2

INTRODUÇÃO

Definir em separado alguns dos conceitos fundamentais que estão na base da ciência a que

chamo Espaçonumerática seria talvez dispensável, uma vez que todos eles se encontram

reunidos no modelo paradigmático que estrutura e organiza o Espaço – aquele que a tradição

esotérica refere como Cânone Sagrado de Cosmologia, Cânone de Proporções ou simplesmente

Cânone. Porquê então apresentá-los em separado, numa abordagem puramente científica? Por

duas razões fundamentais: a primeira porque esta abordagem inicial facilitará a sua compreensão

quando eles forem apresentados no contexto do próprio Cânone; a segunda porque ao serem

analisados neste contexto é impossível não os abordar simultaneamente nos seus aspectos

científico e simbólico. Ao longo de toda a minha pesquisa sempre fiz sempre questão de não

dissociar estes dois aspectos, que no fundo são como duas faces da mesma moeda. Mostrou-me

no entanto a experiência que o facto de os apresentar interligados dificultou a compreensão e

aceitação daquilo que fui expondo, tanto por parte de matemáticos como de não matemáticos. Por

isso me pareceu agora conveniente abordá-los primeiro de uma forma científica, até porque a sua

definição exige uma nova simbologia1 com a qual o leitor terá que familiarizar-se. Mas uma vez

que ela é extremamente simples, não há que ter medo de penetrar neste vasto mundo onde os

conceitos de Espaço e de Número se fundem em perfeita harmonia, levando-nos por caminhos

diferentes dos da Matemática, o que por si só já é suficiente para que alguns matemáticos olhem

de soslaio para aquilo que aqui vou expor. É natural. Perante algo de novo há sempre a tendência

para se ficar “de pé atrás” enquanto a teoria apresentada não for analisada ao pormenor e

reconhecida como válida. Principalmente se essa teoria vier de alguém que não é matemática,

como é o caso, embora o meu trabalho de pesquisa tenha a ver essencialmente com a Teoria dos

Números – o ramo da Matemática que constitui a base da chamada Matemática Pura e é aquele

em que assenta (ou deveria assentar) todo o edifício matemático. E como na construção de

qualquer edifício o importante é começar pela solidez dos seus alicerces, pergunto se os alicerces

em que assenta a Matemática são assim tão sólidos, de modo a podermos considerá-la como

torre inexpugnável. Que eu saiba, as opiniões dos próprios matemáticos dividem-se a este

respeito. Se, por um lado, temos os chamados “formalistas”, que entendem que basta idealizar um

conjunto de axiomas lógico e consistente para que o edifício sobre ele construído se torne

impenetrável a qualquer paradoxo ou inconsistência que possa surgir, temos por outro lado os

“intuicionistas” que acham que no reino da Matemática não basta que um conceito seja bem

definido. Ele deve ser também constituível. E que no que diz respeito à sua construção só os

processo finitos são válidos, ou, quando muito, processos infinitos que possam ser redutíveis a

finitos por meio de um número finito de regras. Além disso, como disse André Weil, «a

Matemática, mesmo nas formas lógicas em que se move, depende inteiramente do conceito de

número natural», o que nos remete imediatamente para o conceito pitagórico de «Número» e nos

situa no cerne da questão. Motivos pelos quais me coloco inteiramente ao lado dos chamados

“intuicionistas”, indo mais longe ainda na interpretação do conceito de «Número», quando este,

antes de ser ciência propriamente dita, fazia parte de uma mística da qual deriva a sua reputação

divina, bem patente em algumas tradições sagradas.

Mas, para já, debrucemo-nos apenas sobre o seu aspecto científico, dando vida a um dos

sonhos pitagóricos: conjugar num só corpo a Geometria e a Aritmética.

1 Esta simbologia foi aquela que me pareceu mais simples, o que não significa que não possa vir a ser substituída, como

aconteceu, aliás, com aquela que comecei por utilizar no início da minha pesquisa.

3

CONCEITOS BÁSICOS DA ESPAÇONUMERÁTICA

1. AS TRÊS UNIDADES DE MEDIDA DO ESPAÇO

O cubo é a forma perfeita que reúne em si as três unidades de medida do Espaço

tridimensional (FIG.1), o que significa que se o volume desse cubo for considerado uma unidade

de volume, as unidades linear e de superfície que lhe estão associadas podem ser definidas em

cada um dos planos a que pertence uma das suas faces1 por um dos lados e pela área do

quadrado correspondente a essa face. Assim, se dois vértices consecutivos do cubo que reúne as

três unidades básicas em relação às quais é medido o Espaço forem representados por A1 e B1, é

esta a representação simbólica2 dessas unidades:

A1B1(L) (Unidade Linear – segmento de recta limitado por A1 e B1, correspondente

a uma aresta do cubo)

A1B1(S) (Unidade de Superfície – área do quadrado de lado igual a A1B1(L))

A1B1(V) (Unidade de Volume – volume do cubo de aresta igual a A1B1(L))

2. CONCEITOS DE ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO

O processo de contagem e, consequentemente, o próprio conceito de Número tem origem na

adição de uma unidade a cada uma das unidades já referidas e aos conjuntos de unidades que se

vão formando.

1 O plano escolhido passará a ser considerado o plano de referência onde virão a ser representadas posteriormente todas

as unidades lineares e de superfície. 2 As letras L, S, V , colocadas entre parêntesis, indicam o tipo de unidade em questão.

FIG.1

A1 B1

B1 A1

A1 B1

A1 B1

4

Como este processo é gerado pela adição de uma unidade igual a cada uma das unidades já

existentes1, a representação simbólica do resultado da adição destas duas unidades, assim como

do conceito de multiplicação que está subjacente a esta operação2, é feita em relação () a cada

uma das unidades que lhe dá origem:

A2B2(L)=1(L)+1(L) A1B1(L) ou 1(L)x2=2(L)A1B1 (L)

A2B2(S) =1(S)+1(S) ou 1(S)x 2=2(S)A1B1(S)

A2B2(V)= 1(V)+1(V) ou 1(V)x1=2(V)A1B1 (V)

3. CONCEITO DE CONJUNTO

O conjunto de unidades que representa o resultado das operações anteriores corresponde ao

resultado de uma multiplicação em que o multiplicando corresponde ao número de unidades desse

conjunto e o multiplicador é igual a 1, ou seja:

A2B2(L)=2(L)x1=2(L)A1B1(L)

A2B2(S)=2(S)x1=2(S)A1B1(S)

A2B2(V)=2(V)x1=2(V)A1B1(V)

4. PROPRIEDADE COMUTATIVA DA MULTIPLICAÇÃO

Esta propriedade tem origem nas multiplicações representadas em 2. e 3., sendo o algarismo

que representa o multiplicando da primeira igual aquele que representa o multiplicador da

segunda, e vice-versa.

5. PROPRIEDADES ASSOCIATIVA E COMUTATIVA DA ADIÇÃO

O princípio da Adição permite que as unidades representadas em 1. sejam adicionadas aos

conjuntos representados em 3., tendo aqui origem duas propriedades fundamentais desta

operação: a propriedade associativa (a)), em que uma das parcelas é representada por um

conjunto de unidades, e a propriedade comutativa (b)), que permite trocar entre si a posição de

cada uma dessas parcelas.

1

Na primeira operação – Adição –, os dois primeiros números representam as parcelas desta operação e o terceiro

número o seu resultado. Na segunda operação – Multiplicação –, o primeiro algarismo representa o multiplicando, ou seja, o número de unidades que se repete, sendo essa repetição indicada pelo número correspondente ao multiplicador

(segundo algarismo), sendo o resultado destas operações seguido do símbolo , o qual indica a unidade em relação à qual a operação é definida. 2 O número 2 é o primeiro a definir os princípios da Adição e da Multiplicação.

A2 B2

A2 B2

B2 A2

A2 B2

A2 B2

B2 A2

5

a) PROPRIEDADE ASSOCIATIVA

A soma de três parcelas iguais àquelas consideradas em 1. pode ser representada por uma

soma de duas parcelas, sendo uma delas igual a uma unidade e a outra igual a um conjunto de

duas unidades:

A3B3(L)=1(L)+(1(L)+1(L))=1(L)+2(L)=3(L)A1B1(L)

A3B3(S)=1(S)+ )+(1(S)+1(S))=1(S)+2(S)=3(S)A1B1(S)

A3B3(V) =1(V)+ )+(1(V)+1(V))=1(V)+2(V)=3(V)A1B1(V)

b) PROPRIEDADE COMUTATIVA

As parcelas consideradas em a) podem trocar entre si a sua posição:

A3B3(L)=(1(L)+1(L))+1(L))=2(L)+1(L)=3(L)A1B1(L)

A3B3(S)=(1(S)+1(S))+1(S))=2(S)+1(S)=3(S)A1B1(S)

A3B3(V)=(1(V)+1(V))+1(V))=2(V)+1(V)=3(V)A1B1(V)

6. DECOMPOSIÇÃO EM PARCELAS

A adição de quatro unidades pode ser representada por duas somas (representadas em a) e

b)), cada uma com duas parcelas, representando essas parcelas as combinações possíveis dos

números até quatro1, ou seja:

a)

A4B4(L)=1(L)+3(L)=4(L)A1B1(L)

A4B4(S=1(S)+3(S)=4(S)A1B1(S)

A4B4(V)=1(V)+3(V)=4(V)A1B1(V)

1 Notar que no caso a), em que as parcelas são diferentes, a sua soma está sujeita à propriedade comutativa definida em

5. a) e b).

A3 B3

A3 B3

A4 B4

A3 B3

A3 B3

A3 B3

A3 B3

A4 B4

A4 B4

6

b)

A4B4(L)= 2(L)+2(L)=4(L)A1B1(L)

A4B4(S)= 2(S)+2(S)=4(S)A1B1(S)

A4B4(V)=2(V)+2(V)=4(V)A1B1(V)

7. CONCEITO DE POTÊNCIA

As somas consideradas em 6.b) podem ser representadas por multiplicações em que o

multiplicador e o multiplicando são iguais, tomando a designação de potências. Na representação

destas potências o multiplicando das multiplicações em questão corresponde à sua base e o

multiplicador ao seu expoente, e, neste caso, essas multiplicações ou potências admitem as

seguintes representações geométricas e simbólicas:

A4B4(L)= 2(L)x2= 2(L)2= 4(L)A1B1(L)

A4B4(S)= 2(S)x2= 2(S)2= 4(S)A1B1(S)

A4B4(V)= 2(V)x2= 2(V)2= 4(V)A1B1(V)

Isto significa que a potência definida em relação à unidade A1B1(S) pode ser representada pela

áreas de um rectângulo ou de um quadrado, os quais representam as faces maiores de

paralelepípedos de altura igual a A1B1(L) cujo volume define esta mesma potência em relação à

unidade de volume A1B1(V) 1.

8. QUADRADO DE LADO CORRESPONDENTE À HIPOTENUSA DE UM TRIÂNGULO

Se o lado de um quadrado for hipotenusa de um triângulo de catetos comensuráveis com a

unidade A1B12, o segmento de recta correspondente a essa hipotenusa é definido pelos

segmentos de recta correspondentes aos catetos desse triângulo.

Ex:

Sendo A1B1(L) = E2O(L)=OF2(L), tem-se,

E2F2(L) (E2O(L),OF2(L)= 1(L),1(L)A1B1(L)

1 Notar que esta correspondência numérica entre áreas e volumes verifica-se sempre entre o volume de qualquer

paralelepípedo de altura igual a A1B1(L) e os rectângulos e quadrados correspondentes às suas faces maiores. 2

Se o lado de um quadrado não for múltiplo da unidade A1B1 será referenciado pelas letras E e F seguidas de um índice

numérico indicador da área desse quadrado. Sendo um múltiplo de A1B1 esse lado continuará a ser referenciado pelas letras A e B seguidas de um índice numérico correspondente a esse múltiplo.

B4 A4

B4 A4

E2

F2 O

A4 B4

A4 B4

B4 A4 ou

ou

B4 A4

B4 A4

B4 A4

7

RELAÇÃO DE ÁREAS E VOLUMES COM BASE NO TRIÂNGULO RECTÂNGULO

Se o lado do quadrado que representa a face de um paralelepípedo de altura igual à unidade

A1B1(L) corresponder à hipotenusa de um triângulo de catetos mensuráveis em relação a A1B1, a

área desse quadrado é igual à soma da área dos quadrados de lados correspondentes aos

catetos desse triângulo1.

Uma vez que esses catetos podem ser iguais à unidade A1B1(L), ou corresponder a múltiplos

desta unidade2, a área dos quadrados e volume dos paralelepípedos em questão são assim

definidos:

a) Catetos iguais a A1B1(L)

Sendo E2F2(L) (1(L) ,1(L) )A1B1(L) tem-se:

E2F2(S)=1(S)+1(S)=2(S) A1B1(S)

e

E2F2(V)=1(V)+1(V)=2(V) A1B1(V)

b) Catetos múltiplos de A1B1(L)

Sendo E2F2(L) (2(L),3(L))A1B1(L) tem-se:

E13F13(S)=2(S)2+3(S)

2= 4(S)+9(S)=13(S) A1B1(S)

e

E13F13(V)=2(V)2+3(V)

2=4(V)+9(V)=13(V) A1B1(V)

1

Esta relação entre áreas é enunciada no conhecido Teorema de Pitágoras, o qual tanto é válido para áreas como para

volumes, uma vez que a área dos quadrados abrangidos por este teorema é numericamente igual ao volume de paralelepípedos de altura igual a A1B1(L) cujas faces são representadas no plano por esses quadrados. 2 Notar que há ainda a considerar os triângulos em que um dos cateto é igual a A1B1(L) e o outro igual a um múltiplo desta

unidade (sendo o primeiro exemplo o triângulo de catetos iguais a A1B1(L) e 2(L) A1B1(L) ) e os triângulos de catetos iguais,

sendo ambos múltiplos da unidade A1B1(L) (sendo o primeiro exemplo o triângulo de catetos iguais a 2(L) A1B1(L) ).

F2

E2

O

E2

E13

F13 A1 B1

E13

F13

O F2

F2

E2 E2

F2

E13

F13

E13

F13

8

10. POTÊNCIAS BASEADAS NO CONCEITO DE PROPORÇÃO LINEAR

O resultado de uma potência de expoente igual a 2 cuja base corresponda à área do

quadrado que representa no plano a face de um paralelepípedo de altura igual a A1B1(L) é

numericamente igual ao resultado da potência correspondente ao volume desse paralelepípedo,

dependendo a sua representação da proporção linear entre os catetos do triângulo que tem por

hipotenusa os lados do quadrado que define a base dessa potência. O que quer dizer que o

resultado dessa potência pode ser representado pela área de um quadrado ou pelo volume do

paralelepípedo que lhe corresponde, sendo o lado do quadrado que representa no plano a face

desse paralelepípedo hipotenusa de um triângulo de catetos numa proporção numérica idêntica

àquela que define a base dessa potência1, embora definida a partir de uma unidade diferente.

Exemplos:

a) Catetos iguais a A1B1(L)

Sendo

E2F2(L)(1(L),1(L)) A1B1(L) ; E2F2(S)=1(S)+1(S)=2(S)A1B1(S) (1.)

tem-se

A2B2(L)(1(L),1(L))E2F2(L) ; A2B2(S)=1(S)+1(S)=2(S)E2F2(S) (2.)

donde,

E2F2(S)=2(S)x1=2(S)A1B1(S) ; A2B2(S)=2(S)x2=4(S)A1B1(S) (1. e 2.)

e

E2F2(V)=2(V)x1=2(V)A1B1(V); A2B2(V)=2(V)x2=2(V)2=4(V)A1B1(V) (3. e 4.)

b) Catetos diferentes, sendo um deles igual a A1B1(L)

Sendo

E5F5(L)(E5A1(L),A1F5(L)=1(L),2(L))A1B1(L) (1.)

donde

E5F5(S)=1(S)+2(S)2=1(S)+4(S)=5(S)A1B1(S) (1.)

e

A5B5(L) (A5F5(L),F5B5(L)=2(L),1(L))E5F5(L) (2.)

donde

A5B5(S)=2(S)2+1(S)=4(S)+1(S)=5(S)E5F5(S) (2.)

tem-se

E5F5(V)=1(V)+2(V)2=1(V)+4(V)=5(V)A1B1(V) (3.)

e

A5B5(S) =5(S)x5=5(S)2=25(S)A1B1(S) ( 2.)

A5B5(V) = 5(V)x5= 5(V)2=25(V) A1B1(V) ( 4.)

2

1 Os catetos desse triângulo podem ser iguais ou diferentes da unidade A1B1(L) e iguais ou diferentes entre si. 2 A área do quadrado de lado A5B5(L) e o volume do paralelepípedo cuja face é representada por este quadrado pode

ainda ser representada pela soma de um maior número de áreas e volumes, o que pressupõe uma aplicação mais vasta do

teorema de Pitágoras. Ex: Sendo A5B5(L)(2(L),1(L))E5F5(L)(1(L),2(L))A1B1(L), basta multiplicar cada um dos números

que definem o lado do quadrado A5B5(S) por cada um dos números que definem o lado do quadrado E5F5(S) para se obter

os números correspondentes aos lados dos quadrados cuja área correspondem às parcelas dessa soma.

2.

F5

E5

B5

’5

A5

A1 B1

1.

F5

E5

A1 B1

3.

F5

E5

A1 B1

4.

F5

E5

B5

’5

A5

A1 B1

4.

F2

E2

O

1. 2.

E2

O F2

A2 B2

E2

3.

F2

4.

A2 B2

F2

E2

9

11. DIFERENTE REPRESENTAÇÃO DA BASE DE UMA POTÊNCIA

Considerados os exemplos a) e b) referidos em 10. pode concluir-se o seguinte a partir das

representações que se seguem1:

a)

b)

Em a) a área do quadrado de lado E2F2(L) é igual à do rectângulo cujo lado maior é igual ao

lado do quadrado A2B2(S) (áreas sombreadas). O mesmo acontece em b) com as áreas do

quadrado e rectângulo sombreados. Logo, as áreas dos quadrados A2B2(S) e A5B5(S) representam o

resultado de multiplicações em que o multiplicando e o multiplicador são numericamente iguais, ou

o resultado de potências de expoente 2 cujas bases são, respectivamente, as áreas dos

quadrados E2F2(S) e E5F5(S), sendo estas áreas iguais à de rectângulos em que o lado menor é

igual à unidade A1B1(L) e o lado maior é o lado dos quadrados que representam o resultado dessas

multiplicações ou potências.

Sendo o multiplicando e multiplicador em ambos os casos numericamente iguais, estamos

perante um caso particular da multiplicação, ou seja, de uma potência de expoente igual a 2 cuja

base tanto pode corresponder à área de um quadrado como de um rectângulo, desde que o lado

do quadrado que a representa seja hipotenusa de um triângulo rectângulo.

12. CASO GERAL DA MULTIPLICAÇÃO DE UMA ÁREA

Consideremos agora o outro caso da Multiplicação em que o multiplicando e o multiplicador

são diferentes. Para isso tomemos como exemplos os dois quadrados cujas áreas representam as

bases das potências anteriormente consideradas, tendo em linha de conta a propriedade

comutativa da Multiplicação.

Assim, se os números correspondentes ao multiplicando e ao multiplicador corresponderem

às áreas dos quadrados de lados E2F2(L) e E5F5(L), respectivamente iguais a 2(S) e 5(S) A1B1(S),

são estas as representações das operações 2(S)x5A1B1(S) e 5(S)x2=10 A1B1(S):

1 Para facilitar a exposição passarei a considerar apenas os casos referentes a áreas, a menos que a representação dos

volumes correspondentes a essas áreas o justifique.

F5

E5

B5

’5

A5

A1 B1 F5

E5

A1 B1

F2

E2

O

E2

O F2

A2 B2

1. 2.

3.

4.

10

1ª. E2F2(S) x 5 A1B1(S)

Sendo o lado do quadrado cuja área representa o multiplicando definido pelos números

1(L),1(L) A1B1(L), e o lado do quadrado cuja área representa o multiplicador por 1(L),2(L) A1B1(L) é

esta a representação geométrica da multiplicação em questão, cujo resultado é representado pela

área do quadrado de lado E’10F’10(L), ou seja,

E’10F’10(L) (E’10E2(L),E2F’10(L)=1(L),2(L))E2F2(L)(E2O(L),OF2(L)=1(L),1(L))A1B1(L),

donde,

E’10F’10(S)= 1(S)+2(S)2 =5(S)E2F2(S)=1(S)+1(S)=2(S)A1B1(S)

ou

E’10F’10(S) =2(S)x5=10(S) A1B1(S)

2ª.

Sendo o lado do quadrado cuja área representa o multiplicando definido pelos números

1(L),2(L)A1B1(L), e o lado do quadrado cuja área representa o multiplicador por 1(L),1(L) A1B1(L) é

esta a representação geométrica da multiplicação em questão, cujo resultado é também

representado pela área do quadrado de lado E’10F’10(L), ou seja,

E’10F’10(L)(E’10O(L),OF’10(L)=1(L),1(L))E’10O(L) (sendo E’10O(L)=E5F5(L) e E5F5(L)

(E5A1(L),A1F5(L)=1(L),1(L))A1B1(L))

tem-se,

E’10F’10(S) = 1(S)+ 1(S) = 2(S) E5F5(S)(sendo E5F5(S)=1(S)+2(S)

2=5(S) A1B1(S))

donde

E’10F’10(S) = 5(S)x 2=10(S) A1B1(S)

Fica assim definida a propriedade comutativa de uma multiplicação em que os números que

representam o multiplicando e o multiplicador são áreas de quadrados de lados correspondentes a

hipotenusas de triângulos de catetos comensuráveis em relação à mesma unidade linear básica.

Acontece, porém, que num dos casos os catetos desses triângulos são iguais e no outro são

diferentes. Como integrá-los então na mesma representação geométrica? Para isso é necessário,

em primeiro lugar, ordenar no mesmo sistema coordenativo a série de quadrados de lados

correspondentes à sucessão dos números naturais (ímpares e pares).

13. SISTEMA COORDENATIVO – SUCESSÃO DE QUADRADOS DE LADOS ATÉ 5

Neste diagrama está representada a série ordenada

de quadrados de lados correspondentes à série natural

dos números inteiros, ímpares de pares, até 5, se os

considerarmos definidos a partir da unidade linear básica

A1B1(L).

Estes quadrados encontram-se integrados no Sistema

Coordenativo com origem em O, cujos eixos dividem ao

meio os seus lados. Logo, considerando que a própria

unidade linear básica se encontra dividida em dois

segmentos de recta iguais, em relação a um destes

segmentos os lados dos referidos quadrados são

potencialmente números pares.

F2

E2

O

E’10

F’10

E5

F5

F’10

E’10

O

A1

B5 A5

A4

A3

A2

A1

B4

B3

B2

B1

O

11

14. RELAÇÕES LINEARES E DE SUPERFÍCIE ENTRE QUADRADOS

Além da série de quadrados referida em 13.

neste diagrama estão representados todos os

quadrados de lados iguais a hipotenusas de

triângulos em que a soma dos seus catetos resulta

das múltiplas combinação entre os números até 4,

sendo os resultados dessas somas representados

pelos lados dos quadrados referidos anteriormente.

Ex:

A2B2(L)= E2O(L),OF2(L)=1(L)+1(L)=2(L) ) A1B1(L)

Neste exemplo, em que os catetos são iguais, o lado do quadrado que representa a sua soma

corresponde a um número par. Mas, sendo os catetos diferentes, a sua soma é representada por

um número ímpar, o que permite a representação simétrica de dois quadrados iguais baseada na

propriedade comutativa da soma, dando origem a um Princípio de Igualdade.

Ex:

A3B3(L)= A3E5(L)+E5B3(L)=1(L)+2(L)=3(L)A1B1(L)

A3B3(L)= A3E’5(L)+E’5B3(L)=2(L)+1(L)=3(L) A1B1(L)

Além da propriedade comutativa da soma pode ser também considerada a decomposição do

lado de um quadrado em parcelas diferentes, o que permite a representação de quadrados

diferentes, sendo igual o resultado da soma dos seus catetos.

Ex:

A5B5(L)=A5E17(L)+E17B5(L)=1(L)+4(L)=5(L)A1B1(L)

A5B5(L)=A5E’17(L)+E’17B5(L)=4(L)+1(L)=5(L)A1B1(L)

e

A5B5(L)=A5E13(L)+E13B5(L)=2(L)+3(L)=5(L)A1B1(L)

A5B5(L)=A5E’13(L)+E’13B5(L)=3(L)+2(L)=5(L)A1B1(L)

15. SÉRIE ORDENADA DE QUADRADOS DE ÁREA E LADO IGUAIS AOS NºS ATÉ 5

Como vimos em 11. a área de um quadrado de lado correspondente a um número inteiro que

seja múltiplo de uma determinada unidade linear representa o resultado de uma potência de

expoente 2 cuja base tanto pode ser representada pela área de um rectângulo em que o lado

menor é igual à unidade linear e o lado maior igual ao seu próprio lado, como pela área de um

quadrado de lado correspondente à hipotenusa de um triângulo, sendo essa área numericamente

igual ao lado do quadrado que representa o resultado dessa potência.

Na representação desta potência está implícita uma proporção linear constante. Ou seja, a

proporção numérica que define os catetos do triângulo cuja hipotenusa é o lado do quadrado que

representa a base da potência é a mesma daquela que define os catetos do triângulo cuja

hipotenusa corresponde ao lado do quadrado que representa o resultado dessa potência.

E’13

B5 A5

A4

A3

A2

A1

B4

B3

B2

B1

O

E17

F17

F’17

E’17

E13 F’13

F’13

E8

F8

E5

E’5

F’5

F5

E2

F2

E10

E10 F’10

E’10

12

1. Representação da proporção linear:

A2B2(L)(A2O(L),OB2(L)=1(L),1(L))E2F2(L), sendo (E2O(L),OF2(L) =

1(L),1(L)) A1B1(L) (caso em que os catetos da base e do resultado

da potência estão na proporção 1:1)

A4B4(L)(A4O(L),OB4(L)=2(L),2(L)A2(L)O, sendo A2(L)O=E2F2(L)

(1(L),1(L))A1B1(L), e A2B2(L)(1(L),1(L))E2F2(L) (caso em que o

quadrado (A2B2(L)) que representa a base da potência já é

resultado de outra potência de expoente 2, uma vez que

A2B2(L)(1(L),1(L))E2F2(L)(1(L),1(L))A1B1(L).

A5B5(L)(A5F5(L),F5B5(L)=2(L),1(L))E5F5(L)(E5A1(L),A1F5(L)=1(L),2(L))A1B1(L) (caso em que os catetos da

base e do resultado da potência estão na proporção 1:2)

2. Representação dos quadrados correspondentes à base de potências

Neste diagrama apenas estão representados os quadrados de áreas iguais a 2,4 e 5 (áreas

sombreadas), as bases das potências (E2F2(S))2, (A2B2(S))

2 e (E5F5(S))

2A1B1(S),ou seja, 2(S)

2,

4(S)2 e 5(S)

2A1B1(S), cujos resultados são respectivamente representados pelas áreas dos

quadrados de lados A2B2(L), A4B4(L)e A5B5(L), sendo estes lados iguais a 2(L), 4(L) e 5(L) A1B1(L).

3. Representação dos rectângulos correspondentes à base de potências

Neste diagrama estão representados os rectângulos (áreas sombreadas) de área

correspondente à dos quadrados referidos em 2.

Vejamos agora como o conceito de proporção referido em 1. está também implícito na

potência cujo resultado é representado pela área do quadrado de lado igual a A3B3(L), a qual tem

também por base o Teorema de Pitágoras, mas envolvendo mais do que dois quadrados, como

acontece com a potência (A2B2(S))2 ou 2

2A1B1(S), ao mesmo tempo que levanta um problema que

tem a ver com a relação entre o lado e a diagonal de um quadrado, intrinsecamente ligada à

duplicação de uma área, essencial na representação de um Sistema Coordenativo.

1.

B5 A5

A4

A3

A2

A1

B4

B3

B2

B1

O

E5

F5

E2

F2

B5 A5

A4

A3

A2

A1

B4

B3

B2

B1

O

E5

F5

E2

F2

2.

A4

A3

A2

A1

B4

B3

B2

B1

O

E5

F5

E2

F2

B5 A5

3.

13

16. POTÊNCIA DE EXPOENTE 2 TENDO COM BASE UM QUADRADO DE ÁREA IGUAL A 3

1.

A representação e integração de um quadrado de área igual a 3(S)A1B1(S) no sistema

coordenativo com origem em O, assim como a de qualquer quadrado que represente um

múltiplo da unidade modular A1B1(S), torna-se possível a partir do segmento de recta

correspondente a metade da diagonal deste quadrado. Neste caso, a distância do ponto O ao

vértice A1 do quadrado unidade A1B1(S) é representada pelo segmento de recta OA1, sendo a

distância do ponto O a um dos vértices dos quadrados de áreas iguais a 2(S) e 3(S) )A1B1(S)

representada respectivamente por OE2(OA1(L),A1(L)E2(L)=1(L),1(L))OA1(L) (caso em que esta

distância é definida por dois segmentos de recta iguais a OA1(L)) e OE3(OA1(L), A1(L)E2(L),

E2(L)E3(L)=1(L),1(L),1(L))OA1(L) (caso em que a distância OE3(L) é definida por três segmentos de

recta iguais a OA1(L)). Acontece, porém, que a distância OE2(L) é a primeira a poder ser

definida pela unidade modular A1B1(L), uma vez que OE2(L)=1A1B1(L), e a distância OE3(L)

pode ser também representada por dois segmentos de recta definidos a partir de OA1(L),

correspondendo um deles a um “número irracional”, uma vez que OE3(OE2(L), E2(L)E3(L)=

√2,1)OA1(L). Esta representação pressupõe 4 espirais de passo constante com origem no

ponto O, as quais são definidas a partir do segmento de recta OA1(L), tornando-se possível

definir a partir delas os vértices de uma sucessão de quadrados de áreas correspondentes à

série dos números inteiros definidos em relação à área do quadrado modular básico A1B1(S).

Mas, se em termos de áreas se torna possível definir geometricamente uma sucessão de

quadrados de áreas correspondentes à série natural dos números inteiros, o mesmo não

acontece com a definição dos lados de alguns desses quadrados ou com a distância do ponto

O a um dos seus vértices, nos quais está implícito o conceito de “número irracional”.

2.

A área do rectângulo sombreado representado em 2. é igual à área do quadrado de lado

E3F3(L) representado em 1., correspondendo a área do quadrado de lado A3B3(L) ao resultado

de uma potência de expoente 2 cuja base é representada pela área do referido quadrado e do

referido rectângulo.

3.

O resultado da potência E3F3(S)2=3(S)

2OA1(S) acabada de referir pode ser também

representada pela área do quadrado A’3B’3(S) representado em 3., o qual é obtido por um

processo idêntico àquele que deu origem ao quadrado E3F3(S) (base da potência), mas em que

os braços das espirais que determinam os seus vértices são iguais ao segmento de recta

OE3(L) (metade da diagonal do quadrado de lado E3F3(L)).

A2

A3

A1 B1

B2

B2

O

A3

A2

A1

F3

E3 E2

F2

B3

O

B1

B2

1. 2.

3.

A3

A2

A’3

A1

O

B1

B2 E2

B’3

B3

E3

F2

F3

14

17. RELAÇÃO NUMÉRICA ENTRE O LADO E A DIAGONAL DE UM QUADRADO

Foi a impossibilidade de representar o lado e a diagonal de um quadrado através de números

inteiros definidos a partir da mesma unidade linear que levou ao descrédito da filosofia pitagórica,

a qual era fundamentada no conceito de número natural ou inteiro. Essa possibilidade no entanto

existe, desde que o lado do quadrado em questão seja hipotenusa de um triângulo de catetos

mensuráveis em relação à mesma unidade linear, sendo o quadrado de lado E5F5(L) o primeiro a

permitir estabelecer uma relação numérica entre o seu lado e a sua diagonal.

1. Relação lado/diagonal de um quadrado

Sendo E5F5(L) (E5A1(L), A1F5(L)=1(L),2(L)) A1B1(L) (lado do quadrado)

tem-se:

E5G5(L) (E5C(L), CG5(L)= 3(L),1(L)) A1B1(L) (diagonal do quadrado)

Logo, E5G5(L)[(E5A1(L)+A1C(L))],[(A1F5(L)- CG5(L))] = [(1(L)+2(L)),(2(L)-1(L))]=(3(L),1(L)) A1B1(L)

donde se pode concluir que os números que definem a diagonal de um quadrado de lado

correspondente à hipotenusa de um triângulo de catetos mensuráveis em relação a uma

determinada unidade linear são obtidos pela soma e subtracção dos números que definem o

seu lado.

2. Duplicação de uma área (condição essencial do Sistema Coordenativo)

A distância de O ao vértice do quadrado de lado E’10F’10(L) é igual a E5F5(L), estando os

quadrados de lado E5F5(L) e E’10F’10(L) relacionados entre si por uma duplicação de áreas

(E5F5(S)= 5(L)A1B1(S) e E’10F’10(S)= 5(S)x2=10(S) A1B1(S) )

18. RELAÇÃO ENTRE ÁREAS DE QUADRADOS

A área de um quadrado cujo lado é igual à soma dos

catetos de um triângulo em que a hipotenusa é o lado de

outro quadrado é igual a duas vezes a área desse quadrado

menos a área do quadrado cujo lado é igual à diferença

entre os catetos desse triângulo. Isto porque, sendo

E5F5(S)=5(S)A1B1(L), a área do quadrado de lado A3B3(L) é

igual à área do quadrado de lado E’10F’10(L), menos a área do

quadrado de lado A1B1(L),ou seja,(5(S)x2)-1(S)=9(S)A1B1(S)

E5

F5

E’10

F’10

O

2.

3.

E5

F5

E’10

F’10

O

A1 B1

1

A3 B3

1.

E5

A1 B1 F5

G5 C

O

15

19. CONCEITOS DE SIMETRIA E DUPLICAÇÃO DE VOLUMES

O conceito de simetria baseado no conceito de duplicação de um

volume é representado em 1. pelo volume de dois cubos simétricos tendo

em comum a face representada no plano pelo quadrado de lado igual a

AB1(L).

Esta duplicação de volumes é

representada no plano pela duplicação da área

do quadrado A1B1(S), ou seja, pela área do

quadrado de lado igual a E2F2(L) (2.), o qual

passa a representar numericamente o volume

de um paralelepípedo de volume igual a 2(V)

A1B1(V) colocado na parte superior do plano (3.).

20. CONCEITOS DE REBATIMENTO

A representação dos vértices (A’1, B’1 e A’’1, B’’1) não

pertencentes ao plano a que pertence a face comum (quadrado

A1B1(S)) dos dois cubos simétricos de aresta igual a A1B1(L) pode

ser feita de acordo com dois tipos de rebatimento, os quais

permitem uma representação diferente desses vértices (pontos) no

plano de rebatimento. (1.)

a) REBATIMENTO COORDENATIVO

Este tipo de rebatimento pressupõe dois sistemas coordenativos: um definido pelas medianas

do quadrado A1B1(S) e outro pelas suas diagonais. Assim, para rebater, por exemplo, os pontos A’1

e A’’1 que se encontram numa posição simétrica em relação ao plano (plano de rebatimento) a que

pertence o quadrado A1B1(S), torna-se necessário rebater as arestas verticais dos dois cubos

unidos pela face correspondente a este quadrado perpendicularmente às diagonais deste

quadrado. Deste modo, se o rebatimento da aresta a que pertence o vértice A’1 (ponto colocado

acima do plano de rebatimento) considerado em 1. for feito no sentido dos ponteiros do relógio em

torno do vértice A1, a posição do ponto A’1 considerado em 1. após o seu rebatimento coincide no

plano de rebatimento com o ponto A’1 considerado em 2. Logo, a distância do ponto O ao ponto A’1

considerado em 1. (sendo este ponto um dos vértices do cubo situado acima do plano de

A1 B1

1.

2. 3.

E2

F2

B1 A1

E2

F2

B1 A1

2.

B’1

A1 B1

O

A’1

E

F

3.

A’’1

B’’1

A1 B1

O

F

E

B’1

A1 B1

O

A’1

E

F A’’1

B’’1

4.

A’1

A1 B1

1.

B’1

A’’1 B’’1

16

rebatimento) é igual à distância do ponto O ao vértice A’1 do quadrado de lado A’1B’1(L)

representado em 2. Consequentemente, esta distância apenas pode ser definida em relação a

uma fracção da unidade linear A1B1(L), ou seja, A1B1(L) /2 , representada em 2. por OF(L).

Nesse caso seria esta a representação numérica da distância do ponto O a A’1

O A’1 (L)(OF(L), FA1(L), A1A’1(L)=1(L),1(L), 2(L)) A1B1(S)/2 ou OF(L),

donde

OA’1(S) =1(S)+1(S)+ 2(S)2 = 6 A1B1(S)/4 ou OF(S)

Mas como a distância entre dois vértices consecutivos do cubo acabado de considerar depois

de rebatidos é representada pelo lado do quadrado A’1B’1(S), o qual corresponde à hipotenusa de

um triângulo de catetos iguais a A’1O(L) e OB’1(L) , e a área deste quadrado é igual ao dobro da área

de um quadrado de lado OA1(L) , pode deduzir-se que a área deste quadrado pode ser definido

numericamente em relação a três unidades de superfície diferentes, ou seja,

A’1B’1(S) =6(S)OF(S)

A’1B’1(S) =3(S)EF(S)

A’1B’1(S) =3/2(S) ou 1(S) +1/2(S)A1B1(S)

o que evidencia que o conceito de «número» é um conceito essencialmente relativo, uma vez que

depende sempre da unidade modular em relação ao qual é definido.1

Considerando agora o rebatimento do ponto A’’1 representado em 1. de um modo análogo ao

de A’1 (no mesmo sentido que este), basta que se considere a rotação do segmento A1A’’1(L)

(aresta do cubo colocado na parte inferior do plano) em torno do ponto O, para que a aresta

A1A’’1(L) ocupe no plano uma posição simétrica (sentido inverso) em relação à aresta A’1A1(L) a

partir do ponto A1, como se pode ver em 2., estando o rebatimento dos vértices dos dois cubos2

representado em 3.

b) REBATIMENTO MÁXIMO

Se o rebatimento do ponto A’1

(considerado em 1.) em torno do ponto A1 for

considerado sobre um dos planos definidos

por uma das faces verticais do cubo colocado

na parte superior do plano de rebatimento, de

modo que A’1 venha a ocupar neste plano a

posição de E5 (vértice do quadrado E5F5(S)

representado em 5.), o rebatimento de A’’1 em

torno de A1 é feito sobre o plano definido pela

face perpendicular à anterior, vindo a coincidir

com o ponto E’5 (vértice do quadrado

E’5F’5(S) representado em 6.)

1 De salientar que o quadrado de lado EF(L), com metade da área do quadrado A1B1(S)

é o primeiro a ser integrado no

sistema coordenativo com origem em O pelo que, em relação à área deste quadrado, as áreas dos três quadrados

representados em 2. são representadas numericamente por 1(S), 2(S) e 6(S) EF(S).

2 Esta é a primeira vez em que pontos não pertencentes ao plano de referência podem ter neste plano uma representação

diferenciada. E, como é evidente, se a rotação das arestas dos cubos for feita no sentido inverso àquele considerado, as posições de A’1 e B’1 no plano de rebatimento passam a ser as de A’’1 e B’’1 e vice versa.

E5

A1 B1 F5

5.

E’5 A1 B1

F’5

6.

17

A este tipo de rebatimento dou o nome de «rebatimento máximo», pelo facto do segmento de

recta correspondente ao rebatimento da primeira aresta vertical do cubo de aresta A’1A1(L)

(representada no plano de rebatimento por A1E5(L)) corresponder ao cateto menor de um triângulo,

cujo cateto maior é igual à soma de uma das arestas (A1B1(L)) do cubo pertencente ao plano de

rebatimento e do segmento de recta que representa o rebatimento da segunda aresta vertical do

cubo (aresta B’1B1(L), representada no plano de rebatimento por B1F5(L)), ou seja, E5F5(L) [E5A1(L),

(A1B1(L)+B1F5(L) )=1(L),(1(L)+1(L))=1(L),2(L))]A1B1(L), como se pode ver em 7.. No diagrama seguinte,

8., está representado o rebatimento máximo das arestas simétricas das anteriores, as quais

pertencem ao cubo situado na parte inferior do plano. Assim, o resultado da soma dos catetos dos

triângulos relacionados com este tipo de rebatimento é representado em 7. e 8. pelo lado do

quadrado A3B3(S), sendo A3B3(L)=A3E5(L)+E5B3(L)=1(L)+2(L)=3(L))A1B1(L), e A3B3(L)=A3F’5(L)+F’5B3(L)=

2(L)+1(L)=3(L))A1B1(L) (propriedade comutativa da soma em relação a lados de quadrados

formados por um conjunto de unidades lineares1).

21. PRINCÍPIOS DE IGUALDADE E DE IDENTIDADE ENTRE QUADRADOS

1 Esta propriedade comutativa relacionada com este tipo de rebatimento aplica-se a todos os cubos ou

paralelepípedos simétricos cujas faces comuns são representadas no plano onde é feito o rebatimento das suas arestas verticais (ver 14. RELAÇÕES LINEARES E DE SUPERFÍCIE ENTRE QUADRADOS), sendo de considerar que o lado do quadrado A5B5(LS)é o primeiro a representar o rebatimento máximo das arestas verticais de dois paralelepípedos simétricos de base e

altura diferentes, uma vez que A5B5(L)=A5E17(L)+E17B5(L)=1(L)+4(L))A1B1(L) e A5B5(L)=A5E13(L)+E13B5(L)=2(L)+3(L)A1B1(L), e

também A5B5(L)= A5F’17(L)+ F’17B5(L)=4(L)+1(L))A1B1(L) e A5B5(L)= A5F’13(L) +F’13B5(L)=3(L)+2(L)A1B1(L)

7. 8.

E5

A1 B1 F5

A3 B3 F’5 A3 B3

E’5 A1 B1

E’5

F’5 E5

A1 B1 F5

A3 B3

1.

2.

F45

E’5

F’5 E5

A1 B1 F5

A5 B5

A’5

B’5

E45

B3 A3

C1

18

Basta olhar os diagramas 1. e 2. para se poder concluir que o Princípio de Igualdade que

relaciona entre si os quadrados de lados E5F5(L) e E’5F’5(L) representados nestes diagramas é o

mesmo que relaciona entre si os quadrados de lados A5B5(L) e A’5B’5(L) representados no segundo

diagrama e que neles estão implícitos todos os princípios já referidos em relação ao primeiro. Mas,

enquanto no primeiro a distância entre dois vértices consecutivos do cubo A1B1(V) depois de

submetidos ao rebatimento máximo é definida no plano de rebatimento pelos mesmos números

em relação a A1B1(L) (sendo considerada a sua propriedade comutativa), no segundo, além da

distância entre os vértices dos cubos unidos pelo quadrado E5F5(S) depois de rebatidos poder ser

definida pelos mesmos números em relação a E5F5(L), ela pode ser também definida por dois

números diferentes em relação a A1B1(L). Isto porque,

sendo

A5B5(L)(A5F5 (L),F5B5(L)= 2(L),1(L))E5F5(L) e A’5E5(L)(E5B’5 (L),F5B5(L)=1(L),2(L))E5F5(L)

tem-se também

A5B5(L)=5(L)A1B1(L) (caso em que A5B5(L) é representado por um número inteiro em relação a A1B1(L))

e

A’5B’5(L)(A5C1 (L),C51B’5(L)= 4(L),3(L))A1B1(L) (caso em que A’5B’5(L) é representado por dois números inteiros

em relação a A1B1(L))

Logo, além de relacionados entre si por um Princípio de Igualdade, o qual permite a mesma

representação numérica em relação ao lado do quadrado E5F5 (S), os lados dos quadrados A5B5(S) e

A’5B’5(S) estão também relacionados entre si por um Princípios de Identidade, o qual permite uma

representação numérica diferente em relação ao lado do quadrado unidade A1B1(S).

O mesmo se pode dizer em relação aos lados dos quadrados resultantes do rebatimento dos

cubos simétricos cuja face comum é o quadrado E’5F’5(S), os quais se encontram representados

em 3. (quadrados de lados A’5B’5(L) e A’’5B’’5(L)).

Neste diagrama, porém,

pode concluir-se que alguns dos

pontos que representam o

rebatimento máximo de dois

vértices consecutivos dos cubos

simétricos cujas faces comuns

são os quadrados E5F5(S) e

E’5F’5(S), representam também o

rebatimento máximo de dois

vértices consecutivos de dois

paralelepípedos simétricos

unidos pela face correspondente

ao quadrado A1B1(S), sendo o

volume de cada um deles igual a

3 unidades definidas a partir do

volume do cubo A1B1(V).

Por outro lado pode ainda

concluir-se que os quadrados de

lados A5B5(L), A’5B’5(L) e A’’5B’’5(L)

representam o resultado de

potências de expoente 2 cujas

bases são representadas pelas áreas dos quadrados E5F5(S) e E’5F’5(S), sendo precisamente a

partir do conceito de proporção linear envolvido na representação destas potências que será

justificado o Último Teorema de Fermat.

3.

A’’5

F45

E’5

F’5 E5

A1 B1 F5

A5 B5

A’5

B’5

E45

B3 A3

C1 D1

B’’5

F’45

E’45

B’’’5 B’’’5

19

20