www.desempenhomax.com.br

COMBINAÇÃO

1. (Ita 2017) Com os elementos 1, 2, , 10 são formadas todas as sequências 1 2 7(a , a , , a ).

Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência

escolhida não conter elementos repetidos é

a) 77! .

10 3!

b) 710! .

10 3!

c) 73! .

10 7!

d) 310! .

10 7!

e) 710! .10

2. (Enem 2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende,

entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro.

Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico

do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não

poderão ser ambos canhotos.

Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?

a) 10! 4!2! 8! 2! 2!

b) 10! 4!8! 2!

c) 10! 22! 8!

d) 6! 4 44!

e) 6! 6 44!

3. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Suponha que nos Jogos Olímpicos de 2016 apenas um

representante do Brasil faça parte do grupo de atletas que disputarão a final da prova de

natação dos 100 metros livres. Considerando que todos os oito atletas participantes têm a

mesma chance de vencer, a probabilidade de que o brasileiro receba uma das medalhas (ouro,

prata ou bronze) é de: a) 12,75% b) 25,50%

www.desempenhomax.com.br

COMBINAÇÃO

c) 37,50% d) 42,25% 4. (Mackenzie 2015) O número de polígonos convexos distintos que podemos formar, com

vértices nos pontos de coordenadas (0, 0), (0,1), (0, 2), (0, 3), (2, 0), (2,1), (2, 2) e (2, 3), do

plano, é a) 101 b) 84 c) 98 d) 100 e) 48 5. (Insper 2015) Certa comunidade mística considera 2015 um ano de sorte. Para tal

comunidade, um ano é considerado de sorte se, e somente se, é formado por 4 algarismos

distintos, sendo 2 pares e 2 ímpares. No período que vai do ano 1000 até o ano 9999, o

número total de anos de sorte é igual a a) 1680. b) 1840. c) 1920. d) 2160. e) 2400. 6. (Epcar (Afa) 2015) Um turista queria conhecer três estádios da Copa do Mundo no Brasil

não importando a ordem de escolha. Estava em dúvida em relação às seguintes situações:

I. obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã.

II. se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria que conhecer a Arena Pantanal, caso

contrário, não conheceria nenhum dos dois.

Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 estádios brasileiros, a razão entre o número

de modos distintos de escolher a situação I e o número de maneiras diferentes de escolha para

a situação II, nessa ordem, é

a) 1126

b) 1325

c) 1324

www.desempenhomax.com.br

COMBINAÇÃO

d) 1124

7. (Fgv 2015) Em uma sala estão presentes n pessoas, com n 3. Pelo menos uma pessoa

da sala não trocou aperto de mão com todos os presentes na sala, e os demais presentes

trocaram apertos de mão entre si, e um único aperto por dupla de pessoas. Nessas condições,

o número máximo de apertos trocados pelas n pessoas é igual a

a) 2n 3n 2

2

b) 2n n 2

2

c) 2n 2n 2

2

d) 2n 3n 2

2

e) 2n n 2

2

8. (Insper 2015) No jogo da multiplicação unitária deve-se preencher cada um dos círculos

sombreados na figura com um dos números 1 ou 1. Em seguida, deve-se multiplicar os

números dois a dois, obtendo um resultado para cada linha que liga dois círculos. Por último,

deve-se somar os resultados de todas essas multiplicações, obtendo o resultado do jogo.

O menor resultado que esse jogo pode ter é a) 0. b) 1. c) 2. d) 4. e) 6.

www.desempenhomax.com.br

COMBINAÇÃO

9. (Espm 2014) Os binomiais 114x

e x 3y

y

são complementares e, por isso, são iguais.

Seu valor é:

a) 165 b) 330 c) 55 d) 462 e) 11 10. (Insper 2014) Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos

Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sul-

americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra,

França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os

jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando

os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de

maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem

no mesmo grupo é a) 140. b) 120. c) 70. d) 60. e) 40. 11. (Unesp 2014) Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 questões de múltipla

escolha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilíbrio no

número de alternativas corretas, a serem assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele

deseja que duas questões sejam assinaladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por

diante, como mostra o modelo.

Modelo de folha de resposta (gabarito)

A B C D E

01 X

02 X

03 X

04 X

05 X

06 X

07 X

www.desempenhomax.com.br

COMBINAÇÃO

08 X

09 X

10 X

Nessas condições, a quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra X disposta nas

alternativas corretas, será a) 302 400. b) 113 400. c) 226 800. d) 181 440. e) 604 800. 12. (Epcar (Afa) 2014) Sr. José deseja guardar 4 bolas – uma azul, uma branca, uma

vermelha e uma preta – em 4 caixas numeradas:

O número de maneiras de Sr. José guardar todas as 4 bolas de forma que uma mesma caixa

NÃO contenha mais do que duas bolas, é igual a a) 24 b) 36 c) 144 d) 204 13. (Ifsp 2013) Dispõe-se de cinco cores para colorir o retângulo que está dividido em quatro

outros retângulos menores, R1, R2, R3 e R4, de maneira que retângulos com um lado comum

não devem ser coloridos com a mesma cor. O número de modos diferentes de colorir os quatro

retângulos com apenas duas cores é

R1 R2

R3 R4

www.desempenhomax.com.br

COMBINAÇÃO

a) 8. b) 12. c) 15. d) 18. e) 20. 14. (Enem 2013) Considere o seguinte jogo de apostas:

Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre

os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6

números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.

O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números

escolhidos.

Quantidade de números escolhidos em uma cartela

Preço da cartela (R$)

6 2,00 7 12,00

8 40,00

9 125,00

10 250,00

Cinco apostadores, cada um com R$500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:

- Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos;

- Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos;

- Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos;

- Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos;

- Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos.

Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são a) Caio e Eduardo. b) Arthur e Eduardo. c) Bruno e Caio. d) Arthur e Bruno. e) Douglas e Eduardo. 15. (Epcar (Afa) 2013) Num acampamento militar, serão instaladas três barracas: I, II e III.

Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneira que

fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III.

www.desempenhomax.com.br

COMBINAÇÃO

Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO deve ficar na barraca III, então o

número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a a) 560 b) 1120 c) 1680 d) 2240 16. (Mackenzie 2013) Uma faculdade possui 11 professores titulares, dos quais 7 são homens

e 4, mulheres. O número de bancas distintas de avaliação que podem ser formadas, contendo

cada uma apenas 3 homens e 3 mulheres é a) 4 b) 70 c) 80 d) 140 e) 180

www.desempenhomax.com.br

COMBINAÇÃO

Gabarito: Resposta da questão 1: [B]

Calculando: 7

7 7 7

Casos Possíveis 1010

Casos Favoráveis 7!7

10 10!7! 7!7 10!7! 3!P P10 10 10 3!

Resposta da questão 2: [A]

Desde que o número de maneiras de escolher dois tenistas quaisquer é 10 10! ,2 2! 8!

e o

número de modos de escolher dois tenistas canhotos é 4 4! ,2 2! 2!

tem-se que o resultado é

dado por 10! 4! .2! 8! 2! 2!

Resposta da questão 3: [C]

Número de maneiras de se escolher três nadadores medalhistas num total de 8.

8,38!C 56

3! 5!

Número de maneiras de se escolher três medalhistas de modo que um deles seja o brasileiro.

7,27!C 21

2! 5!

Portanto, a probabilidade pedida será dada por:

21 3P 37,50%56 8

www.desempenhomax.com.br

COMBINAÇÃO

Resposta da questão 4: [B]

É possível formar apenas triângulos e quadriláteros.

Existem 4 maneiras de escolher um dos pontos sobre o eixo das ordenadas e 4 4! 62 2! 2!

modos de escolher dois pontos da reta x 2. Assim, pelo Princípio Multiplicativo, é possível

formar 2 4 6 48 triângulos (note que é possível escolher dois pontos do eixo das ordenadas

e um ponto da reta x 2).

Para formar quadriláteros, é necessário tomar dois pontos sobre o eixo das ordenadas e dois

pontos sobre a reta x 2. Isso pode ser feito de 6 6 36 maneiras.

Em consequência, pelo Princípio Aditivo, a resposta é 48 36 84. Resposta da questão 5: [D]

Podemos considerar dois casos: os anos de sorte que iniciam por um algarismo par, e os anos

de sorte que iniciam por um algarismo ímpar.

No primeiro caso, temos 4 modos de escolher o primeiro algarismo par (2, 4, 6 ou 8), 4

modos de escolher o segundo algarismo par e 5 5! 102 2! 3!

modos de escolher os dois

algarismos ímpares. Fixado o primeiro algarismo par, podemos dispor os outros 3 algarismos

de 3! 6 maneiras. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, existem 4 4 10 6 960 anos de sorte

que começam por um algarismo par.

No segundo caso, temos 5 escolhas para o primeiro algarismo ímpar, 4 escolhas para o

segundo algarismo ímpar e 5

102

escolhas para os dois algarismos pares. Fixado o primeiro

algarismo ímpar, podemos dispor os outros 3 algarismos de 3! 6 maneiras. Assim, pelo

Princípio Multiplicativo, temos 5 4 10 6 1200 anos de sorte que iniciam por um algarismo

ímpar.

Portanto, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta é 960 1200 2160. Resposta da questão 6: [A]

www.desempenhomax.com.br

COMBINAÇÃO

Para a situação I, existem 11 11! 552 2! 9!

escolhas possíveis. Para a situação II, o número

de possibilidades é dado por 10 10!10 10 130.3 3! 7!

Em consequência, a resposta é

55 11.130 26

Resposta da questão 7: [E]

O resultado pedido se dá quando uma das pessoas não troca aperto de mão com exatamente

uma das outras n 1 pessoas presentes.

Portanto, a reposta é

2n n! n(n 1) 2 n n 21 1

2 2!(n 2)! 2 2

Resposta da questão 8: [C]

O resultado será mínimo quando o número de produtos iguais a 1 for máximo. Tem-se que o

número de produtos possíveis é igual a 4 4! 6.2 2! 2!

Ademais, se x é a quantidade de

números iguais a 1 e y é a quantidade de números iguais a 1, temos

(x,y) {(4, 0), (3,1), (2, 2), (1, 3), (0, 4)}.

É imediato que as possibilidades (4, 0) e (0, 4) não convêm. Logo, por inspeção, concluímos

que (x, y) (2, 2), com os números dispostos em quaisquer círculos.

A resposta é

1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 2.

Resposta da questão 9: [A]

www.desempenhomax.com.br

COMBINAÇÃO

Se 114x

e x 3y

y

são complementares, então x 3y 11 e 4x y 11. Em consequência,

tem-se x 2 e y 3. Portanto, 11 11 11! 165.4x 8 8! 3!

Resposta da questão 10: [D]

Existem 2 maneiras de escolher o grupo que terá duas seleções sul-americanas, 3

32

modos de escolher essas duas seleções, e 5 5! 102 3! 2!

modos de escolher as duas

seleções europeias que irão formar o grupo com as duas sul-americanas. Como o segundo

grupo é determinado univocamente pelas escolhas do primeiro, segue-se que o resultado

pedido, pelo Princípio Fundamental da Contagem, é 2 3 10 60. Resposta da questão 11: [B]

10,2 8,2 6,2 4,2 2,2C C C C C 45 28 15 6 1 113400

Resposta da questão 12: [D]

Se não houvesse restrições de número de bolas por caixa, o total de maneiras possíveis de

guardar as 4 bolas seria de 4 4 4 4 256. Porém, de acordo com a restrição imposta no

enunciado, deste total é preciso descontar as maneiras que contemplam mais de duas bolas

por caixa, ou seja:

1) Uma caixa com 3 bolas, outra com 1 e as outras duas com nenhuma:

3 14 1

4!4 C 3 C 4 3 4 4 3 48 maneiras3!

2) Uma caixa com 4 bolas e as outras com nenhuma: há apenas 4 possibilidades, visto que

só existem 4 caixas e que todas as bolas serão guardadas na mesma caixa.

Assim, o total de maneiras de Sr. José pode guardar todas as 4 bolas de forma que uma

mesma caixa não contenha mais do que duas bolas, é igual a 256 48 4 204.

www.desempenhomax.com.br

COMBINAÇÃO

Resposta da questão 13: [E]

Existem apenas duas maneiras de colorir os retângulos usando as cores A e B:

Escolhendo duas entre as 5 cotes disponíveis. 5,25!C 10

2!.3!

Número de maneiras para se pintar os retângulos: 2 10 20 Resposta da questão 14: [A]

Supondo que duas cartelas de um mesmo jogador não possuem 6 dezenas iguais, segue-se

que Arthur, Bruno, Caio, Douglas e Eduardo possuem, respectivamente, as seguintes

possibilidades de serem premiados:

250; 7

41 4 291;6

8

12 10 346;6

9

4 3366

e 10

2 420.6

Portanto, como o número de casos possíveis para o resultado do sorteio é o mesmo para

todos, podemos concluir que Caio e Eduardo são os que têm as maiores probabilidades de

serem premiados. Resposta da questão 15: [B]

1º caso: Soldados A e B na barraca I

Barraca I: C8,2 = 28

Barraca II: C6,3 = 20

Barraca III: C3,3 = 1

Total(1) = 28 20 1 = 560.

www.desempenhomax.com.br

COMBINAÇÃO

2º caso: Soldado A na barraca I e soldado B na barraca II

Barraca I: C8,3 = 56

Baraca II CC5,2 =10

Barraca III: C3,3 = 1

Total(2) = 56 10 1 = 560.

Então, o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a 560 + 560 = 1120. Resposta da questão 16: [D]

Maneiras distintas para a escolha de 3 homens: 7,37!C 35.

3! 4!

Maneiras distintas para a escolha de 3 mulheres: 434!C 4.

3! 1!

Total de bancas: 35.4 = 140.

www.desempenhomax.com.br

Endereço: Rua Itapeva, 378, 1º andar, Bela VistaSão Paulo, SP, 01332-000 (ao lado da FGV)

Contato: (11) 996-612-344