ConceitosBasicosMatAtuarialVazia.pdf

1

EAC0532Noções de atuária para contadores

7.

Conceitos básicos de matemáticaatuarial (fundamentos de matemáticafinanceira, rendas aleatórias)CSM (2006, cap. 3)

Parmenter (1999, cap. 8)

Vilanova (1969, cap. II)

Azevedo (2008, cap. 21)

Prof. Dr. Luís Eduardo Afonso

[email protected]

2

Matemática financeira x Matemática atuarial

a) Matemática financeira:

• Fluxos de valores distribuídos ao longo de tempo

• Cálculos deterministas

• Valores presentes calculados por meio de uma taxa de desconto (ou taxa de juros) i

b) Matemática atuarial (casos aqui estudados):

• Fluxos de valores distribuídos ao longo de tempo

• Cálculos têm que incorporar risco e probabilidades

• Valores presentes calculados por meio de uma taxa de desconto (ou taxa de juros) i e pela probabilidade de sobrevivência de (x) a cada idade, que representa o risco biométrico

3


Exemplo usual de Matemática Financeira:

• Calcule o valor presente de um fluxo anual B por um número infinito de períodos, pagável a partir do primeiro período.

• Esse problema corresponde ao cálculo da Contribuição Única Pura (CUP).

x + 1 . . . . .x x + 2

B B

x + 3

B

CUP

2

4


Sendo i a taxa de juros, define-sei1

1v

....i1

1.B

i1

1.B

i1

1.BCUP

32

....v.Bv.Bv.BCUP 321

1t

tvBCUP

i

B

i1

1i1i1

1

B

i1

11

i1

1

Bq1

aBCUP

1t

1

i

BCUP

5


Exemplo de Matemática Atuarial:

• Calcule o valor presente de um fluxo anual B (CUP) por um número infinito de períodos, pagável a partir do primeiro período.

• Agora deve-se incorporar o risco biométrico. Ou seja, a probabilidade de sobrevivência do indivíduo a cada período

x + 1 . . . . .x x + 2

B B

x + 3

B

CUP

6


A equação para cálculo da CUP passa a ser dada por:

....p.v.Bp.v.Bp.v.BCUP x3

3

x2

2

x1

1

.....1

1..

1

1..

1

1. 3

3

2

2

1

1

xxx pi

Bpi

Bpi

BCUP

xt

t

t

pi

BCUP1

.1

1.

3

7

Exemplo 1

Uma pessoa com idade x faz uma CUP que lhe dá o direito a receber por n anos uma renda anual B, pagável a partir do primeiro período.

a) Represente o fluxo financeiro do problema.

b) Resolva o problema por meio da matemática financeira usual. Ou seja, calcule a CUP.

c) Incorpore o risco biométrico e resolva novamente o problema, empregando tábua AT83.

Obs. Em seus cálculos adote os seguintes valores:

x = 60 anos

B = R$ 5.000

i = 6% a.a.

n = 4

8

Exemplo 1

6160 62

B B

63

B

CUP

64

B


9

Exemplo 1

b) Resolva o problema por meio da matemática financeira usual

4321

i1

1.B

i1

1.B

i1

1.B

i1

1.BCUP

i1

11

i1

11

i1

1

.Bq1

q1a.B

i1

1.BCUP

n

n

1n

1t

t

i1

1i1

i1

11

i1

1

.BCUP

n

i

i1

11

.BCUP

n

4

10

Exemplo 1


i

i1

11

.BCUP

n

06,0

06,01

11

.5000CUP

4

11

Exemplo 1

6160 62

B B

63

B

CUP

64

B

c) Incorpore o risco biométrico e resolva novamente o problema.

Tábua AT 83 (resumida)

Idade (x ) l x q x p x

60 896.674 0,008338 0,991662

61 889.197 0,008983 0,991017

62 881.209 0,009740 0,990260

63 872.626 0,010630 0,989370

64 863.350 0,011664 0,988336

12

Exemplo 1


x4

4

x3

3

x2

2

x1

1

p.i1

1.Bp.

i1

1.Bp.

i1

1.Bp.

i1

1.BCUP

n

1t

xt

tn

1t

xt

t

p.v.Bp.i1

1.BCUP

Tábua AT 83 (resumida)


60 896.674 0,008338 0,991662

61 889.197 0,008983 0,991017

62 881.209 0,009740 0,990260

63 872.626 0,010630 0,989370

64 863.350 0,011664 0,988336

Lembrando que

x

nxxn

l

lp

n p 60

1,000000

0,991662

0,982754

0,973182

0,962837

vn

1,000000

0,943396

0,889996

0,839619

0,792094

vn

. n p 60

1,000000

0,935530

0,874647

0,817102

0,762657

5

13

Exemplo 1


604

4

603

3

602

2

601

1

p.i1

1p.

i1

1p.

i1

1p.

i1

1.BCUP

792094,0 . 962837,0839619,0 . 973182,0

889996,0 . 982754,0943396,0 . 991662,0 BCUP

762657,0817102,0874647,0935530,0 BCUP

14

Exemplo 2

Uma pessoa com idade x faz uma CUP que lhe dá o direito a receber por n anos uma renda anual B, pagável a partir do primeiro período.


b) Resolva o problema por meio da matemática financeira usual. Ou seja, calcule a CUP.

c) Incorpore o risco biométrico e resolva novamente o problema, empregando a tábua AT2000.

Obs. Em seus cálculos adote os seguintes valores:

x = 70 anos

B = R$ 10.000

i = 6% a.a.

n = 3

15

Exemplo 2

7170 72

B B

73

B

CUP

a) Represente o fluxo financeiro do problema

6

16

Exemplo 2


i

i1

11

.BCUP

n

06,0

06,01

11

.000.10

3

CUP

17

Exemplo 2


Tábua AT2000 (resumida)

7170 72

B B

73

B

CUP


70 830.903,12 0,016979 0,983021

71 816.795,22 0,018891 0,981109

72 801.365,14 0,020967 0,979033

73 784.562,92 0,023209 0,976791

18

Exemplo 2


Lembrando que

x

nxxn

l

lp

xxx pi

pi

pi

BCUP 3

3

2

2

1

1

.1

1.

1

1.

1

1.

3

11

...1

1.

t

xt

tn

t

xt

t

pvBpi

BCUP

Tábua AT2000 (resumida)

Idade (x ) l x q x p x np 70 vn

vn. np 70

70 830.903,12 0,016979 0,983021 1,000000 1,000000 1,000000

71 816.795,22 0,018891 0,981109 0,983021 0,943396 0,927378

72 801.365,14 0,020967 0,979033 0,964451 0,889996 0,858358

73 784.562,92 0,023209 0,976791 0,944229 0,839619 0,792793

7

19

Exemplo 2


703

3

702

2

701

1

p.i1

1p.

i1

1p.

i1

1.BCUP

839619,0 . 944229,0889996,0 . 964451,0943396,0 . 983021,0 BCUP

20

Rendas aleatórias - Quadro resumo

Irregular2

eDecrescent

CrescentePG

.

.razão diferente termo1º

)(Crescente razão igual termo1º

PA a

matemática Lei1Variável

aPostecipad

(vencida) AntecipadaTemporária

aPostecipad

(vencida) AntecipadaVitalícia a

Diferida2

aPostecipad

(vencida) AntecipadaTemporária

aPostecipad

(vencida) AntecipadaVitalícia a

Imediata1

Constante A

Aleatória

CertaRenda

b

Decresc

Cresc

B

b

b

21

Anuidades - Definição

De forma geral, define-se umauma anuidade como um fluxocontinuado de pagamentos feitosem intervalos regulares

8

22

Anuidades - Definições

x + 1x x + 2

1 1

. . . . .x + 3

1

O valor presente dessa anuidade imediata vitalícia postecipada,em t = 0, é dado por

.......1

1.

1

1.

1

13

3

2

2

1

1

xxxx pi

pi

pi

a

xt

t

t

x pi

a .1

1

1

xt

t

t

x pva .1

a) Uma anuidade imediata vitalícia postecipada pagável a (x) apartir da idade x + 1, enquanto viver, é dada pelo fluxoabaixo

23


b) Uma anuidade imediata temporária postecipada pagável a(x) a partir da idade x + 1, por n períodos, é dada pelo fluxoabaixo

x + 1x x + 2

1 1

. . . . .x + 3

1

x + n

1

O valor presente dessa anuidade imediata temporáriapostecipada, em t = 0, é dado por

xn

n

x3

3

x2

2

x1

1

n:xxn p.i1

1 ...p.

i1

1p.

i1

1p.

i1

1aa

n

1t

xt

t

n:xxn pi1

1aa

n

1t

xt

t

n:xxn pvaa

24


c) Uma anuidade diferida vitalícia postecipada pagável a (x) apartir da idade x + n + 1, enquanto viver, é dada pelo fluxoabaixo

x + 1x x + 2 . . . . . x + n + 2

1

x + n x + n + 1

1

. . . . .

1nt

xt

t

xnpva

O valor presente dessa anuidade diferida vitalíciapostecipada, em t = 0, é dado por

.....p.i1

1p.

i1

1p.

i1

1a x3n

3n

x2n

2n

x1n

1n

xn

1nt

xt

t

xnp

i1

1a

9

25


d) Uma anuidade imediata vitalícia antecipada (vencida) pagável a(x) a partir da idade x, enquanto viver, é dada pelo fluxo abaixo

0t

xt

t

x pi1

1a

0t

xt

t

x pva

x + 1x x + 2 . . . . .

11 1

O valor presente dessa anuidade imediata vitalíciaantecipada, em t = 0, é dado por

..... p.i1

1p.

i1

1p.

i1

1a x2

2

x1

1

x0

0

x

26


e) Uma anuidade imediata temporária antecipada pagável a (x) apartir da idade x, por n anos, é dada pelo fluxo abaixo

x + 1x x + 2 . . . . . x + n - 1 x + n

11 1 1

O valor presente dessa anuidade imediata temporáriaantecipada, em t = 0, é dado por

x1n

1n

x2

2

x1

1

x0

0

n:xxn p.i1

1 ...p.

i1

1p.

i1

1p.

i1

1aa

1n

0t

xt

t

n:xxn pi1

1aa

1n

0t

xt

t

n:xxn pvaa

27


f) Uma anuidade diferida vitalícia antecipada (vencida) pagável a(x) a partir da idade x + n, enquanto viver, é dada pelo fluxoabaixo

x + 1x x + 2 . . . . . x + n + 2

1

x + n x + n + 1

1

. . . . .

1

nt

xt

t

xnpva

nt

xt

t

xnp

i1

1a

O valor presente dessa anuidade diferida vitalíciaantecipada, em t = 0, é dado por

......1

1.

1

1.

1

12

2

1

1

xn

n

xn

n

xn

n

xnp

ip

ip

ia

10

28


g) Uma anuidade diferida temporária postecipada pagável a (x) apartir da idade x + m + 1, por n anos, é dada pelo fluxo abaixo

x + 1x . . . . . x + m + nx + m. . . . .x + m + 1

11

O valor presente dessa anuidade diferida temporáriapostecipada, em t = 0, é dado por

xnm

nm

x2m

2m

x1m

1m

xnmn:xm p.i1

1 .... p.

i1

1p.

i1

1aa

nm

1mt

xt

t

xnmn:xm pi1

1aa

nm

1mt

xt

t

xnmn:xm pvaa

29


h) Uma anuidade diferida temporária antecipada (vencida)pagável a (x) a partir da idade x + m, por n anos, é dadapelo fluxo abaixo

1nm

mt

xt

t

xnmn:xm pi1

1aa

1nm

mt

xt

t

xnmn:xm pvaa

x + m + n

11 1

x + 1x . . . . . x + m + n - 1x + m. . . . .x + m + 1

O valor presente dessa anuidade diferida temporáriaantecipada, em t = 0, é dado por

xnm

nm

xm

m

xm

m

xnmnxm pi

pi

pi

aa 1

1

1

1

:.

1

1 .... .

1

1.

1

1

n

it

xt

t pv para n períodos ou infinitos períodos

aparece recorrentemente em matemática atuarial e dá origemao que se designa por Comutações

A somatória

Anuidades & Comutações

n

it

xt

t pvAnuidade

As anuidades podem ser escritas de forma genérica como

Nos dois exemplos numéricos, o cálculo da CUP foi obtido pormeio de

n

t

xt

tn

t

xt

t

pvBpi

BCUP11

...1

1.

11

31

Comutações

Na Tábua de Comutação há uma série de colunasem que aparecem os números de comutaçãoresultantes da multiplicação das funções lx e dx deuma determinada Tábua de Mortalidade, por umadada taxa de juros.

Para cada Tábua de Mortalidade, existem tantasTábuas de Comutação quantas forem as taxas dejuros escolhidas.

32

Comutações

Colunas da Tábua de Comutação:

x – Idades

Dx – Valor descontado do número desobreviventes de cada idade. Dado por:

x

xx vlD .

Nx – Soma de Dx a D , em que é a idade quenão pode ser atingida por nenhum componentedo grupo. Dado por:

0t

txx DN

33

Comutações


Sx – Soma de Nx a N . Dada pela expressão

0t

txx NS

Cx – Valor descontado do número de mortosem cada idade x . Dado pela expressão:

1 . x

xx vdC

12

34

Comutações


Analogamente às expressões de Nx e Sx temos:

Rx – Soma de Mx a M . Dada pela expressão

Mx – Soma de Cx a C . Dada por:

0t

txx CM

0t

txx MR

35

Comutações

Construindo uma Tábua de comutações apartir da AT83.

Como fazer isso?

ConceitosBasicosMatAtuarialVazia.pdf

Documents

Transcript of ConceitosBasicosMatAtuarialVazia.pdf