Comca agosto-2008

Transitividad Robusta de ConjuntosMaximales Invariantes

Dante Carrasco-Olivera, C.A. Morales, B. San Martın

DC-BS

Departamento de Matematicas

Universidad Catolica del Norte (UCN)-Antofagasta- Chile

CM

Instituto de Matematica

Universidad Federal de Rıo de Janeiro (UFRJ)-Rıo de Janeiro-Brasil

COMCA-2008-Universidad Arturo PratTransitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 1/34

Esbozo de la charla

Motivación

Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 2/34

Esbozo de la charla

Motivación

Preliminares


Esbozo de la charla

Motivación

Preliminares

Enunciados del Teorema Principal


Esbozo de la charla

Motivación

Preliminares


Enunciados de resultados técnicos


Esbozo de la charla

Motivación

Preliminares


Enunciados de resultados técnicos

Esbozo de la prueba del Teorema Principal


Motivación

SeaM una3-variedad compacta conexa con bordeposiblemente no vacío∂M . Denotamos porX r(M, ∂M), r ≥ 1, el espacio deCr campo de vectoresenM tangente a∂M (si es no vacío) equipado con laCr

topogía. FijamosX ∈ X r(M, ∂M) y denotemos porXt, t ∈ R, el flujo generado porX in M .

Por unciclo singulardeX nos referimos a un conjuntoΓconsistiendo de una singularidadσ, una órbita periódicaO (ambas hiperbólicas) y dos órbitas regularesγ0 ⊂ W u(σ) ∩ W s(O) y γ1 ⊂ W u(O) ∩ W s(σ). En talcaso decimos que el ciclo singularΓ estáasociadoaσ.


Estamos precisamente interesados en ciclos singularesasociados a singularidadesσ con autovalores realesλu, λs, λss satisfaciendo la relación de autovalores

λss < λs < 0 < λu. (1)

Existe también una variedad central-inestableW cu(σ)tangente enσ al autoespacio asociado a{λs, λu}.Decimos que el ciclo esgenéricosi W s(O) es transversalaW cu(σ) a lo largo deγ0 y W u(O) es transversal aW s(σ) a lo largo deγ1.


Ciclo Singular

l

u

ss s

sl

l

Figura 1: Ciclo Singular.Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 5/34

Secciones transversales

lss s

sl

ul

Figura 2: Ciclo Singular.Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 6/34

1. Resultado que motiva el trabajo

Morales-Pacifico-Pujals (C. R. Acad. Sci. Paris Sér. IMath. 326 (1998), Ann. of Math. (2) 160 (2004))SeaM una 3-variedad compacta sin borde.Teorema 1.1 Supóngase queX ∈ X 1(M) tiene unconjuntoC1 robustamente transitivoΛ. Entonces parauno de los dos campos de vectoresX, −X, Λ es unconjunto hiperbólico-singular, un atractor y cualquierade sus singularidades son tipo-Lorenz.


2. Objetivo de estudio

Teorema 2.1 SiX ∈ X 1(M, ∂M), exhibe un ciclogenérico asociado a una singularidadσ ∈ ∂M conautovalores reales satisfaciendo (1), entoncesX tambiénexhibe un conjuntoC1 robustamente transitivoconteniendo aσCorolario 2.2 Para toda3-variedad compacta conbordeM existeX ∈ X 1(M, ∂M), exhibiendo unconjuntoC1 robustamente transitivo el cual no essingular-hiperbólico paraX o−X.


Preliminares

2.1. Definicion

SeaΣ = [0, 1] × [0, 1] el cuadrado unitario cerrado yU ⊂ R

2 un conjunto abierto conteniendo aΣ. Fijemosdos números realesa, b con0 < a < b < 1.Denote porp = (x, y) = (xp, yp) el sistema decoordenadas naturales enU . Pongamos

L0 = {y = 0}; La = {y = a};

Lb = {y = b}; L1 = {y = 1}.


Unacurvac enU es la imagen de una apliciónC1

inyectivac : Dom(c) ⊂ R → U conDom(c) es unintervalo compacto. Una curvac eshorizontalsi elgráfico de una aplicaciónC1 h : [0, 1] → [0, 1], i.e.,c = {(x, h(x)) : x ∈ [0, 1]} ⊂ U .Definición 2.3 Una foliación continuaF sobreU esllamada horizontal si sus hojas son curvas horizontales ylas curvasLo, La, Lb, L1 son hojas deF .


Denotemos porH0,a = [0, 1] × [0, a] y Hb,1 = [0, 1] × [b, 1].Definición 2.4 (Aplicación triangular) Una aplicaciónR : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U es llamada triangular si

contrae y deja invariante a una foliaciónF .

Además,

R(L0) ⊂ [0, 1),

R(La) ⊂ U\Σ,

R(Lb) ⊂ U\Σ y

R(L1) = {(x0, 0)} para algún0 < x0 < 1.


Dadop ∈ U , vp ∈ TpU y un subespacio1−dimensionalVp ⊂ TpU , definimos∠(vp, Vp) el angulo entre el vectorvp y y el subespacioVp. Dadoγ > 0, denotamos porCγ(p, Vp) = Cγ(p) el γ-campo de conos

Cγ(p) = {vp ∈ TpU : ∠(vp, Vp) ≤ γ}.

Un γ-campo de conosCγ es:

invariantesi DR(Cγ(p)) ⊂ int(Cγ(R(p))) paratodop ∈ H0,a ∪ Hb,1.

transversala una foliación horizontalF siTpL ⊂ {v : v /∈ Cγ(p)} para todop ∈ L y ∀L ∈ F .


Definición 2.5 (Aplicación triangularquasi-hiperbólica).SeaR : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U una aplicación triangularcon foliación horizontal asociadaF . DadosK0 > 0,K1 > 0, 1 < ν ≤ µ. Decimos queR es(K0, K1, ν, µ)-quasi hiperbólica si

(H1) Existeα = αR > 1 tal que

yR(p) ≤ K0 | yp − 1 |α, ∀p ∈ Hb,1.

(H2) R es unC1-difeomorfismo enH0,a ∪ (Hb,1 \ {y = 1}).


(H3) Existen0 < γ < 12 y un invarianteγ−campo de

conosCγ enU transversal aF tal queνµ1−α

α > 1,

‖ DR(p)v ‖≥ K1 | yp − 1 |α−1‖ v ‖,

∀p ∈ Hb,1,∀v ∈ Cγ(p).y

ν ‖ v ‖≤‖ DR(p)v ‖≤ µ ‖ v ‖,

∀p ∈ H0,a,∀v ∈ Cγ(p). Ver figura 4.


Aplicación quasi-hiperbólica

Figura 3: Trasformación de retornoTransitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 15/34

Derivada Schwarziana para aplica-ciones unidimensional

Definición 2.6 Seah : Dom(f) ⊂ R → R unaC3

aplicación tal queDh(t) 6= 0 para todot ∈ Dom(h). Laderivada Schwarziana deh ent ∈ Dom(h) es

Sh(t) =D3h(t)

Dh(t)−

3

2

(D2h(t)

Df(t)

)2

.

Decimos queh tiene derivada Schwarziana negativa siSh(t) < 0 para todot ∈ Dom(h) tal queDh(t) 6= 0.


Hipótesis (H)

A cualquier foliación horizontalF podemos asociar laaplicacion de holonomıa ΠF : U → R definida por

ΠF (p) = F (p) ∩ {0} × R.

Toda foliación horizontalF induce un sistema decoordenadas(x, y) enU como sigue: Definaϕ : U → R × R by

ϕ(x, y) = (x, ΠF (x, y)).

Entonces,(x, y) es definido por

(x, y) = ϕ(x, y) = (x, ΠF (x, y)). (2)Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 17/34

Para unaC1 foliaciónF , consideramos queΠF satisface

|∂ΠF

∂x(x, y) |<

1

2and |

∂ΠF

∂y(x, y) |>

3

4.

SeaR : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U una aplicación.Para toda foliación horizontalF se define un sistema decoordenadas (2). Si adicionalmenteF esR-invariante,entonces podemos definirR = ϕ ◦ R ◦ ϕ−1. La identidad

R(x, y) = (F (x, y), f(y)) (3)

vale para algúnasC0 aplicaciónf : Dom(f) ⊂ R → R yF : dom(F ) ⊂ R

2 → R2.


Definición 2.7 (Aplicacion Schawarzian Contractiva).Dados dos números realesr, s con0 < r < s < 1 y seah : [0, r] ∪ [s, 1] una aplicación. Decimos que ella esSchwarziana contractiva si:

(h1) h es unaC3 maplicación, creciente en[0, r] ydecreciente en[s, 1], h(0) = 0, h(1) = 0, existeβ > 1 tal queh(t) = β.t para todot ∈ [0, r] yDh(t) = 0 si y sólo sit = 1. Adicionalmente,h(r) > 1 y h(s) > 1.

(h2) h tiene derivada Schwarzian negativa sobre[s, 1).Ver figura 4.


Aplicacion Schawarziana Contracti-va

h h

Figura 4: Aplicación de hojasTransitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 20/34

Definición 2.8 (Hipótesis (H)). SeaR : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U una aplicación triangular confoliación horizontal asociadaF de claseC3. DecimosqueR satisface (H) si la aplicaciónf dada por (3) esSchwarziana contractiva.


Notation. SeaA denota el conjunto de todas lasaplicacionesR : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U las cuales son(K0, K1, ν, µ) − quasi-hiperbólicas conK0 > 0, K1 > 0,1 < ν ≤ µ.Definición 2.9 (C1-topología enA ) En el espacioAconsideramos laC1-topología, la cual es definida por lamétrica

dC1(R, R) = max{

‖ R(p) − R(p) ‖, ‖ DR(p) − DR(p)

| αR − αR |: p ∈ H0,a ∪ Hb,1

}

.

Ahora enunciamos nuestro Teorema Principal.Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 22/34

Enunciado del Teorema Principal

Teorema 2.10ConsidereR0 una aplicación(K0, K1, ν, µ) − quasi-hyperbolic (i,e.,R0 ∈ A )satisfaciendo(H) conK0 > 0, K1 > 0 y 1 < ν ≤ µ.Entonces existe unaC1−vecindadU = U (R0) deR0

enA tal que para toda aplicaciónR ∈ U , el conjuntomaximal invariante,

⋂

n∈Z

Rn(Σ) (4)

estransitivo, i.e., existe unz en él tal que{Rn(z) : n ∈ N} es denso en el conjunto maximalinvariante.


Resultados Técnicos

Teorema 2.11ConsidereR0 una aplicación(K0, K1, ν, µ) − quasi-hiperbólico (i,e.,R0 ∈ A )satisfaciendo(H) conK0 > 0, K1 > 0 y 1 < ν ≤ µ.Entonces existe unaC1-vecindadV = V (R0) deR0 enA tal que para todoR ∈ V , el conjunto contenido enΣ,

ΛR =∞⋂

i=0

R−i(Σ), no contiene curvas tangentes aCγ.

Corolario 2.12 ConsidereV la C1-vecindad dada porel Teorema 2.11. Entonces para todaR ∈ V y para toda

curvaζ tangente aCγ conζ ∩ (∞⋂

i=0

R−i(Σ)) 6= ∅ existe

n = n(R, ζ) tal queΠF (Rn(ζ)) ⊇ [0, 1].Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 24/34

Referente a flujos

3. Teoremas que se pretender hacer

Teorema 3.1 SiX ∈ X r(M, ∂M), r ≥ 3, exhibe unciclo genérico asociado a una singularidadσ ∈ ∂M conautovalores reales satisfaciendoλ2 < λ3 < 0 < λ1.,entoncesX también exhibe unCr,1 conjuntorobustamente transitivo conteniendo aσ.Teorema 3.2 SiX ∈ X r(M, ∂M), r ≥ 3, exhibe unciclo genérico asociado a una singularidadσ ∈ ∂M conautovalores reales satisfaciendoλ2 < λ3 < 0 < λ1.,entoncesX también exhibe unC1 conjunto robustamentetransitivo conteniendo aσ.


Apendice

4. Esbozo de la prueba del Teorema2.11

Fije R0 como en el enunciado del toerema. ConsidereV4,δ4 andλ4 dados por la Proposición??. Considere laC1-vecindadV4 of R0 enA dado por el Corolario??.TakeV = V4 ∩ V5. Now fix R ∈ V .Fije la foliación invarianteF dada por la hipótesis.También denotamos porg la aplicación inducida porF .Descomponemos la prueba en algunos pasos.

(1) R no tiene pozos.


Suppose thatΛR =∞⋂

i=0

R−i(Σ), has a curveζ tangent to

Cγ.

(2) For allm 6= n, [Rm(ζ)] ∩ [Rn(ζ)] has no interior.

(3) lengh(Rn(ζ)) → 0 cuandon → +∞

(4) ΠF (Rn(ζ)) acumula a1.

Por (3) podemos considerar0 < η < δ4 y un enteron0 ental sentido que∀n ≥ n0 lengh(Rn(ζ)) < δ4 − η. Así, siparan ≥ n0, Rn(ζ) ∩ [0, 1] × (1 − η, 1) 6= ∅ entoncesRn(ζ) ⊂ [0, 1] × (1 − δ4, 1).


Por (3), existe una sucesiónnk tal queRnk(ζ) ⊂ [0, 1] × (1 − δ4, 1). Aplicamos (??) de laProposición??después de una reparametrización de lacurvaζ tenemos que

lengh(Rnk(ζ)) ≥ λnk−n0

2 .lengh(Rn0(ζ)).

Comonk → ∞ tenemos que

lengh(Rnk(ζ)) → ∞

y esto es una contradicción con(3). ¥


5. Transividad Robusta

Una órbita deXt es el conjuntoO = OX(q) = {Xt(q) : t ∈ R} para algúnq ∈ M . Elconjunto omega-límite de un puntop es el conjuntoωX(p) = {x : M : x =lımn→∞ Xtn(p)para alguna sucesióntn → ∞}. Unasingularidad deXt es un puntoσ ∈ M tal queX(σ) = 0.Una órbita periódica deXt es una órbitaOX(p) tal queXT (p) = p para algún minimalT > 0. Una órbitacerrada deXt es bien una singularidad o una órbitaperiódica deXt.


Definición 5.1 SeaXt un flujo sobreM . Un conjuntocompactoΛ ⊂ M es:

invariante siXt(Λ) = Λ, para todot ∈ R;

Transitivo siΛ = ωX(p) para algúnp ∈ Λ;

No trivial si Λ no es una órbita cerrada deXt;

Aislado si existe una vecindad compactaU (llamadobloque aislante) deΛ tal que

Λ =⋂

t∈R

Xt(U);


Atractivosi es aislado y tiene un bloque aislanteUtal que∀t ≥ 0, Xt(U) ⊂ U .

Atractorsi es un conjunto transitivo atractivo.

Denote porm(A) = ınf‖v‖6=0‖Av‖‖v‖ la norma mínima de un

operador linealADefinición 5.2 SeaΛ un conjunto compacto invariantedeXt. Una descomposición continua invarianteTΛM = EΛ ⊕ FΛ sobreΛ esdominadasi existenconstantes positivasK, λ tales que∀t > 0 y ∀x ∈ Λ,

‖ DXt(x)|Ex ‖

m(DXt(x)|Fx)≤ Ke−λt.


Definición 5.3 Un conjunto compacto invarianteΛ esparcialmente hiperbolico si exhibe una descomposicióndominadaTΛM = Es

Λ ⊕ EcΛ tal queEs

Λ es contractivo,i.e.,

‖ DXt(x)|Esx ‖≤ Ke−λt,

para todot > 0 y todox ∈ Λ.Definición 5.4 Un conjuntohiperbolico-singular Λ deXt es un conjunto parcialmente hiperbólico consingularidades hiperbólicas y el subfibrado centralEc

Λexpande volumen, i.e.,

| det(DXt(x)|EcΛ |≥ K−1eλt,

para todot > 0 y todox ∈ Λ. Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 32/34

Definición 5.5 Un conjunto aisladoΛ esCr

robustamente transitivo, si exhibe un bloque aislanteUtal que para todoY ∈ X r(M, ∂M) Cr cercano aX lacontinuación

ΛY =⋂

t∈R

Yt(U) (5)

deΛ es un conjunto transitivo no-trivial deY .


Definición 5.6 Un conjunto aisladoΛ esCr,k,1 ≤ k ≤ r, robustamente transitivo, si exhibe un bloqueeislanteU tal que para todoY ∈ X r(M, ∂M) Ck

cercano aX la continuación

ΛY =⋂

t∈R

Yt(U) (6)

deΛ es un conjunto transitivo no-trivial deY .


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