Complex Analysis[1]

8/3/2019 Complex Analysis[1]

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Uma introducao a Analise Complexa

Airton Von Sohstein de Medeiros Leonardo Meireles Camara

Versao prelimiar de 08 de julho de 2007


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Resumo

Estas notas se dedicam ao estudo geometrico das funcoes complexas, introduzindo de forma ele-mentar e natural alguns conceitos fundamentais em matematica tais como o conceito de superfciede Riemann, homolologia, ndice de rotacao (winding number), monodromia etc, em exemplossimples que motivaram de fato a criacao de tais conceitos buscando com isso tornar claroos pontos geometricos fundamentais no estudo de tais funcoes e da sua relacao com seus domniosde definicao naturais. Apesar de introduzir conceitos mais adiantados em Matematica, de formaalguma ele compromete a clareza da leitura do texto, podendo ser aplicado tanto para estudantesno final de um curso de graduacao quanto no incio de um curso de mestrado em Matematica, sendotambem util para estudantes do curso de Fsica ou Engenharia que queiram tomar conhecimentode tais assuntos de maneira nao traumatica.

Nele desenvolve-se inicialmente as funcoes elementares mais basicas para depois tratar da Teoriade Integracao de Cauchy. Finalmente trata-se da Teoria de funcoes do ponto de vista de Weierstrassou seja da convergencia de series e continuacao analtica.

A motivacao natural destas notas, a despeito de varios textos classicos sobre o assunto, e proveruma texto em portugues que levasse o leitor ao conhecimento nao apenas de uma forma de obteros resultados nele contidos mas de faze-lo de maneira geometrica, explicitando os argumentostopologicos que fundamentam os resultado, da forma mais natural possvel.

Este texto e baseado em notas de aula do primeiro autor elaboradas enquanto professor do cursode analise complexa ministrados no Mestrado em Matematica do IM-UFRJ e desenvolvido parale-

lamente nos cursos de variaveis complexas ministrado na Graduacao dos Cursos de Matematica eFsica do CCE-UFES.


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Sumario

1 Funcoes complexas 31.1 Numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 O Corpo dos numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Representacao polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Retas e semi-planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Funcoes de uma variavel complexa: Limite e continuidade . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Funcoes holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1 Revisao de diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.4 Holomorfia versus diferenciabilidade: Transformacoes C-lineares . . . . . . . 15

1.4 Consequencias das equacoes de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.1 A conjugada harmonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.2 Exemplo de nao existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.3 Uma interpretacao em termos de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.4 As variaveis z e z: diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.5 Transformacoes conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Funcoes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.1 A funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.2 Interpretacao geometrica de exp(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.3 As funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.4 Logaritmos de um numero complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.5 Ramos de logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.6 Ramos de argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.7 Ramos de logaritmo primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.8 Das propriedades de Log(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.9 Ramos de raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.10 Potencias com expoentes arbitrarios: Ramos de potencia . . . . . . . . . . . 351.5.11 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 Teoria da integracao complexa de Cauchy 402.1 Primitivas e formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.1 O problema central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.2 Formulando o problema em termos de diferenciais . . . . . . . . . . . . . . 412.1.3 1-formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.4 Integracao em caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.5 Integracao de 1-formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

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2.1.6 Retornando ao problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.7 Primitivas em um disco aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Consequencias do Teorema de Cauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.1 Formula integral de Cauchy e derivadas de ordem superior . . . . . . . . . 522.2.2 Consequencias da formula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.3 Indices de pontos com relacao a curvas e a forma geral da f ormula integralde Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3 Estrutura local das singularidades isoladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3.1 Singularidades isoladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.2 Zeros de funcoes holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.3 Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.3.4 Singularidades essenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4 Funcoes holomorfas na esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.4.1 Singularidades no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.4.2 O plano estendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4.3 Funcoes inteiras: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4.4 Exerccio (pontos singulares) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.5 Derivada logaritmica e princpio do argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.5.1 Princpio do argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.5.2 Numero de solucoes da equacao f(z) = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.5.3 Estrutura local da funcoes holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.5.4 Princpio do argumento para funcoes meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . 772.5.5 O Teorema de Rouche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5.6 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3 Primitivas e Homologia 803.1 Uma revisao de conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.1.1 Definicao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.1.2 O caso particular M = Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2 Primitivas de formas diferenciais fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2.1 Cadeias e ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2.2 Domnios multiplamente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.2.3 Polos e resduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2.4 Uma breve digressao sobre homotopia e homologia . . . . . . . . . . . . . . 933.2.5 Uma breve digresao sobrre homotopia e homologia . . . . . . . . . . . . . . 943.2.6 Domnios multiplamente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.2.7 Resduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

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Captulo 1

Funcoes complexas

Iremos introduzir alguns aspectos preliminares ao estudo das fun coes complexas, abordando suaspropriedades basicas de continuidade e diferenciabilidade.

1.1 Numeros complexosNesta secao iremos recordar o conceito de numero complexo e algumas de suas propriedadesalgebricas e geometricas mais basiscas.

1.1.1 O Corpo dos numeros complexos

Sendo R o corpo dos numeros reais, entao denotaremos por C a extensao de R dada pela adjuncaoao mesmo das solucoes da equacao x2 + 1 = 0, ou seja

C =

z = x + iy : x, y R, i2 = 1 .com a soma e o produto dados por z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) e z1 z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) =x1(x2 + iy2) + iy1(x2 + iy2) = (x1x2

y1y2) + i(x1y2 + x2y1) respectivamente, onde zj = xj + iyj ,

j = 1, 2.

Notacao 1.1.1 Sendo z = x + iy entao chamamos x de parte real e y de parte imaginaria de z,denotando-os por: x = Re(z) e y = Im(z), respectivamente.

Observacao 1.1.2 Por vezes ao inves de notarmos o produto porz1z2, iremos faze-lo t ao somentepor z1z2.

Deixaremos como exerccio para o leitor, a verificacao de que com tais operacoes o conjuntodos numeros complexos e de fato um corpo ou seja:

Proposicao 1.1.3 Sendo zj = xj + iyj, j = 1, 2. Entao temos

1. z1z2 = z2z1 (comutatividade);

2. (z1z2)z3 = z1(z2z3) (associatividade do produto);

3. Sendo 1 = 1 + i0, entao z 1 = 1 z = z para todo z C (existencia de elemento neutro damultiplicacao);

4. Se z = x + iy C = C {0} entao temos z z1 = z1 z = 1, onde z1 = xx2+y2 i yx2+y2(existencia de inversa);

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5. (z1 + z2)z3 = z1z2 + z1z3 (distributividade da soma);

6. z1z2 = 0 se, e somente se, z1 = 0 ou z2 = 0 (inexistencia de divisores de zero).

Notacao 1.1.4 z1z2 := z1z12 .

Claramente, tal corpo e isomorfo, como espaco vetorial, a R2, atraves da aplicacao x + iy(x, y). De tal isomorfismo obteremos uma descricao geometrica das propriedades de C. Em par-

ticular, podemos induzir em R2 o produto (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 y1y2, x1y2 + x2y1). Emparticular teremos i = (0, 1) e i2 = (0, 1) (0, 1) = (0 1, 0 0) = (1, 0). Portanto i e chamadounidade imaginaria.

Observacao 1.1.5 Nos numeros reais se introduz o conceito de raiz quadrada de um numero naonegativo a R0 como sendo o numero nao negativo x =

a R0 satisfazendo a equacao

algebrica x2 + a = 0. Em alguns livros se usa a notacao i =1, pelo fato de atender a equacao

x2 + 1 = 0.

Sendo z = x + iy entao denotamos por z := x iy o complexo conjugado de z.

Novamente deixamos para o leitor a verificacao das seguintes propriedades da operacao deconjugacao.

Proposicao 1.1.6 Sendo z, zj C, j = 1, 2. Entao temos:

1. z = z ;

2. (z1 z2) = z1 z2;3. (z1 + z2) = z1 + z2;

4. z1 = (z)1;

5.z1z2

= z1z2 ;

6. z = z se, e somente se, z

R.

Por outro lado, C herda a norma euclidiana de R2: |z = x + iy| = x2 + y2, que satisfaz asseguintes propriedades

Proposicao 1.1.7 Sendo z, zj C, j = 1, 2. Entao temos:

(1) |z| = (zz)1/2 ;

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(2) |z| = |z|;(3) |z1z2| = |z1||z2|;(4) |z1 + z2| |z1| + |z2|;(5)

||z1

| |z2

|| |z1

z2

| |z1

|+

|z2

|;

(6)z1z2 = |z1||z2| ;

(7) 1z =z|z|2z = 0.

1.1.2 Representacao polar

Vamos agora nos utilizar da identificacao entre o corpo dos numeros complexos e do plano real uti-lizando assim as coordenadas polares de R2 {(0, 0)} para descrever geometricamente os elementosde C = C{0}. De fato, dado z C, entao existe (r, ) R+ R tais que

z = r(cos + i sen ), z = 0.

Tal representacao nos permite por exemplo descrever geometricamente o produto ente doisnumeros complexos. De fato, sendo zj = rj(cos j + i sen j), j = 1, 2, entao pela lei dos senos edos cosenos, temos

z1 z2 = r1r2(cos(1 + 2) + i sen(1 + 2)) (1.1)

Observacao 1.1.8 Note que se |a| = 1, entao a aplicacao z az e de fato uma rotacao. Quando|a| = 1, temos entao uma rotacao seguida de uma homotetia

Uma consequencia imediata da equacao (1.1) e a chamada lei de Moivre: (cos + i sen )n =cos(n) + i sen(n), ou mais apropriadamente zn = rn(cos(n) + i sen(n)).

Definicao 1.1.9 Chamamos de argumento de um numero complexo z C, denotado porarg(z),a qualquer numero real tal que z = r(cos + i sen ). Em particular, se arg1(z) e arg2(z) sao doisargumentos distintos de z = 0, entaoarg1(z) arg2(z) = 2n, n Z. Finalmente chamamos devalor principal do argumento de z, denotando-o por Arg(z), ao argumento de z que satisfazas inequacoes:

< Arg(z)

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Deixamos como exerccio a prova das seguintes propriedades do argumento:

Proposicao 1.1.10 Sendo z, zj = 0, j=1,2. Entao temos:(1) arg(z1 z2) = arg(z1) + arg(z2) (mod 2);(2) arg(z1z2 ) = arg(z1) arg(z2) (mod 2);(3) arg(zn) = n arg(z) (mod 2);

(4) z1 = z2 se, e somente se, |z1| = |z2| e arg(z1) = arg(z2) (mod 2).Note que a definicao do corpo dos numeros complexos e feita de tal forma a permitir a solucao

da equacao algebrica z2 +1 = 0. Desta forma, torna-se natural identificar as solucoes das equacoesalgebricas da forma zn a = 0.Proposicao 1.1.11 Sendo a C, entao as solucoes da equacao algebrica

zn a = 0sao dadas por

zk =n

|a|(cos(Arg(a)+2kn ) + i sen(Arg(a)+2kn )) , k = 0 n 1.

Prova. Sendo a = r(cos + i sen ) e z = (cos + i sen ) entao temos:

n(cos n + i sen n) = r(cos + i sen )

de onde segue que = n

r

= n +2kn

, k = 0 n 1

Razes oitavas da unidade

Em particular para o caso em que a = 1 as solucoes serao chamadas de razes da unidade edadas por zk = kn, k = 0 n 1, onde n = cos( 2n ) + i sen( 2n ) e chamada de a n-esima raizprimitiva da unidade.

Corolario 1.1.12 Sendo a C e z0 uma das solucoes da equacao zn a = 0. Entao as solucoessao da forma

zk = k z0.

Prova. De fato, n = a se, e somente se,

z0

n= 1. Temos portanto que z0 =

k, para

algum k = 0, . . . , n 1.

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1.1.3 Retas e semi-planos

Iremos agora descrever em termos de numeros complexos os semiplanos determinados por umareta real no mesmo.

Da geometria analtica, sabemos que uma reta real que passa por um ponto a R2 paralela-mente ao vetor b R2 pode ser descrita por Ra,b = {z(t) = a + bt R2 : t R, a , b R2, b = 0}.

Uma reta passando por a paralelamente ao vetor b

Iremos agora descrever em termos de numeros complexos as distintas parametrizacoes de umareta em C.

Lema 1.1.13 Duas retas Ra,b, Rc,d C coincidem se, e somente se, a c e d sao multiplos reaisde b.

Prova. Primeiramente consideremos as parametrizacoes z(t) = a + bt e w(s) = c + ds paraRa,b e Rc,d respectivamente. Suponhamos inicialmente que as retas coincidam. Temos portantoque

c = w(0) = z(t1) = a + bt1

c + d = w(1) = z(t2) = a + bt2

de onde segue que

c ab

= t1 Rd

b=

a cb

+ t2

= t2 t1 Ro que prova a necessidade da condicao. Vejamos agora a suficiencia. De fato, sendo Rc,d parametrizadapor w(s) = c + ds, entao vamos buscar uma reparametrizacao de w(s), digamos w1() = w(f())

de tal forma que w1() = z() = a + b. Basta-nos portanto buscar f : R R da formaf() = 0 + 0, onde 0, 0 R 1. Da equacaoa + b = w(0 + 0) = c + d(0 + 0)

= c + 0d + 0d

1Tal reparametrizacao representa na verdade uma mudanca de referencial determinada por uma translacao seguida de uma mudanca na velocidade de percurso da reta Rc,d.

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temos que 0 =bd R e 0 = acd R, de onde segue que Ra,b = Rc,d.

Iremos agora descrever em termos de numeros complexos, quando um ponto pertence ou nao auma dada reta real em C.

Proposicao 1.1.14 Sendo Ra,b uma reta real. Entao

z

Ra,b

Im(z

a

b) = 0.

Em particular, a expressao acima nao depende da parametrizacao escolhida para a reta.

Prova. Primeiramente observe que z Ra,b se, e somente se, z = z(t1) = a + bt1, t1 R ouseja se, e somente se, zab = t1 R.

Por outro lado, se tivessemos escolhido outra parametrizacao para a reta, digamos Rc,d, aindaassim nosso resultado persistiria, pois do lema anterior,a c = b e d = b, onde , R. Dessaforma, temos entao que

Im(z c

d) = Im(

z ad

+a c

d)

=1

Im(

z ab

) + Im(

)

= 1

Im(z ab

)

Logo Im(zcd ) = 0 se, e somente se, Im(zab ) = 0.

Dessa forma, vemos em particular que C R fica subdividido em dois semiplanos distintos:Im(zab ) < 0 e Im(

zab ) > 0

1.1.4 Exerccios

1. Mostre que o conjunto de todas as matrizes da forma

a bb a

, a, b R, munido das

operacoes de soma e produto de matrizes, e isomorfo ao corpo dos numeros complexos.

2. Determine condicoes sob as quais a equacao az + bz + c = 0 (com a, b constantes complexas)

tem exatamente uma solucao e calcule esta solucao.

3. Simplifique as expressoes 1+cos(x)+cos(2x)+ +cos(nx) e 1+sen(x)+sen(2x)+ +sen(nx).4. Seja = cos( 2n ) + i sen(

2n ) e seja m um inteiro que nao e multiplo de n. Prove que

1 + m + 2m + (n1)m = 0.5. Ainda com o mesmo enunciado do item anterior, calcule o valor de 1 m + 2m +

(1)n1(n1)m = 0 ?6. Prove que m

n

a = nm

a, onde a C.7. Seja uma raiz n-esima de a. Mostre que

n

ab = n

b.

8. Seja n = e2in , onde n Z+. Se m Z+ e tal que mdc(m, n) = 1, entao as razes n-esimas

da unidade sao exatamente0, 1, , n1

onde = mn .

9. Sendo 0 = a C. Entao mostre que ( na)m = nam se, e somente se, mdc(m, n) = 1.

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1.2 Funcoes de uma variavel complexa: Limite e continuidade

Trataremos aqui do estudo das propriedades infinitesimais de funcoes de uma variavel complexa.Inicialmente vamos recordar algumas propriedades da topologia de R2, analogos aos de intervalosabertos e fechados em R. Diremos que um conjunto U C e um conjunto aberto se para todoz U existir > 0, tal que D(x, ) U, onde D(x, ) e o disco aberto de centro em x e raio , i.e.,D(x, ) := {z C : |z x| < }. Por conseguinte, diremos que um conjunto F e fechado se seucomplementar R F e aberto. Mais ainda, chamaremos de fecho de um conjunto S, denotadopor S, ao menor conjunto fechado contendo S, i.e., a intersecao de todos os conjuntos fechadosque contenham S 2. Finalmente, diremos que um conjunto aberto e conexo quando pudermosafirmar que nao pode se decompor na uniao de dois conjuntos abertos, disjuntos e nao-vazios.Se e um conjunto aberto e conexo em C, entao diremos que e um domnio ou regiao.

Observacao 1.2.1 Recordemos um resultado classico de topologia que nos diz que todo conjuntoaberto e conexo e de fato conexo por caminhos.

Definicao 1.2.2 Dada uma funcao complexa f : U C C entao dizemos que f tem limiteL quando x tende ao ponto a C, se > 0 existe > 0 tal que |f(z) L| < sempre que0 < |z a| < .Observacao 1.2.3 Note que na definicao de limite sao fundamentais as propriedades de corpodos numeros complexos e o uso da norma herdada de R2.

Exemplo 1.2.4 1. Sendo f(z) = z2, entao limz0 f(z) = 0;

2. Sendo g(z) = 1z1 , entao limz2 g(z) = 1;

3. Sendo h(z) = az+bcz+d e c d = 0, entao limz0 h(z) = b.Como no caso de funcoes de uma variavel real as propriedades classicas de limite se aplicam,

ou seja se existirem os limites:

limza

f(z) = L, limza

g(z) = M

entao valem as propriedades

1. limza f(z) + g(z) = L + M;

2. limza f(z) = 0 limza |f(z)| = 0;3. limza f(z) g(z) = L M;4. limza f(z)/g(z) = L/M;

5. limza f(z) = L;

6. limza f(z) = L se, e somente se,

limza Re(f(z)) = Re(L);limza Im(f(z)) = Im(L).

7. Se g e uma funcao limitada proximo a a e limza f(z) = 0, entao limza g(z) f(z) = 0;De maneira analoga temos para limites infinitos:

8. limza f(z) = se, e somente se, limza 1f(z) = 0;2Como em toda topologia, a intersecao de uma famlia de fechados em R2 e tambem fechada.

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9. limz f(z) = L se, e somente se, limw0 f( 1w ) = L.

Podemos definir o conceito de continuidade de maneira analoga as funcoes reais. Dizemos queuma funcao complexa f : U C C e contnua em a U, quando existir o limite

limz

a

f(z) = f(a)

Sendo f, g : U C C funcoes contnuas num domnio U, entao:

10. f + g, f g e f /g sao contnuas em seus respectivos domnios de definicao;11. f g e contnua em seu domnio de definicao;12. |f| e contnua;13. f e contnua se, e somente se, Re(f) e Im(f), sao contnuas.

1.3 Funcoes holomorfas

Nesta secao iremos generalizar o conceito de derivada de uma funcao do ponto de vista da extensaode corpos dos numeros reais para os numeros complexos. De fato, nao e difcil verificar que aspropriedades utilizadas na definicao de derivada sao as propriedades de corpo mais a norma de R.

Definicao 1.3.1 Seja um domnio e f : C uma funcao. Ent ao dizemos que f e holo-morfa em a se existir o limite

f(a) := limza

f(z) f(a)z a

o qual sera chamado de a derivada de f em a. Em particular se f e holomorfa em todo ponto de, entao diremos que f e holomorfa em . Mais ainda, diremos que uma funcao e inteira se forholomorfa em todos os pontos do plano.

Exemplo 1.3.2 As funcoes f(z) = const., g(z) = z, C, sao holomorfas em todos os pontosdo plano, i.e., sao funcoes inteiras. De fato as mesmas regras de derivacao do calculo real nos dizque f 0 e g(z) = .

Exemplo 1.3.3 De maneira analoga se verifica que f(z) = 1za e uma funcao holomorfa emC {a}, mas nao e inteira, pois limza f(z) = .

De maneira analoga as funcoes de uma variavel real, temos validas as seguintes propriedadesdas derivadas. Se f e g sao holomorfas em a, entao:

1. f e contnua em a;

2. f + g e holomorfa em a e (f + g) = f + g;

3. f g e holomorfa em a e (f g) = f g + f g;4. Se g(a) = 0, entao fg e holomorfa em a e (fg ) = gf

fgg2 ;

5. Se g = const. entao g = 0.

6. (Regra da cadeia): Se Im(g) Dom(f) entao (f g)(z) = f(g(z)) g(z).

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Exemplo 1.3.4 (Polinomios) Sendo p(z) = a0 + a1z + + anzn, an = 0, entao p C[z]e holomorfa e alem disso p(z) = a1 + 2a2z + nanzn1. De fato, por sucessivas aplicacoes dapropriedade (3.) acima, temos que akzk e holomorfa e que (zk) = kzk1. Desta forma, o resultadosegue, por inducao matematica, de sucessivas aplicacoes da propriedade (2.).

Exemplo 1.3.5 (Funcoes Racionais) Sendo r(z) = p(z)q(z) , onde p, q

C[z] e Dom(r) := =

C {q1(0)}, entao a funcao r e holomorfa. Sendo assim, em vista do exemplo anterior, bastaaplicar a propriedade (4.)

Como caso particular do exemplo anterior temos:

Exemplo 1.3.6 (Transformacoes de Mobius) 3 T(z) = az+bcz+d .

1.3.1 Revisao de diferenciabilidade

Iremos agora apresentar outra caracterizacao para diferenciabilidade de funcoes reais ou complexas.

Proposicao 1.3.7 f : I R R (respect. f : C ) e diferenci avel (respect. holomorfa)ema I (respect. ) se, e somente, se R (respect. C) e uma funcao : (a , a + ) R(respect. : (a, ) C) tais que

f(a + h) = f(a) + h + (h) h

onde limh0 (h) = 0. Em particular, teremos que = f(a).

Prova. Basta verificar que

f(a + h) f(a)h

f(a + h) f(a) h

0,

e tomar (h) := f(a+h)f(a)h .Recorde que as demonstracoes usuais nos textos de Calculo I para a regra da cadeia sao falhos.

De fato, muitos deles se baseiam no seguinte argumento:

limwb

f(g(w)) f(g(a))w a = limwb

f(g(w)) f(g(a))g(w) g(a) limwb

g(w) g(a)w a

= f(g(a)) g(a).

O problema neste tipo de argumentacao e que nao podemos garantir que limwbf(g(w))f(g(a))

g(w)g(a)exista. Isto pode acontecer caso tenhamos g(w)g(a) se anulando em pontos w C arbitrariamenteproximos de a, como por exemplo se g(z) = x2 sen( 1z ), com a = 0.

Vamos entao aplicar a caracterizacao para funcoes diferenciaveis dada pela Proposicao 1.3.7,para obter a regra da cadeia em uma dimens ao real (ou complexa).

Teorema 1.3.8 (Regra da cadeia) Sendo g : I R J R e f : J R funcoes difer-enciaveis em a

I e g(a)

J respectivamente, entao f

g e diferenci avel ema

I e sua derivada

e dada por(f g)(a) = f(g(a)) g(a)

3As transformacoes de Mobius sao tambem conhecidas como transfomacoes lineares fracionarias ou homografias.

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Prova. De acorod com a Proposicao 1.3.7

f(g(a + h)) = f(g(a) + g(a) h + g(h) h)= f(g(a)) + f(g(a)) (g(a) h + g(h) h) + f(g(a) h + g(h) h) (g(a) h + g(h) h)= f(g(a)) + f(g(a)) g(a) h + [f(g(a)) g(h) + f(g(a) h + g(h) h) (g(a) + g(h))] h.

Tomando-se entao (h) := f(g(a)) g(h) + f(g(a) h + g(h) h) (g(a) + g(h)), teremoslimh0

(h) = f(g(a)) limh0

g(h) + limh0

f(g(a) h + g(h) h) lim

h0(g(a) + g(h))

= f(g(a)) 0 + 0 (g(a)) = 0.

Note que a demonstracao para o caso complexo e inteiramente analoga.Vamos agora generalizar o conceito de derivada para varias variaveis, tendo como pano de fundo

o conceito de melhor aproximacao afim de uma funcao.

Definicao 1.3.9 Dizemos que f : U Rm Rn e diferenci avel em a U se, e somente se,existem uma transformacao linear L : Rm Rne uma aplicacao : D(0; ) Rm Rn taisque f(a + h) = f(a) + L(h) + (h) ||h||e limh0 ||(h)|| = 0. Em particular L e chamada de derivada de f e sera denotada por f(a),ou df(a).

Note que a definicao de continuidade para funcoes reais utiliza apenas o fato de R ser um espacovetorial normado, portanto com essencialmente as mesmas palavras podemos definir o conceito decontinuidade para funcoes definidas em Rn. Da mesma forma, pode-se verificar facilmente que sef e diferenciavel, entao f e contnua em a.

Aqui tambem e valida a regra da cadeia, sendo esta demonstrada com a ajuda da desigualdade:

Lema 1.3.10 Sendo L : Rm Rn uma aplicao linear, entao existe c > 0 tal que

||L(h)|| c||h|| h Rm.

Prova. Sendo h =m

j=1 h1 ej entao temos

||L(h)|| = ||L(mj=1

hj ej)|| = ||mj=1

hjL(ej)|| mj=1

|hj | | |L(ej)||

maxj=1m

(||L(ej)||) mj=1

|hj | = c||h||

onde c = maxj=1m(

||L(ej)

||).

Teorema 1.3.11 (Regra da cadeia para varias variaveis) Sendo g : U RmV Rne f : V Rp funcoes diferenciaveis em a U e g(a) V respectivamente, entao f g ediferenciavel em a U e sua derivada e dada por

(f g)(a) = f(g(a)) g(a)

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Prova. Repetiremos a argumentacao feita no caso de uma variavel para o caso de variasvariaveis, em vista da definicao acima. Por definicao temos

f(g(a + h)) = f(g(a) + g(a) h + g(h)||h||)= f(g(a)) + f(g(a)) (g(a) h + g(h)||h||) + f(g(a) h + g(h)||h||) (g(a) h + g(h)||h||)

= f(g(a)) + f(g(a)) g(a) h + [f(g(a)) g(h) + f(g(a) h + g(h) h) (g(a) h

||h|| + g(h))]|

Logo, tomando-se (h) := f(g(a)) g(h) + f(g(a) h + g(h) h) (g(a) h||h|| + g(h)),aplicando-se o lema anterior e a desigualdade triangular, iremos concluir que existem c1, c2 > 0tais que

limh0

||(h)|| = c1 limh0

||g(h)|| + limh0

||f(g(a) h + g(h) h)|| limh0

||g(a) h||h|| + g(h)||

limh0

||f(g(a) h + g(h) h)|| limh0

(c2h

||h|| + ||g(h)||)= c2 lim

h0||f(g(a) h + g(h) h)|| = 0

1.3.2 Caminhos

Recorde que uma aplicacao : I R Rn e diferenciavel em t I se, e somente se, existe umatransformacao linear L : R Rn e uma aplicacao : R Rn tais que (t + h) = (t) + L(h) +(h) ||h||, onde L(h) = h v, onde v = L(1) Rn. Neste caso diremos que e um caminhodiferenciavel em t, com velocidade instantanea (t) = v, em t I.

Lema 1.3.12 Sendo U Rm um conjunto aberto, : I U e f : U Rn diferenciaveis ema I e (a) U respectivamente, entao := f e diferenci avel em a I e sua derivada e dadapor

(t) = df((y)) (t).

Prova. Aplicando-se a regra da cadeia

(t) = d(f )(t)= df((y)) (t).

Observe que dada uma aplicacao f : U Rm Rn, entao podemos analisar tal funcaoatraves de suas coordenadas, ou seja f := (f1, , fn), onde fj : U Rm R, j = 1 n.

Proposicao 1.3.13 Sendo U Rm um conjunto aberto e conexo e f : U Rm Rn difer-enciavel tal que f(a) = 0. Entao f e constante.

Prova. Ja sabemos da validade desta afirmacao no caso em que m = n = 1, que e umaconsequencia imediata do teorema do valor medio. Vamos agora analisar o caso em que f : U Rm R. Neste caso, como U e aberto, entao quaisquer dois pontos suficientemente proximos,digamos p e q, podem ser ligados por uma caminho diferenciavel : [0, 1] U, desta forma,

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aplicando-se o Teorema Fundamental do Calculo e o Lema 1.3.12, temos que

f(p) f(q) = (1) (0)

=

10

(t)dt

= 10

df((y)) (t)= 0

visto que f e localmente constante e contnua, de onde segue que e globalmente constante.

1.3.3 Matriz Jacobiana

Vamos agora estudar mais detalhadamente a derivada de uma aplicacao de n variaveis atravesde suas derivadas parciais. Seja T : Rm Rn uma transformacao linear e [T] a matriz que arepresenta na base canonica, i.e., T(h) = [T] h, com h = nj=1 h1 ej, entao temos:Lema 1.3.14 As colunas da matriz [T] se identificam aos vetores T(ej), j = 1, . . . , n.

Prova. De fato, temos T(h) = T(nj=1 hj ej) = nj=1 hj T(ej) ou seja, o vetor T(h) seescreve como

T(h) = h1T(e1) + + hnT(en) = [T]

h1...hn

Recorde que as derivada parciais de uma funcao de varias variaveis f : U Rm R, sao

dadas porf

xj(x1, xn) = lim

h0f(x + hej) f(x)

h

onde {ej := (j1 termos

0, , 0 , 1, 0, , 0)t}mj=1 e a base canonica de Rn. Desta forma, podemos definir asderivadas parciais para uma aplicacao f : U Rm R por fxj = (

f1xj

, , fnxj )t, j = 1, . . . , m.Temos entao:

Corolario 1.3.15 As colunas da matriz [f(a)] sao dadas por f(a) ej = fxj (a), j = 1 m.

Prova. Basta observar que por definicao fxj

(a) := (0), onde (t) := f(t) e (t) = a + tej .Desta forma (0) = f(a) (0) = f(a) (0) = f(a) ej , de onde segue o resultado desejado.

Notacao 1.3.16 E usual na literatura denotar-se a matriz f(a) por

J(f)(a) = f1x1

(a) f1xn (a)... ...

fmx1

(a) fmxn (a)

e chama-la de matriz Jacobiana de f.

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No caso particular em que temos uma aplicacao f : R2 R2 dada em coordenadas porf(x, y) := (u(x, y), v(x, y)). Temos que a matriz Jacobiana sera dada por

J(f)(a) =

ux (a)

uy (a)

vx (a)

vy (a)

=

ux(a) uy(a)vx(a) vy(a)

(1.2)

Para finalizar esta secao iremos enunciar um resultado cuja prova foge ao escopo deste livro.

Teorema 1.3.17 Sendo f := (f1, , fn) : U Rm Rn uma aplicacao tal que as derivadasparciais das funcoes coordenadas fj : U R sao contnuas em a U (j = 1, , n). Entao f ediferenciavel em a U 4.

1.3.4 Holomorfia versus diferenciabilidade: Transformacoes C-lineares

De todas as funcoes complexas, as mais simples sao sem sombra de duvida as funcoes lineares. Efacil verificar (atraves da definicao) que tais funcoes sao diferenciaveis, no caso real, e holomorfasno caso complexo. Vamos agora, utilizar a analise da secao anterior para verificar as condicoespara que uma transformacao linear de R2 seja de fato uma transformacao linear complexa.Inicialmente recordemos que C pode ser visto como um espaco vetorial real de dimensao 2 com

base canonica = {1, i}. Dessa forma denotaremos as transformacoes (R)-lineares de C por LR(C).Por outro lado, C pode ser visto, como um espaco vetorial sobre C, sendo que as transformacoesC-lineares serao denotadas por LC(C).

Exemplo 1.3.18 Considere a transformacao R-linear T : C C dada por [T] = diag(1, 3) eseja = 1 + i. Sendo z = x + iy, teremos entao que

T(z) =

1 00 3

xy

= (x, 3y)

= (1 + i)(x + 3i)

= (x 3y) + (x + 3y)i.

Por outro lado

T(z) = T((1 + i) (x + iy))= T((x y) + (x + y)i)

=

1 00 3

x yx + y

= (x y, 3x + 3y).

Dessa forma T(z) = T(z) e portanto T nao e C-linear.

Lema 1.3.19 Seja T : C C uma transformacao R-linear, entao sao equivalentes:

i) T e C-linear;

ii) T(z) = z,onde C;iii) T = 0 ou uma semelhanca positiva (homotetia mais rotacao);

4Para uma prova deste resultado veja [3] ou [7].

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iv) [T] =

a bb a

, com a, b R.

Prova. Primeiramente vamos verificar que i) ii). Sendo = T(1), entao T(z) = T(1 z) =T(1) z = z. Note que a recproca decorre imediatamente da comutatividade em C. Poroutro lado, temos imediatamente da observacao 1.1.8 que ii) iii). Vamos agora verificar queiii) iv). Como consequencia da Algebra Linear teremos

T = r

cos() sen()sen() cos()

.

Sendo assim, basta tomarmos a := r cos() e b = r sen(). Finalmente vamos verificar que iv) i).De fato, do isomorfismo entre R2 e C como espacos vetoriais sobre R = R (dado por (x, y) x+iy)teremos

a bb a

xy

=

ax bybx + ay

,

de onde seque que T(z) = (ax by) + (bx + ay)i = (a + bi)(x + iy) = z, onde = a + bi,z = x + iy, i.e., iv) ii) i).

Algumas consequencias imediatas do resultado acima sao: Sendo (f := u + iv) : C Cuma funcao holomorfa em a entao teremos:Corolario 1.3.20 f(a) LC(C) preserva orientacao

Prova. Segue imediatamente do Lema 1.3.19.iii).

Corolario 1.3.21 (Equacoes de Cauchy-Riemann) Sendo f : U C C uma funcao dadapor f = u + iv, entao df(z) e C-linear se, e somente, se

ux = vyuy = vx

Prova. Segue imediatamente de (1.2) e do Lema 1.3.19.iv).

Corolario 1.3.22 f e holomorfa em a (respect. em ) se, e somente se, f e diferenci avel esatisfaz as equacoes de Cauchy-Riemann em a (respect. em ), i.e., df(z) e C-linear para z = a(respect. z ).

Prova. Primeiramente vamos mostrar que sendo f holomorfa entao e diferenciavel e satisfazas equacoes de Cauchy-Riemann. De fato sabemos que existe : (a , a + ) C tal que

f(a + h) = f(a) + f(a) h + (h) h

onde limh0 (h) = 0. Dessa forma, se + i = f(a), entao segue do Lema 1.3.19.iii) que

f(a + h) = f(a) +

h + (h)||h|| (1.3)

onde (h) := (h)h||h|| . Como limh0 (h) = 0, entao f e diferenciavel. Mais, pela expressao daderivada em (1.3), temos imediatamente que f satisfaz as equacoes de Cauchy Riemann, poisux = = vy e vx = = uy.

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Reciprocamente suponhamos que f seja diferenciavel e satisfaca as equacoes de Cauchy-Riemann.Entao temos pelo Corolario 1.3.15 que

f(a + h) = f(a) +

ux uyvx vy

z=a

h + (h)||h||

= f(a) + ux vxvx ux z=a h + (h)||h||= f(a) + (ux(a) + ivx(a)) h + (h) h,

onde (h) = (h)||h||h e tal que limh0 (h) = 0. Donde segue que f e holomorfa.O resultado acima permite-nos verificar quando uma aplicacao diferenciavel f : R2 R2 e de

fato holomorfa.

Exemplo 1.3.23 A funcao f(x + iy) = x2 + iy2 e holomorfa somente sobre a reta y = x. De fato,pelo Teorema 1.3.17 temos que f e diferenci avel, desta forma o Corolario 1.3.22 nos diz que bastaverificar o conjunto dos pontos onde sao satisfeitas as equacoes de Cauchy-Riemann

ux = 2x vy = 2yuy = 0 vx = 0

Corolario 1.3.24 f e holomorfa e f 0 (em ) entao f const.Prova. De fato, sendo f holomorfa entao satisfaz as equacoes de Cauchy-Riemann

ux = vyuy = vx

Sendo assim, como f 0, entao ux = vy = uy = vx = 0. Dessa forma, como e aberto econexo, entao e conexo por arcos, mais ainda tais arcos podem ser formados por uma sequenciade retas horizontais e verticais. Dessa forma, o Teorema Fundamental do Calculo garante que f econstante, bastando para isso integrar ao longo de tais caminhos poligonais.

Corolario 1.3.25 f e holomorfa e de classe C1 se, e somente se, possui todas as derivadas parciaiscontnuas e satisfazendo as equacoes de Cauchy-Riemann 5.

Para finalizar esta secao gostaramos de observar que existe uma outra maneira de introduziras equacoes de Cauchy-Riemann, que e usualmente utilizada na literatura. De fato temos peladefinicao de derivada que

f(a) = limh0hR

f(a+h)f(a)h

= fx

(a) e f(a) = limh0hR

f(a+ih)f(a)ih

= i fy

(a) (1.4)

de onde segue que fx + ify = 0.

1.4 Consequencias das equacoes de Cauchy-Riemann

1.4.1 A conjugada harmonicaInicialmente observemos que se f = u + iv e uma funcao holomorfa e de classe C2, entao u e vsatisfazem a equacao U = 0, onde U = Uxx + Uyy (usa-se o termo Laplaciano de U). Destaforma se coloca naturalmente a questao recproca.

5A condicao de f ser de classe C1 e de fato superflua. Como veremos no corolario 2.2.3, toda funcao holomorfae de classe C.

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Problema 1.4.1 Seja u : R uma funcao real de classe C2 cujo Laplaciano se anula. Existeuma funcao holomorfa f, de classe C2 tal que Re(f) = u?

Para estudarmos tal questao e conveniente fazermos a seguinte:

Definicao 1.4.2 Diremos que uma funcao de classe C2 e harmonica quando seu Laplaciano seanular identicamente.

Exemplo 1.4.3 Sendo dada u = x2 y2. Calcularv, se existir, tal que f = u + iv e holomorfa.De fato pelas equacoes de Cauchy Riemann

ux = vyuy = vx (1.5)

Portanto se considerarmos o campo de vetores X := (uy, ux), o problema torna-se encontrarum potencial para o mesmo, i.e., encontrar v C2 tal que X = v 6. De fato temos entao que

vx = 2yvy = 2x

Da primeira equacao temos que v = 2xy + (y), derivando-a com relacao a y obtemos da segundaequacao 2x = 2x + (y), ou seja

const. Em particular podemos tomar

0 como uma

solucao particular.

Notacao 1.4.4 Quando uma tal v existir diremos que e uma conjugada harmonica de u.

Analisando o metodo aplicado no exemplo, temos a impressao de poder utiliza-lo em situacoesmais gerais. De fato aplicando-se o teorema fundamental do Calculo para a segunda equacao de(1.5) temos que

v(x, y) = xx0

uy(t, y)dt + (y)

onde (y) = v(x0, y). Por outro lado, derivando-se esta equacao vem que

ux(x, y) = vy(x, y) = xx0

uyy(t, x)dt + (y) u=0=

xx0

uxx(t, x)dt + (y)

= ux(x, y) ux(x0, y) + (y),de onde segue que (y) = ux(x0, y). Finalmente, novamente atraves do teorema fundamental doCalculo,

(y) = yy0

ux(x0, y)dy

6Em Fsica diz-se que X e o Hamiltoniano de u.

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Temos, a princpio, a impressao de que o metodo funciona desde que a poligonal retangularque liga os pontos (x0, y0) a (x, y0) e (x, y0) a (x, y), esteja contida em (ver figura cima).No entanto e preciso garantir que a conjugada harmonica assim construda esteja de fato bemdefinida, i.e., que tal construcao independa do caminho. Como veremos mais tarde isto aconteceem particular para todo o plano, um retangulo, um disco, elipse etc. De fato a possiblidadede construir uma tal funcao esta muito mais ligada a propriedades de natureza topologicas do

maiordomnio de definicao da funcao.Como consequencia imediata da conclusao acima teremos que:

Corolario 1.4.5 Uma conjugada harmonica sempre existe localmente 7.

1.4.2 Exemplo de nao existencia

Definicao 1.4.6 Diremos que duas funcoes, u, v : R2 R sao ortogonais quando suas curvasde nvel se interceptam ortogonalmente, i.e., u v = 0.

Como consequencia imediata do anulamento do Laplaciano de u, temos a:

Proposicao 1.4.7 Sendo f = u + iv holomorfa. Entao u e v sao ortogonais.

Prova. De fato basta reparar que u = (ux, uy)v = (vx, vy)

de onde segue das equacoes de Cauchy-Riemann que

u v = uxvx + uyvy= uxuy + uyux

E conveniente observar da demonstracao acima que alem de v ser ortogonal a u, ele e defato obtido de

u por uma rotacao de 900 no sentido anti-horario.

Exemplo 1.4.8 u(x, y) = log(x2 + y2) e harmonica e nao possui conjugada em C. De fato,um calculo direto mostra que u = 0. Observemos, por outro lado, que as curvas de nvel naodegeneradas de u sao os crculos concentricos na origem. Portanto, vemos que as curvas de nvelde v devem ser semi-retas partindo da origem (Note que isto significa que e funcao apenas doargumento). Restringindo-se v a S1, devemos ter um ponto de maximo ou mnimo, visto que S1

e compacto. Seja z0 S1 um tal ponto. Pelo metodo dos multiplicadores de Lagrange temos quev(z0) = u(z0). Por outro lado, como o gradiente e sempre ortogonal as curvas de nvel da

funcao, entao v(z0) u(z0). Segue portanto que |u(z0)|2 = v(z0) u(z0) = 0, i.e., = 0,visto que |u(z0)| = 0. Temos portanto que |v(z0)|2 = 0, o que e um absurdo, pois das equacoesde Cauchy-Riemann temos que |v| = |u| = 0.

Observacao 1.4.9 Mais adiante veremos que ao retirarmos uma semi-reta de C e possvel en-

contrar f = u + iv, com u = log(x2 + y2) e v = Arg(z).7Uma prova imediata do corolario pode ser dada com o uso do teorema de Green. No entanto iremos construir,

mais adiante, uma prova mais elegante utilizando argumentos que se adaptam a situacoes mais gerais.

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1.4.3 Uma interpretacao em termos de primitivas

Dada u(x, y) harmonica, entao o problema de determinar f holomorfa tal que Re(f) = u equivale adeterminar uma primitiva de uma determinada funcao holomorfa g, i.e., determinar G holomorfatal que G = g, em .

Lema 1.4.10 Se u :

C

R e uma funcao harmonica, entao a funcao g = ux

iuy e

holomorfa. Alem disso, u possui conjugada harmonica se, e somente se, g possui primitiva.

Prova. Primeiramente observemos que de acordo com o Teorema 1.3.17 e o Corolario 1.3.25,basta mostrarmos que f satisfaz as equacoes de Cauchy-Riemannn. Para tal, basta utilizar oanulamento do Laplaciano de u e o Lema de Schwartz (pois u e de classe C2) para obter queuxy = uyx.

Verifiquemos agora a segunda parte do enunciado. Suponhamos inicialmente que u possui umaconjugada harmonica v, entao f := u+iv e holomorfa. Por outro lado, sabemos que f = ux+ivx =ux iuy = g. Temos portanto que f e uma primitiva de g. Reciprocamente, seja G = U+ iV umaprimitiva de g = ux iuy, entao como g = G devemos ter

Ux iUy = ux iuy

Ux = uxUy = uy

U = u + c, c R

logo f = G c e uma funcao holomorfa com Re(f) = u, de onde segue que u possui conjugadaharmonica.

Observacao 1.4.11 Infelizmente nao temos (ainda)zz0

g(z)dz para definirmos uma primitivade g. Esta questao sera motivo de grande parte do curso: A teoria de integracao complexa deCauchy.

Encerraremos esta secao com as seguintes consequencias imediatas das equacoes de Cauchy-Riemann.

Proposicao 1.4.12 Seja f : C C holomorfa. Em qualquer das hipoteses abaixo, f econstante.

a) f 0;b) Re(f) ou Im(f) e constante (em particular se f e real).

c) |f| e constante;d) arg(f) e constante (f = 0).

Prova. a) Ja foi provado no Corolario 1.3.24. Vamos entao provar b). Seja f = u + iv comu =const., entao f = ux iuy = 0, de onde o resultado segue de a) (para o caso de Im(f) = 0tomamos if). Vejamos agora a prova de c). Tomemos := u2 + v2, emtao como |f| e constante,podemos supor que = 0, pois caso contrario teremos |f| = = 0. Neste caso

= c C =

uux + vvx = 0uuy + vvy = 0

uux vuy = 0uuy + vux = 0

uux = vuyuuy =

vux

(1.6)

temos entao que uxuy = (u2 + v2) uxuy = 0 e portanto que uxuy = 0. Dessa forma,(ux + uy)

2= u2x + u

2y = (ux uy)2, de onde segue que ux + uy = (ux uy). Analisando-se

ambas as hipoteses obteremos que ux = 0 ou uy = 0. Suponhamos, sem perda de generalidade,que ux = 0, entao temos de (11) que

vuy = 0uuy = 0

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de onde segue que u2y = (u2 + v2) u2y = 0 e portanto que uy = 0, i.e., f = 0, de ondesegue o resultado pelo item a).Vamos agora ao item d). Neste caso teremos f(z) = r(z)0;0 = cos 0 + i sen 0, de onde segue que

10 f(z) = r(z) e holomorfa. Portanto, pela observacao

do item b), r(z) = const. e dessa forma f = const.E interessante observar que todos estes resultados decorrem de outra forma do fato de toda

funcao holomorfa nao constante ser aberta. Porem nao precisamos de uma marreta para matar

uma pulga

1.4.4 As variaveis z e z: diferenciais

Vamos agora justificar rigorosamente o fato de que f e holomorfa se, e somente se, nao dependede z. Vamos iniciar tal estudo atraves de um enfoque formal. Seja f : C C, dada explicitamentepor (x, y) f(x, y), onde x = 12 (z + z) e y = 12i(z z) substituindo na expressao da funcao temos

f(z, z) = f(x, y) = f( 12

(z + z),1

2i(z z)).

Uma calculo formal nos fornece (pela regra da cadeia)

f

z := fxx

z + fyy

z =

1

2 (fx ify)f

z:= fx

x

z+ fy

y

z=

1

2(fx + ify)

Desta forma, vemos que fz = 0 equivale as equacoes de Cauchy-Riemann fx + ify = 0. Assim,

ao definirmos fz :=12 (fx + ify) temos que f e holomorfa se, e somente se,

fz = 0. Note que

neste caso f(z) = fz . No entanto, observe que nossa definicao se baseia num computo formal quepressupoe de uma forma implcita que z pode ser tratado como uma variavel independente de zem C, o que de forma nenhuma e uma argumentacao embasada em conceitos matematicos ja bemestabelecidos. Vamos portanto, atraves da Algebra Linear, estabelecer um suporte matematicorigoroso para tal argumentacao formal, de maneira indireta.

Consiremos agora uma funcao diferenciavel f : Rm Rn. Entao, como vimos na secao1.3.4, para todo ponto a , temos que df(a) L(R

m

,Rn

) de onde seque que fica bem definidaa aplicacaodf : L(Rm,Rn)

x df(x)a qual chamaremos de diferencial de f dada por x df(x). Aqui, estaremos particularmenteinteressados nos casos m = n = 2, i.e., f : C R (com df : LR(C;R)) e g : C C (com dg : LC(C)).

Tomando-se agora x, y : C2 C2 dadas respectivamente por x(x0, y0) = (x0, 0) e y(x0, y0) =(0, y0) i.e., pelas aplicacoes lineares representadas pelas projecoes nos eixos das abscissas e dasordenadas, entao suas derivadas dx, dy : R2 R2 serao dadas respectivamente por dx(x0, y0) (u, v) = u e dy(x0, y0) (u, v) = y. Verificaremos agora que que dx e dy formam uma base, ditacanonica, de LR(C). Antes de enunciarmos o teorema propriamente dito, observe que:

Lema 1.4.13 O conjunto das aplicacoes R-lineares do plano complexo nele mesmo, i.e., LR(C),e um espaco vetorial sobre C.

Prova. Sendo T, S LR(C) e C, entao basta-nos mostrar que T + S LR(C). De fato,

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sendo r R e v, w C entao

(T + S)(rv + w) = T(rv + w) + S(rv + w)

= rT(v) + T(w) + rS(v) + S(w)

= r(T(v) + S(v)) + T(w) + S(w)

= r(T + S)(v) + (T + S)(w),

como desejado.

Teorema 1.4.14 B = {dx, dy} e uma base de LR(C) como espaco vetorial sobre C.

Prova. Tomemos T LR(C), devemos entao mostrar que , C unicos tais que

T(z0) = dx(z0) + dy(z0). (1.7)

Verifiquemos inicialmente as condicoes que e devem necessariamente satisfazer caso, existam.Recorde que T fica determinado pelos seus valores na base canonica de C, logo

T(1) =

T(i) =

de onde segue que caso existam , sao unicamente determinados por = T(1) e = T(i). Poroutro lado, um calculo imediato mostra que e sao solucoes de (1.7). De fato

T(z) = T(x + iy) = T(1) x + T(i) y= x + y = dx(z) + dy(z).

Em particular, sendo f : C uma funcao diferenciavel, entao df(z) = (z)dx(z) +(z)dy(z), onde (z) = df(z) (1) e (z) = df(z) (i) 8, i.e.,

df = fxdx + fydy.

Consideremos o espaco LR(C), das transformacoes R-lineares de C e denotemos por z, z : C C as aplicacoes dadas respectivamente por z(x+iy) = x+iy (i.e., a identidade) e z(x+iy) = xiy.Teremos portanto as derivadas das mesmas, i.e., dz,dz LR(C), sendo dadas pelas seguintestransformacoes lineares: dz(z0) (u + iv) = u + iv e dz(z0) (u + iv) = u iv, respectivamente.Entao temos, de maneira analoga, que.

Teorema 1.4.15 B = {dz,dz} e uma base de LR(C) como espaco vetorial sobre C.

Prova. Tomemos T LR(C), devemos entao mostrar que , C unicos tais que

T(z0) = dz (z0) + dz (z0). (1.8)

Verifiquemos inicialmente as condicoes que e devem necessariamente satisfazer caso, existam.

Recorde que T fica determinado pelos seus valores na base canonica de R2, logo

T(1) = + (1.9)

T(i) = i( )8Note que a diferencial e de fato dual ao gradiente, i.e., aonde aplicamos o gradiente com o produto interno

passamos a utilizar a diferencial enquanto transformacao linear.

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de onde segue que caso existam , sao unicamente determinados por = 12 (T(1) iT(i)) e = 12 (T(1) + iT(i)). Agora, um calculo imediato mostra e sao solucoes de (1.8), bastantopara isto aplicar os valores acima no ramo direito desta equacao.

Em particular, sendo f : C uma funcao diferenciavel, entao

df(z) = (z)dz(z) + (z)dz(z), (1.10)

onde (z) = 12 (df(z) (1) idf(z) (i)) e (z) = 12 (df(z) (1) + idf (i)).

Definicao 1.4.16 Diremos que T LR(C) e C-antilinear se T(z) = T(z).

Note que nas condicoes do teorema acima, teremos que T e C-linear quando = 0 e C-antilinearquando = 0.

Definimos entao por analogia (e com propriedade)

f

z(z) = (z) =

1

2(df(z) (1) idf(z) (i)) = 1

2(fx ify)(z)

f

z(z) = (z) =

1

2(df(z) (1) + idf (i)) = 1

2(fx + ify)(z).

Observe ainda que

dz = dx + idy

dz = dx idy.

Finalmente temos a

Proposicao 1.4.17 Seja f : C uma funcao diferenciavel. Entao f e holomorfa se, esomente se, f(z)z = 0. Neste caso

f(a) =f(a)

z

para todo a .

Prova. Sendo f diferenciavel, entao df(a) se escreve de maneira unica como

df(a) =f(a)

zdz +

f(a)

zdz

para todo a . Logo, pelo Lema 1.3.19 e pelo Corolario 1.3.21, f e holomorfa se, e somentese, df(a) e C-linear, para todo a . Portanto f e holomorfa se e somente se f(a)z = 0, vistoque dz e C-antilinear. Em particular, temos imediatamente que df(a) = f(a)z dz. Logo, como por

definicao f(a) z = df(a) (z) = f(a)z dz(z) = f(a)z z, para todo z R, entao f(a) = f(a)z paratodo a .

1.4.5 Transformacoes conformes

Faremos agora algumas observacoes sobre transformacoes lineares conformes e suas aplicacoes asfuncoes holomorfas.

Recorde da Algebra Linear que dados dois vetores nao-nulos u, v R2, entao pelo lema deSchwartz que

u,v|u||v| 1.

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Definicao 1.4.18 Dados u, v R2 dois vetores nao nulos, entao diremos que o numero real

:= arccos(u, v|u||v| ) [0, ]

e o angulo entre os vetores u e v.

Exemplo 1.4.19 O angulo entre os vetores u = (1, 0) e v = (0, 1) e dado por = arccos(0) = /2.

Definicao 1.4.20 Diremos que uma transformacao linear T LR(C) e conforme se preservaangulos, i.e., dados z, w C, entao

w, w|z||w| =

T(z), T(w)|T(z)||T(w)| .

E de facil verificacao a partir da definicao que

Proposicao 1.4.21 A composta de duas transformacoes conformes e conforme.

Menos imediato e o seguinte resultado:

Proposicao 1.4.22 Seja T LR(C). Entao T e conforme se, e somente se, T = 0 e e C-linearouC-antilinear.

Prova. Primeiramente observemos que sendo T = 0, entao T(1) = C, logo T = S,onde S LR(C) e tal que S(1) = 1. Portanto, basta verificar o enunciado para o caso em queT(1) = 1. Agora note que {1, i} e uma base de C como espaco vetorial real. Logo, como T(1) = 1e T e conforme, entao T(i) = i, R. Por outro lado, como 1 + i repousa sobre a bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes entao 1 + i = 1 + T(i) = T(1 + i) forma um angulo de 4 radianoscom o eixo real, de onde segue que = 1. Logo T(z) = z ou T(z) = z.

O resultado acima justifica a seguinte

Definicao 1.4.23 Uma aplicacao f : C e dita conforme, se e de classe C1 e df(z) : C C e conforme para todo z .

Note que se z e f : C e conforme, entao df(z) e C-linear ou C-antilinear.

Proposicao 1.4.24 Seja um domnio e f : R2 uma aplicacao conforme tal que df(z0) eC-linear (respec. C-antilinear), entao df(z) e C-linear (respec. C-antilinear) para todo z C.

Prova. De fato, como e conexo e f e contnua, entao det df() e conexo em R. Logodet df(z) e sempre positivo ou sempre negativo para todo z , de onde segue o resultadodesejado.

Teorema 1.4.25 Uma aplicacao f : C e conforme se, e somente se, f e holomorfa ef(z) = 0 para todo z , ou f e antiholomorfa e f(z)z = 0 para todo z .

Prova. Primeiramente observe que se f e conforme, entao a Proposicao 1.4.22 assegura quedf(z) e C-linear ou C-antilinear. No primeiro caso temos pelo Corolario 1.3.22 que f e holomorfa.No segundo caso, por argumento analogos, temos que f e holomorfa.

Reciprocamente se f e holomorfa (respec. antiholomorfa), entao pelo Corolario 1.3.22 temosque df(z) e C-linear (respect. C-antilinear) de onde segue pela Proposicao 1.4.22 que df(z) econforme.

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devemos ter entao queexp(z) = exp(x + iy) = exp(x) exp(iy),

portanto, basta definir exp(iy), que por sua vez se escreve:

exp(iy) = u(y) + iv(y).

Sedno assim

exp(z) = exp(x + iy) = exp(x) exp(iy) = exu(y) + exv(y)iou seja Re(exp(z)) = exu(y) e Im(exp(z)) = exv(y). Dessa forma, as equacoes de Cauchy Riemannse escrevem

exu(y) = exv(y)exu(y) = exv(y)

de onde segue que u(y) = v(y)v(y) = u(y)

Note que a analise do campo de vetores associado ao sistema de EDOs acima, nos mostra

que as solucoes (ou orbitas do campo) sao crculos concentricos. No entanto nao desejando nosvaler de uma teoria estranha ao texto daremos uma demonstra cao simples e pouco natural, senao levarmos em consideracao a analise anterior. De fato vamos mostrar que a funcao g(y) =(u(y) cos(y))2 + (v(y) sen(y))2 e identicamente nula.9 De fato, derivando-se a funcao temos

g(y) = 2(u(y) cos(y))(u + sen(y)) + 2(v(y) sen(y))(v cos(y))= 2[uu + u sen(y) u cos(y) sen(y) cos(y) + vv v cos(y) v sen(y)) + sen(y) cos(y)]= 2(uv + u sen(y)) + v cos(y) + vu v cos(y) u sen(y)) = 0

de onde segue que g e constante. Por outro lado, como exp(0) = e0 = 1. Entao u(0) = 1 e v(0) = 0,de onde segue que g(0) = (u(0) cos(0))2 + (v(0) sen(0))2 = 0. Logo

exp(iy) = cos(y) + i sen(y)

para todo y R. A relacao acima e conhecida como relacao de Euler. Portanto nossa funcaosera dada por

exp(z) = ex(cos(y) + i sen(y)).

e sera chamada de funcao exponencial.Da equacao acima e do fato da funcao exponencial ser uma funcao holomorfa (pois por definicao

satisfaz as equacoes de Cauchy-Rieman) temos a:

Teorema 1.5.1 A funcao exp : C C(z) e holomorfa com derivada dada por

exp(z) = exp z.

Prova. Ja vimos na construcao da funcao que a mesma e holomortfa, bastando apenas verificar

a ultima assertativa. De fato esta decorre imediatamente da equacao (1.4) pois f(z) = fx(z) =ex(cos(y) + i sen(y)) = f(z).

Em particular, a exponencial complexa e uma funcao inteira, i.e., definida e holomorfa emtodo plano complexo.

9E obvio que tal demonstracao tem por base a suspeita de que as solucoes deveriam ser crculos concentricos.

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1.5.2 Interpretacao geometrica de exp(z)

Faremos uma interpretacao geometrica da transformacao operada por exp(z) : C C. Con-sidere entao a composicao de aplicacoes:

: Cexp C S1 R

z = x + iy exp(z) (exp(iy), x))Entao temos exp = 1 . Nosso trabalho entao se reduz a descrevermos geometricamente asfuncoes e . Iniciemos pela aplicacao . De fato temos explicitamente que (z = x + iy) =(eiy, x) produz o efeito de enrolamento do plano complexo sobre o cilindro S1 R (ver figuraabaixo)

Vamos agora descrever geometricamente a aplicacao . Inicialmente considere a superfcie Rlogdada pela revolucao do grafico da funcao w = log(x) em torno do eixo w no espaco tridimensional,

com eixos x, y, w (ver figura abaixo) que e parametrizada por R(x, y) = (x,y, log(

x2 + y2)).

De fato pode ser escrita como a composicao das funcoes:

: C P1 Rlog Q

1

S1 Rz = x + iy (x,y, log(

x2 + y2)) ( z|z| , log(|z|))

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onde P(x, y, w) = (x, y) e a projecao nas duas primeiras coordenas e Q e a projecao radial ao longodo cilindro em Rlog (ver figura abaixo).

1.5.3 As funcoes trigonometricas

Outro exemplo classico de funcoes elementares nos e fornecido pelas funcoes trigonometricas. Nosso

intuito inicial e o de estender as funcoes trigonometricas reais para o plano complexo, de maneiratal que a funcao estendida seja de fato holomorfa. Da formula de Euler, temos que

exp(i) = cos + isen(),

de onde segue que cos = exp(i)+exp(i)2

sen() =exp(i)exp(i)

2i ;

para todo R. Tais relacoes nos inspira imediatamente a seguinte:

Definicao 1.5.2 10Chamamos de de funcao cosseno complexa a funcao cos : C C dada por

cos(z) = exp(iz) + exp(iz)2

.

Analogamente chamamos de funcao seno complexa a funcao cos : C C dada por

sen(z) =exp(iz) exp(iz)

2i.

De maneira inteiramente analoga ao caso real, definimos as funcoes trigonometricas tangente,cotangente, secante cossecante etc. Um calculo direto mostra que tais funcoes exibem as mesmaspropriedades classicamente conhecidas das funcoes trigonometricas reais.

Proposicao 1.5.3 Como no caso real as funcoes trigonometricas complexas satisfazem as seguintespropriedades:

1. cos2(z)+sen2(z) = 1;

2. (lei dos senos)sen(z + w) = sen(z) cos(w) + sen(w) cos(z);

3. (lei dos cossenos)

cos(z + w) = cos(z) cos(w) sen(z)sen(w).

4. cos(z) = sen(z);5. sen(z) = cos(z);

e por conseguinte todas as que porventura delas decorram.10Como consequencia do princpio da identidade (ver teorema 2.3.14) temos que estas sao as unicas funcoes

holomorfas cujas restricoes a reta real sao justamente as funcoes seno e cosseno reais.

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1.5.4 Logaritmos de um numero complexo

Iremos agora introduzir o conceito de logaritmo de um numero complexo e verificar algumas desuas propriedades.

Definicao 1.5.4 Sendo C e C tais que

exp() = ,entao diremos que e um logaritmo de e denotaremos porLog() o conjunto dos logaritmosde .

Exemplo 1.5.5 Log(1) = {2ki : k Z}. De fato, = a + bi Log(1) se, e somente se,ea

(cos b + i sen b) = 1

o que e equivalente ao sistema ea = 1

cos b = 1sen b = 0

cujas solucoes sao a = 0 e b = 2k,k

Z.

Da definicao acima segue quase imediatamente que:

Lema 1.5.6 Sendo C e um logaritmo de , entao = ln || + i arg().

Reciprocamente, todo numero complexo desta forma e um logaritmo de .

Prova. De fato, sendo = r exp(i) e = a + bi, a, b R, entao temos quer exp(i) = exp(a + bi) = ea exp(ib),

de onde segue que

a = log(r),

b = (mod2).A recproca e imediata pois exp(log ||+i arg()) = elog(||)exp(i arg()) = || exp(i arg()) =

.Temos imediatamente o

Corolario 1.5.7 Dois logaritmos de um mesmo numero complexo nao-nulo diferem por um multiplointero de 2i. Reciprocamente qualquer numero complexo que difira de um logaritmo de um numerocomplexo por um multiplo interiro de 2i e tambem um logaritmo de .

Observacao 1.5.8 E importante observar que um logaritmo de um numero complexo tem ntimarelacao com o argumento desse mesmo numero complexo.

Proposicao 1.5.9 Sendo , C, entao Log( ) = Log() + Log() (igualdade entre con-juntos).

Prova. Sendo Log( ), entao exp() = = exp() exp() = exp( + ). Dessaforma, pelo Corolario 1.5.7 temos que = + + 2ki. Aplicando-se novamente o mesmocorolario, temos que := + 2ki e tambem um logaritmo de e dessa forma = + Log() + Log(). Reciprocamente, se = + , onde Log() e Log(), entaoexp() = exp( + ) = exp() exp() = , i.e., Log( ).

Em particular temos:

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Corolario 1.5.10 Sendo C, entao temos Log( 1) = Log().

Prova. De fato, um calculo imediato mostra que z Log( 1) = Log( ||2 ) se, e somente se,z = log( 1||)+ i arg(

||2 ) = log ||1 i arg() = (log ||+i arg()). Donde segue que z Log( 1)

se, e somente se z Log().

1.5.5 Ramos de logaritmo

Por analogia, gostariamos de definir uma funcao holomorfa f := u + iv : C C queestendesse o logaritmo real e por sua vez fosse uma inversa para a exponencial complexa em. Inicialmente vamos considerar funcoes contnuas com esta ultima propriedade. Mais adiantemostraremos que tais funcoes sao de fato holomorfas.

Definicao 1.5.11 Dizemos que uma funcao f : C C e um ramo de logaritmo see contnua e para todo numero complexo z tenhamos que f(z) e um logaritmo do numerocomplexo z, i.e.,

exp(f(z)) = z.

Dessa forma, sendo f(z) = u(z) + iv(z), entao pelo Lema 1.5.6, temos queu(z) = ln |z|;v(z) = arg(z)mod2.

(1.11)

Note ainda que como consequencia do Corolario 1.5.7 temos que

Proposicao 1.5.12 Se existir um ramo de logaritmo em C, f : C, entao todos osramos de logaritmo em sao da forma f(z) + 2ki, com k Z. Reciprocamente f(z) + 2ki e umramo de logaritmo para todo k Z.

Prova. Sendo f, g : C dois ramos de logaritmo, entao pelo Corolario 1.5.7, temos quef(z)g(z)

2i Z segue portanto que a funcao contnua k : Z dada por k(z) := f(z)g(z)2i deve

ser constante, visto que e conexo.Reciprocamente sendo f :

C um ramo de logaritmo, entao g(z) := f(z) + 2ki e tambem

contnua e mais ainda

exp(g(z)) = exp(f(z) + 2ki)

= exp f(z) = z.

Corolario 1.5.13 Se dois ramos de logaritmo em , coincidem em um ponto de , entao elescoincidem em .

Prova. Pela proposicao anterior temos que g(z) = f(z) + c. Por outro lado f(z0) = g(z0), deonde segue que c = 0.

Corolario 1.5.14 Se existir um ramo de logaritmo em, digamos f : C, e 0 = f(z0)mod2i. Entao existe um unico ramo de logaritmo em , digamos f0 : C, tal que 0 = f0(z0).

Prova. Sabemos que 0 = f(z0) + 2k0i, com k0 Z. Dessa forma, da proposicao anterior,temos a existencia de tal ramo de logaritmo dado pela expressao f0(z) := f(z)+ 2k0i. Finalmente,a unicidde decorre do corolario anterior.

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1.5.6 Ramos de argumento

Vamos agora relacionar os ramos de logaritmo com a funcao argumento, no intuito de melhoresclarecer o ponto vital na definicao do domnio natural de um ramo de logaritmo.

Definicao 1.5.15 Dizemos que uma funcao : C R e um ramo de argumento se econtnua e para cada z

, (z) seja um argumento do numero complexo z, i.e.,

z

|z| = exp(i(z)).

Proposicao 1.5.16 f(z) = log |z| + i(z) e um ramo de logaritmo em C se, e somente se, e um ramo de argumento em .

Prova. Inicialmente suponhamos que f e um ramo de logaritmo, em particular temos que econtnua. Por outro lado temos que

exp(f(z)) = exp(log |z|)exp(i(z))|z| exp(i(z))

de onde segue que e ramo de argumento. Reciprocamente, se e ramo de argumento, entao

exp(f(z)) = |z| exp(i(z))= |z| z|z| = z

Temos imediatamente que:

Corolario 1.5.17 Dado qualquer z0 C entao existe um ramo de logaritmo definido numavizinhanca de z0.

Prova. Basta verificar que na vizinhanca de qualquer ponto sempre e possvel definir umafuncao trigonometrica inversa conveniente por exemplo para o primeiro quadrante podemos tomararcsen ou arccos.

Alem disto, como consequencia da Proposicao 1.5.12 e do corolario que a segue temos os doisresultados seguintes:

Corolario 1.5.18 Dois ramos de argumento diferem por um mutiplo inteiro de 2. Reciproca-mente se uma funcao contnua difere de um ramo de argumento por um multiplo inteiro de 2 etambem um ramo de argumento.

Corolario 1.5.19 Se dois ramos de argumento em coincidem num ponto entao coincidem aolongo de todo .

Exemplo 1.5.20 Os ramos definidos por cortes:

a) O ramo principal de argumento: arg0 = Arg : C R (, );

b) O ramo de argumento arg : C R+ (0, 2);

c) O ramo principal de logaritmo : Log(z) = log(|z|) + iArg(z);Note que o angulo de onde se inicia a medida dos angulos e de fato o ponto fundamental que faz

diferir dois ramos de logaritmo definidos num mesmo domnio. Mais ainda, a partir dos exemplosacima, nossa intuicao sugere que nao e possvel obter um ramo de logaritmo em todo C.

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Exemplo 1.5.21 Nao existe ramo de logaritmo emC. De fato, se existisse um ramo de logaritmoem C entao pela Proposicao 1.5.16, existiria tambem um ramo de argumento, digamos , emC. Assim |CR e Arg sao dois ramos de argumento na regiao C R. Logo temos queArg(z) = (z) + 2ki, k Z e portanto Arg se extende continuamante aC, o que e um absurdo,visto que

lim

y0

Arg(

1 + iy) =

enquanto quelim

y0+Arg(1 + iy) =

ou seja limz0 Arg(z) nao existe.

Note que o exemplo acima (baseado fundamentalmente na Proposicao 1.5.16) mostra que odomnio de definicao natural de um ramo de logaritmo tambem depende crucialmente do pontoinicial de onde comecamos a medir angulos. De fato isto e o que esta por de tras da prova daProposicao 1.5.12. Como nao e difcil verificar, um ramo de logaritimo assim como um ramo deargumento tem como limite natural um setor de abertura 2 .

1.5.7 Ramos de logaritmo

primitivas

Iremos agora relacionar a existencia de ramos de logaritmo com a existencia de primitivas de umadeterminada funcao.

Teorema 1.5.22 Se f e um ramo de logaritmo em C entao f e holomorfa em e f(z) = 1zz .Prova. Antes de mais nada observemos que f e injetiva e portanto se z0 temos que

f(z) = f(z0), z , z = z0. Vamos mostrar que existe f(z0) e que f(z0) = 1z0 . Para taltomemos o quociente de Newton

=f(z) f(z0)

z z0 =f(z) f(z0)

exp(f(z)) exp(f(z0))

=1

exp(f(z))exp(f(z0))f(z)f(z0)

=1

exp wexp w0ww0

onde w = f(z) e w0 = f(z0). Sendo f contnua, entao w w0 quando z z0 e portanto

limzz0

ew ew0w w0 = limww0

ew ew0w w0 = e

w0 = 0

onde a ultima igualdade decorre do Teorema 1.5.1. Segue portanto que

limzz0

=1

ew0=

1

exp(f(z0))=

1

z0

Proposicao 1.5.23 Para que exista um ramo de logaritmo (ou de argumento) em C enecessario e suficiente que existe uma primitiva da funcao z 1z em .

Prova. A necessidade vem diretamente do Teorema 1.5.22. Vejamos entao a suficiencia.Suponhamos que exista g : C holomorfa tal que g(z) = 1z . Queremos mostrar que existe umramo de logaritmo, digamos f : C. Faremos entao uma pequena digressao de modo a tornarmais claro a maneira pela qual iremos provar a existencia de um tal ramo de logartmo f. De fato,

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35/97

se um tal ramo existir, entao pelo Teorema 1.5.22, teremos f(z) = 1z = g(z), ou equivalentente,

que g(z) = f(z) + c, c C. Portanto exp(g(z)) = exp(f(z) + c) = z, com = exp(c), i.e., afuncao h(z) := z exp(g(z)) sera necessariamente constante e igual a 1/ onde = exp(c). Sendoassim, nossa digressao nos leva a crer que se provarmos que h e uma funcao constante e tomarmosc como sendo um logaritmo de = 1/h, entao f(z) := g(z) c sera o desejado ramo de logaritmo.Vamos entao provar o que nos falta. Derivando-se h vem que

h(z) = exp(g(z)) z exp(g(z)) g(z)= exp(g) z exp(g) 1

z= 0.

Desta forma, se h(z) = 1/, e c Log(), entao f(z) = g(z) c e uma funcao continua (de fatoholomorfa) satisfazendo

exp(f(z)) = exp(g(z))/ exp(c)

=z

h(z) = z

sendo portanto um ramo de logaritmo em .

1.5.8 Das propriedades de Log(z)

Analisaremos agora quais das propriedades conhecidas da funcao logaritmo real realmente se preser-vam nos ramos de logaritmo complexo.

Proposicao 1.5.24 Sendo z, z1, z2 numeros complexos nos seguintes domnios, entao sao validasas relacoes

1. Log(z1 z2) = Log(z1) + Log(z2) vale para o setor Re(z) > 0, mas nao vale em geral. ;2. Log( 1z ) = Log(z) para todo z C R;

3. Log(exp(z)) = z. Tal identidade so e valida para < Im(z) < , que por sua vez eexatamente a imagem de C R por Log.

Prova. Verifiquemos inicialmente a primeira afirmacao do item 1). De fato temos que

Log(z1 z2) = ln |z1 z2| + iArg(z1 z2) = ln |z1| + ln |z2| + i(Arg(z1) + Arg(z2) + 2k).

Mas como z1, z2 Re(z) > 0, entao Arg(z1)+Arg(z2) (, ), assim como Arg(z1z2) (, ),logo k = 0, i.e., Arg(z1) + Arg(z2) = Arg(z1 z2). Com relacao a segunda afirmacao, mesmoque z1, z2 C R, pode acontecer que Arg(z1) + Arg(z2) = Arg(z1 z2). Por exemplo, sez1 = z2 = 1 + i, teremos Arg(z1) = Arg(z2) = 34 , enquanto que Arg(z1 z2) = 2 .

O item 2) decorre imediatemante do fato de Arg( 1z ) = Arg(z) e da identidade se verificarcaso z R+.

Vamos agora verificar o item 3). De fato temos que exp(z) = ex

exp(iy), de onde segue queLog(exp(z)) = ln | exp(z)| + iArg(exp(z)) = ln(ex) + iArg(cos y + i sen y)

= x + iy,

esta ultima igualdade acontecendo se, e somente se, y (, ).

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1.5.9 Ramos de raiz

Iremos agora estender de maneira natural o conceito de ramo de raiz n-esima para um numerocomplexo.

Definicao 1.5.25 Um ramo de raiz n-esima em um domnio e uma funcao contnua f : Ctal que f(z) e uma raiz n-esima do n umero z,

z

, i.e., f(z)n = z.

A relacao entre ramos de logaritmo e ramos de raiz fica determinada pela

Proposicao 1.5.26 Se g : C e um ramo de logaritmo, entao f(z) = exp( 1ng(z)) e um ramode raiz n-esima em .

Prova. Imediata a patir das definicoes, pois (exp( 1ng(z)))n = exp

n 1ng(z))

= exp(g(z)) = z.

Aqui cabe ressaltar que todo ramo de raiz n-esima e da forma acima como veremos mais adiante.

Definicao 1.5.27 O ramo principal de raiz e por definicao exp( 1nLog(z)) e sera denotado porn

z.

Vamos agora observar algumas propriedades do ramo principal de raiz, que decorrem das pro-priedades do ramo de logaritmo.

Proposicao 1.5.28 :

i) n

z1 z2 = nz1 nz2, sempre que Re(zj) > 0, j = 1, 2;

ii) n

1z =

1nz

, para todo z C R;

iii) n

m

z = mn

z para todo z C R.Prova. Os itens i) e ii) decorrem imediatamente das propriedades do logaritmo principal.

Vamos entao verificar o item iii). De fato, seja w = exp( 1m

Log(z)), entao temos que

n

m

z = n

w = exp(1

nLog(w))

= exp( 1n

(ln(|w|) + i Arg(w)))Sendo assim,

|w| = | exp( 1m

Log(z))| = exp( 1m

Re(Log(z)))

= exp(1

mln(|z|)) = |z| 1m .

por outro lado,

Arg(w) =1

mArg(z) + 2k

de onde segue que Arg(w)

m + 2ki, m + 2ki

(, ). Logo, para que a intersecao

seja nao nula temos que k = 0 e Arg(w) = 1mArg(z). Dessa forma

n

m

z = exp{ 1n

(log(|z| 1m + 1m

Arg(z)i))

=1

mnexp(log(|z| + iArg(z)) = mnz

Daremos agora um exemplo mostrando a necessidade da hipotese no item i) acima.

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Exemplo 1.5.29 Sendo z1 = z2 =1+i

2= exp( 3i4 ) teremos z1z2 =

exp( 3i4 )

2= exp( 3i2 ).

Logo

z1z2 = exp(

1

2Log(z1z2)) = exp(

1

2(ln(|e 3i2 |) + iArg( 3i

2)))

= exp(1

2(ln(1)

i

2)) = exp(

i

4)

Por outro lado

z1 =

z2 = exp(

1

2[ln(| exp( 3i

4)|) + iArg(exp( 3i

4))])

= exp(1

2[ln(1) + iArg(exp(

3i

4))])

= exp(1

2[iArg(exp(

3i

4))])

= exp(3i

8)

logo

z1

z1 = exp(

3i4 )

= exp(

i4 ) =

z1z2.

1.5.10 Potencias com expoentes arbitrarios: Ramos de potencia

Gostaramos de estender o conceito de potencia de um numero complexo z0 por um numero naturaln, i.e zn0 para um numero complexo qualquer , i.e., z

0 . Recordemos inicialmente que a potencia

natural, digamos n, de um numero real positivo a se da por

an =

n vezes a a.

Por outro lado, sendo b o logaritmo (real) do numero (real) a, entao temos que eb = a e portanto

an = exp(b)n = exp(n b).

Tal observacao justifica a seguinte

Definicao 1.5.30 Diremos que um numero complexo z0 e uma potencia de um numero complexo se for da forma

z0 = exp( )onde e um logaritmo de .

Exemplo 1.5.31 Sendo z0 1 + i de 1, entao

z0 = exp((1 + i) log(1))

= exp((1 + i) i arg(1))= exp(2k(i 1))= e2k exp(2ki)= e2k,

onde k Z.

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Exemplo 1.5.32 As potencias 2 + i de 1 + i sao dadas por

z0 = exp((2 + i) log(1 + i))

= exp((2 + i)(ln

2 + i arg(1 + i))

= exp(2 + i)[ln21/2 (2k + 4

)i]

= exp((2 ln 21/2 8k + 14

) + i(ln21/2 +8k + 1

2))

= eln(28k+14 ) exp(ln

2 + (

8k + 1

2)))

onde k Z.

Definicao 1.5.33 Uma funcao contnua f : C C e dita um ramo de potencia Cem quando f(z) for uma potencia do numero z, para todo z .

A relacao entre ramos de logaritmo e ramos de raiz fica determinada pela

Proposicao 1.5.34 Se g : C e um ramo de logaritmo, entao f(z) = exp( g(z)) e umramo de potencia em .

Prova. De fato, da definicao de ramo de potencia, basta verificar que f e contnua o quedecorre do fato de exp e g serem contnuas.

Definicao 1.5.35 Oramo principal de potencia e por definicao a funcao z exp(Log(z)),para todo z C R.

Vamos agora verificar uma relacao fundamental entre o ramo principal de potencia e o numerode Euler que serve como base para o logaritmo natural.

Lema 1.5.36 Sendo e o numero de Euler, entao e valida a relacao

ez = exp(z),

onde ez e o ramo principal de potencia. Em particular a funcao z ez e uma funcao inteira.

Prova. De fato basta aplicar a definicao:

ez = exp(z Log(e)) = exp(z ln(e)) = exp(z).

pois ln e o logaritmo natural.Note que este lema justifica largamente o uso da expressao ez ao inves de exp(z), inclusive na

forma classica como se expressa a relacao de Euler

ei = cos() + i sen()

Finalizaremos esta secao verificando algumas propriedades dos ramos de potencia que decorremimediatamente de propriedades dos ramos de logaritmo.

Proposicao 1.5.37 Seja z um ramo de potencia no domnio C e zj , j = 1, 2, entao:

i) z coincide com a definicao classica de potencia no caso = p N;ii) z1/p = p

z para todo p N, com relacao ao mesmo ramo de logaritmo;

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iii) z = 1z ;

iv) (z1z2) = z1 z2 , com o ramo principal de potencia, se Re(z1), Re(z2) > 0;

v) z+ = zz ;

vi) (a) = a 1, onde o ramo de potencia para 1 nao e nececss ariamente o mesmo ramodas duas potencias anteriores. Em particular se = n, temos que (a

)n

= an

.Prova. O item i) segue de um calculo imediato, pois

zp = exp(p log(z)) = exp(p ln |z| +pi arg(z))= exp ln |z|p exp(pi arg(z))= |z|p exp(i arg(z))p= [|z| exp(i arg(z))]p

=

p vezes z z.

O item ii) segue imediatamente da definicao, pois z1p = exp( 1p log(z)) =

p

z.

O item iii) decorre de um calculo direto. De fato

a = exp( log(a))=

1

exp( log(a))

=1

a.

O item iv) segue de

(z1z2) = exp( Log(z1z2))

= exp( Log(z1) + Log(z2))

= exp( Log(z1)) exp( Log(z2))= z1 z

2 .

O item v) decorre de

a+ = exp(( + )log a)

= exp( log a + log a)

= exp( log a) exp(log a)= aa.

Finalmente verifiquemos o item vi). De fato temos que

(a) = exp(log(a)) = exp(log exp( log a))Sendo entao b = log a, entao vamos supor inicialmente que eb / R0. Teremos entao que

log exp(b) = ln |eb| + i arg(eb)= ln |eb| + i Arg(eb) + i(arg(eb) Arg(eb))= Log(eb) + i(arg(1) Arg(1))= b + 2ki + i arg(1)+

= b + logk(1).

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onde a ultima igualdade supoe a princpio um novo ramo de logartimo. Dessa forma temos que

(a) = exp(( log a + 1))

= exp(log a) exp(log(1))

= a(1).

O caso geral segue de tomarmos um outro ramo de argumento tal que arg(1) = 0.

1.5.11 Exerccios

1. Mostre que |exp(z)| = eRe(z) para todo z C.2. Seja um logaritmo de a. Mostre que Log(ab) = + Log(b);3. Seja f um ramo de logaritmo em . Entao mostre que, dados z1, z2 , f(z1) f(z2)

independe do ramo de logaritmo escolhido.

4. Sejam g : C holomorfa com g(z) = 0 para todo z e f : 0 contnuae tal que g(f(z)) = z para todo x . Prove que f e holomorfa e que f(z) = 1g(f(z)) .Conclua que se existe um ramo de raiz

n-esima numa regiao

C

, entaof

e holomorfa e

f(z) = f(z)nz .

5. Sendo f : C uma funcao holomorfa entao chamamos de ramo de logaritmo de fa uma funcao contnua que satisfaz a relacao eg(z) = f(z), para todo z . Prove que g eholomorfa (sugestao: Prove que dois ramos de logaritmo de f em uma regiao diferem poruma constante e use a existencia local de ramos de logaritmo).

6. Seja f como no exerccio anterior, mostre que existe um ramo de logaritmo de f em se, e

somente se, existe primitiva em para a funcao f(z)f(z) .

7. De acordo com a definicao dada no exerccio 5 e de forma semelhante ao realizado no estudodos ramos de logaritmo, determine uma regiao onde esteja definido um ramo de logaritmodas seguintes funcoes:

a) f(z) = z a, a C ;b) f(z) = (z a)(z b), a, b C, a = b;c) f(z) = z2 1;d) f(z) = log(z).

8. Sendo p, q Z tais que m.d.c.(p,q) = 1 e z 1q o ramo princiapal de raiz q-esima, mostre queLog(z

pq ) = pq Log(z) se, e somente se, Arg(z) ( qp, qp) (, ) (sugestao: Mostre, us-

ando a definicoes, que Arg(exp(piq Arg(z))) = Arg(z) se, e somente se, Arg(z) ( qp, qp) (, ).

9. Mostre que existe um ramo de logaritmo de f(z) = log( zz

1 ) no complementar do segmento

[0, 1]. (Sugestao: Observe a imagem do complementar do segmento [0, 1] pela funcao zz1 ).

10. Prove o Corolario 1.5.17.

11. Sendo C, considere a aplicacao = arg+ : C R+ ], 2[ dada por (z) =], 2[Arg(z), onde Arg(a) denota o cojunto dos argumentos do numero complexo a.Entao:

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i) Mostre que esta bem definida e e um ramo de argumento;

ii) Compare os valores de (z) e de Arg(z) na intersecao de seus domnios de definicao.

12. Mostre que nao existe ramo holomorfo de raiz n-esima em nenhuma regiao contendo 0 C.13. Mostre que nao existe ramo de raiz n-esima em C.

14. Se f, g : C sao ramos de raiz n-esmia, entao temos que g(z) = kn f(z), onde n e an-emsima raiz primitiva da unidade.

15. Se a, C e a = 0, as potencias de a sao todos ons numeros complexos da forma e log aonde log a e qualquer um dos logaritmos de a. Denotando este conjunto por a, prove que:

i) Se e uma potencia de a, entao todas as potencias de a sao da forma 1;ii) a = 1

a;

iii) (a b) = a b;iv) (a) = a 1 a;v) a+ = a a 1 = a a 1 a a

vi) Se Z entao a nova definicao de a coincide com a antiga.vii) se = mn Q com mdc(m, n) = 1, entao a = a

mn = n

am = ( n

a)m

16. Sendo f : C um ramo de potencia na regiao , prove que:

a) Se g : C e outro ramo de potencia em , entao g(z) = 1 f(z);b) f e holomorfa e f(z) = f(z)z , ainda mais

f(z)z = f

(z) e um ramo de potencia 1em .

17. Sabemos que se existe um ramo de logaritmo l : C, entao existe um ramo de potencia em dada por f(z) = el(z). Prove a recproca desta afirmacao quando C Q.(Sugestao: Mostre que para cada z existe um unico logaritmo de z para o qual e log z =f(z) )11

11O resultado e valido tambem e valido para racional p orem mais dif cil de provar.Veja exerccios ?? e ??? de???

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Captulo 2

Teoria da integracao complexa deCauchy

Neste captulo desenvolvemos a teoria de integracao complexa que se deve em grande parte aoMatematico Frances Augustin Cauchy.

2.1 Primitivas e formas diferenciais

2.1.1 O problema central

A questao central na teoria de integracao holomorfa e a de obtencao de primitivas de uma funcaocomplexa em um dado domnio de C. De forma mais rigorosa temos:

Problema 2.1.1 Sendo f : C uma funcao holomorfa, exite F : C holomorfa tal que

F(z) = f(z)?

Algumas motivacoes para tal questao ja surgiram em nosso caminho nas seguintes ocasioes:

1. Obtencao de conjugada harmonica;

2. Existencia de ramos de logaritmo.

Quando estudamos ramos de logaritmo vimos que uma primitiva para a funcao z 1/z existese, e somente se, existe um ramos de logaritmo (Proposicao 1.5.23), de onde temos os:

Exemplo 2.1.2 Para a funcao f(z) = 1z temos que :

1. Existe primitiva localmente;

2. existe primitiva emC R;

3. nao existe primitiva emC.

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2.1.2 Formulando o problema em termos de diferenciais

Vamos agora reinterpretar o problema acima em termos de diferenciais.

Proposicao 2.1.3 Seja f : C diferenciavel, entao f e holomorfa se, e somente se, df =f(z)dz.

Prova. Pelo Teorema 1.4.15, temos que

df =f(z)

zdz +

f(z)

zdz.

Por outro lado, temos que f e holomorfa se, e somente se, f(z)

z = 0. Em particular, recordemos

que se f e holomorfa temos f(z) = f(z)z , de onde segue o resultado desejado.

Proposicao 2.1.4 Existe uma primitiva para a funcao holomorfa f : C se, e somente se,existe F : C diferenciavel e tal que

dF(z) = f(z)dz.

Prova. Do Teorema 1.4.15 e dos comentarios que o seguem, temos que

dF(z) =F(z)

zdz +

F(z)

zdz.

Desta forma, se F e primitiva holomorfa de f temos que F(z) = f(z) e F(z)z = 0. Mas recordeque quando F e holomorfa, temos que F(z)z = f(z). Donde segue dF(z) = f

(z)dz.Reciprocamente, se dF(z) = f(z)dz, entao temos pelo Teorema 1.4.15 que

F(z)z = f

(z);F(z)z = 0.

Ou seja, F e holomorfa e F(z) = F(z)z = f(z). Donde segue que F e primitiva holomorfa de

f.

Observacao 2.1.5 Convem salientar que o problema da existencia de uma funcao F tal que dF =f(z)dz e an alogo ao problema de existencia de uma funcao potencial para um dado campo de vetores(cf. [1], [2] ou [5]).

2.1.3 1-formas diferenciais

Dada f : C holomorfa, queremos saber quando a expressao f(z)dz e de fato a diferencialde alguma funcao F : C. Rigorosamente, a expressao f(z)dz representa uma aplicacao L(C). Mais precisamente, a aplicacao que a cada z associa a transformacao linear f(z)dz. Deforma geral uma aplicacao : L(C) e chamada de uma 1-forma diferencial complexa em. Como no caso particular de diferenciais de funcoes (cf. secao 1.4.4), podemos mostrar que toda

1-forma diferencial : L(C) contnua, diferenciavel, de classe Ck, holomorfa etc., se escrevede maneira unica como

= p(x, y)dx + q(x, y)dy

ou

= a(z)dz + b(z)dz

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onde a,b,p,q : C sao funcoes respectivamente contnuas, diferenciaveis, de classe Ck, holo-morfas etc. Nosso objetivo principal agora torna-se definir uma nocao de integracao de 1-formassobre caminhos, ou seja:

=

p(z)dx + q(z)dy. Um boa motivacao para a nossa definicao vem

de considerar o caso = df. De fato, tomando-se (por abuso de linguagem) : [a, b] R como sendo uma parametrizacao da curva e g := f entao do Teorema Fundamental do Calculoe da Regra da Cadeia (para funcoes de duas variaveis), temos que

f(B) f(A) = g(b) g(a) =ba

g(t)dt

=

ba

df((t)) (t)dt

onde A = g(a) e B = g(a). Temos portanto

f(B) f(A) =ba

((t)) (t)dt

Definicao 2.1.6 Chamamos de integral da 1-forma : L(C) ao longo do caminho :[a, b]

R

a integral

:= ba

((t)) (t)dt.

Note que para t fixado temos ((t)) LR(C), logo o produto ((t)) (t) pode de fato servisto como a acao de uma transformacao linear sobre um vetor. Mais ainda, se ((t)) LC(C)(em particular se = df, com f holomorfa) entao ((t)) (t) pode ser interpretada comouma multiplicacao de numeros complexos (veja Lema 1.3.19). Note que como estamos procurandoidentificar quando a forma C-linear f(z)dz e holomorfa, entao nada e mais natural que restringirmosnosso estudo ao caso de 1-formas diferenciais C-lineares e . Em particular note que este ultimointegrando e na verdade uma funcao complexa. Vamos por

Complex Analysis[1]

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