Concreto Armado - Dimension Amen To ELU

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

SET 409 – Estruturas de Concreto Armado I

Concreto Armado:

Dimensionamento considerando o estado limite último de elementos

estruturais lineares submetidos à ação de momento fletor

José Samuel Giongo

São Carlos, 25 de Maio de 2009

APRESENTAÇÃO

Este texto apresenta a rotina para o dimensionamento de elementos estruturais

lineares (vigas) submetidos à ação de momento fletor com as hipóteses do Estado

Limite Último. As lajes, que são elementos bidimensionais com ação perpendicular ao

plano médio, quando submetidas à ação de momento fletor terão as suas seguranças

estruturais verificadas com os mesmos procedimentos aqui estudados, conforme

analisado em capítulo próprio.

No programa da disciplina estuda-se a capacidade resistente das seções

transversais de vigas submetidas à ação de momento fletor. Em outra oportunidade

serão analisados os critérios para verificar a capacidade resistente dos elementos

estruturais lineares com relação à ação de força cortante. Posteriormente a este estudo

será possível analisar o projeto de vigas em concreto armado desde o cálculo dos

esforços solicitantes, áreas das armaduras longitudinal e transversal e o detalhamento

destas armaduras.

Este trabalho considera nas análises os conceitos e termos apresentados na

ABNT NBR 6118:2003 – Projeto de estruturas de concreto (ABNT, 2004), que é uma

norma de Procedimento.

Em relação à versão anterior (2006) foram incorporados capítulos relativos às

análises de área de armadura mínima e de arranjos das barras de armadura, com

vistas ao detalhamento das vigas. Os exemplos de dimensionamentos foram

modificados e outros foram incluídos.

Colaboraram na elaboração deste texto o Engenheiro Rodrigo Gustavo

Delalibera, na época pós-graduando – doutorado, e, Walter Luiz de Andrade Oliveira,

pós-graduando – doutorado, que no primeiro semestre de 2005 foi participante do

Plano de Aperfeiçoamento de Ensino, na disciplina SET 404 – Estruturas de Concreto

A, com orientação da Professora Ana Lúcia Homce de Cresci El Debs. Colaborou,

também, o Engenheiro Petrus Vinicius Silveira Daniel, na época aluno de graduação e

monitor da disciplina SET 404, que elaborou os desenhos do texto.

Sumário

1 Introdução 1 2 Hipóteses de cálculo 1 3 Análise da resistência da seção transversal 53.1 Compatibilidade de deformações 63.2 Equações de equilíbrio 73.3 Balanço do número de equações e incógnitas 73.4 Equações constitutivas dos materiais 83.5 Domínios de deformações 83.5.1 Limites para os valores da linha neutra nos três domínios de deformações 10 4 Profundidade da linha neutra e condições de dutilidade 11 5 Limites para redistribuição de momentos 13 6 Análise da necessidade de barras comprimidas 136.1 Exemplo 146.2 Considerações para projetos de vigas 156.3 Determinação das expressões para Mdlim de seções de apoio com dutilidade 15 7 Área de armadura mínima 167.1 Preâmbulo 167.2 Valores limites para as áreas das armaduras longitudinais das vigas 167.2.1 Área mínima de armadura de tração 167.2.2 Área total de armadura 177.2.3 Área de armadura de pele 177.2.4 Diâmetro das barras da armadura 18 8 Espaçamento entre as barras da armadura 18 9 Posição correta do centro geométrico das barras da armadura 20 10 Exemplos de dimensionamento de vigas de concreto armado 2010.1 Exemplo 1 2110.2 Exemplos 2, 3 e 4 2510.3 Exemplo 5 2710.4 Exemplo 6 29 11 Dimensionamento de vigas submetidas à flexão simples com armadura dupla 3011.1 Equações de equilíbrio 3111.2 Balanço do número de equações e de incógnitas 3211.3 Exemplo 7 32 12 Dimensionamento de vigas de seção retangular mediante o uso de tabelas 3512.1 Armadura simples 3512.2 Armadura dupla 37 13 Dimensionamento de vigas de seção transversal em forma de mediante o uso de tabelas 3913.1 Considerações iniciais 3913.2 Expressões para o dimensionamento 4313.2.1 Viga com seção T considerada como seção retangular (T falso) 4413.2.2 Seção T (seção T verdadeiro) 4513.3 Exemplo de projetos de viga T 4713.3.1 Exemplo 1 4813.3.2 Exemplo 2 4913.3.3 Exemplo 3 50 Referências bibliográficas 51 Anexo – Tabelas A-1

José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU

1

1. Introdução (Versão: 25 de Maio de 2009)

A segurança de elementos estruturais é verificada com os critérios indicados na ABNT NBR 6118:2003 com relação aos estados limites último e de serviço. Os elementos estruturais submetidos à flexão simples são solicitados por tensões normais oriundas da ação de momento fletor e tensões tangenciais por conta da ação de força cortante. Para efeito da verificação das resistências das seções transversais submetidas a esses esforços solicitantes é possível, e os códigos normativos permitem, verificar cada um separadamente. Este capítulo estuda os critérios para o dimensionamento de seções transversais de vigas de concreto armado solicitadas por momento fletor.

Os momentos fletores solicitantes são equilibrados por momentos resistentes gerados por binários cujas forças, uma de tração e outra de compressão, são as resultantes das tensões normais.

Como o material concreto resiste a tensões de tração de pequena intensidade, com pouca capacidade de deformação, na região tracionada delimitada pela linha neutra da seção transversal, há necessidade de dispor barras de aço (posicionadas próximas da borda tracionada) com resistência suficiente para compor o tirante cuja resultante equilibra a resultante de compressão.

Analisa-se a viga biapoiada indicada na figura 1, submetida a ação de força uniformemente distribuída e concentrada com o respectivo diagrama de momentos fletores solicitantes. A segurança estrutural precisa ser verificada para cada seção transversal, inclusive para as seções de apoio onde os momentos fletores solicitantes são iguais à zero, pois há necessidade de se verificarem as áreas de armaduras para a correta ancoragem das barras, conforme será estudado em capítulo relativo a este tema.

Considere-se a seção transversal da viga da figura 1 que está solicitada à ação do momento fletor de maior intensidade e para esta seção verificam-se as condições de segurança com as hipóteses do estado limite último. Entende-se que se os valores das resistências e deformações últimas dos materiais forem atingidas sob ação do momento fletor solicitante, o elemento estrutural terá uma situação de ruína, ou seja, deixará de cumprir a sua finalidade estrutural. A ruína pode se dar de modo real, desintegração de uma seção transversal formando um mecanismo hipoestático, no caso de viga biapoiada, ou de modo convencional, quando as resistências e as deformações do concreto e das barras de aço atingirem valores convencionais definidos por normas, aquém dos valores últimos reais.

Na figura 1 nota-se que a viga é apoiada sobre os pilares, sem ligação monolítica entre os elementos estruturais, pois há a colocação sobre os pilares de aparelhos de apoio (por exemplo, de neoprene), que permitem os giros e o deslocamento horizontal da viga, os pilares considerados rígidos não permitem deslocamentos verticais dos apoios.

O objetivo é escrever as equações que representam as condições de equilíbrio de uma seção transversal e, por meio delas, determinar a sua capacidade resistente quando solicitada por momento fletor. Com as equações deduzidas e mediante análise das indicações da ABNT NBR 6118:2003 desenvolve-se rotina de projeto de vigas de concreto armado sob ação de momento fletor. 2. Hipóteses de cálculo

Considere-se a seção transversal mais solicitada da viga da figura 1 submetida ao momento fletor solicitante característico MSk, determinado considerando as ações atuantes e as condições de contorno do elemento estrutural.

Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 2

No estado limite último a segurança da seção transversal é verificada majorando-se o valor do momento fletor solicitante característico MSk por um coeficiente de majoração das solicitações γf e, minorando as resistências características dos materiais por coeficientes de ponderação dos materiais. Assim, a resistência característica à compressão do concreto precisa ser dividida pelo coeficiente γc igual a 1,4 e a resistência característica à tração das barras de aço é dividida por γs igual a 1,15.

(g+q)2

MSk

VSd

MSd

V01 (bw x h)

P01

(g+q)1

aL

V02Fk

Fd

MSd

b

P02MSd

bw

h

Figura 1 - Viga biapoiada com forças distribuídas e concentrada

A figura 2 ilustra a idéia de verificação da segurança e dimensionamento da seção

transversal, onde se vê que a solicitação é majorada e os valores das resistências características dos materiais são minoradas.

Resistêcias dos materiais

Dimensionamento

Verificação da Segurança

Solicitações Características

fcd

MSk

gf

fyd

gc gs

fck fyk

MSd

Figura 2 - Condições de segurança para o dimensionamento

A condição de segurança, com relação a seção transversal, especificada pela ABNT NBR 8681:2003, é que a solicitação de cálculo Sd precisa ser menor ou igual que


3

a resistência de cálculo Rd. No caso de seção transversal submetida a momento fletor solicitante de cálculo a verificação da segurança é dada por:

RdSkfSd MMM ≤⋅γ= [1]

O valor do momento resistente de cálculo (MRd) é determinado considerando os momentos das forças resultantes das tensões de compressão no concreto e das tensões nas barras das armaduras comprimidas e tracionadas. A força resultante das tensões de compressão no concreto situa-se no centro geométrico do diagrama de tensões, de área Acc, sendo que a linha neutra (x) é medida a partir da borda comprimida. As forças resultantes das tensões de compressão nas barras das armaduras de compressão de área Asc e de tração de área Ast também nos centros geométricos das barras, que podem ser arranjadas em uma ou mais camadas, conforme sejam as dimensões da seção transversal da viga, largura bw e altura h. As resultantes das forças de compressão (no concreto comprimido e nas barras da armadura posicionadas junto a borda comprimida) e a força de tração formam o binário interno que gera o momento resistente de cálculo.

A figura 5 mostra uma seção transversal retangular de viga de concreto armado submetida a ação de momento fletor de cálculo (MSd), com intensidade máxima no tramo, conforme figura 1. São desenhados, também, os diagramas de deformações, de tensões no concreto com distribuições parábola-retângulo e retangular, que pode substituir a esse, com as respectivas forças resultantes das tensões.

As hipóteses básicas indicadas na ABNT NBR 6118:2003 para determinação do momento fletor resistente são: - as seções transversais consideradas planas antes da deformação por ação do momento fletor solicitante se mantêm planas após a deformação;

- a deformação das barras passivas submetidas a tração ou compressão é a mesma do concreto em seu entorno, que é a hipótese básica (aderência) da existência do concreto armado;

- as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas, por ser pequena a sua contribuição no estado limite último;

- a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo da figura 3 com tensão máxima igual a 0,85 fcd, com fcd calculado pela expressão 2.

c

ckcd

ffγ

= [2]

sendo, fck a resistência característica à compressão do concreto.

(MPa)

O

fck

0,85⋅fcd

sc

3,5‰2‰(‰)vc

D

BA

C

Figura 3 - Diagrama tensão - deformação do concreto


O diagrama da figura 3, indicado na ABNT NBR 6118:2003, apresenta o trecho

OA em que a tensão varia com a deformação segundo a expressão 3:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅⋅=

2c

cdcd 2‰ε11f0,85σ [3]

O coeficiente 0,85 é o produto de três outros que levam em conta a perda de resistência por solicitação mantida ao longo do tempo (Efeito Rüsch) igual a 0,75, o ganho de resistência do concreto ao longo do tempo em virtude da reação química do cimento igual a 1,2 e, por último, o coeficiente 0,95 que considera a relação entre resistência do concreto na estrutura e a medida em corpos-de-prova moldados no dia da moldagem da estrutura.

O diagrama parábola-retângulo pode ser substituído pelo diagrama retangular de tensões com altura calculada por:

x,y ⋅= 80 [4]

sendo x igual a profundidade da linha neutra.

A tensão na borda mais comprimida a considerar nas verificações de segurança da seção transversal é igual a, conforme indicação da ABNT NBR 6118:2003:

- σcd = 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida, ou sejam seções retangulares, seções T, seções trapezoidais, com a menor dimensão do trapézio não coincidindo com a borda comprimida, seções triangulares também com o vértice do triângulo não coincidindo com a borda comprimida;

- σcd = 0,80 fcd em caso contrário, ou sejam, por exemplo, seções transversais trapezoidais, com a menor dimensão do trapézio coincidindo com a borda comprimida, seções triangulares com o vértice do triangulo coincidindo com a borda comprimida.

Considera-se, na verificação da segurança de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor o diagrama retangular de tensões, em substituição ao diagrama parábola-retângulo, para facilitar o cálculo da força resultante. No caso do diagrama parábola-retângulo há necessidade de montar uma expressão de integração na área de concreto comprimido Acc, para o cálculo da força resultante. A diferença não é significativa e a consideração do diagrama retangular pode ser aceita sem prejuízo do resultado.

As tensões nas barras de aço das armaduras podem ser obtidas a partir do diagrama tensão-deformação indicado na ABNT NBR 6118:2003 , com valores de cálculo, conforme figuras 4 e 6.

Es

vyd

fyk

fyd

ss

vuk = 10‰

(‰)vs

(MPa)

Figura 4 - Diagrama tensão - deformação para as barras de aço


5

O estado limite último é atingido de modo convencional quando a distribuição das

deformações na seção transversal pertencer a um dos limites dos domínios definidos na figura 7. Lembra-se que as deformações não podem ser adotadas com valores maiores do que 3,5‰ para o concreto, quando comprimido exclusivamente por ação de momento fletor, e 10‰ nas barras de aço. Este limite é considerado para que os elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor não apresentem fissuras com grandes aberturas. 3. Análise da resistência da seção transversal

As equações de equilíbrio são escritas considerando que as forças resultantes

das tensões internas se equilibram e, que os momentos (MRd) destas forças calculados em relação a um pólo escolhido está em equilíbrio com o momento solicitante de cálculo (MSd). A figura 5 mostra a força resultante das tensões de compressão no concreto Rcc, a força resultante das tensões nas barras da armadura comprimida (Rsc) de área Asc e a força resultante das tensões nas barras da armadura tracionada (Rst) de área Ast. A largura da alma da viga é bw, h é altura da seção transversal e d é a altura útil, ou seja, a distância da borda comprimida até ao centro geométrico das barras da armadura tracionada, x é a medida da profundidade da linha neutra, a partir da borda comprimida, y é a altura do diagrama retangular de tensões de compressão e d’ é a distância dos centros das barras das armaduras até a borda mais próxima. Portanto, d’ é a soma do cobrimento, do diâmetro do estribo e metade do diâmetro da barra da armadura longitudinal (quando se tem uma única camada de barras) à qual se refere d’.

Ast

d´

d h

x

vst

vcc

MSd

Asc

scd

sstRst

Rcc

Rsc

y/2L.N.

bw

MSd

scd

d´

0,2x

y/2

Figura 5 - Seção transversal retangular – momento fletor resistente

Como as forças resultantes das tensões internas têm que estar em equilíbrio pode-se escrever a expressão 5.

stsccc RRR =+ [5]

Considerando o equilíbrio dos momentos das forças resultantes internas em relação ao ponto de aplicação da força resultante das tensões nas barras de tração, distante a altura útil (d) da borda comprimida, com o momento solicitante de cálculo (MSd) pode-se escrever:

[ ]d'dR2ydRM scccSd −+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= [6]


A área de concreto comprimido pode ser calculada pela expressão 7, considerando o diagrama retangular de tensões (ver figura 5), e, substituindo a altura (y) deste diagrama pela expressão 4, vem:

x0,8bA wcc ⋅⋅= [7]

A força resultante das tensões de compressão no concreto é dada por 8:

cdcccc .σAR = [8]

A força resultante nas barras da armadura de compressão posicionadas próximas da borda comprimida, distante a medida d’ desta, é calculada pela expressão 9:

scscsc .σAR = [9]

A força resultante nas barras da armadura de tração posicionada na região tracionada da viga com altura útil d, que é a medida da distância da borda comprimida até o centro geométrico das barras desta armadura, é calculada pela expressão 10:

ststst .σAR = [10]

Substituindo a expressão 7 em 8 e fazendo σcd = 0,85 fcd obtem-se:

cdwcc f0,85x0,8bR ⋅⋅⋅⋅= [11]

ou, efetuando o produto, resulta:

cdwcc fxb0,68R ⋅⋅⋅= [12] 3.1. Compatibilidade de deformações

Considerando a proporcionalidade entre os lados dos triângulos retângulos no diagrama de deformações (figura 5), pode-se escrever a expressão 13 que relaciona a posição da linha neutra (x), a altura útil (d) e as deformações na borda mais comprimida e nos centros de gravidade das barras das armaduras comprimida e tracionada.

xdε

dxε

xε st

'sccc

−=

−= [13]

A relação entre a profundidade da linha neutra (x) e a altura útil (d) é a posição

relativa da linha neutra (βx) calculada por:

dxβx = [14]

E, multiplicando membro a membro a expressão 13 por 1/(1/d) e substituindo x/d

por βx tem-se a expressão 15:


7

x

st

x

sc

x

cc

β1ε

dd'β

εβε

−=

−= [15]

3.2 Equações de equilíbrio A expressão 12 pode ser escrita como segue, multiplicando-se o segundo membro por d/d.

cdwcc fddxb0,68R ⋅⋅⋅⋅= [16]

Lembrando que βx (expressão 14) é igual a x/d e substituindo na expressão 16

resulta:

cdxwcc fβdb0,68R ⋅⋅⋅⋅= [17]

Substituindo convenientemente as expressões 17, 9 e 10 em 5, vem:

ststscsccdxw σAσAfβdb0,68 ⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅ [18]

que é a expressão que relaciona a força resultante das tensões no concreto, a força resultante das tensões nas barras da armadura comprimida e a força resultante das tensões nas barras da armadura tracionada. As forças resultantes nas barras estão escritas em função das suas áreas e das respectivas tensões. A força no concreto foi escrita considerando a resistência de cálculo à compressão do concreto, a largura da alma da viga (bw), a altura útil (d) e a posição relativa da linha neutra (βx).

Substituindo as expressões 17 e 9 em 6, e usando as expressões 4 e 14, vem:

[ ] [ ]d'dσAβ0,41fdβb0,68M scscxcd2

xwSd −⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= [19]

Esta expressão relaciona o módulo do momento fletor solicitante de cálculo com os momentos das força resultantes das tensões de compressão no concreto e nas barras da armadura comprimida. 3.3. Balanço do número de equações e incógnitas

Supondo que as dimensões das seções transversais são conhecidas (pois, na fase de anteprojeto das estruturas de concreto é feito o pré-dimensionamento das dimensões das seções transversais dos elementos estruturais) têm-se duas equações de equilíbrio (18 e 19) e duas outras que relacionam as deformações (13), totalizando quatro equações. As incógnitas são: x (βx), Asc, Ast, σsc dependente da deformação nas barras comprimidas (εsc) e σst dependente da deformação nas barras tracionadas (εst), pois os diagramas tensão – deformação das barras de aço são conhecidos.

Assim, têm-se cinco (5) incógnitas e quatro (4) equações. Para se verificar a segurança da seção transversal, ou seja, determinar se o

momento fletor resistente de cálculo (MRd) é maior ou igual que o momento fletor solicitante de cálculo (MSd) é necessário adotar uma das incógnitas. Conhecendo-se as deformações e, portanto, as tensões, ficam para serem determinadas a posição da linha neutra e as áreas das armaduras (duas). Como solução pode ser adotada a posição relativa da linha neutra que, para isto, precisa garantir as condições de


segurança da seção transversal e, assim, determinar as duas incógnitas que são as áreas das armaduras. 3.4 Equações constitutivas dos materiais

A ABNT NBR 6118:2003 indica os diagramas tensão – deformação do concreto (figura 3) e o diagrama das barras de aço para serem adotados na verificação dos estados limites últimos. As condições do diagrama para as barras de aço da figura 4 foram aqui consideradas para se obterem os diagramas da figura 6, relativos aos aços nacionais indicados na ABNT NBR 7480:1996, respectivamente os aços das categorias CA-25, CA-50 e CA-60.

10

(MPa)ss

vs (‰)

fyk

1,03

217

CA-25

2,07

435

fyk

ss (MPa)

(‰)

CA-50

10

vs

2,49

522

fyk

ss (MPa)

(‰)

CA-60

10

vs

Figura 6 - Diagramas tensão - deformação para os aços da ABNT NBR 7480:1996

As deformações últimas dos materiais consideradas no cálculo são, portanto:

- no concreto, nos casos de elementos estruturais submetidos a flexão simples;

3,5‰εε cucc == [20]

- nas barras de aço tracionadas;

10‰εε sust == [21]

Para as barras de aço tracionadas a deformação é limitada a esse valor (expressão 21) para que as fissuras, inerentes ao material concreto armado, fiquem com suas aberturas controladas para evitar danos ao elemento estrutural. As deformações nas barras posicionadas na borda da viga e na região comprimida, são calculadas com as equações da expressão 13 e, portanto, considerando o diagrama tensão – deformação da barra de aço, determina-se a tensão (σsc). 3.5 Domínios de deformações

Considera-se então que, se esses valores das deformações no concreto e nas barras tracionadas forem atingidos, por si ou simultaneamente, ocorrerá ruína da viga, ou seja, a viga atingirá um estado limite último convencional, que pode ser por:

- deformação plástica das barras tracionadas, quando a deformação for de 10‰, com deformação no concreto na borda comprimida de qualquer valor maior do que zero e menor do que 3,5‰. Estas situações de deformações definem o domínio 2 de deformações;

- deformação plástica das barras tracionadas, variando entre εyd e 10‰ com simultânea ruptura do concreto (3,5‰), definindo o domínio 3;


9

- ruptura do concreto (3,5‰), com deformação nas barras de aço menor do que εyd e maior do que zero, sendo este o domínio 4.

As deformações nas barras da armadura tracionada (εst), segundo o diagrama tensão – deformação que representa a lei constitutiva das barras de aço, variam entre 0 e εyd que é a deformação de escoamento, região em que vale a Lei de Hooke, e entre εyd e 10‰, limite superior convencionado pelas normas brasileiras e estrangeiras com a finalidade de limitar os valores das aberturas das fissuras. A figura 6 mostra os diagramas tensão – deformação das barras de aço para concreto armado da ABNT NBR 7480:1996, onde são indicados os valores das resistências características (fyk) e de cálculos (fyd) e as deformações de escoamento (εyd) que são, também, as de limite de proporcionalidade entre as tensões e as deformações.

A figura 7 apresenta as três condições possíveis para escolha das deformações na borda comprimida do concreto e no centro geométrico das barras da armadura de tração, no caso de elemento estrutural submetido a ação de momento fletor (flexão simples), sendo claro que a deformação no centro geométrico das barras da armadura comprimida depende das outras duas deformações.

O projetista pode, portanto, adotar qualquer uma das infinitas condições possíveis para a posição da linha neutra, em qualquer um dos domínios de deformações. A decisão de projeto a ser tomada é no sentido de atender outros parâmetros, tais como, as dimensões da seção transversal inicialmente adotadas na fase de anteprojeto, de menor consumo de material e de altura da viga compatível com as alturas da demais vigas do projeto. Analisando as infinitas posições que a linha neutra pode ocupar, para garantir o equilíbrio da seção transversal e, portanto, a segurança com relação ao estado limite último, percebe-se que no:

domínio 2 - as barras de aço apresentam deformação última convencional (εst) igual a 10‰ e a deformação na borda comprimida (εcc) pode ter valores maiores que zero e menores que 3,5‰, ou seja, as deformações na borda comprimida não atingem a deformação ultima convencional no concreto (ver figura 7). Neste caso de domínio 2 a capacidade resistente do concreto fica pouco aproveitada;

domínio 3 - para qualquer posição da linha neutra a deformação na borda comprimida (εcc) é adotada igual a deformação última de 3,5‰ e as deformações nas barras podem variar entre a deformação de escoamento (εyd) e a última convencional de 10‰. Ao adotar, no projeto de viga, a posição limite superior da linha neutra no domínio 3 estão sendo consideradas as capacidades máximas permitidas de deformações dos materiais. É, portanto, a solução que atende as condições de economia de materiais;

domínio 4 - a deformação na borda comprimida (εcc) é adotada igual a 3,5‰ e as deformações nas barras de aço (εst) podem assumir valores maiores que zero e menores que εyd. Não é, portanto, uma solução adequada, embora possível em termos de segurança estrutural, pois, as barras de aço ficam com deformações aquém da sua capacidade de deformação e, por conseguinte, pouco aproveitadas, com grande área de barras e não atendendo fator econômico de projeto.

A decisão na escolha da posição da linha neutra e, portanto, do domínio de deformações depende de cada projeto de viga (ou laje) em particular entendendo que, se possível, será adotada a posição limite do domínio 3 (βx34 = βxlim) em virtude do melhor aproveitamento das resistências dos materiais.


3.5.1 Limites para os valores da linha neutra nos três domínios de deformações

Os limites para os valores da linha neutra entre os três domínios de deformações que regem os elementos estruturais submetidos a flexão simples podem ser calculados pela expressão 15, considerando a primeira e a terceira frações:

x

st

x

cc

β1ε

βε

−= [22]

e, multiplicando o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda e

o denominador da primeira pelo numerador da segunda e, explicitando βx, resulta a expressão que relaciona a posição relativa da linha neutra (βx) com as deformações do concreto na borda comprimida (εcc) e das barras tracionadas da armadura (εst).

stcc

ccx εε

εdxβ

+== [23]

Com a expressão 23 é possível determinar as posições limites da linha neutra para os domínios 2 e 3 e 3 e 4.

A posição relativa da linha neutra limite entre os domínios 2 e 3 depende do valor último convencional da deformação na borda comprimida do concreto que é igual a εcc = εcu = 3,5‰, e a deformação de escoamento das barras é igual a deformação última convencional de 10‰, resultando a expressão 24:

0,259=10+3,5

3,5=βx23 [24]

O estado limite último de ruína no domínio 2 ocorre de modo convencional (pois, os corpos-de-prova das barras de aço ao romperem em ensaios de tração podem atingir deformações maiores do que 10‰) com deformações na borda comprimida do concreto menores do que 3,5‰.

Para o cálculo do valor de βx34 considera-se εcc = εcu = 3,5‰ e εst = εyd que é função da categoria das barras de aço, indicadas na ABNT NBR 7480:1996. Os digramas tensão - deformação das barras de aço para concreto armado normalizados no Brasil são os indicados na figura 6, cujos valores das resistências de escoamento de cálculo são iguais às resistências características à tração divididas pelo coeficiente de minoração das resistências igual a 1,15.

Retomando a expressão 23 vem:

ydx34 ε3,5

3,5β+

= [25]

Analisando a figura 6 podem-se determinar os valores de εyd que resultam iguais a:

‰03,125CA yd =ε→− [26]

‰07,250CA yd =ε→− [27]

‰49,260CA yd =ε→− [28] que, substituindo-os na expressão 25, determinam-se os valores das posições relativas limites entre os domínios 3 e 4 considerando as categorias das barras de aços nacionais, resultando:


11

0,772β25-CA x34 =→ [29]

0,628β50-CA x34 =→ [30]

0,585β60-CA x34 =→ [31] Esses limites podem orientar os valores adotados em projetos de vigas de concreto armado desde que não ultrapassem os valores da profundidade relativa da linha neutra indicados na ABNT NBR 6118:2003 e, neste texto, no item 4 (seguinte), quando se tratarem de seções transversais de apoio de vigas contínuas ou de seção que pertençam a ligações entre elementos estruturais (nós de pórticos). O estado limite último de ruína no domínio 3 ocorre de modo convencional (pois, as barras de aço ao romperem em ensaios de tração podem atingir deformações maiores do que 10‰) com deformações na borda comprimida do concreto igual a 3,5‰ e, simultaneamente, nas barras de aço com deformações de 10‰. No domínio 4 o estado limite último de ruína ocorre de modo convencional por ruptura do concreto com deformações 3,5‰, sendo que as deformações nas barras de aço ficam menores do que o valor de εyd relativos a cada categoria de aço, conforme indicados pelas expressões 26, 27 e 28. Conforme será analisado nos exemplos do item 7, e adiantando o raciocínio a seguir no dimensionamento de seções transversais de vigas e lajes, submetidas a ação de momento fletor, o domínio 4 de deformações precisa ser evitado, pois há mal aproveitamento das resistências dos materiais, principalmente das barras de aço e, principalmente, por conta das pequenas deformações das barras de aço com valores menores do que εyd. Além disso, as ruínas ocorrem por ruptura do concreto sem que ocorra o alongamento máximo permitido para as barras de aço. Com as barras com pouco alongamento (εst < εyd) as fissuras aparentes no elemento estrutural submetido a ação de momento fletor não aparecem visivelmente, e, a ruína real se dá de modo brusco.

4. Profundidade da linha neutra e condições de dutilidade

A ABNT NBR 6118:2003 indica que a capacidade de rotação dos elementos estruturais lineares é função da posição da linha neutra no estado limite último. Quanto menor for o valor relativo da profundidade da linha neutra βx = x/d, maior é a capacidade de rotação.

Conforme já estudado neste texto essa situação de maior capacidade de rotação ocorre quando as deformações atendem as hipóteses do domínio 2, isto é, a deformação no concreto está aquém da deformação última convencional de 3,5‰ e a deformações nas barras de aço são consideradas iguais a 10‰.

Ou seja, para controlar a rotação da viga é conveniente limitar a posição da linha neutra diminuindo, assim, as deformações.

Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços solicitantes, a posição da linha neutra no estado limite último precisa obedecer aos seguintes limites:

a. βx = x/d ≤ 0,50 no caso de estruturas com concretos de fck ≤ 35 MPa; [32]

b. βx = x/d ≤ 0,40 no caso de estruturas com concretos de fck > 35 MPa. [33]


10‰

10‰

bord

a su

perio

r

bord

a in

ferio

r

3,5‰

x23

2

3,5‰ 3

x34

vyd

3,5‰

4

vyd

dh

vst

vcc

v

cu=

3,5‰

Def

orm

ação

Plá

stic

a E

xces

siva

com

Rup

tura

do

Con

cret

o

Def

orm

ação

Plá

stic

a

E

xces

siva

ss

fyd

vyd

10

ss

fyd

vs

(‰)

vyd

vst =

10‰

vcc <v

cu =

3,5

‰v

yd

Rup

tura

do

Con

cret

o se

m

Def

orm

ação

Plá

stic

a E

xces

siva

ss

fyd

vs

10

(‰)

vyd

10

vs

(‰)

10‰

vst

vyd

zero

<ze

ro <

=v

cc

vcu=

3,5‰

=

Figura 7 – Diagramas de deformações para os domínios 2, 3 e 4


13

A ductilidade de elementos lineares de concreto armado é função da resistência do concreto, tanto maior a resistência do concreto menor será a dutilidade do elemento estrutural e, portanto, da estrutura. Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços solicitantes, é importante garantir boas condições de ductilidade, sendo adotada, se necessário, armadura de compressão que garanta a posição adequada da linha neutra (x), conforme expressões 32 ou 33.

A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores de (x), posição da linha neutra, que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão. Podem ser adotadas barras de armadura com detalhes especiais como, por exemplo, as que produzem confinamento nas regiões comprimidas das vigas. Pesquisa feita no Laboratório de Estruturas da EESC – USP por Delalibera (2002) mostra que estribos posicionados na região comprimida, confinando-a, de altura igual a profundidade da linha neutra definida com as hipóteses do estado limite último, levam a uma estrutura de comportamento dúctil. 5. Limites para redistribuição de momentos Nos casos de estruturas constituídas por vigas com continuidade com os pilares, em pórticos, por exemplo, ou vigas contínuas, a ABNT NBR 6118:2003 indica que quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momento fletor solicitante de MSk para δ MSk, em uma determinada seção transversal, e isto é feito nas seções transversais dos apoios, a relação entre o coeficiente de redistribuição δ e a posição relativa da linha neutra βx = x/d nessa seção, para o momento reduzido δ MSk, pode ser calculada por:

a. δ ≥ 0,44 + 1,25 x/d no caso de estruturas com concretos de fck ≤ 35 MPa; [34]

b. δ ≥ 0,56 + 1,25 x/d no caso de estruturas com concretos de fck > 35 MPa. [35]

O coeficiente de redistribuição precisa, ainda, obedecer aos seguintes limites:

a. δ ≥ 0,90 para estruturas de nós móveis; [36]

b. δ ≥ 0,75 em qualquer outro caso, por exemplo, estruturas de nós fixos.[37]

Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos na ABNT NBR 6118:2003, desde que a estrutura seja calculada mediante o emprego de análise não-linear ou de análise plástica, com verificação explícita da capacidade de rotação de rótulas plásticas. 6. Análise da necessidade de barras comprimidas (Asc)

Nas deduções das expressões que retratam o equilíbrio da seção transversal retangular submetida à ação de momento fletor de cálculo, consideraram-se barras da armadura comprimida com área Asc, cuja tensão depende da deformação εsc que, por sua vez, depende do diagrama de deformações e da posição da linha neutra. Com a


deformação determinada pode-se calcular, considerando o diagrama tensão – deformação, a tensão (σsc) e verificar o equilíbrio. Porém, a adoção de barras comprimidas só é necessária quando a seção de concreto comprimido (Acc) com tensão (σcd) não for suficiente para absorver a força de compressão resultante ( cdcc A σ⋅ ) necessária para o equilíbrio no domínio 3. Assim, tem-se um momento fletor resistente limite (MRd,lim) que se for menor que o momento fletor solicitante (MSd) a viga não necessita de armadura comprimida (armadura dupla) para o equilíbrio da seção transversal. Para escrever a expressão com qual se determina o momento resistente de cálculo limite, na expressão 18 faz-se a área da armadura comprida igual a zero (Asc=0) e considera-se a posição da linha neutra entre os domínios 3 e 4, isto significa adotar:

limx,x,34x β=β=β [38]

que é o limite da profundidade da linha neutra (βx,lim) para a qual há total aproveitamento das capacidades resistentes do concreto e das barras de aço, ou seja, o concreto fica com a deformação convencional de ruptura e as barras de aço ficam com deformações que definem o início de escoamento (εyd).

Obtem-se, portanto, a expressão 39 com a qual se calcula o módulo do momento fletor resistente de cálculo limite (MRd,lim).

[ ]xcd2

limx,wlimRd, β0,41fdβb0,68M ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= [39]

Para os elementos estruturais lineares (vigas) submetidos a ação de momento fletor é usual adotarem-se barras de aço CA-50 para as quais já se encontrou o valor de βx,lim = 0,628, que substituído na expressão 39, resulta a expressão 40 com a qual se calcula o módulo de MRd,lim para esta classe de aço.

cd2

wlimRd, fdb0,32M ⋅⋅⋅= [40]

Nota-se na expressão 40 que o valor de MRd,lim depende das dimensões da seção transversal bw e h (pois, de depende de d) e da resistência de cálculo à compressão do concreto (fcd). 6.1 Exemplo

Determinar o módulo do momento fletor resistente de cálculo limite para uma viga com espessura (bw) igual 20cm, altura (h) adotada igual a 45cm, altura útil (d) igual a 41cm, concreto de resistência característica à compressão de 30MPa (C30) e aço de resistência característica à tração de 500MPa (CA-50).

Como as barras de aço são da classe CA-50 pode-se usar a expressão 40, com bw = 20cm; d = 41cm e fcd = fck/1,4 = 30/1,4 = 21,43MPa = 2,14kN/cm2, e, substituindo, resulta:

kNm,23.023kNcm2,144100,32M 2limRd, 22302 ==⋅⋅⋅=

Na avaliação da altura útil, a partir da altura total da seção transversal, é

necessário considerar-se que a viga, quando completamente dimensionada e detalhada, têm estribos constituídos por dois ramos, para absorver as tensões de tração oriundas da ação da força cortante, cujas distâncias das bordas, que é o cobrimento das barras da armadura, precisa atender critérios indicados na ABNT NBR 6118:2003 para garantir a durabilidade do elemento estrutural.

Para vigas e pilares é adotado cobrimento nominal (c) das barras da armadura mais próxima da borda de 30mm quando a classe de agressividade ambiental é a II,


15

considerada moderada e que para efeito de projeto esta classe é para atender uma estrutura a ser construída em região urbana. O diâmetro mínimo para as barras dos estribos é adotado igual a 5mm de acordo com a ABNT NBR 6118:2003 e, para efeito de anteprojeto, é possível adotar diâmetro das barras longitudinais de 12,5mm, resultando, portanto, para calculo do valor da altura útil (d) a expressão:

2

--c-h d lonest

φφ=

substituindo os dados do exemplo tem-se:

cm,2,-,5-3-45 d 88402510 ==

e, assim, a medida da altura útil adotada igual a 41cm, e agora avaliada, está adequada, pois 40,88cm é aproximadamente igual a 41cm. 6.2 Considerações para projetos de vigas

Quando a viga apresentar

limRd,Sd MM ≤ [41]

tem-se o caso de flexão simples com armadura simples, pois não há necessidade de considerar a área de armadura comprimida para garantir o equilíbrio da seção transversal;

e, quando

limRd,Sd MM > [42]

tem-se caso de flexão simples com armadura dupla pois há necessidade desta para o equilíbrio da viga considerando o domínio 3 de deformações. Como alternativa à armadura dupla pode-se aumentar as dimensões da seção transversal, sendo que na maioria dos projetos não é possível aumentar a altura (h), por questões arquitetônicas. 6.3 Determinação das expressões para MRd,lim de seções de apoio com dutilidade

Retomando a expressão 39 e as condições descritas no item 4, pode-se escrever a expressão 43 com a qual se determina o valor do momento fletor de cálculo limite, para as seções transversais de apoio para as quais a ABNT NBR 6118:2003 indica que condições de dutilidade precisam ser consideradas, para permitir rotação da estrutura. No caso de se adotar concreto com resistência característica à compressão menor do que 35MPa a profundidade relativa (βx) da linha neutra precisa ficar menor ou igual do que 0,50, resultando: ],[fdb,M dut.lim,xcddut.lim,xwC,apoiolim,,Rd β⋅−⋅⋅⋅β⋅⋅=≤ 401680 2

35 [43] Substituindo βx = 0,50 vem: cdwC,apoiolim,,Rd fdb,M ⋅⋅⋅=≤

235 270 [44]


Para o caso de concreto com resistência característica à compressão maior do que 35MPa a profundidade relativa (βx) da linha neutra precisa ficar menor ou igual do que 0,40, e usando a expressão 39 resulta: cdwC,apoiolim,,Rd fdb,M ⋅⋅⋅=>

235 230 [45]

Nos casos de projetos de elementos lineares (vigas, pilares, pórticos, grelhas) as seções transversais dos apoios de vigas e ligações (nós de pórticos, por exemplo) precisam ter altura compatível com os valores dos momentos fletores resistentes de cálculo limites, para ter garantia de dutilidade e, portanto, de rotação. Lembra-se que para diminuir os valores dos momentos fletores negativos nos apoios ou nas ligações é possível promover a redistribuição de momentos fletores com o conseqüente aumento dos módulos dos momentos fletores positivos, conforme visto no item 5 deste texto. 7. Limites para as áreas de armadura, armadura de pele e diâmetro das barras 7.1 Preâmbulo

A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve ser evitada considerando-se, para o cálculo das armaduras um momento fletor resistente mínimo definido pelo valor correspondente ao momento que produziria a ruptura da seção de concreto simples, pro tração na flexão, adotando para a resistência à tração do concreto a resistência característica superior do concreto à tração (fctk,sup), obedecendo, também, às condições relativas ao controle da abertura de fissuras, conforme será estudado posteriormente no capítulo que analisa os estados limites de serviço. 7.2 Valores limites para as áreas das armaduras longitudinais de vigas 7.2.1 Área mínima de armadura de tração

De acordo com o indicado na ABNT NBR 6118:2203, a área de armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção para um momento fletor mínimo dado pela expressão 46, respeitada a taxa geométrica (ρmin=Asmin/Ac) mínima absoluta de 0,15%. sup,ctkmin,dR fW,M ⋅⋅= 080 [46]

sendo:

W0 o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra mais tracionada;

fctk,sup a resistência característica superior do concreto à tração, calculada pela

expressão 47:

3/2ckm,ctsup,ctk f3,03,1f3,1f ⋅⋅=⋅= [47]

O dimensionamento da área da armadura mínima para MRd,mín pode ser

considerado atendido se forem respeitadas as taxas geométricas mínimas de armadura da tabela 1.


17

Tabela 1 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas [ABNT NBR 6118:2003] Valores de ρmin = As,min/Ac [em porcentagem (%)]

Forma da seção fck ωmín

20 25 30 35 40 45 50

Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

T (mesa

comprimida) 0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197

T (mesa tracionada) 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255

Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575

Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, 15141 ,e, sc =γ=γ . Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado

com base no valor de ωmín indicado nesta tabela. Observação: Nas seções tipo T, a área da seção é calculada considerando a área da alma acrescida da área da mesa colaborante, composta pela(s) parte(s) da(s) laje(s).

A ABNT NBR 6118:2003 indica que em elementos estruturais dimensionados no

domínio 4 pode ser utilizada armadura menor que a mínima, com valor obtido a partir de um momento fletor igual ao dobro de MSd. Neste caso, a determinação dos esforços solicitantes precisa considerar de forma rigorosa todas as combinações possíveis das ações, assim como os efeitos de temperatura, deformações diferidas e recalques de apoio. É preciso ter ainda especial cuidado com o diâmetro e espaçamento das armaduras de limitação de fissuração. 7.2.2 Área total de armadura Quando a viga precisa ser armada com barras tracionadas (Ast) e comprimidas (Asc), casos de vigas com armadura dupla, a soma das taxas geométricas das barras das armaduras não pode ter valor maior do que 4%, isto é:

%4ρ ρ scst ≤+ [48] 7.2.3 Área de armadura de pele Em vigas com altura superior a 60cm há necessidade de se considerar barras distribuídas em cada face da alma da viga, cuja finalidade é limitar as aberturas de fissuras que ocorrem em região entre o plano horizontal que contem a linha neutra e a borda tracionada da viga. A área das barras da armadura de pele (figura 8) é calculada pela expressão 49.

alma,cpele,s A100

10,0A ⋅= (em cada face da viga) [49]

ou seja, essa área é igual a 0,10% da área da seção transversal da alma da viga. As barras que compõem a armadura de pele precisam ser de alta aderência (η1 ≥ 2,25). O espaçamento entre as barras, medido na vertical, não pode ser maior do que um terço da medida da altura útil (d/3) considerando o valor absoluto máximo de 20cm, respeitando os critérios de verificação de aberturas de fissuras que será estudado em época oportuna do curso. Os critérios para cálculo dos valores mínimos da área da armadura de tração quando o elemento está sob deformação imposta pode ser estudado na ABNT NBR 6118:2003.


7.2.4 Diâmetro das barras da armadura A ABNT NBR 6118:2003 não apresenta nenhuma restrição quanto aos diâmetros mínimo e máximo de barras para vigas. Assim, desde que sejam satisfeitas condições construtivas qualquer diâmetro normalizado pela ABNT NBR 7480:1996 pode ser adotado. Ao se realizar um projeto é conveniente consultar as empresas construtora e a fornecedor de barras de aço da região onde a obra será construída a respeito da disponibilidade dos diâmetros das barras e classe do aço. É conveniente adotar diâmetro (φ) mínimo de 8,0mm para as barras de aço das armaduras tracionadas das vigas; para as barras da armadura de montagem (porta estribos) sugere-se que o diâmetro seja igual ou maior que o diâmetro das barras ou fios adotados para os estribos. 8. Espaçamentos entre as barras da armadura As vigas depois de terem a(s) área(s) da(s) barra(s) da(s) armadura(s) corretamente dimensionadas para absorver o momento fletor solicitante de cálculo (MSd), precisam ser convenientemente detalhadas. A distribuição das barras das armaduras, para absorver as tensões de tração ou de compressão, esta no caso de vigas com armadura dupla, é feita seguindo critérios que consideram as condições de moldagem na obra e adensamento realizado por meio mecânico com auxílio de vibrador. Assim, os espaçamentos entre as barras precisam levar em conta o diâmetro nominal do agregado graúdo adotado para o concreto, o diâmetro do vibrador e a direção e sentido da concretagem que é a vertical. O arranjo das barras tem que ser estudado com cuidado para que durante a moldagem o concreto preencha toda a fôrma, de tal modo que as posições das barras das armaduras não prejudiquem este procedimento, ainda, estas posições permitam a passagem do vibrador para conveniente adensamento. A segurança estrutural depende de fatores como a correta avaliação das ações que irão atuar no elemento estrutural quando em serviço, do processo de determinação dos esforços solicitantes, das condições de contorno (análises das vinculações), das equações constitutivas dos materiais, das hipóteses para o dimensionamento das áreas das barras das armaduras, o detalhamento com criteriosa análise dos arranjos das barras, do processo de construção como moldagem, adensamento, cura, desforma e retirada do cimbramento.

A distribuição das barras na seção transversal em vigas, é de suma importância para a correta moldagem e adensamento do concreto. As barras podem ficar justapostas formando feixes de barras, conforme será estudado no capítulo de ancoragem por aderência de barras, sendo que esta fica comprometida por diminuir a área de contato entre o concreto e as barras do feixe. Assim, o comprimento de ancoragem precisa ser aumentado quando se tratar de feixe de barra. A ABNT NBR 6118:2003 indica que os espaçamentos mínimos livres entre as faces das barras longitudinais (figura 8), medidos no plano da seção transversal, precisam ser iguais ou superiores aos maiores dos seguintes valores:

a.- no sentido horizontal (ah):

20 mm = 2cm;

diâmetro da barra (φ), do feixe de barras ou da luva de emenda das barras;

1,2 vez o diâmetro máximo do agregado (φagr) usado no concreto.


19

b.- no sentido vertical (av):

20 mm = 2cm;

diâmetro da barra (φ), do feixe ou da luva;

0,5 vez o diâmetro máximo do agregado usado (φagr) no concreto.

Para feixes de barras é preciso considerar o diâmetro do feixe φn = φ . n0,5, sendo n o número de barras do feixe e φ o diâmetro das barras que compõem o feixe. É importante salientar que essas indicações se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras. O arranjo das barras das armaduras precisa atender não só a sua função estrutural como também às condições adequadas de construção, particularmente com relação ao lançamento e ao adensamento do concreto. Nos projetos as espessuras das vigas são previamente pré-dimensionadas (bw,min = 12cm) observando detalhes arquitetônicos tais como dimensões das paredes de alvenaria e compatibilidade com o projeto geral. Também, em função da intensidade do momento fletor o número de barras pode ser tal que não permita o alojamento de todas as barras em uma única camada, precisando, portanto, serem alojadas em várias camadas. Isso acarreta mudança na posição da altura útil (d) inicialmente adotada fato que exigirá verificação específica como será estudado.

Para alojar corretamente as barras em uma camada com as condições indicadas anteriormente é preciso que a largura da viga (bw) seja compatível com os diâmetros e quantidades de barras, espaçamentos horizontais (ah) e com o cobrimento especificado para a classe de agressividade ambiental, conforme indicado na figura 8.

h

L.N.

As, pele

A = As,pele

A ou Asc s, mon

h = hf laje

d

wbc

Ø estr

c0,10100

c

c

c

< 10100 hA > Ast st, min

CG

ØØ

a

v

a h

Ø Ø estr

Figura 8 - Arranjo das barras da armadura longitudinal Considerando a figura 8 é possível escrever a inequação 50 que relaciona a largura da viga (bw), o diâmetro das barras (φ), o espaçamento entre as barras e os cobrimentos das barras, lembrando que o cobrimento é sempre medido a partir da face do elemento estrutural até a barra mais próxima, no caso o estribo. Assim, para alojar um número (n) de barras em uma única camada tem-se: hbarlonbarestw a)1n(n2c2b ⋅−+φ⋅+φ⋅+⋅≥ [50]


ou seja: hhbarlonbarestw aann2c2b −⋅+φ⋅+φ⋅+⋅= [51] Trabalhando a expressão 51 determina-se a expressão 52 que permite calcular o número de barras por camada de armadura.

hlon

hestwbar a

a2c2bn+φ

+φ⋅−⋅−= [52]

A distribuição longitudinal das barras nos elementos estruturais submetidos à

ação de momento fletor é feita considerando o diagrama de momentos fletores de cálculo, após a correta análise do deslocamento deste diagrama (decalagem do diagrama de momentos fletores). Esse deslocamento depende da análise do equilíbrio da seção transversal submetida a ação do momento fletor e da força cortante. Assim, a distribuição longitudinal das barras será estudada em capítulo futuro.

No caso de vigas com grande número de barras o alojamento é feito em várias camadas, por exemplo em vigas de pontes, sendo necessário prever distâncias entre as barras para a introdução do vibrador e de modo a impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do elemento estrutural. 9. Posição correta do centro geométrico das barras da armadura Nos projetos de estruturas de concreto armado é comum considerarem-se as alturas das vigas em função de detalhes arquitetônicos, tais como as cotas das faces superiores das janelas e das portas, o que faz com que o projetista adote as alturas úteis (dest) em função da espessura do cobrimento, dos diâmetros das barras longitudinais e transversais, ambos estimados. Após os cálculos serem feitos a área de armadura longitudinal pode ser distribuída em várias camadas, o que acarreta uma altura útil real (d) menor do que a altura útil estimada (dest). Portanto, há necessidade de se verificar se a relação entre essas alturas úteis fica aquém do limite permitido pela ABNT NBR 6118:2003. Se o limite da relação não for atendido há que se efetuarem novos cálculos, adotando nova altura útil (dest) e realizar outra verificação. A ABNT NBR 6118:2003 prescreve que a força resultante das tensões de tração nas barras das armaduras podem ser consideradas concentradas no centro de gravidade correspondente, se a distância deste centro ao ponto da seção de armadura mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta, for menor que 10% de h.

As armaduras laterais (armadura de pele) de vigas podem ser consideradas no cálculo dos esforços resistentes, desde que estejam convenientemente ancoradas e emendadas. A figura 8 mostra que a distância do centro geométrico das barras da armadura de tração até o plano horizontal tangente às barras da primeira camada tem que cumprir a medida especificada ( h, ⋅100 ). Nos casos de projetos de vigas em que a altura útil (d) calculada pode ser adotada, por não haver imposição arquitetônica, a altura (h) pode ser definida a partir dessa com conveniente arranjo das barras longitudinais e depois de adotado o diâmetro dos estribos e a espessura do cobrimento de concreto. 10. Exemplos de dimensionamento de vigas de concreto armado

Neste item apresentam-se exemplos de projetos de vigas de concreto armado, nos quais se verifica a segurança no estado limite último, com solicitação de momento


21

fletor. Os problemas resolvidos são de dimensionamento, isto é, calculam-se as alturas úteis (d) e as áreas das barras das armaduras a partir do conhecimento, por meio de pré-dimensionamento, medida da largura da seção transversal.

Para a viga da figura 9, considerada apoiada nos pilares, pedem-se determinar a altura útil (d) e a área de armadura de tração (Ast), optando-se por considerar armadura simples, isto é, sem que seja necessária armadura na região comprimida (Asc) para equilibrar as tensões normais.

Os dados geométricos da viga da figura 9 são mantidos para todos os exemplos seguintes, sendo alteradas as intensidades das forças uniformemente distribuídas atuantes. O objetivo em alterar a intensidade da ação em cada exemplo é para que o leitor perceba as variações nos valores da altura útil (d) e, portanto da altura total (h), e da área de armadura de tração (Ast).

Considerando que a viga é apoiada nos pilares a posição da linha neutra não precisa ser limitada para que a capacidade de rotação aumente a ductilidade. As vigas dos exemplos podem ser associadas a vigas de estruturas pré-fabricadas, apoiadas em pilares, interpostos entre eles aparelhos de apoio feitos com neoprene, capazes de permitir as rotações das seções de apoio.

As forças uniformemente distribuídas na viga são relativas às ações permanentes (g) e as variáveis normais (q) que são as de utilização.

Adota-se concreto com resistência característica à compressão de 25MPa (C25) e aço categoria CA-50 com resistência característica ao escoamento das barras da armadura igual 500MPa.

O cobrimento das barras da armadura é adotado igual a 3cm nos casos de vigas e pilares para atender critério indicado na ABNT NBR 6118:2003, que especifica Classe de Agressividade Ambiental II, com grau de agressividade moderada, relativo ao ambiente urbano, o que significa que a barra que estiver mais próxima das faces da viga precisa ser detalhada distando desta 3cm. A ABNT NBR 6118:2003 permite que se faça uma redução no valor do cobrimento de Δc = 0,5cm quando na obra houver controle de qualidade e rígidos limites de tolerância de variabilidade das medidas durante a construção, explicitadas nos desenhos de projeto. 10.1 Exemplo 1 – Ação g + q = 10kN/m Como o objetivo é determinar a altura útil (d) e a área das barras da armadura de tração (Ast), considerando que a área de armadura de compressão é adotada igual a zero, ou seja, não se pretende contar com a contribuição desta para absorver as tensões de compressão, são usadas as expressões 18 e 19 com Rsc igual a zero.

Lembrando o balanceamento do número de equações e incógnitas, faz-se necessário adotar uma das incógnitas para dimensionar a viga.

Pode ser adotado, portanto, a posição relativa da linha neutra igual ao valor limite entre os domínios 3 e 4, βx = βxlim = 0,628 para CA-50, assim têm-se melhor aproveitamento dos materiais.

Considerando a força uniformemente distribuída g + q = 10kN/m e viga biapoiada o módulo do momento fletor atuante na seção de meio de vão, máximo neste caso, é dado por [(g + q) . l2] / 8 igual a 80kNm. Para verificar o estado limite último é preciso determinar o momento fletor solicitante de cálculo dado por

112kNm801,4MSd =⋅=

Reescrevendo a expressão 18, com Rsc igual a zero, vem:

ststcdxw σAfβdb0,68 ⋅=⋅⋅⋅⋅ (expressão 18)


VSd

MSdMSd

VSd

MSk

P01 P02

VT (bw x h)

L=8mg+q

MSd

20

c

c

d h

C25; CA-50

c

Figura 9 - Exemplo de viga apoiada A expressão 17 é o primeiro membro da expressão 18, portanto:

cdxwcc fdβb0,68R ⋅⋅⋅⋅= (expressão 17) E, substituindo os valores de bw = 20cm, βx = βxlim = 0,628 e fcd = 2,5 / 1,4, vem:

1,42,50,628d020,68Rcc ⋅⋅⋅⋅= (expressão 17)

Efetuando os produtos resulta a expressão seguinte que relaciona Rcc e a altura útil (d).

d25,51Rcc ⋅= (expressão 17) Escrevendo a expressão 19, com Rsc igual a zero, e substituindo os valores de bw = 20cm, βx = βxlim = 0,628 e fcd = 2,5 / 1,4, vem:

[ ]0,6280,411,42,5d0,62820,68M 2

Sd ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= 0 (expressão 19)

Efetuando as operações algébricas resulta: 24211 d,MSd ⋅= (expressão 19)


23

Considerando que neste exemplo 1 MSd = 112kNm = 11200kNcm e substituindo na expressão anterior (relativa a expressão 19) resulta:

11,4211.200d2 =

ou seja:

cm31,31d =

Adota-se d = 32cm.

Substituindo os valores calculados na expressão 18, com Rsc igual a zero, vem: stst σAd25,15 ⋅=⋅ (expressão 18) Analisando a figura 7 e tendo sido adotado βx = βxlim = 0,628, ou seja domínio 3 de deformações, sabe-se que a tensão nas barras da armadura tracionada é igual à resistência de cálculo igual a fyd = fyk = 500/1,15 = 435MPa = 43,5kN/cm2, resultando: 5,43A3225,15 st ⋅=⋅ (expressão 18) ou seja: 2

st cm2,11A = que pode ser representada pela área efetiva das barras da armadura igual a: 2

efes, 12,06cmA =

sendo a armadura tracionada constituída por 6 barras de 16mm (6 φ 16,0mm) lembrando que cada barra de 16mm tem 2,01cm2 de área (ver tabela A-3 no anexo). De acordo com o especificado pela ABNT NBR 6118:2003, e estudado na sessão 7 deste texto, há necessidade de se verificar se essa área de barras é menor que a área mínima, lembrando que se for menor há que se adotar esta como armadura da viga. Neste caso de viga de seção retangular e concreto C25 a taxa geométrica mínima (ρmin) de armadura é igual a 0,15, conforme tabela 1, assim, a área mínima de barras resulta:

3720100

150⋅

===ρ min,s

c

min,smin

AA

A,

Portanto: 2111 cm,A min,s = que representa área menor que a efetiva (12,06cm2). O projeto da viga se completa quando se faz o detalhamento das barras das armaduras longitudinais e transversais, estas com a finalidade de absorver as tensões de tração oriundas da ação de força cortante. O detalhamento é mostrado na figura 10


e, de posse dos desenhos, os engenheiros de obra orientam os armadores a corta-las, dobra-las, monta-las de acordo com os desenhos e posicionar o conjunto de barras na fôrma da viga.

Os detalhamentos das vigas são feitos por meio de dois desenhos: um longitudinal da viga na escala 1:50 e um corte transversal na escala 1:20. O desenho longitudinal da viga mostra a vista da forma, as suas medidas, e a distribuição das barras dos estribos (barras N1), cujo desenho em verdadeira grandeza e a posição que eles ocupam na seção transversal são vistos no corte transversal da viga à direita da figura 10. A título de ilustração foi adotado diâmetro dos estribos de 5,0mm distribuídos ao longo do eixo da viga um a cada 15cm. As medidas dos estribos estão de acordo com os cobrimentos de 2,5cm adotados e os comprimentos levam em conta as medidas para dobrar dois ganchos nas extremidades para garantir as suas ancoragens. Será estudado em capítulo próprio o dimensionamento e detalhamento de vigas submetidas a ação de força cortante. As barras N2, em verdadeira grandeza no desenho da vista longitudinal a viga, são as barras de porta estribos, necessárias para posicionar corretamente os estribos. As barras N3 e N4 são necessárias para absorver as tensões de tração por ação de momento fletor, e têm seus comprimentos definidos segundo a análise da decalagem do diagrama de momentos fletores de cálculo e do conveniente comprimento de ancoragem. Por isso os comprimentos das barras N3, no caso duas apenas para ilustração, não estão indicados no desenho. Os comprimentos das barras N4 estão indicados, pois são barras que, também a título de ilustração do exemplo, ocupam todo o comprimento da viga (de face a face) respeitando os medidas dos cobrimentos. Os ganchos foram detalhados com as indicações da ABNT NBR 6118:2003, conforme será estudado no capítulo de ancoragem de barras por aderência. Na seqüência do projeto é preciso estudar o arranjo das barras da armadura tracionada na seção transversal para se verificarem as condições estudadas no item 8 deste trabalho e definir a altura (h) da viga.

P01 P02

780

53 N1 c / 15 cm

VT 01 (20 x 37)

N2 - 2 ø 5 mm (815 cm)

N3 - 2 ø 16 mm ( ) - 2ª camada

N4 - 4 ø 16 mm (855 cm)815

20 20

37

1,6

10

202,5

2

532

0,5

CG

0,5

2,5

0,5

1,6

1,6

N4

N3

N2

N1 32

15N1 - 53 ø 5 mm (105 cm)

2,5 2,5

20 20 2,53

Figura 10 - Viga do exemplo 1 – Detalhamento

Analisando a figura 10 e considerando que os cobrimentos das barras são iguais a 2,5cm (c – Δc = 3,0cm – 0,5cm), o diâmetro estimado para as barras da armadura transversal (estribos) é 5,0mm, que o diâmetro do agregado graúdo é de 19mm e o diâmetro das barras longitudinais é 16,0mm calcula-se, usando a expressão 52, o número de barras que podem ser alojadas em uma camada, resultando:


25

barras2,43,26,1

3,25,025,2220nbar =+

+⋅−⋅−=

portanto, é possível alojar 4 barras de diâmetro de 16,0mm em uma camada e na segunda camada 2 barras, conforme pode ser visto na figura 10. Pode-se adotar, também, 3 barras nas primeira e segunda camadas, aumentando as distâncias horizontais entre as barras. Calcula-se, agora, a distância do plano tangente às barras da primeira camada até o centro geométrico das barras, que dista d = 32cm da face superior da viga, considerando que a soma dos momentos estáticos das barras em cada camada é igual ao momento estático da área total de barras concentrada no centro geométrico, resultando:

CG

222

y4

6,1626,10,26,1

46,12

26,1

46,14 ⋅

⋅π⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++⋅

⋅π⋅+⋅

⋅π⋅

portanto:

cm0,2yCG =

Assim a altura (h) da viga é calculada por (observar a figura 10):

cm375,25,00,20,32h =+++=

A altura calculada para a viga deste exemplo 1 não pode ser considerada definitiva para a construção, pois é preciso verificar os estados limites de serviço, particularmente os de aberturas de fissuras (ELS-W) e de deformações excessivas (ELS-DEF), que podem indicar altura maior do que 37cm. 10.2 Exemplos 2, 3 e 4 Os três exemplos de vigas deste item foram feitos adotando-se os mesmos critérios para determinar a altura útil (d), em função da profundidade da linha neutra com βx = βxlim, e seguem a mesma rotina do exemplo 1. Para diâmetro das barras que compõem as áreas das armaduras de tração adotou-se φ 16,0mm, para melhor entendimento dos resultados, facilitando a comparação entre os números de barras. Os resultados são apresentados na tabela 2.

Tabela 2 - Exemplos de dimensionamento das vigas 1, 2, 3 e 4 bw = 20cm, C25, CA-50

A tabela 3 mostra os dimensionamentos das vigas analisadas nos exemplos 1, 2, 3, e 4, porém a resistência característica do concreto foi adotada igual a 30MPa (C30). Percebe-se que com concreto C30 as alturas úteis (d) resultam menores e as áreas

E x e m p l o

g + q.

kN/m

MSk

kNm

MSd

kNm

βx=βx,lim

d

cm

h

cm

Ast, efe

cm2

n φ

φ em mm

1 10 80 112 0,628 32 37 12,06 6 φ 16,0 2 20 160 224 0,628 45 51 16,08 8 φ 16,0 3 40 320 448 0,628 63 70 22,11 11 φ 16,0 4 80 640 896 0,628 89 98 32,16 16 φ 16,0


das barras das armaduras são maiores do que as áreas calculadas para as vigas onde se adotou concreto C25.

Tabela 3 - Exemplos de dimensionamento das vigas 1a, 2a, 3a e 4a bw = 20cm, C30, CA-50

As alturas (h) das vigas foram determinadas somando-se à altura útil (d)

calculada, a distância do centro de gravidade das barras da armadura de tração até o plano tangente à primeira camada dessas barras, o diâmetro estimado dos estribos e a medida do cobrimento.

Se as barras da armadura longitudinal ficarem alojadas em uma única camada, basta somar à medida da altura útil a metade da medida do diâmetro, o diâmetro estimado dos estribos e o cobrimento.

No caso de se adotar um valor para a altura útil (dest), após o cálculo da área das barras e estudado o arranjo das armaduras, é preciso verificar o valor da altura útil real (dreal) e sua relação com a altura útil estimada, de acordo com o que foi indicado no item 9.

Para que as alturas (h) das vigas sejam consideradas como definitivas é preciso considerar outros fatores, como padronização de alturas escolhidas entre projetista, arquiteto e construtor, e, se for o caso, considerar para as alturas das vigas números inteiros que pode facilitar a construção, lembrando que estas alturas precisam ser verificadas com relação a altura útil efetiva definida após a análise dos arranjos das várias camadas de barras dispostas na seção transversal.

Observam-se que as alturas das vigas são proporcionais às intensidades dos momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd) que, para serem absorvidos, precisam que as vigas apresentem valores de momento resistente de cálculo MRd proporcionais a intensidade de MSd, o que significa que as forças resultantes no concreto e nas barras da armadura precisam ter as intensidades aumentadas. As alturas úteis (d) e as áreas de armaduras aumentaram, sendo que a área de concreto comprimido também aumentou, pois as medidas das profundidades das linhas neutras aumentaram, embora tenha sido adotado como critério de projeto βx = βxlim.

Analisando as alturas das vigas dos exemplos, observa-se que, mantida a distância entre os centros dos apoios, a espessura da viga (bw), as resistências do concreto e das barras de aço, aumentando as intensidades das forças uniformemente distribuídas os momentos fletores aumentam e, por conseguinte os momentos resistentes precisam aumentar. Isto fica claro notando-se o aumento das alturas úteis e das áreas das barras das armaduras longitudinais.

As alturas efetivas das vigas adotadas em projetos precisam respeitar as indicações dos projetos arquitetônicos com relação às distâncias entre os pisos horizontais que, para os casos de edifícios residências ou comerciais, costumam medir em torno de 3m, alguns com 2,8m. Assim, considerando as alturas das faces superiores de caixilhos e portas que costumam ser de 2,15m (computando os batentes), e, considerando que as alturas das vigas são medidas desde a face inferior até a face superior da viga que coincide com a face superior das lajes (figura 9), as

E x e m p l o

g + q

kN/m

MSk

kNm

MSd

kNm

βx=βx,lim d

cm

h

cm

Ast, efe

cm2

n φ

1a 10 80 112 0,628 29 34 12,06 6 φ 16,0 2a 20 160 224 0,628 41 49 18,09 9 φ 16,0 3a 40 320 448 0,628 53 60 22,11 11 φ 16,04a 80 640 896 0,628 81 101 34,09 17 φ 16,0


27

alturas das vigas ficam limitadas a dimensões práticas que não podem ser maiores do que 85cm. 10.3 Exemplo 5 Para este exemplo considera-se que a altura (h) da viga não pode ser maior do que 85cm, para atender as indicações do projeto arquitetônico. É adotado concreto C25 e aço CA-50. O projeto da viga 5 (mesmos dados da viga 4) considera o vão efetivo (l) de 8m e uma força uniformemente distribuída g + q = 80kN/m. O momento fletor solicitante de cálculo é igual a 896kNm e pede-se calcular a área das barras da armadura longitudinal (Ast). Considera-se que as barras posicionadas junto a borda comprimida (Asc) não são necessárias para determinação do momento resistente de cálculo. É necessário avaliar a medida da altura útil (d), pois a altura (h) é conhecida (adotada igual a 85cm). A viga 4, igual a viga 5 a menos da imposição da altura, exigiu uma altura de 98cm. Portanto, para avaliar a altura útil (d) pode-se considerar que a viga 5 terá área de barras da armadura tracionada maior do que a obtida no exemplo 4. A altura útil pode ser avaliada considerando feixes de duas barras de 32,0mm (área de cada barra igual a 8,04cm2) e alojadas nas quinas dos estribos, resultando:

cm,,,,chd lonest 878203505285

2=−−−=

φ−φ−−=

ou seja, d pode ser adotado igual a 79cm. Na expressão anterior 3,20cm é a distância do centro geométrico do feixe de barras de 32,0mm até o plano tangente à primeira camada. Retomando as expressões 18 e 19, com Asc = zero, vêm:

ststcdxw σAfβdb0,68 ⋅=⋅⋅⋅⋅ (expressão 18 com Asc = 0)

[ ]xcd2

xwdS β0,41fdβb0,68M ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= (expressão 19 com Asc = 0) Analisando as expressões 18 e 19 percebe-se que, conhecendo a altura útil avaliada inicialmente e querendo determinar a área de armadura tracionada, é necessário conhecer a medida da profundidade da linha neutra (x), ou sua posição relativa βx, lembrando que os demais parâmetros envolvidos nas equações são conhecidos ou calculáveis. Na expressão 19, substituindo os valores conhecidos, tem-se:

[ ]2xx

2 β0,4-β 1,42,579020,68600.98 ⋅⋅⋅⋅⋅=

que, resolvendo a equação do segundo grau obtem-se as seguintes raízes:

970541 21 ,e, xx =β=β A primeira raiz (βx1) se constitui em um absurdo físico, pois: 5411 ,x =β é maior do que βx4,4a = 1


e a viga submetida a flexão simples pode ter deformações relativas aos domínios 2, 3 e 4 e o limite do domínio 4 é βx = 1, ou seja o limite entre os domínios 4 e 4a. A segunda raiz (βx2) pode ser aceita, pois tem justificativa física, ou seja: 19706280 4421 =β<=β<=β a,xxx ,, A linha neutra da viga no estado limite último ocupa uma posição relativa ao domínio 4 de deformações, sendo que a ruína é atingida por ruptura do concreto, com pequenas deformações nas barras das armaduras de tração (εst < εyd). Lembra-se que no domínio 4 a ruína convencional ocorre por ruptura do concreto, sem deformação plástica das barras, isto faz com que se tenha pequena probabilidade de ocorrer fissuração na face tracionada da viga. Mesmo entendendo que não é um dimensionamento adequado se procederá ao cálculo da área das barras da armadura de tração.

A tensão nas barras da armadura de tração pode ser determinada calculando-se a deformação nas barras, o que é feito usando a expressão 22, reescrita a seguir:

x

st

x

cc

β1ε

βε

−= (expressão 22)

substituindo, βx por 0,97 e εcc por 3,5‰ (domínio 4), resulta para a deformação

nas barras da armadura tracionada:

εst = 0,11‰

Considerando o diagrama tensão - deformação para as barras de aço CA-50 (figura 11) e usando a expressão seguinte e considerando como valor do módulo de elasticidade das barras 210GPa, resulta:

sts.εEσst=

2kN/cm2,3MPa,1.0000,11210.000σ

st==⋅= 123

(MPa)

fyd

ss

102,07 vs (‰)1,29

270,9

23,10

0,11

Figura 11 - Diagrama tensão – deformação para barras de aço CA-50

A área das barras da armadura tracionada é calculada com a expressão 18, substituindo os valores de bw, d, βx, fcd e σst:


29

3,2A4,15,297,0792068,0 st ⋅=⋅⋅⋅⋅ (expressão 18)

portanto, a área das barras é igual a:

Ast = 809cm2

O equilíbrio ocorre com uma taxa de armadura de tração impossível de ser construída para esta viga de 20cm de largura e 85cm de altura. A taxa de armadura de tração ultrapassa o limite indicado na expressão 48. Como alternativas pode-se aumentar a altura ou a largura ou ambas as medidas da seção transversal da viga, desde que possível com relação aos detalhes arquitetônicos. 10.4 Exemplo 6 Os dados são os mesmos do exemplo 5, porém adota-se largura da viga (bw) igual a 23cm, considerando que a altura, se alterada, interfere no projeto arquitetônico. O objetivo deste exemplo é determinar a área da barras da armadura tracionada, portanto, a rotina de dimensionamento a seguir é o mesmo do exemplo anterior. Retomando as expressões 18 e 19, com Asc = zero, vêm:

ststcdxw σAfβdb0,68 ⋅=⋅⋅⋅⋅ (expressão 18 com Asc = 0)

[ ]xcd2

xwdS β0,41fdβb0,68M ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= (expressão 19 com Asc = 0) Na expressão 19, substituindo-os valores conhecidos, tem-se:

[ ]2xx

2 β0,4-β 1,42,579230,68600.98 ⋅⋅⋅⋅⋅= (expressão 19))

que, resolvendo a equação do segundo grau obtem-se as seguintes raízes: 730771 21 ,e, xx =β=β A primeira raiz (βx1) se constitui em um absurdo físico, pois: βx1 = 1,77 que é maior do que βx4,4a = 1

pois, a viga submetida à flexão simples pode ter deformações relativas aos domínios 2, 3 e 4 e o limite do domínio 4 é βx = 1, ou seja o limite entre os domínios 4 e 4a. A segunda raiz (βx2) pode ser aceita, pois tem justificativa física, sendo que:

19306280 4421 =β<=β<=β a,xxx ,, A linha neutra da viga no estado limite último ocupa uma posição relativa ao domínio 4 de deformações, sendo que a ruína é atingida por ruptura do concreto, com pequenas deformações nas barras das armaduras de tração (εst < εyd), portanto, sem deformação plástica das barras, isto faz com que não ocorra fissuração nas faces tracionadas da viga.


Mesmo entendendo que não é um dimensionamento adequado se procederá ao cálculo da área das barras da armadura de tração.

A tensão nas barras da armadura de tração pode ser determinada calculando-se a deformação, o que é feito usando a expressão 22, reescrita a seguir:

x

st

x

cc

β1ε

βε

−= (expressão 22)

substituindo, βx por 0,73 e εcc por 3,5‰ (domínio 4), resulta para a deformação nas barras da armadura tracionada:

εst = 1,29‰

Considerando o diagrama tensão - deformação para as barras de aço CA-50 (figura 9) e usando a expressão seguinte e considerando como valor do módulo de elasticidade das barras 210GPa, resulta:

sts.εEσst=

227,09kN/cmMPa9,2701.0001,29210.000σ

st==⋅=

A área das barras da armadura tracionada é calculada com a expressão 18,

substituindo os valores de bw, d, βx, fcd e σst:

09,27A4,15,273,0792368,0 st ⋅=⋅⋅⋅⋅

portanto, a área das barras é igual a:

Ast = 59,46cm2

A taxa geométrica das barras da armadura de tração é calculada pelo quociente

entre esta e a área da seção transversal da viga, resultando:

2003]:6118 [NBR 4%3,04%8523

59,46ρs <=⋅

=

A taxa é aceitável, porém a quantidade de barras é grande, podendo-se adotar:

49 φ 12,5 com As,efe = 60,27 cm2;

30 φ 16,0 com As,efe = 60,30 cm2;

19 φ 20,0 com As,efe = 59,66 cm2;

16 φ 22,0 com As,efe = 60,80 cm2.

O alojamento das barras na seção transversal da viga com espessura de 23cm fica dificultado.

A solução de dimensionamento para esta viga do exemplo 6, embora seja um projeto seguro não é adequada do ponto de vista econômico e de elegância estrutural.

Como solução pode-se considerar barras de armadura posicionadas junto a borda comprimida com a finalidade de diminuir a tensão no concreto e a medida da profundidade da linha neutra aproveitando melhor a capacidade das barras da armadura de tração.


31

11. Dimensionamento de vigas submetidas à flexão simples com armadura dupla

Como visto na sessão anterior o aumento do momento fletor solicitante exige, para que a segurança da viga submetida a flexão simples fique garantida, que o momento resistente também aumente quando não há limitação na altura da viga. Ocorre que na maioria dos casos de projetos de edifícios há restrição na altura de vigas por causa das condições do projeto arquitetônico.

Quando a altura útil resulta em uma condição de deformações compatível com as de domínio 4, o concreto está com deformação limite de 3,5‰ e as deformações nas barras das armaduras ficam menores que a deformação de escoamento (εyd). É possível adotar barras posicionadas próximas da borda comprimida submetidas a uma força resultante de compressão que, junto com a resultante de compressão no concreto, alteram a capacidade resistente da seção transversal. Essa alteração se dá pelo aumento da resultante total de compressão, agora constituída por duas forças e pelo aumento da força nas barras da armadura de tração por conta do aumento das deformações e, conseqüentemente, pelo aumento da tensão. O braço de alavanca, que é neste caso a distância entre o centro geométrico das barras da armadura de tração e o ponto da seção que contém a resultante das forças resultantes de compressão no concreto e de compressão nas barras junto a face comprimida da viga, também aumenta. A posição da linha neutra é adotada igual ao limite entre os domínios 3 e 4 (βx = βx,lim) para que as barras da armadura de tração fiquem com deformações iguais as deformações de início de escoamento (εyd). Assim há melhor aproveitamento das capacidades resistentes dos materiais. A rotina de projeto quando é necessário usar armadura dupla é mostrada a seguir. 11.1 Equações de equilíbrio

Como procedimento de projeto se adotam barras posicionadas junto a borda comprimida. A posição da linha neutra é a limite entre os domínios 3 e 4, o que significa escrever βx = βx,lim = βx,34 que é igual a 0,628 quando o aço é da categoria CA-50.

A rotina que a seguir se expõe é para dimensionar uma viga de concreto armado com armadura dupla e usando as equações de equilíbrio deduzidas anteriormente.

Com a expressão 17 calcula-se a força resultante de compressão no concreto com βx = βx,lim:

cdlimx,wcc fβdb0,68R ⋅⋅⋅⋅= (expressão 17)

Considerando a expressão 19, pode se escrever:

'xccSd

scscsc d-d]β0,4-[1dRMσAR ⋅⋅⋅

=⋅=-

Lembrando que a expressão 5 representa o equilíbrio das forças resultantes nas

barras da armadura de tração, no concreto comprimido e nas barras da armadura de compressão, escreve-se:

scccst RRR += (expressão 5)

pode-se, assim, determinar a resultante da força de tração Rst.


As áreas das barras das armaduras tracionada (expressão 53) e comprimida (expressão 54) são calculadas conhecendo-se as tensões atuantes, assim:

st

stst σ

R=A [53]

sc

scsc σ

R=A [54]

11.2 Balanço do número de equações e de incógnitas:

O número de equações é igual a 2 que fornecem os valores de Rsc e Rst, e o número de incógnitas é 3, ou seja, é necessário determinar Rsc, Rst e d.

Como o número de equações é menor que o número de incógnitas é preciso adotar uma relação entre as incógnitas ou adotar uma delas e calcular as outras duas.

Assim, é possível obter a solução considerando:

Solução I: Adotar uma relação entre Ast e Asc, por exemplo. Asc = 0,5 Ast, o que significa considerar a proporcionalidade entre as forças resultantes nas armaduras, isto é Rsc = 0,5 Rst.

Solução II: Adotar a altura útil (d) e calcular Ast e Asc. 11.3 Exemplo 7

Os dados de projeto são os mesmos do exemplo 6, para o qual se notou a necessidade de grande área de barras de armadura de tração para garantir o equilíbrio, com profundidade da linha neutra tal que as deformações no concreto e nas barras definem uma situação de domínio 4. Porém, neste exemplo 7, se pretende que a linha neutra fique em posição limite entre os domínios 3 e 4.

Lembra-se que o momento limite é aquele que se ultrapassado é necessária a adoção de armadura dupla.

Retomando a expressão 40 com a qual de calcula o momento limite (Md,lim) quando se utiliza aço categoria CA-50, vem:

cd2

wlimRd, fdb0,32M ⋅⋅⋅= (expressão 40)

Substituindo os dados do projeto na expressão 40 tem-se:

1,42,57920,32M 2

limRd, ⋅⋅⋅= 3

portanto, o módulo do momento fletor resistente limite resulta:

kNm,8kNcm,.M limRd, 25205702482 ==

que é o momento fletor que a viga consegue absorver com armadura simples. Recordando o exemplo 6 lembra-se que:

MSd = 896kNm > MRd,lim = 820,25kNm


33

e resultou, como era esperado, βx > βx,lim e a área de armadura tracionada foi muito grande e com pequena deformação. A solução para este exemplo pode ser a Solução II, estudada neste item, pois a altura útil (d) é definida, por exemplo, por uma decisão de projeto arquitetônico.

Os módulos das forças resultantes são calculados a seguir. Com a expressão 17 determina-se a força resultante no concreto comprimido:

cdxwcc fβdb0,68R ⋅⋅⋅⋅= (expressão 17)

Substituindo os valores dos parâmetros, vem:

1,42,50,62897320,68Rcc ⋅⋅⋅⋅=

resultando:

kN59,385.1Rcc =

Retomando a expressão 19:

'xccSd

scscsc d-d]β0,4-[1dRMσAR ⋅⋅⋅

=⋅=- (expressão 19)

Substituindo os valores na expressão 19, com Rsc = Asc . σ sc vem:

4-790,628]0,4-[1791.385,59-89.600Rsc⋅⋅⋅

=

efetuando as operações algébricas, resulta o valor do módulo da força resultante

nas barras da armadura de compressão:

kN8,011Rsc =

Considerando a expressão 5 determina-se o módulo da força resultante nas barras da armadura de tração:

kN39,487.18,10159,385.1RRR scccst =+=+=

Para os cálculos das áreas das barras das armaduras é preciso determinar as tensões às quais as barras estarão submetidas considerando o estado limite último:

- nas barras da armadura tracionada: 2543 cm/kN,fydst ==σ

pois, ao se adotar βx = βx,lim = βx3,4 = 0,628 quando o aço é categoria CA-50, a deformação nas barras da armadura tracionada é εyd = 2,07‰.

- nas barras da armadura comprimida:

considerando o diagrama de deformações na seção transversal (figura 12) submetida ao momento fletor de cálculo, determina-se εsc, com a equação:


4,0-79,00,628ε

79,00,6283,5 sc

⋅=

⋅

Portanto: m/mm,sc 223=ε

E, portanto a tensão nas barras da amadura comprimida (figura 13) pode ser adotada:

2yscsc 43,5kN/cm=435MPa=f=σ

(MPa)

fyd

ss

102,07 vs (‰)3,5

3,210

3,54

79

0,628 x 79

Figura 12 - Diagrama de deformações Figura 13 - Diagrama σs - εs (CA-50)

As áreas das barras das armaduras são calculadas a seguir:

- expressão 54, área das barras da armadura de compressão:

2sc 2,4cm

43,5101,8A ==

a taxa geométrica das barras resulta:

0,12%5832

2,4ρ's =

⋅=

- expressão 47, área das barras da armadura de tração:

2st ,2cm34

43,539,487.1A ==

a taxa geométrica das barras é calculada por:

1,75%8532

34,2ρs =⋅

=


35

A ABNT NBR 6118:2003 indica que a soma das taxas das barras das armaduras

tracionada e comprimida precisa ficar menor do que 4%, o que ocorre neste caso da viga 7, portanto este quesito fica verificado.

A título de análise comparativa a respeito do consumo de armadura registram-se a seguir as taxas totais das armaduras para as duas soluções das vigas:

- Viga 6 sem consideração de armadura comprimida (Asc): ρs = 3,04%;

- Viga 7 com consideração de armadura comprimida (Asc): %87,1ρρ 'ss =+ .

Percebe-se, portanto, que em termos econômicos é viável adotar armadura dupla

quando Md > Md,lim e, em termos técnicos também, pois há melhor aproveitamento das resistências dos materiais. 12. Dimensionamento de vigas de seção retangular mediante o uso de tabelas Observam-se nos capítulos anteriores que os procedimentos de dimensionamento de seções transversais de elementos estruturais lineares construídos em concreto armado, considerando as hipóteses do estado limite último, são repetitivos. As verificações se repetem sempre, ou sejam, faz-se a verificação da resistência da região de concreto comprimido e se calcula(m) a(s) área(s) das barras da(s) armadura(s). Um problema típico a resolver é quando se conhecem todos os dados da seção transversal com exceção da altura útil (d) e, por conseguinte, a altura (h) e a área das barras da armadura longitudinal de tração (Ast), pois se não houver imposição para a medida da altura da viga, opta-se por armadura simples. Outro problema é quando se conhece a altura (h) da seção transversal, definida no projeto estrutural por conta de uma decisão arquitetônica, a solução, se a altura for insuficiente, para verificar-se a seção com armadura simples é adotar armadura dupla, alterando o diagrama de deformações. Para facilitar a rotina de projeto é conveniente organizar as expressões de verificação da segurança já deduzidas preparando-as para permitirem a montagem de tabelas que facilitem o cálculo que é repetitivo. Tendo em mente as expressões de equilíbrio, usam-se as tabelas resolvendo os problemas de dimensionamento de modo prático e expedito. Para facilitar o entendimento a organização das tabelas será separada em casos de flexão simples com armadura simples e com armadura dupla. A rotina de projeto também pode ser organizada programando as expressões já deduzidas ou montando planilhas eletrônicas, cuidando de atender todos os passos vistos nas deduções e nas resoluções dos exemplos. 12.1 Armadura Simples

Lembra-se que para os problemas de vigas submetidas à flexão simples adota-se solução de dimensionamento com armadura simples quando o momento fletor solicitante de cálculo for menor ou igual ao momento resistente de cálculo limite, isto é, nas situações de deformações que a posição da linha neutra fique menor que a posição limite entre os domínios de deformações 3 e 4, ou seja:

MSd ≤ MRd,lim

Retomando a expressão 19, com Asc = zero, vem:

]β0,4[1fβdb0,68M xcdx2

wSd ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= (expressão 19)


que, pode ser escrita do seguinte modo:

cSd

2w

2xxcd

kM

db]β0,4[βf0,68

1=

⋅=

⋅−⋅⋅ [55]

Em problemas do primeiro tipo que se conhece a espessura (bw), a altura útil (d) e

o módulo do momento fletor solicitante MSd, é possível montar uma tabela de valores de kc (Tabela A-1, anexa) em função da resistência de cálculo à compressão do concreto (fcd) e da posição relativa da linha neutra (βx).

A expressão 19 e, por conseguinte, a expressão 55, por levar em conta as dimensões da viga e a resistência à compressão do concreto, permite fazer a verificação de segurança da seção transversal com relação à ruptura do concreto.

É preciso verificar também a resistência da seção transversal com relação a resistência de escoamento das barras e da armadura de tração. Ao se usarem as equações de equilíbrio o cálculo da área da amadura longitudinal de tração foi feito com a expressão 19 fazendo-se Asc igual a zero.

Para determinar a área das barras da armadura usando tabelas é preciso deduzir outra expressão (56), observando na figura 5 que se pode montar equação de equilíbrio do momento fletor solicitante de cálculo com os momentos das forças resultantes internas, considerando para pólo de cálculo dos momentos o ponto de atuação da força resultante de compressão no concreto (Rcc).

Assim procedendo pode-se escrever:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅=

2x0,8dσAM ststSd - [56]

ou ainda:

]β0,4-[1dσAM xststSd ⋅⋅⋅⋅= [57]

A expressão 57 pode ser escrita como:

sSd

st

xst

kM

dA]β0,4[1σ

1=

⋅=

⋅−⋅ [58]

É possível organizar uma tabela de ks (Tabela A-1, anexa) em função de σst e de

βx, e conhecendo-se d e MSd, determina-se Ast. A tabela A-1 foi montada considerando as resistências à compressão de cálculo

do concreto para os concretos indicados na ABNT NBR 8953:1992 e para os aços nacionais especificados na ABNT NBR 7480:2007, sendo kc e ks com os segundos termos das expressões 55 (kc) e 58 (ks). Essa tabela considera os valores limites de βx entre os domínios 2 e 3 e 3 e 4, indicados no item 3.5.1, os limites de βx por conta do controle das rotações das seções de apoio de vigas contínuas ou de seções de ligação entre elementos estruturais, conforme estudado no item 5. Os valores de βx indicados na tabela contemplam os casos de posição da linha neutra próxima da face comprimida da seção transversal até o limite entre os domínios 3 e 4 para o aço categoria CA-25.

Os valores de ks foram calculados com a expressão 58 em função de βx e da tensão (σst) para cada aço normalizado, lembrando-se que esta tensão depende da deformação nas barras da armadura que, por sua vez, depende do posição da linha neutra, controladas pela expressão 20.


37

Nos problemas de dimensionamento quando a altura útil (d) puder ser determinada, o projetista pode escolher βx = βx,lim, determinando na tabela A-1 o correspondente valor de kc e função da resistência característica do concreto, com kc, conhecendo bw e MSd determina-se o valor de d. Na linha de βx = βx,lim determina-se o valor de ks e, portanto, determina-se a área das barras da armadura longitudinal de tração.

Nos problemas de dimensionamento quando a altura útil (d) é conhecida, por que houve definição da altura (h) da viga por condição de compatibilidade com projeto arquitetônico, calcula-se kc com a expressão da tabela A-1 e com kc, na mesma linha da tabela, determina-se o valor ks e, portanto, a área das barras da armadura.

Se por acaso resultar kc > kc,lim é conveniente considerar solução com armadura dupla.

Sugere-se ao leitor que refaça os exemplos da sessão 10, agora utilizando as tabelas e compare os resultados pelos dois processos. 12.2 Armadura Dupla

Como já visto quando MSd > MRd,lim é possível adotar armadura dupla como solução para o equilíbrio da seção transversal com economia de armadura, ou adotar deformações no domínio 4, exigindo alta taxa de armadura tracionada para manter o equilíbrio.

Para organizar tabelas que possibilitem o dimensionamento de seções submetidas à flexão simples com armadura dupla, faz-se o artifício de considerar uma seção transversal em concreto armado submetida a um momento fletor de cálculo igual ao momento de cálculo resistente limite - MRd,lim (seção 1) e, uma seção fictícia constituída por barras de aço posicionadas junto as faces tracionada e comprimida (seção 2), como mostra a figura 14.

=

st

σ = 0,85f

x

h d

d`

s1

y-0,8x

+

s2

A

M M M= +

A A A

cd cd scA sc

σ

Sd S1d S2d

st

Figura 14 - Dimensionamento de seção com armadura dupla

Análise da seção 1:

Considera-se que a seção 1 contribui com o equilíbrio com valor de momento igual a:

limRd,1dS MM = [59]

e, portanto, com a posição relativa da linha neutra igual a:

x,34limx,x βββ ==


O valor do momento MS1d é dado por:

limc,

2w

limRd,S1d kdbMM ⋅

== [60]

Considerando kc = kc,lim determina-se na tabela A-1 o valor de ks que possibilita o

cálculo da área da armadura Ast1 pela expressão 61.

dM

kA limRd,lims,st1 ⋅= [61]

Análise da seção 2:

O valor do momento que precisa ser absorvido pela seção 2 fictícia é dado por:

S1dSdS2d MMM −= [62]

Analisando a seção 2 da figura 14 pode-se escrever a equação de equilíbrio 64,

considerando as forças resultantes nas barras das armaduras de compressão e tração, obtendo-se:

] d'-[dσA]d'-[dσAM stst2scscS2d ⋅⋅=⋅⋅= [63]

Lembrando que:

βx = βx,lim [64]

então, a tensão nas barras da armadura de tração é dada por:

ydst f=σ [65]

e, a tensão na armadura de compressão é calculada em função do valor da deformação, com a expressão 66.

)f(ε=σ scsc [66]

A expressão 67 representa a equação de equilíbrio da seção transversal fictícia adotando para pólo de cálculo dos momentos o ponto de ação da força resultante na armadura de compressão (figura 14).

]d'-[dσAM stst2S2d ⋅⋅= [67] O cálculo da área da armadura Ast2 de tração para equilibrar o momento fletor solicitante atuante na seção fictícia é feito usando a expressão 68, considerando a tensão na armadura (σst) igual a resistência de cálculo de escoamento da armadura (fyd):

]d'[dMk

]d'[dM

f1A S2d

s2S2d

ydst2 −

⋅=−

⋅= [68]


39

É possível montar um quadro na tabela A-2 para valores de ks2 em função da categoria do aço.

Com a expressão 69 se calcula a área das barras da armadura de tração.

st2st1st A+A=A [69]

Para o cálculo de Asc usa-se a primeira equação (63) de equilíbrio da seção 2 fictícia que é obtida considerando para pólo de cálculo dos momentos o ponto de ação da força resultante da armadura de tração, resultando:

]d'-[dσAM scscS2d ⋅⋅= [70]

A área das barras da armadura de compressão pode ser calculada por:

]d'[dMk

]d'[dM

σ1A S2d

scS2d

scsc −

⋅=−

⋅= [71]

Como a tensão nas barras da armadura de compressão σsc depende da

deformação destas barras εsc que, por sua vez, depende da deformação na borda comprimida do concreto, neste caso de limite entre domínios 3 e 4, εcc = εcu = 3,5‰ e depende também de se ter adotado βx,lim, é possível organizar um quadro na tabela A-2 para valores ksc em função de d’/h e da categoria das barras de aço.

Lembra-se que a ABNT NBR 6118:2003 indica que a taxa total das barras das armaduras de tração e compressão (ρs + ρ’s) não pode ser maior do que 4%.

Sugere-se ao leitor fazer o exemplo do item 11.3 usando as tabelas A-1 e A-2 e analisar os resultados obtidos. 13. Dimensionamento de vigas de seção transversal em forma de T mediante o uso de tabelas tipo k 13.1 Considerações Iniciais As estruturas dos pavimentos dos edifícios são compostas por vigas, que recebem as ações das lajes de piso. Ao se analisarem as ligações entre lajes e vigas (figura 15) percebe-se que uma parte da laje colabora na capacidade resistente da viga desde que as faces comprimidas das lajes e viga estejam no mesmo plano horizontal. Ensaios experimentais permitem fazer essa afirmação. Portanto, uma viga de seção T é constituída por duas partes: a primeira é a alma e a segunda é a mesa, que correspondente às partes das lajes que se ligam à viga. Quando ocupar uma posição de extremidade na planta do pavimento só existe laje do lado interno, permitindo que a viga seja tratada com T, porém com mesa de um só lado. A decisão de considerar a viga como de seção T fica a critério do projetista. Fica evidente que a viga de seção tem maior inércia do que a viga de seção retangular quando de considera só a alma trabalhando. A viga T apresenta menor área de barras tracionadas quando comparada com a viga retangular.

Todos as seções transversais de vigas podem ser tratadas como viga T, desde que as faces comprimidas de lajes e vigas coincidam. A ocorrência de vigas retangulares isoladas é usual nas construções pré-fabricadas, quando os tipos de ligações podem não permitir a consideração de viga T.

Quando as vigas são solicitadas por esforços solicitantes de flexão as lajes adjacentes a elas contribuem na rigidez do sistema viga-laje, desde que estas estejam


localizadas na zona comprimida de flexão. Esse ganho de rigidez da viga considerando as lajes como parte de sua seção transversal ocorre em virtude do aumento na área de concreto resistente, pois esta, agora, é composta pelo retângulo da própria viga acima da linha neutra com as contribuições das lajes. A figura 15 apresenta parte de uma viga contínua deformada por flexão com solicitação de momento fletor e força cortante, inclusive mostrando a fissuração por tensões normais, percebendo-se que nas regiões dos apoios da viga (pilares) as mesas estão submetidas a forças resultantes de tração e na região de meio de vão a mesa está submetida a força resultante de compressão. Como a região superior da viga está submetida a tensões de compressão e as regiões das lajes que ligam a viga também estão comprimidas justifica as suas considerações na capacidade resistente da viga.

a) b) c)

Figura 15 - Análise das seções transversais de viga contínua [MacGregor, 1992]

Na seção transversal A-A da figura 15c a região comprida é em forma de T, pois a linha neutra está contida em plano horizontal que dista (x) da borda comprimida. A seção A-A é uma seção de meio de vão, isto é de momento fletor positivo, cuja intensidade necessita de linha neutra mais profunda para ocorrer o equilíbrio. A respeito dessa situação de linha neutra passando pela alma diz-se que a seção é verdadeira. Na seção transversal A-A da figura 15a a região comprimida fica só na mesa e a linha neutra está contida em um plano que dista (x) da borda comprimida. Quando isso acontece se diz que a seção é T falsa, pois há contribuição das lajes na capacidade resistente da viga, porém parte da laje está tracionada. A seção B-B, junto ao pilar, apresenta a mesa tracionada (figura 15b) e, portanto, não há contribuição das lajes na região comprimida da viga. O dimensionamento é feito considerando viga de seção retangular. Por uma decisão de projeto o engenheiro pode considerar a viga como sendo de seção retangular, quando isto ocorre o dimensionamento fica a favor da segurança, pois, a presença da(s) laje(s) é inerente ao projeto e, quando a estrutura entrar em serviço, há contribuição dos elementos de placa que se apóiam na viga. As lajes nervuradas moldadas no local ou prémoldadas são dimensionadas com os critérios de viga T, pois entre as nervuras é colocado material inerte para servir de fôrma e permitir que o teto seja plano. Em algumas lajes nervuradas as nervuras são aparentes.


41

Normalmente, em estruturas convencionais compostas por vigas contínuas, os momentos fletores de maior módulo são os atuantes nas seções que coincidem com os apoios, e, geralmente tais vigas não são invertidas, então, para o dimensionamento à momento fletor não é possível considerar a viga como de seção T. A figura 16 ilustra a variação da altura da linha neutra em seções tipo T e retangular. A linha neutra pode, no caso de viga T, apresentar duas alturas, sendo: a primeira quando a linha neutra fica na alma da viga e a segunda quando ela fica na mesa da viga.

Zona tracionada

Linha neutra

Zona comprimida

Zona tracionada

Linha neutra

Zona comprimida

Zona tracionada

Linha neutra

Zona comprimida

Seção transversal de viga TLinha neutra na alma Linha neutra na mesa

Seção transversal de viga T Seção transversal de vigaretangular

a) b) c)

Figura 16 - Altura da linha neutra para seção T e retangular [Almeida Filho & El Debs (2003)] Pode-se ver na figura 16 que a seção transversal, de acordo com as hipóteses adotadas, permanece plana após a deformação tanto para o caso de viga T como de viga retangular.

A ABNT NBR 6118:2003 indica critérios para a determinação da largura colaborante de vigas de seção calculada em função das dimensões das lajes que se apóiam na viga em análise. Esses critérios são descritos a seguir.

A largura colaborante bf é igual a largura da alma da viga (bw) acrescida de no máximo 10% da distância (a) entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante.

A distância "a" pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo considerado, como se apresenta a seguir:

- viga simplesmente apoiada a = 1,00 l

- tramo com momento em uma só extremidade a = 0,75 l

- tramo com momentos nas duas extremidades a = 0,60 l

- tramo em balanço a = 2,00 l

Alternativamente o cômputo da distância (a) pode ser feito ou verificado mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura.

No caso de vigas contínuas, permite-se calculá-las com uma largura colaborante única para todas as seções, inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que ela seja calculada a partir do trecho de momentos positivo em que resulte mínima.

Precisam ser respeitados os limites b1 e b3 conforme indicado na figura 17.


Figura 17 - Largura de mesa colaborante [ABNT NBR 6118:2003]

Quando a laje apresentar aberturas ou interrupções na região da mesa colaborante, a variação da largura efetiva (bef) da mesa deve respeitar o máximo bf e limitações impostas pelas aberturas conforme mostra a figura 18.

Figura 18 - Largura efetiva com abertura [ABNT NBR 6118:2003]

A figura 19 mostra as propriedades geométricas de uma seção T, que para efeito de dimensionamento se considera apenas a largura da flange (bf), também chamada de largura colaborante, a espessura da laje (hf), a altura útil (d) e a altura (h). A espessura da flange (hf) é a própria espessura da(s) laje(s) maciça(s) apoiada(s) na viga, determinadas com critérios próprios de resistência e de utilização, ou sejam deformações (deslocamentos) e fissuração

wA sb

bf

hf

h d

Alma

Mesa

Figura 19 - Propriedades geométricas de uma viga T [Almeida Filho & El Debs (2003)]


43

13.2 Expressões para o dimensionamento Analisando a figura 16 a linha neutra pode ficar na mesa (figura 16b) ou na alma (figura 16a) dependendo da intensidade do momento fletor e das dimensões da viga de seção T. A distribuição de tensões de compressão no concreto tem a forma parábola - retângulo, da figura 5, com altura (x) do diagrama, que é a medida da profundidade da linha neutra. Quando, por facilidade, se adota o diagrama retangular de tensões, para que a resultante de compressão fique com o mesmo valor, a altura deste diagrama é 80% da altura do diagrama parábola-retângulo, ou seja, x,y ⋅= 80 . Nos casos de vigas de seção T em que a espessura da laje (hf) está comprimida, ou seja, sem participação da parte da alma abaixo da face inferior da laje, a viga de seção T é dimensionada como viga de seção retangular (viga T falso) com bw = bf, pois: fhx,y ≤⋅= 80 [72] Relembrando a expressão 14:

dxβx = (expressão 14)

E, substituindo a expressão 72 em 14, vem:

d1

0,8yβx ⋅= [73]

Substituindo na expressão 73, y = hf que é o limite para considerar a viga T como viga de seção retangular (T falso), resulta:

xff

x βd1

0,8hβ =⋅= [74]

A medida da profundidade da linha neutra é maior que y = hf, porém a altura do diagrama parábola-retângulo é no máximo igual a hf, portanto essa medida resulta x = 1,25 hf, pois 1,25 = 1/0,8. Nos casos em que a linha neutra está contida na alma da viga T o dimensionamento é feito considerando a viga com seção T (seção T verdadeiro), adaptando as expressões já estudadas para uso das tabelas tipo k. A primeira verificação a fazer é com relação à posição da linha neutra para saber se trata-se de viga T verdadeiro ou falso, pois as rotinas de dimensionamento são diferentes. Essa verificação é feita calculando a posição relativa da linha neutra (βx) que é comparada com a expressão da posição relativa da espessura da mesa (βxf). A verificação para indicar se a seção T precisa ser dimensionada como T falso ou T verdadeiro é feita calculando a posição relativa da linha neutra considerando que só a mesa está comprimida, isto é caso de T falso. 13.2.1 Viga com seção T considerada como seção retangular (T falso) Considerando a figura 20 que representa uma seção de viga T, em que a linha neutra está contida na mesa, ou seja, 0 ≤ y ≤ hf, ou βx ≤ βxf, e seguindo as hipóteses de cálculo já estudadas para a viga de seção retangular pode-se reescrever a expressão


55, porém chamando *cc kk = , que como visto é um valor particular de kc necessário

para avaliar se a seção T será tratada como seção retangular (seção T falso) ou seção T (seção T verdadeiro).

Ast

bw

L. N.

bf

hf

h

Ast

Rst

d

y Rcc

scd

Figura 20 - Viga de seção T falsa Portanto, o valor de *

ck , calculado com bw = bf, é dado pela expressão 75.

Sd

2f*

c Mdbk ⋅

= [75]

Consultando a tabela A-2, com a resistência característica à compressão do concreto (fck) escolhido previamente, determina-se o valor de βx. Comparando xβ com xfβ calculado pela expressão 76,

d1

0,8hβ f

fx, ⋅= [76]

se fx,x ββ ≤ o comportamento da seção T é semelhante, para efeito da verificação

da segurança, ao de uma viga de seção retangular com largura bw = bf. Com o valor de *

ck , e usando a tabela A-2, encontra-se o valor do coeficiente ks com o qual se determina a área da seção transversal das barras da armadura, considerando a expressão 58.

dMkA Sd

sst ⋅= (expressão 58)

com MSd em kNcm e bw = bf e d em cm.

13.2.2 – Seção T (Seção T verdadeiro) No caso da seção transversal de viga apresentar a posição relativa da linha neutra tal que xfx ββ > , ela é considerada para efeito de dimensionamento à momento fletor como seção T, pois há contribuição de partes das lajes na capacidade resistente das tensões de compressão. Como artifício, para uso das tabelas tipo k, consideram-se duas seções compostas por retângulos, conforme figura 21.


45

A primeira seção é constituída por um banzo comprimido de altura igual a espessura das lajes, sem considerar a contribuição da alma (alma fictícia), de largura bw0 = bf – bw, onde, na face inferior são alojadas parte das barras da armadura de tração, resistindo ao momento fletor solicitante de cálculo (MSd0), com área das barras da armadura igual a As0; a segunda seção é considerada como seção retangular de espessura bw, resistindo ao momento fletor solicitante de cálculo (MSd1), com área das barras da armadura igual a Ast1. A soma dos momentos fletores de cálculo parciais resulta o módulo do momento fletor de cálculo que solicita a viga. A altura (h) da viga é a mesma para as duas seções transversais 0 e 1. A área das barras da armadura de tração é Ast = Ast0 + Ast1.

h

MSd

Ast

bw

L. N.

d

bf

hf

MSd0

Ast0

MSd1

Ast1

Rst

bwbf -

y Rcc

scd

Figura 21 - Viga de seção T – Procedimento para o dimensionamento A rotina de projeto de viga de concreto considerada como de seção T é a seguir exposta. Seção 0 – que contém as lajes (mesa) A seção 0 é uma seção de alma fictícia de largura (bf – bw) e de banzos paralelos sendo o comprimido com espessura igual a altura da laje (hf) e tracionado representado pela área das barras da armadura necessária para equilibrar o momento fletor solicitante de cálculo MSd0. Assim, o primeiro passo é determinar: wf0w bbb −= Considerando que para a seção 0 y = hf calcula-se a posição relativa da linha neutra para esta seção, usando a expressão 76, ou seja:

0,8dhββ f

fx,x == (expressão 76)

Com o valor de βx,f e consultando a tabela A-2 determinam-se os valores de kcf e

ksf. O momento fletor de cálculo (MSd0) que a seção 0 é capaz de suportar é

calculado, considerando as dimensões da viga e o valor de kcf, usando a expressão 55, resultando a expressão 77.


cf

2wf

Sd0 kd)b(bM ⋅−

= [77]

A área da armadura para a seção 0 é calculada, considerando a expressão 58,

resultando a expressão 78

dM.kA Sd0

sfst0 = [78]

Seção 1 – Seção retangular

A seção 1 é uma seção retangular de largura bw e de altura h responsável por

absorver o momento fletor de cálculo MSd1, calculado por: 01 SdSdSd MMM −= [79]

Com a expressão 48 calcula-se o valor de kc para a seção retangular, seção 1.

Sd1

2w

c Mdbk ⋅

= (expressão 48)

Considerando a tabela A-2, com o valor de kc determina-se o valor de βx que se

for menor do que βx1,lim ( lim1c,x ββ ≤ ) tem-se caso de seção retangular submetida a flexão simples com armadura simples.

E a área das barras da armadura para a seção é calculada pela expressão 58 adaptada, ou seja.

dM.kA Sd1

sst1 = (expressão 58)

A área das barras da armadura longitudinal de tração para a viga de seção é

calculada por:

10 ststst AAA += [80]

Nos casos de projetos de vigas de seção T em que a posição relativa da linha neutra (βx) resultar maior que o valor limite (βx,lim), tem-se uma situação em que a seção retangular (seção 1) está submetida à flexão simples com armadura dupla. Para o dimensionamento, segue-se a rotina estudada para seção retangular submetida à flexão simples com armadura dupla, conforme item 12.2 deste texto. 13.3 Exemplos de projetos de viga T O objetivo destes exemplos é aplicar a rotina para cálculo das áreas das barras da armadura para a viga considerada de seção T, de espessura (bw) de 25cm, altura igual a 80cm, com concreto C25 e aço CA-50, submetida a momento fletor solicitante característico (MSk) indicado em cada caso. A figura 22 apresenta os dados geométricos da viga T. A altura útil (d), que é a distância do centro geométrico das barras da armadura longitudinal de tração, precisa ser avaliada considerando: classe de agressividade ambiental II, de agressividade moderada - região urbana, para, de acordo com a ABNT


47

NBR 6118:2003, determinarem-se os cobrimentos das armaduras igual a 3cm, neste exemplo sem redução de Δc, os espaçamentos vertical e horizontal entre as barras para que ocorra passagem de concreto durante o lançamento e conveniente adensamento.

As distâncias entre as barras medidas na horizontal precisa ser o maior valor entre 2cm, o diâmetro da barra longitudinal e 1,2 vez o diâmetro da pedra britada usada no concreto, normalmente pedra britada número 1 com 1,9cm de diâmetro aparente. Para o espaçamento vertical são consideradas as duas primeiras indicações e a última é considerada 0,5 vez o diâmetro aparente da pedra britada. Essas indicações são da ABNT NBR 6118:2003.

P02

VSd

MSd

MSk

VT (bw x h)

P01

g+qL=8m

VSd

MSd

bf

C25; CA-50

bw

MSd

c

c

c

d h

Figura 22 - Viga de seção T – Exemplos de projetos Assim, esperando que a área das barras da armadura a ser calculada possa ser alojada em uma única camada, posicionada junto a face inferior da viga, a distância do centro geométrico das barras até a face inferior da viga, conforme expressão:

2lon

estc'd φ+φ+=

resultando:

2615003 ,,,'d ++=

cm,'d 34= e, portanto, pode-se considerar d’ igual a 5cm e d igual a 75cm.


13.3.1 Exemplo 1 – momento fletor característico MSk = 300kNm Para o dimensionamento da viga, isto é cálculo da área das barras da armadura de tração, seguem os passos indicados na rotina estudada no item 13.2.

É necessário calcular o valor de *ck para determinar βx e com este determinar a

posição da linha neutra e, assim, verificar se a alma da viga está comprimida, caso de viga T. Estando a alma tracionada, abaixo da face inferior da laje, tem-se o caso de viga de seção retangular com largura igual a largura da flange (bf). Assim:

10,730.0001,4

7580M

dbk2

Sd

2f*

c =⋅⋅

=⋅

= (expressão 75)

Na tabela A-1 determina-se a posição relativa da linha neutra para concreto C25 e

*ck = 10,7, resultando:

610,k para 0,08β *

cx == Com a expressão 76 determina-se βxf, resultando:

170,750,8

10β fx, =⋅

=

Como, 0,17 0,08 fx,x =β<=β a viga é dimensionada considerando-a como viga de seção retangular com largura bw = bf, isto é, a seção T tem comportamento de T falso, para efeito de cálculo da área das barras da armadura de tração. O cálculo da área das barras da armadura longitudinal de tração é feito com a expressão a 58, com ks determinado na tabela A-1, para *

ck igual a 10,7, C25 e CA-50, resultando:

0,024k10,7kk s50CA e C25*

cc =⎯⎯⎯⎯ →⎯== − E, portanto, a área das barras da armadura é:

2st 13,4cm

7530.0001,40,024A =⋅

⋅= (expressão 58) Considerando que a área de uma barra de diâmetro 16,0mm é igual a 2,01cm2 (Tabela A-3, anexa) a viga precisa de 7 barras de 16,0, com área efetiva (Ast,efe) de 14,07cm2. A ABNT NBR 6118:2003 indica que os elementos estruturais precisam ter área de armadura efetiva maior que a área mínima (Tabela 1) dada por:

2calcst,

2mínst, 13,4cmA3cm8025

1000,15A =<=⋅⋅=


49

Na tabela 1 deste texto determina-se que a taxa mecânica mínima de armadura (ωmin) é igual a 0,024 que precisa ser comparada com a taxa mecânica de armadura calculada por:

cd

yd

c

ts

ff

AAω ⋅=

A taxa mecânica de armadura é, portanto:

min,sefe,s ,

1,42,5

1,1550

802514,07ω ω>=⋅

⋅= 170

As duas verificações de taxas mínimas de armaduras a geométrica (ρs) e a mecânica (ωs) estão satisfeitas, pois as calculadas são maiores que as taxas mínimas indicadas pela ABNT NBR 6118:2003. 13.3.2 Exemplo 2 – momento fletor característico MSk = 690kNm O valor do momento fletor de cálculo é:

kNm,MSd 96669041 =⋅=

O cálculo do valor *ck para se verificar se a seção pode ser analisada como T

falso ou T verdadeira é feito pela expressão 75 considerando bw = bf, resultando:

749

,6.600

7580k2

*c =

⋅=

Com esse valor, na tabela A-1, considerando C25, determina-se:

0,20βx =

O valor de βx,f = 0,17 já foi determinado no exemplo 1, sendo que βx = 0,20 é, portanto, maior que esse valor da posição relativa da linha neutra. E, assim, a seção transversal precisa ser dimensionada com os critérios de T verdadeiro.

O cálculo da área da seção transversal das barras da armadura longitudinal de tração é feita com a rotina do item 13.2.2.

Seção 0 – que contém as lajes (mesa) O primeiro passo é determinar o valor do momento fletor de cálculo MSdo que a seção 0 é capaz de absorver. A largura da alma da viga de seção retangular fictícia é dada por:

55cm2580bb wf =−=−

A posição relativa da linha neutra para a seção 0 é dada por:

0,17750,8

10d0,8

hββ10cmhy ffx,xf =

⋅=

⋅==→==

Na tabela A-1 para concreto C25 e aço CA-50 determinam-se os valores de kcf e ksf com os quais se calculam o momento fletor de cálculo absorvido pela seção 0 e a respectiva área das barras da armadura, resultando:


0,025k,k sfdointerpolan

cf =⎯⎯⎯⎯ →⎯= 25

,95kN.m5kN.cm.55,27525)(80

kd)b(bM

2

cf

2

wfSd0 944959 ==⋅−=⋅−=

2Sd0sfst0 19,8cm

7559.4950,025

dM.kA =⋅==

Seção 1 – Seção da nervura O momento fletor de cálculo (MSd1) que a seção retangular precisa absorver é dado por:

m37.105kN.c.4955.6009MSd1 =−= 96 A rotina para determinação da área de armadura para a seção 1, como não poderia ser diferente, é a mesma que a estudada para viga de seção retangular de largura bw e altura h. Calcula-se, portanto, o valor de kc relativo ao módulo do momento fletor Md1, e com este coeficiente, na tabela A-1, determinam-se os coeficientes ks e βx, para cálculo da área das barras da armadura e verificação da posição da linha neutra, resultando:

0,24β0,025k,337.105

7525M

dbk xs

2

Sd1

2w

c =→=→=⋅

=⋅

= 8

Como o valor de βx = 0,26 é menor do que o valor de βx,lim = 0,628, por se tratar

de viga biapoiada, tem-se situação de flexão simples com armadura simples. A área de armadura As1, resulta:

2Sd1sst1 12,4cm

7537.1050,025

dMkA =⋅=⋅=

A área das barras da armadura longitudinal de tração resulta:

2st1st0st cm,12,419,8AAA 232=+=+=

Essa área de armadura pode ser representada por 16,0mm16φ com área efetiva de barras da armadura de 2

sef 2,16cmA 3= . 13.3.3 Exemplo 3 – momento fletor característico MSk = 890kNm Sugere-se que o leitor faça o projeto da viga com o valor do momento fletor característico MSk = 890kNm.


51

Referência Bibliográfica ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT) Projeto de estruturas de concreto: NBR 6118:2003. Rio de Janeiro, ABNT, 2004. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT) Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado - Especificação. NBR 7480:2007. Rio de Janeiro, ABNT, 2007. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT) Concreto para fins estruturais – Classificação por grupos de resistência. NBR 8953:1992. Rio de Janeiro, ABNT, 1992. ALMEIDA FILHO, F. M. e EL DEBS, A. L. H. C. Estruturas de concreto: Flexão simples. São Carlos, EESC – USP, Plano de aperfeiçoamento de Ensino (PAE), 2003. DELALIBERA, R. G. (2002). Análise teórica e experimental de vigas de concreto armado com armadura de confinamento. Dissertação (Mestrado), Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. MACGREGOR, J.G. Reinforced concrete: mechanics and design. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1988. Estudo complementar FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: solicitações normais. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1981. FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Editora Pini Ltda, 1994. SANTOS, L.M. Cálculo de concreto armado. 2v. São Paulo, LMS, 1983 (v.1), 1981 (v.2). SOARES, R.C. & EL DEBS, A. L. Concreto armado: elementos submetidos à flexão simples. São Carlos, EESC-USP, 1996 (não editado) MONTOYA, P.J.; MESEGUER, A.; CABRE, M. Hormigon Armado 14.a Edición Basada em EHE ajustada al Código Modelo y al Eurocódig. Barcelona, Gustavo Gili, 2000. A N E X O / Tabelas

José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor - Tabelas

A-1

Tabela A-1 Dimensionamento de seções retangulares submetidas a flexão simples

Armadura simples

Sd

2w

c Mdb=k ⋅ [cm2/kN]

dS

ss M

dAk ⋅= [cm2/kN]

Domínioβx=x/d

C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-25 CA-50 CA-60 0,02 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,046 0,023 0,019 0,04 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,047 0,023 0,019 0,06 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,047 0,024 0,020 0,08 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,048 0,024 0,020 0,10 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,048 0,024 0,020 0,12 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,048 0,024 0,020 0,14 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,049 0,024 0,020 0,16 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,049 0,025 0,020 0,18 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,050 0,025 0,021 0,20 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,050 0,025 0,021 0,22 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,051 0,025 0,021 0,24 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,051 0,025 0,021 0,259 4,4 3,6 3,0 2,5 2,2 2,0 1,8 0,051 0,026 0,021

2

0,28 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,052 0,026 0,022 0,30 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,052 0,026 0,022 0,32 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,053 0,026 0,022 0,34 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,053 0,027 0,022 0,36 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,054 0,027 0,022 0,38 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,054 0,027 0,023 0,40 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,055 0,027 0,023 0,42 2,9 2,4 2,0 1,7 1,5 1,3 1,2 0,055 0,028 0,023 0,44 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,023 0,46 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,056 0,028 0,023 0,48 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,057 0,028 0,024 0,50 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,058 0,029 0,024 0,52 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,058 0,029 0,024 0,54 2,4 2,0 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,059 0,029 0,024 0,56 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,059 0,030 0,025 0,585 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,060 0,030 0,025

3

0,60 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,030 0,628 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,062 0,031 0,64 2,2 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,9 0,062 0,66 2,1 1,7 1,4 1,2 1,1 0,9 0,8 0,063 0,68 2,1 1,7 1,4 1,2 1,1 0,9 0,8 0,063 0,70 2,0 1,6 1,4 1,2 1,0 0,9 0,8 0,064 0,72 2,0 1,6 1,3 1,2 1,0 0,9 0,8 0,065 0,74 2,0 1,6 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,065 0,76 2,0 1,6 1,3 1,1 1,1 0,9 0,8 0,066 0,772 1,9 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,067

4

Elaborada por José Samuel Giongo

Observações:

As resistências do concreto estão de acordo com as normas ABNT NBR 6118:2003 e ABNT NBR 8953:1992. As categorias das barras de aço são as indicadas nas normas ABNT NBR 6118:2003 e ABNT NBR 7480:2007. Foi adotado diagrama retangular de tensões no concreto, com altura da parte da seção transversal comprimida y = 0,8 x. Os coeficientes de ponderação para os materiais foram adotados: concreto γc = 1,4 e barras de aço γs = 1,15. Se no dimensionamento for adotado γc ≠ 1,4, é preciso multiplicar o numerador da expressão de kc por 1,4/γc. O valor do momento fletor solicitante de cálculo é MSd = γf . MSk. Condições de dutilidade da ABNT NBR 6118:2003 para seções transversais junto aos apoios ou seções de ligações

entre elementos estruturais:

βx = x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35MPa;

βx = x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35MPa.

Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último – ELU - Tabelas A-2

Tabela A-2 Dimensionamento de seções retangulares submetidas a flexão simples

Armadura dupla

=

st

σ = 0,85f

x

h d

d`

s1

y-0,8x

+

s2

A

M M M= +

A A A

cd cd scA sc

σ

Sd S1d S2d

st

Figura A1 - Seções equivalentes para o dimensionamento das áreas de barras das armaduras junto as faces tracionada e comprimida

Expressões para cálculo dos momentos fletores atuantes nas seções:

clim

2

S1d kdb=M ⋅ dSdSdS MMM 12 −= 21 ssst AAA +=

Expressões para cálculo das áreas das armaduras:

d

MkA dSss

11 ⋅= '

dSss dd

MkA−

⋅= 222 '

dSscsc dd

MkA−

⋅= 2

kclim e ks são correspondentes aos valores de βxlim, indicados na Tabela 1. Os coeficientes de ponderação (γs) para as barras de aço foram adotados iguais a

1,15. As categorias das barras de aço são as indicadas nas seguintes normas brasileiras ABNT NBR 7480:2007 e na ABNT NBR 6118:2003.

ks2 = 1/fyd [cm2 / kN] Categoria do aço CA-25 CA-50 CA-60

ks2 0,046 0,023 0,019

ksc = 1/σsc [cm2/kN] Coeficiente referente às posições relativas limites da linha neutra (βxlim)

Categoria do aço CA-25 CA-50 CA-60

h'd

βx,lim.dut

fck > 35MPa

0,40

βx,lim.dut

fck ≤ 35MPa

0,50

βx,34

0,772

βx,lim.dut

fck > 35MPa

0,40

βx,lim.dut

fck ≤ 35MPa

0,50

βx,34

0,628

βx,lim.dut

fck > 35MPa

0,40

βx,lim.dut

fck ≤ 35MPa

0,50

βx,34

0,585 0,05 0,046 0,046 0,046 0,023 0,023 0,023 0,019 0,019 0,019 0,10 0,046 0,046 0,046 0,023 0,023 0,023 0,019 0,019 0,019 0,15 0,046 0,046 0,046 0,024 0,023 0,023 0,024 0,021 0,019 0,20 0,046 0,046 0,046 0,036 0,027 0,023 0,036 0,027 0,024 0,25 0,082 0,046 0,046 0,082 0,041 0,029 0,082 0,041 0,032

Elaborada por José Samuel Giongo

José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor - Tabelas

A-3

Tabela A-3 - Propriedades geométricas de barras de aço para uso em projetos

CA-25 e CA-50

Diâmetro Nominal

(mm)

Aproximado equivalente

(polegadas)

Massa

Nominal

(kg/m)

Perímetro

(cm)

Área da seção

transversal das barras

(cm2)

6,3

8,0

10,0

12,5

16,0

20,0

22,0

25,0

32,0

40,0

1/4

5/16

3/8

1/2

5/8

3/4

7/8

1

1 1/4

1 ½

0,245

0,395

0,617

0,963

1,578

2,466

2,984

3,853

6,313

9,865

1,98

2,51

3,14

3,93

5,03

6,28

6,91

7,85

10,05

12,57

0,31

0,50

0,79

1,23

2,01

3,14

3,80

4,91

8,04

12,57

Tabela A-4 - Propriedades geométricas de fios de aço para uso em projetos - CA-60

Diâmetro nominal

(mm)

Massa nominal

(kg/m)

Perímetro

(cm)

Área da seção

transversal das barras

(cm2)

2,4

3,4

3,8

4,2

4,6

5,0

5,5

6,0

6,4

7,0

8,0

9,5

10,0

0,036

0,071

0,089

0,109

0,130

0,154

0,187

0,222

0,253

0,302

0,395

0,558

0,617

0,75

1,07

1,19

1,32

1,45

1,57

1,73

1,88

2,01

2,20

2,51

2,98

3,14

0,05

0,09

0,11

0,14

0,17

0,20

0,24

0,28

0,32

0,38

0,50

0,71

0,79 Referência: ABNT NBR 7480:2007

Concreto Armado - Dimension Amen To ELU

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