c) área igual a 48 quadradinhos;

b) área igual a 11 quadradinhos; d) área igual a 8,5 quadradinhos.

(BRITO e BELLEMAIN, 2004, p. 6; SILVA e BELLEMAIN, 2010, p. 6)

Lima5 (1995, apud Duarte, 2004, p. 4) propôs adicionar aos três quadros

relativos ao conceito de área propostos por Douady e Perrin-Glorian um quarto

quadro, o algébrico-funcional , que considera uma álgebra das grandezas e as

5 LIMA, Paulo F. Considerações sobre o Ensino Conceito de Área. In: SEMANA DE ESTUDOS EM PSICOLOGIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1. 1995, Recife. Anais... Recife: 1995.

13

fórmulas de área. O esquema abaixo (Figura 2) mostra as relações entre os quadros

mencionados.

FIGURA 2 – RELAÇÕES ENTRE OS QUADROS QUE COMPÕEM O CONCEITO DE ÁREA

FONTE: DUARTE, 2004, p. 4

Alguns objetos e ferramentas conceituais, pertencentes a dois ou mais

quadros do esquema anterior, podem ser mobilizados quando inseridos em uma

situação de aprendizagem. Exemplificando, quando em uma situação que envolve a

comparação entre a área de duas figuras, sem o emprego de medidas, requer-se a

articulação dos quadros geométrico e das grandezas; em uma situação onde é

necessária a intervenção das medidas de área, é previsível a articulação entre os

conceitos dos quadros geométrico, numérico e das grandezas; enquanto que os

conceitos do quadro algébrico-funcional são utilizados, por exemplo, em situações

onde é necessário o uso das fórmulas de áreas de figuras conhecidas.

A manipulação de objetos e ferramentas, bem como suas relações, formam

um processo denominado por Douady de dialética ferramenta-objeto. (Id.)

Para Baltar (1996, apud Facco, 2003, p. 33) e outros estudiosos,

os diferentes conceitos sobre área são identificados por meio da verificação da medida da área, da comparação de áreas e superfícies, da construção de superfícies de mesma área de uma superfície dada, das superfícies de área mínima para um contorno fixo e da verificação das deformações que conservam a área.

Baltar (id.) destaca ainda que, para definir uma aplicação de medida entre

superfícies planas e números, é necessário, antes de construir a área como

grandeza autônoma, deixar claras as diferenças existentes entre área e perímetro.

Quadro geométrico

Quadro algébrico-funcional

Quadro das grandezas

Quadro numérico

14

Assim, Baltar (1996, apud BALDINI, 2004, p. 20-21) classificou essa

distinção de acordo com quatro pontos de vista:

• Topológico , pelo qual os conceitos de área e perímetro correspondem a

objetos geométricos distintos, sendo a área associada à superfície e o

perímetro a seu contorno;

Figura a Figura b

Na figura a, a superfície que corresponde à área foi destacada de cinza

azulado; e na figura b, o destaque de cinza foi dado ao seu contorno, o perímetro da

figura.

• Dimensional , o qual evidencia que uma superfície e seu contorno são

objetos matemáticos de naturezas distintas, no que diz respeito às

dimensões, trazendo consequências imediatas sobre o uso das unidades

adaptadas à expressão das medidas de área e perímetro;

Figura c Figura d

A figura c é bidimensional, ou seja, tem duas dimensões e é adequada para

o cálculo de áreas. A figura d é unidimensional, ou seja, possui uma única dimensão,

adequada para o cálculo de perímetro.

• Computacional , que corresponde à aquisição das fórmulas de área e

perímetro de figuras usuais;

Área = b . h

Perímetro = b + b + h + h = 2b + 2h

Figura e

• Variacional , consiste na aceitação de que área e perímetro não variam

necessariamente no mesmo sentido, e que figuras de mesma área podem

b

h

15

ter perímetros distintos e vice-versa.

Área = 12 u2 Área = 12 u2

Perímetro = 16 u Perímetro = 14 u

Figura f Figura g

As figuras apresentadas ( f e g) são exemplos de superfícies que possuem

mesma área e perímetros diferentes.

Quando pensamos em comprimento de uma curva, devemos considerar que

curvas distintas podem ter o mesmo comprimento. A grandeza comprimento não é

igual ao segmento de reta. O comprimento nos dá a ideia de distância entre dois

pontos; já o segmento está no quadro geométrico, onde se encontram os desenhos.

Conclui-se que distância é o comprimento de um segmento. Assim, observa-se que

a grandeza área e a grandeza comprimento são completamente distintas. (SILVA e

BELLEMAIN, 2010, p. 5)

De acordo com os três quadros identificados por Douady e Perrin-Glorian,

ou seja: o geométrico, o das grandezas e o numérico; em relação ao conceito de

comprimento, do quadro geométrico participam as linhas abertas ou fechadas

(essa última constituindo-se o que chamamos de contorno de uma figura plana,

poligonal ou não). O comprimento faz parte do quadro das grandezas e

caracteriza-se de forma distinta das linhas, pois diferentes linhas podem ter o

mesmo comprimento. O perímetro é um caso particular da grandeza comprimento,

diferenciando-se do objeto geométrico em si, que é uma linha fechada. E o quadro

numérico é composto das medidas de comprimento usando diferentes unidades.

(BRITO e BELLEMAIN, 2004, p. 5)

Podemos afirmar que perímetro é a medida do contorno de uma

determinada figura e não apenas a “soma das medidas dos lados”, pois esta

definição pode ser estendida também ao cálculo do perímetro de uma circunferência.

O trabalho com o conceito de área também não deve se restringir apenas

ao cálculo da área de retângulos, quando geralmente se prioriza o uso de fórmulas,

16

mas deve se estender a outros polígonos e figuras com contornos curvilíneos, como

o cálculo da área do fundo de uma piscina circular. (ROCHA; et al, 2010, p. 2-3)

2.2. HISTÓRIA DA GEOMETRIA

As primeiras considerações que o homem fez a respeito da geometria

parecem ter se originado de simples observações provenientes da capacidade

humana de reconhecer configurações físicas, comparar formas e tamanhos. (EVES,

1992, p. 1).

Segundo o mesmo autor, a noção de distância foi um dos primeiros

conceitos geométricos a serem desenvolvidos e a necessidade de delimitar a terra

levou à noção de figuras geométricas simples, como retângulos, quadrados e

triângulos. Outros conceitos, como as noções de vertical, paralela e perpendicular

teriam sido sugeridos pela construção de muros e moradias. Essa geometria, por

desenvolver-se de forma intuitiva e por não existir a preocupação em sistematizá-la,

foi chamada de geometria subconsciente.

Mais tarde, a inteligência humana tornou-se capaz de extrair certas

propriedades gerais e relações que incluíam as observações anteriores como casos

particulares, chegando-se assim à noção de lei ou regra geométrica. Esse nível mais

elevado do desenvolvimento da geometria recebeu a denominação de “geometria

científica”, sendo que os instrumentos de descoberta eram indução, ensaio e erro e

procedimentos empíricos. (Ibid, p. 3).

Os vales dos rios Nilo (no Antigo Egito), Tigre e Eufrates (na Mesopotâmia),

Indo, Ganges, Hwang Ho e Yangtzé (na Ásia), foram os locais onde a geometria

subconsciente transformou-se em científica, utilizando uma geometria prática na

drenagem de pântanos, irrigação, obras de defesa contra inundações e construção

de edifícios e estruturas. (Ibid, p. 4).

Numerosos exemplos concretos mostram que os babilônios do período

2000-1600 a.C. conheciam as regras gerais para o cálculo de áreas de retângulos,

de triângulos retângulos e isósceles (e talvez de um triângulo qualquer), de um

trapézio retângulo e do volume do paralelepípedo retângulo.

As principais fontes de informações a respeito da geometria egípcia antiga

17

são os papiros Moscou e Rhind – textos matemáticos datando de aproximadamente

1850 a.C. e 1650 a.C. -- que contêm, respectivamente, 25 e 85 problemas. Destes,

26 são de Geometria e a maioria provém de fórmulas de mensuração necessárias

para calcular áreas de terras e volume de celeiros. (Ibid, p. 5)

O desenvolvimento posterior da geometria ocorre com os gregos que

criaram procedimentos baseados em raciocínios lógicos e não em intuição e

experimentação, surgindo assim uma geometria abstrata, chamada de geometria

demonstrativa ou dedutiva. Seu precursor parece ter sido Tales de Mileto, na

primeira metade do século VI a.C. Tales residiu temporariamente no Egito, trazendo

a geometria egípcia em sua volta para a Grécia e aplicando-a a procedimentos

dedutivos da filosofia grega. Pitágoras foi considerado o continuador dos estudos de

Tales. Ele fundou a famosa escola pitagórica, uma irmandade empenhada no estudo

de filosofia, matemática e ciências naturais. (Ibid, p. 8)

Entretanto, Euclides tem merecido maior destaque nas publicações da área

de Matemática, pois foi quem organizou e sintetizou praticamente todo o

conhecimento matemático produzido desde Tales de Mileto até sua época, por volta

do ano 300 a.C. Sua principal obra, “Elementos”, reúne quase todo o conhecimento

matemático daquele tempo, abordando, além de geometria, assuntos de álgebra e

teoria dos números. Os nove primeiros livros tratam de geometria plana elementar e

os quatro últimos sobre incomensurabilidade, geometria espacial e poliedros

regulares. (ÁVILA, 2001, p. 4)

Euclides atraiu um grande número de discípulos, possibilitando assim a

propagação de suas ideias. Entre essas ideias, Euclides discutiu que duas figuras

planas que se coincidem por superposição são iguais (congruentes).

Outros geômetras gregos que também merecem destaque são Arquimedes

e Apolônio, os quais também deixaram trabalhos que versaram sobre geometria

plana e espacial, conforme relata Eves (1992, p. 10). A Geometria Euclidiana, como

é chamada atualmente, era fundamentada em definições, postulados e axiomas, que

serviram e servem hoje como referência para o estudo da geometria plana.

Merece destaque ainda o trabalho de David Hilbert que, em 1889, publicou o

livro “Fundamentos da Geometria”, no qual estabeleceu uma correspondência entre

os elementos geométricos do plano – pontos, retas e círculos – com entes

18

numéricos da geometria analítica. (ÁVILA, 2001, p. 8).

2.3. PROPORÇÃO ÁUREA, RETÂNGULO ÁUREO E SEQUÊNCIA DE FIBONACCI

Inicialmente, há a necessidade de se conceituar e diferenciar três termos

essenciais: fração, razão e proporção.

Supondo que desejamos dividir 7 por 2, ou seja, queremos descobrir

quantos grupos de 2 elementos conseguimos formar com um grupo de 7 elementos.

Como resposta, observamos que podem ser formados 3 grupos de dois elementos e

sobra 1 elemento.

Na forma decimal, pode-se escrever 3,5 – o que significa 3 grupos inteiros e

metade de um grupo de 2 elementos. Essa divisão pode ser escrita também na

forma de fração: 7/2.

Já a palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente

entre dois números racionais a e b (sendo b diferente de zero), denotado por a:b ou

a/b e lê-se a para b. Como exemplo, a razão entre 10 e 5 é 2 porque 10/5 = 2.

A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre

as partes de uma grandeza. Consiste em relacionar duas razões dentro de uma

igualdade. (MACEDO, et al, p. 2)

Lívio (2009, p. 13) reforça que no "dia-a-dia, usamos a palavra ‘proporção’

ou para a relação comparativa entre partes de coisas com respeito a tamanho e

quantidade, ou quando queremos descrever uma relação harmoniosa entre

diferentes partes.” Como exemplo, podemos citar:

9 = 6 .

3 2

Para essa igualdade, vale a propriedade fundamental das proporções: “o

produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. Isto é: nove está para três

assim como seis está para dois. (id.)

Finalizando, podem-se estabelecer as seguintes definições:

Fração é uma divisão entre dois números.

Razão é uma comparação entre duas grandezas.

19

Proporção é a igualdade entre duas razões.

A razão áurea, sendo um número que provém da comparação entre duas

grandezas, é um número que não é nem inteiro ( como 1, 2, 3,...) nem a razão de

dois números inteiros (como as frações ½, ⅔, ¾,..., conhecidos como números

racionais). É um número que nunca termina e nunca se repete, sendo por isso

conhecido como número irracional. Seu valor aproximado é 1,6180339887... (Ibid, p.

14-15)

“A primeira definição clara do que mais tarde se tornou conhecido como

Razão Áurea foi dada por volta de 300 a.C. pelo fundador da geometria como

sistema dedutivo formalizado, Euclides de Alexandria”, o qual “definiu uma

proporção derivada da simples divisão de uma linha no que ele chamou de sua

‘razão extrema e média’.” (Ibid, p. 13)

Assim, “nas palavras de Euclides: Diz-se que uma linha reta é cortada na

razão extrema e média quando, assim como a linha toda está para o maior

segmento, o maior segmento está para o menor”. (Ibid, p. 14)

Ou seja, dividir um segmento de reta em duas partes, de tal modo que a

razão entre a menor e a maior parte fosse igual à razão entre a maior parte e o

segmento total.

FIGURA 3 – SEGMENTO ÁUREO

FONTE: A autora

Na Figura 3, o ponto C divide o segmento AB em média e extrema razão, se

a razão entre o maior e o menor segmento é igual à razão entre o segmento todo e o

maior, ou seja:

AC = AB

CB AC

Se tomarmos o maior e o menor segmento medindo, respectivamente, x e 1

unidade de comprimento, teremos pela definição de extrema e média razão:

A BC

20

x = x + 1

1 x

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, obtemos a equação de 2º grau:

x2 = x + 1 x2 – x – 1 = 0

que tem como raízes x’ = 1 + √ 5 e x” = 1 – √ 5

2 2

A solução positiva 1,6180339887 é exatamente o valor da razão áurea,

sendo um número irracional, pois é a metade da soma de 1 com a raiz quadrada de

5. (BACCARO, 2009, p. 9-10)

A descoberta de que a Razão Áurea é um número irracional foi, ao mesmo

tempo, a descoberta da incomensurabilidade, ou seja, quando a razão entre dois

comprimentos não pode ser expressa por uma fração (como um número racional).

(LIVIO, 2009, p. 15). É uma grandeza que pode ser traçada, mas não pode ser

medida.

Esse número irracional passou a ser chamado de Fi ou Phi, cujo símbolo é

Ф, em homenagem ao famoso escultor grego Phidias (ou Fidias), que viveu entre

490 e 430 a.C., pois acredita-se que ele tenha usado este número nas suas obras,

entre elas o Partenon, na Grécia. (Ibid, p. 16)

De acordo com Livio (2009, p. 91), “a maioria dos livros sobre Razão Áurea

afirma que as dimensões do Partenon, enquanto seu frontão triangular estava

intacto, ajustava-se perfeitamente a um Retângulo Áureo. Supõe-se que a Razão

Áurea também aparece em outras dimensões do Partenon.” (Figura 4)

21

FIGURA 4 – PARTENON

FONTE:<http://ddesigndeinteriores.blogspot.com/2011/02/proporcao-ou-razao-aurea-o-principio da.html> Acesso em 11.mar.2011

A divisão de um segmento em média e extrema razão já era estudado no

Livro VI de Euclides. Os retângulos áureos eram encontrados com frequência nas

esculturas e obras arquitetônicas da Grécia Antiga e a razão áurea já estava

presente nas pirâmides do Antigo Egito. (SARAIVA, 2002, p. 3)

De acordo com Ávila (1985, p. 2): “Chama-se retângulo áureo qualquer

retângulo ABCD com a seguinte propriedade: se dele suprimirmos um quadrado,

como ABFE, o retângulo restante, CDEF, será semelhante ao retângulo original.”

(Figura 5)

FIGURA 5 – RETÂNGULO ÁUREO

FONTE: ÁVILA, 1985, p. 9

Se a + b e a são os comprimentos dos lados do retângulo original, a

definição acima se traduz na relação

22

a + b_ = a .

a b

Os comprimentos dos lados do retângulo estão em uma razão áurea entre

si. Se retirarmos um quadrado desse retângulo, encontramos um retângulo menor

que também é um Retângulo Áureo.

As dimensões do retângulo “filho” são menores que as do retângulo “pai” exatamente pelo fator Φ. Podemos agora retirar um quadrado do Retângulo Áureo “filho” e teremos novamente um Retângulo Áureo, cujas dimensões são menores novamente pelo fator de Φ. Continuando este processo ad infinitum, produziremos Retângulos Áureos cada vez menores. (...) O Retângulo Áureo é o único retângulo com a propriedade de que, ao se cortar um quadrado, forma-se outro retângulo similar. (LIVIO, 2009, p. 103)

As propriedades estéticas e artísticas dessa razão são mostradas no

retângulo áureo. Esse retângulo é considerado o mais agradável aos olhos. Além do

Partenon, muitos trabalhos famosos de arquitetura, como a catedral de Chartres, e

de pintura, como alguns quadros de Leonardo da Vinci, com destaque para a

Monalisa, foram baseados no retângulo áureo. (LAURO, 2005, p. 36).

A razão áurea também foi estudada pelo monge Luca Pacioli (1445-1517),

de Veneza, que escreveu um tratado de três volumes, chamado de Divina

Proportione (A Divina Proporção), publicado em 1509, sendo ilustrado por Leonardo

da Vinci. Os livros versavam sobre a proporção áurea em sólidos geométricos e

aplicações na arquitetura e na estrutura do corpo humano. (EVES, 1992, p. 44;

LIVIO, 2009, p. 151-158).

O matemático italiano Leonardo de Pisa, também chamado de Leonardo

Fibonacci (1170 – 1240?) foi um dos responsáveis pela divulgação do sistema de

numeração na Europa, por meio de seu livro Líber Abaci (Livro do Ábaco), escrito

em 1202. Deste livro, cita-se o célebre problema dos coelhos:

Um casal de coelhos torna-se produtivo após dois meses de vida e, a partir de então, produz um novo casal a cada mês. Começando com um único casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais existirão ao final de um ano?

Este problema deu origem à chamada sucessão de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5,

8, 13, 21... (CARVALHO, 1990, p. 5-6). Nesta sequência, todo termo, após o

segundo, é igual à soma dos dois que o precedem.

Verifica-se ainda que a relação entre a sequência de Fibonacci e o número

23

de ouro Phi está no fato de que, se dividirmos os sucessores pelos antecessores

aproximamo-nos gradativamente da razão áurea. Analisando:

1/1 = 1,000000

2/1 = 2,000000

3/2 = 1,500000

5/3 = 1,666666

8/5 = 1,600000

13/8 = 1,625000

21/13 = 1,6153846, e assim por diante. (LIVIO, 2009, p. 120)

A espiral de quadrados que podem ser formados dentro de um retângulo

áureo forma números de Fibonacci. (Figura 6)

FIGURA 6 – RETÂNGULO ÁUREO E SEQUÊNCIA DE FIBONACCI

FONTE:<http://www.google.com.br/images?um=1&hl=ptbr&biw=1024&bih=573&tbs=isch%3A1&sa=1&q=retangulo+aureo+e+sequencia+de+fibonacci+wikipedia&aq=f&aqi=&aql=&oq=> Acesso em 11.mar.2011

Analisando o retângulo áureo da figura acima, observa-se que as

proporções entre os perímetros dos quadrados sucessivamente menores que se

formam também obedecem a razão áurea. Como exemplo, o quadrado de lados

medindo 8 unidades, ou seja 8 u, com perímetro de 32 u, e o quadrado de 5

unidades de lado, com perímetro 20 u, formam a razão: 32/20 = 1,6 (o número áureo

aproximado). Nesse caso, há uma proporção direta entre ambos.

24

Já a razão entre as áreas do quadrado de 8 unidades, sendo 64 u2 e do

quadrado de 5 unidades, sendo 25 u2, possuem uma razão 64/25 = 2,56. Neste caso

não forma uma proporção direta, mas observa-se que a raiz quadrada de 2,56 é

igual a 1,6 (novamente o número áureo).

Essas mesmas relações são observadas se calcularmos tanto o perímetro

como a área dos retângulos maior e os menores que se formam ao serem

identificados os quadrados do retângulo áureo e verificarmos a razão entre eles.

Essa também será aproximadamente igual à razão áurea.

Pode-se verificar assim, que os conceitos de razão e proporção, vistos sob

uma perspectiva geométrica, relacionam-se com ampliação e redução de figuras

geométricas semelhantes e, ao aplicá-los ao cálculo de perímetro dessas figuras

semelhantes, há uma razão de proporção igual a ambos, inclusive igual à razão

entre os lados correspondentes dessas figuras. Igualmente se observa ao

calcularmos a área desses polígonos semelhantes, cuja razão de proporção não

será direta, pois observa-se que é a raiz quadrada da mesma razão encontrada para

o perímetro.

Ao inserir esses conceitos num estudo de proporções no retângulo áureo,

busca-se aplicá-los a conhecimentos matemáticos construídos no decorrer da

História a partir de observações de fenômenos da natureza e da arte, pensados e

demonstrados por matemáticos e tão atuais em suas aplicações. Os conceitos de

área e perímetro estão incorporados às proporções no retângulo áureo ao criar o

design de um cartão eletrônico, da tela de um notebook ou computador moderno,

uma fotografia, uma obra de arte, a fachada de uma obra arquitetônica, aparelhos

celulares, livros, revistas.

2.4. INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS

Uma investigação matemática é uma atividade que se desenvolve a partir

da identificação de um ou mais problemas a resolver. Mas a prática pedagógica de

investigações matemáticas não deve ser confundida apenas como resolução de

problemas. Apesar de se correlacionarem, o encaminhamento se dá de forma

diferente da resolução de problemas. Ponte; et al. (1998, p. 1) nos relata:

25

Enquanto que na resolução de problemas a questão tende a ser apresentada já completamente especificada ao aluno, na actividade de investigação as questões iniciais são de um modo geral vagas, necessitando ser trabalhadas, tornadas mais precisas e transformadas em questões concretas pelo próprio aluno. As actividades de investigação envolvem assim uma componente essencial de formulação de problemas, etapa normalmente ausente (porque já cumprida de antemão pelo professor) na resolução de problemas.

A realização de uma investigação matemática envolve quatro momentos

principais. O primeiro momento abrange o reconhecimento da situação, a sua

exploração preliminar e a formulação de questões. O segundo refere-se ao processo

de formulação de conjecturas6. O terceiro inclui a realização de testes e o eventual

refinamento das conjecturas. E o quarto momento diz respeito à argumentação, à

demonstração e avaliação do trabalho realizado. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA,

2009, p. 20)

Assim, as investigações matemáticas dão ênfase a processos matemáticos,

tais como: procurar regularidades, formular, testar, justificar e provar conjecturas,

refletir e generalizar, sendo atividades de cunho aberto, referentes a contextos

variados.

Para que uma situação possa constituir-se em uma investigação, é

essencial que seja motivadora e desafiadora, não sendo imediatamente acessíveis

ao aluno nem o processo de resolução nem a solução ou soluções da questão,

contrastando-se claramente com as tarefas que são usadas normalmente no

processo ensino-aprendizagem. Tais tarefas são mais abertas, permitindo que o

aluno coloque suas próprias questões e estabeleça o caminho a seguir, partindo da

compreensão da situação ou organizando e interpretando dados. A partir daí,

formulam-se as questões, fazendo conjecturas que, ao serem testadas, podem levar

à formulação de novas conjecturas ou confirmação das conjecturas iniciais. (PONTE;

et al.,1998, p. 2)

De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 25):

Uma atividade de investigação desenvolve-se habitualmente em três fases (numa aula ou conjunto de aulas): (i) introdução da tarefa, em que o professor faz a proposta à turma, oralmente ou por escrito, (ii) realização da investigação, individualmente, aos pares, em pequenos grupos ou com toda a turma, e (iii) discussão dos resultados, em que os alunos relatam aos colegas o trabalho realizado.

6 Conjetura: (do latim conjectura) suposição; hipótese; opinião que tem fundamento em indícios; presunção. (Dicionário Brasileiro Globo)

26

Na fase inicial da investigação, o professor deve esclarecer aos alunos o

sentido da tarefa proposta e aquilo que se espera deles no decurso da atividade.

Deve-se também criar um ambiente de aprendizagem incentivador, de forma que o

aluno sinta-se à vontade e lhe seja dado tempo para colocar questões, pensar,

explorar suas ideias e exprimi-las aos colegas e ao professor, sentindo que estas

são valorizadas e discutidas. Os alunos devem saber, também, que a atividade

depende, essencialmente, de sua própria iniciativa e que aquilo que ele vai fazer

será mostrado aos colegas. (Ibid, p. 28-29)

No desenvolvimento do trabalho, os alunos procedem à exploração e

formulação de questões e de conjecturas, seguindo-se o teste, a reformulação,

a justificação de conjecturas e a avaliação do trabalho. O professor, durante o

desenvolvimento da atividade investigativa, deve apenas orientar o registro das

observações, hipóteses e justificações, colocando questões aos alunos que os

estimulem a olhar em outras direções e refletir sobre o que estão fazendo.

Durante o trabalho investigativo, os alunos poderão seguir por caminhos

através dos quais não serão bem sucedidos, sendo necessário que o professor

indique pistas para uma exploração da tarefa mais acessível, relembrando, por

exemplo, situações já trabalhadas anteriormente e cujas estratégias poderão ser

análogas às que os alunos poderão implementar. (FONSECA; BRUNHEIRA;

PONTE, 1999, p. 6-8)

A fase de discussão dos resultados encontrados pelos alunos constitui um

momento importante de partilha de conhecimentos, quando então eles podem

colocar em confronto suas estratégias, conjecturas e justificações, cabendo ao

professor o papel de mediador. Este deve garantir que sejam comunicados os

resultados mais significativos e estimular os alunos a questionarem-se mutuamente.

Essa é a fase da sistematização das principais ideias e da reflexão sobre o trabalho

realizado. (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2009, p. 41)

A realização de aulas de investigação mobiliza importantes aspectos do

conhecimento profissional do professor, o qual deve ser “capaz de desencadear e

gerir a actividade dos alunos, proporcionando aprendizagens significativas tanto no

plano dos conceitos e técnicas, como das capacidades, valores e atitudes.” (PONTE;

et al., 2000, p. 25)

27

Como em toda atividade de aprendizagem, nas investigações matemáticas

também deve haver avaliação, a qual permitirá ao professor saber se os alunos

estão progredindo de acordo com suas expectativas ou se é necessário repensar a

sua ação nesse campo. Além disso, permite-se ao aluno saber como seu

desempenho é visto pelo professor e se existem aspectos aos quais deva-se dar

mais atenção. O professor pode utilizar, como instrumentos de avaliação, os

relatórios escritos, a observação informal dos alunos durante a realização da tarefa e

na fase de apresentação de suas conclusões e também apresentações orais

(PONTE, 2009, p. 109 e 124-125). Ponte ainda relata:

As investigações reportam-se a diversos objetivos curriculares. Em primeiro lugar, pretende-se que o aluno seja capaz de usar conhecimentos matemáticos na resolução da tarefa proposta. Em segundo lugar, pretende-se que o aluno desenvolva a capacidade de realizar investigações. E, em terceiro lugar, pretende-se promover atitudes, tais como a persistência e o gosto pelo trabalho investigativo. (p. 109)

O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-

aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática

genuína, na qual o aluno é chamado a: agir como matemático ao formular as

questões e conjecturas; realizar as provas e refutações; apresentar seus resultados;

discutir e argumentar com seus colegas e com o professor. (Ibid, p. 23)

2.5. GEOMETRIA DINÂMICA – O GEOGEBRA

Os recursos tecnológicos, principalmente de informática, vêm sendo

incorporados atualmente em nosso universo escolar, como ferramenta pedagógica

auxiliadora no processo ensino-aprendizagem.

De acordo com Ponte7 (1995, apud MENDES, 2009, p. 114),

o uso do computador no ensino de Matemática contribui para:

• uma relativização da importância das competências de cálculo e de simples manipulação simbólica, que podem ser realizadas de forma mais rápida e eficiente;

• um reforço do papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem dos mais variados problemas;

• uma atenção redobrada às capacidades intelectuais de ordem mais

7 PONTE, João Pedro da. Novas tecnologias na aula de matemática. In: Educação e Matemática. n. 34. Lisboa: APM, 1995, p. 2-7.

28

elevada, que se situam para além do cálculo e da simples compreensão de conceitos e relações matemáticas;

• o crescimento do interesse pelo desenvolvimento de projetos e atividades de modelagem matemática e investigação.

Uma nova expressão que vem sendo usada na área da Educação

Matemática é a Geometria Dinâmica. Não se trata de uma nova Geometria ou uma

alternativa à Geometria Euclidiana, mas simplesmente uma exploração da ideia de

movimento para descrições geométricas, ou seja, um modo dinâmico e interativo de

trabalhar a Geometria e suas propriedades usando editores gráficos construídos

para esse fim. (BRAVIANO, 2002, p. 22)

O que diferencia um software de Geometria Dinâmica dos demais é a

possibilidade de “arrastar” a figura construída utilizando o mouse, permitindo a

transformação da figura em tempo real. Isso permite agilidade na investigação, pois

as figuras podem ser criadas em segundos na tela do computador. Além da ideia de

ilustração, é possível privilegiar propriedades geométricas. O aluno pode

compreender os passos de uma demonstração, explorar e descobrir formas mais

eficazes para resolução de problemas ou visualizar um objeto de diferentes ângulos,

utilizando os recursos do software. (SILVA, 2008, p. 5)

Gravina8 (1996, apud SILVA, 2008, p. 5) afirma que os softwares de

Geometria Dinâmica podem ser trabalhados de duas formas: os próprios alunos

constroem as figuras, tendo como objetivo o domínio dos procedimentos para se

obter a construção, ou o professor entrega as figuras prontas aos alunos, para que

estes possam reproduzi-las, possibilitando a descoberta das propriedades das

figuras reproduzidas pela experimentação. Dessa forma, os alunos podem “perceber

a diferença entre desenhar e construir uma figura, verificando que, para construí-la,

não basta apenas chegar a uma aproximação desejada, mas deve-se ter a clareza

sobre as relações entre os diferentes elementos que ela possui de forma que, ao ser

arrastada, mantenha os vínculos iniciais.” (Ibid, p. 6)

As Diretrizes Curriculares de Matemática da Educação Básica do Paraná

enfatizam que “os ambientes gerados por aplicativos dinamizam os conteúdos

escolares e potencializam o processo pedagógico.” (PARANÁ, 2008, p. 65)

8 GRAVINA, M. A. Geometria Dinâmica: uma nova abordagem para o aprendizado de geometria. In: Simpósio Brasileiro de Informática na Educação,7, 1996. Belo Horizonte, Anais... Belo Horizonte, 1996.

29

Para tanto, nas escolas públicas do Paraná foram instalados laboratórios de

informática (Laboratórios do Paraná Digital), que são programados na plataforma

Linux, a qual contém um software livre para o trabalho da Geometria Dinâmica: o

GeoGebra. O projeto de criação do GeoGebra foi objeto da tese de doutorado de

Markus Hohenwarter, docente do Departamento de Matemática Aplicada da

Universidade de Salzburgo, Áustria, em 2001, cujo objetivo era obter um instrumento

adequado ao ensino da Matemática, combinando procedimentos geométricos e

algébricos. (ARAÚJO, 2008, p. 43; SILVA, 2008, p. 6)

O GeoGebra é um software livre que reúne ferramentas de geometria,

álgebra e cálculo. Ele possui duas janelas de trabalho: a geométrica e a de álgebra.

A janela geométrica, de cor branca, é o local onde os objetos são construídos, sendo

possível colori-los, aumentar a espessura das linhas, medir ângulos e distâncias e

habilitar as coordenadas cartesianas e polares que facilitam as construções, além de

outros aplicativos.

Na janela algébrica é possível visualizar a representação algébrica de todo

o objeto construído na janela geométrica. Há ainda um campo de entrada de texto,

onde é possível escrever coordenadas, equações, comandos e funções de tal forma

que, após pressionada a tecla enter, eles são mostrados imediatamente na janela

geométrica. (SILVA, 2008, p. 6)

Esse software é um ótimo recurso tecnológico, podendo ser articulado

metodologicamente na construção do retângulo áureo, o que possibilita ao aluno

observar e trabalhar de uma forma “mais concreta” com conceitos fundamentais de

Geometria Euclidiana e com números racionais e medidas. Igualmente, esse

software constitui-se em um instrumento mais preciso para as análises das medidas

de área e perímetro e suas razões de proporção observadas no retângulo áureo. Em

função disso, ele será incorporado ao estudo com uma abordagem metodológica

que enfatize suas funções básicas, para construções de polígonos e para aplicações

utilizando medições e cálculos de área e perímetro.

30

3. DESENVOLVIMENTO DAS ATIVIDADES

As atividades seguintes foram idealizadas para serem aplicadas na 8ª

série/9º ano do Ensino Fundamental, podendo ser adaptadas e ampliadas conforme

a necessidade da série em questão (Fundamental ou Médio). Elas servem como

sugestões para exploração dos conceitos e não esgotam totalmente os assuntos.

Cada atividade a ser desenvolvida consta de: objetivos geral e específicos,

recursos didático-pedagógicos necessários, estratégias de ação e desenvolvimento

propriamente dito, constando de informações e observações importantes ao

professor, e avaliação. Em uma intervenção consta também atividade complementar

que pode ser executada em sala de aula, se houver tempo disponível, ou

encaminhada como tarefa de casa.

No desenvolvimento, para diferenciar as questões e atividades específicas

dirigidas aos alunos das explicações complementares e observações ao professor,

será utilizada a letra em modo itálico e cor de fonte azul índigo, destacando-se por

uma borda externa.

Num primeiro momento de contato com os alunos, é importante que seja

realizado um contrato didático, cuja finalidade é estabelecer regras claras e objetivas

para o desenvolvimento das atividades tanto em sala de aula como no laboratório de

informática, em grupos ou individualmente, bem como a forma de elaboração e

apresentação dos resultados e relatórios das atividades. Importante também

enfatizar, nesse momento, a questão da participação de todos durante o

desenvolvimento das atividades.

Pois, de acordo com Brousseau (2008, p. 9), a noção de contrato didático

desempenha papel central na análise e na construção de situações para o ensino e

a aprendizagem da matemática. O conjunto de regras ou comportamentos implícitos

do professor em relação aos alunos, ou vice-versa, condiciona o funcionamento da

educação escolar no âmbito da sala de aula, relativamente a um conhecimento

específico. Ainda, segundo Beltrão (2010, p. 341): “para que se efetive a relação

didática é necessário não somente que o professor esteja disposto a ensinar, mas

que o aluno também cumpra com seu papel no envolvimento com o aprendizado,

manifestando desejo de aprender”.

Após o término de cada atividade, serão discutidos em sala de aula os

resultados encontrados nas atividades investigativas. Para isso, é necessário que se

31

estabeleçam também as regras para o bom encaminhamento e para que se dê a

chance de, se possível, todos se manifestarem quando dúvidas ou conclusões

diferentes surgirem.

As atividades que serão desenvolvidas em sua ordem cronológica, os

conteúdos contemplados e a abordagem metodológica estão sintetizados no quadro

de intervenções abaixo:

ATIVIDADES CONTEÚDOS ABORDAGEM METODOLÓGICA 1ª Investigando

áreas de figuras geométricas

Áreas de figuras geométricas com formas variadas, utilizando o quadradinho como unidade. Áreas de figuras que sejam equivalentes, ou seja, que possuam mesma área apesar de formas diferentes.

Alunos em duplas resolvem as atividades investigativas em relação à equivalência de áreas, a partir de um quadro onde constam diversas figuras geométricas de formas variadas, dentro de uma malha quadriculada. Ao final, os alunos recortam as figuras e tentarão montar um retângulo maior como um quebra-cabeças, identificando área e forma(s) que não se encaixam.

2ª E se a unidade de medida

mudar, como calcular a área?

Áreas de figuras geométricas, utilizando várias unidades de medida. Análise da medida de área de uma figura utilizando diferentes unidades, observando que o quadro numérico que expressa a medida da área se altera, mas a área propriamente dita, não.

Alunos em duplas resolvem atividades investigativas, a partir da análise de um quadro em que constam três figuras geométricas em malha quadriculada e pede-se para identificar sua área utilizando diversas unidades de medida.

3ª Investigando perímetros de

figuras geométricas

Identificação de perímetro de retângulos construídos a partir de uma medida de área dada. Relações entre perímetros de retângulos e outras figuras geométricas que possuam mesma medida de áreas.

Alunos divididos em grupos de quatro. Eles irão desenhar em malha quadriculada retângulos que possuam uma determinada medida de área dada, utilizando o centímetro como unidade. Após, calculam o perímetro dessas figuras e analisam as relações entre área e perímetro, a partir de atividades investigativas.

4ª Analisando relações entre

área e perímetro de figuras

geométricas

Identificação da medida de área de retângulos construídos a partir de uma medida de perímetro dada. Relações entre áreas de retângulos e outras figuras geométricas que possuam mesma medida de perímetro. Propriedades de quadriláteros.

Alunos divididos em grupos de quatro. Eles desenham em malha quadriculada retângulos que possuam uma determinada medida de perímetro dada, utilizando o centímetro como unidade. Após, calculam a área dessas figuras e analisam as relações entre área e perímetro e algumas propriedades de quadriláteros, a partir de atividades investigativas.

5ª Investigando geometricamente área, perímetro,

razão e proporção

Medidas de áreas de quadriláteros com unidades de medida diferentes, reforçando a noção de conservação de área. Identificação da razão de

Alunos divididos em grupos de quatro. Eles calculam área de quadriláteros dados com unidades de medida diferentes e, a partir de questões investigativas, analisam a noção de

32

proporção entre os lados de retângulos dados. Identificação da razão de proporção entre os perímetros e as áreas de retângulos dados. Medição utilizando o centímetro e o milímetro como unidades de medida. Cálculo com operações envolvendo números racionais com vírgula.

conservação de área. Após, a partir de retângulos proporcionais, fazem a medição de seus lados e analisam a razão de proporção entre os lados e também entre as áreas e perímetros desses retângulos.

6ª Conhecendo um pouco o

GeoGebra

Exploração de ícones que integram as funções de construção de polígonos e cálculo de área e perímetro no GeoGebra. Notações matemáticas utilizadas para ponto, reta, segmento e polígono. Conceitos de polígonos regulares e irregulares. Medidas de área e perímetro de polígonos construídos no GeoGebra.

Os alunos, distribuídos individualmente nos computadores do laboratório de informática, exploram os ícones e as ferramentas básicas que serão utilizados na próxima intervenção, a partir de atividades investigativas.

7ª O retângulo áureo no

GeoGebra. Qual a relação com

área e perímetro?

Construção do retângulo áureo no Geogebra de acordo com especificações dadas. Identificação da razão áurea como razão de semelhança entre os lados dos retângulos que se observam no retângulo áureo construído. Área e perímetro dos retângulos que se observam no retângulo áureo construído. Razão áurea como razão de proporção direta entre os perímetros dos retângulos analisados no retângulo áureo. Razão áurea como razão de proporção indireta entre as áreas dos retângulos analisados no retângulo áureo.

Os alunos, distribuídos individualmente nos computadores do laboratório de informática, constroem o retângulo áureo no GeoGebra, de acordo com especificações dadas. Após, identificam a razão áurea como razão de proporção entre os lados dos retângulos observados no retângulo áureo. A seguir, calculam área e perímetro dos retângulos, a partir das especificações do GeoGebra. Por fim, analisam como ocorre a proporção entre os perímetros e as áreas desses retângulos, a partir de questões e atividades investigativas.

8ª Sequência de Fibonacci e o

retângulo áureo

Sequência de Fibonacci no retângulo áureo. Sequência de Fibonacci e a razão áurea. Proporção áurea entre as áreas e perímetros dos quadrados que integram o retângulo áureo formado a partir da sequência de Fibonacci.

Alunos em grupos de quatro constroem e analisam retângulos áureos com peças quadradas compostas por áreas dadas a partir da sequência de Fibonacci. Após, investigam como a sequência é formada e identificam os próximos números. Por fim, analisam as proporções entre as áreas e perímetros dos quadrados formados.

9ª Por que a proporção áurea

Breve histórico da descoberta do número de ouro, características,

Apresentação de vídeo com breve histórico, características, relações com a

33

é tão atual?

relações com a natureza e sequência de Fibonacci. A proporção áurea identificada em objetos e imagens utilizados na atualidade.

natureza e propriedades do número de ouro, proporção áurea e sequência de Fibonacci. Em duplas, os alunos procedem à identificação de objetos e figuras que possuem proporção áurea em sua composição, através da medição dos lados de faces retangulares e cálculo para identificação da razão áurea como razão de proporção, desenhando-os e/ou recortando-os e colando-os.

QUADRO 1 – QUADRO DE INTERVENÇÕES FONTE: A autora

3.1.1. Objetivo geral:

Analisar como é evidenciado o conceito de área de figuras geométricas nos

seus aspectos geométrico e das grandezas, a partir das atividades propostas.

3.1.2. Objetivos específicos:

• Identificar áreas de figuras geométricas com formas variadas, utilizando o

quadradinho como unidade.

• Identificar áreas de figuras que sejam equivalentes, ou seja, que possuam

mesma área apesar de formas diferentes.

3.1.3. Recursos necessários:

• Folhas dadas com a atividade;

• Folhas de papel em branco;

• Material para anotações: lápis, caneta, borracha;

• Tesouras e tubos de cola.

3.1.4. Estratégias de ação:

34

O tempo previsto para o desenvolvimento desta atividade é de 1,5 hora-aula,

com o restante do tempo destinado à plenária, quando o grupo de alunos irá discutir

as respostas encontradas, as dúvidas e as conclusões a que chegaram.

Distribuir os alunos em duplas para resolverem as atividades que se

seguem, acompanhando a execução e orientando-os nas dificuldades que surgirem.

Observação: As atividades são desenvolvidas a partir da adaptação do quadro da

atividade 15 de BALDINI, 2004, seção IV do Anexo III.

3.1.5. Desenvolvimento:

Leia o texto abaixo antes de iniciar as atividades:

ÁreaÁreaÁreaÁrea é uma medida relacionada a uma superfície de uma figura

geométrica (o contorno e sua parte interna). É registrada por um númeronúmeronúmeronúmero e

uma unidade de medidaunidade de medidaunidade de medidaunidade de medida, que corresponde à área de uma superfície

considerada padrão.

Uma superfície cuja área se quer expressar pode ser uma região do

plano delimitada por um polígono.

A região delimitada pelo quadrilátero da figura, por exemplo, é

chamada de região quadrangular. Essa região é formada pelo quadrilátero e

pela parte pintada.

Duas figuras geométricas podem ter formas geométricas diferentes,

mas possuir a mesma área. Nesse caso, elas são chamadas de equivalentesequivalentesequivalentesequivalentes.

Professor: Após a leitura, é importante a exploração do texto, perguntando aos alunos se há

algum termo desconhecido ou que não compreenderam e incentivá-los a explicarem o que

entenderam sobre a leitura, para então levá-los a responder as questões que se seguem. Convém

também recordar com os alunos o nome e as propriedades do quadrilátero desenhado.

35

Observe as figuras geométricas desenhadas numa malha quadriculada ao

final desta atividade. Antes de seguir em frente, pense:

a) Como você pode fazer para calcular a área destas figuras? Registre suas idéias.

Nesta questão, presume-se como resposta do aluno que é “contando os quadradinhos” e,

no caso das metades, “unindo duas metades para formar um quadradinho”.

b) Identifique então a área de cada uma das figuras geométricas, registrando-as no

quadro abaixo de acordo com as letras maiúsculas indicadas:

Forma geométrica A B C D E F G H

Medida

QUADRO 2 – REGISTRO DE ÁREAS DE FIGURAS FONTE: A autora

Professor: Convém reforçar ao aluno o registro de áreas formadas a partir de quadrados

incompletos, como D = 11,5 e A = 12,5.

c) Explique como você fez o cálculo. Foi da mesma forma que havia pensado

anteriormente? Se não, explique o motivo de ser diferente.

d) Quais das superfícies têm a mesma área? Por que você acha que elas têm a

mesma área?

As superfícies com mesma área são B e H. Presume-se que o aluno responderá que têm a

mesma área por possuir o mesmo número de quadradinhos.

e) Quais superfícies possuem a maior e a menor área?

f) Quando é que duas superfícies têm a mesma área?

g) Quando podemos afirmar que a área de uma superfície é maior do que a de outra

superfície?

36

Presume-se que o aluno responderá que a área de uma superfície é maior do que a outra

quando possui mais quadradinhos ou sua medida é maior. Entenda-se aqui que todas as áreas das

figuras são identificadas a partir da mesma unidade de medida.

h) Unindo quais figuras podemos encontrar uma figura de área equivalente?

Quantas possibilidades de associações podemos fazer juntando figuras que

possuam áreas equivalentes?

Se unirmos as figuras F e G encontraremos uma área equivalente à da figura C, ou seja, de

área 16. Outras possibilidades a que o aluno pode chegar: F + B = F + H = 19; B + H = A + D = 24; E

+ H = E + B = 22; C + E = F + G + E = 26. Pretende-se que o aluno assimile, ao resolver esta

questão, o conceito de equivalência de áreas de acordo com o quadro das grandezas abordado por

Douady e Perrin-Glorian.

i) Recorte as formas geométricas e, como num quebra-cabeças, descubra quais das

formas podem se unir e formar um retângulo. Cole as peças numa folha em branco.

Qual seria a área desse retângulo?...............................................................................

Como dicas ao professor, as extremidades do retângulo são formadas pelas peças A, B, C

e F. O retângulo terá o formato 10x8, totalizando uma área de 80 quadradinhos.

j) Esse retângulo construído poderia ser chamado de quadrado? Por quê?

k) Alguma forma geométrica deixou de ser incorporada a esse retângulo? Registre

com suas palavras o porquê.

A única peça que não se encaixa é a peça E, por ter um espaço vazado. Se fosse

incorporada ao retângulo, o polígono vazado não o configuraria como um quadrilátero.

l) Registre aqui alguma observação a mais que você tenha identificado ao fazer

essas atividades.

37

FIGURA 7 – FIGURAS GEOMÉTRICAS PARA RELACIONAR EQUIVALÊNCIA DE ÁREAS FONTE: A autora

A

H

G

E

D

C

B

F

38

3.1.6. Avaliação:

A avaliação será desenvolvida a partir das observações, feitas pelo

professor, durante todo o procedimento de execução das atividades pelos alunos.

Ocorrerá também no momento final, quando serão colocadas as conclusões e as

dúvidas com relação à noção de equivalência de áreas, a qual é evidenciada nos

aspectos geométrico e das grandezas do conceito de área.

Ao final das atividades do dia, será feito um relato dos resultados obtidos

com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes à noção de

equivalência de áreas. Serão relatadas, também, as situações inesperadas que

surgirem e como as situações esperadas de fato ocorreram.


Analisar como é evidenciado o conceito de área de figuras geométricas nos

seus aspectos geométrico, numérico e das grandezas, a partir das atividades

propostas.


• Identificar áreas de figuras geométricas, utilizando várias unidades de

medida.

• Verificar que, ao medir a área de uma figura utilizando diferentes unidades, o

quadro numérico que expressa a medida da área se altera, mas a área

propriamente dita, não.


• Folhas dadas com a atividade

• Material para anotações: lápis, caneta, borracha.

39


O tempo previsto para o desenvolvimento desta atividade é de 1 hora-aula,

sendo, após, realizada a plenária, quando o grupo de alunos irá discutir as respostas

encontradas, as dúvidas e as conclusões a que chegaram.

Distribuir os alunos em duplas para resolverem as atividades que se

seguem, acompanhando a execução e orientando-os nas dificuldades que surgirem.

Observação: As atividades a seguir foram elaboradas a partir do quadro da atividade

23 de BALDINI, 2004, Anexo III, seção VII.


Professor: Relembrar com os alunos aspectos da atividade que realizaram no encontro

anterior com relação à área, utilizando apenas quadradinhos como unidade de medida. Na atividade

que se segue, não será utilizado apenas um quadradinho, mas unidades diferentes de medida de

área com quantidade diferente de quadradinhos.

a) Calcule a área das figuras A, B e C, considerando como unidade de área as

figuras a seguir, preenchendo a tabela abaixo em relação a cada unidade de área.

Unidade 1 Unidade 2 Unidade 3 Unidade 4

Figura A

Figura B

Figura C

40

Unidade 1

Unidade 2

Unidade 3

Unidade 4

Figura Área Área Área Área

A

B

C

FIGURA 8 – ÁREAS DE FIGURAS A PARTIR DE UNIDADES DADAS FONTE: BALDINI, 2004, Anexo III, seção VII

b) Compare os números da tabela que representam a área de uma mesma figura e

responda: aumentando a unidade de medida, o que acontece com a medida da

figura?

Nesse caso, espera-se que o aluno responda que o número que expressa a área diminui.

c) Explique com suas palavras por que isso ocorre.

d) Comente por que uma figura pode ter várias áreas.

Professor: É importante que o aluno verifique aqui que as figuras têm várias áreas porque

foram utilizadas várias unidades de medida. A área em si não se altera, ou seja, não diminui a

quantidade de quadradinhos que compõem sua superfície.

e) Você identifica figuras com áreas equivalentes, apesar de serem medidas por

unidades diferentes? Cite um exemplo e registre como identificou.

Observa-se que nessa questão o aluno pode identificar A e B como figuras com áreas

equivalentes a partir da mesma unidade de medida. Também, se utilizar figuras de unidades de

medida diferentes, observa-se que a própria unidade de medida 2 é equivalente à unidade de medida

4.

41

3.2.6. Avaliação:




dúvidas com relação à identificação de áreas de figuras a partir de unidades de

medida diferentes, a qual é evidenciada nos aspectos geométrico, numérico e das

grandezas do conceito de área.


com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes à identificação

de áreas de figuras a partir de unidades de medida diferentes. Serão relatadas,

também, as situações inesperadas que surgirem e como as situações esperadas de

fato ocorreram.


Analisar como é evidenciado o conceito de perímetro de figuras geométricas

nos seus aspectos geométrico, numérico e das grandezas, a partir das atividades

propostas.


• Identificar a diferença entre os conceitos área e perímetro, a partir das

atividades propostas;

• Identificar o perímetro de retângulos construídos a partir de uma medida de

área dada;

• Reconhecer que, de todos os retângulos de mesma área, o quadrado é o que

tem o menor perímetro;

• Estabelecer relações entre perímetros de retângulos e outras figuras

geométricas que possuam mesma medida de áreas.

42



• Folhas em malha quadriculada simples;

• Folhas em papel quadriculado com 1 cm de unidade de medida;


• Régua.





Distribuir os alunos em grupos de quatro alunos cada, para resolverem as

atividades que se seguem, acompanhando a execução e orientando-os nas

dificuldades que surgirem.

3.3.5. Observações importantes:

Os modelos de uma folha em malha quadriculada simples e malha

quadriculada com 1 cm de unidade de medida encontram-se no apêndice desta

produção didática.

Ao final do desenvolvimento, há uma atividade complementar que pode ser

aplicada como tarefa de casa ou para execução em sala de aula, se ainda houver

tempo disponível.

As questões b, d e g das atividades a seguir foram adaptadas de

RODRIGUES, 2007, p. 143-145.


Leia o texto abaixo antes de efetuar as atividades.

O perímetroperímetroperímetroperímetro indica a medida do comprimento do contorno contorno contorno contorno de uma

43

figura geométrica. Nos polígonos (figuras geométricas planas cujo contorno é

formado por segmentos de retas), como o retângulo, o perímetro corresponde

à soma das medidas de todos os seus lados.

Professor: Após a leitura, é importante explorar o texto, perguntando aos alunos se há

algum termo desconhecido ou que não compreenderam e incentivá-los a explicarem o que

entenderam sobre a leitura. Lembrá-los de que até agora, nas atividades que fizeram, não foi citado o

termo perímetro. As atividades seguintes os ajudarão a analisarem que área e perímetro não são “a

mesma coisa”.

a) Construa, na malha quadriculada simples, três figuras diferentes. Registre, abaixo

de cada uma, a área e o perímetro, usando, como unidade de comprimento, o lado

do quadrado da malha e, como unidade de área, a área desse quadradinho.

Professor: Com essa primeira atividade, o aluno terá oportunidade de estabelecer bem a

diferença entre área e perímetro, sem se preocupar ainda com medidas a partir de unidades

padronizadas. Pretende-se que não criem apenas retângulos e quadrados, mas que explorem outras

formas. Para as atividades que se seguem, o aluno irá observar agora o uso de unidade de medida

padrão, o centímetro. Para isso, irá utilizar as folhas em malha quadriculada com 1 cm de unidade de

medida.

b) Desenhe na folha quadriculada todos os retângulos possíveis, utilizando 36

quadradinhos de 1 cm de lado . Nomeie-os de acordo com as letras sugeridas na

tabela abaixo. Para cada retângulo obtido, determine as medidas dos lados (neste

caso, chamadas de base e altura ). Complete a tabela abaixo, identificando a área,

com o quadradinho de 1 cm de lado como unidade. A seguir, complete a medida do

perímetro , usando o lado do quadradinho de 1 cm como unidade de comprimento:

Retângulo Base (cm) Altura (cm) Área (cm 2) Perímetro (cm)

A

B

C

D

E

QUADRO 3 – IDENTIFICAÇÃO DO PERÍMETRO DE ACORDO COM A MEDIDA DE ÁREA DADA FONTE: A autora

44

Com base nos resultados encontrados, investigue as relações que podemos

identificar entre os perímetros e áreas nesse caso. Para ajudá-lo, seguem questões

para reflexão:

c) Qual é o retângulo que possui o menor perímetro?

A partir da construção dos retângulos e identificação do perímetro e área, o aluno deve

descobrir que o retângulo com menor perímetro é o quadrado, com 24 cm. Isto facilitará a resolução

das questões seguintes.

d) Se identificarmos retângulos com 100 cm 2 de área:

- Qual deles possui o menor perímetro?........................................................................

- Qual é a medida desse perímetro?..............................................................................

Presume-se que o aluno responderá que o quadrado de 10 cm de lado é o retângulo de

menor perímetro, medindo 40 cm.

Nas questões seguintes, o aluno irá se deparar com um caso em que o perímetro com

menor medida não será possível a partir de um quadrado. Nesse caso, presume-se que ele

descobrirá que o retângulo, cujas medidas se aproximem ao máximo de um quadrado, é aquele em

que encontraremos o menor perímetro.

e) Você pode fazer um quadrado com perímetro igual a 100 cm? E com 50 cm?

f) Como encontrar o menor perímetro quando não é possível formar um quadrado?

g) Responda a questão seguinte sem desenhar.

Se um retângulo dado tivesse 30 cm 2 de área e um de seus lados medisse 5 cm:

- Qual seria a medida do outro lado?.............................................................................

- Qual seria a medida do perímetro desse retângulo?...................................................

Professor: Nessa questão, o aluno trabalha com o raciocínio dedutivo de que o produto das

medidas dos lados do retângulo é igual à medida da área. É importante que ele assimile o fato de que

as dimensões entre as grandezas área e perímetro não são as mesmas. Como o perímetro se refere

ao comprimento do contorno da figura, sua medida é unidimensional. Já a área por estar associada à

superfície, possui medida bidimensional. O questionamento seguinte sugere essa associação.

45

h) Se você observar no quadro inicial (onde registrou os dados encontrados com

medidas de base, altura, perímetros e áreas), essas medidas estão identificadas em

cm e cm2. Por que a unidade de medida utilizada para o perímetro está em

centímetros e a unidade de medida para a área está em centímetros quadrados ?

Explique com suas palavras.

3.3.7. Atividade complementar:

Professor: Na atividade seguinte, a intenção é que o aluno explore formas diferentes assim

como na primeira atividade, mas agora com uma medida de área pré-estabelecida.

Use sua criatividade. Construa três outras figuras na malha quadriculada,

que não sejam retângulos, de forma que possuam áreas equivalentes, todas

medindo 36 cm 2. Use sua criatividade e depois pinte-as. Determine também o

perímetro delas e registre suas conclusões.

3.3.8. Avaliação:




dúvidas com relação à identificação de perímetros de figuras geométricas

construídas a partir de uma mesma medida de área. Articulam-se, assim, os

aspectos geométrico, numérico e das grandezas do conceito de perímetro.


com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes à noção de

perímetros de figuras geométricas. Serão relatadas, também, as situações

inesperadas que surgirem e como as situações esperadas de fato ocorreram.

46


Analisar as relações entre áreas e perímetros de retângulos, a partir das

atividades propostas.


• Identificar a medida da área de retângulos construídos a partir de uma medida

de perímetro dada;

• Estabelecer relações entre áreas de retângulos que possuam mesma medida

de perímetro;

• Revisar propriedades dos quadriláteros.



• Folhas em papel quadriculado com 1 cm de unidade de medida;


• Régua.








Observação: As questões a e d das atividades a seguir foram adaptadas de

RODRIGUES, 2007, p. 142-143.

47


Professor: Como se presume que os alunos já assimilaram aspectos dos conceitos de área

e perímetro referentes aos quadros geométrico, numérico e das grandezas, essas atividades são para

reforçar a diferença entre estes conceitos.

É importante o aluno observar que as atividades anteriores são parecidas com as que se

apresentam abaixo, mas agora o foco central não é uma medida de área pré-estabelecida e, sim,

uma medida de perímetro. Para facilitar, sugerem-se atividades com medidas dos lados apenas com

números inteiros.

a) Desenhe, na folha quadriculada, todos os retângulos cujos perímetros sejam de

20 cm e os lados formados só de números inteiros. Nomeie-os de acordo com as

letras sugeridas na tabela abaixo, registrando-as no interior de cada retângulo.

Depois, anote na tabela os respectivos valores da base e altura dos retângulos. A

seguir, determine a área de cada um e anote na tabela.

Retângulo Base (cm) Altura (cm) Perímetro (cm) Áre a (cm 2)

A

B

C

D

E

QUADRO 4 – IDENTIFICAÇÃO DE ÁREA DE ACORDO COM A MEDIDA DE PERÍMETRO DADA FONTE: A autora

Com base nos resultados encontrados, investigue as relações que podemos

identificar entre os perímetros e áreas nesse caso. Para ajudá-lo, seguem algumas

questões para reflexão:

b) Qual é o retângulo que tem maior área? E o que possui menor área?

c) Se fosse o caso de uma planta da construção de um barracão, qual área seria a

que aproveitaria melhor o espaço físico para depósito de materiais? Por quê?

48

Ao responder essas questões anteriores, o aluno irá perceber que o retângulo que possui a

menor área é de 9 x 1 cm e o que tem a maior área é o quadrado, com 25 cm2, sendo também o que

possui maior aproveitamento de espaço físico no caso de uma construção.

d) Se identificarmos retângulos com 32 cm de perímetro :

- Qual deles possui a maior área?..................................................................................

- Qual é a medida dessa área?......................................................................................

Nessa situação, o aluno deve identificar o quadrado de medidas 8x8 cm como o de maior

área.

e) Escolha agora como medida 14 cm para o perímetro de retângulos. Desenhe-os,

compare as áreas e anote os resultados. Como podemos identificar a maior área

nesse caso?

O aluno observará que, comparando as áreas a partir de retângulos com perímetro de 14

cm, a maior área que se aproxima de um quadrado é um retângulo 3 x 4 cm.

Professor: Uma concepção que muitos alunos possuem é aquela em que o retângulo está

sempre representado na forma horizontal, sendo a base o lado de maior medida. A questão seguinte

sugere desmistificar essa relação, fazendo com que o aluno investigue outros retângulos em que a

medida da base pode ser menor que a altura.

f) Num retângulo, ao identificarmos seus lados, a medida da base pode ser menor

que a medida da altura? Investigue situações em que isso ocorre, se necessário

desenhe, e registre suas conclusões.

Professor: Como o aluno deduz nas questões anteriores que o quadrado é o retângulo que

possui maior área, surge uma oportunidade para que possa assimilar ou revisar uma propriedade dos

quadriláteros, em especial dos retângulos, especificada na questão a seguir. É importante ressaltar

que todo retângulo é assim chamado porque é um paralelogramo formado por ângulos retos.

g) Diz-se que: “Todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um

quadrado.” Com base nos resultados encontrados nas respostas das questões

anteriores, verifique a veracidade dessa afirmação.

49

3.4.6. Avaliação:




dúvidas com relação à identificação de áreas de retângulos construídos a partir de

uma mesma medida de perímetro e revisão de algumas propriedades dos

quadriláteros.


com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes aos conceitos

área e perímetro, definidos em seus aspectos geométrico, numérico e das

grandezas. Serão relatadas, também, as situações inesperadas que surgirem e

como as situações esperadas de fato ocorreram.


Analisar as relações entre áreas e perímetros de retângulos, aplicando-as

em situações envolvendo razão e proporção.


• Identificar áreas de quadriláteros que possuam unidades de medida

diferentes, mas a mesma superfície, reforçando a noção de conservação de

área;

• Identificar áreas de quadriláteros que possuam unidades de medida e de

superfícies diferentes, mas medida de área iguais;

• Identificar perímetros de quadriláteros de mesmo tamanho que possuam

unidades de medida de comprimento diferentes;

• Calcular a razão de proporção entre os lados de retângulos dados;

50

• Calcular a razão de proporção entre os perímetros e as áreas de retângulos

semelhantes;

• Medir com exatidão, utilizando o centímetro e o milímetro como unidades de

medida;

• Revisar o cálculo com operações envolvendo números racionais com vírgula.




• Régua milimetrada;

• Calculadora.








Para essas atividades, o aluno não utilizará papel em malha quadriculada.

Observação: Essas atividades foram elaboradas a partir da adaptação do quadro de

áreas de figuras de FACCO, 2003, p. xv-xvi.


Professor: Antes de iniciar a atividade, é interessante relembrar aspectos importantes

discutidos e analisados nas aulas anteriores sobre os conceitos área e perímetro. Após, pedir que

observem com atenção as figuras desenhadas no quadro abaixo, para depois efetuarem o que lhes é

pedido.

a) Observe bem as figuras no quadro abaixo. Utilizando o quadradinho de cada

figura como unidade de medida, verifique quantas unidades de medida de área tem

51

cada figura e registre a resposta abaixo de cada uma.

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

FIGURA 9 – ÁREAS DE FIGURAS COM SUPERFÍCIES OU UNIDADES DE MEDIDA IGUAIS FONTE: A autora

b) Quais conclusões você pode tirar, observando as figuras 1 e 2?

c) Quais conclusões você pode tirar, observando as figuras 3 e 4?

Como resposta a essas duas primeiras perguntas, presume-se que o aluno observará que a

área como superfície é a mesma nas figuras 1 e 2, mudando apenas o número correspondente à

unidade de medida: na Figura 1, a área é igual a 60 quadradinhos e na Figura 2, igual a 15

quadradinhos. Em relação às figuras 3 e 4, o número correspondente à unidade de medida é o

mesmo, ou seja 16, mas a superfície das duas áreas não é a mesma (ou seja, não são equivalentes).

Observe que cada quatro quadradinhos da Figura 1 equivalem a 1

quadradinho da Figura 2 , ou seja: equivale a .

52

d) Sendo assim, calcule o perímetro das figuras 1 e 2, utilizando o lado do

quadradinho menor como unidade de comprimento e registre suas conclusões

abaixo:

e) Calcule agora o perímetro das figuras 1 e 2, utilizando o lado do quadradinho

maior como unidade de comprimento e registre suas conclusões:

Pretende-se que o aluno chegue às respostas seguintes: utilizando o lado do quadradinho

menor como unidade de medida nas figuras 1 e 2, a medida do perímetro é a mesma, ou seja, 32

unidades. Se utilizar o lado do quadradinho maior como unidade de medida, ambas as figuras terão

perímetro igual a 16 unidades.

f) Observe abaixo o novo quadro formado pela Figura 2, incluindo-se a Figura 6.

Utilizando a superfície do quadradinho de cada figura como unidade de medida,

calcule as suas áreas e anote-as ao lado de cada desenho.

FIGURA 10 – ÁREAS DE RETÂNGULOS PROPORCIONAIS FONTE: A autora

Figura 2

Figura 6

53

g) Quais conclusões você pode tirar em relação às áreas das figuras 2 e 6?

Presume-se aqui que o aluno responderá 15 quadradinhos para ambas, mas também

observará que as áreas não são equivalentes, apesar de encontrar o mesmo número para a medida

de área.

Professor: A partir da questão seguinte, o aluno irá trabalhar com medidas envolvendo

números com vírgula. Se necessário, atentar para que inicie a medição na régua milimetrada a partir

do zero e não a partir de 1 cm. Observar aqueles alunos que têm dificuldades no processo de

medição envolvendo medidas em centímetros e milímetros e como registram seus dados na forma de

números com vírgula.

Leia com atenção: Para que dois polígonos sejam semelhantes, é

preciso que as medidas entre seus lados correspondentes sejam

proporcionais (ou seja, possuam a mesma razão) e as medidas de seus

ângulos sejam iguais.

h) Com uma régua, meça precisamente os lados de cada retângulo das figuras 2 e 6

e anote os resultados na 2ª e na 3ª colunas do quadro abaixo. Depois, calcule a

razão entre os comprimentos do lado maior de cada figura e comprimentos do lado

menor. Anote os resultados na 4ª coluna.

Figura 2 Figura 6 Figura 6 ÷ Figura 2

Comprimento do lado maior (cm)

Comprimento do lado menor (cm)

QUADRO 5 – IDENTIFICAÇÃO DE PROPORÇÃO ENTRE LADOS DE RETÂNGULOS FONTE: A autora

i) O que aconteceu com os resultados anotados na última coluna da tabela?

j) Há proporção entre os comprimentos maior e menor das figuras 2 e 6? Esses

retângulos são semelhantes?

Ao efetuar as medições e a divisão, o aluno encontrará resultados iguais ou

aproximadamente iguais a 11,4 / 5,7 = 2 e 6,8 / 3,4 = 2, ajudando-o a concluir que a Figura 6 é

proporcionalmente igual ao dobro da Figura 2 e seus ângulos são retos, o que os torna semelhantes.

54

Professor: Para responder à questão seguinte, o aluno irá sentir a necessidade do uso da

fórmula para o cálculo de área de retângulos, pois a simples contagem de quadrados como unidade

de medida é insuficiente. A unidade utilizada agora é o centímetro. Surge uma ótima oportunidade

para relembrar também as operações envolvendo números decimais. Se achar mais conveniente,

esses cálculos podem ser feitos na calculadora, mas as anotações referentes ao pensamento

algébrico devem ser registradas num espaço disponível abaixo do exercício.

k) Agora, calcule as áreas e os perímetros das figuras 2 e 6, a partir dos valores que

você mediu e anote no quadro:

Figura 2 Figura 6

Área (cm2)

Perímetro (cm)

QUADRO 6 – MEDIDAS DE ÁREAS E PERÍMETROS DE RETÂNGULOS PROPORCIONAIS FONTE: A autora

l) Identifique a razão entre o perímetro encontrado na Figura 6 e o perímetro da

Figura 2. O que você observa?

m) Podemos dizer então que há proporcionalidade direta entre os perímetros das

figuras 2 e 6?

Ao efetuar a divisão entre os valores dos perímetros das figuras 6 e 2, o aluno identificará a

razão de proporção direta igual ou aproximadamente igual a 2.

n) Observe agora os valores encontrados para as áreas dos retângulos calculadas

nas figuras 2 e 6. Identifique a razão entre a área da Figura 6 e a área da Figura 2 e

anote as conclusões.

Atenção: A razão entre as áreas de figuras semelhantes é igua l ao

quadrado da razão de semelhança.

o) Podemos então dizer que há proporcionalidade direta entre as áreas de dois

retângulos proporcionais?

55

Professor: Na questão anterior, talvez o aluno sinta dificuldade em perceber que a

proporção não é direta, pois o resultado não será o mesmo encontrado para as questões i e l, o que

poderá levá-lo a pensar que não há proporcionalidade.

Mas surge uma oportunidade de, no grande grupo ao final da atividade, fazê-los

recordar/assimilar o porquê do uso da unidade elevada ao quadrado como unidade de medida (ou

seja, cm2). Se analisarmos que a operação inversa da potenciação, a raiz quadrada, ao ser aplicada à

resposta da questão n resultará na mesma razão encontrada para os lados e o perímetro, ou seja,

razão 2, presume-se que o aluno identificará que ocorre também uma proporção entre as áreas.

3.5.6. Avaliação:




dúvidas quanto à análise da razão de proporção entre lados de retângulos

semelhantes e entre áreas e perímetros desses retângulos.


com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes à razão de

proporção entre áreas e perímetros de retângulos semelhantes. Serão relatadas,


fato ocorreram.


Explorar as principais ferramentas do GeoGebra, utilizadas para a

construção e medição de polígonos e análise de áreas e perímetros.


• Explorar os ícones que integram as funções do GeoGebra;

56

• Relembrar notações matemáticas utilizadas para ponto, reta, segmento e

polígono;

• Relembrar conceitos de polígonos regulares e irregulares;

• Construir polígonos no GeoGebra para análise das medidas de área e

perímetro deles.


• Folhas dadas com as atividades;


• 16 computadores da sala de informática;

• Software de Geometria Dinâmica GeoGebra, disponível nos computadores da

escola.


O tempo previsto para o desenvolvimento desta atividade é de 2 horas-aula,

sendo depois realizada a plenária, quando o grupo de alunos irá apresentar suas

impressões sobre o uso do GeoGebra: suas principais funções básicas,

aplicabilidade para construções geométricas e análise de medições, as dúvidas

quanto ao manuseio e dificuldades que encontraram.

Mas, de acordo com o ritmo de aprendizagem e conhecimento destas

funções e ferramentas básicas, o desenvolvimento das atividades pode variar, o que

pode levar os alunos a precisarem de mais ou menos tempo de intervenção junto ao

GeoGebra, para se familiarizarem com seu uso. Por isso, as atividades

desenvolvidas foram organizadas em três partes (etapas), com o fim de centralizar o

foco em algumas ferramentas e suas aplicações. Se o professor achar conveniente e

necessário, sugere-se que, ao final de cada etapa, seja realizada a plenária para que

dificuldades e dúvidas sejam saneadas.

Cada aluno irá utilizar um computador, para que possa se familiarizar com o

uso do GeoGebra. Nas atividades que se seguem, o professor irá acompanhar a

execução, orientando os alunos nas dificuldades que surgirem.

57


O objetivo destas atividades não é conhecer todas as ferramentas e recursos

do GeoGebra. Serão exploradas apenas algumas ferramentas para a construção e

medição de polígonos e análise de áreas e perímetros. Caso haja interesse em

conhecer um pouco mais sobre outros recursos, pode-se consultar os seguintes

endereços:

<http://cristianopalharini.files.wordpress.com/2009/11/apostila-de-geogebra-ufpr.pdf>

<http://ftp.multimeios.ufc.br/~geomeios/geogebra/manual.htm>

<http://www.geometriadinamica.kit.net/docupt_BR.pdf>

<http://www.pessoal.utfpr.edu.br/previero/tutorial_geogebra_rapido.PDF>

<http://www.conhecer.org.br/enciclop/2010b/ensinando.pdf>

Algumas atividades investigativas citadas no desenvolvimento foram

adaptadas a partir de TRATCH, 2010, p. 30-33.


Professor: Iniciar com uma leitura compartilhada sobre o GeoGebra: seu breve histórico,

ferramentas e utilidade. Depois, sugerir que, conforme os alunos leem as informações, acessem os

menus e ferramentas para se familiarizarem com suas funções, antes de iniciar as atividades

propriamente ditas.

O GeoGebra é um software livre, instalado na plataforma Linux dos

computadores da escola. Foi criado por Markus Hohenwarter, docente do

Departamento de Matemática Aplicada da Universidade de Salzburgo,

Áustria, em 2001. Seu objetivo era obter um instrumento adequado ao ensino

da Matemática, combinando procedimentos geométricos e algébricos

(envolvendo desenhos e cálculos).

Para que você possa se ambientar com o uso de ferramentas do

GeoGebra no computador, seguem abaixo algumas atividades.

Para abrir o programa no laboratório do Paraná Digital, arrasta-se o cursor e

clica-se em: Aplicativos – Educação – Matemática – GeoGebra.

Ao abrir o GeoGebra, aparecerá a tela abaixo, onde se destacam duas

58

janelas principais: a janela algébrica e a janela geométrica. Esta será nossa área de

trabalho. Cada objeto que construímos na janela geométrica tem sua representação

algébrica simultaneamente mostrada na janela algébrica.

FIGURA 11 – TELA INICIAL DO GEOGEBRA FONTE: A autora

Clicando no menu Editar , bem no alto da tela, encontramos duas

ferramentas muito importantes: Os itens Desfazer e Refazer , que são usados para

anular as últimas operações.

FIGURA 12 – FERRAMENTAS DESFAZER E REFAZER FONTE: A autora

Pode-se também usar no teclado ctrl+z (desfazer) e ctrl+y (refazer). Essas

Desfazer

Refazer

JANELA ALGÉBRICA

JANELA GEOMÉTRICA

59

opções também são encontradas no canto superior direito da tela.

No menu Exibir , encontramos duas opções que definem se os objetos

geométricos serão construídos numa malha quadriculada (Malha ) ou num plano

cartesiano (Eixos ). Para acessá-los ou desmarcá-los, é só clicar na ferramenta.

Com o botão direito do mouse também se pode ativar ou desativar Eixo e Malha.

Clique sobre essas ferramentas no menu Exibir e veja o que acontece.

FIGURA 13 – MENU EXIBIR E SEUS APLICATIVOS FONTE: A autora

No menu Exibir , encontramos também a opção de exibir ou não a janela

algébrica. Para fechá-la, é só clicar sobre o nome. Para exibi-la novamente, clique

em Exibir – Janela de Álgebra .

Na parte superior, existem alguns botões que serão as ferramentas para

construirmos os objetos geométricos.

FIGURA 14 – BARRA DE FERRAMENTAS FONTE: A autora

Ao clicar em um dos botões, ele ficará destacado em azul, indicando que

está ativo. Clicando sobre a setinha que se situa no lado inferior direito de cada

botão, surgirá o menu com outras ferramentas desse botão. Ao fazê-lo, a setinha

ficará na cor vermelha. Arrastando o cursor para baixo, pode-se clicar nas outras

opções dessa ferramenta e ativá-las.

60

Ao final da barra de botões, no lado direito, aparecerá sempre o nome da

ferramenta ativada e uma descrição dos procedimentos necessários para aquela

ferramenta. Acione cada um desses botões e veja as opções que este acessa.

Vamos então realizar algumas atividades para conhecermos essas

ferramentas? Para facilitar o desenvolvimento, as atividades são divididas em três

partes.

1ª PARTE:

a) Clique no botão . Repare que este ficou destacado em azul, indicando que

está ativado. Em seguida, na janela geométrica, clique em diversos lugares, criando

pontos. Agora clique em no final da linha dos botões. Depois em . O que

aconteceu?

b) Clique na seta em até ficar vermelha, depois arraste o mouse até encontrar

a ferramenta (Segmento definido por dois pontos) . Faça vários segmentos.

Com o botão (Mover) acionado, clique em um dos pontos de um dos

segmentos de reta e, mantendo o botão esquerdo do mouse pressionado, arraste-o.

Verifique o que acontece e anote.

c) Clique novamente na seta vermelha da ferramenta e acione a opção

(Ponto médio) . De acordo com a explicação na parte superior direita da tela,

você deve selecionar os dois pontos das extremidades de um dos segmentos que

desenhou ou o próprio segmento. O que aconteceu?

d) Clique na opção . Selecione o ponto médio do segmento escolhido com o

61

mouse clicando-o e depois selecione esse mesmo segmento. O que aconteceu?

Qual o nome do objeto formado?

e) Clique na seta vermelha da opção . Arraste o mouse e acione . Escolha

um dos pontos na tela, clique sobre ele, depois sobre um dos segmentos que

desenhou. O que aconteceu? Que objeto você formou?

Ao responder às duas questões anteriores, o aluno deve identificar diferenças entre reta

perpendicular e reta paralela.

f) Escolha um ponto qualquer, clique com o botão direito sobre ele. Abre-se uma

pequena janela, na qual você deve selecionar e clicar a opção Exibir rótulo . Faça o

mesmo com outros pontos e retas. Como são identificados os pontos e retas que

você formou? Qual a diferença ao representá-los na escrita?

Nessa questão, o aluno deve observar que pontos são identificados com letras maiúsculas e

retas, com letras minúsculas.

g) Agora você vai usar a ferramenta que funciona como um compasso. Clique em

(Círculo definido pelo centro e um de seus pontos) . A seguir, selecione um

ponto da tela (pode ser também de um segmento ou reta) e novamente um outro

ponto, o qual pertencerá à circunferência. Crie outras circunferências, clicando em

outros pontos.

h) Vamos salvar essas atividades. Clique em Arquivo na barra de menus, depois

escolha Gravar como... Selecione, clicando com o lado esquerdo do mouse, a pasta

MatemáticaPDE . Digite o nome da atividade: atividade1_seunome (exemplo:

atividade1_cleide); depois clique no botão OK.

62

FIGURA 15 – JANELA DA OPÇÃO GRAVAR ARQUIVOS FONTE: A autora

Professor: Neste momento, os alunos podem sentir certa dificuldade em encontrar as

pastas, havendo a necessidade de uma orientação individual. Os nomes das pastas e atividades

arquivadas devem ser definidos previamente com o professor encarregado da sala de laboratório,

para facilitar o posterior acesso aos arquivos.

2ª PARTE:

a) Vamos criar um objeto. Na barra de menus, clique em Arquivo , depois em Novo .

Aparecerá uma nova tela. Se quiser, desmarque Eixo e Malha no menu Exibir .

Acione o botão . Na janela geométrica, clique em pontos distintos, sendo que o

último ponto deve ser o ponto inicial. O que você observou? Faça outras figuras.

b) Na atividade anterior, você criou polígonos. Observe como são representados os

vértices e os lados desses polígonos. Para isso, escolha um ponto qualquer, clique

com o botão direito sobre ele e escolha a opção Exibir rótulo . Faça o mesmo com

63

outros pontos e lados dos polígonos. Observe o que acontece e anote as

conclusões.

c) Identifique os polígonos que desenhou com as letras, por exemplo: ABC. Registre-

os no quadro abaixo, marque quantos lados ele possui e o nome do polígono de

acordo com o número de lados.

Polígono Número de lados Nome do polígono

QUADRO 7 – IDENTIFICAÇÃO DE POLÍGONOS DESENHADOS NO GEOGEBRA DE ACORDO COM O NÚMERO DE LADOS FONTE: A autora

d) Salve essa atividade, clicando em Arquivo - Gravar como... Selecione a pasta

MatemáticaPDE . Digite o nome da atividade: atividade2_seunome; depois clique

no botão OK.

e) Vamos fazer agora outra atividade com polígonos. Na barra de menus, clique em

Arquivo , depois em Novo . Se quiser, desmarque Eixo e Malha no menu Exibir .

Acione novamente o botão pela seta vermelha, arrastando o mouse até

selecionar a opção (Polígono regular) . Clique na janela geométrica, marcando

os pontos de vértice. Note que, após o 2º ponto, será aberta uma janela como a

mostrada abaixo.

64

FIGURA 16 – JANELA POLÍGONO REGULAR FONTE: A autora

Digite um número qualquer maior que 2 no lugar do número já registrado, ou

mantenha esse mesmo número. Clique em Aplicar . Observe o que acontece na

tela. Faça a mesma atividade usando outros números. A que conclusão chegou?

Com esse procedimento, o aluno identificará polígonos regulares, e deve concluir que todos

os lados de um polígono regular possuem a mesma medida. Pode ser que ele observe essa

característica também com relação aos ângulos.

f) Registre o nome dos polígonos que desenhou e o número de lados. Por que esses

polígonos são chamados de regulares ?

g) Acione o botão . Clique com o botão esquerdo do mouse sobre um ponto

azul de um dos polígonos que desenhou e, mantendo-o pressionado, mova-o.

Depois, escolha um ponto preto. O que aconteceu? A que conclusão chegou?

h) Escolha uma das figuras que desenhou, clique com o botão direito do mouse

sobre ela e escolha Apagar na janela que se abre. Observe. Agora escolha um

ponto e faça o mesmo. Essa é uma das formas de apagar um objeto.

i) Arraste o mouse até um dos polígonos e clique com o botão direito sobre ele.

Selecione a opção Exibir objeto . Observe o que acontece e anote abaixo. Se você

quiser desfazer o procedimento, pode clicar em Desfazer no canto superior direito

da tela ou selecionar a opção em (Deslocar eixos) na seta vermelha,

65

arrastando o mouse até acionar (Exibir/esconder objeto) .

j) Se a janela algébrica estiver fechada, abra-a (menu Exibir – Janela de álgebra ).

Observe-a. Desenhe mais um polígono qualquer (item a ou e). Observe o que

aconteceu na janela algébrica. Clique com o botão direito do mouse dentro dessa

figura e escolha Exibir objeto . O que aconteceu com o objeto e na janela algébrica?

Nessa janela, clique no botão do polígono que você acabou de construir. Observe e

anote.

k) Qual é a diferença entre exibir rótulo e exibir objeto? E entre apagar um objeto e

desabilitar a exibição de um objeto?

Como resposta, o aluno deve chegar à conclusão de que exibir rótulo é exibir a

nomenclatura que identifica os vértices do objeto com letra maiúscula e os segmentos e retas ou

lados dos polígonos com letra minúscula. Apagar um objeto é excluí-lo. Desabilitar a exibição de um

objeto é apenas escondê-lo.

l) Você pode colorir ou fazer outras formatações nos objetos. Para isso, clique com o

botão direito em um objeto (ponto ou figura) e escolha Propriedades . Será aberta

uma pequena janela como a desenhada abaixo. Para melhor visualização, mova

essa janela para um canto da tela, onde não esconda os objetos desenhados.

Selecione a aba Cor , escolha uma cor e depois clique em Fechar . Faça o mesmo

procedimento com outros objetos, escolhendo outras cores.

66

FIGURA 17 – JANELA PROPRIEDADES DO OBJETO FONTE: A autora

m) Investigue nessa janela Propriedades os recursos das abas Básico e Estilo ,

bem como a janela de objetos à esquerda. Relate suas observações.

n) Salve essa atividade como atividade3_seunome na pasta MatemáticaPDE.

3ª PARTE:

Agora vamos fazer atividades de medição de alguns segmentos e

identificação de perímetros e áreas de polígonos construídos no GeoGebra.

a) Abra um arquivo novo. Com a janela algébrica também aberta, crie alguns

segmentos de reta, polígonos regulares e irregulares e retas. Em seguida, clique no

menu Opções , depois em Casas decimais , escolha 2, ou seja, duas casas

decimais.

b) Clique na seta vermelha do botão Ângulo , depois arraste até acionar

(Distância ou comprimento) . Clique em cima de um dos lados de uma figura,

de preferência primeiramente em um polígono regular. Observe. Faça o mesmo para

67

cada segmento dessa figura, sempre acionando a opção se esta não estiver

selecionada. Anote o que observou.

c) Com o mesmo botão acionado, clique agora em cima do polígono regular do qual

foram medidos seus lados. O que aconteceu? Que medida encontrou? Confira o

resultado, calculando-o e anote suas conclusões.

Nesse momento, o aluno deve identificar a medida encontrada como o perímetro do

polígono, podendo inclusive fazer seus próprios cálculos para confirmar o resultado.

d) Escolha outra figura e faça os mesmos procedimentos anteriores. Depois, com os

segmentos e retas. O que aconteceu e a que conclusão você chegou?

e) No mesmo ícone de escolha a opção Área . Clique com o botão

esquerdo do mouse dentro do polígono que desejar e anote o que observou.

f) Você pode analisar todos os passos que executou ao construir um ou mais

objetos. Para isso, clique no menu Exibir – Protocolo de construção e depois nas

setas direita e/ou esquerda, que se encontram na parte inferior desta janela.

g) Faça uma síntese do que descobriu com relação ao software GeoGebra. Relate

também quais foram as principais dificuldades que encontrou.

3.6.7. Avaliação:




dúvidas com relação: à exploração dos ícones que integram as funções de

68

construção de polígonos e cálculo de área e perímetro no GeoGebra; os

procedimentos necessários para salvar uma atividade realizada.


com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, quanto ao manuseio de

ferramentas no GeoGebra. Serão relatadas, também, as situações inesperadas que

surgirem e como as situações esperadas de fato ocorreram.


Identificar a razão áurea como razão de proporção entre as medidas de área

e perímetro do retângulo áureo construído no GeoGebra.


• Construir o retângulo áureo no Geogebra de acordo com especificações

dadas;

• Identificar a razão áurea como razão de semelhança entre os lados dos

retângulos que se observam no retângulo áureo construído;

• Calcular área e perímetro dos retângulos que se observam no retângulo

áureo construído;

• Identificar a razão áurea como razão de proporção direta entre os perímetros

dos retângulos analisados no retângulo áureo;

• Identificar a razão áurea como razão de proporção indireta entre as áreas dos

retângulos analisados no retângulo áureo.



69


• 16 computadores da sala de informática;

• Calculadora;

• Software de Geometria Dinâmica GeoGebra, disponível nos computadores da

escola.



sendo, após, realizada a plenária, quando o grupo de alunos irá apresentar suas

conclusões em relação à proporção áurea que se observa entre as áreas e

perímetros dos retângulos sucessivamente menores que se obtêm a partir da divisão

de um retângulo áureo em quadrados sucessivamente menores.

Nas atividades que se seguem, o professor irá acompanhar a execução,

orientando os alunos nas dificuldades que surgirem.


Durante o desenvolvimento das atividades em que os alunos constroem o

retângulo áureo e trabalham com as ferramentas do GeoGebra, podem surgir

momentos em que o professor terá que recordar o procedimento de uso de alguma

ferramenta. Seria interessante que os alunos tivessem em mãos as atividades que

fizeram no dia anterior, quando se familiarizaram com o GeoGebra. Assim, eles

podem consultar por si mesmos os procedimentos, sendo uma oportunidade para o

professor criar e/ou incentivar a autonomia de aprendizagem deles.


Professor: A aula será iniciada com um diálogo, orientado pela questão abaixo, a qual, após

a conversa, deve ser pesquisada e respondida individualmente.

Você sabe o que é áureo ? Vamos pesquisar no dicionário? Registre abaixo

o significado que encontrou.

70

Nestas atividades, você vai construir um retângulo especial a partir do

desenho de um quadrado, chamado retângulo áureo . Para isso, vai utilizar o

software GeoGebra no computador.

Siga com atenção os passos e depois, com as atividades posteriores, você

vai entender um pouco por que o retângulo áureo é tão especial. Para facilitar, o

procedimento será dividido em duas partes: a construção e depois a análise.

1ª PARTE: A construção do retângulo áureo

a) No computador, clique em: Aplicativos – Educação – Matemática – GeoGebra

para inicializar o software. Ao abrir a tela, clique então em Exibir e desmarque Eixo

e Malha . Desmarque também a Janela de Álgebra .

b) Inicialmente, vamos construir um quadrado. Selecione a opção no menu

. Clique na janela geométrica marcando os pontos de vértice (Para facilitar sua

construção, coloque-os na posição horizontal). Ao abrir a pequena janela após clicar

o 2º ponto na tela, verifique se o número 4 está indicado, pois vamos construir um

polígono regular de 4 lados. Clique em Aplicar.

c) Selecione na ferramenta a opção ponto médio: . Clique no vértice A do

quadrado e depois no vértice B, encontrando o ponto médio de AB. Se os pontos

não estiverem identificados pelas respectivas letras, clique num dos pontos com o

botão direito do mouse até abrir a janela. Selecione a opção Exibir rótulo . Faça o

mesmo com os outros pontos.

d) Vamos traçar uma circunferência com centro no ponto médio do lado AB. Clique

no botão Círculo definido pelo centro e um de seus pontos , depois nos

pontos E e C. A circunferência ficará como na figura abaixo.

71

FIGURA 18 – CÍRCULO DEFINIDO PELO CENTRO E UM DE SEUS PONTOS FONTE: A autora

e) Selecione a opção Semirreta definida por dois pontos . Clique no ponto A

e arraste o mouse até clicar no ponto B, formando a semirreta.

f) Selecione a opção e clique sobre o ponto de encontro entre a semirreta e a

circunferência. Com o botão direito do mouse, clique sobre esse ponto e selecione a

opção Exibir rótulo , identificando o ponto F.

g) Selecione a opção Reta perpendicular . Clique sobre o ponto F e depois

sobre a semirreta desenhada.

h) Efetue o mesmo procedimento da letra e, formando uma semirreta que passe

pelos pontos D e C. Selecione também a opção como na letra f e identifique o

ponto G. Verifique se as construções ficaram como na figura abaixo.

FIGURA 19 – SEMIRRETAS DEFINIDAS POR DOIS PONTOS FONTE: A autora

i) Vamos esconder alguns objetos. Selecione a circunferência com o botão direito do

72

mouse e clique em Exibir Objeto , escondendo-a. Faça o mesmo procedimento,

escondendo agora o ponto E. Quantos quadriláteros você observa na construção

que efetuou?...................................................................................................................

j) Vamos agora delimitar o retângulo menor que vemos na construção. Selecione

, depois clique sobre os pontos C, B, F e G, clicando novamente em C para

formar o retângulo. Selecione a reta e as semirretas desenhadas com o botão direito

do mouse e clique em Exibir Objeto , para escondê-las.

Eis o retângulo áureo construído a partir do quadrado, como na figura

abaixo:

FIGURA 20 – O RETÂNGULO ÁUREO CONSTRUÍDO FONTE: A autora

k) Salve essa atividade, clicando em Arquivo - Gravar como... Selecione a pasta

MatemáticaPDE . Digite o nome da atividade: atividade4_seunome; depois clique

no botão OK. Mantenha sua construção na tela, pois ainda vai explorá-la.

2ª PARTE: Por que retângulo áureo ?

Vamos entender agora por que ele é chamado de retângulo áureo. Para isso,

acompanhe os seguintes procedimentos:

a) Selecione na ferramenta a opção . Clique nos pontos citados abaixo,

identificando as medidas de comprimento dos segmentos que compõem os lados

maior e menor do retângulo construído.

Segmento AF ou segmento DG = ........................................

Segmento AD ou segmento FG = .........................................

73

Compare e responda: Suas medidas foram as mesmas de seus colegas? Por quê?

Professor: As medidas encontradas possivelmente serão diferentes, pois cada aluno

construiu seu retângulo áureo com uma medida arbitrária para o segmento AB.

b) Utilizando a calculadora, calcule agora a razão entre as medidas do maior

segmento (AF ou DG) e menor segmento (AD ou FG) que formam os lados do

retângulo e anote o resultado:........................................................................................

Confira-o com seus colegas. O que aconteceu?

Esse número que você encontrou é chamado de número áureo ou Esse número que você encontrou é chamado de número áureo ou Esse número que você encontrou é chamado de número áureo ou Esse número que você encontrou é chamado de número áureo ou

razão áurea. razão áurea. razão áurea. razão áurea. É um número irracional, cuja razão entre dois comprimentos não

pode ser expressa por uma fração (como um número racional). É uma

grandeza que pode ser traçada, mas não pode ser medida. Esse número

irracional passou a ser chamado de Fi ou Phi, cujo símbolo é Ф, e é igual a

aproximadamente 1,6180339887..., em homenagem ao famoso escultor grego

Phidias (ou Fidias), que viveu entre 490 e 430 a.C. Os retângulos áureos eram

encontrados com frequência nas esculturas e obras arquitetônicas da Grécia

Antiga e a razão áurea já estava presente nas pirâmides do Antigo Egito.

c) Observe agora o retângulo menor, identificado no retângulo áureo construído, se

deste retirarmos o quadrado. Identifique as medidas dos lados maior e menor desse

retângulo e calcule a razão entre eles, assim como fez nas letras a e b da 2ª parte, e

anote os resultados. O que você observou?

d) Podemos dizer que os retângulos AFGD e BFGC são semelhantes? Por quê?

Espera-se que os alunos respondam que os retângulos são semelhantes, pois possuem a

mesma razão de proporção aproximadamente igual a 1,6180339887..., o que equivale ao número

áureo.

74

e) Com a ferramenta selecionada, clique dentro do retângulo menor BFGC. O

que você identificou? Anote o valor encontrado.

Nessa questão, o aluno identificará a medida do perímetro do retângulo menor.

f) Para identificar o perímetro do retângulo maior AFGD, você vai proceder de modo

diferente, calculando-o a partir das medidas dos lados já registrados na letra a desta

parte. Anote o resultado:...............................................................................................

g) Encontre a razão entre o perímetro do retângulo maior e o perímetro do retângulo

menor, dividindo-os. Anote o resultado. O que você pode concluir?

Nesse caso, espera-se que o aluno conclua que os perímetros dos retângulos são

proporcionais, também aproximadamente iguais ao número áureo.

h) Utilizando a fórmula para o cálculo da área de retângulos, calcule a área dos

retângulos maior e menor de acordo com as medidas dos lados que possui. Use o

espaço abaixo para as anotações.

Retângulo maior: Retângulo menor:

i) Confira agora seus resultados com os cálculos que o GeoGebra disponibiliza.

Selecione e clique sobre os vértices do retângulo maior A, F, G e D, clicando

por último no ponto inicial, delimitando assim o retângulo. Acione a opção .

Abrirá uma janela na qual você selecionará o polígono 3, pois foi o último a ser

delimitado. Clique sobre o retângulo maior e veja o que acontece. Anote o resultado

e confira-o com seus cálculos:.......................................................................................

j) Para conferir a medida da área do retângulo menor, verifique se está selecionada

75

a opção e clique sobre o polígono na tela. Se abrir a pequena janela, selecione

o polígono 2. Anote o resultado:....................................................................................

k) Assim como com relação ao perímetro, calcule a razão entre os valores

encontrados para a área do retângulo maior e do retângulo menor. Anote o

resultado:........................................................................................................................

l) O resultado encontrado se relaciona com o número áureo?

Professor: Ao calcular a razão de proporção entre as áreas, espera-se inicialmente que o

aluno não encontre como resultado o número de ouro. Entre as áreas não há uma proporção direta.

Incentive-o a pensar na operação inversa da potenciação. Se o aluno calcular a raiz quadrada do

número encontrado, logo verificará que será aproximadamente igual a 1,61...

m) Com o botão (Mover) acionado, clique no ponto A ou B (destacados em

azul) do retângulo construído e, mantendo o botão esquerdo do mouse pressionado,

arraste-o. Verifique o que acontece. A figura mantém as proporções?

n) Se quiser, pode mudar a cor e o estilo de sua figura, clicando no quadrilátero com

o lado direito do mouse e escolhendo a opção propriedades.

o) Salve as alterações dessa atividade, clicando em Arquivo – Gravar.

p) Registre aqui o que você observou e/ou concluiu com essas atividades.

3.7.7. Avaliação:




76

dúvidas com relação: à construção do retângulo áureo no GeoGebra; à análise da

razão de proporção entre área e perímetro de retângulos que compõem o retângulo

áureo. A razão de proporção é identificada como o número de ouro.


com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes à razão áurea,

sendo esta definida como: razão de proporção entre áreas e perímetros de

retângulos que compõem o retângulo áureo. Serão relatadas, também, as situações

inesperadas que surgirem e como as situações esperadas de fato ocorreram.


Identificar a razão áurea como razão de proporção entre as medidas de área

e perímetro do retângulo áureo formado a partir da sequência de Fibonacci.


• Investigar a regra de formação e regularidades no retângulo áureo construído

a partir de quadrados com medidas dos lados iguais à sequência de

Fibonacci;

• Identificar o número áureo como razão entre um número da sequência de

Fibonacci e seu antecessor;

• Calcular os perímetros e as áreas dos quadrados formados a partir da

construção do retângulo áureo com a sequência de Fibonacci;

• Analisar o número áureo como razão de proporção entre as áreas e os

perímetros dos quadrados construídos com a sequência de Fibonacci.



• Folhas em papel quadriculado;

77


• Quadrados coloridos construídos em malha quadriculada com as medidas:

1x1, 2x2, 3x3, 5x5 e 8x8;

• Calculadora.




impressões.

Distribuí-los em grupos de quatro alunos cada. O professor irá acompanhar a

execução das atividades, orientando-os nas dificuldades que surgirem.


O quadro com as peças utilizadas para as atividades seguintes encontra-se

no apêndice. Cada quadrado deve ser recortado conforme as especificações 1x1,

2x2, 3x3, 5x5 e 8x8, antes de ser entregue aos alunos.


Nesta atividade, você irá construir retângulos com as peças dadas, conforme

as indicações abaixo. A cada passo, registre os dados coletados na tabela que se

segue.

a) Escolha um quadrado 1x1 e anexe ao lado desse quadrado um outro, fazendo

um retângulo de lados 2 e 1 (ou seja, 2x1), sendo o lado maior igual à soma dos

quadrados anteriores. Observe que esses dados já estão registrados na tabela.

b) Anexe agora outro quadrado com lado igual a 2 unidades junto ao lado maior do

retângulo 2x1. Que retângulo você obtém? Observe a 1ª coluna da tabela,

completando também a 2ª e a 3ª colunas.

c) Continue anexando quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos

78

retângulos obtidos no passo anterior e continue registrando os dados dos lados

maior e menor que obteve na tabela. Observe sempre como estão sendo

construídos os retângulos.

Retângulo Lado maior Lado menor

1x1 1 1

2x1 2 1

3x2

QUADRO 8 – IDENTIFICAÇÃO DE RETÂNGULOS ÁUREOS FORMADOS A PARTIR DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI FONTE: A autora

d) Investigue quais são as medidas dos próximos dois retângulos que podemos

formar e registre também os dados na tabela. Se necessário, você pode desenhar os

retângulos formados numa malha quadriculada.

Professor: Neste ponto, os alunos podem sentir dificuldades em observar regularidades. É

interessante pedir que observem como estão se formando os retângulos com as peças e como

identificam os lados maior e menor, observando a sequência que se forma. Os dois próximos

retângulos que podemos identificar terão medidas 21x13 e 34x21.

e) A sequência que está se formando na tabela com as medidas dos lados maior e

menor dos retângulos segue um padrão. Descubra a relação que há entre esses

números e como elas estão “crescendo”, redigindo como você pensou e descobriu.

Professor: A sequência que se observa é a seguinte: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Se o aluno

tiver dificuldades, incentive-o a observar como obtemos um dos números a partir de relações com

números anteriores.

f) Identifique qual é o 10º número que seria registrado na coluna referente às

79

medidas do lado menor dos retângulos, pois essa é a sequência completa.

Professor: O fato de identificar pela coluna com as medidas do lado menor dos retângulos é

porque está composta pelos números da sequência de Fibonacci a partir do primeiro. A coluna

referente ao lado maior se inicia pelo segundo número da sequência. O valor do 10º número é 55.

Essa sequência é chamada de Sequência de FibonacciSequência de FibonacciSequência de FibonacciSequência de Fibonacci, em

homenagem ao matemático italiano Leonardo Fibonacci de Pisa, um dos

responsáveis pela divulgação do sistema de numeração na Europa. Há uma

relação entre a Sequência de Fibonacci e o número de ouro Fi (cujo valor

aproximado é 1,6180339887...). Vamos descobri-la!

g) Iniciando pelos menores números da sequência, divida um número pelo seu

antecessor e verifique o que acontece, registrando seus cálculos e conclusões.

Ao efetuar as divisões, os alunos devem verificar que, ao dividir um número da sequência

pelo seu antecessor, os resultados se aproximarão do valor do número áureo 1,618...

Um retângulo áureo tem a interessante propriedade de, se o

dividirmos num quadrado e num retângulo, o novo retângulo é também áureo.

Repetindo este processo infinitamente e unindo os vértices dos quadrados

onde estes cortam os retângulos na razão áurea, obtém-se uma espiral a que

se dá o nome de espiral áurea.

h) Observe o retângulo que você construiu com as peças. Com o estudo que fez até

agora, você o considera um retângulo áureo? Por quê?

i) Vamos explorar agora essas peças quadradas que você utilizou para construir o

retângulo áureo, incluindo o valor da próxima que seria anexada. Calcule a área e o

perímetro de cada uma e registre os resultados no quadro abaixo:

80

Peças Perímetro Área

1x1

2x2

3x3

5x5

8x8

QUADRO 9 – ÁREA E PERÍMETRO DE PEÇAS QUADRADAS FONTE: A autora

j) Identifique a razão entre um valor de perímetro encontrado pelo valor de perímetro

imediatamente inferior (que constará numa linha acima), registre o cálculo e anote o

resultado. Proceda ainda dessa forma com mais dois valores. O que você conclui

com relação à razão dos perímetros desses quadrados? Há proporção entre eles?

Presume-se que o aluno conclua que, ao dividir um valor de perímetro pelo imediatamente

inferior na coluna, também encontrará aproximadamente o número áureo 1,618... como resultado e

que há proporção direta entre os perímetros dos retângulos.

k) Identifique agora a razão entre um valor de área encontrado pelo valor

imediatamente inferior, registre o cálculo e anote o resultado. Proceda ainda dessa

forma com mais dois valores. O que você conclui com relação à razão das áreas

desses quadrados? Há proporção entre as áreas encontradas?

Professor: Ao efetuar o mesmo procedimento com relação às medidas de áreas

encontradas, o aluno observará que os valores não são imediatamente iguais ao número de ouro.

Talvez seja necessário relembrar o procedimento efetuado em intervenções anteriores, no qual o

aluno deveria calcular o inverso da potenciação nos resultados encontrados, verificando assim que a

proporção entre as áreas dos quadrados formados a partir da sequência de Fibonacci não é direta.

l) Dois polígonos são semelhantes quando a razão de proporção entre suas medidas

correspondentes são iguais. Então, podemos dizer que os quadrados que compõem

um retângulo áureo são semelhantes entre si? Por quê?

81

3.8.7. Avaliação:




dúvidas com relação: à formação da sequência de Fibonacci; à análise da proporção

entre área e perímetro dos quadrados que integram essa sequência, observada no

retângulo áureo.


com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes à razão áurea,

identificada como razão de proporção entre as medidas de área e perímetro do

retângulo áureo, formado a partir da sequência de Fibonacci. Serão relatadas,


fato ocorreram.


Analisar como a proporção áurea historicamente construída e estudada é tão

atual nas aplicações em objetos e imagens de nosso dia a dia.


• Analisar como a proporção áurea foi historicamente construída e estudada e

suas relações com a sequência de Fibonacci, a partir de vídeos explicativos

do youtube;

• Identificar objetos e imagens do nosso dia a dia, nos quais se observa a

proporção áurea, por meio da razão entre os lados maior e menor medidos

nos retângulos que os compõem;

• Recortar, colar e/ou desenhar objetos e imagens atuais nos quais se observa

a proporção áurea.

82



• Cartolina ou folhas em branco;


• Tesoura, cola e régua;

• Material multimídia “datashow” ou 16 computadores da sala de informática;

• Objetos nos quais se observa proporção áurea em sua construção: cartões de

crédito, embalagens, livros, revistas, celulares;

• Imagens de objetos e figuras nos quais se observa proporção áurea.




composições e conclusões.

Após a apresentação dos vídeos programados, distribuir os alunos em

duplas para a execução das atividades que se seguem.


Inicialmente, iremos assistir a dois vídeos do youtube, nos quais podemos

observar como a proporção áurea foi estudada e caracterizada na História, as

relações que podemos fazer com a natureza, as medidas do corpo humano e a

sequência de Fibonacci:

• Número áureo Phi (parte 1), com tempo de 4 min 56 s:

<http://www.youtube.com/watch?v=w2NqqfHM9_8&feature=related>

• Número áureo Phi (parte 2), com tempo de 6 min 22 s:

<http://www.youtube.com/watch?v=T0CA60XXYp0>

Professor: O vídeo pode ser apresentado aos alunos por equipamento multimídia ou, de

acordo com as disponibilidades da escola, ser gravado na pasta Compartilhamento Público dos

computadores da sala de informática, para que os alunos possam assisti-los individualmente. É

interessante que, após assistir cada um dos vídeos, sejam feitas considerações que sejam

83

importantes e proceda-se ao esclarecimento de dúvidas. Ao final, os alunos podem responder à

questão abaixo, contando o que mais lhes chamou a atenção.

Responda: O que mais chamou sua atenção nos vídeos a que assistiu?

Considere os retângulos desenhados abaixo. Quais deles, em sua opinião,

apresenta tamanho e formato mais agradável aos olhos? Investigue-os e responda

por quê.

Agora que conhecemos um pouco mais sobre a proporção áurea, vamos

identificá-la em objetos e imagens de nosso dia a dia.

Para isso, vamos primeiramente investigá-la em objetos como livros,

revistas, celulares, cartões de visita e de crédito, calculadoras, embalagens,

fotografias, etc.

Nesses objetos, meça os lados maior e menor das faces retangulares que os

compõem e verifique quais possuem a razão áurea (Fi) como razão de proporção,

ou seja, aproximadamente igual a 1,618...

Pesquise também imagens de objetos, pinturas, figuras de eletroeletrônicos

A

B

C

D

E F

84

e fotos, nos quais, medindo seus lados, você encontra também o número áureo

como razão de proporção. Recorte-os e cole-os numa folha, colocando as medidas

de seus lados.

Registre abaixo o nome dos objetos e figuras nos quais identificou a

proporção áurea. Por que esses objetos usam medidas que resultam em proporção

áurea? Dê sua opinião.

Professor: Como sugestão, essas atividades podem ser expostas na escola, acompanhadas

de uma explanação geral sobre os assuntos trabalhados, organizada pelos alunos que participaram

das atividades.

3.9.6. Avaliação:




dúvidas com relação aos aspectos históricos, características e propriedades do

número de ouro. Esses aspectos devem ser observados nos vídeos assistidos e na

identificação da proporção áurea em objetos e imagens utilizados na atualidade.


com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes às

características do número de ouro e da sua aplicação na atualidade. Serão

relatadas, também, as situações inesperadas que surgirem e como as situações

esperadas de fato ocorreram.

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

A Unidade Didática elaborada surgiu com o intuito de pensar atividades

investigativas que envolvessem conteúdos de área e perímetro, levando os alunos a

assimilarem os conceitos básicos no que se refere aos quadros geométrico,

numérico e das grandezas, relacionando-os por fim ao quadro algébrico. E, para

uma aplicação com conteúdos curriculares específicos de 8ª série/9º ano, esses

conceitos foram explorados no estudo de razão e proporção e semelhança de uma

85

forma interativa, conciliando a análise histórica e atual de proporções no retângulo

áureo.

Espera-se, com essas atividades investigativas, que o aluno possa assimilar

e diferenciar os conceitos área e perímetro e também compreender suas aplicações

em estudos de proporções no retângulo áureo.

Os resultados obtidos no decorrer da implementação dessas atividades

servirão de subsídio para redação de um artigo científico, com o objetivo de

socializá-los e contribuir para estudos de outros professores e pesquisadores na

área da educação.

86

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91

APÊNDICES

APÊNDICE 1 – MODELO DE FOLHA EM MALHA QUADRICULADA SIMPLES .... 92

APÊNDICE 2 – MODELO DE FOLHA EM MALHA QUADRICULADA 1x1 cm ........ 93

APÊNDICE 3 – PEÇAS DO RETÂNGULO ÁUREO FORMADO A PARTIR DA

SEQUÊNCIA DE FIBONACCI ..................................................... 94

92

MALHA QUADRICULADA SIMPLES

93

MALHA QUADRICULADA 1 x 1 cm

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