Comparação do Comportamento de Elementos Finitos de ... · 7.2.3 Energia de Deformação por...

Comparação do Comportamento de Elementos Finitos de

Equilíbrio para Lajes de Kirchhoff e para Lajes de

Reissner-Mindlin

António Pedro Cartaxo Urmal

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientadores: Professor Doutor Orlando José Barreiros D' Almeida Pereira

Professor Doutor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida

Júri

Presidente: Professor Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Orientador: Professor Doutor Orlando José Barreiros D' Almeida Pereira

Vogal: Professor Doutor Manuel da Cunha Ritto Corrêa

Julho 2015

iii

RESUMO

Nesta dissertação, aplicam-se modelos de elementos finitos para a análise de lajes de Reissner-Mindlin e lajes de Kirchhoff em regime elástico linear. É aplicada a formulação híbrida de equilíbrio, ou de tensão, a partir da qual é possível obter soluções equilibradas, sendo feita a distinção com a formulação clássica do método dos elementos finitos. Apresentam-se as condições para cada teoria e a definição da formulação em causa.

Foram utilizados programas computacionais já desenvolvidos, que permitiram a avaliação e comparação dos modelos testados, tendo sido posteriormente documentados os resultados obtidos.

Os problemas contidos na dissertação têm como objetivo explorar a interação de diferentes geometrias de laje, condições de fronteira e espessura. Avaliam-se de seguida efeitos como a energia de deformação, convergência da solução com base no refinamento utilizado na laje e efeito de bordo.

É realizado ainda um estudo comparativo dos campos de esforços e deformadas para as diferentes teorias.

PALAVRAS CHAVE

Formulação híbrida de equilíbrio

Lajes de Reissner-Mindlin

Lajes de Kirchhoff

Efeito de Bordo

Energia de deformação

Elasticidade linear

v

ABSTRACT

In this dissertation, finite element hybrid equilibrium formulations, which provide equilibrated solutions, are used for the analysis of linear elastic Reissner-Mindlin and Kirchhoff slabs. The conditions for each theory and formulation are presented as well as the distinction between the classical formulation of the finite element method and its hybrid equilibrium counterpart.

Computer programs that had been previously developed, which allowed for the evaluation and comparison of the tested models, were used, and the results obtained are documented.

The test problems studied in this dissertation aim to explore the interaction of different slab geometries, boundary conditions and thicknesses. Effects such as the strain energy of the solutions, their convergence based on the refinement used and the “boundary layer” effect are evaluated.

A comparative study of the bending and shear stress fields and deformed slab configurations corresponding to the different theories is also presented.

KEYWORDS

Hybrid equilibrium formulation

Reissner-Mindlin slabs

Kirchhoff slabs

Boundary layer effect

Strain Energy

Linear elasticity

vii

AGRADECIMENTOS

Dedico esta dissertação ao meu falecido avô, Américo Valério Cartaxo a quem devo parte do que

sou e de quem me irei tornar.

“Obrigado avô por tudo o que me deste, nunca me irei esquecer de ti.”

Agradeço à minha família e amigos por todo o apoio e paciência, em especial há minha mãe, sem

ela não teria sido capaz, e ela sabe disso melhor que ninguém.

Agradeço ao Prof. Moitinho por tudo o que me ensinou e apoio durante a elaboração da minha

dissertação.

Gostaria de agradecer ao Prof. Orlando Pereira por me ter aceite para elaborar esta dissertação.

Quero deixar ainda uma palavra aos meus colegas de gabinete na qual elaborei a dissertação, Prof.

Mário Arruda e o recentemente formado Doutor João Firmo, obrigado pela força depositada em mim,

ao meu amigo Diogo Carlos e restante malta de Armação de Perâ pelos momentos de diversão que

me deram todos os anos, aos meus “amigos do café” que muito aturaram o meu ego, nem sempre

fácil de lidar e finalmente aos meus amigos de curso pela interajuda ao longo deste curso.

ix

INDÍCE

Conteúdo

RESUMO ............................................................................................................................................III

PALAVRAS CHAVE ..........................................................................................................................III

ABSTRACT ........................................................................................................................................ V

KEYWORDS ...................................................................................................................................... V

AGRADECIMENTOS ....................................................................................................................... VII

INDÍCE .............................................................................................................................................. IX

LISTA DE FIGURAS ....................................................................................................................... XIII

LISTA DE GRÁFICOS ................................................................................................................... XVII

LISTA DE TABELAS ...................................................................................................................... XIX

NOTAÇÃO .................................................................................................................................... XXIII

CAPÍTULO 1. ......................................................................................................................................1

INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................1

1.1 ENQUADRAMENTO ................................................................................................................ 1

1.2 OBJETIVO ............................................................................................................................. 2

1.3 ORGANIZAÇÃO ...................................................................................................................... 2

CAPÍTULO 2. ......................................................................................................................................3

TEORIAS DE LAJES ..........................................................................................................................3

2.1 TEORIA DE LAJES DE REISSNER-MINDLIN OU TEORIA DE LAJES ESPESSAS .............................. 3

2.1.1 Introdução ................................................................................................................... 3

2.1.2 Condições de Compatibilidade ................................................................................... 4

2.1.3 Condições de equilíbrio .............................................................................................. 5

2.1.4 Relações Constitutivas ............................................................................................... 6

2.1.5 Condições de Fronteira .............................................................................................. 6

2.2 TEORIA DE LAJES DE KIRCHHOFF OU TEORIA DE LAJES FINAS ................................................. 8

2.2.1 Introdução ................................................................................................................... 8

2.2.2 Condições de Compatibilidade ................................................................................... 9

2.2.3 Condições de equilíbrio .............................................................................................. 9

2.2.4 Relações Constitutivas ............................................................................................. 10

2.2.5 Condições de Fronteira ............................................................................................ 10

CAPÍTULO 3. ................................................................................................................................... 13

FORMULAÇÃO CLÁSSICA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ..................................... 13

x

3.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 13

3.2 FORMULAÇÃO CLÁSSICA DE ELEMENTOS FINITOS PARA LAJES DE REISSNER-MINDLIN. .......... 14

3.2.1 Aproximação dos Deslocamentos ............................................................................ 14

3.2.2 Sistema Geral de Equações ..................................................................................... 15

3.2.3 Travamento por Corte .............................................................................................. 17

3.2.4 Efeito de Bordo ......................................................................................................... 18

3.3 FORMULAÇÃO CLÁSSICA DE ELEMENTOS FINITOS PARA LAJES DE KIRCHHOFF ........................ 18

3.3.1 Aproximação do Deslocamento ................................................................................ 18

3.3.2 Matrizes e Vetores elementares ............................................................................... 20

CAPÍTULO 4. ................................................................................................................................... 21

FORMULAÇÃO HÍBRIDA DE EQUILÍBRIO ................................................................................... 21

4.1 FORMULAÇÃO HÍBRIDA DE TENSÕES PARA LAJES DE REISSNER-MINDLIN ............................... 21

4.1.1 Aproximação das Variáveis ...................................................................................... 21

4.1.2 Formulação de Elementos Finitos ............................................................................ 23

4.1.3 Escolha do grau de aproximação dos deslocamentos ............................................. 24

4.2 FORMULAÇÃO HÍBRIDA DE TENSÕES PARA LAJES DE KIRCHHOFF ........................................... 25

4.2.1 Aproximação dos deslocamentos de fronteira ......................................................... 25

4.2.2 Equilíbrio nos lados e nos vértices ........................................................................... 26

4.2.3 Compatibilidade ........................................................................................................ 28

CAPÍTULO 5. ................................................................................................................................... 29

REFINAMENTO ............................................................................................................................... 29

5.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 29

5.2 TÉCNICAS DE REFINAMENTO................................................................................................ 30

5.2.1 Refinamento p .......................................................................................................... 30

5.2.2 Refinamento h .......................................................................................................... 30

CAPÍTULO 6. ................................................................................................................................... 33

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ........................................................................................................ 33

6.1 PRINCÍPIO DO MÍNIMO DA ENERGIA POTENCIAL COMPLEMENTAR........................................... 33

6.2 EXTRAPOLAÇÃO DE RICHARDSON ........................................................................................ 34

CAPÍTULO 7. ................................................................................................................................... 35

ANÁLISE DOS PROBLEMAS DE ESTUDO ................................................................................... 35

7.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 35

7.2 PROBLEMA Nº1 ................................................................................................................... 36

7.2.1 Energia de Deformação ............................................................................................ 38

7.2.2 Convergência da Solução com a Evolução do Refinamento ................................... 40

7.2.3 Energia de Deformação por Corte – Teoria das Lajes de Reissner-Mindlin ............ 43

7.2.4 Energia de Deformação por Flexão – Comparação entre Teorias .......................... 49

7.2.5 Deformadas .............................................................................................................. 50

xi

7.2.6 Campos de Esforços e de Densidade de Energia de Deformação ......................... 51

7.3 PROBLEMA Nº2 ................................................................................................................... 54

7.3.1 Convergência da Solução com a Evolução do Refinamento h ................................ 55

7.3.2 Deformadas .............................................................................................................. 58

7.3.3 Campos de Esforços e de Densidade deEnergia de Deformação .......................... 59

7.4 PROBLEMA Nº3 ................................................................................................................... 63

7.4.1 Comparação de Pilar “Preenchido” e Pilar “Vazio” .................................................. 68

7.4.2 Convergência da Solução com a Evolução do Refinamento ................................... 72

7.4.3 Campo de Esforços e de Densidade de Energia de Deformação ........................... 74

7.4.4 Evolução da Energia de Deformação por Corte (%) com a Espessura ................... 81

7.4.5 Deformadas .............................................................................................................. 83

CAPÍTULO 8. ................................................................................................................................... 85

CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS .................................................................................. 85

8.1 CONCLUSÕES ..................................................................................................................... 85

8.2 TRABALHOS FUTUROS ........................................................................................................ 86

BIBLIOGRAFIA................................................................................................................................ 87

ANEXO A. UTILIZAÇÃO DOS PROGRAMAS .......................................................................... 89

ANEXO B. TABELAS PARA O 1º PROBLEMA ....................................................................... 91

ANEXO C. TABELAS PARA O 2º PROBLEMA ..................................................................... 111

ANEXO D. TABELAS PARA O 3º PROBLEMA ..................................................................... 121

xiii

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 2.1: ILUSTRAÇÃO DAS HIPÓTESES; TEORIA DE REISSNER-MINDLIN ........................................................................ 4

FIGURA 2.2 - DEFINIÇÃO DAS ROTAÇÕES; TEORIA DE KIRCHHOFF ..................................................................................... 8

FIGURA 3.1 – ELEMENTO T21 ................................................................................................................................ 19

FIGURA 4.1 - FORÇAS EQUIVALENTES ....................................................................................................................... 27

FIGURA 5.1 - REFINAMENTO H DE UM DOMÍNIO COM FRONTEIRAS CURVAS. .................................................................... 31

FIGURA 5.2 - EXEMPLO DE UMA MÁ SOLUÇÃO, PROBLEMA 2, MALHA 1, GRAU DAS FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO 2, 32 ELEMENTOS

– TEORIA DE LAJES REISSNER-MINDLIN ............................................................................................................. 32

FIGURA 7.1 - PROBLEMA Nº1 ................................................................................................................................. 36

FIGURA 7.2 - MALHAS 1, 2 E 3 DO PROBLEMA Nº1 .................................................................................................... 37

FIGURA 7.3 - MALHA 4 PROBLEMA Nº1 .................................................................................................................... 38

FIGURA 7.4 - DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO DEVIDO AO CORTE NORMALIZADA, ESPESSURA 0.5, MALHA 4, GRAU 6

................................................................................................................................................................. 46


................................................................................................................................................................. 47


................................................................................................................................................................. 47


................................................................................................................................................................. 48

FIGURA 7.8 - DEFORMADA MALHA 1 ESPESSURA 0.01 - GRAU 2 .................................................................................. 50

FIGURA 7.9 - DEFORMADA MALHA 4 ESPESSURA 0.01 - GRAU 6 .................................................................................. 50

FIGURA 7.10 - CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA PARA TEORIA DE

REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.1, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ........................................ 51

FIGURA 7.11 - DIFERENÇA DOS CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA

ENTRE A TEORIA DE REISSNER-MINDLIN E A TEORIA DE KIRCHHOFF. PARA A ESPESSURA DE 0.5, MALHA 4 COM FUNÇÕES DE

APROXIMAÇÃO DE GRAU 6 ............................................................................................................................. 52


ENTRE A TEORIA DE REISSNER-MINDLIN E A TEORIA DE KIRCHHOFF PARA A ESPESSURA 0.01, MALHA 4 COM FUNÇÕES DE

APROXIMAÇÃO DE GRAU 6 ............................................................................................................................. 53

FIGURA 7.13 - PROBLEMA Nº2 ............................................................................................................................... 54

FIGURA 7.14 - MALHAS 1 E 2 DO PROBLEMA 2 ......................................................................................................... 54

FIGURA 7.15 – MALHAS 3, 4 E 5 DO PROBLEMA 2 ..................................................................................................... 55

FIGURA 7.16 - DEFORMADA MALHA 1, ESPESSURA 0.01 ............................................................................................ 58

FIGURA 7.17 - DEFORMADA MALHA 5, ESPESSURA 0.01 ............................................................................................ 58

xiv

FIGURA 7.18 - CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA PARA TEORIA DE

REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.1, MALHA 5. .................................................................................................. 59


ENTRE A TEORIA DE REISSNER-MINDLIN E A TEORIA DE KIRCHHOFF. PARA A ESPESSURA 0.01, MALHA 5 ....................... 60


ENTRE A TEORIA DE REISSNER-MINDLIN E A TEORIA DE KIRCHHOFF. PARA A ESPESSURA 0.5 MALHA 5........................... 61

FIGURA 7.21 - PROBLEMA Nº3 ................................................................................................................................ 63

FIGURA 7.22 – 1º GRUPO DE MALHAS; MODELADO COM PILAR "PREENCHIDO" E "VAZIO " ................................................ 65

FIGURA 7.23 – 2º GRUPO DE MALHAS; MODELADO COM APOIO PONTUAL ..................................................................... 66

FIGURA 7.24 - 3º GRUPO DE MALHAS; MODELO "PILAR PREENCHIDO" ........................................................................... 67

FIGURA 7.25 - 3º GRUPO DE MALHAS; MODELO "PILAR PREENCHIDO"; AMPLIAÇÃO DA ZONA DE APOIO ............................... 68

FIGURA 7.26 - DIFERENÇA DO MODELO DE PILAR "PREENCHIDO" E PILAR "VAZIO” ESP=0.5 - REISSNER-MINDLIN ................... 69

FIGURA 7.27 - DIFERENÇA DO MODELO DE PILAR "PREENCHIDO" E PILAR "VAZIO” ESP=0.01 - REISSNER-MINDLIN ................. 70

FIGURA 7.28 - DIFERENÇA DO MODELO DE PILAR "PREENCHIDO" E PILAR "VAZIO” – KIRCHHOFF.......................................... 71

FIGURA 7.29 - CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA PARA O GRUPO Nº1

DE MALHAS, MODELO "PILAR PREENCHIDO", ESPESSURA 0.1, TEORIA DE REISSNER-MINDLIN. ..................................... 74

FIGURA 7.30 - CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA PARA O GRUPO Nº2

DE MALHAS, MALHA 4, MODELO APOIO PONTUAL, TEORIA DE KIRCHHOFF. ............................................................... 75

FIGURA 7.31 - DIFERENÇA DO MODELO DE CARGA PONTUAL E MODELO DE PILAR “PREENCHIDO” - KIRCHHOFF ...................... 76

FIGURA 7.32 - DIFERENÇA DO MODELO DE CARGA PONTUAL, TEORIA DE LAJES DE KIRCHHOFF, COM MODELO DE PILAR

“PREENCHIDO”, TEORIA DE LAJES DE REISSNER-MINDLIN – ESPESSURA 0.5............................................................... 77

FIGURA 7.33 - DIFERENÇA DO MODELO DE CARGA PONTUAL, TEORIA DE LAJES DE KIRCHHOFF, COM MODELO DE PILAR

“PREENCHIDO”, TEORIA DE LAJES DE REISSNER-MINDLIN – ESPESSURA 0.01............................................................. 78

FIGURA 7.34 - DIFERENÇA ENTRE O MODELO COM PILAR "PREENCHIDO" NA TEORIA DE LAJE REISSNER-MINDLIN COM O MODELO

COM PILAR "PREENCHIDO" NA TEORIA DE LAJE KIRCHHOFF – ESPESSURA 0.5 ............................................................ 79

FIGURA 7.35 - DIFERENÇA ENTRE O MODELO COM PILAR "PREENCHIDO" NA TEORIA DE LAJE REISSNER-MINDLIN COM O MODELO

COM PILAR "PREENCHIDO" NA TEORIA DE LAJE KIRCHHOFF – ESPESSURA 0.01 .......................................................... 80

FIGURA 7.36 - DIFERENÇA DE CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

NORMALIZADAENTRE A ESPESSURA 0.1 E 0.05 – REISSNER-MINDLIN ..................................................................... 82

FIGURA 7.37 - DEFORMADA MALHA 1 – MODELO PILAR “PREENCHIDO” ........................................................................ 83

FIGURA 7.38 - DEFORMADA DA MALHA 4 MODELO PILAR “PREENCHIDO” ...................................................................... 83

FIGURA 7.39 - DEFORMADA MALHA 1 - MODELO PONTUAL......................................................................................... 84

FIGURA 7.40 - DEFORMADA MALHA 4 - MODELO PONTUAL......................................................................................... 84

FIGURA B 1 - CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA, PROBLEMA 1 PARA

TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.1, MALHA 1 E 2º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ........................ 101


TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.5, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ........................ 102

xv


TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.01, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ...................... 103


TEORIA DE KIRCHHOFF, MALHA 1 E 2º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ......................................................... 104


TEORIA DE KIRCHHOFF, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ......................................................... 105


TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.1, APOIO HARD, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ..... 107


TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.5, APOIO HARD, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ..... 108


TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.01, APOIO HARD, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ... 109

FIGURA C 1 - CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA, PROBLEMA 2 PARA

TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.1, MALHA 1, FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO DE GRAU 2. .......................... 115


TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.5, MALHA 4. ................................................................................. 116


TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.01, MALHA 4. ............................................................................... 117


TEORIA DE KIRCHHOFF, MALHA 1. .................................................................................................................. 118


TEORIA DE KIRCHHOFF, MALHA 4. .................................................................................................................. 119

FIGURA D 1 - CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA, PROBLEMA 3 PARA O

1ºGRUPO DE MALHAS, MALHA 1, MODELO PILAR “PREENCHIDO", ESPESSURA 0.5, TEORIA DE REISSNER-MINDLIN. .... 122


1ºGRUPO DE MALHAS, MALHA 1, MODELO PILAR “PREENCHIDO", ESPESSURA 0.01, TEORIA DE REISSNER-MINDLIN. .. 123


1ºGRUPO DE MALHAS, MALHA 1, MODELO PILAR “PREENCHIDO", TEORIA DE KIRCHHOFF ...................................... 124


1ºGRUPO DE MALHAS, MALHA 1, MODELO PILAR “VAZIO", ESPESSURA 0.5, TEORIA DE REISSNER-MINDLIN. ............. 126


1ºGRUPO DE MALHAS, MALHA 1, MODELO PILAR “VAZIO", ESPESSURA 0.01, TEORIA DE REISSNER-MINDLIN. ........... 127


1ºGRUPO DE MALHAS, MALHA 1, MODELO PILAR “VAZIO", TEORIA DE KIRCHHOFF ............................................... 128


GRUPO Nº2 DE MALHAS, MALHA 1, MODELO APOIO PONTUAL, TEORIA DE KIRCHHOFF. ........................................... 131

xvi


3ºGRUPO DE MALHAS, MALHA 4, MODELO "PILAR PREENCHIDO", ESPESSURA 0.1, TEORIA DE REISSNER-MINDLIN. ...... 134


GRUPO Nº3 DE MALHAS, MODELO "PILAR PREENCHIDO", KIRCHHOFF, MALHA MAIS REFINADA. ................................ 137

xvii

LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 7.1 – ENERGIA DEFORMAÇÃO NORMALIZADA, ESPESSURA=0.01 ..................................................................... 39

GRÁFICO 7.2 - ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO PARA A ESPESSURA=0.01 - REISSNER-MINDLIN ...................... 40

GRÁFICO 7.3 - ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO PARA A ESPESSURA=0.05 - REISSNER-MINDLIN ...................... 40

GRÁFICO 7.4 - ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO PARA A ESPESSURA=0.1 - REISSNER-MINDLIN ........................ 41

GRÁFICO 7.5 - ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO PARA A ESPESSURA=0.2 - REISSNER-MINDLIN ........................ 41

GRÁFICO 7.6 - ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO PARA A ESPESSURA=0.5 –REISSNER-MINDLIN ........................ 42

GRÁFICO 7.7 - ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO - KIRCHHOFF.................................................................... 42

GRÁFICO 7.8 - ENERGIA DE CORTE POR NÚMERO DE GRAUS DE LIBERDADE DE DESLOCAMENTO .......................................... 44

GRÁFICO 7.9 - PERCENTAGEM DE ENERGIA DE CORTE POR NÚMERO DE GRAUS DE LIBERDADE DE DESLOCAMENTO................. 45

GRÁFICO 7.10 - RELAÇÃO UFLEXÃO RM/UFLEXÃO KT EM FUNÇÃO DA ESPESSURA DA LAJE ............................................... 49

GRÁFICO 7.11 - ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO - KIRCHHOFF ................................................................. 56

GRÁFICO 7.12 - ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO - REISSNER-MINDLIN ...................................................... 57

GRÁFICO 7.13 - ENERGIA DE DEFORMAÇÃO POR CORTE (%) ........................................................................................ 62

GRÁFICO 7.14- ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO - MODELO DE "PILAR PREENCHIDO" E MODELO DE APOIO

PONTUAL – KIRCHHOFF .................................................................................................................................. 72

GRÁFICO 7.15 - ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO MODELO DE “PILAR PREENCHIDO” - REISSNER-MINDLIN ........ 73

GRÁFICO 7.16 - ENERGIA DE DEFORMAÇÃO POR CORTE (%) EM FUNÇÃO DA ESPESSURA ................................................... 81

xix

LISTA DE TABELAS

TABELA 2.1 - CONDIÇÕES DE FRONTEIRA PARA LAJES DE REISSNER-MINDLIN ..................................................................... 7

TABELA 2.2 - CONDIÇÕES DE FRONTEIRA PARA AS LAJES DE KIRCHHOFF ........................................................................... 11

TABELA 7.1 - DECLIVES FINAIS DO ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ............................................................ 43

TABELA 7.2 - DECLIVE FINAL - KIRCHHOFF ................................................................................................................. 56

TABELA 7.3 - DECLIVES FINAIS - REISSNER-MINDLIN ................................................................................................... 57

TABELA 7.4 – DECLIVES FINAIS - MODELO DE "PILAR PREENCHIDO" E MODELO DE APOIO PONTUAL - KIRCHHOFF ................... 72

TABELA 7.5 - DECLIVES FINAIS MODELO DE "PILAR PREENCHIDO" - REISSNER-MINDLIN ..................................................... 73

TABELA B 1 - ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA - SOLUÇÃO DE REFERÊNCIA ........................................................ 91

TABELA B 2 – DADOS PARA O PROBLEMA 1, P=2, MALHA 1 – REISSNER-MINDLIN ........................................................... 91

TABELA B 3 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 1, P=2, MALHA 1 – REISSNER-MINDLIN ................................................... 91







TABELA B 10 – DADOS PARA O PROBLEMA 1, P=4,, MALHA 1 – REISSNER-MINDLIN ........................................................ 93

TABELA B 11 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 1, P=4, MALHA 1 – REISSNER-MINDLIN ................................................. 93

TABELA B 12 – DADOS PARA O PROBLEMA 1, P=4, MALHA 2 – REISSNER-MINDLIN ......................................................... 93














TABELA B 26 – DADOS PARA O PROBLEMA 1, P=2, MALHA 1 – KIRCHHOFF .................................................................... 96

TABELA B 27 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 1, P=2, MALHA 1 – KIRCHHOFF ............................................................ 96

xx


TABELA B 29 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 1, P=2, MALHA 2 – KIRCHHOFF ............................................................. 97


















TABELA B 47 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 1, P=6, MALHA 3 – KIRCHHOFF ........................................................... 100

TABELA B 48 – DADOS PARA O PROBLEMA 1, P=6, MALHA 4 – KIRCHHOFF .................................................................. 100

TABELA B 49 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 1, P=6, MALHA 4 – KIRCHHOFF ........................................................... 100

TABELA B 50 – DADOS PARA O PROBLEMA 1, P=6, MALHA 4, APOIO HARD – REISSNER-MINDLIN .................................... 106

TABELA B 51 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 1, P=6, MALHA 4, APOIO HARD – REISSNER-MINDLIN ............................ 106

TABELA C 1 - ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA - SOLUÇÃO DE "REFERÊNCIA" .................................................... 111

TABELA C 2 – DADOS PARA O PROBLEMA 2, MALHA 1 – REISSNER-MINDLIN ................................................................. 111

TABELA C 3 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 2, MALHA 1 – REISSNER-MINDLIN ......................................................... 111







TABELA C 10 – DADOS PARA O PROBLEMA 2, MALHA 5 – REISSNER-MINDLIN ............................................................... 112

TABELA C 11 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 2, MALHA 5 – REISSNER-MINDLIN ....................................................... 113

TABELA C 12 – DADOS PARA O PROBLEMA 2, MALHA 1 – KIRCHHOFF .......................................................................... 113

TABELA C 13 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 2, MALHA 1 – KIRCHHOFF .................................................................. 113

xxi

TABELA C 14 – DADOS PARA O PROBLEMA 2, MALHA 2 – KIRCHHOFF ......................................................................... 113








TABELA D 1 - ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA - SOLUÇÃO DE REFERÊNCIA ...................................................... 121

TABELA D 2 – DADOS PARA O PROBLEMA 3, 1ºGRUPO DE MALHAS - MALHA 1, MODELO PILAR “PREENCHIDO” – REISSNER-

MINDLIN .................................................................................................................................................. 121

TABELA D 3 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3, 1ºGRUPO DE MALHAS - MALHA 1, MODELO PILAR “PREENCHIDO” –

REISSNER-MINDLIN .................................................................................................................................... 121

TABELA D 4 – DADOS PARA O PROBLEMA 3, 1ºGRUPO DE MALHAS - MALHA 1, MODELO PILAR “PREENCHIDO” – KIRCHOFF 121


KIRCHHOFF ................................................................................................................................................ 121

TABELA D 6 – DADOS PARA O PROBLEMA 3, 1ºGRUPO DE MALHAS - MALHA 1, MODELO PILAR “VAZIO” – REISSNER-MINDLIN

............................................................................................................................................................... 125

TABELA D 7 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3, 1ºGRUPO DE MALHAS - MALHA 1, MODELO PILAR “VAZIO” – REISSNER-

MINDLIN .................................................................................................................................................. 125

TABELA D 8 – DADOS PARA O PROBLEMA 3, 1ºGRUPO DE MALHAS - MALHA 1, MODELO PILAR “VAZIO” – KIRCHHOFF ....... 125

TABELA D 9 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3, 1ºGRUPO DE MALHAS - MALHA 1, MODELO PILAR “VAZIO” – KIRCHHOFF 125

TABELA D 10 – DADOS PARA O PROBLEMA 3, 2ºGRUPO DE MALHAS - MALHA 1, MODELO PONTUAL – KIRCHHOFF ............ 129

TABELA D 11 – RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3, 2ºGRUPO DE MALHAS - MALHA 1, MODELO PONTUAL – KIRCHHOFF ..... 129








MINDLIN .................................................................................................................................................. 132


REISSNER-MINDLIN .................................................................................................................................... 132


MINDLIN .................................................................................................................................................. 132

xxii


REISSNER-MINDLIN ..................................................................................................................................... 132


MINDLIN ................................................................................................................................................... 133




MINDLIN ................................................................................................................................................... 133



TABELA D 26 – DADOS PARA O PROBLEMA 3, 3ºGRUPO DE MALHAS - MALHA 1, MODELO PILAR “PREENCHIDO” – KIRCHHOFF

............................................................................................................................................................... 135


KIRCHHOFF ................................................................................................................................................ 135


............................................................................................................................................................... 135


KIRCHHOFF ................................................................................................................................................ 135


............................................................................................................................................................... 135


KIRCHHOFF ................................................................................................................................................ 136


............................................................................................................................................................... 136


KIRCHHOFF ................................................................................................................................................ 136

xxiii

NOTAÇÃO

() – Forças generalizadas no domínio do elemento (e)

– Operador que transforma momentos em esforços efetivos

– Operador que transforma momentos em esforços efetivos no lado

– Operador que transforma momentos em esforços efetivos no vértice

() – Matriz elementar das curvaturas associadas às funções de aproximação

() – Matriz elementar das deformações por corte associadas às funções de aproximação

- Operador diferencial de compatibilidade

() – Deslocamentos nodais no elemento (e)

∗ - Operador diferencial de equilíbrio

– Grau das cargas aplicadas

– Grau de aproximação dos momentos

(),() – Matriz de equilíbrio associada ao lado j e ao elemento i

- Matriz de equilíbrio no ponto do lado do elemento (e)

– Matriz de equilíbrio no vértice do elemento (e)

– Matriz de rigidez da laje, para a flexão

– Matriz de rigidez da laje, para o corte

E – Módulo de Young

– Matriz de flexibilidade

() – Vetor de forças nodais equivalentes elementar

()Ω - Vetor de forças nodais equivalentes elementar no domínio

() - Vetor de forças nodais equivalentes elementar na fronteira

– Força de Canto

– Força de canto discreta

F – Matriz de Flexibilidade da malha ou do elemento i

ℎ - Espessura da laje

– Matriz Jacobiana de transformação de coordenadas

– Matriz de rigidez

xxiv

() – Matriz de rigidez de flexão do elemento (e)

() – Matriz de rigidez de um elemento de laje

() – Matriz de rigidez de corte do elemento (e)

– Momentos da solução particular no elemento (e)

– Momento fletor na fronteira

– Momento torsor na fronteira

! – Momento segundo x na fronteira

" – Momento segundo y na fronteira

!! – Momento fletor em x

!" – Momento torsor

"" – Momento fletor em y

# - Momento fletor aplicado

$ – Momento fletor discreto

! – Momento em x distribuído por unidade de superfície

" – Momento em y distribuído por unidade de superfície

!" – Momento torsor da solução particular

% - Número de parâmetros de deslocamento num elemento

%! – Componente na direção x do versor da normal exterior

%" – Componente na direção y do versor da normal exterior

& – Operador dos versores normais exteriores à fronteira

&(),() – Matriz de rotação para o lado j e elemento i

N - número de graus de liberdade

' ou ) - Carga efetiva aplicada no domínio

p – grau de funções de aproximação de momentos polinomiais

*!(+) – Primitiva de 2ª ordem na variável x

*"(+) – Primitiva de 2ª ordem na variável y

) – Vetor de forças de massa

) – Carga transversal distribuída que atua segundo a direção perpendicular ao plano médio da laje

, – Vetor de reações correspondentes aos graus de liberdade

xxv

, – Esforço transverso efetivo na fronteira

, – Esforço efetivo discreto

, - Carga efetiva normal num lado

.() ou . – Vetor dos parâmetros de esforços num elemento

/ ou /() – Matriz de funções de aproximação de esforços para um elemento

0 , 0 ou 0 – Tensão imposta na fronteira estática

0() – Vetor da tensão aplicada no lado j

01() – Vetor da tensão aplicada generalizada no lado j

0,(),() – Vetor da tensão generalizada aplicada no lado j devido a 2,() 0 – Tensões discretas da solução particular

0 – Tensões discretas para o ponto do lado na solução particular

0 – Tensões discretas para o vértice na solução particular

3 – Deslocamentos generalizados na fronteira

34 - Deslocamentos discretos na fronteira

3,() – Vetor dos deslocamentos no lado j do elemento

3 – Esforço transverso na fronteira

3 – Deslocamento de um ponto de um lado

3 – Deslocamento de um vértice

3! – Componente na direção x do esforço transverso

3" - Componente na direção y do esforço transverso

3() – Vetor dos deslocamentos impostos no lado j do elemento

34() – Vetor dos parâmetros de deslocamento no lado j do elemento

35 – Parâmetro do deslocamento transversal

36 – Parâmetro da rotação normal

3(),() – Vetor dos deslocamentos generalizados impostos no lado j do elemento i

7 ou 7() – Matriz de aproximação dos deslocamentos na fronteira

V – Volume da laje

75 – Funções de aproximação do deslocamento transversal

76 – Funções de aproximação da rotação normal

xxvi

8() – Vetor de deslocamentos no elemento (e)

8 – Vetor deslocamentos na fronteira

9 - Energia de Deformação

9: – Energia Complementar de Deformação

; – Deslocamento transverso

;$ () – Deslocamentos transversos nodais no elemento (e)

; – Deslocamento transversal de um ponto de um lado

; - Deslocamento transversal de um vértice

<: – Trabalho realizado pelos deslocamentos impostos

=() – Vetor de distorções elementar

=> – Componente i da distorção

? – Fronteira estática

?@ – Fronteira cinemática

A – Matriz do operador diferencial associado à parcela de flexão

A – Matriz do operador diferencial associado à parcela de corte

B – Vetor das deformações generalizadas

B6 – Deformação térmica

C – Rotação normal na fronteira

C! – Rotação em torno de x

C" - Rotação em torno de y

C!() – Rotações nodais em torno de x no elemento (e)

C"() – Rotações nodais em torno de y no elemento (e)

C – Rotação normal

D – Coeficiente de Poisson

E: - Energia potencial complementar

2 – Vetor das tensões generalizadas ou esforços

2,() – Campo de esforços equilibrados no elemento finito i

2,() – Vetor de tensões da solução particular

F – Trações generalizadas na fronteira

xxvii

G - Curvaturas

G() – Vetor de curvaturas elementar

H() – Matriz de funções de aproximação no elemento (e)

Ω - Plano médio da laje

1

CAPÍTULO 1.

INTRODUÇÃO

1.1 ENQUADRAMENTO

As lajes são estruturas laminares, isto porque uma das dimensões é bastante inferior às restantes,

que se podem definir como peças laminares planas sujeitas a diferentes tipos de carregamentos

transversais ao próprio plano, distinguindo-se desta forma das placas que são igualmente estruturas

laminares planas, mas que estão sujeitas a carregamentos no seu plano médio, [1].

Exemplos práticos deste tipo de estrutura serão os pavimentos de edifícios sujeitos às ações do

peso próprio, restantes cargas permanentes e sobrecargas que atuam verticalmente sobre o plano

da estrutura ou ainda uma primeira análise para barreiras acústicas, etc.

Surge desta forma a necessidade de, face ao carregamento aplicado a uma determinada laje, com

uma determinada geometria e condições de apoio, descobrir os esforços/tensões e deslocamentos

causados por este. Existem duas teorias para descrever estes efeitos, são elas a teoria das Lajes

Finas ou teoria das Lajes de Kirchhoff e a teoria das Lajes Espessas ou teoria das Lajes de Reissner-

Mindlin.

A sua validade depende da espessura que a laje apresentar e, apesar da teoria das lajes finas ser

uma simplificação da teoria das lajes espessas, ela permite obter bons resultados para

determinados valores de espessura, sendo a sua principal vantagem, dado o facto de ser uma

simplificação, poder-se reduzir os tempos de análise necessários para a obtenção de resultados

credíveis para um dado problema.

Na presente dissertação, utiliza-se a formulação híbrida de tensão, ou equilíbrio, em detrimento da

formulação clássica do método dos elementos finitos, explorando as vantagens que esta apresenta

sobre a outra.

2

1.2 OBJETIVO

Os objetivos desta dissertação passam pelo estudo da evolução da influência da deformação por

corte, quantificando a sua energia e efeito que possa causar no comportamento da laje e quantificar

a qualidade das soluções através de estudos de convergência.

Tem como objetivo secundário a realização de um estudo comparativo do comportamento dos

modelos através de alguns exemplos, que tem como fim caracterizar os valores da espessura em

que a teoria das lajes finas ou a teoria das lajes espessas melhor se adapta à modelação desses

problemas.

Não sendo um dos principais objetivos, interessa também verificar de que forma as diferentes

condições de apoio se relacionam com os pontos anteriores, ou seja, análise de efeitos que surjam

devido à imposição numérica das teorias, por exemplo, efeito de bordo para espessuras finas para

a teoria de Reissner-Mindlin.

Pretende-se ainda avaliar a formulação híbrida de equilíbrio, em vez da formulação clássica do

método dos elementos finitos, que é a mais utilizada.

Pretende-se também que esta dissertação possa a vir a ser uma ferramenta que auxilie futuros

trabalhos dentro do mesmo tema, com a contribuição explicativa e ilustrativa, não só de conceitos

teóricos, mas também da sua aplicação prática através de exemplos.

1.3 ORGANIZAÇÃO

No capítulo 2, caraterizam-se as teorias de lajes de Reissner-Mindlin e de Kirchhoff, apresentando as variáveis envolvidas e as relações entre elas.

No capítulo 3, descreve-se a aplicação às lajes da formulação clássica do método dos elementos finitos. Caracterizam-se, ainda, alguns aspetos acessórios às formulações propriamente ditas, tal como a geometria dos elementos, a escolha das funções de aproximação e as propriedades das soluções.

No capítulo 4, efetuou-se igualmente a descrição para a formulação híbrida de equilíbrio.

No capítulo 5, documentam-se os vários tipos de refinamento.

O capítulo 6 constitui uma pequena apresentação sobre a energia de deformação e extrapolação de Richardson.

O capítulo 7 corresponde à apresentação de resultados de soluções dos problemas propostos na dissertação, para as diferentes teorias de lajes, espessuras e, em determinados problemas, diferentes condições cinemáticas; avaliação da convergência energética, pela extrapolação de Richardson, quantificação da deformação por corte e evolução dos campos de esforços e campo de energia.

No capítulo 8, realizam-se alguns comentários finais e são sugeridos alguns desenvolvimentos futuros deste trabalho.

3

CAPÍTULO 2.

TEORIAS DE LAJES

2.1 TEORIA DE LAJES DE REISSNER-MINDLIN OU TEORIA DE LAJES

ESPESSAS

2.1.1 Introdução

Se uma das dimensões de um corpo tridimensional for muito menor do que as outras duas, o corpo

aproxima-se de uma peça laminar. Deste modo, define-se uma superfície média, à qual se reduzem

os campos a determinar. Uma laje pode ser considerada como uma peça laminar plana submetida

a ações não contidas no seu plano médio. O seu comportamento é afetado em grande parte pela

sua espessura [2].

A teoria de Reissner-Mindlin recorre à Teoria da Elasticidade, assumindo hipóteses simplificativas

semelhantes às admitidas para outros tipos de elementos estruturais, com o objetivo de determinar

a distribuição dos deslocamentos, deformações e tensões no domínio de um corpo, Ω, quando

conhecidas as forças de massa, as tensões aplicadas na fronteira estática, ? , e os deslocamentos

impostos na sua fronteira cinemática, ?@ [2] [3].

As hipóteses simplificativas adotadas são:

• Linearidade física; • Linearidade geométrica; • Homogeneidade e Isotropia do material estrutural.

A hipótese da linearidade física assume para um dado material um comportamento elástico linear,

que permite simplificar as relações constitutivas, permitindo o estabelecimento de uma relação linear

entre tensões e deformações.

A linearidade geométrica pressupõe a hipótese dos pequenos deslocamentos e das pequenas

deformações, que irá permitir que as condições de equilíbrio possam ser obtidas com base na

configuração indeformada da estrutura e que as equações de compatibilidade sejam lineares.

O domínio de uma laje pode ser descrito na forma

V = (L, M, N) ∈ PQ ∶ N ∈ S− ℎ2 , ℎ2 V , (L, M) ∈ Ω ⊂ P+ (2.1)

onde Ω e ℎ denotam o plano médio e a espessura da laje, respetivamente [1], num referencial

cartesiano (O,x,y,z), para que o plano médio da laje coincida com o plano LM.

Na teoria de Reissner-Mindlin, admite-se que as fibras rectas inicialmente perpendiculares ao plano

médio da laje permanecem rectas após a deformação do elemento estrutural e são inextensíveis

[3].

4

Considera-se o efeito da deformabilidade por esforço transverso, pelo que fibras inicialmente

perpendiculares ao plano médio da laje não continuam obrigatoriamente a ser ortogonais àquele

mesmo plano, pelo que os campos de rotação têm de ser tratados como deslocamentos

independentes [2] [3].

Estas hipóteses encontram-se ilustradas na Figura 2.1.

2.1.2 Condições de Compatibilidade

Comecemos por considerar o vetor dos deslocamentos generalizados dos pontos do domínio Ω,

8 = Y ;C!C"Z (2.2)

em que ; = ;(L, M) é o campo de deslocamentos transversais ao plano médio da laje e C!(L, M) e C"(L, M) são os campos de rotações, das fibras inicialmente perpendiculares ao plano médio da laje.

As distorções, =>, definem-se pelo dobro da componente do tensor das deformações a que

correspondem, => = 2B>, pelo que

=> = C [ ;\ , (2.3)

com \ = L, M.

Figura 2.1: Ilustração das Hipóteses; Teoria de Reissner-Mindlin

5

O estado de deformação é caracterizado pelo vetor das deformações generalizadas, B, dado por:

B =]_ G!!G""2G!"=!>="> aaa

b

(2.4)

em que G são as curvaturas,

G = 12 dCe [ C\ f, (2.5)

com \ = L, M e e = L, M .

A condição de compatibilidade entre deformações e deslocamentos é dada por:

B = 8, (2.6)

em que é o operador diferencial de compatibilidade,

=]^^_0 hh! 00 0 hh"0 hh" hh!hh! 1 0hh" 0 1 aa

aaaab.

(2.7)

2.1.3 Condições de equilíbrio

O equilíbrio no domínio é dado pela condição:

∗2 [ ) = 0 (2.8)

em que ∗ é o operador diferencial de equilíbrio dado por:

∗ =]^_ 0 0 0 L ML 0 M −1 0

0 M L 0 −1aaaaab. (2.9)

e ) é o vetor das forças que podem atuar no domínio duma laje,

) = Y )!"Z (2.10)

6

em que ) = )(L, M) é a carga transversal distribuída no domínio, ! = !(L, M) e " = "(L, M) são

os momentos distribuídos no domínio, Ω, e 2 é o vetor das tensões generalizadas:

2 =]_!!""!"3!3" aaa

b. (2.11)

2.1.4 Relações Constitutivas

A relação constitutiva é uma lei material que permite relacionar tensões e deformações. Quando

apresentada em termos de flexibilidade, tem a forma:

B = 2 [ B6. (2.12)

Na expressão anteriormente apresentada, representa a matriz de flexibilidade e B6 refere-se a um

estado de deformação térmico, que não tem consequências no estado de tensão, 2. Na matriz de

flexibilidade f considera-se um fator de redução da resistência ao corte de 5/6, definindo-a desta

forma como

= j+kl]^_ jlm − nlm 0 0 0− nlm jlm 0 0 0000

000+(jon)lm00

0(jon)p000(jon)p aaa

aab. (2.13)

O parâmetro E corresponde ao módulo de Young e D corresponde ao coeficiente de Poisson, os

quais permitem considerar o comportamento elástico linear do material.

De forma inversa, se se pretender obter as tensões a partir das deformações, a partir da equação

anteriormente apresentada, pode obter-se [2]:

2 = (B − B6). (2.14)

2.1.5 Condições de Fronteira

Na fronteira cinemática, ?@ , impõem-se os deslocamentos,

8 = 8. (2.15)

Na fronteira estática, ? , impõem-se os esforços,

&2 = 0 , (2.16)

7

em que & é constituída pelas componentes do versor normal exterior à fronteira ? , designadas por %! e %", sendo dada por [2]:

& = q 0 0 0 %! %"%! 0 %" 0 00 %" %! 0 0 r, (2.17)

e

0 = Y 3!"Z. (2.18)

Estão resumidas na Tabela 2.1 estas condições para o caso de bordos encastrados, simplesmente

apoiados e livres [3], utilizando o referencial (%, 0) que será descrito em 2.2.5.

Tabela 2.1 - Condições de Fronteira para lajes de Reissner-Mindlin

Bordo Encastrado Bordo Simplesmente Apoiado Bordo Livre

; = ;#

C = C

C = C

; = ;#

= #

C = C

3 = 3

= #

= #

; = ;#

= #

= #

Quando se têm bordos simplesmente apoiados, há duas formas alternativas para definir as

condições de fronteira. A primeira alternativa é o bordo simplesmente apoiado hard, que passa pela

imposição do valor dos deslocamentos transversais, ;, e das rotações tangenciais, C . É também

especificado o valor do momento fletor, . A segunda alternativa é o bordo simplesmente apoiado

soft, em que apenas se especifica o valor do campo de deslocamentos transversais, permitindo-se

que as rotações C possam tomar valores não-nulos. As duas restantes condições de fronteira no

mesmo bordo envolvem a especificação do valor dos momentos fletor e torsor.

Das duas formas alternativas existentes para tratar os bordos simplesmente apoiados, a que mais

se utiliza é a primeira, uma vez que se encontra mais próximo da perceção física do comportamento

de lajes finas. A segunda alternativa é utilizada sempre que se torna complicado impor a

condição C = C , o que acontece por exemplo quando se estudam lajes circulares simplesmente

apoiadas. É ainda utilizada quando se pretende tornar o modelo numérico mais flexível. De facto,

como se impõem apenas os valores dos deslocamentos transversais há uma quantidade menor de

deslocamentos especificados, o que torna menos rígido o modelo adotado, conduzindo à obtenção

de valores ligeiramente maiores para os diferentes campos de deslocamentos [3].

8

2.2 TEORIA DE LAJES DE KIRCHHOFF OU TEORIA DE LAJES FINAS

2.2.1 Introdução

Também na Teoria de Kirchhoff se recorre às hipóteses da Teoria de Reissner-Mindlin.

Contudo, admite-se agora que as fibras rectas inicialmente perpendiculares ao plano médio da laje,

não só permanecem rectas após a deformação como ficam perpendiculares à deformada do plano

médio [1]. Na Figura 2.2, representa-se a definição das rotações na Teoria de Kirchhoff.

Esta hipótese, que a diferencia da teoria de Reissner-Mindlin, resulta do efeito da deformabilidade

por corte que pode ser desprezada, =!> = 0, ="> = 0, para as lajes finas.

Ao assumir a hipótese anteriormente referida para a teoria de Kirchhoff, obtém-se:

C!(L, M) = − ;(L, M)L (2.19)

C"(L, M) = − ;(L, M)M (2.20)

que nos permite concluir que o campo de rotações, C"(L, M) e C!(L, M) está dependente do campo

de deslocamentos transversais ;(L, M).

Figura 2.2 - Definição das rotações; teoria de Kirchhoff

9

2.2.2 Condições de Compatibilidade

Reformulando a condição de compatibilidade, a partir da equação (2.6), para as lajes de Kirchhoff,

obtém-se que o estado de deformação, B, só contém as curvaturas, devido a ser desprezado o efeito

da deformabilidade de corte:

B = Y G!!G""2G!"Z . (2.21)

O campo de deslocamentos, 8, só estará dependente do deslocamento transversal:

8 = s;(L, M)t . (2.22)

E o operador diferencial de compatibilidade tomará a forma:

=]^_ −+L+−+M+−2 +LMaaa

aab . (2.23)

2.2.3 Condições de equilíbrio

Para se caracterizarem os esforços existentes no elemento de laje pela teoria de Kirchhoff são

necessários dois momentos fletores, !!(L, M) e ""(L, M), e um momento torsor, !"(L, M):

2 = Y!!""!"Z . (2.24)

A partir destes, os campos de esforços transversos podem ser obtidos através das equações:

3!(L, M) = !!(L, M)L [ !"(L, M)M , (2.25)

3"(L, M) = !"(L, M)L [ ""(L, M)M . (2.26)

Na equação de equilíbrio (2.8), as forças de massa são:

) = u)(L, M)v = S) [ #!L [ #"M V, (2.27)

onde )(L, M) denota a carga distribuída que atua segundo a direção perpendicular ao plano médio

da laje e ) a carga efectiva.

10

O operador diferencial de equilíbrio é dado por:

∗w =]^_ +L++M+2 +LMaaa

aab . (2.28)

2.2.4 Relações Constitutivas

Neste caso, as relações constitutivas são escritas pela equação (2.14), mas utilizando a sub-matriz

da matriz de flexibilidade, f, expressa na equação (2.13), que permite relacionar curvaturas com

momentos, visto que as deformações por corte são nulas:

= 12xℎQ Y 1 −D 0−D 1 00 0 2(D [ 1)Z .

(2.29)

2.2.5 Condições de Fronteira

Ao contrário das lajes de Reissner-Mindlin, nas quais se definem três condições de fronteira para

os bordos da laje, para as lajes de Kirchhoff só é possível impor duas condições em cada bordo.

Para o caso de bordos com orientação genérica, é considerado um referencial (%, 0), em que 0 tem

a orientação do bordo e % é ortogonal a 0, definindo desta forma a normal do bordo. A conversão

das coordenadas pode ser caracterizada pelas componentes da normal, %! e %", que se encontram

na Figura 2.3.

Figura 2.3 - Orientação dos eixos genéricos

11

Na Tabela 2.2, encontram-se sumarizadas as condições de fronteira para os diferentes três tipos de

bordo [3].

Bordo Encastrado Bordo Simplesmente Apoiado Bordo Livre

; = ;#

C = C

; = ;#

= #

, = ,

= #

Na Figura 2.4, estão indicados os deslocamentos e rotações num bordo com orientação genérica.

Figura 2.4 - Deslocamentos e rotações num bordo com orientação genérica

Figura 2.5 - Esforços no bordo genérico

Os momentos e presentes na Figura 2.5 e esforço transverso efetivo são obtidos, aplicando

as regras de transformação tensorial, da seguinte forma:

Tabela 2.2 - Condições de fronteira para as lajes de Kirchhoff

12

Momentos [4]:

= !%!+ [ "%"+ [ 2!"%!%"; (2.30)

= z" − !%!%" [ !"z%!+ − %"+ ; (2.31)

Esforço transverso efetivo [4]:

, = |~|! z%L [ %L%M2 [ |~|" z−%L2%M [ ||! z−%L%M2 [ ||" z%M [ %L2%M [ |~|! z%M − %L2%M [ %M3 [|~|" %L − %L%M2 [ %L3.

(2.32)

Surge também uma força de canto igual à soma dos momentos torsores calculados nos extremos

dos dois bordos que para ele convergem.

O equilíbrio nos cantos é garantido se a força de canto igualar a força aplicada, isto é, se a soma

dos momentos torsores calculados nos extremos dos dois bordos que convergem nesse vértice

igualar a carga pontual aplicada no vértice, .

Esta condição pode ser escrita na forma:

[ = 0. (2.33)

13

CAPÍTULO 3.

FORMULAÇÃO CLÁSSICA DO MÉTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS

3.1 INTRODUÇÃO

No presente capítulo, começar-se-á por fazer uma abordagem ao Método dos Elementos Finitos

(MEF).

Devido à infinidade de geometrias, condições de fronteira e diferentes carregamentos que podem

existir numa laje, surge a necessidade de obter um método que permita obter os campos de

deslocamentos, de deformações e de tensões, mesmo não sendo estes determináveis de forma

exata, mas que facilmente possa ser adaptável à maioria das situações correntes.

Casos em que existam lajes com geometrias retangulares, trapezoidais ou curvilíneas, conciliado

com diferentes condições de fronteira ao longo dos bordos, com a possibilidade de apoios pontuais

ou até mesmo com aberturas no seu domínio, tornam-se uma tarefa difícil de executar sem o auxílio

de um método apropriado.

Um dos métodos que permite obter, com relativa facilidade, aproximações dos campos de

deslocamentos, de deformações ou de tensões, é o Método dos Elementos Finitos, que por sinal é

o mais utilizado.

O MEF é, em geral, aplicado seguindo uma metodologia que engloba alguns passos fundamentais

[5]. Começa-se por subdividir o domínio em análise num número finito de subdomínios, os

elementos finitos; de seguida definem-se as funções de aproximação do campo de deslocamentos

generalizados de cada elemento. Para garantir que a aproximação é cinematicamente admissível

no sentido forte, as deformações generalizadas são determinadas impondo a condição de

compatibilidade no domínio. Da mesma forma, a aproximação do campo de tensões é determinada

impondo localmente, ou de maneira forte, a relação de elasticidade sobre a aproximação do campo

de deformações generalizadas. A aplicação da ponderação das condições de equilíbrio, no domínio

e na fronteira do elemento, permite determinar as forças nodais equivalentes generalizadas. Depois

de formulado o elemento e estabelecida a equação resolvente do elemento, é feita a assemblagem

do sistema de equações elementares e impõem-se as condições de fronteiras cinemáticas, de

maneira a satisfazer localmente as condições de fronteira cinemáticas do modelo e, ainda, as

condições de continuidade entre elementos.

14

Finalmente, resolvido o sistema geral de equações, determinados os deslocamentos nodais

generalizados em cada elemento através da relação de incidências, são calculados os

deslocamentos, as deformações e as tensões generalizadas em cada elemento recorrendo às

aproximações do campo de deslocamentos e às condições de compatibilidade e elasticidade

impostas localmente.

3.2 FORMULAÇÃO CLÁSSICA DE ELEMENTOS FINITOS PARA LAJES DE

REISSNER-MINDLIN

3.2.1 Aproximação dos Deslocamentos

O campo de deslocamentos é aproximado em cada elemento genérico, (e), usando funções

contínuas, que podem ser descritas na forma matricial através de:

8() = H()(), (3.1)

onde H() é a matriz que armazena as funções de aproximação elementares e () são os respetivos

deslocamentos nodais elementares generalizados definidos por:

H() = YH5() 0 00 H6~() 00 0 H6()Z , () = ;$ ()C!()C"(). (3.2)

Na formulação dos elementos finitos deste tipo de lajes, o campo de deslocamentos apenas tem de

ser contínuo no domínio, não sendo necessário garantir a continuidade das suas derivadas, como

acontece nas lajes de Kirchhoff [5].

A aproximação de cada componente de 8, quer para os elementos triangulares quer para os

quadrilaterais, baseia-se em combinações lineares de funções polinomiais, definidas de modo a

terem valor unitário num nó e nulo nos restantes, para assegurar que os coeficientes da

aproximação, () , representam o valor da função nos nós do elemento.

Como descrito em [5], as funções de aproximação são, em geral, definidas em função de um sistema

de coordenadas locais, ξ.

A condição de continuidade dos deslocamentos no domínio é implicitamente assegurada pelas

funções de aproximação, uma vez que estas são contínuas no domínio de cada elemento. Na

fronteira entre estes, a continuidade fica automaticamente assegurada quando os nós de

elementos adjacentes coincidem.

15

Essas funções de aproximação, ou de interpolação, são também usadas para mapear o elemento

em qualquer zona da malha de elementos finitos: daí a designação alternativa de função de forma.

É possível usar diferentes expressões para as funções de aproximação do campo de deslocamentos

generalizado e de mapeamento do elemento-mestre, sendo o elemento definido como

isoparamétrico quando se usam as mesmas funções para os dois fins, sendo implicitamente

garantida a continuidade dos deslocamentos entre elementos com os mesmos nós nos lados que

partilham.

3.2.2 Sistema Geral de Equações

Na presente secção optou-se por separar as parcelas de flexão e de corte de forma a,

posteriormente, facilitar a compreensão do fenómeno do travamento por corte. Assim, tem-se

B = G= , 2 = 3 , = S 00 V, (3.3)

onde

= xℎQ12(1 − D+) 1 D 0D 1 00 0 (1 − D)2 , = 65 ℎ 1 00 1. (3.4)

Tendo em conta as aproximações do campo de deslocamentos, em cada elemento genérico, dada

pela equação (3.1), as equações de compatibilidade permitem relacionar o vetor de curvaturas

elementar, G(), e o vector de distorções elementar, =(), com os deslocamentos nodais elementares,

através de:

G() = ()(), =() = ()(), (3.5)

onde as matriz () e () são dadas por:

() = AH(), () = AH(), (3.6)

sendo A e A as matrizes dos operadores diferenciais associados às parcelas de flexão e corte,

respetivamente, definidas por:

A = Y0 Aj 00 0 A+0 A+ AjZ , A = SAj 1 0A+ 0 1V . (3.7)

Definindo as grandezas ()e () como sendo, respetivamente, a matriz de rigidez de flexão

elementar e a matriz de rigidez de corte elementar, dadas por:

() = ()wΩ() () ()Ω(), () = ()wΩ() ()()Ω(), (3.8)

16

obtém-se a matriz de um elemento de laje:

() = () [ (). (3.9)

Definindo as grandezas

()Ω = H()w()Ω() Ω(), () = H()w0? (),() (3.10)

obtém-se o vetor de forças nodais equivalentes elementar:

() = ()Ω [ () . (3.11)

Em geral [5], nos elementos quadrilaterais, os integrais de domínio são calculados numericamente,

aplicando-se a regra da quadratura de Gauss-Legendre em cada direção.

Considere-se um elemento no qual ||, o determinante da matriz Jacobiana de transformação de

coordenadas (), que estabelece a relação entre elementos de área no elemento mapeado e no

elemento-mestre, é constante.

Designe-se por integração completa a regra que conduziria à avaliação exata dos integrais

presentes na definição de () recorrendo ao menor número de pontos de integração possível.

Então, chama-se (i) integração seletiva quando a avaliação da parcela () é efetuada através da

redução de um ponto de integração em cada direção em relação à regra de integração completa e

(ii) integração reduzida quando ambas as parcelas da rigidez, () e (), são reduzidas de um

ponto em cada direção [5].

Depois de formulado o elemento, é efetuada a assemblagem do sistema de equações, ou seja, os

termos do vetor e da matriz elementar são adicionados às componentes apropriadas do vetor e da

matriz global.

Após a assemblagem de todas as matrizes elementares, [6], obtém-se o sistema global

= . (3.12)

Este sistema de equações define as condições de equilíbrio das forças nodais equivalentes. Estas

condições são impostas no domínio, na fronteira estática e nas fronteiras entre elementos.

As condições de fronteira cinemática são impostas em seguida. Para tal, cada grau de liberdade é

classificado como livre (free) ou restringido (restrained)

S V = [ 0,, (3.13)

onde , é o vetor de reações correspondentes aos graus de liberdade restringidos.

17

Sendo os deslocamentos conhecidos a priori:

= − . (3.14)

Os graus de liberdade livres, , são obtidos pela resolução do sistema de equações.

3.2.3 Travamento por Corte

Com a teoria de Reissner-Mindlin pretende-se analisar o comportamento de lajes cuja

deformabilidade devido ao esforço transverso possa ser significativa, ou seja, não desprezável; este

efeito é visível nas lajes espessas.

Considera-se que este tipo de laje se caracteriza por uma relação de 0.1 ≤ l ≤ 0.2, [7]. Contudo, as

soluções obtidas na teoria de Reissner-Mindlin devem recuperar os resultados fornecidos pela teoria

de Kirchhoff à medida que a relação l diminui.

Nesta situação, nem todos os elementos convencionais, cuja a formulação se baseia apenas na

aproximação do campo de deslocamentos generalizado, fornecem bons resultados, quando se

recorre à integração completa, devido ao fenómeno de travamento por corte [8], retenção ao corte

ou shear-locking.

Este fenómeno corresponde a uma sobrestimação da rigidez de corte do modelo dos elementos

finitos relativamente à laje real, que por sua vez pode destruir por completo a solução, [3].

Como a rigidez de flexão é proporcional a ℎQ e a rigidez de corte é proporcional a ℎ, quando a

relação h/L diminui, os termos da matriz de rigidez de flexão tornam-se muito pequenos face à matriz

de rigidez de corte. Como resultado dos erros numéricos, os deslocamentos do modelo de

elementos finitos vão depender principalmente da deformabilidade por corte, ao contrário do que

acontece na realidade, em que os deslocamentos de uma laje fina dependem principalmente da

deformabilidade por flexão e onde a distorção tende para zero [9].

Quando a integração da matriz de rigidez é efetuada numericamente, através da regra de Gauss-

Legendre, a sobrestimação da rigidez existente na utilização de elementos convencionais pode ser

evitada reduzindo o número de pontos de integração utilizados. Contudo, a integração reduzida,

além de poder tornar a malha menos rígida do que a laje real, pode tornar a matriz de rigidez global

mal condicionada, causando o aparecimento de deslocamentos espúrios, ou mesmo singular. Para

evitar o mau condicionamento da matriz de rigidez global e minimizar o número de modos espúrios,

a integração deve ser seletiva, subintegrando apenas a parcela de corte, que é a principal

responsável pelo fenómeno do travamento por corte, e integrando exatamente a parcela de flexão

[5].

18

3.2.4 Efeito de Bordo

O efeito de bordo resulta da imposição de condições de fronteira estáticas, que provoca um

gradiente acentuado dos esforços transversos e do momento torsor, na transição do domínio para

os bordos com apoios soft ou livres.

O efeito destas camadas limites faz-se notar com maior intensidade para lajes mais finas e à medida

que a relação espessura/tamanho dos elementos gerados no refinamento h diminui, levando a que

a convergência seja mais demorada.

Sendo este efeito de bordo um fenómeno fortemente ligado à satisfação local de condições de

equilíbrio, as formulações convencionais de elementos finitos têm dificuldade em obter boas

soluções, a não ser que se utilizem malhas extremamente refinadas [11].

3.3 FORMULAÇÃO CLÁSSICA DE ELEMENTOS FINITOS PARA LAJES DE

KIRCHHOFF

3.3.1 Aproximação do Deslocamento

No caso da formulação clássica de elementos finitos para lajes de Kirchhoff, a aproximação para

um elemento genérico, (e), pode também ser descrita na forma matricial

8() = H()(), (3.15)

onde H() é uma matriz que armazena as funções de aproximação elementares e () são os

respetivos deslocamentos nodais elementares.

A equação de compatibilidade (2.6), permite relacionar o vetor de curvaturas elementar, G(), com

os deslocamentos nodais elementares e é dada por:

G() = ()() (3.16)

onde a matriz elementar () condensa a informação relativa às derivadas das funções de

aproximação e é dada através de

() = AH(). (3.17)

A utilização de funções polinomiais simples e a utilização dos deslocamentos nodais como

incógnitas do problema, típica dos elementos finitos clássicos, conduz, regra geral, à obtenção de

elementos em que pelo menos uma das condições de compatibilidade é violada, designados

elementos não-conformes, como o elemento ACM exemplificado em [3].

Torna-se bastante complexa e trabalhosa a obtenção de elementos que permitam verificar por

completo as equações de compatibilidade. Aos elementos em que todas as condições de

compatibilidade são verificadas, é habitual chamar-se elementos conformes.

19

Como exemplo, considerem-se os elementos finitos triangulares compatíveis com vinte e um graus

de liberdade estudados em [10]. Em cada um desses elementos finitos triangulares, os três nós dos

vértices apresentam seis graus de liberdade e os nós a meio de cada uma das três arestas

apresentam, cada um, um grau de liberdade, tal como se observa na Figura 3.1.

Para gerar soluções compatíveis, é necessário satisfazer as condições de compatibilidade no

domínio e na fronteira cinemática, para o que será necessário gerar uma aproximação da classe j.

A aproximação do deslocamento transversal num elemento é gerada por um único polinómio. Como

todas as suas derivadas são contínuas, a aproximação é de classe .

Para satisfazer as condições de compatibilidade na fronteira cinemática, há que impor mais

condições do que quando apenas existem graus de liberdade associados ao deslocamento

transversal e às rotações.

Considerando as condições de fronteira cinemática homogéneas, num bordo simplesmente apoiado

ter-se-á ; = 0, (−;, ) = 0 e (−;, ) = 0. Num bordo com encastramento deslizante deverá

impor-se (−;, ) = 0 e (−;, ) = 0 enquanto que num bordo encastrado ter-se-á ; = 0, (−;, ) = 0, (−;, ) = 0 (−;, ) = 0 e (−;, ) = 0. Em suma, as condições de fronteiras

cinemáticas a impor nestes três tipos de apoio apresentam-se esquematizadas na Figura 3.2.

Figura 3.1 – Elemento T21

20

Figura 3.2 - Condições de Fronteira cinemáticas para bordos paralelos ao eixo Lj [10]

Para satisfazer a compatibilidade na fronteira entre elementos, é necessário garantir a continuidade

da função de aproximação de ; e das suas derivadas ;, e ;, . Em cada um dos nós que constituem

os vértices, têm de ser os mesmos, para ambos os elementos ligados por uma aresta, o

deslocamento, as rotações, a curvatura G e a curvatura G . No nó central da aresta que une os

dois vértices, a derivada ;, tem de ser a mesma para ambos os elementos.

Além de serem pouco intuitivas como graus de liberdade, na presença de variações de rigidez de

flexão da laje no plano médio, a utilização de curvaturas como graus de liberdade elementares impõe

uma excessiva continuidade, nomeadamente na curvatura normal. Este facto pode ser totalmente

resolvido, mas apenas através da utilização de nós duplos [10].

3.3.2 Matrizes e Vetores elementares

A matriz de rigidez elementar é agora:

() = ()w ()()Ω()Ω() , (3.18)

e o vetor de forças elementar:

() = H()w'Ω() [ dH()w, − AH()wA% # f ? ()()Ω() . (3.19)

onde ' é a carga efectiva aplicada no domínio, , é a carga efectiva normal e # é o momento

normal aplicado.

21

CAPÍTULO 4.

FORMULAÇÃO HÍBRIDA DE EQUILÍBRIO

A solução obtida aplicando a formulação clássica do MEF não satisfaz, em geral, as condições de

equilíbrio no domínio e na fronteira dos elementos, devido ao facto destas não serem impostas

localmente mas sim de maneira fraca recorrendo ao conceito de força nodal equivalente, através da

condição de equilíbrio nodal.

As formulações híbridas consideram a aproximação de um dado campo no interior dos elementos

finitos e também, por forma a impor de forma fraca continuidade entre elementos adjacentes, do seu

dual nos lados.

Note-se que da aplicação de uma formulação híbrida pode resultar um sistema algébrico singular.

Tal aspeto constitui uma desvantagem do ponto de vista numérico, pois o algoritmo de resolução

dos sistemas de equações tem que ser concebido de forma a conseguir extrair uma solução nesses

casos e determinar a sua validade [2].

Na formulação híbrida de equilíbrio aproxima-se o campo de tensões no interior dos elementos,

enquanto que os deslocamentos são aproximados de modo independente em cada um dos seus

lados. Como se verá mais adiante consegue-se desta forma obter aproximações para as tensões

que são localmente equilibradas.

Nesta secção apresenta-se a implementação da formulação híbrida de tensões para as lajes de

Reissner-Mindlin e de Kirchhoff.

4.1 FORMULAÇÃO HÍBRIDA DE TENSÕES PARA LAJES DE REISSNER-MINDLIN

4.1.1 Aproximação das Variáveis

O campo de esforços no elemento finito i é aproximado através de:

2,() = /().() [ 2,(). (4.1)

Para garantir o equilíbrio no interior dos elementos, as funções de aproximação são escolhidas de

forma a serem auto-equilibradas, ou seja que

∗/() = (4.2)

e a solução particular é escolhida de modo que

∗2,() [ q = 0. (4.3)

As funções de aproximação de esforços auto-equilibradas podem ser obtidas a partir das funções

geradoras de esforços de Southwell [12]:

22

]^^^_ 0AAL− 12 AAM− 12 A+AM+12 A+ALAM aaa

aaaaab

9, ]^^_ AAM0− 12 AAL12 A+ALAM− 12 A+AL+aaa

aaaaab

7 , (4.4)

em que U e V são funções arbitrárias.

Um procedimento para gerar o conjunto de funções de aproximação de esforços polinomiais

correspondente a momentos de grau ≤ p é o seguinte [13]:

1. Gerar os mopo+ monómios L M, com 1 ≤ i + j ≤ p + 1;

2. Usando estes monómios em (4.4) como cada uma das funções de Southwell, obter '+ [ 5' [ 4

funções de aproximação de esforços;

3. Eliminar um dos campos de momento torsor constante, obtendo '+ [ 5' [ 3 funções de

aproximação de esforços linearmente independentes.

Aplicando este procedimento para ' = 2, obtém-se:

/() =]^_0 0 11 0 0000

−1/200000

⋮02L000

00−L0−1

0 L 0 2MM 0 0 0−L/201/2−M/21/20

−M 0 −1 0 0 0⋮

0 0 03L+ 0 2LM000−3L+/20−3L

−L+/20L

L+ 0 2LM0 M+ 0−LML−M−LM−LM −M+/2M0

0 3M+0 0−3M+/2−3M0000 aaa

b . (4.5)

Note-se que os momentos são de grau p, mas os esforços transversos são de grau ' − 1.

23

Como solução particular para uma carga transversal polinomial, utilizaram-se as seguintes

primitivas:

2() =]^^^_− 12 *!(+)())− 12 *"(+)())0− 12 *!())

− 12 *"()) aaaaaaab . (4.6)

Os deslocamentos são aproximados de forma separada em cada lado j através de:

3,() = 7()34() [ 3(). (4.7)

Nesta equação, se ?() ⊂ ?@ , 3,() = 3() = 8; se ?() ⊄ ?@, 3() = 0.

4.1.2 Formulação de Elementos Finitos

A formulação de elementos finitos híbridos de equilíbrio é exatamente igual à descrita em pormenor

em [2].

O equilíbrio entre elementos no lado j é imposto, utilizando as funções de aproximação de

deslocamentos como funções de peso, através de

( 7()w&(),()/()?( )) .() = 7()w0()?( )

− ( 7()w&(),()2,()?( ))

(4.8)

ou

∑ (),().() = 01() − ∑ 0,(),() . (4.9)

Nesta equação, se ?() ⊂ ? , 0() = 0; se ?() ⊄ ? 0() = 0. Para cada elemento i, a equação de compatibilidade, imposta na forma de resíduos pesados, resulta

em:

− ¢ /w()/()ΩΩ(£)¤ .() [ ( /w()&w(),()7()?)34() =( )

/w()Ω(£)2,()Ω − /w()&w(),()3()?( )

(4.10)

24

ou

−().() [ w (),()34() = ¥,() − 3(),() . (4.11)

O sistema algébrico global é obtido juntando as equações de compatibilidade de todos os elementos

finitos e as equações de equilíbrio de todos os lados que não pertencem à fronteira cinemática.

Juntando as matrizes e vetores dos elementos e dos lados em matrizes e vetores globais, o sistema

algébrico pode ser escrito como

− w 0 .34 = ¦¥ − 301 − 0 §. (4.12)

Ao contrário do que se sucede nos elementos finitos de deslocamento, nos elementos finitos de

equilíbrio o fenómeno de travamento por corte não ocorre. Tal como foi feito no Capítulo 3 para os

elementos finitos convencionais com a rigidez, nos elementos finitos de equilíbrio poderia fazer-

se = :¨ [ ©!ã¨. Então, quando a relação ℎ/« diminui :¨ ≪ ©!ã¨, o que evita o

aparecimento do efeito [14].

4.1.3 Escolha do grau de aproximação dos deslocamentos

As funções de aproximação dos deslocamentos nos lados são também polinomiais.

Admita-se que o grau da carga transversal não excede p-2 e que os lados são rectos e, portanto,

as coordenadas globais são funções lineares da coordenada local ,. Para impor o equilíbrio local de

esforço transverso, o deslocamento transversal é aproximado através dos monómios , , com i ≤ p-

1. Para impor o equilíbrio local de momentos, as rotações são aproximadas através dos monómios ,, com i ≤ p. O número de funções de aproximação de deslocamento em cada lado é assim 3p+2.

Quando o equilíbrio é imposto localmente nos lados, o sistema de equações global pode ser

impossível ou indeterminado. No entanto, quando existir uma solução para o campo de esforços,

ela é única e só os deslocamentos nos lados podem ser afetados por modos cinemáticos espúrios.

A utilização de elementos triangulares minimiza o número de modos espúrios ao nível do elemento.

Para o elemento triangular isolado, o número de modos espúrios é o indicado na Tabela 4.1 [15],

mas a maior parte deles não está presente ao nível da malha.

A ausência de modos espúrios pode ser garantida utilizando superelementos triangulares com ' ≥1, [16].

25

Tabela 4.1. Número de modos espúrios para um elemento triangular de grau p.

p Modos Espúrios

0 1

1 3

2 4

≥ 3 3

4.2 FORMULAÇÃO HÍBRIDA DE TENSÕES PARA LAJES DE KIRCHHOFF

Quando se aplica a formulação híbrida a lajes modeladas pela Teoria de Kirchhoff, há que considerar

as alterações a nível das condições de equilíbrio, que como já referido consideram o momento

normal, o esforço transverso efetivo e as forças de canto; é também necessário considerar as

alterações a nível das condições de compatibilidade, ou seja, que as rotações são dependentes do

deslocamento transversal.

Como a equação de equilíbrio no interior dos elementos é a mesma que para a teoria de Reissner-

Mindlin, a aproximação dos esforços pode ser a mesma, bastando eliminar as duas últimas linhas

da matriz /(). Para qualquer carga transversal polinomial ), a solução particular pode ser obtida, por exemplo,

igualando o momento torsor a zero, !" = 0, e equilibrando metade da carga em cada direção, tal

como (4.6) para a teoria de lajes de Reissner-Mindlin.

Esta simples solução implica que, para uma carga aplicada de grau a solução particular tem de

ter grau [ 2. Isto tem implicações para a admissibilidade estática da solução quando o grau de

aproximação, ., é menos de [ 2. Por exemplo, se = 1, ou seja, quando uma aproximação

linear dos momentos é usada para uma carga uniformemente distribuída, a solução, por norma, vai

violar o equilíbrio nos bordos dos elementos.

4.2.1 Aproximação dos deslocamentos de fronteira

Os deslocamentos de um determinado ponto de um lado são organizados num vetor com duas

componentes, a rotação normal e o deslocamento transversal:

3 = C; = S76 00 75V S346345 V = 734. (4.13)

Neste modelo são usados monómios para construção de uma base para esta aproximação. Tendo

em mente que estas funções são utilizadas sob a forma fraca de equilíbrio, a qual se pretende que

26

implique a forma forte de equilíbrio, é necessário que o grau de aproximação dos deslocamentos

seja, pelo menos, tão alto quanto o grau da projeção no lado da força generalizada. Isto implica que

o grau 76 seja pelo menos igual a e o grau de 75 deve ser pelo menos igual a − 1. O deslocamento num vértice, que se aproxima de forma independente do deslocamento nos lados

que estão ligados ao vértice, é um escalar, logo tem uma só componente:

3 = s;t = s1ts34t = 734 . (4.14)

Para um elemento triangular isolado, a dimensão da aproximação dos deslocamentos resultantes

da soma de 7 e 7, é igual a % = 3 × z( [ 1) [ [ 1 = 6 × ( [ 1).

4.2.2 Equilíbrio nos lados e nos vértices

Na formulação híbrida dos elementos finitos, o equilíbrio dentro de cada elemento é imposto a priori

pela aproximação dos momentos, ao passo que o equilíbrio entre os elementos e a compatibilidade

na fronteira são impostos a posteriori.

Para expressar o equilíbrio de forças discretas generalizadas na fronteira, F, podemos recorrer às

variáveis de aproximação de deslocamentos, 3, obtendo a equação adicional,

34w0 = 3w0 ? = 34w 7wF ? → 0 = 7wF ? = °$ , ,, ±. (4.15)

Nos lados, é necessário integrar para obter a projeção, mas no caso dos vértices, as forças são

diretamente as variáveis duais, como está expresso pela matriz identidade em 7. Substituindo os

momentos pelas suas aproximações, a seguinte equação geral é válida para os lados e vértices:

0 = 7wF ? = 7wF? [ 7w? [ 7w/?. =

0 [ 0 [ . , (4.16)

onde o termo F tem em conta as contribuições de 0, na aplicação direta às fronteiras. Nesta

equação, é o operador que transforma momentos em esforços efetivos (momento fletor, esforço

transverso efetivo e força de canto). As únicas condições não nulas nos somatórios correspondem

aos elementos que são adjacentes a uma dada componente da fronteira. O equilíbrio nas fronteiras

pode então ser escrito como se segue:

0 = 0 [ . = 0 [ .; (4.17)

27

0 = 0 [ . = 0 [ .; (4.18)

com

0 = 7²(, [ ) ? (4.19)

0 = [ (4.20)

e também

= 7²/ ? (4.21)

= / . (4.22)

É de notar que , , e são prescritas na fronteira estática, enquanto na fronteira cinemática

elas representam as reações ainda desconhecidas.

As equações (4.17) e (4.18) constituem uma das principais diferenças desta formulação face à

formulação clássica, com deslocamentos nodais. Estas implicam o equilíbrio em cada uma das

entidades da fronteira, isto é, de lado ou vértice, equilibrando as forças equivalentes

correspondentes ao deslocamento assumido, Figura 4.1.

Figura 4.1 - Forças equivalentes

28

4.2.3 Compatibilidade

A compatibilidade é novamente imposta de forma fraca, sendo as deformações ponderadas pelas

mesmas funções que são usadas para aproximar os momentos. Substituindo os momentos pela sua

aproximação, obtemos a seguinte equação:

/wΩ /Ω. [ /wΩ = − /w;ΩΩ Ω (4.23)

O termo à esquerda da equação corresponde à matriz de flexibilidade, F, e às tensões iniciais, ¥,

introduzidas pela solução particular, note-se que estes termos são os mesmos que para o modelo

de Reissner-Mindlin, só que sem contabilizar a deformação por corte.

O termo à direita na equação corresponde ao principal passo da formulação híbrida de equilíbrio,

que integra por partes o integral do domínio, de forma que ³ /w ; Ω é transformado em ³( w/); Ω, que é zero, mais alguns integrais de fronteira. Assim sendo, a compatibilidade é

imposta de forma fraca, requerendo apenas a aproximação dos deslocamentos na fronteira.

Como é um operador de segunda ordem, a integração na fronteira deve ser decomposta em dois

passos. Os detalhes deste processo podem ser encontrados em [17], conduzindo à expressão:

/w ;Ω Ω = ²34 [ ²34. (4.24)

Quando se juntam as matrizes dos lados e dos vértices com as suas respetivas variáveis:

= (4.25)

3 = 33. (4.26)

O sistema governativo pode ser escrito na mesma forma que é obtida para a teoria de Reissner-

Mindlin, (4.12).

Note-se ainda que a forma triangular dos elementos híbridos de equilíbrio para lajes de Kirchhoff,

diferentemente à maioria dos outros elementos de equilíbrio, tem a propriedade muito especial de

ser cinematicamente estável, isto é, não tem modos espúrios [17].

29

CAPÍTULO 5.

REFINAMENTO

5.1 INTRODUÇÃO

Para reduzir o erro das soluções de elementos finitos, é necessário executar um refinamento da

aproximação utilizada por forma a minimizar o erro de discretização. Para tal, existem duas formas

de refinamento: uma associada à discretização dos campos por um dado conjunto de funções e

outra relativa à discretização do domínio.

Aumentando o número de graus de liberdade do sistema, é possível melhorar a qualidade das

soluções, o que pode ser conseguido com um aumento do número de elementos finitos na malha

ou aumentando o grau das funções que constituem as bases de aproximação dos campos. Estas

duas formas de aumento do número de graus de liberdade do sistema podem ser aplicadas

separadamente ou em simultâneo.

Uma outra forma de melhorar a qualidade da solução sem aumentar a dimensão do sistema

governativo é distribuindo os graus de liberdade de uma forma mais adequada. Uma das aplicações

desta estratégia será quando se verifica uma grande variação do campo de esforços, na vizinhança

de zonas de concentração de tensões. Desta forma, deve-se usar um nível de refinamento maior,

para captar, com maior precisão, o campo de esforços; para as restantes zonas no domínio em que

não se verifique uma grande variação do campo de esforços, não serão necessários níveis de

refinamento tão elevados para garantir a mesma qualidade das soluções.

O procedimento mais eficiente é o aumento do número de graus de liberdade, mas não de uma

forma igual em todo domínio da laje. A vantagem da adaptação do nível de refinamento à estimativa

do erro da solução representa uma economia do ponto de vista computacional, pois, com o mesmo

número de graus de liberdade, é possível obter soluções mais próximas da exata; sendo assim, é

possível obter soluções com igual precisão, utilizando menos graus de liberdade.

Descrevem-se agora os métodos de refinamento que se vão utilizar na presente dissertação.

30

5.2 TÉCNICAS DE REFINAMENTO

5.2.1 Refinamento p

No refinamento p há o aumento dos graus das funções de aproximação, mantendo a mesma malha.

Assim sendo, o numero de graus de liberdade associado à discretização dos campos aumenta,

enquanto que, para este tipo de formulações, o numero de elementos discretizados no domínio é

constante.

Este tipo refinamento pode ser uniforme ou não uniforme.

No refinamento p uniforme, os graus de aproximação são aumentados uniformemente em todos os

elementos finitos, no não uniforme, aumentam-se os graus dessas funções em apenas alguns dos

elementos ou em todos, mas não de um modo idêntico.

Nos lados dos elementos finitos híbridos, são aproximados os campos duais dos campos que se

aproximam no domínio. Sendo assim, para que a soluções mantenham a compatibilidade ou o

equilíbrio, o refinamento p deverá afetar também os graus das funções de aproximação dos campos

nos lados. No caso particular da formulação híbrida de tensão, os graus das funções de aproximação

dos deslocamentos nos lados, 7(), devem ter um grau pelo menos igual ao maior grau das funções

de aproximação do campo e da solução particular de esforços no domínio, /() e 2,(), e ao grau dos

esforços impostos na fronteira estática, 0.

Nesta dissertação não foi considerado o refinamento p não uniforme.

5.2.2 Refinamento h

O refinamento h consiste em subdividir a laje em elementos de menor dimensão, formando uma

malha que não altera o grau das funções de aproximação dos campos.

Ao usar o refinamento h, dever-se-ão colocar os vértices que definem a geometria da fronteira sobre

a fronteira do domínio da laje e não sobre a fronteira da primeira malha.

Quando se realiza um refinamento h, em que o domínio tem fronteiras curvas, sem posicionar os

novos vértices na fronteira do domínio, o que é refinado não é a laje real, mas uma outra laje, cuja

geometria é definida pela primeira malha de elementos finitos; este problema irá originar um erro

total significativo, associado à discretização do domínio.

Para melhorar a qualidade da solução, a malha refinada deve incluir novos elementos finitos com

vértices sobre a verdadeira fronteira da laje. Utilizando este procedimento é possível, manter a

malha regular e sem criar elementos muito distorcidos. O procedimento aconselhável é colocar os

novos vértices, que se gerariam na fronteira da malha inicial, sobre os pontos da fronteira do domínio

que lhes estejam mais próximos.

31

Note-se que, no refinamento h com pontos da fronteira, Γ, ilustrado na Figura 5.1, a nova malha não

é uma subdivisão da malha anterior, isto é, a cada refinamento, a base da malha anterior não está

contida na base da nova malha; por essa razão, não se pode garantir que as energias das soluções

provenientes de cada refinamento convergem monotonicamente para a energia da solução exata.

Figura 5.1 - Refinamento h de um domínio com fronteiras curvas.

Deixando os lados de ser rectos, as funções de aproximação dos campos no domínio, quando

calculadas nesses mesmos lados, não mantêm o grau, nem mesmo o seu tipo polinomial, levando

a que não se possa garantir as características da solução, em termos de compatibilidade e de

equilíbrio.

Na presente dissertação realizou-se um processo de remalhagem, no qual os elementos de uma

malha mais refinada não resultam da subdivisão dos elementos da malha anterior.

A validação das soluções aproximadas pode ser feita a partir de uma avaliação visual, em que se

considera que determinada solução aproximada é razoável ou boa, quando esta, por observação

dos resultados computacionais, não se desenquadra com o que é teoricamente espectável.

32

Na Figura 5.2, encontra-se ilustrado um exemplo de uma má solução, em que se pode observar, à

escala apresentada, a inexistência de compatibilidade entre lados.

Figura 5.2 - Exemplo de uma má solução, Problema 2, Malha 1, grau das funções de aproximação 2, 32

elementos – Teoria de lajes Reissner-Mindlin

Mais à frente, no capítulo 7, Figuras 7.16 e 7.17 podemos observar para a mesma laje, soluções

com um nível de refinamento muito superior, tanto a nível de grau de funções de aproximação, como

nº de graus de liberdade de deslocamento, em que, apesar de não existir compatibilidade entre

elementos, esta não é percetível à escala utilizada.

33

CAPÍTULO 6.

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

6.1 PRINCÍPIO DO MÍNIMO DA ENERGIA POTENCIAL COMPLEMENTAR

A dedução das equações que caracterizam o comportamento dos sistemas mecânicos pode ser

realizada através do cálculo variacional aplicado a funcionais de energia. Para além disso, com base

em princípios energéticos, é possível classificar um sistema em relação à estabilidade. As definições

seguintes permitirão, em capítulos posteriores, caracterizar as soluções provenientes da formulação

híbrida de equilíbrio, em termos de comparação de energias de deformação.

Neste trabalho, utilizou-se uma formulação baseada na aproximação do campo de tensões, a qual

pode ser associada à energia potencial complementar de um sistema mecânico, a qual é dada por:

E: = 9: − <: , (6.1)

em que <: é o trabalho realizado pelos deslocamentos impostos, o qual é escrito da seguinte forma

<: = 0w8 ? (6.2)

e 9: é a energia complementar de deformação, a qual é igual à energia de deformação, definida

como, [18]

9 = 1/2 µ (2!!B!! [ 2""B"" [ 2>>B>> [ 2F!"B!" [ 2F!>B!> [ 2F">B">) 7. (6.3)

Na teoria de lajes de Reissner-Mindlin, não são consideradas as tensões e deformações geradas

na espessura da laje, isto é, 2>>B>> = 0.

Para a teoria de lajes de Kirchhoff, como já foi referido no capítulo 2, não existe deformação por

corte, B!" = 0 e B"> = 0 rescrevendo-se a energia de deformação da seguinte forma

9 = 1/2 µ (2!!B!! [ 2""B"" [ 2F!"B!" ) 7. (6.4)

Para elasticidade linear, a energia de deformação pode ser escrita em função das tensões

generalizadas,

9 = 1/2 2w2 ΩΩ . (6.5)

Para problemas em que apenas existem forças aplicadas, a energia de deformação de uma solução

equilibrada é sempre maior ou igual do que a energia de deformação da solução exata, [2].

34

Um dado importante para o uso da energia de deformação é, ao contrário dos esforços que são um

parâmetro local da laje, ser um parâmetro global que permite a comparação a partir de um único

valor entre as várias lajes, para diferentes espessuras, número de elementos, grau de funções de

aproximação ou número de graus de liberdade.

O fato dos resultados a nível da energia de deformação tenderem a convergir mais rapidamente que

os deslocamentos e estes mais rapidamente que as tensões, também foi levado em consideração

de forma a reduzir os tempos e recursos que o computador teria de necessitar para obter a

convergência das soluções, fazendo uma avaliação global da sua qualidade, sem dar demasiada

importância ao valores obtidos em pontos particulares.

6.2 EXTRAPOLAÇÃO DE RICHARDSON

Para obter uma boa aproximação da energia de deformação da solução “exata”, utiliza-se a

extrapolação de Richardson, a qual permite obter essa aproximação com base num conjunto de três

soluções que se admite que terão convergência monotónica.

Esta extrapolação baseia-se na lei:

9 − 9 = &¶·, (6.6)

em que 9 é a energia de deformação, & é o número de graus de liberdade da malha % e ¸ > 0.

A partir de três malhas diferentes, % − 2, % − 1 e %, e com base na equação (6.6) é possível escrever:

9 − 9 = &¶·; (6.7)

9¶j − 9 = &¶j¶·; (6.8)

9¶+ − 9 = &¶+¶· . (6.9)

A forma como são manipuladas as expressões encontra-se em [2], sendo que a solução de referência é obtida resolvendo numericamente a equação:

9 − 99¶j − 9 = º9¶j − 99¶+ − 9» ¼½¾(¿ÀÁÂ)¶¼½¾(¿À)¼½¾(¿ÀÁm)¶¼½¾(¿ÀÁÂ). (6.10)

35

CAPÍTULO 7.

ANÁLISE DOS PROBLEMAS DE ESTUDO

7.1 INTRODUÇÃO

Este trabalho surge na sequência de estudos anteriores, nos quais se abordou a aplicação da

formulação híbrida de tensões à análise de lajes. Em [2], considerou-se um problema envolvendo a

teoria de Reissner-Mindlin, sem singularidades e usando malhas uniformes; em [19], um problema

envolvendo a teoria de Reissner-Mindlin com singularidades e refinamento adaptativo tendo sido

realizado estudos com base na taxa de convergência.

Foram também concebidos problemas para ilustrar o tipo de soluções obtidas, mostrando resultados

interessantes em termos da convergência da energia de deformação, em que um dos aspetos

importantes desses exemplos era a captação do efeito de bordo na fronteira da laje e da forma como

este afeta a qualidade das soluções.

Nestes documentos, concluiu-se que: a formulação híbrida de tensões, inicialmente desenvolvidas

para a análise de problemas de elasticidade plana, pode ser adaptada para lajes espessas,

determinação de majorantes do erro das soluções de elementos finitos, e que as contribuições para

esse majorante, obtido a partir da análise dual, constituem indicadores de onde e como a malha

pode ser refinada de uma forma eficaz.

Em [17], estudou-se a taxa de convergência para a Teoria de Kirchhoff.

Nesta dissertação, pretende-se continuar o estudo dos documentos anteriores, com base em

diferentes exemplos, de forma a explorar os efeitos já estudados e outros que possam vir a surgir.

Para esta dissertação, foram escolhidos três Problemas com diferentes características geométricas,

de carregamentos e diferentes condições de fronteira, avaliando posteriormente o seu

comportamento face às teorias de Reissner-Mindlin e Kirchhoff.

É importante referir que as unidades que serão utilizadas estão num sistema consistente, não sendo

por isso particularizado nenhum sistema na presente dissertação; pode-se, no entanto, assumir

como exemplo que qualquer comprimento está em metros (m) e que qualquer força está em

Quilonewton (kN), por estas serem as unidades mais convencionais.

As lajes representadas nos problemas seguintes terão as seguintes características:

• Módulo de Young, x = 1;

• Coeficiente de Poisson, D = 0.15;

• Espessura da Laje, ℎ = 0.01; 0.05; 0.1; 0.2 e 0.5.

As escolhas das espessuras foi feita, de forma a obter uma laje que fosse fina, espessura de 0.01,

uma laje espessa, espessura de 0.5, e três outras lajes que se encontrassem na transição de

36

espessa para fina, espessuras 0.05, 0.1 e 0.2, tendo como base os vãos utilizados e a relação «/ℎ =10, apresentada em [3], como referência, para a uma primeira avaliação quanto à espessuras das

lajes.

Os pormenores de utilização dos programas de elementos finitos [20] e de geração de malhas [21]

encontram-se no Anexo A.

7.2 PROBLEMA Nº1

No Problema nº1, consideram-se quase todos os tipos de apoios, encastrado, simples e bordo livre,

permitindo analisar as variações que resultam da sua conjugação. Tem quatro reentrâncias nos

seus cantos e ainda uma abertura centrada de 1x1, como pode ser observado na Figura 7.1.

Figura 7.1 - Problema nº1

É de notar que, aquando da avaliação deste problema pela teoria das Lajes de Reissner-Mindlin, se

podem considerar dois tipos de apoio simples, o apoio soft e o apoio hard, tal como foi referido no

Capítulo 2, tendo sido também avaliado por isso o comportamento da laje nessas duas situações.

Neste problema, fez-se o estudo para o apoio simples soft e para o apoio simples hard, na teoria de

Reissner-Mindlin, sendo que os valores da energia de deformação do modelo para apoio hard se

encontram entre os valores do modelo para o apoio soft e do modelo para a teoria de Kirchhoff.

No entanto, em termos energéticos, o apoio simples quando modelado de forma hard não se

diferencia significativamente do apoio simples modelado de forma soft. Os valores referenciados

podem ser visualizados nas tabelas 50 e 51 em Anexo.

Todos os valores apresentados para a teoria de Reissner-Mindlin terão os apoios simplesmente

modelados como apoio soft, para não alongar excessivamente o texto e por não se considerar que

os resultados obtidos para o apoio simples modelado de forma hard acresçam conclusões

suficientemente relevantes para serem debatidas.

37

A laje será carregada com uma carga uniformemente distribuída ) = 1. Foram geradas quatro

malhas, em que se simulou um refinamento h uniforme. Foi ainda realizado para as diferentes

malhas o refinamento p com funções de aproximação de momentos de grau 2, de grau 4 e de grau

6, de forma a avaliar a evolução da solução com este tipo de refinamento.

Na Figura 7.2, encontram-se representadas as malhas 1, 2 e 3 modeladas e, na Figura 7.3,

encontra-se a malha 4, com o respetivo número de elementos que resultam do refinamento h.

Figura 7.2 - Malhas 1, 2 e 3 do Problema nº1

O número de graus de liberdade, número de graus de liberdade de deslocamento, e os resultados

das energias de deformação normalizada da “solução referência”, total, por flexão e corte estão no

Anexo B.

38

Figura 7.3 - Malha 4 problema nº1

7.2.1 Energia de Deformação

Numa primeira análise, foi considerada a evolução da energia de deformação normalizada, que é a

energia de deformação multiplicada pela espessura ao cubo, por forma a dar valores iguais, para

espessuras diferentes, quando só há flexão, permitindo comparar diretamente soluções obtidas para

lajes com espessuras diferentes.

No caso da teoria de lajes de Kirchhoff, em que só há deformação por flexão, a energia normalizada

é a mesma, qualquer que seja a espessura.

No Gráfico 7.1, estão apresentados os resultados obtidos para uma espessura de 0.01, para a

Teoria das Lajes de Reissner-Mindlin e para a Teoria das Lajes de Kirchhoff, utilizando funções de

aproximação de grau dois, quatro e seis.

39

Gráfico 7.1 – Energia Deformação Normalizada, espessura=0.01

Constata-se, a partir do Gráfico 7.1, que a Energia Normalizada decresce com o aumento do número

de elementos, quando as condições de fronteiras cinemáticas são homogéneos pois, ao contrário

dos elementos finitos compatíveis, os elementos finitos equilibrados são mais flexíveis do que a

solução “exata”, levando desta forma a soluções que convergem pelo lado superior.

É ainda de salientar que a laje e os elementos na Teoria de Reissner-Mindlin são mais flexíveis que

a laje e os elementos na Teoria de Kirchhoff, devido à existência, na primeira teoria, de deformação

por corte, que, como já foi referido no Capítulo 3, não existe na Teoria de Kirchhoff, tornando esta

mais rígida.

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

10 100 1000 10000 100000

Uto

tal

No

rma

liza

da

Nº de Elementos

RM grau 2

RM grau 4

RM grau 6

KT grau 2

KT grau 4

KT grau 6

40

7.2.2 Convergência da Solução com a Evolução do Refinamento

Pretende-se a partir desta avaliação perceber a convergência da solução em termos energéticos, isto é, a

evolução do erro relativo da energia de deformação (Ã¶Ã~Ã~ ), para 9! obtida pela extrapolação de Richardson

para as três últimas malhas de grau 6, e com os valores na Tabela 1 em Anexo, com o aumento do nº de

graus de liberdade de deslocamento das malhas concebidas, que correspondem à dimensão mais pequena do

sistema algébrico a resolver, obtidos por eliminação dos graus de liberdade de tensão, e que permitem uma

economia dos recursos utilizados, quando se realiza um refinamento h e um refinamento p, para a teoria de

lajes de Kirchhoff e para a teoria de lajes de Reissner-Mindlin, em que nesta última teoria se determina também

a taxa de convergência para cada espessura. Para tal elaboraram-se os gráficos 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 e 7.6,

referentes à teoria de Reissner-Mindlin e o gráfico 7.7, referente à teoria de Kirchhoff.

Gráfico 7.2 - Erro Relativo da Energia de Deformação para a espessura=0.01 - Reissner-Mindlin


0,001

0,01

0,1

1

100 1000 10000 100000 1000000

Err

o R

ela

tiv

o d

a E

ne

rgia

de

De

form

açã

o

Nº de Graus de Liberdade

grau 2 esp=0.01

grau 4 esp=0.01

grau 6 esp=0.01

0,001

0,01

0,1

1

100 1000 10000 100000 1000000

Err

o R

ela

tiv

o d

a E

ne

rgia

de

De

form

açã

o


grau 2 esp=0.05

grau 4 esp=0.05

grau 6 esp=0.05

41



0,001

0,01

0,1

1

100 1000 10000 100000 1000000

Err

o R

ela

tiv

o d

a E

ne

rgia

de

De

form

açã

o


grau 2 esp=0.1

grau 4 esp=0.1

grau 6 esp=0.1

0,001

0,01

0,1

1

100 1000 10000 100000 1000000

Err

o R

ela

tiv

o d

a E

ne

rgia

de

De

form

açã

o


grau 2 esp=0.2

grau 4 esp=0.2

grau 6 esp=0.2

42

Gráfico 7.6 - Erro Relativo da Energia de Deformação para a espessura=0.5 –Reissner-Mindlin

Para a Teoria de Lajes de Reissner-Mindlin, existe uma espessura para a qual a taxa de

convergência é máxima; a taxa de convergência foi máxima para h=0.05, isto porque existe um

menor efeito da deformação por corte, exceto na transição de 0.05 para 0.01, em que se dá uma

diminuição da taxa de convergência devido ao aparecimento do efeito de bordo.

Gráfico 7.7 - Erro Relativo da Energia de Deformação - Kirchhoff

Pela visualização da Tabela 7.1, é possível verificar que, para a teoria das lajes de Kirchhoff, a taxa

de convergência é a menor, ou seja, a convergência dá-se mais lentamente com a evolução do

número de graus de liberdade do que com qualquer espessura para a teoria das lajes de Reissner-

Mindlin, porque as singularidades têm um maior efeito.

Caso se tivesse analisado uma espessura mais pequena para a teoria de Reissner-Mindlin era de

esperar que esta se aproximasse ainda mais da teoria de Kirchhoff.

0,001

0,01

0,1

1

100 1000 10000 100000 1000000

Err

o R

ela

tiv

o d

a E

ne

rgia

de

De

form

açã

o


grau 2 esp=0.5

grau 4 esp=0.5

grau 6 esp=0.5

0,001

0,01

0,1

1

100 1000 10000 100000 1000000

Err

o R

ela

tiv

o d

a E

ne

rgia

de

De

form

açã

o


grau 2

grau 4

grau 6

43

Tabela 7.1 - Declives finais do Erro Relativo da Energia de Deformação

É de referir que, devido à existência de singularidades resultantes da conjugação dos diferentes

apoios nos bordos da laje nas teorias de Reissner-Mindlin e Kirchhoff, que podem ser observados

nas Figuras 7.4 a 7.7 e também na Figura 7.12, a taxa de convergência para o refinamento h

uniforme não varia com o grau da função de aproximação e a taxa de convergência para o

refinamento p uniforme é aproximadamente quádrupla do refinamento h, tal como sucede para

elementos compatíveis e para os elementos de equilíbrio em elasticidade plana e tridimensional.

7.2.3 Energia de Deformação por Corte – Teoria das Lajes de Reissner-

Mindlin

Na teoria de Reissner-Mindlin, existe deformação por corte, como já foi referido no Capítulo 2, sendo

desta forma importante a sua análise.

Nos gráficos 7.8 e 7.9 estão representadas a energia de corte em função do número de graus de

liberdade de deslocamento e a energia de corte em percentagem de 9, também em função do

número de graus de liberdade de deslocamento.

A parcela da densidade de energia de deformação devido ao corte é igual a z3!+ [ 3"+ × j+(jon)pkl ,

em que a constante envolvida resulta da relação esforço transverso – distorção, de acordo com

(2.13). Nas Figuras 7.4 a 7.7, representa-se apenas a parcela z3!+ [ 3"+, que é independente da

espessura e do material, tornando mais fácil o seu entendimento.

Reissner-Mindlin

0.01

Reissner-Mindlin

0.05

Reissner-Mindlin

0.1

Reissner-Mindlin

0.2

Reissner-Mindlin

0.5Kirchhoff

Grau 2 0,498 0,630 0,545 0,450 0,386 0,322

Grau 4 0,527 0,589 0,490 0,437 0,393 0,300

Grau 6 0,472 0,609 0,550 0,506 0,435 0,279

44

Gráfico 7.8 - Energia de Corte por Número de Graus de Liberdade de deslocamento

100,00

1 000,00

10 000,00

100 000,00

1 000 000,00

500 5000 50000 500000

Ener

gia

de

Co

rte

(Uco

rte)

Nº de Graus de Liberdade de deslocamentos

0,5 grau 2 0,5 grau 4 0,5 grau 6

0,2 grau 2 0,2 grau 4 0,2 grau 6

0,1 grau 2 0,1 grau 4 0,1 grau 6

0,05 grau 2 0,05 grau 4 0,05 grau 6

0,01 grau 2 0,01 grau 4 0,01 grau 6

45

Gráfico 7.9 - Percentagem de Energia de Corte por Número de Graus de Liberdade de deslocamento

Com o aumento do número de graus de liberdade, como se pode visualizar a partir dos Gráficos

7.8. e 7.9., a dispersão das energias de corte em valor real e em percentagem diminui; isto porque,

com o aumento do número de elementos inerentes ao refinamento das malhas e também pelo

aumento do grau das funções de aproximação, existe uma melhor captação do efeito de deformação

por corte, levando à sua convergência para o valor “exato”. Note-se que, em ambos os gráficos, as

energias estão a convergir, para o número de graus de liberdade testados, exceto para a espessura

de 0.01, para a qual seria necessário analisar, pelo menos, ou uma malha mais refinada ou aumentar

0,01%

0,10%

1,00%

10,00%

100,00%

500 5000 50000 500000

Ener

gia

de

Co

rte

Uco

rte

(%)


0,5 grau 2 0,5 grau 4 0,5 grau 6

0,2 grau 2 0,2 grau 4 0,2 grau 6

0,1 grau 2 0,1 grau 4 0,1 grau 6

0,05 grau 2 0,05 grau 4 0,05 grau 6

0,01 grau 2 0,01 grau 4 0,01 grau 6

46

o grau das funções de aproximação. O efeito que faz com que a convergência se dê de forma mais

lenta é o efeito de bordo que surge nos bordos livres e bordos com apoio simplesmente apoiados.

Este efeito é visível nas Figuras 7.5 e 7.6 para uma espessura 0.01 e 0.1, para a malha mais refinada

testada, e não está presente para uma espessura 0.5, também para a malha mais refinada testada,

Figura 7.4. Note-se ainda que, dado o facto de na Figura 7.7 ter sido usada uma malha pouco

refinada e funções de aproximação de grau 2, praticamente não se capta a influência do efeito de

bordo e singularidades.

Outra ilação de interesse é o facto de a energia de corte aumentar com a diminuição da espessura,

devido ao aumento de deformabilidade da laje.

No entanto, a percentagem de energia de corte diminui, esta ocorrência dá-se porque a energia de

deformação por flexão aumenta na proporção inversa de ℎQ, enquanto a energia de deformação por

corte aumenta na proporção inversa de ℎ.

Devido a estes fatores, para ℎ = 0.5, 9:¨ diminui com o numero de graus de liberdade, tal como 9 e para ℎ = 0.05 ou 0.01 9:¨ aumenta com o numero de graus de liberdade, ao contrário de 9.

Figura 7.4 - Densidade de Energia de Deformação devido ao Corte Normalizada, Espessura 0.5, Malha 4,

grau 6

47


grau 6

Figura 7.6 - Densidade de Energia de Deformação devido ao Corte Normalizada, Espessura 0.01, Malha 1, grau 2

48


grau 6

Uma conclusão ainda a retirar sobre os Gráficos 7.8 e 7.9 é que a espessura 0.5 corresponde

realmente a uma laje “espessa”, pois 9:¨ diminui com o número de graus de liberdade e a

espessura 0.01 é fina, pois, como se observa pela Figura 7.6, surge o efeito de bordo, que de resto

é um efeito característico de uma laje fina na teoria de lajes de Reissner-Mindlin. Observa-se ainda

que a diferença que se encontra no gráfico 7.9, quanto à percentagem de energia de deformação

ao corte, para espessura 0.01 nas malhas 1 e 4, está relacionada com a capacidade de as malhas

representarem o efeito de bordo e singularidades, como pode ser observado nas figuras 7.6 e 7.7.

49

7.2.4 Energia de Deformação por Flexão – Comparação entre Teorias

A energia de deformação por flexão existe em ambas as teorias, tendo sido por isso avaliada a

evolução deste efeito. No Gráfico 7.10, é apresentada a relação da Energia de Flexão obtida pela

teoria de Reissner-Mindlin (Uflexão RM) com a Energia de Flexão pela teoria de Kirchhoff (Uflexão

KT), ambas em função da espessura.

Gráfico 7.10 - Relação Uflexão RM/Uflexão KT em função da Espessura da Laje

Identicamente ao que sucede à energia de deformação por corte, também na energia de deformação

por flexão, ao aumentar o número de graus de liberdade ou o número de elementos por malha,

rapidamente diminui a dispersão nos resultados obtidos, pelo que não se apresentam os resultados

da energia de flexão para todas as malhas e graus.

O Gráfico 7.10 permite constatar que, para espessuras na ordem dos 0.1 e inferiores, a teoria de

lajes de Kirchhoff obtém valores de energia de deformação por flexão muito aproximados dos da

teoria de lajes de Reissner-Mindlin, com uma diferença inferior a 10%, isto para malhas com um

nível de refinamento não muito baixo.

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

0,01 0,1 1

Ufl

exã

o R

M/U

fle

xão

KT

Espessura da Laje

Malha 1 grau 2

Malha 1 grau 4

Malha 1 grau 6

Malha 2 grau 2

Malha 2 grau 4

Malha 4 grau 2

Malha 4 grau 6

50

7.2.5 Deformadas

Na Figura 7.8 apresenta-se a deformada dos lados dos elementos para teoria de Reissner-Mindlin,

para a malha menos refinada e com função de aproximação de grau 2, onde é possível verificar as

descontinuidades nos vértices dos elementos finitos.

Figura 7.8 - Deformada Malha 1 Espessura 0.01 - Grau 2

Na Figura 7.9, exibe-se a deformada da laje com a malha mais refinada e com funções de

aproximação de grau 6, para a teoria de Reissner-Mindlin. Com o refinamento apresentado, não são

visíveis, apesar de existirem, as descontinuidades entre elementos, para a escala apresentada.

Figura 7.9 - Deformada Malha 4 Espessura 0.01 - Grau 6

51

Nas figuras anteriores só se exibem as deformadas para a teoria de Reissner-Mindlin, por serem

visualmente iguais às que se obteveram a partir da teoria de Kirchhoff.

7.2.6 Campos de Esforços e de Densidade de Energia de Deformação

Nesta secção, começa-se por apresentar os valores característicos dos campos de esforços e o

campo da densidade de energia de deformação normalizada.

Optou-se por considerar, para este efeito, a laje para a teoria de Reissner-Mindlin, espessura 0.1,

melhor malha e de grau de funções de aproximação 6.

Figura 7.10 - Campos de Esforços e Campo da densidade de Energia de Deformação Normalizada para

teoria de Reissner-Mindlin, espessura 0.1, malha 4 e 6º grau de funções de aproximação.

52

Apresenta-se em seguida a diferença entre as a teoria das lajes de Reissner-Mindlin e a teoria das

lajes de Kirchhoff, para as melhores soluções obtidas, para as espessuras mais grossa e mais fina,

sendo estas aquelas em que se obtém maiores diferenças e semelhanças, respetivamente, em

termos dos campos de esforços e campo da densidade de energia de deformação normalizada,

conforme apresentados nas Figura 7.11 e 7.12.

Figura 7.11 - Diferença dos Campos de Esforços e Campo da densidade de Energia de Deformação

Normalizada entre a teoria de Reissner-Mindlin e a Teoria de Kirchhoff. para a Espessura de 0.5, Malha 4 com Funções de Aproximação de Grau 6

53


Normalizada entre a teoria de Reissner-Mindlin e a Teoria de Kirchhoff para a Espessura 0.01, Malha 4 com Funções de Aproximação de Grau 6

54

7.3 PROBLEMA Nº2

O problema em questão tem como objetivo de estudo, a particularidade de ter uma carga unitária

aplicada em “faca” desde as coordenadas (L, M) = (8/3 , 0), até às coordenadas (L, M) = (8/3 , 3), e

um apoio simples, modelado de forma soft, reentrante no domínio da laje desde as coordenadas (L, M) = (4/3 , 2), até às coordenadas (L, M) = (4 , 2). Os bordos da laje estão modelados com

apoios de encastramento e apoios simples soft, como se ilustra na Figura 7.13.


Neste problema, só se realizou o estudo da solução para funções de aproximação de grau 6, por os

resultados não apresentarem ilações significativamente diferentes das que se obtiveram pelo

problema 1.

As malhas consideradas para o desenvolvimento do problema encontram-se na Figura 7.14 e 7.15

Figura 7.14 - Malhas 1 e 2 do Problema 2

55

Figura 7.15 – Malhas 3, 4 e 5 do Problema 2

7.3.1 Convergência da Solução com a Evolução do Refinamento h

É apresentada nos Gráficos 7.11 e 7.12, a evolução do erro relativo da energia de deformação

(Ã¶Ã~Ã~ ), para 9! obtida pela extrapolação de Richardson para as três últimas malhas, e com os

valores na Tabela 1 em Anexo, sendo mais uma vez de interesse, em termos energéticos, ter a

perceção da taxa de convergência dos resultados obtidos face à solução “exata”, quando uma laje

é submetida a um carregamento de faca e/ou um apoio reentrante no seu domínio.

56

Gráfico 7.11 - Erro Relativo da Energia de Deformação - Kirchhoff

Na Tabela 7.2 encontra-se o declive final do erro relativo da energia de deformação para a teoria de

lajes de Kirchhoff.

Tabela 7.2 - Declive final - Kirchhoff

1E-08

0,0000001

0,000001

0,00001

0,0001

100 1000 10000 100000 1000000

Err

o R

ela

tiv

o d

a E

ne

rgia

de

De

form

açã

o

Nº de Graus de Liberdade de deslocamento

Kirchhoff

Kirchhoff

declive 0,75

57

Gráfico 7.12 - Erro Relativo da Energia de Deformação - Reissner-Mindlin

Tabela 7.3 - Declives finais - Reissner-Mindlin

Com os resultados obtidos podemos concluir que, exceto para a espessura 0.01, a taxa de

convergência de elementos de Reissner-Mindlin é superior à das de Kirchhoff. Como esperado, a

espessura 0.01 é a que se mais aproxima da solução da teoria de Kirchhoff.

Um dado análogo aos resultados do problema nº1 é a taxa de convergência para a teoria de lajes

de Reissner-Mindlin para a espessura 0.1 ser a maior, dado ser uma espessura de transição, poder-

se-á dar o caso de não ser afetada nem pela deformação por corte, como para as espessuras

maiores, nem pelo efeito de bordo, como para as espessuras menores, resultando desta forma uma

convergência mais rápida para a solução “exata”.

1E-08

0,0000001

0,000001

0,00001

0,0001

0,001

0,01

1000 10000 100000 1000000

Err

o R

ela

tiv

o d

a E

ne

rgia

de

De

form

açã

o


Reissner-Mindlin 0.01





Reissner-Mindlin

0.01

Reissner-Mindlin

0.05

Reissner-Mindlin

0.1

Reissner-Mindlin

0.2

Reissner-Mindlin

0.5

declives 0,58 1,74 2,58 1,73 1,76

58

7.3.2 Deformadas

Nas Figuras 7.16 e 7.17 estão ilustradas as deformadas da teoria de Reissner-Mindlin, para a

malha menos refinada (1) e para a malha mais refinada (5), espessura 0.01.

Figura 7.16 - Deformada Malha 1, Espessura 0.01

Figura 7.17 - Deformada Malha 5, Espessura 0.01

Mais uma vez, só se exibe a deformada da teoria de Reissner-Mindlin, dado ao fato das deformadas

resultantes da teoria de Kirchhoff não apresentarem diferenças visualmente percetíveis à escala

apresentada.

59

7.3.3 Campos de Esforços e de Densidade de Energia de Deformação

Mais uma vez, começa-se por apresentar os valores característicos do campo de esforços e campo

de densidade de energia de deformação, para a malha mais refinada, espessura 0.1, teoria de

Reissner-Mindlin, a partir da Figura 7.18.

Figura 7.18 - Campos de Esforços e Campo da densidade de Energia de Deformação Normalizada para

teoria de Reissner-Mindlin, espessura 0.1, malha 5.

Nas Figura 7.19 e 7.20 ilustra-se a diferença entre os campos de esforços e de densidade de energia

de deformação, da teoria de lajes de Reissner-Mindlin com a teoria de lajes de Kirchhoff, para a

espessura 0.01 e para 0.5, que foram as espessuras mais fina e mais espessa consideradas na

dissertação.

60


Normalizada entre a teoria de Reissner-Mindlin e a Teoria de Kirchhoff. para a Espessura 0.01, Malha 5

61


Normalizada entre a teoria de Reissner-Mindlin e a Teoria de Kirchhoff. para a Espessura 0.5 Malha 5

Com base nas figuras anteriormente apresentadas, verifica-se que a teoria de lajes de Reissner-

Mindlin obtém resultados idênticos aos obtidos pela teoria de lajes de Kirchhoff para a espessura

fina de 0.01, como seria de esperar. As diferenças de maior relevo surgem nos bordos simplesmente

apoiados devido ao efeito de bordo.

A espessura 0.5 apresenta diferenças de maior ordem, devido à existência de deformação por corte,

o que já foi documentado na secção 7.2. No gráfico 7.13 mostra-se a evolução da percentagem de

energia de corte com a espessura, justificando os resultados obtidos nas Figuras 7.19 e 7.20.

62

Gráfico 7.13 - Energia de Deformação por Corte (%)

A clara diferença na percentagem de energia de deformação por corte demonstra os valores

observados nos campos de esforços e na energia de deformação.

63

7.4 PROBLEMA Nº3

No problema nº3, pretende-se estudar o efeito da implementação de um apoio pontual e de uma

carga pontual nas teorias de lajes, Figura 7.21.

A laje é por isso carregada com uma força concentrada de 1 &, nas coordenadas (L, M) = (3 , 3),

ou com uma carga distribuída estaticamente equivalente.


Não sendo possível implementar apoios ou cargas pontuais na teoria de lajes de Reissner-Mindlin,

recorreu-se à implementação de apoios simples, modelados na forma soft, com uma geometria

quadrada, e com uma dimensão quatrocentas vezes inferior aos lados da laje, do tipo “pilar”.

O “pilar” foi modelado de duas formas, com e sem abertura, isto é, estando o “pilar” com laje no seu

interior e o “pilar” com vazio no interior, com o objetivo de analisar as diferenças que uma possível

modelação possa vir a causar. Em ambas as modelações foi efetuado um carregamento com uma

carga distribuída estaticamente equivalente a 1 & nos bordos do quadrado formulado para

representar a carga pontual.

Por forma a examinar em maior detalhe as disparidades que a implementação de apoios e cargas

pode causar no modelo, também se criaram os modelos de pilares e carregamento quadrados para

a teoria de lajes de Kirchhoff.

64

Neste problema, optou-se por apresentar três grupos de malhas diferentes, todas de elementos de

grau seis:

• 1º Grupo - Uma malha com um nível de refinamento que garante a qualidade das soluções

estudadas, às escalas apresentadas, para os modelos de “pilar preenchido” e “pilar vazio”,

tendo sido utilizada para a comparação de campos de esforços, campo de deformação de

energia e deformadas obtidas;

• 2º Grupo – Quatro malhas para a avaliação do modelo de carga e apoio pontual;

• 3º Grupo – Quatro malhas para avaliar a convergência da solução do modelo de “pilar

preenchido”, de forma a que a convergência esteja em regime assintótico.

Nas Figuras 7.22, 7.23, 7.24 e 7.25, ilustram-se os três grupos de malhas estudadas para o

problema 3.

A criação de malhas no programa Gmsh envolve alguma aleatoriedade, não tendo sido controlado

com rigor o número de elementos gerados, quando se implementou um refinamento h.

Quando modelada a laje com “pilar” vazio, com 6532 elementos e “pilar” preenchido, com 6524

elementos, a diferença entre as malhas em relação ao número de elementos é pouco significativa.

Na Figura 7.22 só se apresenta a malha para o modelo de pilar “preenchido”.

A discrepância entre os modelos de “pilar” e o modelo de apoio pontual, resulta da utilização do

programa Gmsh, que refina de uma forma diferente para o modelo de pilar e para o modelo de apoio

pontual. Devido a esta situação, o refinamento para o apoio pontual envolveu maior número de

elementos do que o necessário. Apesar de não ser a forma mais correta de comparar as duas

soluções, por as malhas não terem o melhor refinamento possível, considera-se que estas têm uma

qualidade suficientemente boa para fazer uma avaliação das suas diferenças.

65

Figura 7.22 – 1º Grupo de Malhas; Modelado com Pilar "preenchido" e "vazio "

66

Figura 7.23 – 2º Grupo de Malhas; Modelado com apoio pontual

67

Figura 7.24 - 3º Grupo de Malhas; Modelo "pilar preenchido"

68

Figura 7.25 - 3º Grupo de Malhas; Modelo "pilar preenchido"; ampliação da zona de apoio

7.4.1 Comparação de Pilar “Preenchido” e Pilar “Vazio”

Como seria de esperar as diferenças entre as duas lajes, com a modelação de pilar “preenchido” e

pilar “vazio” não tem diferenças muito significativas dadas as dimensões do pilar.

Nas Figuras 7.26 e 7.27, ilustram-se as diferenças dos dois modelos, para a teoria de lajes de

Reissner-Mindlin, e na Figura 7.28 as diferenças para a teoria de lajes de Kirchhoff, com recurso ao

1º Grupo de Malhas.

69

Figura 7.26 - Diferença do Modelo de pilar "preenchido" e pilar "vazio” esp=0.5 - Reissner-Mindlin

70

Figura 7.27 - Diferença do Modelo de pilar "preenchido" e pilar "vazio” esp=0.01 - Reissner-Mindlin

Com base nas Figuras 7.26 e 7.27 observamos que não existem diferenças significativas, à escala

indicada, para a espessura 0.5. No entanto, para a espessura 0.01, é visível a diferença nos campos

de esforços transversos e no campo de densidade de energia de deformação, podendo esta

discrepância ser causada pelo aumento de rigidez que o pilar “preenchido” tem, em relação ao pilar

“vazio”, que desta forma provoca a diminuição da energia de deformação por corte e o consequente

aumento dos valores dos campos de esforço transverso.

O aumento de rigidez do pilar “preenchido” terá ainda como efeito o aumento da rigidez da própria

laje, explicando desta forma a diferença existente, no efeito de bordo, entre os dois modelos.

71

Figura 7.28 - Diferença do Modelo de pilar "preenchido" e pilar "vazio” – Kirchhoff

Devido à teoria de lajes de Kirchhoff não considerar a deformação por corte, as diferenças dos

modelos são mínimas, resultando unicamente do efeito de canto e singularidades que esvanecem

com o refinamento, como se pode observar na Figura 7.28.

72

7.4.2 Convergência da Solução com a Evolução do Refinamento

A convergência da solução, mais uma vez, permitirá retirar importantes ilações sobre os modelos

usados, nomeadamente os que se aproximam mais rapidamente da solução exata consumindo

menos recursos, por exemplo tempo de processamento de resultados.

Com base no erro relativo da energia de deformação (Ã¶Ã~Ã~ ), para 9! obtida pela extrapolação de

Richardson para as três últimas malhas, e com os valores na Tabela 1 em Anexo, realizou-se mais

uma vez o estudo da convergência das soluções geradas.

Começa-se por comparar, para a teoria de lajes de Kirchhoff, o modelo de “pilar preenchido” e o

modelo de apoio pontual tendo sido obtido os seguintes resultados que se ilustram no Gráfico 7.14

e na Tabela 7.4.

Gráfico 7.14- Erro Relativo da Energia de Deformação - Modelo de "pilar preenchido" e Modelo de apoio

pontual – Kirchhoff

Tabela 7.4 – Declives finais - Modelo de "pilar preenchido" e Modelo de apoio pontual - Kirchhoff

Por observação dos dados anteriormente apresentados, podemos constatar que, para além do

modelo de apoio pontual ter uma taxa de convergência superior à taxa de convergência do modelo

de “pilar preenchido”, também para o mesmo número de graus de liberdade de deslocamento

concluímos que a solução do modelo de apoio pontual está mais perto da sua solução “exata” que

o modelo de “pilar preenchido”.

1E-09

1E-08

0,0000001

0,000001

0,00001

0,0001

0,001

0,01

10000 100000 1000000

Err

o R

ela

tiv

o d

a E

ne

rgia

de

De

form

açã

o


Modelo de "pilar preenchido"

Modelo de apoio pontual

Modelo de

"pilar preenchido"

Modelo de apoio

pontual

declives 0,26 2,08

73

Estes resultados podem ser explicados pelo simples fato de no modelo de “pilar preenchido”

existirem singularidades causadas pelo efeito de canto, resultado da modelação do apoio quadrado,

que leva desta forma a que a convergência se dê de forma mais lenta.

Em seguida faz-se a mesma avaliação, pelo erro relativo da energia de deformação, para a

comparação das espessuras de estudo para a teoria de Reissner-Mindlin, com o modelo de “pilar

preenchido”. Esta comparação está apresentada no Gráfico 7.15 e Tabela 7.5.

Gráfico 7.15 - Erro Relativo da Energia de Deformação Modelo de “pilar preenchido” - Reissner-Mindlin

Tabela 7.5 - Declives finais Modelo de "pilar preenchido" - Reissner-Mindlin

A taxa de convergência é semelhante em ambas as espessuras, à exceção da espessura 0.01, que

provavelmente devido ao efeito de bordo levará a que esta se dê mais lentamente.

Outro dado importante a referir é que a convergência se dá mais rapidamente pela teoria de

Kirchhoff do que pela teoria de Reissner-Mindlin, resultado este que pode surgir pela ausência da

influência de deformação por corte.

0,000001

0,00001

0,0001

0,001

0,01

10000 100000 1000000

Err

o R

ela

tiv

o d

a E

ne

rgia

de

De

form

açã

o







Reissner-Mindlin

0.01

Reissner-Mindlin

0.05

Reissner-Mindlin

0.1

Reissner-Mindlin

0.2

Reissner-Mindlin

0.5

declives 0,24 1,01 0,98 0,94 1,04

74

7.4.3 Campo de Esforços e de Densidade de Energia de Deformação

Apresentam-se em seguida os valores característicos do campo de esforços e campo da densidade

de energia de deformação normalizada, para espessura 0.1, malhas mais refinadas, o modelo de

pilar “preenchido” para teoria de Reissner-Mindlin na Figura 7.29, e modelo de apoio pontual para a

teoria de Kirchhoff na Figura 7.30.

Figura 7.29 - Campo de Esforços e Campo da densidade de Energia de Deformação Normalizada para o

Grupo nº1 de malhas, Modelo "pilar preenchido", espessura 0.1, teoria de Reissner-Mindlin.

75

Figura 7.30 - Campo de Esforços e Campo da densidade de Energia de Deformação Normalizada para o

Grupo nº2 de malhas, malha 4, Modelo apoio pontual, teoria de Kirchhoff.

Na Figura 7.31, apresenta-se a diferença entre a teoria de lajes de Kirchhoff, modelado com apoio

e carregamento pontual, e a teoria de lajes de Kirchhoff, modelado com pilar “preenchido” e

carregamento quadrado, a partir do 2º Grupo de malhas e 1º Grupo de malhas, respetivamente.

76

Figura 7.31 - Diferença do Modelo de carga pontual e Modelo de pilar “preenchido” - Kirchhoff

O efeito de canto e o aumento de rigidez existente com o pilar “preenchido” mais uma vez poderão

ter como consequência as desigualdades que se encontram ilustradas na figura anterior.

Compara-se em seguida a teoria de lajes de Kirchhoff, modelada com apoio pontual e a teoria de

lajes de Reissner-Mindlin, modelado com um pilar “preenchido”, para a espessura 0.5, Figura 7.32,

e para a espessura 0.01, Figura 7.33, novamente a partir do 2º Grupo de malhas e 1º Grupo de

malhas, respectivamente.

77

Figura 7.32 - Diferença do Modelo de carga pontual, teoria de lajes de Kirchhoff, com Modelo de pilar

“preenchido”, teoria de lajes de Reissner-Mindlin – espessura 0.5

78

Figura 7.33 - Diferença do Modelo de carga pontual, teoria de lajes de Kirchhoff, com Modelo de pilar

“preenchido”, teoria de lajes de Reissner-Mindlin – espessura 0.01

As desigualdades apresentadas na Figura 7.32, com espessura de 0.5, para os dois modelos,

resulta do efeito de bordo, em que os valores não “picam”, como para a espessura 0.01, devido às

tensões tangenciais serem inferiores e se poderem distribuir por uma maior área. Na Figura 7.33,

para além do efeito de bordo, ainda existe o efeito de canto que se verifica no modelo de pilar

“preenchido” e não se verifica no modelo de apoio pontual.

79

Por fim, avalia-se as disparidades que surgem entre a diferença dos modelos, ambos com pilar

“preenchido”, para as teorias de lajes de Reissner-Mindlin e Kirchhoff, Figuras 7.34 e 7.35, a partir

do 1º Grupo de malhas.

Figura 7.34 - Diferença entre o Modelo com pilar "preenchido" na teoria de laje Reissner-Mindlin com o

Modelo com pilar "preenchido" na teoria de laje Kirchhoff – Espessura 0.5

As discrepâncias existentes devem-se à existência, mais uma vez, de deformação por corte na

teoria de laje de Reissner-Mindlin e da sua inexistência na teoria de laje de Kirchhoff.

80

Figura 7.35 - Diferença entre o Modelo com pilar "preenchido" na teoria de laje Reissner-Mindlin com o

Modelo com pilar "preenchido" na teoria de laje Kirchhoff – Espessura 0.01

Dado a deformação por corte reduzir com a diminuição da espessura, as diferenças verificadas na

Figura 7.35 resultam essencialmente do efeito de bordo da teoria de laje de Reissner-Mindlin e

devido às singularidades na teoria de laje de Kirchhoff.

81

7.4.4 Evolução da Energia de Deformação por Corte (%) com a

Espessura

A evolução da percentagem de energia de deformação por corte com a espessura da laje, encontra-

se apresentada no Gráfico 7.12.

Gráfico 7.16 - Energia de Deformação por Corte (%) em função da espessura

É possível observar pelo gráfico que a percentagem de energia de deformação por corte diminui da

espessura de 0.5 para 0.1, transição essa que se considera a laje espessa, e em que ocorre a

evolução espectável, contudo, na transição 0.1 a 0.05 dá se um aumento da percentagem de energia

de deformação por corte, que neste caso não seria de esperar, este efeito pode ocorrer devido ao

efeito de bordo, voltando a descer da espessura 0.05 para 0.01, ou seja, voltando a ter a evolução

espectável.

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

12,00%

14,00%

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Ener

gia

de

Def

orm

ação

de

Co

rte

(%)

Espessura

Malha 1

Malha 2

Malha 3

Malha 4

82

A Figura 7.36 ilustra a diferença entre os campos de esforços e o campo da densidade de energia

de deformação normalizadaentre a transição 0.1 para 0.05, permitindo visualizar a sua diferença.

Figura 7.36 - Diferença de Campos de Esforços e Campo da densidade de Energia de Deformação

Normalizadaentre a espessura 0.1 e 0.05 – Reissner-Mindlin

83

7.4.5 Deformadas

As deformadas obtidas para a teoria de laje Reissner-Mindlin, para a laje modelada com pilar

“preenchido”, são ilustradas nas Figuras 7.37 e 7.38, para uma espessura de 0.01.

Figura 7.37 - Deformada Malha 1 – Modelo Pilar “preenchido”

Figura 7.38 - Deformada da Malha 4 Modelo Pilar “preenchido”

A alteração da espessura ou alteração da teoria de laje, para a de Kirchhoff, não altera as Figuras

a nível visual, no entanto, os valores dos deslocamentos sofrem alterações.

84

As deformadas dos modelos com apoio e carregamento pontual, da teoria de lajes de Kirchhoff,

para a malha menos refinada e mais refinada, encontram-se ilustradas nas Figuras 7.39 e 7.40.

Figura 7.39 - Deformada Malha 1 - Modelo Pontual

Figura 7.40 - Deformada Malha 4 - Modelo Pontual

A diferença de valores na deformada dos dois modelos pode-se justificar pela maior rigidez que o apoio do tipo “pilar preenchido” tem em relação ao modelo de apoio pontual.

85

CAPÍTULO 8.

CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS

8.1 CONCLUSÕES

Nesta dissertação, apresentaram-se as variáveis e as condições que caracterizam o comportamento

das lajes de Reissner-Mindlin e lajes de Kirchhoff, em regime elástico linear.

A utilização da formulação híbrida de equilíbrio tem a vantagem sobre a formulação clássica do

método dos elementos finitos de obter resultados do lado da segurança e de não ter a influência do

efeito de travamento por corte, apesar dos tempos de processamento serem maiores, em teoria, do

que os da formulação clássica.

Um dos fatores que condiciona a convergência da solução, quando esta é avaliada pelo erro relativo

da energia de deformação, são as singularidades provocas pela interação das condições de

fronteira, no caso da teoria de Reissner-Mindlin, o efeito de bordo e energia de deformação por corte

com a variação da espessura influencia a taxa de convergência.

Para o caso do 1º Problema, podemos também concluir que da utilização de apoio simples soft ou

hard, não se obtém diferenças suficientemente relevantes quanto à apreciação energética, campos

de deformação ou deformada da laje.

Quanto ao 2º Problema, que continha um apoio simples reentrante no domínio e um carregamento

em “faca”, nenhuma das avaliações efetuadas obteve resultados de grande relevância.

No 3º Problema, a modelação do pilar “preenchido”, comparativamente com a modelação do pilar

“vazio” não apresentou grandes diferenças tanto a nível de campos de esforços, energia de

deformação ou ainda da deformada da laje. Já na modelação de apoio pontual para a teoria de lajes

de Kirchhoff, comparativamente com a modelação de pilar “preenchido” para a teoria de laje de

Reissner-Mindlin, para além das esperadas diferenças resultantes da energia de deformação,

causadas pela rigidificação que esta modelação provoca, também surge o efeito de canto na

modelação de pilar “preenchido”, que justifica as diferenças apresentadas por ambos nos campos

de esforços e energia de deformação.

86

A partir da dissertação é possível ainda concluir que o refinamento usado condiciona

significativamente a solução obtida, tanto a nível de convergência como a nível de precisão de

resultados obtida.

8.2 TRABALHOS FUTUROS

Para trabalhos futuros, seria conveniente a avaliação da qualidade de malhas menos refinadas do que apresentadas nesta dissertação e também malhas mais refinadas, de forma a aprofundar os macro e micro efeitos que são obtidos pelas diferentes teorias.

Será também conveniente realizar um estudo numérico e eventualmente teórico por forma a quantificar as singularidades e também efeito de bordo que surgem nos problemas estudados nesta dissertação.

Realizar os mesmos estudos para problemas com fronteiras curvas, de forma a avaliar as suas condicionantes.

Outro trabalho futuro será também realizar um estudo particular quanto à espessura de transição entre a laje fina e espessa, de forma a avaliar qual a teoria que melhor se adapta para problemas deste género.

87

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11, 1309-1331, 2009.

89

ANEXO A. UTILIZAÇÃO DOS PROGRAMAS

Os programas utilizados foram desenvolvidos na linguagem Matlab [20].

Os dados necessários para os executar são fornecidos a partir de dois ficheiros.

Para o primeiro, contendo a definição da malha, é utilizada a extensão “msh” e é gerado

automaticamente pelo programa Gmsh. Os detalhes de sua sintaxe são apresentados no manual

respetivo [21].

Para a definição do problema é utilizado um ficheiro com a extensão “prob”, no qual são definidas

as propriedades de laje, a sua carga e condições de fronteira. Este ficheiro tem de ser preparado

pelo utilizador através de um editor de texto.

Este ficheiro pode ter até três partes, onde se definem as propriedades de “Faces”, “Edges” e “Verts”,

que correspondem, respetivamente, aos elementos propriamente ditos, aos lados e aos vértices

definidos nas malhas.

Para cada “Faces” são introduzidos seis valores:

• O número de referência do tipo face;

• O módulo de Elasticidade do material;

• O coeficiente de Poisson;

• A espessura da laje;

• A espessura a utilizar nos desenhos;

• A carga aplicada, a qual tem de ser um vetor com três componentes para Reissner-Mindlin,

e uma componente para Kirchhoff.

Para cada “Edge” são introduzidos cinco ou quatro valores:

• O número de referência;

• As condições de apoios (três para Reissner-Mindlin, duas para Kirchhoff), em que o valor

zero (0) indica que é imposto o deslocamento, enquanto o valor um (1) indica que é imposto

a força:

• O valor imposto através de um vetor com três ou duas componentes, tal como as condições

anteriores.

Para cada “Verts”, unicamente no caso de Kirchhoff, são introduzidos três valores:

• O número de referência do tipo vértice;

• As condições de apoios nos vértices (zero (0) ou um (1) como para “Edges”);

• O valor imposto.

90

Para cada problema analisado o programa cria ficheiros de dados no formato utilizado pelo

programa “Gmsh”, a partir das quais são traçados os gráficos com as distribuições de esforços e as

deformadas.

Além disso é também indicado o valor das parcelas de energia de deformação de cada solução,

bem como o valor dos esforços e dos deslocamentos em pontos selecionados.

91

ANEXO B. TABELAS PARA O 1º PROBLEMA

Tabela B 1 - Energia de Deformação Normalizada - Solução de Referência

Teoria de Reissner-Mindlin

Grau de Funções de Aproximação 2 (' = 2)

Malha 1

Tabela B 2 – Dados para o Problema 1, p=2, Malha 1 – Reissner-Mindlin

Tabela B 3 – Resultados para o Problema 1, p=2, Malha 1 – Reissner-Mindlin

Malha 2


Teoria / Espessura RM 0,5 RM 0,2 RM 0,1 RM 0,05 RM 0,01 KT

Energia de Deformação Normalizada

Solução de "Referência"40,55299 27,24600 24,18051 22,78793 21,36738 20,73781

Problema 1

Problema 1 Malha 1

Grau das Funções de Aproximação 2

Nº de Elementos 56

Comprimento Médio dos Elementos 0,925813

Nº de Graus de Liberdade 1816

Nº de Graus de Liberdade de Deslocamentos 864

Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01

Energia de Deformação por Flexão Normalizada 38,811325 37,409424 37,302230 37,292688 37,291970

Energia de Deformação por Corte Normalizada 15,599525 2,961606 0,785394 0,200229 0,008065

Energia de Deformação por Corte (%) 28,67% 7,34% 2,06% 0,53% 0,02%

Energia de Deformação Total Normalizada 54,410850 40,371032 38,087630 37,492913 37,300040

Problema 1 Malha 1

Problema 1 Malha 2


Nº de Elementos 866




92


Malha 3



Malha 4



Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 2

Problema 1 Malha 3






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 3

Problema 1 Malha 4






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 4

93

Grau de Funções de Aproximação grau 4 (' = 4)

Malha 1

Tabela B 10 – Dados para o Problema 1, p=4,, Malha 1 – Reissner-Mindlin


Malha 2



Problema 1 Malha 1


Nº de Elementos 56




Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 1

Problema 1 Malha 2






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 2

94

Malha 3



Malha 4




Malha 1


Problema 1 Malha 3






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 3

Problema 1 Malha 4






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 4

Problema 1 Malha 1


Nº de Elementos 56




95


Malha 2



Malha 3



Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 1

Problema 1 Malha 2






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 2

Problema 1 Malha 3






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 3

96

Malha 4



Tabelas para o 1º Problema

Teoria de Kirchhoff


Malha 1

Tabela B 26 – Dados para o Problema 1, p=2, Malha 1 – Kirchhoff

Tabela B 27 – Resultados para o Problema 1, p=2, Malha 1 – Kirchhoff

Malha 2


Problema 1 Malha 4






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 4

Problema 1 Malha 1


Nº de Elementos 56




Espessura

Energia de Deformação Total Normalizada

Qualquer

24,006388

Problema 1 Malha 1

Problema 1 Malha 2






97


Malha 3



Malha 4




Malha 1


Espessura

Energia de Deformação Total Normalizada 22,130575

Problema 1 Malha 2

Qualquer

Problema 1 Malha 3






Espessura


Problema 1 Malha 3

Qualquer

21,660838

Problema 1 Malha 4






Espessura


Problema 1 Malha 4

Qualquer

21,251888

Problema 1 Malha 1


Nº de Elementos 56




98


Malha 2



Malha 3



Malha 4


Espessura


Problema 1 Malha 1

Qualquer

22,546463

Problema 1 Malha 2






Espessura


Problema 1 Malha 2

Qualquer

21,534000

Problema 1 Malha 3






Espessura


Problema 1 Malha 3

Qualquer

21,275075

Problema 1 Malha 4






99



Malha 1



Malha 2



Malha 3


Espessura


Problema 1 Malha 4

Qualquer

21,251888

Problema 1 Malha 1


Nº de Elementos 56




Espessura


Problema 1 Malha 1

Qualquer

Problema 1 Malha 2






Espessura


Problema 1 Malha 2

Qualquer

21,288625

Problema 1 Malha 3






100


Malha 4



Espessura


Problema 1 Malha 3

Qualquer

21,116188

Problema 1 Malha 4






Espessura


Problema 1 Malha 4

Qualquer

20,965575

101

Figura B 1 - Campos de Esforços e Campo da densidade de Energia de Deformação Normalizada, Problema 1 para teoria de Reissner-Mindlin, espessura 0.1, malha 1 e 2º grau de funções de aproximação.

102


103


104

Figura B 4 - Campos de Esforços e Campo da densidade de Energia de Deformação Normalizada, Problema 1 para teoria de Kirchhoff, malha 1 e 2º grau de funções de aproximação.

105

Figura B 5 - Campos de Esforços e Campo da densidade de Energia de Deformação Normalizada, Problema 1 para teoria de Kirchhoff, malha 4 e 6º grau de funções de aproximação.

106

Tabelas para o 1º Problema - Reissner-Mindlin

Grau de Funções de Aproximação grau 6 apoio Hard

Malha 4

Tabela B 50 – Dados para o Problema 1, p=6, Malha 4, Apoio Hard – Reissner-Mindlin

Tabela B 51 – Resultados para o Problema 1, p=6, Malha 4, Apoio Hard – Reissner-Mindlin

Problema 1 Malha 4 apoio Hard






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 4 apoio Hard

107

Figura B 6 - Campos de Esforços e Campo da densidade de Energia de Deformação Normalizada, Problema 1 para teoria de Reissner-Mindlin, espessura 0.1, apoio Hard, malha 4 e 6º grau de funções de aproximação.

108

Figura B 7 - Campos de Esforços e Campo da densidade de Energia de Deformação Normalizada, Problema 1 para teoria de Reissner-Mindlin, espessura 0.5, apoio Hard, malha 4 e 6º grau de funções de aproximação.

109

Figura B 8 - Campos de Esforços e Campo da densidade de Energia de Deformação Normalizada, Problema

1 para teoria de Reissner-Mindlin, espessura 0.01, apoio Hard, malha 4 e 6º grau de funções de aproximação.

111

ANEXO C. TABELAS PARA O 2º PROBLEMA

Tabela C 1 - Energia de Deformação Normalizada - Solução de "Referência"


Malha 1

Tabela C 2 – Dados para o Problema 2, Malha 1 – Reissner-Mindlin

Tabela C 3 – Resultados para o Problema 2, Malha 1 – Reissner-Mindlin

Malha 2



Teoria / Espessura RM 0,5 RM 0,2 RM 0,1 RM 0,05 RM 0,01 KT


Solução de "Referência"44,73957 40,00016 39,29848 39,1176 39,05467 39,05143

Problema 2

Problema 2 Malha 1


Nº de Elementos 32




Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 2 Malha 1

Problema 2 Malha 2






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 2 Malha 2

112

Malha 3



Malha 4



Malha 5


Problema 2 Malha 3






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 2 Malha 3

Problema 2 Malha 4






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 2 Malha 4

Problema 2 Malha 5






113


Tabelas para o 2º Problema

Teoria de Kirchhoff

Malha 1

Tabela C 12 – Dados para o Problema 2, Malha 1 – Kirchhoff

Tabela C 13 – Resultados para o Problema 2, Malha 1 – Kirchhoff

Malha 2



Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 2 Malha 5

Problema 2 Malha 1


Nº de Elementos 32




Espessura


Problema 2 Malha 1

Qualquer

39,054738

Problema 2 Malha 2






Espessura


Problema 2 Malha 2

Qualquer

39,051463

114

Malha 3



Malha 4



Malha 5



Problema 2 Malha 3






Espessura


Problema 2 Malha 3

Qualquer

39,051438

Problema 2 Malha 4






Espessura


Problema 2 Malha 4

Qualquer

Problema 2 Malha 5






Espessura


Problema 2 Malha 5

Qualquer

39,051425

115

Figura C 1 - Campos de Esforços e Campo de Densidade de Energia de Deformação Normalizada, Problema

2 para teoria de Reissner-Mindlin, espessura 0.1, malha 1, funções de aproximação de grau 2.

116


2 para teoria de Reissner-Mindlin, espessura 0.5, malha 4.

117


2 para teoria de Reissner-Mindlin, espessura 0.01, malha 4.

118


2 para teoria de Kirchhoff, malha 1.

119


2 para teoria de Kirchhoff, malha 4.

121

ANEXO D. TABELAS PARA O 3º PROBLEMA

Tabela D 1 - Energia de Deformação Normalizada - Solução de Referência


1ºGrupo de Malhas

Modelo Pilar “Preenchido” Malha 1

Tabela D 2 – Dados para o Problema 3, 1ºGrupo de Malhas - Malha 1, Modelo Pilar “Preenchido” – Reissner-Mindlin

Tabela D 3 – Resultados para o Problema 3, 1ºGrupo de Malhas - Malha 1, Modelo Pilar “Preenchido” –

Reissner-Mindlin

Tabelas para o 3º Problema – Teoria de Kirchhoff

1ºGrupo de Malhas

Modelo Pilar “preenchido” Malha 1

Tabela D 4 – Dados para o Problema 3, 1ºGrupo de Malhas - Malha 1, Modelo Pilar “Preenchido” – Kirchoff


Kirchhoff

Teoria / Espessura RM 0,5 RM 0,2 RM 0,1 RM 0,05 RM 0,01 KT pilar KT pontual


Solução de "Referência"13,90949 12,3503 11,91021 11,29614 9,023134 8,53204 12,009888

Problema 3

Problema 3 Malha 1






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 3 Malha 1

Problema 3 Malha 1






Espessura


Problema 3 Malha 1

Qualquer

8,532119

122

Figura D 1 - Campo de Esforços e Campo de Densidade de Energia de Deformação Normalizada, Problema 3 para o 1ºGrupo de Malhas, Malha 1, Modelo Pilar “Preenchido", espessura 0.5, teoria de Reissner-Mindlin.

123

Figura D 2 - Campo de Esforços e Campo de Densidade de Energia de Deformação Normalizada, Problema

3 para o 1ºGrupo de Malhas, Malha 1, Modelo Pilar “Preenchido", espessura 0.01, teoria de Reissner-Mindlin.

124


3 para o 1ºGrupo de Malhas, Malha 1, Modelo Pilar “Preenchido", teoria de Kirchhoff

125

Tabelas para o 3º Problema - Teoria de Reissner-Mindlin

1ºGrupo de Malhas

Modelo Pilar “vazio” Malha 1

Tabela D 6 – Dados para o Problema 3, 1ºGrupo de Malhas - Malha 1, Modelo Pilar “Vazio” – Reissner-Mindlin

Tabela D 7 – Resultados para o Problema 3, 1ºGrupo de Malhas - Malha 1, Modelo Pilar “Vazio” – Reissner-

Mindlin


1ºGrupo de Malhas

Modelo Pilar “Vazio” Malha 1

Tabela D 8 – Dados para o Problema 3, 1ºGrupo de Malhas - Malha 1, Modelo Pilar “Vazio” – Kirchhoff

Tabela D 9 – Resultados para o Problema 3, 1ºGrupo de Malhas - Malha 1, Modelo Pilar “Vazio” – Kirchhoff

Problema 3 Malha 1






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 3 Malha 1

Problema 3 Malha 1






Espessura


Problema 3 Malha 1

Qualquer

8,620621

126


3 para o 1ºGrupo de Malhas, Malha 1, Modelo Pilar “Vazio", espessura 0.5, teoria de Reissner-Mindlin.

127


3 para o 1ºGrupo de Malhas, Malha 1, Modelo Pilar “Vazio", espessura 0.01, teoria de Reissner-Mindlin.

128


3 para o 1ºGrupo de Malhas, Malha 1, Modelo Pilar “Vazio", teoria de Kirchhoff

129


2ºGrupo de Malhas

Modelo Pontual Malha 1

Tabela D 10 – Dados para o Problema 3, 2ºGrupo de Malhas - Malha 1, Modelo Pontual – Kirchhoff

Tabela D 11 – Resultados para o Problema 3, 2ºGrupo de Malhas - Malha 1, Modelo Pontual – Kirchhoff

Malha 2



Malha 3


Problema 3 Malha 1






Espessura


Problema 3 Malha 1

Qualquer

12,009926

Problema 3 Malha 2






Espessura


Problema 3 Malha 2

Qualquer

12,009903

Problema 3 Malha 3






130


Malha 4



Espessura


Problema 3 Malha 3

Qualquer

12,009891

Problema 3 Malha 4






Espessura


Problema 3 Malha 4

Qualquer

12,009889

131


3 para o Grupo nº2 de Malhas, malha 1, Modelo apoio pontual, teoria de Kirchhoff.

132

Tabelas para o 3º Problema – Teoria de Reissner-Mindlin

3ºGrupo de Malhas

Modelo Pilar “Preenchido” Malha 1



Reissner-Mindlin

Malha 2



Reissner-Mindlin

Problema 1 Malha 1






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 1

Problema 1 Malha 2






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 2

133

Malha 3



Reissner-Mindlin

Malha 4



Reissner-Mindlin

Problema 1 Malha 3






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 1 Malha 3

Problema 3 Malha 4






Espessura 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01





Problema 3 Malha 4

134

Figura D 8 - Campo de Esforços e Campo de Densidade de Energia de Deformação Normalizada, Problema 3 para o 3ºGrupo de Malhas, Malha 4, Modelo "pilar preenchido", espessura 0.1, teoria de Reissner-Mindlin.

135


3ºGrupo de Malhas

Modelo Pilar “preenchido” Malha 1

Tabela D 26 – Dados para o Problema 3, 3ºGrupo de Malhas - Malha 1, Modelo Pilar “Preenchido” – Kirchhoff


Kirchhoff

Malha 2



Kirchhoff

Malha 3


Problema 3 Malha 1






Espessura


Problema 3 Malha 1

Qualquer

Problema 3 Malha 2






Espessura


Problema 3 Malha 2

Qualquer

8,527664

Problema 3 Malha 3






136

Tabela D 31 – Resultados para o Problema 3, 3ºGrupo de Malhas - Malha 3, Modelo Pilar “Preenchido” – Kirchhoff

Malha 4



Kirchhoff

Espessura


Problema 3 Malha 3

Qualquer

8,526246

Problema 3 Malha 4






Espessura


Problema 3 Malha 4

Qualquer

8,524927

137


3 para o Grupo nº3 de malhas, Modelo "Pilar Preenchido", Kirchhoff, malha mais refinada.

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