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Comentário e resolução de questõesCAPíTULO - 1 Livro do Aluno:

Página 4 a 35

Números reais e a reta

Exercícios de aprendizagem

Questão 01Comentário:

(V) 53- (4 . 7 + 54 : 6) = 125 - (28 + 9) = 125 - 37 = 88 E 1'i.

(V) O conjunto dos números naturais é definido como umconjunto indutivo, ou seja, 1 E N e n E N então (n + 1) E N.A contagem do número de pessoas de uma cidade segueesse mesmo processo: começamos a partir do número ume, a cada pessoa que é contada, somamos um ao númeroanterior. Logo, qualquer elemento dessa contagem serásempre natural.

(F) Uma pessoa com 1,68m tem uma altura que não é expressapor um número natural.

(V) As populações de Londres e da Inglaterra são representadaspor números naturais. A subtração de dois naturais (x e V) seránatural, se e somente se, x 2: y, o que, no caso do enunciado,é verdade, já que todo habitante de Londres mora naInglaterra e a recíproca é falsa.

Questão 02Comentário: Fatorando 360, encontramos 360 = 23.32.5.Assim, criando todas as combinações com os fatores, temosque os divisores de 360 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15,18, 20, 24, 30, 36\ 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 e 360.

Questão 03Comentário: Como 391 = 17 . 23, verificamos que essenúmero não é primo, por ter mais de dois divisores; nesse caso,quatro (1, 17, 23, 391). Isso pode ser verificado pelo fato de adecomposição em fatores primos conter dois elementos primos.


A) {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22}B) {1, 3, 5, 7, 9,11,13,15,17, 19}

Questão 05Comentário:A) O conjunto A dos números naturais menores ou iguais a 9

é A = {O, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9}.B) O conjunto B dos números naturais maiores que 3 e

menores ou iguais a 15 é tal que:B = {4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14, 15}

C) Ao obter o conjunto C dos números naturais pares maioresque 13 e menores que 30, podemos definir um conjunto Opedido no enunciado dividindo cada elemento do conjunto Cpor 2. Assim, D = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.

'.- Bernoullí Sistema de Ensino 9

MATEMÁTICAQuestão 06Comentário:

A) 360 == 23 • 32 • 5

B) 250 == 2 . 5'

C) 1024 == 2'0

D) 693 == 32 • 7 . 11

E) 212 = 22 • 53

F) 189 = 33 • 7


A) Como a abscissa é o número correspondente ao ponto,a abscissa de A é 2 e a de C, 8.

B) Como a imagem geométrica é o ponto correspondentea um número, B é a imagem geométrica de 5.


(F) O número zero é natural, mas não é positivo.

(V) Todo inteiro negativo é um número natural multiplicadopor -1.

(V) -[-(+3)J == 3 E r\l

(F) 1-101+ 5.1-(-6)1 == 10 + 5 . 6 == 40, um inteiro positivo.

(V) Os inteiros são ilimitados tanto no sentido crescente comono decrescente da reta numérica.

Questão 09Comentário: Os múltiplos de três são todos os valoresque possuem 3 como fator primo. Logo o conjunto Xdos inteiros múltiplos de 3 pode ser representado comoX = {3.k para todo k E Z} == { ••• , -9, -6, -3, O, 3, 6, 9, ...}.


Como 20 == 22 • 5, os divisores inteiros de 20 são:

{-20, -10, -5, -4, -2, -1, 1,2,4, 5, 10, 20}


A) O conjunto dos inteiros maiores que 6 é {7, 8, 9, 10...}.

B) O conjunto dos inteiros maiores ou iguais a -6 e menoresou iguais a 6 é {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4,5, 6}.

C) O conjunto dos inteiros maiores que -5 e menores que 4é {-4, -3, -2, -1, O, 1, 2, 3}.

D) O conjunto dos inteiros menores ou iguais a -7 é{..., -10, -9, -8, -7}.

Questão 12Comentário: Um número negativo é sempre menor que umnúmero positivo e, quanto maior o módulo de um númeronegativo, menor será o número. Assim:

-10 < -9 < -8 < -2 < -1 < 5 < 9 < 11

10 Coleção EF8

Questão 13Comentário:A) A abscissa de Pé -2.

B) Como a imagem geométrica é o ponto correspondentea um número, M é a imagem de -4.

C) A abscissa de N é 1.

Questão 14Comentário: Os números racionais são aqueles que podem

ser escritos na forma ~; a E Z e b E Z *. Assim:b

(V) -3 E Q, pois -3 E Z c Q ==> -3 E Q.

(V) ~ = 3 E Z. Afirmativa em conformidade com a definição3de números inteiros.

(V) 0,418 E Q, pois 0,418 = 418 E 0.1000 .

(V) 3,1415 E Q, pois 3,1415= 31415 E Q.10000

(V) -14,0 E Z, pois -14,0 = -14 E z.

(F) 7,123 sr Q, pois 7, 123 = 7 + 123 = 2454 E 0.999 333 -

(F) O sr Q, pois O sr Z c Q.

(V) 264 E Q, pois 264= 4 E Z cQ.


A) DE.

B) DE, pois 29 = O 29100 ' .

C) DP, pois 24,555... = 24,5.

D) DE, pois ~O,25= 0,5.

. 14 _ 56 _ 056E) DE, pOIS 25 - 100 -, .

I

. [4 2 -F) DP, pOIS V9 =:3 = O, 6.

- 4 22G) DP -2,4= -2- = -9 9

- - 79 ~H) DP 2,7934 = 2+0,79 +0,0034 =2 +- +--.

100 9900

I) DE pois -~=-~=-O 6., 15 10 '

Questão 16Comentário: Nos denominadores que têm apenas fatores2 e I ou 5, não encontraremos dízimas, já que, efetuandoas multiplicações necessárias, encontraremos um múltiplode 10 no denominador, e o termo do numerador nos dá oque vem depois da vírgula. Quando tivermos algum outrofator no denominador, devemos multiplicar numerador edenominador, de forma que no denominador fique um númeroque possibilite a transformação na dízima (como 9, 90, 99).Checando o número de zeros e noves no denominador,descobrimos a extensão do período e do anteperíodo, com isso,um simples procedimento de cálculo nos dá a dízima. Assim:

Manual do Professor

A) 15 = 15 . 625 = 9375 = o 937516 24.54 10000 '

F) o 18=~=~, 100 50

B) -g=-~=-O 620 10 '

G) o 36=~=~, 100 25

C) 24 = 12 =1+~ =1,3"18 9 9

H) 314= 314 = 157, 100 50

D) -~ = -o 023410000 ' I) o 5=~=!.

, 10 2

J) o 55 =~ =!.!., 100 20

K) o 555 = 555 =!.!.!., 1000 200

L) 0375 = 375 = ~, 1000 8

M) 0625 = 625 =~, 1000 8

N) 0376= 376 =~, 1000 125

F) 17 =0 708324 '

J) - ~ = - -±- = -o 440 10 '

K) ~=~=~=00650 50.2 100 '

L) 84 = 14 =1 460 10 '

M) 22 = 2+~ =2 "499'

N) 22 - --=022 =0299' ,

O) 222 =2 + 24 = 2 2499 99'


A) 17=1+2'.=16, 9 9

B) O 65 = 65 - 6 = ;;9, 90 90

C) 3 56 =3+ 56 = 353, 99 99

I

D) O 2345 = 2 345 - 23 = 2322 = 129, 9 900 9 900 550


E) O 215 = 215 - 21 = 194 = ~, 900 900 450

A) 0371 = 371, 1000

F) O I=.!., 9

B) _2004=_2004=_501, 1000 250

G) O 21 = 21 =Z:, 99 33

C) 32 1498= 321 498 = 160 749, 10000 5000

H) O 12 =~3.=-±-, 99 33

D) -2 54 = _ 254 =_127, 100 50

E) -O 00004=- __ 4_= __ 1_, 100000 25000

J) 1 16 = 1+ 16 = 115, 99 99

r.Bernoulli Sistema de Ensino 11

MATEMÁTICA

K) 7 16 =7 + 16 = 709, 99 99

M) 4285 = 4+28~=- 28 = 4 +~~ =~_~2, 900 900 900

Questão 19

Comentário: Há várias possibilidades. Exemplo:

C 3 15 4 20, .. 16 17 18 -omo = e = .- , os numeros raCionaiS -, -, - esta o5 5 5 5 5

. compreendidos entre 3 e 4,


(F) Por exemplo, 12 E ]R;, mas 12 " iQi,(V) N cZ => (n E rI => n E Z).

(V) lR - (~c iR=> (r E IR- Q => z E ['i:),

(V) IR= iQ>U (IR- <Qi)

(F) Sejam dois números racionais quaisquer, a e b. Como

os racionais são fechados na soma e na divisão, a média

aritmética entre esses números será racional e estará entre

os dois racionais, Agora devemos escolher um dos racionais. . . . ( I) I I 'do a + bIniciais por exemp o, a e ca cu ar a me Ia entre a e -- ,

2Esse número também será racional, logo achamos dois racionais

entre esses dois racionais quaisquer, Na verdade, podemos

sempre encontrar infinitos racionais entre dois racionais, devido

às propriedades topológicas dos reais e dos racionais.


Racionais: {3,2; -6; ~; 0,5666 ... ; 9}7

Irracionais: {J3; ~ ; -n:; 145}Questão 22Comentário:

-2 -1 Of3 1 -fi 2, , . ,, ,

-~ -~ O 0,5 1.1.. 32 4 2

Questão 23Comentário: Resposta pessoal.

Exemplo:

(2 +)2) e (2 -)2) E]R;- o. mas (2 +)2) + (2 -)2) = 4 Ec

12 Coleção EF8

Questão 24Comentário: Resposta pessoal. Exemplo:

(2+)2) e (2-)2)E]R;-Q, mas (2 +)2)(2-)2)=2 EiQ>,

Questão 25Comentário: Utilizando aproximações para números decimais,temos:

- 3 9 c: )-3,2 < -4 < 7"< (\"17,=4,1 < (3n:'=9,4) <11


A) -8 < -5

B) ~ = 55> 055 = ~9 99 ' 100

C) g = 55 > O 43 = 39 = 13 = 2612 60 ' 90 30 60

D) /5 = 2,2360679 ...

E) .2... = 0,062516


A) Sabemos que /11 é maior que .(9 e menor que /16, então3 < IIT < 4,

Aproximando esse valor usando uma casadecimal, temos: 3,32 = 10,89 e 3,52 = 12,25,Logo, 3,3 < IIT < 3,5.Agora, aproximando usando duas casas decimais, temos:3,312 = 10,9561 e 3,322 = 11,0224.

Logo, 3,31 < IIT < 3,32. Assim, IIT '=3,31.Sabemos que !I9 é maior que lI6 e menor que .(25,então4 < !I9 < 5.Aproximando esse valor usando uma casa decimal, temos:4,32 = 18,49 e 4,42 = 19,36.

Logo, 4,3 < !I9 < 4,4.

Agora, aproximando usando duas casas decimais, temos:4,352 = 18,9225 e 4,362 = 19,0096.Logo, 4,35 < !I9 < 4,36. Assim, !I9 ;;;4,35.Portanto, IIT + lI9 ;;;3,31 + 4,35;;; 7,66.

B) Sabemos que /5 é maior que 14 e menor que .(9,então2 < /5 < 3,Aproximando esse valor usando uma casa decimal, temos:2,22 = 4,84 e 2,32 = 5,29. Logo, 2,2 < /5 < 2,3.Agora, aproximando usando duas casas decimais, temos:2,232 = 4,9729 e 2,242 = 5,0176. Logo, 2,23 < /5 < 2,24.Assim, /5 ;;;2,23. Portanto, 4/5 ;;;8,92.

Sabemos que /3 é maior que II e menor que 14 então1 < /3 < 2.Aproximando esse valor usando uma casa decimal, temos:1,72 = 2,89 e 1,82 = 3,24. Logo, 1,7 < /3 < 1,8.

Agora, aproximando usando duas casas decimais,temos: 1,732 = 2,9929 e 1,742 = 3,0276.Logo, 1,73 < /3 < 1,74. Assim, /3 ;;;1,73. Deste modo,3/3 ;;;5,19.

Portanto, 4/5 - 3/3 + 1;;; 8,92 - 5,19 + 1;;; 4,73.

Manual do Professor

C) Sabemos que /55 é maior que j49 e menor que )64, então7 < /55 < 8.

Aproximando esse valor usando uma casa decimal, temos:7,02 = 49 e 7,12 = 50,41. Logo, 7,0 < /55 < 7,1.

Agora, aproximando usando duas casas decimais,temos: 7,072 = 49,9849 e 7,082 = 50,1264.Logo, 7,07 < /55 < 7,08. Assim, /55 '"7,07.Portanto, /55 - 3 '" 7,07 - 3 ~ 4,07.

D) Sabemos pelo item B que /3 ~ 1,73. Portanto, 2/3 ~ 3,46.

Sabemos, também, que.f2. é maior que.fI e menor que 14então 1 < 12 < 2.

Aproximando esse valor usando uma casa decimal, temos:1,42 = 1,96 e 1,52 = 2,25. Logo, 1,4 < 12 < 1,5.

Agora, aproximando usando duas casas decimais, temos:1,412 = 1,9881 e 1,422 = 2,0164. Logo, 1,41 < 12 < 1,42.

Assim, 12 ~ 1,41. Portanto, 312 ~ 4,23.

Deste modo, 2/3" - 3/2 ~ 3,46 - 4,23 = -0,77.

Questão 28Comentário: Observe que:

2 5a = 1 + 0,66666 ... = 1 + - = -

3 3

2 7b = -1 + 0,222222 ... = -1 + - = --9 9Assim, temos:

A) a+b=%+(-~)=~

B) a-b=%-(_~)=292

C) a.b=%.(-~)=-~~

5

D) ~= _3Z =%.( -*J =_1:

9


A) S = 5fi. 2fi = 70cm2

B) 2p=2(5fi+2fi)=14fi=36,96cm


A) 3.(-5 + 2) = 3.(-5) + 3 . 2 = -15 + 6 = -9

B) Ji.(Ji.+3)=J2.·J2+3Ji.=3J2+2

C) x(y + z)= xy + xz

D) (-5)(-2 + 7 - 4 - 6) =

(-5)(-2) + (-5).7 + (-5)(-4) + (-5)(-6) =10 - 35 + 20 + 30 = 25


1+ 22 31A_1+2,4444 ... _ 9 __ 9 _315 _155- ,Jill _!:.. - 11 _!:.. - 54 -"9' 54 - 486

5 5 5Logo:

A-I =.!.. = 486A 155


r:::-:::::;::;- R f!5 5 -yL,/// ... = 2+-= -=-=1,6666 ... =1,6

993

DesafioQuestão 01 - letra A

1 1 2Comentário: Tendo em vista que e

3 5 151 1 1

4 5 20

e que existem 16 espaços entre os pontos, cada espaço2

1representa 15 = _1_. Logo, após seis espaços, a fração

16 120 4

está na alternativa A.


jab + ac = 152 (I)ab + bc = 162 (II)ac + bc = 170 (III)

Somando (I), (H) e (III), temos que ab + ac + bc = 242 (IV).

Resolvendo o sistemá, encontramos bc = 90, ac = 80 e ab = 72.

Multiplicando essas três equações entre si, encontramos que

a'b'c' = 518400, logo abc = 720.

Questão 03 - letra CComentário: De 'acordo com a fórmula, teremos:

Jij = 17+16 = 33 = 668 8 16

-J6s = 65 + 64 = 12916 16

Jij+-J6s = 66 + 129 =16 16

195=12+~16 16

Como há 16 espaços, a soma está no ponto C.

Exercícios propostosQuestão 01Comentário:

A) {19, 23, 29,31, 37,41,43,47}

B) {10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}

C) {-18, -12, -6, O, 6, 12, 18}

D) {-8, -4, -2, -1, 1, 2,4,8}

E) {-4, -3, -2, -1, 0,1,2,3, 4}

Bernoulli Sistema de Ensino 13


60 = 22 • 3 . 5. Os números irmãos de 60 têm que ter os fatores,e apenas estes, 2, 3 e 5. Logo, estamos falando de múltiplos de30 cujo resultado da divisão por 30 tenha apenas esses fatores.

Realizando o cálculo, constatamos que 30, 90{ 120{ 150{ 180,240{ 270,300, 360,450,480, 540,600, 720, 750,810,900,

960 são irmãos de 60. Assim, o número 60 tem 18 irmãos.


A) Para que um número seja múltiplo de 25, ele deve ter 52na sua decomposição em fatores primos. Logo, A = 5 e

B ~ 2. Para que ele seja divisor de 100, B s 2.

Logo, A == 5 e B == 2.

B) Para que N esteja entre 30 e 40, devemos ter30 < 22.AS < 40

Dividindo os membros dessa inequação por 4, temos7,5 s AB :s 10. AS não pode valer 8 ou 10, já que esses

números têm 2 na sua decomposição em primos e A '" 2.Logo, AS = 9 => A = 3 e B ==2.

Comentário: A diferença horária vale 1 - (-5) == 6.


A) Seja a = [( -2).( -3) + (-45): (+15) - (+10 -13 - 6 + 12)] ==6-3-3=0=;.

-15 +{-16 - 36: (-9)- a} = -15 -16 +4 +0 ==- 27

B) Seja b =={.J14'4 + (+12).2 - (_2)3 - [(-5 + 12 -13): (_3)]3} ==

12 + 24 + 8 - [( -6): (-3)]' ==44 - 8 = 36 =;

9 - b + 20 = 9 - 36 + 20 - 7


A) O conjunto dos naturais menores ou iguais a 9 é tal que{O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

B) O conjunto dos inteiros contidos entre -3 e 7 é tal que{-3, -2, -1, O{ 1,2, 3,4, 5, 6, 7}.

C) O conjunto dos números inteiros que têm módulo menor

ou igual a 3 são aqueles contidos entre -3 e 3. Assim,{-3, -2, -1, 0,1,2, 3}.

Comentário: Primeiramente, devemos encontrar os valoresde A, B{ C, O e E.

A==-(-6)=6

B ==1-101 == 10

C ==-2 + 1 ==-1

D = -[-(+7)] ==7

E = -12 - 1 ==-13

Assim:A) A + D + E ==6 + 7 - 13 ==O

B) B + C + D = 10 - 1 + 7 = 16

14 Coleção EF8


A) A média de lançamentos de foguetes por semana no ano de2011 é calculada pela razão entre a quantidade de fogueteslançados no ano e a quantidade de semanas contidas noano.

57 foguetes", 1,09 foguetes por semana.52 semanas

B) Pensando de maneira análoga ao exercício anterior, temos:

95 satélites", 1,82 satélites por semana.52 semanas

Questão 09Comentário: Já que a soma do numerador e do denominadorvale 21, chamando o numerador de x, temos:

60 = ~ = _x_ =; 3x = 84 - 4x =; x = 1245 3 21- x

Logo, a fração é 12 .9


~ + 3,( - ~J-(2~HiJ = 0,4 -; 3.( ·-1,75) - 2,2.4,5 =

0,4 - 5,25 - 9,9 = -14{75


5 -A) DPe, pois - = 0,05

90

. 12 108 9 -B) DPS, pOIS -=-=1+-=1,09.

11 99 99

C) DE, pois 11 = 55 = 5,5:2 10

. 13 325D) DE{ pOIS - = --- = 3,25.4 100

,123 24 -E) DPS, pOIS - = 1+,- = 1, 24.

99 99

F) DE, pois ~ = 3 .125 = 375 = O 375.8 23• 53 1 000 '


- 6 2 38A) 12,6 =12+-=12+-

9 3 3

B) 4 123 4 + 123 = 4 + ~ = 1373, 999 333 333

C) 10 01 = 10 + .l.= 2?J:., 99 99

D) 1 23 = 1 + 23 = 122, 99 99

F) O 125 = 125, 999

Manual do Professor

H) 0452 = 452-45 = 407, 900 900

I) 12=1+~=~~, 9 9

M) 3,1i7 ==3+ 127-12 =3+ 115 =3+~ = 563900 900 180 180

- 49-4 1 43N) 21,49=21+--=21+-=-

90 2 2

Questão 13Comentário: A média aritmética de três números é a soma

desses números dividida por 3. Assim:

Questão 14

Comentário:

Como p e q são primos entre si, a fração E. deve ser irredutívelq

portanto, p = 12 e q = 7.

Questão 15

Comentário:

A) A localização dos números irracionais é: VIO = (1, 3);

/2 + .f3= (2, 5); 2 + /2 = (2, 1); Te = (3,4) e -/2 = (4, 2).

B) A localização dos números inteiros é: 16 = (l, 5); O = (1, 2);

157 = (1,1); 5" = (2,4); -1 = (2, 3); 1 = (3, 5); /I5Õ = (4, 5);

112 = (5, 3); -9 = (5, 1).

C) A localização das frações que se tornam decimais exatos

é: 15=(2 4)'-~=(2 2)'~=(3 3)'~=(3 l)'~=(S 4)'5 "40 r 5 " 128 "- "

4_17 = (5,2).4


A) .J1% =14,0 D) .J5õ=512 :; 7,0

B) .J576 =24,0 E) .J12==2Jj :; 3,4,--

J8== 212;: 2,8C) ../1024=32,0 F)


A) .J18 +.J5õ=.j2Y +~ =312 +512 ==812 ~

812 =8 .1,41 = 11,28

B) .J12- .Ji5 = ji.2:3 - .j52:3 = 2Jj - sJj ~

-3Jj =- 3 .lJ3 =- 5,19

C) .[8 + ./18 =.J23+../2.3' =2li +3,12 ~512 =5 .1,41 =7,05

D) 2.J2õ+3.[98 == 2~ +3~2. 7' ~

4,J5 +2112 =4.2,23 +21.1,41 =;

8,92 +29,61 = 38,53

E) 3Jj - .Ji5 + .J12==313 - ,fi:S' +,13. 2' =}313 - 513 +2Jj = sJj - 513 =O

Questão 18Comentário: A afirmativa é falsa, pois:

)7+~84-)4+J25 =~7+,j84-.J4+S ==~7+)84-J9 =

~7+.)84- 3 ==)7 +J81 ==,/7 +9 = J16 ==4.


17 -34 3 -33 t: ( . n 5 21 fi--=-< --=-< ,,2< 15)<-<-< -< 711 22 2 22 ' r 2 3 8

A desigualdade mais à direita deriva do fato de que:

( 21r = 441 < 448 = 7 = (fi)'8 64 64

ir -fi2

t !-3 -2 -1 O 1 2 I 3

171 15 21-1i~ n- a

3 ..fi2


22 ---Como - = 3,142857, observando a 3a casa decimal,7

I ' 22.cone uimos que n < -. Assim, temos:7

22 ---- - n = 3,142857 - 3,141592;: 0,00137


MATEMÁTICAQuestão 21Comentário: Seja S a área calculada pelo arquiteto.Assim, temos:

A) 1t:3,14 =>5= 49.:,14 38,465

2222 49.------

11: : - => S =__ 7_ =38 574'Assim, a diferença entre os valores é de:

38,500 - 38,465 = 0,03522

B) O valor obtido pelo estagiário, pois -:;- está mais próximo

de 1t do que 3,14.


A) x2 = 2 ='>N = fi => I x I= vÍ2 ='>x = ±vÍ2

tr; r=:": r;::-;::-C) Z2= 0,25 => "ZL = ,,]0,25=> I z I=,,0,25 ='> z = ± 0,5


A) Substituindo os valores de a e b dados no enunciado, temos:

(, -5 -1 1 49(-5). -1)=---+(-5)(-1)=5--+5=-

-1 -5 5 5

B) Ela não é comutativa, pois:

-1 -5 1 1 49(-1). (-5)= -5 - -1 +(-1)(-5)=5-5+5=5"'5

Questão 24Comentário: Devemos substituir os valores de x e y naexpressão fornecida no enunciado. Assim:(~r-(-0,12)2 =(0,2)2- (0,12)' = 0,04 - 0,0144 = 0,0256


A) (fi +2).fi = .)49 +2fi = 7 +2fi

B) 5(,Ji5 - 3) = sE -15

e) vÍ2(Jã +J18) =.j8:2 +,J18:2 = J16 +136 =4 +6 =10

Testes01. e 07. e

02. B 08. e

03. e 09. e

04. D 10. B

05. C 11. A

06. A 12. E

16 Coleção EF8

CAPíTULO 2

Potenciação eradiciaçãoExercícios de aprendizagem


A) 33 = 3 . 3 . 3 = 27

B) -7' = -(7).(7) = -49

e) (-6)' = (-6).(-6) = 36

D) (0,2)3 = 0,2 . 0,2 . 0,2 = 0,008

E) (10)4= 10 . 10. 10 . 10 = 10000

G) (353)' = 353425 425

H) O" = o . o . O . o . o . o . O . O ::, O

I) (-5)° = 1

J) (~r=~+~= 217

K) F = 1 . 1 . 1 , 1 . 1 . 1 . 1 = 1

Livro do Aluno:Página 38 a 57

M) (-100)° = 1

L) (_1)8 = (-1).(-1).(-1).(-1).(-1).(-1).(-1).(-1) = 1

N) (-1,6)' = (-1,6).(-1,6) = 2,56

O) (0,1)5 = (0,1).(0,1).(0,1).(0,1).(0,1) = 0,00001

Q) (-1,81)°=1

R) -5' = -(5).(5) = -25


A) 2-3 = (~r= ~

B) (-5)-' = (-~ r = 2~

e) (-1)-5= (-ir =-1

D) (25)-'=4949 25

Manual do Professor

E) (~r'= ( ~r = ~~

F) (0,5)-' = (~) -z =(2)' =4

G) (-1,71)-1 = (- ~~~r 100171

r: Bernoulli Sistema de Ensino 17


A) X7.X8.X5= X7+ 8 + 5 = x'O

B) (a3)" = a3. 11= a33

C) ~.~.y4=X-4.X.y-l.y4=X-3.y3= y3 = ('1..J3x" Y X3 X

H) 7-' = (%f 149

I) (-4)-3= (-~r=-614J) (1 3)-1 = (13) -1= ( 10) 1 10

, 10 13 13


A) _43_.1_0_4_.5~ (2')3.(2.5)4.53 _ 26.24.54.53

(2'.5)5.(23)' - 210.55.26

25

Questão 03 B) 4'(15)3.[27J2 =4.(15J3J 27J" =2,.33.5

3

.~='4 10 l 4 23.53 24

Comentário:

A) (-2 - 4)' : (-1 - 5) + [(-2 - 3)3 : (-4 - 9)'] =

(-6)2 : (-6) + [(-5)3 : (-13)2] =

-6 + [-125J = -1139_169 _ 169

2'.33.53.2-3.5-3.36.2-4 = 2-5.39 = 1968332

Questão 08Comentário: (7'2)4 : 750= 712.4 - 50 = 7-' = J...

49

B) [HlT ..«.( 3f ( 2f-2' _(-3)1+-3' =

(-~r-(-3)-t(-287 J=16 +3-~ 16+243-24 23581 27 81 81

C) (33)' .332.9 35 .39 .3' = 36+9+'-5= 3"243 35

O) 5' .5'+1.25' 5' .5'+1. (5')' 5' . 5' + 1 . 5"125" (53)" 56.

Se.,. a + 1 "t ze - fia ::::::51 - 2a

Questão 09Comentário: 5X = 2 (I)

53x + 3 . 25x - 625x :::;. (5x)' + 3.(5x)2 - (5x)4 (II)Substituindo (I) em (II), temos:

23 + 3 . 2' - 24 = 8 + 12 - 16 = 4

Questão 10Comentário:(V) 6'·7 = 67.'(F) 25' = 2125e (25)3 = 25.3 = 2'5(F) -24 -cF (-2)4, pois -24 = -16 e (-2)4 = 16(F) (-3)" = 1(V) a3.b3 = (a.b)'

Questão 04

Questão 11 I

Comentário:A) 107 = 10 000 000B) 10-5 = 0,00001C) 104 = 10 000

O) _1_ = 0,0110'

Comentário: Questão 12Comentário:A) 10 000 000 = 107

B) 10 000 = 104C) 0,000001 = 10-5O) -0,001 = -10-3

A) (0,12)7: (0,12)5. (0,12)3 = (0,12)7-5+3 = (0,12)5

Questão 05

B) [(5")3]' = 5".3.' = 566

Questão 13Comentário:A) 1 800 000 000 000 = 1,8 . 1012

B) 1 350000 = 1,35 . 106C) 0,0000002 = 2 . 10-7

O) 0,000625 = 6,25 . 10-4

Comentário:

A) (74)6 = 74.6 = 7'4

C) 1P . 11' : 11'5 = 1P + 7- 15= 11-5


(1,5 . 10-3).(2,4 . 10-5).(2 . 107) =(1,5 . 2,4 . 2).(10-3+(-5)+7) = 7,2 . 10-1


A) (3,5. 109) : (0,7 . 10-4) = (3,5 : 0,7) . (109-(-4) = 5 . 10'3

B) (1,5. 10-2) • (8 . 105) = (1,5 . 8) . (10-2+5) = 12. 10' = 1,2. 104

C) (2.106). (6.10-22) = (2.6). (10 6+(-22)= 12.10-16 = 1,2. 10-15

D) (1,3 . 10-2)4 = (1,3)4 . (10-2)4 = 2,8561 . 10-8

Questão 16Comentário:A) 5, 10.4 = 0,0005B) 3,5. 10-3 = 0,0035

C) 2. 10-5 = 0,00002

Questão 17Comentário: Sendo x a quantidade de gotas em1 kg = 1 000 g, temos:

Gotas Massa1 5 . 10-2 9

X 1000 g

~ = 1000_ => x = ~ J .!.) ,103-(-2) = 0,2 .105 = 2.1041 5. lO-L 5 . 10-2 l5

Assim, em 1 kg de água há 2 . 104 gotas.

Questão 18Comentário: Seja t a quantidade de horas procurada. Temos:

Distância Tempo5,4 . 10B km t

104 km 1 h

t = 5,,:.~~ = 5,4.10' h104

Questão 19Comentário: Seja d a distância procurada. Temos:

Distância Tempo

300000 km 1 s

d 1,3 sd = 300 000 . 1,3 = 3 . 105• 1,3 = 3,9 . 105 km =

3,9 .105. ~=3,9.1O'Ocmlkm


A) J625 = --./54= 52 = 25

B) .fi56 = fiB = 24 = 16

C) -J12i. = JU2 = 11

D) ~O,64=~O,82 =0,8

E) ~2500=.f2.'S=2.52=2.25=50

F) ..j8iOO = ~22 . 34• 52 = 2 . 32 . 5 = 90

G) ~5184 = ~26. 34 = 23• 32 = 72

H) ~9 216 = ~2'0 . 32 = 25 • 3 = 96

18 Coleção EF8


A) (lli _ [32:52 _ 3.5 _15V169- V132 -13 - 13


A) Sendo 0,0961 m' a área do quadrado, temos que o

lado será ~O,0961 = 0,31 m.

B) Sendo 0,31 m o lado do quadrado, seu perímetro será:

2p = 4 . 0,31 => 2p = 1,24 m


../9 . 10-2 .~O, 0049 ..J2,5 . 10' =

j3'-:iõ-;-.j49-'--104 .J25-~-102-=3 . 10-1, 7 _ 10-2. 5 . 10 =

3 _7.5.10'-1,10-2.101 =

105 _ 10-2 = 1,05


A) 4./169 + 5;0,81 = 4.,!f32 + 5;0,92 =

4 . 13 + 5 . 0,9 = 56,S

B) J10õ +.fi56 J1õ2 +M = 10 +16 = 26

j2025 J452 45 45

C) ~63+~1O-~83-# =~63+~1O-~83-2 ='--v----'

9

~63 + ~1O - 9 = 163-;--; = -J64 = 8'-v--'

1


A) 576 = 26 _ 32 -> Como os expoentes de todos os fatoresprimos são pares, 576 é quadrado perfeito.

B) 22 500 = 22 _ 32. 54 -} Como os expoentes de todos osfatores primos são pares, 22 500 é quadrado perfeito.

C) 648 = 23 • 34 -> Como o expoente do fator primo 2 é ímpar,648 não é um quadrado perfeito.

D) 1 323 = 33• 72 -> Como o expoente do fator primo 3 é ímpar,

1 323 não é um quadrado perfeito.

Questão 26Comentário: A decomposição em fatores primos do número é:6174 = 2.32.73•

Note que os expoentes dos fatores primos 2 e 7 são ímpares.

Manual do Professor

Logo, para termos um quadrado perfeito, precisamos multiplicar

6174 por 2 e por 7. Assim:

6174.2.7 = 2.32.13.(2.7) = 22. 32. 74 (quadrado perfeito)

Logo, 2 . 7 = 14 é o menor valor inteiro pelo qual devemos

multiplicar 6 174 para torná-Ia um quadrado perfeito.


A) /144 < ./I47 < /169

12 < /147 < 13

/147 =' 1212,12 = 146,441 =:>/147 =' 12 112,22 = 148,84 f '

B) 136 < 145 < /49

6<145<7

145 =' 66,72 = 44,89}=:> 145 =' 6 76,82 = 46,24 '

C) .j25 < 132 < 1365<132<6

132 =' 5

5,62 = 31,36} =:>132 5,65,72 = 32,49

D) .j25 < /28 < 1365</28<6

/28 =' 55,32

= 28,09}=:> /28 =' 535,42 = 29,16 '


/75 + 2m = ,f3:52 + 2ff.32 = 5/3 + 3 . 2/3 '"5 . 1,73 + 6 . 1,73 = 19,03

Questão 29Comentário: Substituindo a, b e c na expressão, temos:

-5 + -4.1.6x = ----'-----2.1

-5 + ~25 - 24 -5 +.J1x= =2 2

-5 +1 -4x=--2 2x =-2

Questão 30Comentário: Primeiro vamos calcular a área da parede:

A '" 6 400 . ~ =:>A = 230 400 em-área de

cada rutatbo

Como a parede é um quadrado de lado e, temos:

R = IA = /230400 =:>f. '" 480 cm = 4,8 m

DesafioQuestão 01 - Letra CComentário: Fazendo a decomposição de 9 e 4 em fatores

primos, temos:

22003. 9' 001 22002.9' 001 22003.(32)'001 22002.(32)'00'----+ = + =4'00' .32003 4'001.32003 (22)'00'.32003 (22)'00'.32003

2ym.~ r.~ 21-'----:;--,,----' + = - + -r.3t'tlU>, r.3~ 3 3

Questão 02 - Letra AComentário: Observe algumas potências de 3:3' = 332 = 933 = 2734 = 8135 = 24336 = 72937", 2 18738 '" 6 561

~=13

Note que, de 4 em 4, as potências de 3 têm o mesmo algarismodas unidades. Note também que para os expoentes múltiplosde 4, o algarismo das unidades é 1. Portanto, como 2 008é múltiplo de 4, temos 32008= ... 1.

Questão 03 - Letra CComentário: Dividindo os dois lados da expressão por2 0132013,temos:

20132013 + 20132013 + ... + 2 0132013'" 2 0132014

1 + 1 + ... + 1 = 2 013Agora, observe:1 + 1 = 2 (1 sinal)1 + 1 + 1 = 3 (2 sinais)1 + 1 + 1 + 1 = 4 (3 sinais)

1 + 1 + ... + 1 = 2 013 (2 012 sinais)

Exercícios propostosQuestão 01

5 b3 -4 b7Comentário: .:.= a. .a .

y (a.b)2.a-3.b4

Questão 02Comentário:A) 5. 3.1 + 1 = 5 . 30 = 5B) 5. 30+ 1 = 5 . 3 = 15C) 5. 3' + 1= 5 . 32 = 5 . 9 = 45

D) 5. 3-2 + , = 5 . 3-1 = !?3

Questão 03Comentário: Início: 5 cmApós o: 10 dia: 2 . 5

20 dia: 2 . 2 . 5 = 22• 530 dia: 2 . 2 . 2 . 5 = 23• 540 dia: 2 . 2 . 2 . 2 . 5 = 24• 550 dia: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 5 = 2s. 5

100 dia: 210• 5 cm

Bernoulll Sistema de Ensino 19

MATEMÁTICAQuestão 04Comentário: Após 3 anos, temos:

1,2 . 1,2 . 1,2 . 250 000 = 1,23 . 250 000 = R$ 432 000,00

Questão 05Comentário: Substituindo a, x e y por seus valores

correspondentes, temos:

a3 - 3a2.x2.y2 = (10)3 - 3.(10)2.(2)2.(1)2 = 1000 -1200 = -200


-343+3.8- 1_____ 2""5=A) (_7)3 + 3.(2-3t' - (-5t2

-(-2)' 8

-8575 + 600 - 1 1 -7976 997- --=--

25 .8 - 200 25

J49 _ J64 + (~).-22 7-8+4 3 3

B) = =-=-=1(22)" +~l +~1 1: 3

Questão 07

Comentário: 2'9• 517 = 22• 217 . 517= 4.(2 . 5)17 = 4 . 10t7 =400 000 000 000 000 000

Ou seja, o número possui 18 algarismos.

Questão 08

Comentário:

A) 32 + P - n = 32. 3P: 3n = 32. 36 : 18 = 9 . 36 : 18

324 : 18 = 18

B) 32(n - p) = 3

2n-'p = 3

2n: 3

2P= ;~:;>~::= [ ~: r = ( ~r = ~

Questão 09

Comentário: 4'5• 526 = (22)'5. 526 = 230• 5'6 = 24• 226. 526 =

24.(2 . 5)26 = 16 . 1026 = 1,6 . 1027


Distância Tempo

3,0 . 105 km 1 s

9. 107 km t

t = 9 . 107 = 3 . 102 5

3.

t = ~ = 3 . 10' = O 5. 10 = 5 minutos60 6. 10 '

Questão 11Comentário: 0,0000000000175 = 1,75 . 10-11

Questão 12

Comentário: (235).(-721) = -169435 = - 1,69435 .105

2 O Coleção EF8

Questão 13Comentário: 5 kg = 5 000 g. Sendo m o número de moléculasem 5 kg de uma substância, temos:Peso Quantidade

2,5 . 10-5 g 1

5. 103 9 m

m = 5. 103

=> m = 2 . 1082,5 . 10-5

Existem 2 . 108 moléculas.


A) (1,8. 10-6).(6. 108) = 10,8. 102 = 1,08 . 103

S) (3,4.1023):(1,7.10'°) = 2 .103


1 1 5 52-1+3-1 2+:3 6 6 5 2 5

~1+5.4-t = )1+% = ~=~=6':3=9


Coulombs Elétrons1 . 6,25 . 10'8

q 1,75. 107

1 75 . 107

q = ' = O 28 . 10-11 = 2 8 . 10-12 coulombs6,25 . 10'8' ,

Questão 17Comentário: 18+ 2/2 -Iill- /2 = .fI3 + 2 /2 - ff - /2 =.(2.2:2. + 2/2 - .(25:2 - /2 = 2/2 + 2/2 - 23./2 - /2 =

2/2 + 2/2 - 8/2 - /2= -5/2

Questão 18Comentário: 1 500 = 2' . 3 . 53. Observe que os expoentesdos fatores 3 e 5 são ímpares. Para tornar o número 1 500um quadrado perfeito, basta rnultlpllcá-lo por 3 e 5. Assim,22 . 3 . 53 . (3 . 5) = 22 . 32 . 54 é quadrado perfeito.15 é, portanto, o menor número pelo qual devemos multiplicar1 500 para obter um quadrado perfeito.


A) Seja x o lado do galinheiro. Assim:

x = /676 = 122-:-132 => x = 26. Como são 4 lados,são necessários 4 . 26 = 104 m de tela.

S) R$ 1,20 . 104 = R$ 124,80


35-t .40-1.102.5.100 (5. 7t'.(23

• 5t'.(2. 5)'.5.22.52

23.14-1.5.25 23.(2. 7t'.5 . 52

5-1 . T' . 2-3 . 5-1 • 2' . 52 . 5 . 2' . 52 2'. 53 . T' 1

23 . 2-1 . T' . 5 . 52 22 . 53 . T' 2

Manual do Professor

Testes01. C 05. A

02. C 06. A

03. A 07. C

04. C 08. C

09. C10. B11. D

12. B

CAPíTULO - 3Retas caplanarese polígonos

livro do Aluno:Página 60 a 100

Exercícios de aprendizagem

Questão 01Comentário: Como os dois ângulos são correspondentes, suasmedidas são iguais. Assim, temos que 4x - 15° = 6x - 37° 40',logo x = 11° 20'.Como nos quatro ângulos formados no cruzamento de duasretas temos que dois ângulos adjacentes são suplementarese ãnqulos OPV são congruentes, os ângulos formados são4( 11° 20') - 15° = 30° 20' e 180° - 30° 20' = 149° 40'. Assim,temos dois ângulOSde medida 30° 20' e dois de medida 149° 40'.

Questão 02Comentário: Como os ângulos são correspondentes, elesserão congruentes, portanto 2x - 30° = x + 10° => x = 40°.Assim, essas retas determinam um ângulo agudo de2 . 40° - 30° = 50°, e formarão ângulos obtusos de180° - 50° = 130°.

Questão 03Comentário: Esses quatro ângulos obtusos são congruentes.Denotando a medida de cada um por x, temos que 4x = 449°,logo x = 112° 15'.Assim, a medida de cada ângulo agudo será de180° - 112° 15'= 67° 45'.

Questão 04Comentário: Como ângulos alternos externos são congruentes,temos que 9x + 26° = 12x - 10°, logo x = 12°. Assim, cadaângulo mede 12 . 12° - 10° = 1340•

Questão 05Comentário: Se as retas são paralelas, as medidas dessesângulos são iguais, logo temos:

13x -1 = 4x + 9 :} x = 402

Assim, cada ângulo deverá medir 4 . 4° + 90 = 250•

Questão 06Comentário: Devemos nos lembrar de que ângulos alternos,OPV ou correspondentes são congruentes e ângulos colateraissão suplementares. Assim:

A) 2b + b + 1140 = 180° (colaterais) :} b = 220

2b = c (alternos internos) ==> c = 44°a + c = 1800 => a = 1360

B) a + 1400 = 180° => a = 400

b + 82° = 1800 => b = 98°

a + c + 82° = 1800 => c = 58°

Questão 07Comentário: Os ângulos x e y são congruentes, pois sãoalternos internos e também são suplementares em relaçãoao ângulo de 128° da figura.Assim, x = y = 180° - 128° = 52°.Os ângulOS y e z são congruentes, pois são correspondentes,logo, z mede 52°.

Questão 08Comentário: Note que os quatro ângulos agudos têmtodos a mesma medida. Se a denotarmos por x, temos que4x = 109° 2' ==> x = 27° 15' 30". Como os ângulos obtusossão suplementares a esses ângulos, temos que estes medem180° - 270 15' 30"= 152° 44' 30".

Questão 09Comentário: Primeiramente, percebemos que x + 30° = 90°,logo x = 60°, já que n e t são perpendiculares. Como 300 e z sãoalternos internos, z = 30°. E, finalmente, x + y = 90°, logo y = 30°.


A) O triângulo não possui nenhuma diagonal.

B) d n.(n - 3) 4.(4 - 3) 4.1 2 d' .= --2- = 2 =2 = raqonars.

C) d n.(n - 3) 5.(5 - 3) 5.2 5 d' .= --2- = 2 =2 = iaqonars.

D) d n.(n - 3) 6.(6 - 3) 6.3 9 dl .= --2- = --2-- = -2-= iaçonars.

E) d - n.(n - 3) _ 7.(7 - 3) _ 7.4 -14 d' .---2- ---2-- - 2'- iaçonars.

F) d n.(n - 3) 8.(8 - 3) 8.5 20 dl .= --2- = 2 .= -2- = raqonais.

G) d = n.(n - 3) = 9·é9 - 3) = ~ = 27 diagonais.2 2 2

H) d n.(n - 3) 10.(10 - 3) 10.7 35 dl .= --2- = 2 -2- = raçonars.

I)

J) d n.(n - 3) 12.(12 - 3) 12.9 54 d' .= --2- = 2 = -2- = raçonars.

K) d n.(n - 3) 15.(15 - 3) 15.12 90 d' .= --2- = 2 -2- = iaqonars.

L) d = n.(n - 3) = 20.(20 - 3) = 20.17 = 170 diagonais.2 2 2

Questão 11Comentário: Se um polígono tem n lados, de cada vérticesaem (n - 3) diagonais, pois um vértice não se liga a si mesmonem aos dois vértices adjacentes por meio de diagonais. Assim,de um decágono saem 7 diagonais de cada vértice, igual aonúmero de lados do heptágono.

Questão 12Comentário: Como todos os lados têm medida igual a 6 cme a soma das medidas dos lados é de 60 em, esse polígonotem 10 lados.

Assim, ele terá 10.(10 - 3) = 35 diagonais.2

'.' Bernoulli Sistema de Ensino 21


A) Esse polígono tem 28,8 = 9 lados.3,2

Assim, partem (9 - 3) == 6 diagonais de cada lado do polígono.

B) O I' 9 . 6 27 dí .po Igono tem -- = lagonals.2

Questão 14Comentário: Os lados do quadrado, do triângulo e do hexágono

são iguais, e equivalentes à metade da medida da diagonal do

hexágono, já que essa diagonal é formada de dois lados de

triângulos equiláteros congruentes.

Assim, a diagonal AB mede 2 . 4 == 8 em.

Questão 15Comentário: Sendo n o número de lados do políqono.

n == 3 + 9 =;. n == 12

Esse polígono é, portanto, um dodecáçono.


2n= n.(n - 3) ==>4n= n.(n - 3) ==>n2 -7n= O ==>2

n.(n -7)= O ==>n== O ou n == 7

Como n corresponde ao número de lados, o polígono possui

7 lados.

Questão 17Comentário: Representando cada funcionário como se fosse

um vértice de um polígono, formaríamos um hexágono e o

número total de conexões possíveis entre os funcionários

corresponderia à soma dos lados e diagonais desse polígono.

Portanto:

6 6.(6 - 3) 6 6.3 6 9 15Conexões == + = + - '" + =2 2Questão 18Comentário: Para determinar o número total de estradas,

devemos encontrar o número total de diagonais do icoságono

somados ao número de lados desse políçono. Portanto,

NO de estradas:

s = 20 + 20. (20 - 3) = 20 + 20 . 17 = 20 + 170 = 1902 2

Questão 19Comentário: As diagonais que serão, também, bissetrizes

serão aquelas que ligam dois vértices opostos. Portanto, serão

3 diagonais.

Questão 20Comentário: Como o número de vértices do polígono é igual

ao número de lados, o número de diagonais será:

d = n.(n - 3) = 155.(155 - 3) = 155 .152 = 11 7802 2 2

22 Coleção EF8


A) 5, == (n - 2).180° = (3 - 2).180° == 1 . 180° == 180°

B) Si == (n -' 2).180° == (4 - 2).180° == 2 . 180° == 360°

C) 5, == (n - 2).180° == (5 - 2).180° = 3 . 180° == 540°

D) Si == (n - 2).180° == (6 - 2).180° = 4 . 180° == 720°

E) Si = (n - 2).180° == (7 - 2).180° == 5 . 180° = 900°

F) Si = (n - 2).180° == (8 - 2).180° = 6 . 180° == 1 080°

G) Si = (n - 2).180° = (9 - 2).180° = 7 . 180° = 1260°

H) Si = (n - 2).180° = (10 - 2).180° = 8 . 1800 = 1 4400

I) Si = (n - 2).180° = (11 - 2).1800 = 9 . 180° = 1620°

J) S, = (n - 2).1800 == (12 - 2).180° = 10 . 180° = 1 800°

K) Si = (n - 2).180° = (15 - 2).180° = 13 . 180° = 2 340°

L) S, = (n - 2).180° = (20 - 2).180° = 18 . 180° = 3240°

Questão 22Comentário: Considerando as informações do enunciado,temos:

/\ /\ /\A + B + C == 180°/\ /\

A = 28 + 26°/\

/\ Bc=-2

A ASubstituindo A e C por seus respectivos valores, teremos:

AI'. A 8 I'.

28 + 26° + 8 + - = 180° ==>8 = 44° ;2

I'.A =2.44°+26°=114°

ê=44° =2202

Questão 23Comentário: Considera~do as informações do enunciado,temos:" /\ AA + 8 + C = 180° (I)

AA BA = -- (lI)

2A /\C = 48 +4° (III)

Substituindo (Il) e (III) em (I), temos:A

~ + 13+413+4° =180° ==>13=32°2

/\ 32 APortanto, A=-=16° e C=4. 32°+4°=132°.

2Assim, ê é o maior ângulo interno, medindo 132°.

Questão 24Comentário: A soma das medidas desses três ângulos é180°. Com efeito, (6x - 16°) + (5x + 17°) + (2x - 3°) = 180°e, portanto, x = 14°.Logo, o ângulo Â mede 6 . 14° - 16° = 68°, B mede

A5 . 14° + 17 = 87° e C mede 2 . 14° - 3° = 25°.

Questão 25Comentário: A soma das medidas desses três ângulos é 180°.Com efeito, (x + 8°) + (x + 29°) + (x + 23°) = 180° e,portanto, x = 40°.Logo, os ângulos medem 48°, 69° e 63°.

Manual do Professor

Questão 26Comentário: A soma das medidas desses três ângulos é 180°.Com efeito, (3x + 12°) + (5x + 23°) + (8x + 1°) = 180°,e, portanto, x = 9°.Logo, os ângulos medem 39°, 68° e 73°.

Questão 27Comentário: Um polígono de n lados tem a soma de seusângulos internos igual a 1800.(n - 2). Logo, para o poliqono den lados que tem a soma dos ângulos internos igual a 2 160°,teremos 1800.(n - 2) = 2 160°, e n = 14.

Questão 28Comentário: Um políqono de n lados tem a soma de seusângulos internos igual a 1800.(n - 2). Logo, para o polígonode n lados que tem a soma dos ângulos internos igual a1 620°, teremos 180° .(n - 2) = 1 620°, e n = 11, portantoum undecágono.

Questão 29Comentário: A soma das medidas dos ângulos internosdesse quadrilátero é de 360°.Portanto,(3x + 28°) + (8x + 43°)+ (2x + 42°)+(12x- 28") 3600 ex==11°,

Desse modo, os ângulos do políqono medem 61°, 1310, 64°

e 104°.

Questão 30Comentário: A soma das medidas dos ângulosinternos deum pentágonoé de 540°, Assim,(4x + 43") + (2x + 36°) + (5x - 25°) + (7x - 20°) + (4x) ==540°ex=23°.

APortanto a medida de LMN vale 4 . 23° = 92°.

Questão 31Comentário: A soma dos ângulos externos de todo polígonoé 360°,A) 360° B) 360° C) 360° D) 360°

Questão 32Comentário: Como r + p + q = 180°, r = 54°. Também temos:A /\

PMR+RPM+ r = 180° =>A

90° +RPM+ 54° = 180° =>1\

RPM= 36°


A) 120° + 90° + (180° - x) + (180° - 2x) + (180 - 3x) = 540°.Assim, x = 35°.

B)

A 180° - 2 . 35" = 110° 70°

Questão 34Comentário: Como a soma das medidas dos ângulos externos

de qualquer polígono é 360° e a soma dos ângulos internos

é de 1800.(n - 2), para um polígono de n lados, devemos

achar o valor de n para o qual 180° .(n - 2) - 360° = 540°.

Assim, n = 7 e esse polígono é o heptágono.

Questão 35Comentário: Acharemos a medida de cada ângulo interno e

depois subtrairemos 1800 de cada uma dessas medidas, a fimde encontrar as medidas dos ângulos externos.Assim, como a soma dos ângulos internos de um pentágonoé de 540°, temos:(2x + 15°) + (2x + 5°) + (3x)+(2x-5°)+(2x-25°)=5400 :::>x=500

Logo, respectivamente, as medidas dos ângulos internos do

pentágono são 75°, 95°, 150°, 105° e 115°. As medidas def, s. 11, i e j são, respectivamente, 105°, 85°, 30°, 65° e 75°.

Questão 36Comentário: Perceba que para encontrar o número dediagonais, primeiramente, devemos encontrar o número delados que cada um dos polígonos tem.

A) S, = (n - 2).180° =>(n 2).)20<5' = ~ =o>

n-2=3=>n=5

Portanto, o número de diagonais do pentágono é:

d = n.(n - 3) = 5.(5 - 3) = ~ = 52 2 2

B) S, =(n-2).1800 =>(n-2).~ =.90lÍO =>

n-2=5=o>n=7

Portanto, o número de diagonais do heptágono é:

d = n.(n - 32:7.(7 - ~ = 7.4 142 _ 2 2

C) S, = (n - 2).180°:::> (n - 2).~ = J--.44ÓO=}

n - 2 = 8 =} n = 10

Portanto, o número de diagonais do decágono é:

d = n.(n - 3) ='10.(10 - 3) = 10.7 = 35222

D) S, = (n - 2).180° =} (n - 2).~ = ~ =>

n - 2 = 10 =} n = 12

Portanto, o número de diagonais do dodecágono é:

d = n.(n - 3) = .12.(12 - 3) = 12.9 = 54222

E) Si = (n - 2).180° =>(n - 2).~ = J..98Do =}

n-2=l1=o>n=13

d = n.(n - 3) = 13.(13 - 3) = 13.10 = 652 2 2

F) S, = (n - 2).180° =>(n - 2).~ = ~ =>

n - 2 = 13 =>n = 15

Portanto, o número de diagonais do pentadecágono é:

d = n.(n - 3) = 15.(15 - 3) = 15 .12 = 902 2 2


MATEMÁTICA

G) S, = (n - 2).180° =:> (n - 2).J.SO" = vOOo =:>

n-2=15=:> n=17

d=n.(n-3)=17.(17-3)=17.14=1192 2 2

H) S, = (n - 2).180° =:>(n - 2).J.SO" = ,V4ÓO =:>

n - 2 = 18 =:>n = 20

Portanto, o número de diagonais do icoságono é:

d = n.(n - 3) = 20.(20 - 3) = 20 . 17 = 1702 2 2

Questão 37Comentário: Esse polígono é tal que seu número n de ladossatisfaz a seguinte equação:

3600

= 40°=:> n 9n

Assim, esse políqono é um eneágono.

Questão 38Comentário: Esse pollçono, por ter os lados congruentes,

tem 8 = 8 lados.4,1

. I 8. (8 - 3) 20 dí ,ASSim, e e tem --2-- = iaqonars.

Questão 39Comentário: Esse políqono é tal que seu número n de ladossatisfaz a seguinte equação:

1800

.(n-2) =1440 =:>n=10n

Assim, esse polígono tem 10.(10 - 3) = 35 diagonais.2

Questão 40Comentário: Esse polígono é tal que seu número n de ladossatisfaz a seguinte equação:

360° = 300 =} n = 12n

Assim, esse polígono é um dodecágono.

Questão 41Comentário: Como a soma dos ângulos interno e externode um polígono é 180° e chamando de x a medida do ânguloexterno, temos que:2x + x = 180° =:>x = 60°Assim, o número n de lados desse polígono satisfaz 360° = 60°,logo n = 6. n

Questão 42Comentário: Esse polígono é tal que seu número nde ladossatisfaz a seguinte equação:

~~~ = 45° =:> n = 8n

Assim, esse políçono é um octógono.

Questão 43Comentário: Esse polígono é tal que seu número n de lados

satisfaz a seguinte equação:

24 Coleção EF8

360°-- = 24° =} n = 15n

Assim, esse polígono tem 15 lados e 15.(15 - 3) = 90 diagonais.2

Questão 44

Comentário: Esse poliçono é tal que seu número n de lados

satisfaz 180° .(n - 2) = 1 980° e n = 13.

Assim, esse polígono tem 13.(13 - 3) = 65 diagonais.2

Questão 45Comentário: Observe a figura a seguir, em que chamamos de

x o ângulo procurado:

/ <1\\

Como o ângulo interno do pentágono regular mede

108°, a sua bissetriz define dois ângulos de 54°. Logo:

54° + 54° + x = 180° =:>x '" 72°

Questão 46

Comentário: Como x e y representam o ângulo interno

e o externo do polígono, respectivamente, temos que

x + y = 180°. Como x - y = 100°, resolvendo o sistema linear

de duas equações e duas variáveis, encontramos x = 140°.

O polígono regular que tem ângulo interno 140°, possui número

n de lados tal que 180° .(n - 2) = 140° e n = 9.n.

Questão 47

Comentário: O ângulo interno do hexágono somado ao ângulo

interno do octógono e a x resultam em 360°. Como o ângulo

interno do hexágono me'de 120° e do octógono 135°, temos que:

120° + 135° + x = 360° =:>x = 105°

Questão 48

Comentário: Observe a figura a seguir, em que x representa

o ângulo interno do polígono regular:

'xL~.º~_._ }.º-~-,-.__.

O triângulo da figura é isósceles, pois todos os lados do poliqono

são iguais. Assim, 30° + 30° + x = 180° e x = 120°.

Sendo n o número de lados do po líqo no , temos que

180° (n - 2) = 1200 e n = 6. A soma dos ângulos internosn

mede então, 180°.(6 - 2) = 720°.

-,

Desafio

Manual do Professor

Questão 01Comentário: y + 2x + 46° = 180°, de onde temos

/\ "que y + 2x = 134°. MCB e ABC são alternos internos e

consequentemente, congruentes. Logo, no triângulo BCM,

x + Y + 90° = 180° => x + y = 90°. Resolvendo, x = 44°

ey = 46°.

Questão 02Comentário: Chamando de n o número de lados do menor

polígono, temos:

n.(n-3)2 = _~_=> __~ - 3) = _3_ => _n - 3= ~ =>

2n.(2n-3) 26 2n.(2n-3) 26 2n-3 132

13n-39=10n-15=> n=8

Logo, esse polígono é um octógono.

Questão 03Comentário: Observe a figura a seguir, em que x representa

o ângulo pedido:

O ângulo interno do icoságono mede 162°. Logo, as bissetrizes

formam ângulos iguais a 81 0. Portanto, o ângulo formado entre

duas bissetrizes consecutivas é de:

Questão 04Comentário: De acordo com o enunciado temos:

1800(n, - 2) + 1800(n2 - 2) = 1800(n, + n2 - 4) = 2 520°.

Logo, n, + n2 = 18.

360° + 360° = 81° =>40° + 40° = 90 ==:n, n2 n, n2

40°. (n, +n2)=9°n!. n2 =>

400.18 = 9° n, . n2n,' n2 = 80

Por inspeção, já que n! e n2 são naturais, vemos que 10 e

8 são os dois naturais que somam 18 e cujo produto é 80.

Logo, temos um octógono e um decágono.

Exercícios propostos

Questão 01Comentário: Como os ângulos são colaterais, concluímos queeles são suplementares e, assim:

~ + 120 + ~ + 150 = 1800 =>9x = 1530 =>x = 34005 4 20

/\ 3400 A 3400Portanto, ABC = -- + 12° = 800 e PQR= -- + 15° = 100°.

5 4

Questão 02Comentário: Como os ângulos são colaterais, eles são

suplementares. Assim, (3x - 4°) + (7x - 76°) = 180° e x = 26°.

Portanto, os ângulos medem 74° e 106°.

Questão 03Comentário: Chamando um ângulo de x, o outro medirá

(x + 32° 30'). Como ângulos colaterais são suplementares,

temos que x + (x + 32° 30') = 180° e x = 730 45'.Logo, os ângulos medem 73° 45' e 106° 15',

Questão 04Comentário: O ângulo OPV a a; é colateral a />, logo a; e /> sãosuplementares e u + ~ = 180°.

Se i3 = 3<x,3<x+ <x= 180° e u = 45°,Então, ~ = 135° e [3 - <x= 90°.

Questão 05Comentário: Observe a figura a seguir:

s

u

Da figura, podemos concluir 90° + 58° + x = 180° =>x = 32°,


A) x + 28° = 180°, logo x = 152°. O ângulo z é OPVa y e alterno

a x, logo x = Y = z = 152°,

B) x = Y (OPV), z = 2y + 39° (OPV) e z + y = 1800(colaterais),

Assim, 2y + 39° + Y = 180° e y = 47°,

Logo, x = 47° e z = 133°,

Questão 07Comentário: Temos que x + y + z = 180°, Y + 3x - 10° = 180°

e z + x + 100 = 180°, Comparando a primeira e a terceira

equações, concluímos que y = 10°, Desse modo, x = 60°

e z = 110°,


MATEMÁTICAQuestão 08 Questão 11Comentário: Observe a figura a seguir:

s

Assim, 58° + 98° + 98° + x == 360° e x == 106°.


A) Observe a figura a seguir:

j 15°-j------------------------------'(700

70°0

s

x = 15° + 70° == 85°, o que pode ser facilmente percebido

caso tracemos uma paralela às retas r e s que passe pelo

vértice de x, pois esse ângulo será dividido em dois outros

ângulos, correspondentes a 15° e 70°.

B) Observe a figura a seguir:

- -_,_--J.~~ .35°

35° \"--T~..-

s

Passando duas paralelas a r e s pelos vértices dos ângulos

de 50° e 125°, teremos o esquema representado na figura,

de onde podemos concluir que x == 165°.

Questão 10Comentário: Utilizando a fórmula do número de diagonais

de um políqono em função do seu número de lados, temos:

n.(n - 3) = 3n =>n - 3 = 6 => n = 92

Assim, o polígono que satisfaz essa propriedade é o eneágono.

26 Coleção EF8

Comentário: Utilizando a fórmula do número de diagonais

de um polígono em função do seu número de lados, temos:

__ n__ =3. =>_2_=3. =>n =12!1' (n - 3) 9 n - 3 9

2

Logo, temos um dodecágono, que tem 54 diagonais.

Questão 12Comentário: 5e o polígono com menos lados tem n lados, o outro

terá (n + 5) lados, e utilizando a fórmula que fornece o número

de diagonais de um políqono em função do seu número de lados,

temos:

(n + 5)(n + 5 - 3) _ n. (n - 3) = 40 =>2 2

n2+ 7n + 10 - (n' - 3n) = 10n + 10 =>5n + 5 = 40 ==> n = 7

2 2Logo, os polígonos têm 7 e 12 lados.

O número de diagonais é de:

n=7 .., d=L\?...:::i2. 7.4=142

n= 12 -> d=12 ,(12-·3) 12.9= 542 2

Questão 13Comentário: Usando a relação que fornece a soma dos

ângulos internos de um polígono em função do seu número

de lados, temos que:

180o.(n - 2) + 1800,(n - 2 - 2) + 1800,(n + 3 - 2) == 3960°,

o que implica que 1800.(3n - 5) == 3 960° e n = 9,

Assim, os polígonos têm 9, 7 e 12 lados, respectivamente.

Questão 14Comentário: A soma das medidas dos ângulos internos desse

polígono é 540°, Assim, 120° + 150° + 135° + 2x + 3x = 540°

ex == 27°,A A

Portanto, AED = 3 . 27° == 81 ° e ABC = 2 . 27° = 54°,

Questão 15Comentário: Como ABCD é um quadrilátero, a soma dos

seus ângulos internos é de 180°.(4 - 2) = 360°, Para o

hexágono MNOPQR, essa soma vale 180°.(6 - 2) == 720°.

Assim 51 + 5, = 1 080°, e o políçono cuja soma dos ângulos

internos vale 1 080° tem um número n de lados tal que

1800.(n - 2) == 1 080° e n == 8, ou seja, é um octóçono,

Questão 16Comentário: Como o polígono tem 5 lados, a soma dos ângulos

internos será 180°.(5 - 2) = 540°,

Questão 17Comentário: 5ea + b + c+ d = 360°, b = 2a,c= b-400 == 2a -40°

e d = 2c - 24° = 2(2a - 40°) - 24° = 4a - 104°, então

a + (2a) + (2a - 40°) + (4a - 104°) == 3600 e a = 56°. Portanto,

b = 112°, c = 72° e d = 1200•

Manual do Professor

Questão 18 Questão 25Comentário: Temos que a + b + c + d = 360°, b = a-3°,

c = b - 6° = a-9° e d = c-9° = a-18°. Assim,

a + (a - 3°) + (a - gO) + (a - 18°) = 360°. Logo, a = 97° 30',

b = 94° 30', c = 88° 30' e d = 79° 30'.

Questão 19Comentário: A soma das medidas desses ângulos internos

é de 180°', logo:

(3x) + (4x - 7°) + (6x - 21°) = 180° =>x = 16°

Os ângulos internos medem, portanto, 48°, 57° e 75°.


A /\ XA) AEM=MEN=-+12°

6A A A

DEA + AEM+MEN= 180°

x + 15° +.::. + 12° +.::. + 12° = 180°6 6

x = 105° 45'

B) 180° - (105° 45' + 15°) = 59° 15'

Questão 21/\ /\

Comentário: MQA AMQ = 180° - 108°

72° + 72° + ~ = 180° e [l = 36°.

72°. Assim,

Questão 22

Comentário: Se n é o número de lados do polígono regular

360°cujo ângulo externo mede 60°, n é tal que -- = 60°n

720° = 1200.6e n = 6. 56 = 180°.(6 - 2) = 7200 e i6

Assim, o valor procurado é 600°.

Questão 23

Comentário: A soma de x com o ângulo interno do octógono

regular e do triângulo equilátero deve valer 3600• O ângulo

interno do octógono regular vale 135° e do triângulo

equilátero, 600• Assim, 60° + 135° + x = 3600 e x = 1650.

Questão 24Comentário: Chamando de n o número de lados do políqono

P2 e usando a fórmula que permite calcular o ângulo interno

de um polígono regular, temos:

180° .(2n - 2) _ 1800 .(n - 2) = 360 =>2n n

1800.(n-l} 1800.(n-2) = 36°=>n n

180° = 360=> n = 5n

Logo, P2 tem 5 lados.

Comentário: Chamando de x a medida do ânqulo externo,

o ângulo interno pode ser denotado por 5x. Como a soma desses

dois ângulos vale 180°, temos que x + 5x = 1800 e x = 30°.

Como o ângulo externo desse polígono vale 30°, seu número

n de lados satisfaz 360° = 30° , logo o polígono tem 12 ladosn

e 12.(12 - 3} = 54 diagonais.2

Questão 26Comentário: Um polígono regular de n lados terá a medida

do seu ângulo interno igual a 180° .(n - 2) . Assim:n

1800.(n-2) =1350 =>n=8n

Logo, esse polígono terá 8. (8 - 3) = 20 diagonais.2


A) 5.(5-3) =52

B) 180°.(5 - 2) = 540°

C) 360°

D) 540° = 10805

E) 3600

= 72°5

Questão 28

Comentário: Temos que a = 108° (ângulo interno de um

pentágono regular) e a + 2(1= 180°, ou seja, (1= 36°.

Logo, (1 - (1= 72°.I

Questão 29Comentário: Observe a figura a seguir, que representa

a situação descrita no enunciado:

AI

B E

D

A 1080 Q A,A medida de FAE é -- = 54 e de AHF e 90°, fato que pode

2ser verificado pela soma dos ângulos internos do quadrilátero

ABCH. Assim, 54° + 90° + (1800 - a) = 1800 e (1 = 144°,

Bernoullt Sistema de Ensino 27r;

MATEMÁTICAQuestão 30Comentário: O triângulo ePD tem um ângulo interno demedida x e outros dois ângulos internos que são externos aodecágono.

A medida de um ângulo externo de um decágono regular é360°

de -- = 36° logo 36° + 36° + x = 180° ~ x = 108°.10 '

Testes

01. B

02. B

03. D04. A

05. A

06. D

07. e

08. A

09. e

10. A

11. B

12. e

13. E

14. e

15. A

Sugestões de leitura para o professor• A aprendizagem da Matemática em ambientes informatizados. Congresso Ibero-Americano de

Informática na Educação, IV. Anais ... Brasília, 1998. M. A. Gravina, L. M. Santarosa. Disponível em:

<lsm.dei.uc.ptjribiejdocfilesjtxt200342413933117.PDF>. Acesso em: 03 abril de 2008.

• A Jaçanã. Egidio Trambaiolli Neto. FTD.

• Desafios da reflexão em educação matemática crítica. Ole Skovsmose. Tradução de Orlando de

Andrade Figueiredo e Jonei Cerqueira Barbosa. Papirus.

• História da Matemática. Carl Benjamin Boyer. Tradução de Elza F. Gomide. Edgard Blucher. EDUSP.

• Informática e Educação Matemática. M. C Borba, M. G. Penteado. Autêntica.

• Introdução à história da Matemática. Howard Eves. Tradução de Hygino H. Domingues.

Editora da Unicamp.

• Matemática divertida e curiosa. Malba Tahan. Ed. Record.

• Matemática e novas tecnologias. J. P. Ponte, A. P. Canavarro. Universidade Aberta.

• Matemática: método moderno. Henrique Morandi. Francisco Alves.

• O homem que calculava. Malba Tahan. Ed. Record.

• O teorema do papagaio. Denis Guedj. Tradução de Eduardo Brandão. Companhia das Letras.

EDUEPA.

• O uso da história no ensino da Matemática: reflexões teóricas e experiências. Iran Abreu Mendes.

• Os Elementos j Euclides. Irineu Bicudo. Editora UNESP.

• Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs. Ministério da Educação e do Desporto j Secretaria de

Educação Fundamental.

• Revista do Professor de Matemática - RPM. SBM - Sociedade Brasileira de Matemática.

28 Coleção EF8 -,

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