dimensionamento de vigas em força Cortante

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 1309 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II

NOTAS DE AULA

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

FORA CORTANTE

Prof. Dr. PAULO SRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP Maro/2008

APRESENTAO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina

1309 Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da

Universidade Estadual Paulista - UNESP Campus de Bauru.

O texto apresenta a anlise terica e os procedimentos aplicados pela nova NBR

6118/2003 (Projeto de estruturas de concreto Procedimento) para o projeto de vigas de

concreto armado fora cortante.

A nova metodologia apresentada na NBR 6118/2003, embora continue considerando a

analogia de trelia, em alguns aspectos difere significativamente daqueles constantes da NBR

6118/80 (NB 1/78). A NBR 6118/2003 admite como hiptese bsica a analogia com o modelo

em trelia, de banzos paralelos, associada a mecanismos resistentes complementares

desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Vc.

A verificao do elemento estrutural fora cortante sugerida com base em dois modelos de

clculo, chamados Modelos de Clculo I e II. Uma das principais inovaes est na possibilidade

de se poder considerar inclinaes variveis (30 45) para as diagonais comprimidas (bielas de compresso).

De modo geral, a nova metodologia segue o MC-90 do CEB-FIP e o Eurocode 2, com

algumas modificaes e adaptaes.

Apesar das modificaes introduzidas foi possvel simplificar o equacionamento,

possibilitando a automatizao manual dos clculos de dimensionamento, com conseqente

ganho de tempo nos clculos.

O autor agradece ao Prof. Luttgardes de Oliveira Neto pelo auxlio e discusso, que

contriburam para melhorar a qualidade do texto e dos exemplos.

Agradecimento especial ex-aluna Cristiane Pegoraro Xavier, que fez os estudos iniciais

do texto sobre fora cortante na NBR 6118/2003.

Agradecimento tambm ao tcnico derson dos Santos Martins, pela confeco dos

desenhos.

Quaisquer crticas e sugestes sero muito bem-vindas, pois assim a apostila poder ser

melhorada.

SUMRIO

1. INTRODUO .....................................................................................................................1 2. REGIES DE ANLISE .....................................................................................................1 3. COMPORTAMENTO DE VIGAS HOMOGNEAS NO ESTDIO I...........................2 4. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS FLEXO E FORA CORTANTE...................................................................................................................4 5. MECANISMOS BSICOS DE TRANSFERNCIA DA FORA CORTANTE.........10

5.1 Ao de Arco ....................................................................................................................12 5.2 Concreto Comprimido No Fissurado..............................................................................13 5.3 Transferncia na Interface das Fissuras Inclinadas ..........................................................13 5.4 Ao de Pino da Armadura Longitudinal .........................................................................15 5.5 Tenses Residuais de Trao............................................................................................18 5.6 Armaduras Longitudinal e Vertical ..................................................................................18

6. FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTNCIA FORA CORTANTE .........18 6.1 Tipo de Carregamento ......................................................................................................19 6.2 Posio da Carga e Esbeltez .............................................................................................19 6.3 Tipo de Introduo da Carga ............................................................................................19 6.4 Influncia da Armadura Longitudinal ..............................................................................19 6.5 Influncia da Forma da Seo Transversal.......................................................................20 6.6 Influncia da Altura da Viga.............................................................................................20

7. COMPORTAMENTO DE VIGAS SEM ARMADURA TRANSVERSAL ..................20 7.1 Parmetros Mais Importantes ...........................................................................................21

7.1.1 Resistncia do Concreto.............................................................................................21 7.1.2 Altura da Viga ............................................................................................................21 7.1.3 Relao entre a Altura da Viga e a Posio da Carga ................................................23 7.1.4 Armadura Longitudinal..............................................................................................24 7.1.5 Fora Axial.................................................................................................................24

7.2 Modos de Ruptura ............................................................................................................24 8. COMPORTAMENTO DE VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL .................27

8.1 Funo do Estribo.............................................................................................................27 8.2 Modos de Ruptura ............................................................................................................29

9. TRELIA CLSSICA DE RITTER-MRSCH ( = 45)..............................................30 10. TRELIA GENERALIZADA ( varivel).......................................................................34 11. DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118/03 .....................................................36

11.1 Modelo de Clculo I .........................................................................................................37 11.1.1 Verificao da Diagonal Comprimida de Concreto ...................................................37 11.1.2 Clculo da Armadura Transversal..............................................................................38

11.2 Modelo de Clculo II ........................................................................................................41 11.2.1 Verificao da Diagonal Comprimida de Concreto ...................................................41 11.2.2 Clculo da Armadura Transversal..............................................................................42

12. ARMADURA MNIMA......................................................................................................44 13. DISPOSIES CONSTRUTIVAS ...................................................................................45

13.1 Dimetro do Estribo..........................................................................................................45 13.2 Espaamento Mnimo e Mximo entre os Estribos ..........................................................45 13.3 Espaamento Mximo entre os Ramos Verticais do Estribo............................................46 13.4 Emendas do Estribo ..........................................................................................................46

13.5 Ancoragem do Estribo ......................................................................................................46 13.6 Barras Dobradas (Cavaletes) ............................................................................................47

14. EQUAES SIMPLIFICADAS .......................................................................................47 14.1 Modelo de Clculo I .........................................................................................................48

14.1.1 Fora Cortante Mxima..............................................................................................48 14.1.2 Fora Cortante Correspondente Armadura Mnima................................................48 14.1.3 Armadura Transversal................................................................................................49

14.2 Modelo de Clculo II ........................................................................................................51 14.2.1 Fora Cortante ltima................................................................................................51 14.2.2 Fora Cortante Correspondente Armadura Mnima................................................51 14.2.3 Armadura Transversal................................................................................................52

15. CONSIDERAES SOBRE O NGULO DE INCLINAO DAS DIAGONAIS DE COMPRESSO () .....................................................................................................................53 16. REDUO DA FORA CORTANTE .............................................................................54 17. CARREGAMENTO APLICADO NA PARTE INFERIOR DAS VIGAS ....................55 18. ARMADURA DE SUSPENSO........................................................................................56 19. EXEMPLO NUMRICO 1 ................................................................................................59

19.1 Equaes Tericas da Norma ...........................................................................................60 19.1.1 Modelo de Clculo I...................................................................................................60 19.1.2 Modelo de Clculo II com = 30o.............................................................................62

19.2 Equaes Simplificadas ....................................................................................................63 19.2.1 Modelo de Clculo I...................................................................................................63 19.2.2 Modelo de Clculo II com = 30o.............................................................................64

19.3 Comparao dos Resultados .............................................................................................65 19.4 Detalhamento da Armadura Transversal ..........................................................................66

20. EXEMPLO NUMRICO 2 ................................................................................................69 20.1 Modelo de Clculo I .........................................................................................................70

20.1.1 Equaes de Tericas da Norma ................................................................................70 20.1.2 Equaes Simplificadas .............................................................................................71

20.2 Modelo de Clculo II ........................................................................................................72 20.2.1 Equaes Tericas da Norma.....................................................................................72

20.2.1.1 ngulo de 30 .................................................................................................72 20.2.1.2 ngulo de 45 .................................................................................................74

20.2.2 Equaes Simplificadas .............................................................................................76 20.2.2.1 ngulo de 30 .................................................................................................76 20.2.2.2 ngulo de 45 .................................................................................................77

20.3 Comparao dos Resultados .............................................................................................79 20.4 Detalhamento da Armadura Transversal ..........................................................................79

21. EXEMPLO NUMRICO 3 ................................................................................................81 21.1 Dimensionamento da Seo 10d Segundo o Modelo de Clculo I (NBR 6118/03) .........85 21.2 Dimensionamento da Seo 10d Segundo o Modelo de Clculo II com = 45 .............86

22. EXEMPLO NUMRICO 4 ................................................................................................87 23. QUESTIONRIO ...............................................................................................................91 24. EXERCCIOS PROPOSTOS ............................................................................................92 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................................94

1309Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado Fora Cortante

UNESP (Bauru/SP) Prof. Dr. Paulo Srgio dos Santos Bastos

1

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO FORA CORTANTE

1. INTRODUO

No dimensionamento de uma viga de Concreto Armado geralmente o primeiro clculo feito o de determinao das armaduras longitudinais de flexo. O dimensionamento da armadura transversal para resistncia fora cortante geralmente feito em seguida.

O dimensionamento fora cortante muito importante, pois a ruptura de uma viga nunca deve ocorrer por efeito de fora cortante, por ser freqentemente violenta e frgil. Portanto, deve ser evitada.

De acordo com a NBR 6118/2003 (item 16.2.3) necessrio garantir uma boa ductilidade, de forma que uma eventual runa ocorra de forma suficientemente avisada, alertando os usurios. A armadura de flexo que deve ser proporcionada de forma a garantir que a ruptura se desenvolva lenta e gradualmente.

Existe uma infinidade de teorias e modelos para anlise de vigas de concreto sob fora cortante, desenvolvidos geralmente com base na analogia de trelia ou de campos de compresso de concreto. No Brasil se destacam os modelos de trelia denominados trelia clssica e trelia generalizada. O modelo inicial de trelia, desenvolvido por RITTER (1899) e MRSCH (1920, 1922), tem sido adotado pelas principais normas do mundo como a base para o projeto de vigas fora cortante. Adicionalmente ao modelo de trelia vem sendo considerada tambm a contribuio do concreto (Vc), e a possibilidade de variao do ngulo de inclinao () das fissuras e bielas de compresso. Apesar da analogia de uma viga fissurada com uma trelia ter sido criada h cerca de cem anos, a sua simplicidade a faz continuar sendo um modelo para o dimensionamento da armadura transversal das vigas.

No caso especfico da norma brasileira NBR 6118/03, ela admite dois modelos para clculo da armadura transversal resistente fora cortante nas vigas, denominados Modelo de Clculo I e Modelo de Clculo II. A trelia clssica de Ritter-Mrsch, que pressupe ngulo fixo de 45 para a inclinao das diagonais comprimidas (bielas de concreto), adotada no Modelo de Clculo I. O Modelo de Clculo II admite a chamada trelia generalizada, onde o ngulo pode variar de 30 a 45, sendo essa a maior inovao da norma na questo da fora cortante.

Nas ltimas dcadas surgiram vrios modelos mais refinados, como o RA-STM e o FA-STM, desenvolvidos por HSU e seus colaboradores, e o modelo que considera o atrito entre as superfcies das fissuras inclinadas (Truss model with crack friction). Os modelos mais conhecidos com base em campos de compresso so o CFT e MCFT desenvolvidos por MITCHELL, VECCHIO e COLLINS, mas no sero objeto de estudo nesta apostila. 2. REGIES DE ANLISE

Na teoria clssica de viga a hiptese assumida da seo transversal permanecer plana proporciona um modelo simples e suficientemente preciso para o projeto de vigas fletidas, com ou sem foras axiais aplicadas. Mesmo aps a fissurao a teoria pode ser mantida, porque as fissuras de flexo, perpendiculares ao eixo longitudinal da viga, no invalidam a hiptese de seo plana. Como a ruptura por flexo ocorre na seo sob o mximo momento fletor, as condies fixadas para esta seo so geralmente suficientes para o projeto da viga flexo.

Por outro lado, o mesmo no se pode dizer quanto ao projeto das vigas para a fora cortante, porque h enormes diferenas de comportamento e de fatores intervenientes. A ruptura por efeito



2

de fora cortante iniciada aps o surgimento de fissuras inclinadas, causadas pela combinao de fora cortante, momento fletor e eventualmente foras axiais. E a quantidade de variveis que influenciam a ruptura muito grande, como geometria, dimenses da viga, resistncia do concreto, quantidade de armaduras longitudinal e transversal, caractersticas do carregamento, vo, etc. Por isso, ao contrrio da flexo, o projeto fora cortante deve considerar no apenas uma seo transversal, mas regies ao longo do vo da viga, as chamadas regies B, mostradas na Figura 1. Foram SCHLAICH et al. (1987) que introduziram o conceito de regies D e B, onde a regio D se caracteriza por descontinuidades e distribuio de deformaes no-linear. J na regio B a distribuio linear. Em elementos tpicos de barra as regies B encontram-se entre as regies D (ASCE-ACI, 1998).

Figura 1 - Regies numa estrutura (ASCE-ACI, 1998).

Como o comportamento de vigas fora cortante apresenta grande complexidade e dificuldades de projeto, este assunto tem sido um dos mais pesquisados, no passado bem como no presente (HAWKINS et al., 2005).

3. COMPORTAMENTO DE VIGAS HOMOGNEAS NO ESTDIO I

Considere a viga no fissurada de seo retangular, bi-apoiada e sob carregamento uniformemente distribudo (Figura 2). Sejam dois elementos infinitesimais A1 e A2 da viga de material homogneo, elstico linear e istropo (definido como o material que apresenta propriedades de deformao iguais para qualquer direo).



3

p

A2

1A

a

a

bw

hL.N.

a2 2a

a1 1ay

Linha Neutra

c,mx

t,mx

0

y

x

Figura 2 Tenses normais e de cisalhamento numa viga de material homogneo.

As tenses normais de trao e de compresso, atuantes ao nvel dos planos a1 e a2, respectivamente, assim como a variao da tenso de cisalhamento ao longo da altura da viga, encontram-se indicadas na Figura 2. Da teoria clssica da Resistncia dos Materiais, a tenso normal e a tenso de cisalhamento num elemento A so:

IyM= Eq. 1

IbSV

w

y= Eq. 2 com: M e V = momento fletor e fora cortante na seo a-a; y = distncia do elemento linha neutra; Sy = momento esttico da rea considerada em relao linha neutra; I = momento de inrcia da seo transversal; bw = largura da viga.

Para seo retangular, a equao quadrtica que representa a tenso de cisalhamento :

= 2

2y

4h

I2V Eq. 3

Com y = 0 na Eq. 3, a tenso de cisalhamento mxima na seo retangular ocorre na

posio da linha neutra:

hbV

23

wmx = Eq. 4

As Figura 3 e Figura 4 mostram o estado de tenso nos elementos A1 e A2, bem como o

crculo de Mohr correspondente.



4

L.N.R

R

A1

x

y

20

tenso principal de trao I

tenso principal decompresso II

mxima tenso decisalhamento

cc

st

yx

xy

x x

xy

I

xy

V

Figura 3 - Tenses no elemento A1 .

2A

L.N.

V

I

R

Ry

x

2

tenso principal decompresso II

mxima tenso decisalhamento

tenso principal detrao

cc

st II

yx

x

xy

x

xy

Figura 4 - Tenses no elemento A2 .

4. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS FLEXO E

FORA CORTANTE

Uma viga de Concreto Armado resiste a carregamentos externos primariamente pela mobilizao de momentos fletores (M) e foras cortantes (V) - Figura 5.



5

A

A

V

VM

V

M

V

M + dM

dxA

A

Figura 5 Esforos solicitantes num elemento de comprimento dx de uma viga.

Considere uma viga de Concreto Armado bi-apoiada (Figura 6), submetida a duas foras concentradas P de igual intensidade, crescentes de zero at a fora ltima ou de ruptura. As armaduras consistem da armadura longitudinal positiva (composta pelas cinco barras inferiores) resistente s tenses normais de trao da flexo, e da armadura transversal, composta por estribos verticais no lado esquerdo da viga e estribos e barras dobradas inclinadas (cavaletes) no lado direito da viga, dimensionada para resistir s foras cortantes. Nota-se que no trecho da viga entre as foras concentradas P a solicitao de flexo pura (V = 0).

Armadura Transversal (somente estribos)

Armadura Transversal(estribos e barras dobradas)

P

l

+

+-

M

V

P

Figura 6 Viga bi-apoiada e diagramas de esforos solicitantes.

(LEONHARDT e MNNIG, 1982).

A Figura 7a mostra a viga submetida s foras P de baixa intensidade, com as trajetrias das tenses principais de trao e de compresso para a viga ainda no fissurada, no Estdio I portanto. Observe que no trecho de flexo pura as trajetrias das tenses de compresso e de trao so paralelas ao eixo longitudinal da viga. Nos demais trechos as trajetrias das tenses so inclinadas devido influncia das foras cortantes. importante observar tambm que as trajetrias apresentam-se aproximadamente perpendiculares entre si.

Com o aumento das foras P e conseqentemente das tenses principais, no instante que as tenses de trao atuantes no lado inferior da viga superam a resistncia do concreto trao,



6

surgem as primeiras fissuras no trecho de flexo pura, chamadas fissuras de flexo (Figura 7b). As fissuras de flexo so aquelas que iniciam na fibra mais tracionada e prolongam-se em direo linha neutra, conforme aumenta o carregamento externo aplicado. Apresentam-se aproximadamente perpendiculares ao eixo longitudinal da viga e s trajetrias das tenses principais de trao, ou seja, a inclinao das fissuras depende da inclinao das tenses principais de trao. O trecho fissurado passa do Estdio I para o Estdio II e os trechos entre os apoios e as foras concentradas, sem fissuras, permanecem no Estdio I, isto , a viga apresenta trechos nos Estdios I ou II.

A Figura 7c mostra os diagramas de deformao e de tenso nas sees a e b da viga, nos Estdios I e II, respectivamente. No Estdio I a mxima tenso de compresso (c) ainda pode ser avaliada de acordo com a lei de Hooke, o mesmo no valendo para o Estdio II.

a)

b)

c)

a

a

b

b

Estdio I Estdio II Estdio I

Seo a-a Seo b-bc

s

c

s

c c

s t

c= Ec

ct,f<

trao

compresso

d)

b

b

Estdio II

Seo b-b

s

c

s

c = f c

> f y

Figura 7 - Comportamento resistente de uma viga bi-apoiada. (LEONHARDT e MNNIG, 1982).

Continuando a aumentar as foras P outras fissuras de flexo continuam a surgir, e aquelas j existentes aumentam de abertura e prolongam-se em direo ao topo da viga (Figura 7d). Nos trechos entre os apoios e as foras P, as fissuras de flexo inclinam-se, devido inclinao das



7

tenses principais de trao I , por influncia das foras cortantes. Essas fissuras inclinadas so chamadas de fissuras de flexo com fora cortante, ou fissuras de flexo com cisalhamento, que no o termo mais adequado porque tenses de cisalhamento no ocorrem por ao exclusiva de fora cortante.

Nas proximidades dos apoios, como a influncia dos momentos fletores muito pequena, podem surgir as chamadas fissuras por fora cortante, ou de cisalhamento (ver Figura 7d e Figura 8). Com carga elevada, a viga se apresenta no Estdio II em quase toda a sua extenso.

Figura 8 - Fissuras na viga no Estdio II (LEONHARDT e MNNIG, 1982).

O carregamento externo introduz numa viga diferentes estados de tenses principais, em cada um dos seus infinitos pontos. Na Figura 9, por exemplo, so mostradas as trajetrias das tenses principais de uma viga ainda no Estdio I, e o estado de tenses principais num ponto sobre a linha neutra.

Na altura da linha neutra, as trajetrias das tenses principais apresentam-se inclinadas de 45 (ou 135) com o eixo longitudinal da viga, e em pontos fora as trajetrias tm inclinaes diferentes de 45.



8

+

-

+

II

I

Direo de (tenses de trao) Direo de (tenses de compresso)

I

II

M

V

x

Figura 9 - Trajetrias das tenses principais de uma viga bi-apoiada no Estdio I.


Alm dos estados de tenso relativos s tenses principais, como o indicado na Figura 10b, outros estados podem ser representados, com destaque para aquele segundo os eixos x-y (Figura 10a), que define as tenses normais x e y e as tenses de cisalhamento xy e yx .

X

y

y = 0

x

( - )( + )

II

I

( - )

( + )

+

y y

X

yx

xy

a) eixos x-y; b) eixos principais.

Figura 10 Componentes de tenso segundo os estados de tenso relativos aos eixos

principais e aos eixos x-y (LEONHARDT e MNNIG, 1982).



9

De modo geral, as tenses verticais y podem ser desprezadas, tendo importncia apenas nos trechos prximos introduo de foras na viga (regio de foras externas aplicadas, apoios, etc.). Considerando y = 0, as expresses que correlacionam I e II com as componentes x e (lembrando que = xy = yx) so:

- Tenso principal de trao:

22x

xI 42

12

++= Eq. 5

- Tenso principal de compresso:

22x

xII 42

12

+= Eq. 6

O dimensionamento das estruturas de Concreto Armado toma como base normalmente as tenses x e xy . No entanto, conhecer as trajetrias das tenses principais importante para se posicionar corretamente as armaduras de trao e para conhecer a direo das bielas de compresso.

As tenses principais de trao inclinadas na alma exigem uma armadura denominada armadura transversal, composta normalmente na forma de estribos verticais fechados. Note que, na regio de maior intensidade das foras cortantes, a inclinao mais favorvel para os estribos seria de aproximadamente 45, ou seja, paralelos s trajetrias das tenses de trao e perpendiculares s fissuras. Por razes de ordem prtica os estribos so normalmente posicionados na direo vertical, o que os torna menos eficientes se comparados aos estribos inclinados de 45.

A colocao da armadura transversal evita a ruptura prematura das vigas e, alm disso, possibilita que as tenses principais de compresso possam continuar atuando, sem maiores restries, entre as fissuras inclinadas prximas aos apoios. O comportamento da regio da viga sob maior influncia das foras cortantes e com fissuras inclinadas no Estdio II, pode ser muito bem descrito fazendo-se a analogia com uma trelia isosttica (Figura 11). A analogia de trelia consiste em simbolizar a armadura transversal como as diagonais inclinadas tracionadas (montantes verticais no caso de estribos verticais), o concreto comprimido entre as fissuras (bielas de compresso) como as diagonais inclinadas comprimidas, o banzo inferior como a armadura de flexo tracionada e o banzo superior como o concreto comprimido acima da linha neutra, no caso de momento fletor positivo.

A trelia isosttica com banzos paralelos e diagonais comprimidas de 45 chamada trelia clssica de Ritter-Mrsch. Sobre ela, Lobo Carneiro escreveu o seguinte: A chamada trelia clssica de Ritter-Mrsch foi uma das concepes mais fecundas na histria do concreto armado. H mais de meio sculo tem sido a base do dimensionamento das armaduras transversais estribos e barras inclinadas das vigas de concreto armado, e est muito longe de ser abandonada ou considerada superada. As pesquisas sugerem apenas modificaes ou complementaes na teoria, mantendo no entanto o seu aspecto fundamental: a analogia entre a viga de concreto armado, depois de fissurada, e a trelia. vlido afirmar que essas palavras continuam verdadeiras at o presente momento.



10

Rcb

sR

R s Rcb

a) armadura transversal a 45; b) armadura transversal a 90.

Figura 11 - Analogia de trelia para as foras internas na regio prxima ao apoio de uma viga (LEONHARDT e MNNIG, 1982).

Os estribos devem estar prximos entre si a fim de interceptarem qualquer possvel fissura inclinada devido s foras cortantes, pois uma ruptura precoce pode ocorrer quando a distncia entre os estribos for 2 z para estribos inclinados a 45 e > z para estribos a 90 (Figura 12).

2 z fissura de cisalhamento z fissura de cisalhamento

Figura 12 - Analogia clssica de uma viga com uma trelia. (LEONHARDT e MNNIG, 1982).

A NBR 6118/03 (item 17.4.1) preconiza que o dimensionamento de elementos lineares (vigas) pode ser feito segundo modelos de clculo que pressupem a analogia com modelo de trelia, de banzos paralelos, associados a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural. No item 10 so deduzidas as foras e tenses nas barras da trelia clssica de Ritter-Mrsch. 5. MECANISMOS BSICOS DE TRANSFERNCIA DA FORA CORTANTE

Em 1968, Fenwick e Paulay afirmaram que o mecanismo de ruptura das vigas por efeito de fora cortante no estava ainda claramente definido.

Os mecanismos existentes numa viga responsveis pela transferncia da fora cortante so complexos e difceis de identificar e medir, porque aps a fissurao ocorre uma complexa redistribuio de tenses, influenciada por vrios fatores.

Os mecanismos bsicos responsveis pela transferncia da fora cortante numa viga so vrios, e cada um deles tem uma importncia relativa de acordo com o pesquisador ou rgo. Excluindo-se a armadura transversal so cinco os mecanismos mais importantes: 1) fora cortante na zona de concreto no fissurado (banzo de concreto comprimido Vcz); 2) engrenamento dos agregados ou atrito das superfcies nas fissuras inclinadas (Vay); 3) ao de pino da armadura longitudinal (Vd); 4) ao de arco; 5) tenso de trao residual transversal existente nas fissuras inclinadas (MACGREGOR e WIGHT, 2005).



11

Trs desses mecanismos esto mostrados na Figura 13, sendo a contribuio de cada um mostrada na Figura 14.

Figura 13 Mecanismos de transferncia da fora cortante em viga com armadura transversal.

(MACGREGOR e WIGHT, 2005).

Figura 14 Contribuio de cada mecanismo de transferncia de fora cortante em viga

com armadura transversal (MACGREGOR e WIGHT, 2005).



12

Os numerosos estudos feitos sobre o comportamento de elementos de Concreto Armado submetidos flexo tm garantido um bom entendimento sobre o comportamento e os mecanismos de ruptura desses elementos, estando as concluses incorporadas nas normas de vrios pases. Na questo dos elementos sob flexo e fora cortante, no entanto, o progresso no entendimento e formulaes no tem alcanado o mesmo sucesso. Isso se deve complexidade do problema, segundo PARK e PAULAY (1975).

Os elementos submetidos fora cortante geralmente encontram-se tambm sob os esforos de momento fletor, fora axial e toro. Por isso, alm do estudo sobre os efeitos da fora cortante agindo isolada, importante examinar tambm a interao com os outros esforos solicitantes.

No caso das vigas sob flexo, os mecanismos resistentes fora cortante interagem com a aderncia entre o concreto e a armadura longitudinal, bem como com a ancoragem dessa armadura na sua extremidade.

A transferncia da fora cortante nas vigas de Concreto Armado muito dependente das resistncias do concreto trao e compresso, e tem, por isso, a ruptura frgil ou no dctil por efeito da fora cortante. Portanto, muito importante o correto dimensionamento das vigas fora cortante, de modo a sempre evitar a ruptura frgil por fora cortante, principalmente nos elementos sob aes de sismos e terremotos.

Os modelos elsticos existentes proporcionam resultados aceitveis na previso da formao de fissuras e na resistncia do elemento. No entanto, o comportamento de elementos sob fora cortante torna-se muito complexo aps o surgimento de fissuras, que alteram bastante as tenses existentes.

As caractersticas dos cinco principais mecanismos de transferncia de fora cortante so descritas a seguir. 5.1 Ao de Arco

Nas proximidades dos apoios o banzo comprimido inclina-se em sua direo, formando um arco, como ilustrado na Figura 15.

q

PP

Figura 15 Ao de arco ou de prtico atirantado nas proximidades dos apoios.


A formao do arco requer uma reao horizontal no apoio, que em vigas bi-apoiadas pode ser fornecida pela armadura longitudinal positiva, que deve ser cuidadosamente ancorada nas extremidades da viga para servir a esta funo.



13

A resistncia fora cortante proporcionada pela ao de arco depende muito da possibilidade de acomodao das tenses de compresso do arco, e a intensidade dessas tenses depende principalmente da inclinao do arco, dada pela relao a/d (a = shear span = distncia entre o ponto de aplicao da fora P e o apoio; d = altura til da viga), podendo ser expressa em funo da fora cortante V ou do momento fletor:

dVM

dVaV

da == Eq. 7

A ao de arco o mecanismo dominante de resistncia de vigas-paredes fora cortante

com o carregamento aplicado na sua regio comprimida. 5.2 Concreto Comprimido No Fissurado

A zona no fissurada de concreto comprimido pela flexo (banzo de concreto) contribui e proporciona uma certa resistncia fora cortante atuante numa viga ou laje fissurada. A integrao das tenses de cisalhamento sobre a altura desse banzo comprimido fornece uma componente de fora cortante, que as vezes a explicao para a chamada contribuio do concreto (concrete contribution), como encontrado em textos de normas estrangeiras, principalmente o ACI 318. Essa componente de fora cortante no a componente vertical de um banzo de concreto comprimido inclinado (ASCE-ACI, 1998).

A contribuio do banzo comprimido depende principalmente da altura da zona comprimida, conseqentemente, vigas com alturas baixas sem fora axial de compresso apresentam pequena contribuio resistncia, porque a altura do banzo relativamente pequena (TAYLOR, 1972, REINECK, 1991). Diversas pesquisas experimentais executadas em vigas com armadura transversal mostraram que a contribuio da zona do banzo comprimido de concreto alcana valores entre 20 % e 40 % de resistncia fora cortante na seo, sendo esta variao dependente principalmente da forma e da natureza das fissuras nas vigas, conforme ACHAYA e KEMP (1965), FENWICK e PAULAY (1968), TAYLOR (1972) e GERGELY (1969), citados no ASCE-ACI (1973). 5.3 Transferncia na Interface das Fissuras Inclinadas

Devido rugosidade dos agregados ocorre um engrenamento entre eles nas superfcies das fissuras, o que proporciona uma resistncia ao deslizamento e a transferncia de fora cortante atravs uma fissura inclinada.

O termo engrenamento dos agregados (aggregate interlock) vem sendo substitudo por atrito entre as superfcies (crack friction), porque os concretos de alta resistncia tm matriz com resistncia semelhante dos agregados, contribuindo para o mecanismo da transferncia de fora cortante, mesmo aps a propagao da fissura entre os agregados. Alm disso o termo tambm indica que o mecanismo no depende meramente das caracterstica do material, o concreto.

Nas duas ltimas dcadas foram feitos grandes progressos para o entendimento desse mecanismo, principalmente por MILLARD e JOHNSON (1984), GAMBAROVA (1981), WALRAVEN (1981) e NISSEN (1987), entre outros citados pelo ASCE-ACI (1998).

So quatro os parmetros mais importantes no mecanismo de atrito nas fissuras: tenso de cisalhamento nas interfaces, tenso normal, largura e escorregamento da fissura.

O atrito entre duas superfcies de concreto reconhecido como um mecanismo bsico para a resistncia fora cortante em elementos fletidos de concreto. O atrito aquele que ocorre numa fissura do concreto quando um deslocamento (s) imposto fissura (Figura 16).



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Figura 16 Mobilizao do concreto pelo atrito na fissura com armadura (a)

e na fissura sem armadura (b) - (POLI et al., 1987).

Segundo POLI et al. (1987), o mecanismo de engrenamento dos agregados na interface das fissuras proporciona uma contribuio significativa resistncia fora cortante de vigas de Concreto Armado e Protendido. Ensaios experimentais indicaram que entre 33 % e 50 % da fora cortante total sobre a viga pode ser transferida pelo engrenamento das interfaces. Outras consideraes que esses pesquisadores apresentaram so:

a) os fatores que mais influenciam o fenmeno so a largura da fissura e o tamanho dos agregados. A resistncia diminui com o aumento da largura da fissura e a diminuio do tamanho dos agregados. Concretos com maiores resistncias tendem a apresentar superfcies menos rugosas, e conseqentemente menor transferncia de fora cortante; b) quanto menor a largura da fissura maior a rea de contato. A transferncia depende tambm da capacidade de deformao elstica ou plstica da rea de contato com relao a uma fora aplicada. A deformao depende da quantidade de gua e ar da matriz argamassa; c) a contribuio do engrenamento dos agregados maior nas sees onde as fissuras por cortante desenvolvem-se dentro da alma da viga, e menor nas fissuras inclinadas que so continuidade de fissuras de flexo, iniciadas na borda tracionada da viga. A porcentagem da contribuio maior para valores baixos e mdios da tenso ou resistncia ltima ao cortante, mas ainda notada em valores maiores, quando os efeitos do engrenamento dos agregados diminui devido aos deslocamentos menores das interfaces; d) uso de estribos de pequeno dimetro favorecem o engrenamento dos agregados.

A Figura 17 mostra um diagrama com a taxa de armadura transversal (st) no eixo vertical, como uma funo da tenso ltima fora cortante (uo), relativa resistncia do concreto compresso (fc). As taxas de armaduras tericas so mostradas segundo o modelo de trelia sem considerao do engrenamento dos agregados, segundo as normas CEB e ACI. Os valores so relativos ao concreto com fc de 21 MPa e ao com fy de 500 MPa. A reta I relativa ao modelo de trelia considerando-se o engrenamento dos agregados. Nota-se que a reta I tem boa proximidade com os resultados experimentais, principalmente com uo/fc maiores que 0,2.



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Figura 17 Curvas de grau de armadura transversal e resultados de ensaios de vigas.

(POLI, GAMBAROVA e KARAKO, 1987).

Segundo a ASCE/ACI (1998), WALRAVEN (1981) desenvolveu um modelo que considera a probabilidade que as partculas de agregado (idealizadas como esferas) se projetaro da interface da fissura. Neste modelo a relao entre as tenses e os deslocamentos so funo da resistncia do concreto compresso, de concretos com resistncias normais. Outras relaes foram desenvolvidas em funo de c'f , e embora grandes diferenas possam ocorrer entre as leis constitutivas, o mecanismo de atrito na interface agora bem conhecido e largamente aceito como um importante mecanismo de transferncia de fora cortante. 5.4 Ao de Pino da Armadura Longitudinal

A ao de pino de uma barra de ao inserida no concreto proporciona um mecanismo de transferncia de fora cortante que foi percebida na dcada de 30 do sculo passado, e ocorre num grande nmero de aplicaes prticas das estruturas de Concreto Armado, como mostrado na Figura 18.

Figura 18 Exemplos onde a ao de pino ocorre (POLI et al., 1992).



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Em 1973, na ASCE/ACI (1973) foi comentado que procedimentos de projeto modernos consideravam a totalidade da fora cortante sendo resistida pela zona de concreto comprimido e pelos estribos. Porm, estudos recentes demonstravam que a ao de pino da armadura longitudinal e o engrenamento dos agregados nas fissuras tambm desempenham efeito importante sobre a capacidade e o modo de ruptura das vigas.

Estudos experimentais feitos por KREFELD e THURSTON (1966), PARMELEE (1961), FENWICK e PAULAY (1968), GERGELY (1969), TAYLOR (1969), BAUMANN (1968) e vrios outros, citados no ASCE/ACI (1973), indicaram que a fora resistente fora cortante proporcionada pela barra de ao na ao de pino (dowel action) entre 15 % e 25 % da fora cortante total.

A fora cortante que pode ser transferida pela ao de pino depende de vrios parmetros, como: a) quantidade de armadura; b) dimetro da barra; c) espaamento entre as barras; d) espessura do cobrimento embaixo da barra de ao; e) propriedades do concreto; f) tenses axiais na armadura; g) existncia de armadura transversal impedindo o deslocamento da barra longitudinal.

A resistncia pequena no caso de barras em regio de trao e ausncia de armadura transversal, porque a ao fica limitada pela resistncia do concreto trao.

Na situao de carga ltima necessrio considerar as no-linearidades do concreto e do ao, assim como o dano no concreto localizado, na regio prxima ao plano da fora cortante.

Existem equaes desenvolvidas com base em modelos de anlise limite simples que avaliam a capacidade ltima do efeito pino (Vu), que fornecem resultados seguros, como indicados na Figura 19.

Figura 19 Fora Vu relativa ao efeito pino em funo do dimetro da barra, para concretos

com resistncia compresso de 30 e 75 MPa (POLI et al., 1992).

Dois modos de ruptura podem ocorrer: fendilhamento do concreto do cobrimento, e esmagamento do concreto sob a barra, acompanhada pelo escoamento da barra (Figura 20). O modo de ruptura que ir ocorrer depende dos parmetros listados anteriormente (POLI et al., 1992).

O modo de ruptura do tipo I ocorre para pequenas espessuras de cobrimento, e para grandes cobrimentos ocorre a ruptura do tipo II, com o esmagamento do concreto sob a barra. Para o caso de ruptura devido ao aparecimento de fissuras de fendilhamento na superfcie de concreto na regio prxima barra (ruptura tipo I - Figura 20), a resistncia mxima do efeito pino no proporcional ao dimetro da barra, isto , a eficincia do mecanismo reduzida



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aumentando-se o dimetro da barra. Mesmo para o modo de ruptura tipo II o aumento do dimetro da barra afeta negativamente a eficincia da resistncia do mecanismo do efeito pino.

Figura 20 Modos de ruptura do mecanismo de efeito pino (VINTZILEOU, 1997).

Com base no exposto por VINTZILEOU (1997), as tenses de compresso e trao aplicadas ao concreto por uma barra de ao sob uma fora D (Figura 21) aumentam com o aumento do dimetro da barra, de modo que a mxima fora a ser transferida pelo mecanismo de pino ser afetado negativamente aumentando-se o dimetro da barra.

Figura 21 Distribuio esquemtica de tenses ao longo da barra (VINTZILEOU, 1997).

Um dos fatores primordiais na resistncia proporcionada pela barra de ao a espessura do cobrimento lateral da barra (cs), como indicado na Figura 22.

Figura 22 Notao dos cobrimentos de concreto de uma barra de ao inserida no concreto.

(VINTZILEOU, 1997).



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Para pequenas espessuras do cobrimento lateral surgem fissuras horizontais precocemente, que fazem com que a espessura do cobrimento do topo (ct) no tenha importncia. Porm, para grandes espessuras laterais (3 a 4) a resistncia proporcionada pela barra aumenta linearmente com o cobrimento do topo, embora para cobrimentos do topo superiores a 5 no ocorre aumento de resistncia.

Em funo das consideraes feitas para o cobrimento da barra esperado que, para pequenos espaamentos entre barras, a resistncia oferecida diminui em funo de ruptura causada pelo aparecimento de fissuras prematuras de fendilhamento no concreto. Nesta questo faltam resultados de pesquisas experimentais (VINTZILEOU, 1997).

Segundo a ASCE-ACI (1998), normalmente a ao de pino no muito importante em elementos sem armadura transversal, porque a mxima fora cortante proporcionada pela ao de pino limitada pela resistncia trao do concreto do cobrimento da barra, que apia a barra. A ao de pino pode ser importante em elementos com grande quantidade de armadura transversal, principalmente quando distribuda em mais que uma camada. 5.5 Tenses Residuais de Trao

Quando o concreto fissura no ocorre uma separao completa, porque pequenas partculas do concreto ligam as duas superfcies e continuam a transmitir foras de trao, para pequenas aberturas de fissura entre 0,05 e 0,15 mm. Essa capacidade do concreto contribui para a transferncia de fora cortante, importante quando a abertura da fissura ainda pequena. Vigas grandes prximas ruptura com fissuras de grande abertura mostram menor contribuio das tenses residuais de trao.

A aplicao da mecnica da fratura ao projeto fora cortante toma como base a premissa de que a tenso de trao residual o mecanismo de transferncia mais importante de fora cortante. Outros mtodos, como o modelo de dente (tooth model) de REINECK (1991), indica que as tenses de trao residuais fornecem uma importante poro da resistncia fora cortante de elementos com alturas menores que 100 mm, onde a largura das fissuras inclinadas e de flexo so pequenas. 5.6 Armaduras Longitudinal e Vertical

Numa viga, antes do surgimento das fissuras inclinadas a deformao nos estribos a mesma do concreto adjacente ao estribo, e como a tenso de trao que causa a fissura no concreto pequena, a tenso no estribo tambm pequena. De modo que somente aps ocorrer o incio da fissurao inclinada que os estribos passam a transferir fora cortante, isto , um estribo passa a ser efetivo ao transferir a fora de um lado para outro da fissura inclinada que o intercepta.

Os estribos tambm atuam diminuindo o crescimento e a abertura das fissuras inclinadas, proporcionando uma ruptura mais dctil s vigas. A existncia do estribo na viga faz com que ocorra uma mudana na contribuio relativa de cada um dos diferentes mecanismos resistentes fora cortante.

A contribuio da armadura transversal resistncia ao cortante da viga tipicamente computada por meio da trelia clssica, somada contribuio do concreto, ou por meio da trelia de ngulo varivel sem a contribuio do concreto. 6. FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTNCIA FORA CORTANTE

Segundo LEONHARDT e MNNIG (1982), so muitos fatores que influenciam a resistncia das vigas fora cortante, cerca de vinte, sendo que de alguns deles no h conhecimento suficiente da sua influncia. A seguir apresentam-se alguns dos principais fatores.



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6.1 Tipo de Carregamento

Para carregamento uniformemente distribudo (cargas atuando de cima, diretamente sobre a viga), alguns ensaios com vigas esbeltas sem armadura transversal indicaram uma capacidade resistente fora cortante cerca de 20% a 30% maior do que para carga concentrada na posio mais desfavorvel. Entretanto, na realidade, no h garantia de uma distribuio uniforme da carga de utilizao, por isso, os critrios de dimensionamento devem levar em considerao os resultados mais desfavorveis referentes s cargas concentradas. 6.2 Posio da Carga e Esbeltez

Nas cargas concentradas tem grande influncia a distncia do apoio at a carga. J para as cargas uniformes tem grande influncia a esbeltez l/h. Quanto ruptura de uma viga com e sem armadura transversal por fora cortante, a posio mais perigosa de uma carga concentrada foi determinada para o trecho a = 2,5h a 3,5h, o que corresponde a uma relao momento-fora cortante de M/Vh = a/h = 2,5 a 3,5. Para cargas distribudas, rigidezes de l/h =10 a 14 so as que conduzem a maiores perigos de ruptura por fora cortante e, conseqentemente, na menor capacidade resistente fora cortante.

A capacidade resistente fora cortante aumenta bastante para cargas prximas ao apoio, para uma relao decrescente a/h < 2,5. Um aumento correspondente acontece com carga distribuda, quando l/h < 10. Isto explica porque o efeito de viga escorada to mais favorvel, quando mais inclinadas (em relao horizontal) forem as diagonais comprimidas de concreto. Deve-se prever, a propsito, uma boa ancoragem da armadura longitudinal do banzo tracionado. 6.3 Tipo de Introduo da Carga

Efetuando-se a ligao de uma viga em toda sua altura d com outra viga, a viga que se apia distribui sua carga ao longo da altura da alma da viga que serve de apoio. Diz-se ento que se trata de um carregamento ou apoio indireto. Nos ensaios foi possvel mostrar que, na regio de cruzamento dessas vigas, necessria uma armadura de suspenso, deve ser dimensionada para a fora total atuante no apoio ou n.

Uma viga no Estdio II transfere sua carga ao apoio primordialmente pela diagonal de compresso, e as diagonais comprimidas no modelo trelia define claramente a necessidade de montantes verticais de trao, ou seja, armadura de suspenso. Entretanto, fora da regio de cruzamento, a viga no influenciada pelo tipo de introduo de carga ou de apoio, isto , o comportamento em relao fora cortante o mesmo que para o apoio ou carregamento direto. Essas mesmas consideraes valem para o dimensionamento fora cortante. Na regio de cruzamento, a armadura de suspenso atende simultaneamente funo de armadura de transversal.

As cargas penduradas na parte inferior de uma viga produzem trao na alma e devem ser transferidas pelas barras de trao da alma ao banzo comprimido. Essa armadura de suspenso adicional armadura transversal normal para a fora cortante. 6.4 Influncia da Armadura Longitudinal

O desenvolvimento de uma fissura inclinada por fora cortante, ou seja, seu aumento at prximo da borda superior da zona comprimida de concreto, depende da rigidez deformao do banzo tracionado, ou seja, quanto mais fraco for o banzo tracionado, tanto mais ele se alonga com o aumento da carga e to mais depressa a fissura inclinada se torna perigosa.

O banzo tracionado no pode, portanto, ser muito enfraquecido na regio de uma possvel ruptura por fora cortante. Tambm um escorregamento da ancoragem no apoio tem um efeito enfraquecedor. Ambas as influncias devem ser consideradas como detalhes construtivos na execuo da armadura.



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Uma outra influncia a qualidade da armadura longitudinal. Ensaios demonstraram, por exemplo, que para a mesma porcentagem de armadura longitudinal, uma distribuio das tenses com maior nmero de barras finas influencia favoravelmente a capacidade resistente fora cortante. 6.5 Influncia da Forma da Seo Transversal

A forma da seo transversal tem uma forte influncia sobre o comportamento resistente de vigas de Concreto Armado solicitadas fora cortante. A seo transversal retangular pode se adaptar livremente a uma forte inclinao do banzo comprimido e, freqentemente, pode absorver toda a fora transversal no banzo comprimido (especialmente no caso de carga distribuda e de carga concentrada prxima ao apoio).

Em sees transversais de vigas T, a fora no banzo comprimido s pode ter uma inclinao quase horizontal, porque na realidade ela permanece na largura comprimida da laje at a proximidade do apoio, concentrando-se na alma apenas gradativamente em direo ao apoio. O banzo comprimido por este motivo, s pode absorver uma parcela da fora cortante, e a maior parte deve ser resistida pelas diagonais comprimidas e pelas barras da armadura transversal. A relao da rigidez do banzo comprimido de largura bf com a correspondente rigidez das diagonais comprimidas da alma com largura bw muito maior em vigas T do que em vigas retangulares.

Nas vigas de seo retangular (bf/ bw = 1), os estribos so submetidos a tenses de compresso at que, pouco antes da carga de ruptura, uma fissura de cisalhamento cruze o estribo. Nas vigas T essas tenses no estribo aumentam para almas delgadas, em todos os casos, porm, essas tenses ficam bem abaixo da tenso de escoamento do ao a qual foi calculada de acordo com a analogia de trelia clssica de Mrsch (com diagonais a 45).

Ensaios mostraram tambm que a inclinao das fissuras inclinadas ou das diagonais comprimidas varia com a relao bf/ bw, essa inclinao situa-se em torno de 30 para bf / bw = 1 e cresce para cerca de 45 para bf / bw = 8 a 12.

O dimensionamento da armadura transversal da alma deve ser feito a partir da distribuio dos esforos internos, pouco antes da ruptura, ou seja, deve ser considerada a largura da alma em relao a largura do banzo comprimido. 6.6 Influncia da Altura da Viga

Ensaios realizados segundo uma lei de semelhana com vigas sem armadura transversal e diferentes alturas d, com igual porcentagem de armadura longitudinal de mesma distribuio de barras, mostraram que a capacidade resistente fora cortante diminui consideravelmente como aumento da altura d, quando a granulometria e o cobrimento do concreto no variarem de acordo com a escala. 7. COMPORTAMENTO DE VIGAS SEM ARMADURA TRANSVERSAL

O comportamento das vigas aps a fissurao modifica-se consideravelmente em funo da existncia ou no de armadura transversal. Por isso, inicialmente apresentam-se as caractersticas do comportamento das vigas sem armadura transversal, e em seguida das vigas com armadura transversal.

Numa viga de Concreto Armado sob ao de flexo e foras cortantes, que ocasionam tenses principais como indicadas na Figura 9, a fissura se forma quando a tenso principal de trao excede a resistncia do concreto trao.

A maior parte das fissuras inclinadas so extenses das fissuras de flexo. Em vigas com mesas, como sees I e T por exemplo, ocorrem fissuras inclinadas nas proximidades da linha neutra.

A previso da fora cortante que provoca a fissura diagonal inclinada, segundo uma anlise das tenses principais e em funo da resistncia do concreto trao, maior que a



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verificada na realidade numa viga sob flexo e foras cortantes. Assim ocorre devido principalmente redistribuio de tenses de cisalhamento entre as fissuras de flexo, entre outros fatores, como as tenses existentes devido retrao do concreto.

Segundo a ASCE-ACI (1998), a presena de fissuras inclinadas em vigas sob aes de servio so aceitveis hoje, desde que seja garantida que a abertura das fissuras no ultrapassem os limites mximos estabelecidos. 7.1 Parmetros Mais Importantes

Existem vrios parmetros que influenciam significativamente a contribuio relativa dos diferentes mecanismos resistentes fora cortante e conseqentemente a resistncia ltima das vigas sem armadura transversal fora cortante. 7.1.1 Resistncia do Concreto A resistncia fora cortante aumenta com o aumento da resistncia do concreto, porm, no est definido ainda se a resistncia do concreto compresso ou a resistncia trao que exerce maior influncia. Normas que consideram a contribuio do concreto (Vc) como a fora cortante relativa ao aparecimento da fissurao inclinada, como a NBR 6118/03 e o ACI 318, levam em considerao a resistncia do concreto trao, geralmente por meio de equaes em funo da resistncia do concreto compresso elevadas a uma potncia, como fc1/4, fc1/3 e fc1/2. O aumento da resistncia fora cortante com o aumento da resistncia do concreto parece ser mais efetivo em vigas menores com altas taxas de armaduras e feitas com concretos de baixa ou mdia resistncia, como as vigas ensaiadas por MOODY et al. (1954), indicadas no diagrama da Figura 23. As vigas de YOON e COOK (1996), com alturas nem pequenas nem grandes e com taxas de armaduras moderadas, apresentaram a tendncia de maneira menos pronunciada. Por outro lado, vigas altas levemente armadas e com concretos de alta resistncia de agregados pequenos no mostraram a mesma tendncia, como aquelas ensaiadas pelos outros autores.

Credita-se tal caracterstica ao fato das superfcies das fissuras serem mais lisas ou menos rugosas nos concretos de alta resistncia que nos concretos normais, o que diminui a eficincia do mecanismo de transferncia da fora cortante nas interfaces das fissuras (atrito na interface).

7.1.2 Altura da Viga

fato que a resistncia fora cortante diminui em vigas de concreto (Armado e Protendido) com o aumento da altura da viga, efeito chamado size effect. Algumas pesquisas como de SHIOYA et al. (1989), LEONHARDT e WALTHER (1961, 1962, 1963), entre vrias outras, mostraram tal comportamento das vigas. A Figura 24 mostra os resultados experimentais obtidos por SHIOYA et al. (1989) de vigas com alturas efetivas (d) entre 10 e 300 cm, sem armadura transversal e levemente armadas na direo longitudinal, comparados com a resistncia prevista pelo ACI 318-95 e pelo mtodo simplificado () de acordo com o modelo MCFT. A resistncia ltima das vigas maiores foi apenas cerca de um tero das vigas menores, e menos da metade da resistncia terica calculada segundo o ACI 318R-02 (HAWKINS et al., 2005).

Nas vigas maiores nota-se que romperam com tenses de cisalhamento menores que a metade das tenses tericas previstas pelo ACI 318, e o MCFT apresentou bons resultados.



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Figura 23 Influncia da resistncia compresso do concreto sobre a resistncia fora

cortante. (KUCHMA e KIM, 2001).

Figura 24 Influncia da altura da viga e da dimenso do agregado sobre a

resistncia fora cortante (COLLINS e KUCHMA, 1999). Em 1956 ocorreu a ruptura de vrias vigas de Concreto Armado, com altura de 91,4 cm, num galpo da fora area dos Estados Unidos, com fora cortante menor que a metade da fora



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cortante terica prevista pela norma ACI (Figura 25). Em investigaes realizadas na poca vigas semelhantes foram ensaiadas, porm, com modelos em escala de um tero das vigas reais rompidas. Os modelos ensaiados mostraram muito maior resistncia ruptura que as vigas do galpo, e por isso a concluso para o fator principal da queda foi que a baixa resistncia das vigas ocorreu devido a tenses axiais de trao provocadas por retrao restringida pelos pilares.

Figura 25 Viga rompida do galpo da fora area dos Estados Unidos (CLADERA, 2002).

Hoje, com os maiores conhecimentos sobre a influncia da altura da viga sobre sua resistncia fora cortante, explica-se a ruptura das vigas pela influncia da altura, no corretamente avaliada pelo ACI da poca. Porm, o entendimento de tal comportamento das vigas ainda no est completamente entendido pelos pesquisadores, dada as diferentes explicaes existentes para o fenmeno. Alguns creditam reduo da transferncia de fora cortante nas interfaces das fissuras devido a maior largura das fissuras que ocorrem em vigas de grande altura. Outros creditam que, em vigas altas, a propagao de fissuras inclinadas ocorre de maneira mais rpida, o que diminui a resistncia fora cortante. 7.1.3 Relao entre a Altura da Viga e a Posio da Carga

Numa viga simples sob carregamento de foras concentradas chama-se a a distncia entre o apoio e a fora concentrada aplicada (shear span). Costuma-se analisar a influncia desta distncia com relao altura til das vigas, isto , a razo a/d, que serve como um indicativo da esbeltez das vigas.

Quando a relao a/d diminui a resistncia da viga fora cortante aumenta, sendo particularmente importante em relaes menores que 2,5 a 3,0, porque uma parcela significativa da fora cortante transmitida diretamente ao apoio pela ao de arco. E quanto menor a relao a/d mais pronunciada se torna a ao de arco. As vigas-paredes so exemplos tpicos da existncia do efeito arco de forma pronunciada.

Em vigas simples sob cargas concentradas a seo sob mximo momento fletor e fora cortante ocorre na distncia a/d, pois Mmx = Vmx . a , e a razo de momento fletor para fora cortante Mmx / Vmx . d = a/d. No caso de viga sob carregamento uniformemente distribudo a relao Mmx / Vmx . d = l / 4d, o que significa que a a distncia entre o apoio e a resultante da carga uniformemente distribuda numa metade do vo.

O valor de a tambm relaciona as capacidades das vigas flexo e fora cortante. Numa ruptura por flexo a fora cortante pode ser calculada dividindo-se o momento de ruptura por a, e



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numa ruptura por efeito de fora cortante o momento fletor no meio do vo ser calculado multiplicando-se a fora cortante de ruptura por a. 7.1.4 Armadura Longitudinal

Para um dado carregamento mantido constante, se a armadura longitudinal da viga diminuda as tenses de flexo e as deformaes nessa armadura devem aumentar. Conseqentemente, as fissuras tero aberturas maiores e a resistncia fora cortante diminuda, e alm disso, a ao de pino tambm diminuda por existir menos armadura.

Barras longitudinais dispostas ao longo da altura das vigas diminuem o espaamento e abertura das fissuras, e por isso aumentam a resistncia fora cortante de maneira significativa. 7.1.5 Fora Axial

Foras axiais de compresso aumentam a resistncia fora cortante porque diminuem a largura das fissuras inclinadas, o que contribui para uma maior resistncia nas interfaces das fissuras, e aumentam a altura do banzo de concreto comprimido, e conseqentemente a sua resistncia fora cortante. Foras de trao, ao contrrio, diminuem a resistncia fora cortante. 7.2 Modos de Ruptura

A ruptura de vigas de Concreto Armado por efeito de fora cortante caracteriza-se pela ocorrncia de fissuras inclinadas, que pode, em alguns casos, ser seguida pela ruptura da viga, e em outros casos, a viga ainda pode suportar acrscimos de carga antes da ruptura. As fissuras inclinadas podem se desenvolver na alma das vigas como uma extenso de fissuras de flexo j existentes ou de maneira independente. A primeira fissura chamada fissura por flexo e fora cortante e a segunda como fissura por fora cortante. Ocorre tambm a fissura por flexo pura, como indicadas na Figura 8.

Alm dos trs tipos de fissuras bsicas podem tambm ocorrer outras fissuras secundrias, muitas vezes em decorrncia de tenses de trao que causam fissuras de fendilhamento, com o escorregamento relativo entre a barra de ao e o concreto, ou de foras oriundas da ao de pino de barras longitudinais transferindo fora cortante atravs de uma fissura.

De acordo com o ACI-ASCE 426 (1973), a maneira como as fissuras inclinadas se desenvolvem e crescem e o tipo de ruptura que ocorre na seqncia depende muito da relao entre as tenses de cisalhamento e as tenses normais de flexo, que podem ser definidas aproximadamente como:

dbV

w1= Eq. 8

2f

2x dbM= Eq. 9

onde bf a largura da mesa, bw a largura da alma, d a altura til, e 1 e 2 so coeficientes que dependem de vrias variveis, como a geometria, tipo de carga, quantidade e posio das armaduras, tipo de ao, concreto, etc.

Uma viga submetida a foras concentradas tem a seguinte relao entre tenses:



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=

f

w3

x

bb

da Eq. 10

onde: 3 = 2/1;

a = distncia entre a fora aplicada e o apoio (shear span).

A relao a/d til para ilustrar a variao entre a carga correspondente fissura inclinada e a capacidade da viga retangular fora cortante.

Quando todas as variveis so mantidas constantes, a influncia de a/d sobre a fissurao de vigas retangulares bi-apoiadas em funo da esbeltez classificada como ilustrado a seguir. a) viga muito esbelta (a/d > 6) As vigas nesta categoria rompem por flexo geralmente antes do surgimento de fissuras inclinadas. b) viga esbelta (2,5 < a/d < 6) Alm das fissuras de flexo surgem tambm fissuras de flexo com influncia da fora cortante, isto , fissuras que se iniciam verticais e depois se inclinam em direo ao banzo comprimido. Fissuras inclinadas devidas fora cortante podem propagar-se em direo ao topo e base da viga, causar o escoamento das armaduras e separar a viga em duas partes, o que chamado ruptura por trao diagonal (Figura 26).

Figura 26 Ruptura por trao diagonal (ACI-ASCE 426, 1973).

c) viga curta (1 < a/d < 2,5)

Uma fissura inclinada pode propagar-se pela armadura longitudinal, causando perda de aderncia entre as barras longitudinais e o concreto, que escorrega e leva ruptura da ancoragem (Figura 27). No ocorrendo falha da aderncia pode ocorrer ruptura por esmagamento do concreto comprimido do banzo superior, devido ao prolongamento da fissura inclinada em direo ao topo da viga, que diminui a rea do banzo (Figura 28).

Figura 27 Ruptura por escorregamento das barras longitudinais tracionadas.

(ACI-ASCE 426, 1973).



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Figura 28 Ruptura por escorregamento das barras longitudinais tracionadas.

(ACI-ASCE 426, 1973). d) viga muito curta (a/d < 1)

As fissuras inclinadas ocorrem ao longo da linha entre o apoio e o ponto de aplicao da carga. Nas vigas-paredes classificadas nessa categoria uma parcela significativa da fora cortante transferida ao apoio por ao de arco, como indicado na Figura 29. H vrias formas de ruptura:

1) da ancoragem da armadura longitudinal de trao; 2) esmagamento do concreto prximo e acima do apoio; 3) flexo por esmagamento do concreto do banzo comprimido ou por escoamento da

armadura de trao; 4) trao na borda superior acima do arco de compresso; 5) esmagamento do concreto que forma a ao de arco.

Figura 29 Modelos de ruptura em vigas curtas (vigas-paredes), (ACI-ASCE 426, 1973).

e) viga I

Vigas de seo transversal em forma de I tm tenso de cisalhamento na alma muito superiores s vigas retangulares, e por isso a ruptura mais comum aquela por esmagamento do concreto nas diagonais comprimidas entre as fissuras (ruptura das bielas de compresso) - Figura 30. Os outros modos de ruptura j descritos para vigas retangulares podem tambm ocorrer.



27

Figura 30 Ruptura de vigas seo I (ACI-ASCE 426, 1973).

8. COMPORTAMENTO DE VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL

A existncia de armadura transversal modifica consideravelmente o comportamento das vigas aps o surgimento das fissuras inclinadas. Ao ser interceptado por uma fissura o estribo faz a ponte de transferncia das tenses de trao entre os lados da fissura, e ao atingir a tenso fy o ao do estribo escoa. Ainda existe um ganho de resistncia proporcionado principalmente pelo atrito entre as superfcies nas fissuras. Os estribos, ao continuarem escoando, proporcionam uma ruptura dctil.

Em vigas com altas taxas de armadura transversal a ruptura pode ocorrer devido ao esmagamento do concreto comprimido das diagonais inclinadas, principalmente vigas de seo I. Aps a formao de fissuras inclinadas uma parte da fora cortante passa a ser transferida pela armadura transversal. Quando essa armadura passa a escoar qualquer fora cortante adicional deve ser transferida pelos mecanismos j citados. Quando a fissura tem a abertura aumentada o atrito nas interfaces diminui, o que causa um aumento de fora transferida pelo concreto do banzo comprimido e pela ao de pino, at que rompe a ao de pino ou o concreto comprimido esmaga. 8.1 Funo do Estribo

A colocao de estribos nas vigas tem trs funes bsicas: a) resistir parte da fora cortante; b) restringir o crescimento da abertura das fissuras, o que ajuda a manter o atrito entre as

interfaces na fissura; c) aumentar a ao de pino das barras longitudinais.

Alm disso, os estribos proporcionam uma pequena resistncia por ao de pino nas fissuras e aumentam a resistncia da zona comprimida de concreto pelo confinamento que promovem.

A Figura 31 mostra a atuao ou trabalho desenvolvido pelo estribo vertical na analogia de trelia, para uma viga com trao na fibra inferior. No n inferior o estribo entrelaa a armadura longitudinal tracionada e no n superior o estribo ancora-se no concreto comprimido e na armadura longitudinal superior.

As bielas de compresso se apiam nas barras da armadura longitudinal inferior, no trecho final dos ramos verticais dos estribos e nos seus ramos horizontais, principalmente na interseco do estribo com as barras longitudinais.

O ramo horizontal inferior dos estribos importante porque, alm de servir de apoio s bielas, tambm atua para equilibrar as tenses de trao oriundas da inclinao transversal das bielas diagonais, como indicado na Figura 31III e IV.



28

Na Figura 31II mostra-se o apoio da biela na interseco do estribo com a barra longitudinal inferior, e o acrscimo de tenso s na armadura longitudinal, entre um estribo e outro e proveniente da atuao da tenso de aderncia b , entre a barra e o concreto.

Figura 31 Atuao do estribo no modelo de trelia (FUSCO, 2000).

No n superior os estribos se ancoram no concreto comprimido, e nas barras longitudinais a posicionadas. Barras porta-estribos tambm atuam para evitar o fendilhamento, que pode ser provocado pelo gancho do estribo ao aplicar tenses de trao num pequeno volume de concreto.

O ramo horizontal superior do estribo no obrigatrio, porm, sua disposio indicada para o posicionamento de barras longitudinais internas e para resistir a esforos secundrios que geralmente ocorrem.

Vigas largas, com larguras maiores que aproximadamente 40 cm, devem ter estribos com mais de dois ramos verticais, sendo muito comum o uso de estribos com quatro ramos, que oferece a vantagem de ser montado sobrepondo-se dois estribos idnticos de dois ramos. No caso do estribo com trs ramos colocada uma barra adicional no espao entre os ramos de um estribo convencional com dois ramos (Figura 32).

Figura 32 Estribos com trs e com quatro ramos verticais.



29

8.2 Modos de Ruptura

As formas de ruptura de vigas por efeito de fora cortante tambm foram estudadas por LEONHARDT e MNNIG (1982), e so descritas a seguir. Quando as tenses principais de trao inclinadas I alcanam a resistncia do concreto trao, surgem as primeiras fissuras devidas fora cortante, perpendiculares direo de I , como mostrado anteriormente. medida que as fissuras vo surgindo ocorre uma redistribuio dos esforos internos, e a armadura transversal e as diagonais comprimidas passam ento a trabalhar de maneira mais efetiva. A redistribuio de esforos depende da quantidade e da direo da armadura transversal, o que leva a diversos tipos de ruptura por fora cortante. Com o aumento do carregamento as fissuras de flexo na regio de maiores foras cortantes propagam-se com trajetria inclinada, dando origem s chamadas fissuras de flexo com cortante. Se a armadura transversal for insuficiente, o ao atinge a deformao de incio de escoamento (y). As fissuras inclinadas por efeito da fora cortante prximas ao apoio desenvolvem-se rapidamente em direo ao banzo comprimido, diminuindo a sua seo resistente, que por fim pode se romper bruscamente (Figura 33). A total falta de armadura transversal tambm pode levar a esta forma de ruptura. A fissura propaga-se tambm pela armadura longitudinal de trao nas proximidades do apoio, separando-a do restante da viga (Figura 33).

Figura 33 Ruptura de viga e laje por rompimento do banzo superior comprimido de concreto.

(LEONHARDT e MNNIG, 1982). Pode tambm ocorrer o rompimento dos estribos, antes da ruptura do banzo comprimido, ou a ruptura na ligao das diagonais comprimidas com o banzo comprimido. A Figura 34 mostra a ruptura que pode ocorrer por rompimento ou deformao excessiva dos estribos.

Figura 34 Runa da viga por rompimento dos estribos (LEONHARDT e MNNIG, 1982).



30

Em sees com banzos reforados, como sees I, que possuam armaduras longitudinal e transversal reforadas, formam-se muitas fissuras inclinadas, e as bielas de compresso entre as fissuras podem romper de maneira brusca ao atingir a resistncia do concreto compresso. Tal ruptura ocorre quando as diagonais so solicitadas alm do limite da resistncia do concreto, antes que a armadura transversal entre em escoamento (Figura 35).

As bielas de compresso delimitam o limite superior da resistncia das vigas ao esforo cortante, o que depende da resistncia do concreto. A tenso de compresso nas bielas depende da inclinao dos estribos, como se ver adiante.

Figura 35 - Ruptura das diagonais comprimidas no caso de armadura transversal reforada.

(LEONHARDT e MNNIG, 1982). 9. TRELIA CLSSICA DE RITTER-MRSCH ( = 45) Neste item so apresentadas as equaes para as foras e as tenses nas barras da trelia clssica, e no item 11 as equaes para a trelia generalizada, que servem de base para a deduo das equaes contidas na NBR 6118/03 para o dimensionamento das vigas fora cortante. A trelia clssica a admitida pela NBR 6118/03 para o Modelo de Clculo I (item 17.4.2.2), onde o ngulo fixo com valor de 45.

A analogia de uma viga fissurada com uma trelia foi introduzida por RITTER (1899), e serviu para o entendimento do comportamento das vigas fora cortante durante o incio do sculo 20. Cada barra da trelia, indicada na Figura 36, representa uma parte de uma viga simples: o banzo inferior a armadura longitudinal de trao, o banzo superior o concreto comprimido pela flexo, as diagonais inclinadas de 45 representam o concreto comprimido entre as fissuras (bielas de compresso) e as diagonais tracionadas inclinadas do ngulo os estribos. Essa trelia a chamada trelia clssica. Para estribos verticais imagina-se as diagonais tracionadas dispostas na vertical, com ngulo de 90. Este modelo de Ritter foi melhorado por Mrsch, assumindo que as diagonais comprimidas estendem-se por mais de um estribo.

O modelo de trelia tradicional assume que as bielas de compresso so paralelas direo das fissuras inclinadas e que nenhuma tenso transferida atravs as fissuras. No entanto, existem dois mecanismos que no so considerados no modelo de trelia tradicional: 1) as tenses de trao que existem no concreto transversalmente s bielas de compresso; 2) as tenses de cisalhamento que so transferidas nas faces das fissuras inclinadas pela ao do engrenamento dos agregados ou atrito. Esses mecanismos resultam: 1) o ngulo da tenso principal de compresso na alma menor que o ngulo de inclinao das fissuras; 2) uma componente vertical da fora ao longo da fissura que contribui para a resistncia fora cortante, sendo esse mecanismo resistente chamado como contribuio do concreto (Vc). Geralmente, a tenso de trao no concreto entre as fissuras no considerada nos modelos de trelia (ASCE-ACI, 1998).

A trelia clssica despreza a resistncia do concreto trao e mesmo aps a fissurao da viga as diagonais de compresso mantm-se inclinadas de 45. A contribuio do concreto considerada por meio da parcela Vc , com diferentes valores para cada norma. Considere uma viga bi-apoiada, com o carregamento de uma fora concentrada P, e com fora cortante constante. A analogia dessa viga fissurada (Estdio II) com a trelia clssica, com



31

ngulo de inclinao das diagonais comprimidas (bielas de compresso) de 45 e com diagonais tracionadas inclinadas de um ngulo qualquer, est mostrada na Figura 36.

Sendo a trelia isosttica, as foras nas barras podem ser determinadas considerando-se apenas as condies de equilbrio dos ns, a partir da fora cortante. Considerando a seo 1-1 da trelia sob atuao da fora cortante V, a fora na diagonal comprimida (biela de compresso - Rcb) : 45senRV cb= Eq. 11

V245sen

VR cb == Eq. 12

45

VcbR

1

1

V = P2V = 2P

P

V

V

45

diagonal comprimidaP

V = P2

z ( 1 + cotg )

diagonal tracionada banzo tracionado

banzo comprimido

z

( 1 + cotg )

2z

1

1

= 45V

Figura 36 Viga representada segundo a trelia clssica de Ritter-Mrsch.

A distncia entre duas diagonais comprimidas adjacentes, na direo perpendicular a elas, (Figura 36):



32

( )+ cotg12

z

A fora em cada diagonal comprimida pode ser considerada aplicada na rea de concreto

(rea da biela):

bw . ( )+ cotg12

z

onde o ngulo de inclinao das diagonais tracionadas. A tenso mdia de compresso na biela ento dada por:

( ) ( )+=+= cotg1zbV22

cotg12

zb

R

ww

cbcb

( )+= cotg1zbV2

wcb Eq. 13

A fora na diagonal tracionada (Rs,), inclinada do ngulo , pode ser determinada fazendo o equilbrio da seo 1-1 da trelia (Figura 36):

= senRV ,s Eq. 14

= senVR ,s Eq. 15

V

Rs,

Cada diagonal de trao com fora Rs, relativa a um comprimento da viga, a distncia z (1 + cotg ), medida na direo do eixo longitudinal, e deve ser resistida por uma armadura chamada transversal, composta por barras (estribos) espaadas num comprimento s e inclinadas de um ngulo (Figura 37).

s s s s s s s

Asw,

z ( 1 + cotg )

Figura 37 Armadura transversal Asw, resistente fora na diagonal tracionada.



33

Considerando Asw a rea de ao de um estribo, a rea total de armadura no comprimento z (1 + cotg ) dada por:

( )scotg1zA ,sw

+

onde z (1 + cotg )/s representa o nmero de estribos nesse comprimento. A tenso sw na armadura transversal resulta:

( ) ( )

+=+= ,sw,sw,s

,sw As

sencotg1zV

scotg1zA

R

( ) += ,sw,sw As

cossenzV

Eq. 16

Asw,

s

O ngulo de inclinao da armadura transversal pode variar teoricamente de 45 a 90, sendo que na esmagadora maioria dos casos da prtica o ngulo adotado de 90, com a armadura transversal consistindo de estribos na posio vertical. Porm, interessante fazer algumas comparaes com o ngulo assumindo os valores de 45 e 90, o que mostrado na Tabela 1.

A equao que determina a tenso na diagonal comprimida (cb) mostra que o ngulo de inclinao da armadura transversal influencia o valor da tenso na diagonal comprimida. Quando a armadura transversal colocada na posio vertical, com = 90, como a armadura fica inclinada com relao s tenses principais de trao I a tenso na diagonal comprimida (biela de compresso) resulta o dobro da tenso para quando a armadura colocada inclinada a 45. Conclui-se que, quanto mais inclinada for a armadura at o limite de 45, menor ser a tenso nas bielas de compresso.

Tabela 1 - Resumo das relaes para a trelia clssica em funo do ngulo de inclinao das diagonais tracionadas.

Relao qualquer = 45 = 90 Fora na diagonal compri-mida (Rcb)

V2 V2 V2

Tenso na diagonal comprimida (cb) ( )+ cotg1zb

V2

w

zbV

w

zbV2w

Fora de trao na arma-dura transversal (Rs) sen

V 45sen

V V

Tenso na armadura transversal (sw) ( ) + ,swA

scossenz

V

2As

zV

45,sw

90,swA

szV

O fato j enunciado da armadura transversal inclinada de 45 ser mais eficiente, por acompanhar a inclinao das tenses principais de trao I , fica evidenciado ao se comparar as equaes da tenso na armadura transversal (sw). Nota-se que a armadura a 45 resulta 2 vezes



34

menor que a armadura a 90. No entanto, a armadura a 45 apresenta comprimento 2 vezes maior que a armadura a 90, o que acaba levando a consumos de armadura praticamente iguais. 10. TRELIA GENERALIZADA ( varivel)

Com base nos resultados de numerosas pesquisas experimentais verificou-se no sculo passado que a inclinao das fissuras geralmente inferior a 45, e conseqentemente as bielas de compresso tm inclinaes menores, podendo chegar a ngulos de 30 ou at menores com a horizontal, em funo principalmente da quantidade de armadura transversal e da relao entre as larguras da alma e da mesa, em sees T e I por exemplo (Figura 38). Alm disso, a trelia no considera a ao de arco nas proximidades dos apoios. Por no fazer essas consideraes a trelia clssica de Ritter-Mrsch conservadora e conduz armadura transversal um pouco exagerada.

- 30 - 38

- 38 - 45

a) trelia de alma espessa

b) trelia de alma delgada

PP

Figura 38 - Trelia generalizada (CEB, 1979).

Para levar em conta a menor inclinao das fissuras surgiu, na dcada de 60, a chamada trelia generalizada, com ngulos menores que 45 para a inclinao das diagonais comprimidas (Figura 39). A determinao correta do ngulo para uma viga muito complexa, porque depende de inmeros fatores.

A deduo das foras na trelia generalizada semelhante quela j apresentada para a trelia clssica. Sendo V a fora cortante que atua na seo 1-1 da trelia (Figura 39), a fora na diagonal comprimida (Rcb) : = senRV cb Eq. 17

= senVR cb Eq. 18 V

cbR

1

1



35

diagonal comprimida

PV = 2

diagonal tracionada

z

banzo tracionado

banzo comprimido

P

z(cotg + cotg )sen

z(cotg + cotg )

1

1

V

Figura 39 - Trelia generalizada com diagonais comprimidas inclinadas com ngulo e

armadura transversal inclinada com ngulo .

A distncia entre duas diagonais comprimidas adjacentes, na direo perpendicular a elas, : ( ) + sencotggcotz

A fora em cada diagonal comprimida pode ser considerada aplicada na rea de concreto (rea da biela):

bw . ( ) + sencotggcotz onde o ngulo de inclinao das diagonais tracionadas. A tenso mdia de compresso na biela ento dada por:

( ) += sencotggcotzbR

w

cbcb

( ) += 2wcb sencotggcotzbV Eq. 19

A fora na diagonal tracionada (Rs,) pode ser determinada fazendo o equilbrio da seo 1-1 da trelia (Figura 39): = senRV ,s Eq. 20

= senVR ,s Eq. 21

VRs,



36

Cada diagonal de trao com fora Rs, relativa a um comprimento da viga, a distncia z (cotg + cotg ), medida na direo do eixo longitudinal da viga, e deve ser resistida por uma armadura transversal composta por barras (estribos) espaadas num comprimento s e inclinadas de um ngulo , como indicado na Figura 39.

Considerando Asw a rea de ao de um estribo, a rea total de armadura no comprimento z (cotg + cotg ) dada por:

( )s

gcot cotg zA ,sw+

onde z (cotg + cotg )/s representa o nmeros de estribos nesse comprimento. A tenso sw na armadura transversal resulta:

( )s

cotggcotzAR

sw

,s,sw +=

( ) += ,sw,sw As

sencotggcotzV

Eq. 22

Asw,

s

No modelo de trelia generalizada o ngulo uma incgnita no problema, sendo dependente de diversos fatores. Este um assunto que vem sendo pesquisado, sendo que nos modelos desenvolvidos por Collins, Mitchell e Vecchio (CFT e MCFT), o ngulo calculado. 11. DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118/03

A partir de maro de 2003 uma nova verso da NBR 6118 entrou em vigor no Brasil, trazendo significativas mudanas em relao sua verso anterior, a NB 1/78, quanto

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