P U C R S

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE ENGENHARIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

CONCRETO ARMADO II

FORÇA CORTANTE - EXERCÍCIOS

Prof. Almir Schäffer

PORTO ALEGRE

ABRIL DE 2006

1

EXERCÍCIOS

1- Viga com balanço

Calcular e detalhar a armadura da viga da figura seguinte, considerando

apenas as duas cargas concentradas indicadas na figura.

Neste projeto, com fins didáticos, visando simplificar o trabalho de cálculo e

de detalhamento da armadura, deixar de considerar o peso próprio da viga.

Cotas em m (x,xx) e cm (xxx).

SeçãoP2=120 kN

B C D

20 2,20 20 2,20 2020

50A

20 1,00

P1=80 kN

B DC2,40 2,404,80

P2=120 kN

A 1,20

VB VD

P1=80 kN

FIGURA 1

Dados:

Concreto C20: MPa20fck =

Aço CA-50: MPa500fyk =

Cobrimento: c = 30 mm

Altura útil da seção: d = 45 cm

2

Respostas parciais:

Reações de apoio (Fig. 1):

� = 0V

012080VV DB =−−+

� = 0MD

040,2.12080,4.V00,6.80 B =−+−

kN160VB =

kN40VD =

Diagramas V e M (Fig. 2):

B DC2,40 2,404,80

A 1,20

V(kN)

M(kN.m)

96

96

80

80

40

- -

-

+

+

P2=120 kN

VB=160 kN VD=40 kN

P1=80 kN

FIGURA 2

Armaduras para a flexão (negativa no apoio B e positiva no vão em C):

22

yd

ds cm26,8m000826,0

)3E435.(374,04,134

f.zM

A ==== → 3 φ 20 mm

min,ss AA ≥ . . . OK

3

Comprimento de ancoragem básico:

cm0,88b =� (boa situação de aderência; armadura positiva)

cm126*b ≅� (má situação de aderência; armadura negativa)

Translação:

a d cm� = = 45

Armadura para a força cortante (Modelo de cálculo I; α = 90o ):

a) Trechos AB e BC:

Sd2Rd VkN4,317V ≥= . . . OK

mcm

98,2m

m000298,0

45,0).3E435.(9,04,590,112

d.f.9,0VV

sA 22

ywd

cSdsw ==−=−

=��

���

� →

Estribos φ 6.3 c.20

min

swsw

sA

sA

��

���

�≥��

���

� . . . OK

Bitola e espaçamento dos estribos:. . . OK

b) Trecho CD:

Para simplificar o detalhamento e a construção da viga, será usada a mesma

armadura dos trechos AB e BC.

Armaduras de suspensão:

a) Para a viga apoiada em A (Fig. 1):

22

yd

f

yd

ds cm57,2m000257,0

3E43580.4,1

fF.

fF

A ===γ== → 5 estribos φ 6.3

b) Para a viga apoiada em C (Fig. 1):

22

yd

f

yd

ds cm86,3m000386,0

3E435120.4,1

fF.

fF

A ===γ

== → 7 estribos φ 6.3

4

Armadura de tração nos apoios:

a) Apoio B:

Neste apoio o lado de baixo da viga é comprimido (pelo momento negativo

que atua na viga na seção do apoio). Portanto, teoricamente, nenhuma armadura de

tração é necessária no lado de baixo da viga. A norma, no entanto, exige que pelo

menos 1/3 ou 1/4 da armadura positiva do vão seja prolongada até o apoio (NBR

6118, item 18.3.2.4, c). Serão prolongadas então, até este apoio, duas das três

barras (3 φ 20) da armadura de flexão.

b) Apoio D:

22

yd

ds cm28,1m000128,0

3E43540.4,1

fV

A ==== → 2 φ 20 da armadura de flexão

cm18nec,b ≅�

cm27min,b ≅� Portanto, o comprimento de ancoragem das duas barras é de 27 cm,

contado a partir da face do apoio.

5

Detalhamento das armaduras calculadas:

20

50

1 2 1

13

438

Pos 7 - φ 6.3 mm

46024 Pos 7 c. 20

507 Pos 7 c. 75 Pos 7 c. 7

35

1006 Pos 7 c. 20

Apoio

20

50

5 5

13

438

Pos 7 - φ 6.3 mmVão

6 6 4 3 4

202020

M

Pos 4 - 2 φ 20 mm

Pos 3 - 1 φ 20 mm

Pos 6 - 2 φ 6.3 mm

Pos 1 - 2 φ 20 mm

Pos 2 - 1 φ 20 mmPos 5 - 2 φ 6.3 mm

Translação

C. ancoragem

a

b

φ10

C. ancoragem b*201520

FIGURA 3

6

2- Viga de piso de sala de aula

Calcular e detalhar a armadura da viga V2 da figura seguinte.

Cotas em m (x,xx) e cm (xxx).

P1 P2

P3 P4

204,

0020

V1 ( 20 x 60 )

V2 ( 20 x 60 )

Laje pré-moldada armada na direção Y

X

Y

20 8,00 20

P5 P64,

0020

V3 ( 20 x 60 )

FIGURA 4

Dados:

Concreto C30: MPa30fck =

Aço CA-50: MPa500fyk =

Cobrimento: c = 30 mm

7

Lajes de concreto pré-moldadas apoiadas na viga: h = 10 cm

Piso de tacos: 2m

kN70,0g =

Carga acidental para sala de aula (NBR 6120): 2m

kN00,3q =

Respostas parciais:

Cargas distribuídas sobre as lajes:

Peso próprio: 2m

kN50,210,0.25h.1g ==γ=

Piso de tacos: 2m

kN70,02g =

Soma permanente: 2m

kN20,370,050,22g1gg =+=+=

Acidental: qkN

m= 3 00 2,

Soma permanente + acidental: p g qkN

m= + = + =3 20 3 00 6 20 2, , ,

Reações das lajes (Fig. 5):

mkN

0,132

20,4.20,62.p

r === �

4,20V3

r

V2

r

p

ESQUEMA DAS LAJES

FIGURA 5

Carga sobre a viga:

Peso próprio: g b hkNm

= = =γ. . . , . , ,25 0 20 0 60 3 00

Reações das lajes (duas): p rkNm

1 2 213 0 26 0= = =. . , ,

8

Soma: p g pkNm

= + = + =1 3 00 26 0 29 0, , ,

Diagramas V e M:

8,20P3

V

P4

V

p

V(kN)

M(kN.m)

119

244

ESQUEMA DA VIGA

FIGURA 6

Vp

kN= = =. , . ,�

229 0 8 20

2119

Mp

kN m= = =. , . ,

.�

2 2

829 0 8 20

8244

Armadura para a flexão:

22

yd

ds cm70,17m001770,0

)3E435.(444,0342

f.zM

A ==== → 5 φ 22 mm

min,ss AA ≥ . . . OK

Serão usadas três barras na primeira camada e duas na segunda.

Comprimento de ancoragem básico:

cm747,73b ≅=� (boa situação de aderência; armadura positiva) Translação:

cm55da ==�

9

Armadura para a força cortante (Modelo de cálculo I; α = 90o ):

Sd2Rd VkN559V ≥= . . . OK

mcm

34,3m

m000334,0

55,0).3E435.(9,00,95167

d.f.9,0VV

sA 22

ywd

cSdsw ==−=−

=��

���

�

→ Estribos φ 6.3 c. 18

min

swsw

sA

sA

��

���

�≥��

���

� . . . OK

Bitola e espaçamento dos estribos: . . . OK

Armadura de tração nos apoios:

22

yd

ds cm84,3m000384,0

3E435167

fV

A ==== → 3 φ 22 da armadura de flexão

cm25nec,b ≅�

cm22min,b ≅� Portanto, o comprimento de ancoragem das três barras é de 25 cm, contado

a partir da face do apoio.

10

Detalhamento das armaduras calculadas:

20

60

1 1 1

3 3

2 2

13

53

8

Pos 4 - φ 6.3 mm

2215

Pos 1 - 3 φ 22 mm

20 80046 Pos 4 c. 18

20

Pos 2 - 2 φ 22 mm

2215

FIGURA 7