COMPARAÇÃO DE MODELOS DE MANOBRA PARA NAVIOS

Caio Swan de Freitas

Projeto de Graduação apresentado ao Cursode Engenharia Naval e Oceânica, da EscolaPolitécnica, Universidade Federal do Rio deJaneiro, como parte dos requisitos necessários àobtenção do título de Engenheiro Naval.

Orientador: Paulo de Tarso ThemistoclesEsperança

Rio de JaneiroSetembro de 2017

COMPARAÇÃO DE MODELOS DE MANOBRA PARA NAVIOS

Caio Swan de Freitas

PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSODE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DAUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOSREQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRONAVAL.

Examinado por:

Prof. Paulo de Tarso Themistocles Esperança, D.Sc.

Prof. Sergio Hamilton Sphaier, Dr.-Ing.

Prof. Carlos Antonio Levi da Conceição, D.Sc.

Vinicius Lopes Vileti, Eng.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASILSETEMBRO DE 2017

Swan de Freitas, CaioComparação de Modelos de Manobra para Navios/Caio

Swan de Freitas. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica,2017.

XI, 49 p.: il.; 29,7cm.Orientador: Paulo de Tarso Themistocles EsperançaProjeto de graduação – UFRJ/Escola Politécnica/Curso de

Engenharia Naval e Oceânica, 2017.Referências Bibliográficas: p. 40 – 41.1. Modelos de manobra. 2. Identificação de Sistemas. 3.

Simulação. 4. Regressão. 5. Otimização. I. ThemistoclesEsperança, Paulo de Tarso. II. Universidade Federal do Riode Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval eOceânica. III. Título.

iii

Àqueles em quem me inspiro todos

os dias, meus pais Claudia e

Clinio.

iv

Agradecimentos

Durante cinco anos e meio de faculdade, foram muitos aqueles que contribuíram dasmais variadas formas para que chegasse esse momento de conclusão do curso. Primei-ramente, devo agradecer aos amigos da vela e do colégio pH pelo apoio antes e durantetoda a graduação. Nesse período, amizades da Naval, Fluxo, Ciências Sem Fronteiras,Solar Brasil e Fundação Estudar influenciaram diversas das minhas escolhas e me leva-ram a aproveitar as oportunidades surgidas na graduação ao máximo, a todos sou muitograto. Agradeço também a todos no LabOceano os quais me auxiliaram neste trabalho deconclusão de curso.

Por fim e mais importante, agradeço à minha namorada e à minha família o apoio ecarinho diários nessa jornada cansativa, mas recompensante.

v

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à POLI/UFRJ como parte dos requisitosnecessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval.

COMPARAÇÃO DE MODELOS DE MANOBRA PARA NAVIOS

Caio Swan de Freitas

Setembro/2017

Orientador: Paulo de Tarso Themistocles Esperança

Curso: Engenharia Naval e Oceânica

Apresenta-se, neste trabalho, o estudo de caso da modelação matemática de manobrasde duas embarcações. Baseando-se na modelagem por derivadas hidrodinâmicas, sãoapresentados modelos generalizados com suas referências, embasamentos teóricos esimplificações. Esses modelos são adequados às embarcações através de regressão pormínimos quadrados de manobras livres. Os resultados das simulações computacionaisfeitas com os modelos definidos para ambas as embarcações são apresentados e compa-rados a manobras base por uma nova métrica proposta.

Palavras-chave: Modelos de manobra. Identificação de Sistemas. Simulação. Re-gressão. Otimização

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of therequirements for the degree of Naval Architect and Marine Engineer.

COMPARISON OF MANOEUVRING MODELS FOR SHIPS

Caio Swan de Freitas

September/2017

Advisor: Paulo de Tarso Themistocles Esperança

Course: Naval Architecture, Ocean and Marine Engineering

This work presents a case study about mathematical manoeuvring modeling of twovessels. Based on hydrodynamic derivatives models, generalized models are presentedwith their references, thoretical background and simplifications. These models are suitedto the vessels through least squares regression of free running manoeuvres. The results ofthe computational simulations ran with the defined models for both vessels are presentedand compared to base manoeuvres using a novel metric proposed.

Keywords: Manoeuvring Models. Systems Identification. Simulation. Regression.Optimization.

vii

Sumário

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xi

1 Introdução 1

2 Modelo Matemático 22.1 Identificação de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Modelos de referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Coriolis-Centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6 Amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 Forças de leme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.8 Adimensionalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Método Proposto 123.1 Manobras Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Obtenção de Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.1 Parâmetros constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 Parâmetros a regredir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Função de Comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Resultados e Discussões 204.1 Mariner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.1 Manobras Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1.2 Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.3 Comparação de Manobras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.4 Adequação de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 AHTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.1 Manobra Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.2 Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

viii

4.2.3 Comparação de Manobras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.4 Adequação de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Conclusões 39

Referências Bibliográficas 40

A Adimensionalização de Parâmetros 42

B Regressão de Parâmetros 43

C Exemplo - Métrica Euclidiana Modificada 47

ix

Lista de Figuras

2.1 Referenciais inercial e solidário, 6 graus de liberdade, centro de gravidadee ângulo de leme (δ ).[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1 Curva de giro típica com características relevantes.[2] . . . . . . . . . . . 133.2 Ângulo de aproamento e de leme típicos de uma manobra zigzag.[2] . . . 133.3 Manobra oito com ângulos característicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Métricas Euclidiana e de Hausdorff aplicadas a curvas de giro genéricas.[2] 18

4.1 Manobra zigzag (ZZ2020) base do Mariner. . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Curva de giro (TC35) base do Mariner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 ZigZags (ZZ2020) do Mariner para modelos regredidos. . . . . . . . . . 254.4 Curvas de giro (TC35) do Mariner para modelos regredidos. . . . . . . . 264.5 Aproamento, velocidade em surge, velocidade em sway e velocidade an-

gular em yaw do Mariner em função do tempo na manobra zigzag. . . . . 274.6 Aproamento, velocidade em surge, velocidade em sway e velocidade an-

gular em yaw do Mariner em função do tempo na curva de giro. . . . . . 274.7 Modelo de AHTS durante ensaios experimentais. . . . . . . . . . . . . . 294.8 Manobra oito base do AHTS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.9 Velocidades e acelerações do AHTS em surge brutas e filtradas. . . . . . 304.10 Velocidades e acelerações do AHTS em sway brutas e filtradas. . . . . . . 314.11 Velocidades e acelerações do AHTS em yaw brutas e filtradas. . . . . . . 314.12 Manobras 8 do AHTS de modelos regredidos. . . . . . . . . . . . . . . . 354.13 Manobras 8 do AHTS de modelos regredidos comparadas individualmente 354.14 Manobras 8 do AHTS de modelos otimizados. . . . . . . . . . . . . . . . 364.15 Manobras 8 do AHTS de modelos otimizados comparadas individualmente 364.16 Aproamento, velocidade em surge, velocidade em sway e velocidade an-

gular em yaw do AHTS em função do tempo nos modelos regredidos. . . 374.17 Aproamento, velocidade em surge, velocidade em sway e velocidade an-

gular em yaw do AHTS em função do tempo nos modelos otimizados. . . 37

C.1 Curvas zigzag com marcações de tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48C.2 Diferenças dos zigzags para base e linearização das diferenças. . . . . . . 49

x

Lista de Tabelas

2.1 Valores para adimensionalizar dimensões. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1 Parâmetros constantes do Mariner obtidos em [3]. . . . . . . . . . . . . . 224.2 Códigos de legenda para os modelos do Mariner a serem comparados. . . 224.3 Parâmetros regredidos para modelos lineares do Mariner. . . . . . . . . . 234.4 Parâmetros regredidos para modelos quadráticos do Mariner. . . . . . . . 234.5 Parâmetros regredidos para modelos cúbicos do Mariner. . . . . . . . . . 244.6 Parâmetros medidos para ensaio com AHTS. . . . . . . . . . . . . . . . 324.7 Parâmetros constantes do AHTS adimensionalizados. . . . . . . . . . . . 324.8 Códigos de legenda para os modelos do AHTS a serem comparados. . . . 324.9 Parâmetros regredidos para modelos lineares do AHTS. . . . . . . . . . . 334.10 Parâmetros regredidos para modelos quadráticos do AHTS. . . . . . . . . 334.11 Parâmetros regredidos para modelos cúbicos do AHTS. . . . . . . . . . . 34

A.1 Parâmetros dimensionais e parâmetros adimensionais multiplicados porvalores que os dimensionalizam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

xi

Capítulo 1

Introdução

A criação de modelos de manobra que representem fielmente os movimentos de em-barcações é um desafio da engenharia naval que, apesar de acumular muitas décadas deprogressos, ainda não foi resolvido. Durante o projeto de uma embarcação, não é possí-vel atualmente fazer simulações computacionais de seu comportamento com precisão eter essa capacidade acarretaria na evolução de resultados em diversas aplicações.

Cascos podem ser otimizados de novas maneiras para minimizar o consumo de com-bustível ou cumprir requisitos específicos de manobrabilidade. Códigos de automaçãopodem ser exaustivamente testados para garantir a confiabilidade de embarcações autôno-mas. A segurança de operações em condições ambientais extremas pode ser melhorada.Tudo isso através de simulações custando um preço muitas vezes menor que o demandadopara testes experimentais.

Dentro desse contexto, este trabalho é um estudo de caso aplicando a duas embar-cações técnicas de modelação matemática de manobras para simulação computacional.Uma das embarcações teve seus dados obtidos de artigo de referência e a outra através deensaio experimental realizado no Laboratório de Tecnologia Oceânica da UFRJ (LabO-ceano).

O capítulo 2 apresenta modelos matemáticos de manobra gerais que foram utilizadoscomo estrutura para os modelos das embarcações, incluindo suas referências, embasa-mentos teóricos e simplificações. O capítulo 3 descreve detalhadamente o método pro-posto para adequar os modelos às embarcações. Isso é feito neste trabalho através daregressão por mínimos quadrados de manobras livres para cálculo dos parâmetros dosmodelos. Por fim, o capítulo 4 mostra os resultados das simulações feitas com os mode-los definidos para ambas as embarcações. Eles são comparados a manobras base por umanova métrica proposta.

1

Capítulo 2

Modelo Matemático

Nesta seção são apresentados os modelos de manobra genéricos, os quais são utili-zados para representar as manobras de uma embarcação. Estes modelos baseiam-se naidentificação de sistemas para serem definidos e representar matematicamente a dinâmicada embarcação com a acurácia desejada a partir de determinados inputs, como ângulo deleme.

2.1 Identificação de Sistemas

A identificação de sistemas é uma metodologia para a modelação matemática de siste-mas dinâmicos que consiste na seleção de uma estrutura para o modelo e na estimativa deseus parâmetros[4]. Existe uma infinidade de modelos destinados a representar os maisdiversos comportamentos dinâmicos e todos podem ser essencialmente divididos em trêscategorias de acordo com sua estrutura: caixa branca, caixa cinza e caixa preta.

Os modelos caixa branca são aqueles que representam fielmente toda a física envol-vida no sistema, enquanto os modelos caixa preta baseiam-se nos dados obtidos experi-mentalmente para definir funções que representem o sistema, sem a preocupação de queo modelo final tenha significado físico. Entre esses extremos ficam os modelos caixacinza, os quais incorporam parcialmente a física do sistema à sua estrutura, geralmenteapresentando funções embasadas fisicamente, porém com parâmetros que não possueminterpretação direta[4].

A completa representação física da dinâmica de uma embarcação através de um mo-delo caixa branca é atualmente inviável devido à enorme complexidade das interaçõesentre embarcação e fluidos. O método que mais se aproxima disso é o CFD (Compu-

tational Fluid Dynamics), o qual também apresenta suas simplificações e imprecisões.Outro método utilizado para representação de manobras, e que vem crescendo nos últi-mos tempos, é a inteligência artificial através de redes neurais e SVM (Support Vector

Machines), funcionando como modelos caixa preta. Entretanto, o mais utilizado recente-

2

mente e foco de estudo deste trabalho é a determinação de parâmetros em modelos caixacinza, chamados de derivadas hidrodinâmicas[5].

O método de definição dos parâmetros é crucial para que as respostas desejadas sejamobtidas das simulações, tão importante quanto a própria definição da estrutura do modelo.Diversas técnicas foram desenvolvidas e testadas para isso, dentre elas: regressão por mí-nimos quadrados, filtro Kalman extendido, algoritmo genético e otimização por enxamede partículas (particle swarm optimization)[5]. O capítulo 3 trata da definição de parâ-metros dos modelos de manobra, enquanto este capítulo foca na definição da estrutura domodelo.

2.2 Modelos de referência

Entre os modelos caixa cinza desenvolvidos para a simulação de manobras, é comumadotar como base a segunda lei de Newton (eq. 2.1).

Mν = F (2.1)

Devido a existência de muitos benchmarks e estruturas semelhantes, foram escolhidospara serem trabalhados o modelo cúbico de Abkowitz[6], o quadrático absoluto[7][8] e olinear[8]. Apesar de derivados de formas distintas, essas estruturas seguem o mesmo prin-cípio de divisão das forças (F) na equação 2.1: uma componente para o casco e outra paraos apêndices, que neste caso são respectivamente amortecimento (D) e forças de leme (τ).Como esperado em um modelo caixa cinza, os parâmetros não apresentam interpretaçãofísica direta apesar da inspiração no modelo físico do problema. Isso significa que, aoinvés do amortecimento e das forças de leme serem detalhados, eles são simplificados porequações polinomiais com os coeficientes sendo os parâmetros do modelo, conhecidostambém como derivadas hidrodinâmicas.

A diferença de estrutura dos modelos se encontra na ordem das equações que repre-sentam essas componentes: linear, quadrática e cúbica. Essas estruturas não precisamnecessariamente ser excludentes uma das outras, seria possível misturar seus parâmetros,porém neste trabalho foram claramente separadas. Além disso, apenas para os modelosquadrático e linear é incluída a componente das forças coriolis-centrípeta (C), como nosmodelos de referência.

Cada grau de liberdade possui sua respectiva equação que representa sua dinâmica,podendo ocorrer acoplamentos entre eles. Para simplificar a apresentação dos modeloscompletos e a implementação computacional, foi utilizada como base a representaçãomatricial de Fossen [8], pois tem notação enxuta que auxilia na compreensão e na adap-tação para diferentes modelos. Assim, o modelo matemático final está na equação 2.2,uma equação diferencial que leva em conta matrizes de massa, coriolis-centrípeta, amor-

3

tecimento e forças dos apêndices em função de acelerações (ν), velocidades(ν) e ângulode leme(δ ). Durante as seções desse capítulo, cada uma dessas quatro componentes é ex-plicada em maiores detalhes, apresentando os parâmetros de cada modelo dentro dessascomponentes.

Mν +C(ν)ν +D(ν) = τ(ν ,δ ) (2.2)

A equação 2.2 pode representar o modelo matemático com a quantidade de grausde liberdade que forem desejados para o trabalho (Figura 2.1). Em navios, é comum autilização de apenas três graus de liberdade (surge, sway, yaw) em modelos de manobrade forma a simplificar equações sem perder muita precisão nos resultados. A equação2.3 exemplifica como ficam os parâmetros dentro das matrizes na notação da equação 2.2em um modelo linear. Nela estão incluídos os três graus de liberdade e as simplificaçõesexplicadas a seguir.

m−Xu 0 00 m−Yv mxg−Yr

0 mxg−Nv Iz−Nr

u

v

r

+ 0 0 −m(xgr+ v)+Yvv+Yrr

0 0 mu−Xuu

m(xgr+ v)−Yvv−Yrr −mu+Xuu 0

u

v

r

− Xu 0 0

0 Yv Yr

0 Nv Nr

u

v

r

− 0

Y0

N0

= δ

0Yδ

Nδ

(2.3)

Além de desconsiderar movimentações nos graus de liberdade que possuem restau-ração (heave, roll e pitch), outras simplificações foram adotadas para este trabalho. Asmanobras se dão em águas calmas, sem correnteza, vento e ondas, a embarcação possuicompleta simetria bombordo-boreste, apenas componentes de primeira ordem são consi-deradas para as acelerações e não há acoplamento entre acelerações e velocidades[8]. Issofaz com que diversos parâmetros dos modelos sejam zerados, como mostrado em [9].

Por fim, as forças do propulsor foram omitidas por estarem incorporadas nas forçasde amortecimento. As estruturas neste trabalho são derivadas a partir de expansões deTaylor, com exceção dos termos modulares na estrutura quadrática absoluta, os quais nãoexistem na expansão, mas são incluídos por argumento físicos para tornar a estruturauma função ímpar[9]. Assim, todas podem ser definidas sobre um estado estacionário eexpandidas para a velocidade à vante constante (U0) desse estado em que a resistênciaao avanço se iguale a força do propulsor[8]. Portanto, as velocidades apresentadas nosmodelos ([u,v,r]) são variações em relação à velocidade de referência ([U0,0,0]) e a força

4

resultante à vante incorpora a variação de forças entre propulsor e resistência ao avanço.

Figura 2.1: Referenciais inercial e solidário, 6 graus de liberdade, centro de gravidade eângulo de leme (δ ).[1]

2.3 Referencial

Antes de apresentar cada um dos componentes do modelo matemático, é necessáriodefinir seus referenciais. O referencial adotado como inercial para este trabalho é o North-

East-Down[10]. Representado na Figura 2.1 por Oo, ele é o padrão nos referências queutilizam a mesma notação matricial para representação do modelo de manobras. O outroreferencial definido é o solidário ao barco, representado por O, o qual é fixo no barco e semove com ele. Com centro em O, x aponta sempre para a proa, y para boreste e z para ofundo, mantendo o padrão de Oo.

A definição de O é motivo de atenção. É comum fixá-lo na interseção da linha decentro com a seção de meia nau e a linha d’água da embarcação, porém não é obrigatórioe esse não é o caso neste trabalho. Essa definição ocorre com a simplificação de queo centro de gravidade(CG) também se encontra nessa posição, o que pode resultar em

5

erros grandes caso o CG esteja distante. Por isso, nesse trabalho a posição da origem doreferencial solidário (O) é definida apenas após o conhecimento da posição do CG e adistância entre elas é levada em consideração nos cálculos.

Uma premissa do projeto é a simetria bombordo-boreste (plano xz) da embarcação,portanto o CG está no plano da linha de centro e consequentemente também O. Seguindoa mesma definição feita no modelo de Abkowitz[6], a origem se localiza no plano daseção mestra e na mesma linha d’água do centro de gravidade. Com isso, o vetor de O

para CG necessariamente fica como na equação 2.4.

−−→OCG = [xg,0,0]T (2.4)

A posição da embarcação no referencial inercial é definida com os três graus de liber-dade na equação 2.5. As velocidades lineares e angulares do corpo são computadas nomodelo matemático pelo referencial solidário ao corpo de acordo com a equação 2.6. Arelação entre essas variáveis é feita pela matriz de rotação na equação 2.7, a derivada daposição inercial é igual às velocidades do corpo rotacionadas do referencial solidário parao inercial, como mostra a equação 2.8.

η = [x,y,ψ]T (2.5)

ν = [u,v,r]T (2.6)

J(ψ) =

cosψ −sinψ 0sinψ cosψ 0

0 0 1

(2.7)

η = J(ψ)ν (2.8)

2.4 Massa

Com o referencial definido, a primeira componente do modelo matemático a ser defi-nida é a massa. Ela é dividida em duas partes (eq. 2.9): a massa da embarcação (MRB),considerada um corpo rígido, e a massa adicional (MA), que considera uma força queocorre com a aceleração da embarcação no fluido causando campo de pressões e é umapropriedade em função da geometria da embarcação e da frequência de encontro com asondas (ωe).

M = MRB +MA (2.9)

Antes de definir a matriz de massa do corpo rígido, é necessário a apresentação dooperador de matriz anti-simétrica (eq. 2.10).

6

S(σ) =

0 −σ3 σ2

σ3 0 −σ1

−σ2 σ1 0

, σ = [σ1,σ2,σ3]T (2.10)

A matriz de corpo rígido em 6 graus de liberdade é definida pela equação 2.11, queutiliza o operador da equação 2.10 no vetor posição do centro de gravidade. I3x3 é umamatriz identidade 3x3 e IO é a matriz de inércias do corpo com centro em O. Com asimplificação de desconsiderar heave, roll e pitch, a matriz de massa do corpo rígidopassa a ser a da equação 2.12, que também já considera a simetria do barco no plano xz

(simetria bombordo-boreste).

MRB =

[mI3x3 −mS(

−−→OCG)

mS(−−→OCG) IO

](2.11)

MRB =

m 0 00 m mxg

0 mxg Iz

, (2.12)

Para a massa adicional não há uma medição direta na embarcação que vá fornecerseus valores, como em medições de massa, inércia e centro de gravidade. Entretanto,existem métodos para obtê-los: como teoria potencial, CFD e fórmulas empíricas[5].Com isso, é montada a matriz com parâmetros do modelo que representam as massasadicionais, incluindo acoplamentos. Por exemplo, a massa adicional em sway causadapela aceleração em yaw é representada pelo parâmetro Yr.

A equação 2.13 mostra a matriz com três graus de liberdade, incluindo a simetria noplano xz, que desacopla surge de sway-yaw, zerando os mesmos parâmetros que na matrizde corpo rígido. Como houve uma simplificação neste trabalho de considerar o mar semondas, a frequência de encontro (ωe) tende a zero, tornando assim os parâmetros de massaadicional constantes[8].

MA =−

Xu 0 00 Yv Yr

0 Nv Nr

(2.13)

Por fim, seguindo a definição em 2.9, a matriz de massa fica:

M =

m−Xu 0 00 m−Yv mxg−Yr

0 mxg−Nv Iz−Nr

(2.14)

7

2.5 Coriolis-Centrípeta

Essa matriz é uma consequência da rotação do referencial solidário ao barco em rela-ção ao referencial inercial. É possível parametrizá-la em função da matriz de massa, con-forme apresentado por Fossen [8], também dividindo em corpo rígido (CRB) e massa adi-cional (CA). Além dos termos de massa, a matriz é composta por termos de velocidade(ν).A equação 2.15 apresenta a matriz para corpo rígido e a equação 2.16 para a massa adici-onal.

CRB(ν) =

0 0 −m(xgr+ v)

0 0 mu

m(xgr+ v) −mu 0

(2.15)

CA(ν) =

0 0 Yvv+Yrr

0 0 −Xuu

−Yvv−Yrr Xuu 0

(2.16)

Como resultado, a matriz coriolis-centrípeta fica como na equação 2.17. Lembrandoque esta componente é utilizada apenas pelos modelos linear e quadrático.

C(ν) =CRB(ν)+CA(ν)

C(ν) =

0 0 −(m−Yv)v− (mxg−Yr)r

0 0 (m−Xu)u

(m−Yv)v+(mxg−Yr)r −(m−Xu)u 0

(2.17)

2.6 Amortecimento

Como explicado na seção 2.2, o amortecimento destes modelos não tem interpreta-ção física direta. As forças causadas pela interação do casco e do propulsor com a águasão aglomeradas nesta componente em função das velocidades. Essas forças são parame-trizadas por equações polinomiais em cada um dos modelos de acordo com as matrizesmostradas a seguir.

• Modelo Linear

D1 =−

Xu 0 00 Yv Yr

0 Nv Nr

D0 =−

0Y0

N0

(2.18)

DLin(ν) = D1ν +D0 (2.19)

8

• Modelo Quadrático Absoluto

D1 =−

Xu 0 00 Yv Yr

0 Nv Nr

D2(ν) =−

X|u|u|u| 0 00 Y|v|v|v| Y|v|r|v|0 N|v|v|v| N|v|r|v|

D0 =−

0Y0

N0

(2.20)

DQuad(ν) = (D1 +D2(ν))ν +D0 (2.21)

• Modelo Cúbico

D1 =−

Xu 0 0Yu Yv Yr

Nu Nv Nr

D2(ν) =−

Xuuu Xvvv Xvrv+Xrrr

Yuuu Yuvu Yuru

Nuuu Nuvu Nuru

D3(ν) =−

Xuuuuu 0 00 Yvvvvv Yvvrvv

0 Nvvvvv Nvvrvv

D0 =−

0Y0

N0

(2.22)

DCub(ν) = (D1 +D2(ν)+D3(ν))ν +D0 (2.23)

A existência dos parâmetros independentes da velocidade, Y0 e N0, ocorre devido avelocidade de serviço à vante, sobre a qual as expansões de Taylor são feitas para obter asequações acima. Quando ν = [0,0,0]T a embarcação está com velocidade à vante cons-tante, portanto há rotação do propulsor, que gera força em sway e momento em yaw[9].Como o casco é considerado simétrico bombordo-boreste, teoricamente não há outrasforças envolvidas, mas esses parâmetros acabam também compensando possíveis forçascausadas por imperfeições de simetria.

Outro ponto relevante a ser comentado sobre os modelos acima é o evidente desa-coplamento do amortecimento de surge com sway-yaw nos modelos linear e quadráticoque deixa de existir no cúbico. Este não apresenta as forças coriolis-centrípeta em suaestrutura, então compensa com alguns parâmetros acoplados de amortecimento.

2.7 Forças de leme

Diferentemente do amortecimento, por vezes as forças de leme são estruturadas comsua interpretação física direta, com a teoria de asas. Entretanto, alguns modelos atuaiscontinuam a utilizar as equações polinomiais e este é o formato neste trabalho, apresen-tado nas equações a seguir.

9

• Modelo Linear

τ1 =

0Yδ

Nδ

(2.24)

τLin(δ ) = τ1δ (2.25)

• Modelo quadrático

τ1 =

0Yδ

Nδ

τ2(ν ,δ ) =

Xδδ δ

Y|u|δ |u|+Y|v|δ |v|N|u|δ |u|+N|v|δ |v|

τ3(ν ,δ ) =

Xu|δ |u

Yv|δ |v+Y|δ |δ δ

Nv|δ |v+N|δ |δ δ

(2.26)

τQuad(ν ,δ ) = (τ1 + τ2(ν ,δ ))δ + τ3(ν ,δ )|δ | (2.27)

• Modelo Cúbico

τ1(ν) =

0Yδ

Nδ

τ2(ν) =

Xvδ v

Yuδ u

Nuδ u

τ3(ν) =

Xuvδ uv

Yuuδ uu+Yvvδ vv

Nuuδ uu+Nvvδ vv

τ4(ν ,δ ) =

Xδδ +Xuδδ u

Yvδδ v+Yδδδ δ

Nvδδ v+Nδδδ δ

(2.28)

τCub(ν ,δ ) = (τ1 + τ2(ν)+ τ3(ν))δ + τ4(ν ,δ )δ2 (2.29)

Vale notar que o modelo linear é bastante simplificado, apresentando apenas compo-nentes lineares em sway e yaw. Dessa forma, a força de arrasto do leme está incluída nacomponente de amortecimento e a força de sustentação aumenta linearmente com o ân-gulo, o que se torna irreal para grandes ângulos quando ocorre stall, mas pode funcionarbem para pequenos ângulos.

2.8 Adimensionalização

Apresentadas todas as componentes da estrutura, para fechar o capítulo de modelomatemático é explicado nesta seção o recurso de adimensionalização das equações. Elaé importante para que os parâmetros do modelo, após adimensionalizados, possam ser

10

tratados como constantes[8], apesar de variações da velocidade instantânea (U - eq.2.30).

U =√

(U0 +u)2 + v2 (2.30)

O sistema de adimensionalização mais comum e que é seguido neste trabalho é oPrime-System I da SNAME [11]. Ele é feito em função de U , comprimento entre perpen-diculares (L) e massa específica da água (ρ). Para adimensionalizar uma variável, bastadividí-la pelo valor apresentado na tabela 2.1, que contém as principais unidades usadas.

Grandeza AdimensionalizaçãoMassa 1

2ρL3

Inércia 12ρL5

Posição LÂngulo 1

Velocidade linear UVelocidade angular U

LAceleração linear U2

LAceleração angular U2

L2

Força 12ρU2L2

Momento 12ρU2L3

Tabela 2.1: Valores para adimensionalizar dimensões.

Esse sistema é comumente usado para estudos de manobras, porém não pode ser tra-balhado para velocidade de serviço zero, como em posicionamento dinâmico. Isso porquevelocidades instantâneas de zero causariam divisões por zero na adimensionalização, cri-ando singularidades que causam erros matemáticos no modelo. Nesses casos, é comumusar o Bis-System de Norrbin[12].

Os parâmetros do modelo que são adimensionalizados com U costumam ser direta-mente identificados em suas formas adimensionais por elas serem constantes. Mesmo emmodelos dimensionais, esses parâmetros do modelo são substituídos por seus adimensio-nais multiplicados pelas variáveis que o tornam dimensional. A equação 2.31 exemplificaa substituição de um parâmetro dimensional pelo adimensional e o apêndice A mostra omesmo para todos os parâmetros que se encontram nesse caso.

Yv = Y ′v12

ρUL2 (2.31)

Assim, o modelo matemático final é apresentado na equação 2.32 como uma versãomodificada da equação 2.2. O símbolo ’ representa a adimensionalização.

M′ν ′+C′(ν ′)ν ′+D′(ν ′) = τ′(ν ′,δ ′) (2.32)

11

Capítulo 3

Método Proposto

Apresentados os três modelos matemáticos no capítulo anterior, eles são analisadosquanto a capacidade de se adequar a diferentes manobras com diferentes embarcações.Para isso, são definidas a seguir manobras base e os métodos de obtenção dos parâmetros.Uma análise do quanto as manobras geradas com os parâmetros encontrados se aproxi-mam das manobras base é feita através de uma função de comparação proposta nova.

3.1 Manobras Base

Existem três tipos de manobras padrão vastamente utilizadas para obter as derivadashidrodinâmicas de modelos de manobra: curva de giro, zigzag e espiral[13]. Dessas, asduas primeiras são utilizadas neste trabalho como manobras base de uma das embarca-ções.

A curva de giro é caracterizada pela imposição de um ângulo fixo de leme a umaembarcação navegando com velocidade constante à vante. Os resultados que caracterizamuma curva de giro, apresentados na figura 3.1, são:

• Avanço (Advance): distância entre a posição do momento de guinada no leme e aposição com aproamento de 90°em relação à inicial na direção inicial da embarca-ção.

• Transferência (Transfer): distância lateral entre as posições do item anterior.

• Diâmetro Tático (Tactical Diameter): distância lateral entre a posição do momentode guinada no leme e a posição com aproamento de 180°em relação à inicial.

• Diâmetro de Giro Estável (Steady Turning Diameter): diâmetro do círculo formadoquando a embarcação estabiliza a curva de giro.

12

Figura 3.1: Curva de giro típica com características relevantes.[2]

A manobra de zigzag é feita alternando o ângulo de leme (rudder angle) periodi-camente. Primeiramente define-se um ângulo de leme e um aproamento para guinada.Começando então a manobra de um estado estacionário, é feita a primeira guinada deleme, a qual é mantida até que o aproamento (heading) chegue ao valor predeterminado,quando a guinada de leme é dada para o ângulo oposto e o mesmo procedimento vai serepetindo. É usual que o ângulo de leme seja o mesmo do aproamento limitante, comoexemplifica a figura 3.2 para o ângulo de 20°.

Figura 3.2: Ângulo de aproamento e de leme típicos de uma manobra zigzag.[2]

13

A terceira manobra base utilizada nesse trabalho é a manobra oito, que não é padrãopara a identificação de sistemas. Ela foi incluída por apresentar em uma mesma manobramomentos de movimento estacionário em curva característicos da curva de giro e momen-tos de transição de guinada de leme característicos da manobra zigzag. Além disso, essamanobra pode ser executada em espaço bem menor que a manobra zigzag, facilitando suaexecução experimental em escala. Três ângulos são necessários para definir esta manobra:

• Ângulo de leme (δ ): como nas outras manobras, define a guinada inicial do leme eseu valor oposto para a guinada seguinte.

• Ângulo do primeiro giro (α): tendo com referência o aproamento inicial, esse ân-gulo define quantos graus são percorridos após a guinada inicial do leme até a se-gunda guinada. Ele fica como a referência para todas as guinadas posteriores. AFigura 3.3 exemplifica com α=90°.

• Ângulo de antecipação da guinada (β ): ele é utilizado para ambos os lados para evi-tar que o overshoot após a guinada distorça a manobra oito. A Figura 3.3 identificaβ nos momentos de guinada durante uma manobra.

Figura 3.3: Manobra oito com ângulos característicos.

3.2 Obtenção de Parâmetros

Obtidos os resultados de manobras base para uma embarcação, é possível utilizar aidentificação de sistemas para encontrar os parâmetros dos modelos matemáticos atra-vés de ensaios livres ou cativos. Neste trabalho, foram regredidas manobras livres e osparâmetros foram divididos em duas categorias:

14

• Constantes (seção 3.2.1): características da embarcação que foram mantidas iguaisem todos os modelos.

• A regredir (seção 3.2.2): variáveis não diretamente mensuráveis que foram obtidaspor regressão.

3.2.1 Parâmetros constantes

Apesar de esperado, é relevante ressaltar que todas as dimensões da embarcação sãoconstantes. Outros parâmetros diretamente mensuráveis são a massa (m), centro de gravi-dade (xg) e a inércia em yaw (Iz) na origem do referencial solidário (O). Medindo tambéma massa específica da água (ρ) é possível calcular todos os parâmetros anteriores em suasformas adimensionais utilizando a tabela 2.1.

Não é possível obter os parâmetros de massa adicional simultaneamente com os outrosparâmetros restantes em uma regressão. Entretanto, os métodos apresentados na seção2.4 têm aproximação suficiente para calculá-los[5]. Portanto, eles são obtidos uma vezpara uma embarcação e utilizados em todos os modelos dela. Lembrando que são cincoparâmetros de massa adicional: X ′u, Y ′v , Y ′r , N′v e N′r.

3.2.2 Parâmetros a regredir

Todos os parâmetros restantes se encontram nos componentes de amortecimento eforças de leme dos modelos. O primeiro passo para se obter esses parâmetros por re-gressão é ter todas as informações de uma manobra completa em função do tempo eadimensionalizá-las: posição, velocidade, aceleração e os parâmetros constantes. Casoapenas uma entre posição, velocidade e aceleração esteja disponível, é possível calcularas outras por derivação ou integração no tempo. Essas três comumente precisam de filtrospara funcionar idealmente na regressão devido aos ruídos na obtenção dos dados.

O passo seguinte para a regressão é o rearranjo da equação geral do modelo 2.32para a equação 3.1. Dessa forma, todos os parâmetros ainda desconhecidos se encontramno lado esquerdo da equação e podem ser montadas as equações de regressão como umsistema linear no formato da equação 3.2 para cada grau de liberdade do modelo. Issoé possível porque os parâmetros são independentes entre si. Assim, pode ser formadoum vetor de parâmetros (P) que multiplica uma matriz (A) em que cada linha representaum instante de tempo e as colunas com velocidades e ângulos são supostas linearmenteindependentes. No vetor solução do sistema (B), cada linha representa os resultados dascomponentes de massa e força coriolis-centrípeta para cada instante de tempo.

τ′(ν ′,δ ′)−D′(ν ′) = M′ν ′+C′(ν ′)ν ′ (3.1)

AP = B (3.2)

15

Antes de explicar como a regressão dos parâmetros sai como resultado das equaçõesno formato da equação 3.2, abaixo está uma sequência de equações que exemplifica, como modelo linear em sway, como são montadas essas regressões para cada modelo em cadagrau de liberdade. A equação 3.3 apresenta o modelo linear completo rearranjado comoa equação 3.1. Transformando a equação 3.3 em um sistema em função do tempo (t)obtém-se a equação 3.4. Por fim, o resultado de separar a parte de sway do sistema parao formato da equação 3.2 é a equação 3.5, a qual forma um sistema sobredeterminado aoincorporar todos os instantes de tempo.

δ′

0Y ′

δ

N′δ

+ X ′u 0 0

0 Y ′v Y ′r0 N′v N′r

u′

v′

r′

+ 0

Y ′0N′0

=

m′−X ′u 0 00 m′−Y ′v m′x′g−Y ′r0 m′x′g−N′v I′z−N′r

u′

v′

r′

+ 0 0 −m′(x′gr′+ v′)+Y ′vv′+Y ′r r′

0 0 m′u′−X ′uu′

m′(x′gr′+ v′)−Y ′vv′−Y ′r r′ −m′u′+X ′uu′ 0

u′

v′

r′

(3.3)

X ′uu′t = (m′−X ′u)u

′t− [(m′−Y ′v)v

′t +(m′x′g−Y ′r )r

′t ]r′t

Y ′δ

δ ′t +Y ′vv′t +Y ′r r′t +Y ′0 = Y ′v v′t +Y ′r r′t +(m′−X ′u)u′tr′t

N′δ

δ ′t +N′vv′t +N′rr′t +N′0 = (m′x′g−N′v)v

′t +(I′z−N′r)r

′t +[(m′x′g−Y ′r )r

′t +(X ′u−Y ′v)v

′t ]u′t

(3.4)v′1 r′1 1 δ ′1v′2 r′2 1 δ ′2v′3 r′3 1 δ ′3

...

Y ′vY ′rY ′0Y ′

δ

=

Y ′v v′1 +Y ′r r′1 +(m′−X ′u)u

′1r′1

Y ′v v′2 +Y ′r r′2 +(m′−X ′u)u′2r′2

Y ′v v′3 +Y ′r r′3 +(m′−X ′u)u′3r′3

...

(3.5)

Equações como a 3.5 para os outros graus de liberdade e os outros modelos se en-contram no apêndice B. Por resultar em sistemas lineares sobredeterminados de equaçõessupostas linearmente independentes, não há solução exata para os parâmetros. Portanto,seus valores são resultado de uma solução por mínimos quadrados, encontrada através dosoftware MATLAB® que utiliza fatoração QR para esses casos[14].

16

3.3 Função de Comparação

Definidos os parâmetros de cada modelo, as manobras são simuladas computacional-mente e podem ser comparadas à manobra base. Sutulo e Guedes Soares[15] e Bonci etal[2] apresentam como principais alternativas para a comparação de manobras: a análisede características típicas da manobra, como diâmetro tático pra curva de giro, a métricade Hausdorff e a métrica Euclidiana. Ambos concluem que a métrica de Hausdorff, oupequenas variações dela, satisfazem melhor suas análises de otimização das derivadas hi-drodinâmicas. Entretanto, o objetivo desta etapa do trabalho é diferente, os parâmetrosjá foram definidos e as manobras devem ser comparadas qualitativa e quantitativamenteapenas pelas posições em função do tempo.

As características típicas de uma manobra, exemplificadas para curva de giro na figura3.1, não favorecem uma comparação quantitativa por não haver modo de julgar qual dascaracterísticas é mais importante numa avaliação. As manobras podem ficar completa-mente diferentes mesmo que apenas uma das características esteja em desacordo com amanobra base.

A métrica de Hausdorff (ρH) é representada na Figura 3.4 e genericamente na equa-ção 3.7 para vetor η e vetor base η . Cada ponto de uma manobra tem uma distânciamínima para a outra manobra, isto é, há um ponto da outra manobra que é o mais pró-ximo dele. Dessas distâncias mínimas calculadas para cada ponto, a métrica de Hausdorffcalcula o valor máximo entre elas, portanto a maior distância entre duas manobras inde-pendentemente dos instantes de tempo que a embarcação passou nesses pontos. Apesarde apresentar um resultado quantificável, a falta de incorporação do tempo no cálculofaz com que a medida não tenha a qualidade necessária, já que duas curvas com mesmastrajetórias feitas com velocidades diferentes zerariam esta métrica, porém não podem serconsideradas manobras iguais.

A métrica Euclidiana (ρE), representada na Figura 3.4 e genericamente na equação3.8 para vetor η e vetor base η , calcula a integral da distância das manobras comparadasem cada instante de tempo. Qualitativamente, esta oferece a melhor garantia de que duasmanobras são completamente iguais, porém quantitativamente seu resultado é de difícilinterpretação, pois varia com o tempo de duração das manobras. A equação 3.6 representaa norma da diferença de dois vetores, o que calcula a distância entre dois pontos e éutilizada na fórmula de ambas métricas Euclidiana e de Hausdorff.

17

Figura 3.4: Métricas Euclidiana e de Hausdorff aplicadas a curvas de giro genéricas.[2]

ρ0(η , η) = |η− η | (3.6)

ρH(η(t), η(t)) = max

{sup

t1∈[0,T0]

inft2∈[0,T0]

ρ0(η(t1), η(t2)), supt2∈[0,T0]

inft1∈[0,T0]

ρ0(η(t1), η(t2))

}(3.7)

ρE(η(t), η(t)) =∫ T0

0ρ0(η(t), η(t))dt (3.8)

Nenhuma das métricas expostas anteriormente inclui os valores de aproamento nascomparações. Então, é definida uma métrica Euclidiana modificada (ρEM) com o ob-jetivo de incluí-los e também apresentar resultados com fácil interpretação quantitativa.Primeiramente, a equação 3.9 inclui os aproamentos e as posições adimensionalizadaspelo comprimento da embarcação (L) em x e y. Assim, os resultados finais são em por-centagem de L e um radiano de diferença no aproamento corresponda à distância de umcomprimento da embarcação.

A equação 3.13 calcula a métrica Euclidiana modificada (ρEM) como o coeficiente an-gular da reta obtida por regressão linear da distância entre manobras em função do tempo(E(t)) da equação 3.9. Com isso, ρEM representa o quanto as manobras comparadas sedistanciam em média, em porcentual do comprimento da embarcação (L) por unidade detempo. Dessa forma, o resultado quantitativo passa a ser mais independente do tempo, osaproamentos durante as manobras foram incluídos e as qualidades da métrica Euclidianaforam mantidas.

E(t) =

√(x(t)− x(t)

L

)2

+

(y(t)− y(t)

L

)2

+(ψ(t)− ψ(t))2 (3.9)

18

Sabendo a distância entre manobras em função do tempo (E(t)), a reta para a qual eladeve ser aproximada é definida como f (t) na equação 3.10. A equação 3.11 representaa soma das diferenças quadradas das funções f (t) e E(t) e a equação 3.12 representa aminimização dessas diferenças ao variar ρEM encontrando o ponto de mínimo, no qual aderivada é zero. A equação 3.13 é a solução da equação anterior isolando ρEM.

f (t) = tρEM (3.10)

g(t) =∫ T0

0( f (t)−E(t))2dt =

∫ T0

0(tρEM−E(t))2dt (3.11)

∂g(t)∂ρEM

= 2∫ T0

0(tρEM−E(t))tdt = 0 (3.12)

ρEM =3

T 30

∫ T0

0tE(t)dt (3.13)

Nas equações acima, x(t), y(t) e ψ(t) são as posições da manobra em função doinstante de tempo. A barra superior, como em x, indica que representa a manobra base.T0 é o período total de duração da manobra. Para tornar mais clara a métrica proposta, éapresentado no apêndice C um exemplo de cálculo completo da métrica para duas curvaszigzags em comparação com uma base.

19

Capítulo 4

Resultados e Discussões

Para verificar a adequação dos modelos e a eficácia do método proposto foram utili-zadas duas embarcações: um Mariner Class e um AHTS (Anchor Handling Tug Supply).Cada uma tem resultados analisados separadamente por terem manobras base distintas eobtidas de modo diferente, numericamente para o Mariner e experimentalmente para oAHTS em escala.

4.1 Mariner

Todas as manobras geradas computacionalmente para esta embarcação foram simu-ladas através do LabOSim, o simulador de manobras do LabOceano desenvolvido emSimulink®. Neste simulador, todos os inputs são adimensionalizados seguindo o Prime-

System I (seção 2.8), então os cálculos são feitos resolvendo a equação diferencial 2.32por Runge-Kutta 4ª ordem e, por fim, os outputs são dimensionalizados para análise dosresultados.

O Mariner foi escolhido como um dos navios de referência para este trabalho, poisseus parâmetros foram encontrados por Chislett e Strøm-Tejsen [3][16] para o modelocúbico de Abkowitz apresentado na seção 2.2 e existem diversos benchmarks sobre estaembarcação. Com seus parâmetros conhecidos, foram geradas computacionalmente asmanobras base utilizadas para encontrar os parâmetros dos modelos através de regressãopor mínimos quadrados.

4.1.1 Manobras Base

As manobras realizadas com a velocidade de serviço de 15nós (7.7175m/s) foramo zigzag com guinadas de leme de 20° ao alcançar aproamentos de 20°(ZZ2020) e acurva de giro com guinada de leme de 35°(TC35). Todas tiveram duração de 10 minutos,frequência de captura de dados em 100Hz e são apresentadas respectivamente nas figuras4.1 e 4.2. Em ambas são passados 10 segundos antes da guinada de leme inicial e os

20

pontos nas manobras das figuras estão em intervalos de 10 segundos. Por ser a primeirautilização do simulador LabOSim, as manobras base do Mariner foram comparadas comas geradas pelo software GNC[17] e apresentaram os mesmos resultados.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

X[m]

0

50

100

150

200

250

300

Y[m

]

Figura 4.1: Manobra zigzag (ZZ2020) base do Mariner.

-600 -400 -200 0 200 400 600 800

X[m]

-1000

-800

-600

-400

-200

0

Y[m

]

Figura 4.2: Curva de giro (TC35) base do Mariner.

21

4.1.2 Parâmetros

Como não há um modelo do Mariner para fazer medições, os parâmetros constan-tes dos modelos (seção 3.2.1) foram obtidos diretamente do artigo de origem de todosos parâmetros da embarcação[3]. A tabela 4.1 apresenta esses valores já em suas for-mas adimensionais: massa, inércia, centro de gravidade e massa adicional. Para essasadimensionalizações, o comprimento da embarcação (L) é de 160,93 metros.

Parâmetro Valor adimensionalm′ 798 ·10−5

I′z 39.2 ·10−5

x′g −0.023X ′u −42 ·10−5

Y ′v −748 ·10−5

Y ′r −9.354 ·10−5

N′v 4.646 ·10−5

N′r −43.8 ·10−5

Tabela 4.1: Parâmetros constantes do Mariner obtidos em [3].

Para a regressão dos outros parâmetros, são consideradas conhecidas apenas as posi-ções em função do tempo das manobras base. Portanto, o primeiro passo é a derivaçãodessas posições, seguindo a equação 2.8, para obtenção de velocidades e acelerações noreferencial solidário. Não houve necessidade de tratamentos com filtros, pois as manobrasgeradas computacionalmente apresentaram ruído desprezível.

Conhecidas todas as constantes das equações de regressão apresentadas na seção 3.2.2e no apêndice B, os modelos tiveram seus parâmetros calculados de três formas: apenascom o zigzag de base para regressão, apenas com a curva de giro e com ambas. Com isso,há um total de dez modelos distintos comparados, com legendas na Tabela 4.2.

Legenda Modelo Manobra da regressão

Base Cúbico -LinZZ Linear ZigZagLinTC Linear Giro

LinZZTC Linear ZigZag e GiroQuadZZ Quadrático ZigZagQuadTC Quadrático Giro

QuadZZTC Quadrático ZigZag e GiroCubZZ Cúbico ZigZagCubTC Cúbico Giro

CubZZTC Cúbico ZigZag e Giro

Tabela 4.2: Códigos de legenda para os modelos do Mariner a serem comparados.

22

As tabelas de 4.3 a 4.5 apresentam os parâmetros adimensionais da embarcação basee os calculados a partir das regressões feitas para os nove modelos.

Parâmetro LinZZ LinTC LinZZTCX ′u −173 ·10−5 −179 ·10−5 −178 ·10−5

Y ′v −1672 ·10−5 −2067 ·10−5 −1786 ·10−5

Y ′r −689 ·10−5 −378 ·10−5 −730 ·10−5

Y ′0 −0.95 ·10−5 −9 ·10−5 −1.4 ·10−5

Y ′δ

136 ·10−5 354 ·10−5 123 ·10−5

N′v −106 ·10−5 108 ·10−5 −9.2 ·10−5

N′r −95 ·10−5 −162 ·10−5 −51 ·10−5

N′0 1.5 ·10−5 3.6 ·10−5 1.6 ·10−5

N′δ

−79 ·10−5 −142 ·10−5 −64 ·10−5

Tabela 4.3: Parâmetros regredidos para modelos lineares do Mariner.

Parâmetro QuadZZ QuadTC QuadZZTCX ′u −410 ·10−5 18720 ·10−5 −179 ·10−5

X ′|u|u 1026 ·10−5 480 ·10−5 154 ·10−5

X ′u|δ | 98 ·10−5 −31276 ·10−5 −148 ·10−5

X ′δδ

−68 ·10−5 −53 ·10−5 −36 ·10−5

Y ′v −688 ·10−5 2486 ·10−5 −376 ·10−5

Y ′r −481 ·10−5 72 ·10−5 −401 ·10−5

Y ′|v|v −3604 ·10−5 −18514 ·10−5 −5622 ·10−5

Y ′|v|r 1180 ·10−5 819 ·10−5 693 ·10−5

Y ′0 −2.7 ·10−5 −4.7 ·10−5 −3 ·10−5

Y ′δ

277 ·10−5 313 ·10−5 300 ·10−5

Y ′|u|δ −252 ·10−5 −445 ·10−5 −68 ·10−5

Y ′|v|δ −249 ·10−5 −3417 ·10−5 −511 ·10−5

Y ′v|δ | 63 ·10−5 3435 ·10−5 −76 ·10−5

Y ′|δ |δ −23 ·10−5 −76 ·10−5 −60 ·10−5

N′v −458 ·10−5 −1559 ·10−5 −556 ·10−5

N′r −179 ·10−5 −361 ·10−5 −201 ·10−5

N′|v|v 1071 ·10−5 6025 ·10−5 1676 ·10−5

N′|v|r −409 ·10−5 −330 ·10−5 −297 ·10−5

N′0 2.2 ·10−5 3.2 ·10−5 −2.3 ·10−5

N′δ

−141 ·10−5 −153 ·10−5 −147 ·10−5

N′|u|δ 137 ·10−5 190 ·10−5 64 ·10−5

N′|v|δ 117 ·10−5 1529 ·10−5 188 ·10−5

N′v|δ | −6.2 ·10−5 −1443 ·10−5 40 ·10−5

N′|δ |δ 12 ·10−5 38 ·10−5 31 ·10−5

Tabela 4.4: Parâmetros regredidos para modelos quadráticos do Mariner.

23

Parâmetro CubZZ CubTC CubZZTC BaseX ′u −184 ·10−5 −245 ·10−5 −184 ·10−5 −184 ·10−5

X ′uu −108 ·10−5 −35 ·10−5 −110 ·10−5 −110 ·10−5

X ′vv −904 ·10−5 −654 ·10−5 −905 ·10−5 −899 ·10−5

X ′vr 794 ·10−5 892 ·10−5 793 ·10−5 −798 ·10−5

X ′rr −0.5 ·10−5 19 ·10−5 −0.6 ·10−5 18 ·10−5

X ′uuu −205 ·10−5 −91 ·10−5 −215 ·10−5 −215 ·10−5

X ′δδ

−95 ·10−5 −95 ·10−5 −95 ·10−5 −95 ·10−5

X ′vδ93 ·10−5 71 ·10−5 92 ·10−5 93 ·10−5

X ′uδδ−189 ·10−5 −14 ·10−5 −190 ·10−5 −190 ·10−5

X ′uvδ93 ·10−5 200 ·10−5 92 ·10−5 93 ·10−5

Y ′u −7.7 ·10−5 −647 ·10−5 −8.5 ·10−5 −8 ·10−5

Y ′v −1160 ·10−5 −1110 ·10−5 −1162 ·10−5 −1160 ·10−5

Y ′r −500 ·10−5 −497 ·10−5 −501 ·10−5 −499 ·10−5

Y ′uu −2.9 ·10−5 −252531 ·10−5 −6.2 ·10−5 −4 ·10−5

Y ′uv −1162 ·10−5 −1162 ·10−5 −1161 ·10−5 −1160 ·10−5

Y ′ur −500 ·10−5 −529 ·10−5 −500 ·10−5 −499 ·10−5

Y ′vvv −8071 ·10−5 −8098 ·10−5 −8027 ·10−5 −8078 ·10−5

Y ′vvr 15376 ·10−5 15220 ·10−5 15402 ·10−5 15356 ·10−5

Y ′0 −4 ·10−5 −4 ·10−5 −4 ·10−5 −4 ·10−5

Y ′δ

278 ·10−5 277 ·10−5 277 ·10−5 278 ·10−5

Y ′uδ559 ·10−5 1586 ·10−5 558 ·10−5 556 ·10−5

Y ′vδδ−19 ·10−5 −99 ·10−5 −18 ·10−5 −4 ·10−5

Y ′uuδ290 ·10−5 413655 ·10−5 285 ·10−5 278 ·10−5

Y ′vvδ1222 ·10−5 1029 ·10−5 1244 ·10−5 1190 ·10−5

Y ′δδδ

−89 ·10−5 −85 ·10−5 −88 ·10−5 −90 ·10−5

N′u 5.9 ·10−5 327 ·10−5 6.2 ·10−5 6 ·10−5

N′v −264 ·10−5 −289 ·10−5 −263 ·10−5 −264 ·10−5

N′r −166 ·10−5 −167 ·10−5 −165 ·10−5 −166 ·10−5

N′uu 2.5 ·10−5 126408 ·10−5 4.1 ·10−5 3 ·10−5

N′uv −263 ·10−5 −263 ·10−5 −264 ·10−5 −264 ·10−5

N′ur −166 ·10−5 −152 ·10−5 −166 ·10−5 −166 ·10−5

N′vvv 1623 ·10−5 1611 ·10−5 1597 ·10−5 1636 ·10−5

N′vvr −5490 ·10−5 −5409 ·10−5 −5505 ·10−5 −5483 ·10−5

N′0 3 ·10−5 3 ·10−5 3 ·10−5 3 ·10−5

N′δ

−139 ·10−5 −138 ·10−5 −139 ·10−5 −139 ·10−5

N′uδ−279 ·10−5 −796 ·10−5 −279 ·10−5 −278 ·10−5

N′vδδ20 ·10−5 60 ·10−5 20 ·10−5 13 ·10−5

N′uuδ−144 ·10−5 −207059 ·10−5 −142 ·10−5 −139 ·10−5

N′vvδ−511 ·10−5 −401 ·10−5 −523 ·10−5 −489 ·10−5

N′δδδ

45 ·10−5 43 ·10−5 44 ·10−5 45 ·10−5

Tabela 4.5: Parâmetros regredidos para modelos cúbicos do Mariner.

24

4.1.3 Comparação de Manobras

Todos os modelos, com seus respectivos parâmetros regredidos, foram simulados noLabOSim para as mesmas condições das manobras base: Zigzag com 20° de leme ao atin-gir aproamento de 20° e curva de giro com 35° de leme, ambos iniciando com velocidadede 15 nós à vante e dando a primeira guinada após 10 segundos. As manobras resultantesse encontram nas Figuras 4.3 e 4.4 seguindo a legenda mostrada na Tabela 4.2. As legen-das também incluem os resultados de comparação das manobras regredidas com as basepela métrica euclidiana modificada (ρEM) apresentada na seção 3.3.

Na Figura 4.3 ficaram de fora os modelos QuadTC e CubTC e na Figura 4.4 oQuadZZ. Isso se deve a erros de convergência durante as simulações para esses mode-los nas respectivas manobras das figuras.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

X[m]

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

Y[m

]

BaseLinZZ /

EM=4.27%L/min

LinTC / EM

=14.91%L/min

LinZZTC / EM

=6.29%L/min

QuadZZ / EM

=1.47%L/min

QuadZZTC / EM

=1.97%L/min

CubZZ / EM

=0.01%L/min

CubZZTC / EM

=0.02%L/min

Figura 4.3: ZigZags (ZZ2020) do Mariner para modelos regredidos.

25

-600 -400 -200 0 200 400 600 800

X[m]

-1000

-800

-600

-400

-200

0Y

[m]

BaseLinZZ /

EM=14.52%L/min

LinTC / EM

=0.84%L/min

LinZZTC / EM

=2.96%L/min

QuadTC / EM

=4.05%L/min

QuadZZTC / EM

=0.7%L/min

CubZZ / EM

=0.15%L/min

CubTC / EM

=2.79%L/min

CubZZTC / EM

=0.08%L/min

Figura 4.4: Curvas de giro (TC35) do Mariner para modelos regredidos.

Apresentadas conjuntamente as posições x e y da embarcação durante as manobras, aseguir são detalhados os resultados de aproamento (ψ) e velocidades (u, v e r) em funçãodo tempo para todos os modelos em cada uma das manobras. Os gráficos da Figura 4.5correspondem à zigzag e os da Figura 4.6 à curva de giro. O salto de valores no gráfico deaproamento da curva de giro acontece porque os valores de ângulo estão limitados entre-180°e 180°.

26

0 100 200 300 400 500 600

t[s]

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

[gra

us]

0 100 200 300 400 500 600

t[s]

6.4

6.6

6.8

7

7.2

7.4

7.6

7.8

u[m

/s]

0 100 200 300 400 500 600

t[s]

-1

-0.5

0

0.5

1

v[m

/s]

0 100 200 300 400 500 600

t[s]

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

r[ra

d/s]

BaseLinZZLinTCLinZZTCQuadZZQuadZZTCCubZZCubZZTC

Figura 4.5: Aproamento, velocidade em surge, velocidade em sway e velocidade angularem yaw do Mariner em função do tempo na manobra zigzag.

0 100 200 300 400 500 600

t[s]

-200

-100

0

100

200

[gra

us]

0 100 200 300 400 500 600

t[s]

5.5

6

6.5

7

7.5

8

u[m

/s]

0 100 200 300 400 500 600

t[s]

-0.5

0

0.5

1

1.5

v[m

/s]

0 100 200 300 400 500 600

t[s]

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

r[ra

d/s]

BaseLinZZLinTCLinZZTCQuadTCQuadZZTCCubZZCubTCCubZZTC

Figura 4.6: Aproamento, velocidade em surge, velocidade em sway e velocidade angularem yaw do Mariner em função do tempo na curva de giro.

27

4.1.4 Adequação de Modelos

A primeira análise diz respeito aos parâmetros encontrados nas regressões. Obser-vando as tabelas de resultados nota-se que alguns parâmetros têm valores muito discre-pantes entre os modelos, enquanto outros mantêm um padrão em quase todos.

Destaca-se o Xu que apresenta valores muito próximos do base (−184 ·10−5) em todosos modelos exceto em QuadZZ, QuadTC e CubTC, justamente os modelos que tiveramproblemas de convergência na simulação de uma das manobras. Em QuadTC, o parâ-metro inclusive se torna positivo perdendo ainda seu sentido físico, que é representar aresistência ao avanço em função da velocidade à vante. Mesmo assim, esses três modelosapresentaram para alguns parâmetros resultados bastante similares aos outros, como emYδ e Nδ entre os quadráticos e em Yuv e Nr entre os cúbicos.

Apesar de toda essa variação e discrepância de resultados para os parâmetros, os mo-delos cumprem bem as manobras para as quais foram regredidos. Seguindo a métricaeuclidiana modificada para comparações, apenas LinTC na manobra zigzag e LinZZ nacurva de giro passam dos 7%L/min. As manobras base nem chegam a aparecer bem nasfiguras por estarem cobertas pelos modelos cúbicos, CubZZTC chegou a 0,02%L/min nozigzag e 0,08%L/min no giro. Apesar de não incluídos na métrica, visualmente é possívelafirmar que os resultados das velocidades também estão de acordo.

Analisando em conjunto o resultado de ambas as manobras, verifica-se que os mode-los regredidos usando as duas, com final de legenda igual a ZZTC, não apresentaram amelhor performance individualmente por pouco, porém por muito apresentaram a melhorperformance no conjunto, principalmente nos modelos lineares. Dentre os modelos regre-didos com apenas uma das curvas, os que usaram a zigzag tiveram melhor performance.Isso pode ser explicado por a manobra de giro apresentar menor variação de estados, apósa guinada inicial de leme a embarcação fica em um estado de equilíbrio de forças, o quefica claro na comparação das velocidades nas Figuras 4.5 e 4.6. Assim, é dificultada aobtenção de resultados consistentes através da regressão, porque ela é baseada justamentena regressão de forças que, ao se cancelarem, minimizam o impacto dos parâmetros nosmodelos podendo criar distorções.

As análises acima mostram a facilidade com que se pode superestimar o poder deadequação de modelos de manobra. O modelo servir bem para uma manobra não garanteque servirá bem para outras, é importante saber as limitações dele ao defini-lo com todosseus parâmetros. O efeito que impede essa generalização direta é conhecido como derivade parâmetros, que acontece devido a multicolinearidade dos parâmetros, principalmenteem modelos mais complexos[5]. Isso indica que os sistemas de equações utilizados nasregressões podem não ser linearmente independentes como suposto. A maior variedadena dinâmica das manobras base permite que a deriva de parâmetros seja minimizada e osresultados possam ser melhor generalizados.

28

4.2 AHTS

O AHTS foi escolhido como um dos navios de referência para este trabalho, poisforam feitos ensaios experimentais de manobra no LabOceano com um modelo desse tipode embarcação, o qual se encontra na Figura 4.7. Dessa forma, a metodologia que foiaplicada anteriormente com manobras base geradas numericamente por simulação pôdeser utilizada para manobra base experimental. Os resultados dimensionais se encontramna escala do modelo.

Figura 4.7: Modelo de AHTS durante ensaios experimentais.

4.2.1 Manobra Base

A manobra base realizada para o AHTS foi a manobra oito com ângulo de leme (δ ) de30°, ângulo do primeiro giro (α) de 270° e ângulo de antecipação da guinada (β ) de 30°.A primeira guinada de leme ocorre 28 segundos após o início da manobra e a manobratem um total de 166,4 segundos. A curva resultante se encontra na Figura 4.8 com ospontos espaçados em intervalos de 2 segundos.

As posições foram obtidas através de sistema de rastreamento Qualisys. Nas deriva-ções para cálculo de velocidades e acelerações foi utilizado filtro Savitzky-Golay[18] paraminimização de ruídos. As Figuras 4.9 a 4.11 apresentam os resultados de velocidades eacelerações para os três graus de liberdade.

Devido ao espaço reduzido na realização da manobra e a instabilidade direcional iden-tificada na embarcação, não foi possível obter um estado estacionário inicial. Por isso, noinstante inicial de captura da manobra o AHTS estava com velocidades: 0,05 m/s emsurge, 0,004 m/s em sway e 0,006 rad/s em yaw. Entretanto, a velocidade de referênciautilizada para a adimensionalização foi a máxima em surge durante a manobra, 0,37 m/s,com os outros graus de liberdade zerados.

29

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

X[m]

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Y[m

]

Figura 4.8: Manobra oito base do AHTS.

0 200 400 600 800 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 200 400 600 800 1000-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

BrutoFiltrado

Figura 4.9: Velocidades e acelerações do AHTS em surge brutas e filtradas.

30

0 200 400 600 800 1000-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 200 400 600 800 1000-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

BrutoFiltrado

Figura 4.10: Velocidades e acelerações do AHTS em sway brutas e filtradas.

0 200 400 600 800 1000-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 200 400 600 800 1000-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

BrutoFiltrado

Figura 4.11: Velocidades e acelerações do AHTS em yaw brutas e filtradas.

4.2.2 Parâmetros

Os valores de massa, inércia em yaw, posição do centro de gravidade, comprimento emassa específica da água foram medidos diretamente para os ensaios experimentais e seencontram na Tabela 4.6. Os valores adimensionais utilizados na simulação foram obtidosseguindo o Prime-System I e se encontram na Tabela 4.7. Nela também estão as massasadicionais do AHTS, calculadas através do software WAMIT®, o qual utiliza a teoriapotencial de painéis para esses cálculos e fornece os resultados já adimensionalizados[19].

31

Parâmetro Valor Unidade

m 134,65 kgIz 3,11 ·107 kg.mm²xg −68,8 mmL 2187 mmρ 994 kg/m³

Tabela 4.6: Parâmetros medidos para ensaio com AHTS.

Parâmetro Valor adimensional

m′ 2596 ·10−5

I′z 125 ·10−5

x′g −3146 ·10−5

X ′u −25 ·10−5

Y ′v −173 ·10−5

Y ′r −5.5 ·10−5

N′v −5.5 ·10−5

N′r −7.8 ·10−5

Tabela 4.7: Parâmetros constantes do AHTS adimensionalizados.

Com todos os parâmetros constantes prontos, as regressões foram calculadas, porémas manobras resultantes não foram satisfatoriamente próximas à manobra base como noMariner. Então, foi realizada uma otimização para cada modelo com os parâmetros dasregressões como valores iniciais. Essas otimizações foram feitas no software MATLAB®com o algoritmo trust-region-reflective[20] buscando minimizar as diferenças em posi-ções e velocidades nos três graus de liberdade. Assim, há um total de seis modelos distin-tos a serem comparados e a legenda deles é explicada na Tabela 4.8.

Legenda Modelo OrigemBase - EnsaioLin Linear Regressão

LinOpt Linear OtimizaçãoQuad Quadrático Regressão

QuadOpt Quadrático OtimizaçãoCub Cúbico Regressão

CubOpt Cúbico Otimização

Tabela 4.8: Códigos de legenda para os modelos do AHTS a serem comparados.

As tabelas de 4.9 a 4.11 apresentam os parâmetros adimensionais para os seis mode-los.

32

Parâmetro Lin LinOptX ′u −2120 ·10−5 −1991 ·10−5

Y ′v −7386 ·10−5 −7798 ·10−5

Y ′r −6632 ·10−5 −6582 ·10−5

Y ′0 892 ·10−5 1376 ·10−5

Y ′δ

−537 ·10−5 987 ·10−5

N′v 446 ·10−5 543 ·10−5

N′r 227 ·10−5 314 ·10−5

N′0 −51 ·10−5 −100 ·10−5

N′δ

−296 ·10−5 −328 ·10−5

Tabela 4.9: Parâmetros regredidos para modelos lineares do AHTS.

Parâmetro Quad QuadOptX ′u −1065 ·10−5 −1441 ·10−5

X ′|u|u −805 ·10−5 −706 ·10−5

X ′u|δ | 2517 ·10−5 2966 ·10−5

X ′δδ

2072 ·10−5 1366 ·10−5

Y ′v −4396 ·10−5 −4551 ·10−5

Y ′r −5085 ·10−5 −5100 ·10−5

Y ′|v|v 115 ·10−5 1648 ·10−5

Y ′|v|r 1003 ·10−5 2126 ·10−5

Y ′0 379 ·10−5 264 ·10−5

Y ′δ

−1301 ·10−5 −2630 ·10−5

Y ′|u|δ 4482 ·10−5 4825 ·10−5

Y ′|v|δ −3024 ·10−5 −811 ·10−5

Y ′v|δ | 692 ·10−5 −174 ·10−5

Y ′|δ |δ −2726 ·10−5 −2974 ·10−5

N′v 457 ·10−5 457 ·10−5

N′r 270 ·10−5 270 ·10−5

N′|v|v −10 ·10−5 −350 ·10−5

N′|v|r −210 ·10−5 −211 ·10−5

N′0 −28 ·10−5 −30 ·10−5

N′δ

−83 ·10−5 −63 ·10−5

N′|u|δ −281 ·10−5 266 ·10−5

N′|v|δ −379 ·10−5 −476 ·10−5

N′v|δ | −53 ·10−5 489 ·10−5

N′|δ |δ 298 ·10−5 322 ·10−5

Tabela 4.10: Parâmetros regredidos para modelos quadráticos do AHTS.

33

Parâmetro Cub CubOptX ′u −1458 ·10−5 −1564 ·10−5

X ′uu 592 ·10−5 401 ·10−5

X ′vv −3610 ·10−5 −1891 ·10−5

X ′vr 4281 ·10−5 6391 ·10−5

X ′rr 400 ·10−5 731 ·10−5

X ′uuu −26 ·10−5 −75 ·10−5

X ′δδ

−2424 ·10−5 −2246 ·10−5

X ′vδ7470 ·10−5 7416 ·10−5

X ′uδδ−541 ·10−5 −785 ·10−5

X ′uvδ4007 ·10−5 3427 ·10−5

Y ′u −319 ·10−5 −463 ·10−5

Y ′v 1345 ·10−5 784 ·10−5

Y ′r −301 ·10−5 −1278 ·10−5

Y ′uu 91 ·10−5 15 ·10−5

Y ′uv 3456 ·10−5 3173 ·10−5

Y ′ur 940 ·10−5 143 ·10−5

Y ′vvv −1045 ·10−5 1926 ·10−5

Y ′vvr 2844 ·10−5 3838 ·10−5

Y ′0 −125 ·10−5 −122 ·10−5

Y ′δ

883 ·10−5 1779 ·10−5

Y ′uδ−1554 ·10−5 −1200 ·10−5

Y ′vδδ−1372 ·10−5 −1489 ·10−5

Y ′uuδ−233 ·10−5 521 ·10−5

Y ′vvδ−1022 ·10−5 −2476 ·10−5

Y ′δδδ

42 ·10−5 −5783 ·10−5

N′u 55 ·10−5 60 ·10−5

N′v 1.2 ·10−5 104 ·10−5

N′r −70 ·10−5 −75 ·10−5

N′uu 16 ·10−5 23 ·10−5

N′uv −457 ·10−5 −119 ·10−5

N′ur −47 ·10−5 0.5 ·10−5

N′vvv 710 ·10−5 716 ·10−5

N′vvr 84 ·10−5 160 ·10−5

N′0 19 ·10−5 22 ·10−5

N′δ

−234 ·10−5 −235 ·10−5

N′uδ74 ·10−5 137 ·10−5

N′vδδ184 ·10−5 −134 ·10−5

N′uuδ−58 ·10−5 −36 ·10−5

N′vvδ−307 ·10−5 62 ·10−5

N′δδδ

−110 ·10−5 −170 ·10−5

Tabela 4.11: Parâmetros regredidos para modelos cúbicos do AHTS.

34

4.2.3 Comparação de Manobras

As manobras resultantes se encontram nas Figuras 4.12 e 4.14 seguindo a legendamostrada na Tabela 4.8. As legendas também incluem os resultados de comparação dasmanobras com a base pela métrica euclidiana modificada (ρEM) apresentada na seção 3.3.Para facilitar a leitura das manobras, as Figuras 4.13 e 4.15 apresentam em miniatura ascomparações individuais de cada modelo com a manobra base.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X[m]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Y[m

]

BaseLin /

EM=87.95%L/min

Quad / EM

=64.5%L/min

Cub / EM

=49.37%L/min

Figura 4.12: Manobras 8 do AHTS de modelos regredidos.

0 5 10-2

0

2

4

6

8

0 5 10-2

0

2

4

6

8

0 5 10-2

0

2

4

6

8

Figura 4.13: Manobras 8 do AHTS de modelos regredidos comparadas individualmente.

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X[m]

-1

0

1

2

3

4

5

6

Y[m

]

BaseLinOpt /

EM=27.12%L/min

QuadOpt / EM

=14.61%L/min

CubOpt / EM

=13.78%L/min

Figura 4.14: Manobras 8 do AHTS de modelos otimizados.

0 5 10-2

0

2

4

6

8

0 5 10-2

0

2

4

6

8

0 5 10-2

0

2

4

6

8

Figura 4.15: Manobras 8 do AHTS de modelos otimizados comparadas individualmente.

Apresentadas conjuntamente as posições x e y da embarcação durante as manobras, aseguir são detalhados os resultados de aproamento (ψ) e velocidades (u, v e r) em funçãodo tempo para todos os modelos em cada uma das manobras. Os gráficos da Figura 4.16correspondem aos modelos regredidos e os da Figura 4.17 aos modelos otimizados. Osalto de valores nos gráficos de aproamento acontece porque os valores de ângulo estãolimitados entre -180°e 180°.

36

0 50 100 150 200

t[s]

-200

-100

0

100

200

[gra

us]

0 50 100 150 200

t[s]

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

u[m

/s]

0 50 100 150 200

t[s]

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

v[m

/s]

0 50 100 150 200

t[s]

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

r[ra

d/s]

BaseLinQuadCub

Figura 4.16: Aproamento, velocidade em surge, velocidade em sway e velocidade angularem yaw do AHTS em função do tempo nos modelos regredidos.

0 50 100 150 200

t[s]

-200

-100

0

100

200

[gra

us]

0 50 100 150 200

t[s]

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

u[m

/s]

0 50 100 150 200

t[s]

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

v[m

/s]

0 50 100 150 200

t[s]

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

r[ra

d/s]

BaseLinOptQuadOptCubOpt

Figura 4.17: Aproamento, velocidade em surge, velocidade em sway e velocidade angularem yaw do AHTS em função do tempo nos modelos otimizados.

37

4.2.4 Adequação de Modelos

O primeiro resultado mais evidente foi a falta de robustez da regressão em encontrarparâmetros que tornassem os modelos viáveis. Isso fez com que fosse necessária a otimi-zação desses parâmetros para minimizar a diferença das manobras para a base. Essa faltade robustez também é notável nos valores dos parâmetros, pois há grande variância emboa parte deles entre os modelos regredidos e os otimizados. Uma possível saída para esseproblema seria em trabalhos futuros primeiramente obter apenas os parâmetros linearesem manobras lentas, notadamente dominadas por eles. Assim, mínimos locais poderiamser evitados e as regressões dos outros parâmetros resultariam em melhores resultados.

Pela métrica euclidiana modificada, o modelo cúbico teve melhor performance queos outros, porém o modelo quadrático ficou próximo o suficiente para não ser descartadocomo inferior. A diferença entre ambos é muito menor que suas diferenças para a manobrabase. Por outro lado, o modelo linear não conseguiu atingir performance semelhante.

A otimização se mostrou imprescindível para a melhoria de performance e, possivel-mente, ela poderia ser ainda melhor com algoritmos mais sofisticados. Mesmo assim,a limitação desses modelos pode ser percebida ao comparar os resultados com o Mari-ner. Nele, a manobra base simulada fez com que os modelos tentassem representar unsaos outros, tarefa a qual cumpriram bem. No AHTS, a manobra base é experimental,portanto os modelos precisaram superar suas simplificações e não obtiveram resultadostão expressivos. A melhor performance dentre os seis modelos do AHTS, CubOpt comρEM=13,78%L/min, é pouco superior à pior performance dentre os nove modelos do Ma-riner, LinTC na manobra zigzag com ρEM=14,91%L/min.

Com isso, é possível interpretar que a dificuldade na representação fiel das manobrasnão está ligada apenas à ordem polinomial dos parâmetros de amortecimento e leme. Aadimensionalização em torno de uma velocidade de referência, considerando resistênciaao avanço e propulsão sempre iguais nela, pode causar distorções, principalmente quandonão se tem essa velocidade de referência. Assimetrias de casco, propulsores e lemestambém podem levar a variações de resultado não admitidas pelos modelos. Nenhumadessas distorções pôde ser percebida nos resultados do Mariner justamente por elas seremprovenientes de componentes não presentes nos modelos.

Por fim, é interessante notar que mesmo manobras com resultados de posições muitodistintos podem ter velocidades muito parecidas durante quase todo o período de mano-bra. Isso fica claro ao analisar a manobra oito base com a do modelo cúbico obtido porregressão (Cub). A Figura 4.12 mostra como ambas são diferentes, sendo ρEM da Cubigual a 49,37%L/min, e a Figura 4.16 mostra como suas velocidades são parecidas. Adiferença de velocidades que causa tamanho distanciamento de posições ocorre apenaspróximo ao instante de guinada do leme, 28 segundos, quando a velocidade em surge eyaw da manobra base são notadamente maiores que do modelo cúbico.

38

Capítulo 5

Conclusões

Este trabalho mostrou a complexidade relacionada à modelação matemática de ma-nobras ao percorrer o caminho completo da estruturação de modelos para dois naviosdistintos: um Mariner Class e um AHTS em escala. A comparação de resultados do Ma-riner mostra quanto os modelos podem se aproximar entre si e a do AHTS mostra quantoesses modelos podem se aproximar de uma manobra real.

No primeiro, a melhor performance do modelo cúbico era esperada devido às mano-bras base terem sido geradas computacionalmente com um modelo de mesma estrutura,mas os outros modelos também se adequaram bem a elas. Enquanto isso, o ensaio expe-rimental do AHTS enriqueceu as análises ao testar as simplificações propostas, tornandoclara a necessidade de modelos ainda mais rebuscados.

A regressão por mínimos quadrados foi insuficiente para obtenção dos parâmetrosde uma manobra real, mas estes serviram de boa estimativa inicial para otimizações quemelhoraram os resultados. Para as regressões e otimizações, quanto mais dados de ma-nobras base diferentes foram utilizados, melhor generalizados ficaram os modelos. Issonão significou necessariamente a performance mais precisa para manobras específicas,mas melhores performances gerais. No fim, o nível de precisão requerido dos modelosdepende de seu objetivo. O modelo linear, por exemplo, teve a pior performance nosresultados deste trabalho, mas costuma usado no projeto de piloto automático de lemes.

O desafio atual da modelação de manobras está na busca por métodos que garan-tam resultados rápidos e com grande precisão. A regressão seguida de otimização paraparâmetros polinomiais feita neste trabalho, que é um modelo caixa cinza, é um den-tre diversos métodos sendo testados, os quais vão desde CFD, modelo mais próximo àcaixa branca, até inteligência artificial, modelo caixa preta. Para se aproximar ainda maisda realidade em futuros estudos, esses modelos precisam superar os erros causados porsimplificações, incorporar mais graus de liberdade, incluir forças ambientais de vento,corrente e ondas e considerar efeitos de escala entre manobras experimentais e reais.

39

Referências Bibliográficas

[1] BLANKE, M., CHRISTENSEN, A. C. “Rudder-Roll Damping Autopilot Robust-ness to Sway-Yaw-Roll Couplings”, 10th Ship Control Systems Symposium,october 1993.

[2] BONCI, M., VIVIANI, M., BROGLIA, R., et al. “Method for estimating parametersof practical ship manoeuvring models based on the combination of RANSEcomputations and System Identification”, Applied Ocean Research, v. 52,pp. 274–294, 2015. doi: 10.1016/j.apor.2015.06.005.

[3] CHISLETT, M. S., STRØM-TEJSEN, J. Planar motion mechanism tests and full-

scale steering and manoeuvring predictions for a Mariner class vessel. Rela-tório Técnico Hy-5, Hydro- and Aerodynamics Laboratory, Lyngby, Denmark,1965.

[4] FORSELL, U., LINDSKOG, P. “Combining Semi-Physical and Neural Network Mo-deling: an Example of Its Usefullness”, SYSID ’97, 1997.

[5] LUO, W. “Parameter Identifiability of Ship Manoeuvring Modeling Using SystemIdentification”, Mathematical Problems in Engineering, 2016. doi: 10.1155/2016/8909170.

[6] ABKOWITZ, M. A. Lectures on ship hydrodynamics – Steering and maneuvering.Relatório Técnico Hy-5, Hydro- and Aerodynamics Laboratory, Lyngby, Den-mark, 1964.

[7] FEDYAEVSKY, K. K., SOBOLEV, G. V. Control and Stability in Ship Design. StateUnion Shipbuilding Publishing House, 1963.

[8] FOSSEN, T. I. Handbook of Marine Craft Hydrodynamics and Motion Control. WI-LEY, 2011.

[9] TRIANTAFYLLOU, M. S., HOVER, F. S. Maneuvering and Control of Marine Vehi-

cles. Cambridge, Massachusetts, USA, Department of Ocean Engineering,MIT, 2003.

40

[10] PEREZ, T., FOSSEN, T. I. “Kinematic models for manoeuvring and seakeeping ofmarine vessels”, Modeling, Identification and Control, v. 28, n. 1, pp. 19–30,2007. doi: 10.4173/mic.2007.1.3.

[11] SNAME. Nomenclature for Treating the Motion of a Submerged Body Through a

Fluid. Technical and Research Bulletin 1-5, New York, 1950.

[12] NORRBIN, N. H. “Theory and Observation on the Use of a Mathematical Modelfor Ship Maneuvering in Deep and Comfined Waters”. In: Proceedings of the

8th Symposium on Naval Hydrodynamics, Pasadena,CA, 1970.

[13] HORN, J. R. The Influence of Stern Vortices on Ship Manoeuvring. Tese de dou-torado, Department of Marine Technology/The University of Newcastle uponTyne, Newcastle upon Tyne, UKl, 2000.

[14] MATHWORKS®. “Documentation - mldivide - MATLAB R2017a”. . Dispo-nível em: <https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/mldivide.html>. Acessado: 31/07/2017.

[15] SUTULO, S., GUEDES SOARES, C. “An Algorithm for Offline Identification ofShip Manoeuvring Mathematical Models from Free-Running Tests”, Ocean

Engineering, janeiro 2014.

[16] RAJESH, G., RAJASEKHAR, G. G., BHATTACHARYYA, S. K. “System Identi-fication for Nonlinear Maneuvering of Ships Using Neural Network”, Journal

of Ship Research, v. 54, n. 1, pp. 1–14, march 2010.

[17] FOSSEN, T. I., PEREZ, T. “Marine Systems Simulator (MSS)”. 2004. Disponívelem: <http://www.marinecontrol.org>.

[18] SAVITZKY, A., GOLAY, M. J. E. “Smoothing and Differentiation of Data bySimplified Least Squares Procedures”, Analytical Chemistry, v. 36, pp. 1627–1639, julho 1964. doi: 10.1021/ac60214a047.

[19] INC., W. “WAMIT - User Manual”. Disponível em: <http://www.wamit.com/manualupdate/v72_manual.pdf>. Acessado: 21/08/2017.

[20] MATHWORKS®. “Documentation - Least-Squares (Model Fitting) Algorithms- MATLAB R2017a”. . Disponível em: <http://www.mathworks.com/help/optim/ug/least-squares-model-fitting-algorithms.html>.Acessado: 21/08/2017.

41

Apêndice A

Adimensionalização de Parâmetros

São apresentados na Tabela A.1 os parâmetros dos modelos que variam com a velo-cidade da embarcação e por isso são comumente trabalhados com suas versões adimen-sionais por essas serem constantes. É seguido o Prime-System I da SNAME [11], quedepende de velocidade instantânea (U - eq.2.30), comprimento entre perpendiculares (L)e massa específica da água (ρ).

Parâmetro Valor Parâmetro Valor Parâmetro ValorXu X ′u

12ρUL2 Yu Y ′u

12ρUL2 Nu N′u

12ρUL3

Xuu X ′uu12ρL2 Yv Y ′v

12ρUL2 Nv N′v

12ρUL3

Xvv X ′vv12ρL2 Yr Y ′r

12ρUL3 Nr N′r

12ρUL4

Xvr X ′vr12ρL3 Yuu Y ′uu

12ρL2 Nuu N′uu

12ρL3

Xrr X ′rr12ρL4 Yuv Y ′uv

12ρL2 Nuv N′uv

12ρL3

Xuuu X ′uuu12ρU−1L2 Yur Y ′ur

12ρL3 Nur N′ur

12ρL4

Xδδ X ′δδ

12ρU2L2 Yvvv Y ′vvv

12ρU−1L2 Nvvv N′vvv

12ρU−1L3

Xvδ X ′vδ

12ρUL2 Yvvr Y ′vvr

12ρU−1L3 Nvvr N′vvr

12ρU−1L4

Xuδδ X ′uδδ

12ρUL2 Y0 Y ′0

12ρU2L2 N0 N′0

12ρU2L3

Xuvδ X ′uvδ

12ρL2 Yδ Y ′

δ

12ρU2L2 Nδ N′

δ

12ρU2L3

X|u|u X ′|u|u12ρL2 Yuδ Y ′uδ

12ρUL2 Nuδ N′uδ

12ρUL3

Xu|δ | X ′u|δ |12ρUL2 Yvδδ Y ′vδδ

12ρUL2 Nvδδ N′vδδ

12ρUL3

Yuuδ Y ′uuδ

12ρL2 Nuuδ N′uuδ

12ρL3

Yvvδ Y ′vvδ

12ρL2 Nvvδ N′vvδ

12ρL3

Yδδδ Y ′δδδ

12ρU2L2 Nδδδ N′

δδδ

12ρU2L3

Y|v|v Y ′|v|v12ρL2 N|v|v N′|v|v

12ρL3

Y|v|r Y ′|v|r12ρL3 N|v|r N′|v|r

12ρL4

Y|u|δ Y ′|u|δ12ρUL2 N|u|δ N′|u|δ

12ρUL3

Y|v|δ Y ′|v|δ12ρUL2 N|v|δ N′|v|δ

12ρUL3

Yv|δ | Y ′v|δ |12ρUL2 Nv|δ | N′v|δ |

12ρUL3

Yδ |δ | Y ′δ |δ |

12ρU2L2 Nδ |δ | N′

δ |δ |12ρU2L3

Tabela A.1: Parâmetros dimensionais e parâmetros adimensionais multiplicados por va-lores que os dimensionalizam.

42

Apêndice B

Regressão de Parâmetros

• X linear:u′1u′2u′3...

[

X ′u]=

(m′−X ′u)u

′1− [(m′−Y ′v)v

′1 +(m′x′g−Y ′r )r

′1]r′1

(m′−X ′u)u′2− [(m′−Y ′v)v

′2 +(m′x′g−Y ′r )r

′2]r′2

(m′−X ′u)u′3− [(m′−Y ′v)v

′3 +(m′x′g−Y ′r )r

′3]r′3

...

(B.1)

• Y Linear:v′1 r′1 1 δ ′1v′2 r′2 1 δ ′2v′3 r′3 1 δ ′3

...

Y ′vY ′rY ′0Y ′

δ

=

Y ′v v′1 +Y ′r r′1 +(m′−X ′u)u

′1r′1

Y ′v v′2 +Y ′r r′2 +(m′−X ′u)u′2r′2

Y ′v v′3 +Y ′r r′3 +(m′−X ′u)u′3r′3

...

(3.5)

• N Linear:v′1 r′1 1 δ ′1v′2 r′2 1 δ ′2v′3 r′3 1 δ ′3

...

N′vN′rN′0N′

δ

=

=

(m′x′g−N′v)v

′1 +(I′z−N′r)r

′1 +[(m′x′g−Y ′r )r

′1 +(X ′u−Y ′v)v

′1]u′1

(m′x′g−N′v)v′2 +(I′z−N′r)r

′2 +[(m′x′g−Y ′r )r

′2 +(X ′u−Y ′v)v

′2]u′2

(m′x′g−N′v)v′3 +(I′z−N′r)r

′3 +[(m′x′g−Y ′r )r

′3 +(X ′u−Y ′v)v

′3]u′3

...

(B.2)

43

• X Quadrático:u′1 u′2 u′3 ...

|u′1|u′1 |u′2|u′2 |u′3|u′3 ...

δ ′1δ ′1 δ ′2δ ′2 δ ′3δ ′3 ...

u′1|δ ′1| u′2|δ ′2| u′3|δ ′3| ...

T

X ′uX ′|u|uX ′

δδ

X ′u|δ |

=

(m′−X ′u)u

′1− [(m′−Y ′v)v

′1 +(m′x′g−Y ′r )r

′1]r′1

(m′−X ′u)u′2− [(m′−Y ′v)v

′2 +(m′x′g−Y ′r )r

′2]r′2

(m′−X ′u)u′3− [(m′−Y ′v)v

′3 +(m′x′g−Y ′r )r

′3]r′3

...

(B.3)

• Y Quadrático:

v′1 v′2 v′3 ...

r′1 r′2 r′3 ...

|v′1|v′1 |v′2|v′2 |v′3|v′3 ...

|v′1|r′1 |v′2|r′1 |v′3|r′1 ...

1 1 1 ...

δ ′1 δ ′2 δ ′3 ...

|u′1|δ ′1 |u′2|δ ′2 |u′3|δ ′3 ...

|v′1|δ ′1 |v′2|δ ′2 |v′3|δ ′3 ...

v′1|δ ′1| v′2|δ ′2| v′3|δ ′3| ...

|δ ′1|δ ′1 |δ ′2|δ ′2 |δ ′3|δ ′3 ...

T

Y ′vY ′r

Y ′|v|vY ′|v|rY ′0Y ′

δ

Y ′|u|δY ′|v|δY ′v|δ |Y ′|δ |δ

=

(m′−Y ′v)v

′1 +(m′x′g−Y ′r )r

′1 +(m′−X ′u)u

′1r′1

(m′−Y ′v)v′2 +(m′x′g−Y ′r )r

′2 +(m′−X ′u)u

′2r′2

(m′−Y ′v)v′3 +(m′x′g−Y ′r )r

′3 +(m′−X ′u)u

′3r′3

...

(B.4)

• N Quadrático:

v′1 v′2 v′3 ...

r′1 r′2 r′3 ...

|v′1|v′1 |v′2|v′2 |v′3|v′3 ...

|v′1|r′1 |v′2|r′1 |v′3|r′1 ...

1 1 1 ...

δ ′1 δ ′2 δ ′3 ...

|u′1|δ ′1 |u′2|δ ′2 |u′3|δ ′3 ...

|v′1|δ ′1 |v′2|δ ′2 |v′3|δ ′3 ...

v′1|δ ′1| v′2|δ ′2| v′3|δ ′3| ...

|δ ′1|δ ′1 |δ ′2|δ ′2 |δ ′3|δ ′3 ...

T

N′vN′r

N′|v|vN′|v|rN′0N′

δ

N′|u|δN′|v|δN′v|δ |N′|δ |δ

=

=

(m′x′g−N′v)v

′1 +(I′z−N′r)r

′1 +[(m′x′g−Y ′r )r

′1 +(X ′u−Y ′v)v

′1]u′1

(m′x′g−N′v)v′2 +(I′z−N′r)r

′2 +[(m′x′g−Y ′r )r

′2 +(X ′u−Y ′v)v

′2]u′2

(m′x′g−N′v)v′3 +(I′z−N′r)r

′3 +[(m′x′g−Y ′r )r

′3 +(X ′u−Y ′v)v

′3]u′3

...

(B.5)

44

• X Cúbico:

u′1 u′2 u′3 ...

u′1u′1 u′2u′2 u′3u′3 ...

v′1v′1 v′2v′2 v′3v′3 ...

v′1r′1 v′2r′2 v′3r′3 ...

r′1r′1 r′2r′2 r′3r′3 ...

u′1u′1u′1 u′2u′2u′2 u′3u′3u′3 ...

v′1δ ′1 v′2δ ′2 v′3δ ′3 ...

u′1v′1δ ′1 u′2v′2δ ′2 u′3v′3δ ′3 ...

δ ′1δ ′1 δ ′2δ ′2 δ ′3δ ′3 ...

u′1δ ′1δ ′1 u′2δ ′2δ ′2 u′3δ ′3δ ′3 ...

T

X ′uX ′uu

X ′vv

X ′vr

X ′rr

X ′uuu

X ′vδ

X ′uvδ

X ′δδ

X ′uδδ

=

(m′−X ′u)u

′1

(m′−X ′u)u′2

(m′−X ′u)u′3

...

(B.6)

• Y Cúbico:

u′1 u′2 u′3 ...

v′1 v′2 v′3 ...

r′1 r′2 r′3 ...

u′1u′1 u′2u′2 u′3u′3 ...

u′1v′1 u′2v′2 u′3v′3 ...

u′1r′1 u′2r′2 u′3r′3 ...

v′1v′1v′1 v′2v′2v′2 v′3v′3v′3 ...

v′1v′1r′1 v′2v′2r′2 v′3v′3r′3 ...

1 1 1 ...

δ ′1 δ ′2 δ ′3 ...

u′1δ ′1 u′2δ ′2 u′3δ ′3 ...

u′1u′1δ ′1 u′2u′2δ ′2 u′3u′3δ ′3 ...

v′1v′1δ ′1 v′2v′2δ ′2 v′3v′3δ ′3 ...

v′1δ ′1δ ′1 v′2δ ′2δ ′2 v′3δ ′3δ ′3 ...

δ ′1δ ′1δ ′1 δ ′2δ ′2δ ′2 δ ′3δ ′3δ ′3 ...

T

Y ′uY ′vY ′rY ′uu

Y ′uv

Y ′ur

Y ′vvv

Y ′vvr

Y ′0Y ′

δ

Y ′uδ

Y ′uuδ

Y ′vvδ

Y ′vδδ

Y ′δδδ

=

(m′−Y ′v)v

′1 +(m′x′g−Y ′r )r

′1

(m′−Y ′v)v′2 +(m′x′g−Y ′r )r

′2

(m′−Y ′v)v′3 +(m′x′g−Y ′r )r

′3

...

(B.7)

45

• N Cúbico:

u′1 u′2 u′3 ...

v′1 v′2 v′3 ...

r′1 r′2 r′3 ...

u′1u′1 u′2u′2 u′3u′3 ...

u′1v′1 u′2v′2 u′3v′3 ...

u′1r′1 u′2r′2 u′3r′3 ...

v′1v′1v′1 v′2v′2v′2 v′3v′3v′3 ...

v′1v′1r′1 v′2v′2r′2 v′3v′3r′3 ...

1 1 1 ...

δ ′1 δ ′2 δ ′3 ...

u′1δ ′1 u′2δ ′2 u′3δ ′3 ...

u′1u′1δ ′1 u′2u′2δ ′2 u′3u′3δ ′3 ...

v′1v′1δ ′1 v′2v′2δ ′2 v′3v′3δ ′3 ...

v′1δ ′1δ ′1 v′2δ ′2δ ′2 v′3δ ′3δ ′3 ...

δ ′1δ ′1δ ′1 δ ′2δ ′2δ ′2 δ ′3δ ′3δ ′3 ...

T

N′uN′vN′rN′uu

N′uv

N′ur

N′vvv

N′vvr

N′0N′

δ

N′uδ

N′uuδ

N′vvδ

N′vδδ

N′δδδ

=

(m′x′g−N′v)v

′1 +(I′z−N′r)r

′1

(m′x′g−N′v)v′2 +(I′z−N′r)r

′3

(m′x′g−N′v)v′3 +(I′z−N′r)r

′3

...

(B.8)

46

Apêndice C

Exemplo - Métrica EuclidianaModificada

Relembrando as equações apresentadas no corpo do relatório para a métrica:

E(t) =

√(x(t)− x(t)

L

)2

+

(y(t)− y(t)

L

)2

+(ψ(t)− ψ(t))2 (3.9)

ρEM =3

T 30

∫ T0

0tE(t)dt (3.13)

Como os valores de posições e instantes de tempo costumam ser conhecidos como lis-tas de valores, e não funções, a representação pode ser modificada para se adequar a essarealidade e facilitar sua utilização computacional. Montando a enupla Θ = (t0, t1, ..., tn)

para representar os instantes de tempo, t0 = 0, tn = T0 e o tamanho n depende da quan-tidade de dados aquisitados. Da mesma forma, x = (x0,x1, ...,xn), y = (y0,y1, ...,yn)

e ψ = (ψ0,ψ1, ...,ψn) são as posições da embarcação em cada um desses instantes detempo.

Assim, a distância entre manobras também pode ser calculada como uma enupla E

seguindo a equação C.1. O maior diferencial desse formato se encontra neste momento,ao ser possível substituir a equação 3.13 pela C.2. Isso é feito considerando as enuplasE e Θ como matrizes de uma coluna cada e utilizando o conceito de matriz pseudoin-versa Moore-Penrose, no caso (ΘT Θ)−1ΘT , para calcular a inclinação (ρEM) da reta pormínimos quadrados para se adequar aos dados de E.

E =

√(x− x

L

)2

+

(y− y

L

)2

+(ψ− ψ)2 (C.1)

ρEM = (ΘTΘ)−1

ΘT E (C.2)

47

O exemplo mostrado a seguir compara as duas manobras zigzag com a base na FiguraC.1 para o Mariner com 160,93 metros de comprimento. Os eixos não estão em mesmasproporções para facilitar a visualização das curvas. A diferença de uma curva para a base,seguindo a métrica euclidiana modificada (ρEM), se encontra na legenda e será calculadacompletamente a seguir.

Dadas as manobras, o primeiro passo é calcular seus vetores de diferenças no tempo,segundo equação C.1. Os resultados de E se encontram na figura C.2. Junto ao vetor deinstantes de tempo (Θ), a equação C.2 de regressão linear calcula o coeficiente angular dareta pontilhada (ρEM) que representa quanto, na média da manobra, sua diferença para abase aumenta com o tempo.

Qualitativamente, é possível analisar visualmente que a curva vermelha (ZigZag1)é mais parecida com a preta (ZigZag base) do que a azul (ZigZag2) com a preta e osresultados de ρEM estão de acordo. Quantitativamente, verifica-se que ambas curvas sãobastante próximas da curva base, apresentando 4,3%L/min como o maior valor de ρEM.Essa é uma distância difícil de ser notada visualmente sem registrar com precisão asposições da manobra.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

metros

0

50

100

150

200

250

300

met

ros

ZigZag baseZigZag1 /

EM=4.3%L/min

ZigZag2 / EM

=1.5%L/min

Figura C.1: Curvas zigzag com marcações de tempo.

48

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

[min]

0

10

20

30

40

50

60

70

E [%

L]

E - ZigZag1FitLin - ZigZag1E - ZigZag2FitLin - ZigZag2

Figura C.2: Diferenças dos zigzags para base e linearização das diferenças.

49