Para entender como calcular seno, cosseno e tangente vamos entender as definies de cada um. Seno de um ngulo a ordenada do ponto N. Cosseno de um ngulo a abscissa de N. Para ficar mais fcil de entender, e saber o que tangente, veja o desenho abaixo. * A tangente representada pelo trao roxo.

Para calcular o seno ou cosseno podemos usar a frmula bsica: senx + cosx= 1 A tangente pode ser descoberta a partir da seguinte frmula: tg x = senx/cos x. Sendo que o cos x deve ser diferente de 0. O aluno deve saber os seguintes senos e cossenos para descobrir os valores de outros ngulos. Tabela com os valores dos senos e cossenos dos principais ngulos.

ngulo seno cosseno

0 0 1

30 1/2 3/2

45 2/2 2/2

60 3/2 1/2

90 1 0

Como calcular seno e cosseno de outros ngulos que no esto na tabela acima. Para descobrir o seno ou cosseno de um ngulo no segundo quadrante basta diminuir o valor dele de 180 e achar o valor na tabela acima. Contudo, o cosseno ser negativo. Por exemplo: cos 150 = 180 150 = 30 = -cos 30 = -3/2 Ou seja, o valor do cosseno de 150 ser -3/2. No terceiro quadrante, ao invs de diminuir de 180, ele ser diminudo do valor do ngulo . Nesse caso, tanto o seno quanto o cosseno sero negativos. Exemplo: sen 210 = 210 180 = 30 = -sen 30 = -1/2. No quarto quadrante, subtraia o valor do ngulo de 360. Somente o seno ser negativo. Exemplo: sen 315 = 360 315 = 45 = -sen 45 = -2/2

1 Descubra:

a) sen 360 b) cos 180 c) cos (-330) d) sen 225 e) cos 270 f) cos 360 g) sen 330 h) cos 330

RespostasA) 0 B) 1 C) D)-2/2 E) 0 F) 1 G) -1/2 H) 2/2 TRIGONOMETRIAVer artigo prin Histria das funes trigonomtricas

Funo Seno

Abreviatura sen (ou sin) cos tan (ou tg) csc (ou cosec) sec cot (ou ctg ou ctn)

Identidade trigonomtrica

Co-seno

Tangente

Co-secante

Secante

Co-tangente

A noo de que existe alguma correspondncia padro entre os tamanhos dos lados de um tringulo e os ngulos do tringulo surge assim que se reconhece que tringulos

semelhantes tm as mesmas razes entre seus lados. Isto , para qualquer tringulo semelhante, a razo entre a hipotenusa (por exemplo) e um dos outros lados permanece a mesma. Se a hipotenusa for duas vezes maior, os lados sero duas vezes maiores. As funes trigonomtricas expressam justamente tais razes. As funes trigonomtricas foram estudadas por Hiparco de Nicia (180-125 a.C.),Ptolomeu do Egito (90-165 d.C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muammad ibn Ms alwrizm,Ab al-Waf' al-Bzjn, Omar Khayyam, Bhskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Ghiyath alKashi (sculo XIV), Ulugh Beg(sculo XIV), Regiomontanus (1464), Rheticus, e o estudante de Rheticus, Valentin Otho.[carece de fontes]Madhava de Sangamagramma (c. 1400) fez progressos iniciais na anlise de funes trigonomtricas em termos de sries infinitas.[2]Introductio in analysin infinitorum (1748), de Leonhard Euler, foi em boa parte responsvel por estabelecer o tratamento analtico das funes trigonomtricas na Europa, tambm as definindo como sries infinitas e apresentando a "frmula de Euler", bem como as abreviaes quase modernas sin., cos., tang., cot., sec., e cosec.[3] Algumas funes eram historicamente comuns, mas agora so raramente usadas, como a corda (crd() = 2 sen(/2)), overseno (versen() = 1 cos() = 2 sen(/2)) (que surgiu nas mais antigas tabelas[3]), o haverseno (haversen() = versen() / 2 = sen(/2)), a exsecante (exsec() = sec() 1) e a excossecante (excsc() = exsec(/2 ) = csc() 1). Muitas outras relaes entre essas funes esto listadas no artigo sobre identidades trigonomtricas. Etimologicamente, a palavra seno deriva da palavra snscrita para metade da corda, jya-ardha, abreviada para jiva. Esta foi transliterada para o rabe como jiba, escrita como jb, j que as vogais no so escritas em rabe. A seguir, a transliterao foi mal traduzida, no sculo XII, para o latim, como sinus, com a impresso errnea de que jb referia-se palavra jaib, que significa "seio" em rabe, tal como sinus em latim.[4] Finalmente, o uso em lngua portuguesa converteu a palavra latina sinus para seno.[5] A palavra tangente vem do latim tangens, que significa tocando, j que a linha toca o crculo unitrio; j secante origina-se do latim secans "cortando" j que a linha corta o crculo.

Definio do tringulo retnguloA fim de definir as funes trigonomtricas de um ngulo agudo no nulo um tringulo retngulo que possui um ngulo igual a , considera-se . As funes so definidas como:

Tringulo retngulo indicando a hipotenusa e os catetos.

Deve-se observar que as funes ficam assim bem definidas, ou seja, a relao entre os lados do tringulo no depende da escolha particular do tringulo, mas apenas dos ngulos do tringulo. Isto uma consequncia do teorema de Tales. ]Definio

no ciclo trigonomtrico

A definio das funes trigonomtricas pode ser generalizada para um ngulo origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto ciclo est a uma distncia1 da origem, o teorema de Pitgoras afirma que:

real qualquer

atravs do ciclo trigonomtrico. O ciclo trigonomtrico um crculo de raio unitrio centrado na pertencente ao

E, ainda, para cada ngulo segmento

existe um nico ponto P pertencente ao crculo, tal que o com o eixo x. sobre o eixo y. O co-seno

faz um ngulo

Neste caso, o seno definido como a projeo do segmento definido como a projeo do segmento com o eixo x. Isto :

As outras funes podem ser definidas conforme as relaes a seguir:

Deve-se observar que esta definio, quando restrita aos ngulos agudos, concorda com a definio no tringulo retngulo.

Relao fundamentalObserva-se diretamente de (1) e (2) a relao fundamental entre o co-seno e o seno de um ngulo :

Definies geomtricasAlternativamente, todas as funes trigonomtricas podem serdefinidas geometricamente conforme figura ao lado. Observe que o tringulo OAE retngulo, o cateto AO unitrio e o cateto AE oposto ao ngulo e, portanto, sendo OE a hipotenusa deste tringulo, temos:

O tringulo AOF tambm retngulo, sendo o cateto AO unitrio, a hipotenusa OF e o ngulo AFO igual a , portanto:

]ngulos

notveis

Podemos calcular as funes trigonomtricas para os ngulos de 30 e 60 graus atravs de um tringulo equiltero partido ao meio por sua altura.

As funes trigonomtricas para o ngulo de 45 graus podem ser calculadas com o auxlio de um tringulo retngulo issceles de catetos 1, cuja hipotenusa vale (pelo teorema de Pitgoras) .

Funes elementares

Funo seno

Grfico de f(x) = sen x

Associa a cada nmero real x o nmero y = senx Domnio: Como x pode assumir qualquer valor real: D = R Conjunto Imagem: Como seno possui valor mximo e mnimo, que so respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: Grfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2. Esse intervalo denominado senide. Para construir o grfico basta escrever os pontos em que a funo nula, mxima e mnima no eixo cartesiano. Perodo: sempre o comprimento da senide. No caso da funo senide caracterza-se pelo intervalo de 0 a 2, portanto o perodo 2. Sinal da Funo: Como seno x a ordenada do ponto-extremidade do arco: f(x) = sen x positiva no 1 e 2 quadrantes (ordenada positiva). f(x) = sen x negativa no 3 e 4 quadrantes (ordenada negativa). ,a

Funo cosseno

Grfico de f(x) = cos x

Associa a cada nmero real x o nmero y = cosx Domnio: Como x pode assumir qualquer valor real: D = R Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor mximo e mnimo, que so respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: Grfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2. Esse intervalo denominado cossenide. Para construir o grfico basta escrever os pontos em que a funo nula, mxima e mnima no eixo cartesiano. Perodo: sempre o comprimento da cossenide. No caso da funo f(x) = cos x , a cossenide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2, portanto o perodo 2. Sinal da Funo: Como o cosseno x a abscissa do ponto-extremidade do arco: f(x) = cos x positiva no 1 e 4 quadrante (abscissa positiva). f(x) = cos x negativa no 2 e 3 quadrante (abscissa negativa).

Funo tangente

Grfico de f(x) = tg x

Associa a cada nmero real x o nmero y = tgx Domnio: A funo da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela no existe quando o valor de cos x = 0 (no existe diviso por zero), portanto o domnio so todos os nmeros reais, exceto os que zeram o coseno.

Conjunto Imagem: Grfico: Tangentide. Perodo: Sinal da Funo: Como tangente x a ordenada do ponto T interseo da reta que passa pelo centro de uma circunferncia trigonomtrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes ento: f(x) = tg x positiva no 1 e 3 quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva). f(x) = tg x negativa no 2 e 4 quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa).

Definies analticas

Funes trigonomtricas: Verde - Co-seno, Azul - Seno,Vermelho - Tangente, Amarelo - Co-secante, Magenta Secante, Ciano - Cotangente

Pode-se definir as funes sen(x) e cos(x) pelas sries de Taylor a seguir:[6][7]

Estas sries tm raio de convergncia infinito e portanto definem as funes em todos os reais e tambm em todos os complexos. As propriedades usuais destas funes podem ser inferidas diretamente das definies acima.

Soma de arcos

Sejam x e y quaisquer ento:

Dem.: Usando o binmio de Newton:

A convergncia uniforme nos permite rearanjar os termos:

.

Escreva (l=2i+1) no primeiro somatrio e (l=2i) no segundo

Substitua

:

E assim: