Proposies e Conectivos LgicosCleone Silvacleone.lima@ifrn.edu.brhttp://docente.ifrn.edu.br/cleonelima

Lgica Conceitos BsicosAristteles se preocupava com as formas de raciocnio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos.

A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia Lgica a formulao de leis gerais de encadeamentos de conceitos e juzos que levariam descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento chamada, em Lgica, de argumento.

Um argumento uma seqncia de proposies (afirmaes) na qual uma delas a concluso e as demais so premissas.

O objeto de estudo da lgica determinar se a concluso de um argumento ou no uma conseqncia lgica das premissas.

ProposioConjunto de palavras ou smbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, de modo que se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lgicos possveis: verdadeiro ou falso.

Exemplos:a) O curso Pr-Fiscal fica em So Paulo.b) O Brasil um Pas da Amrica do Sul.c) A Bahia um estado do sul do Brasil.

Assim, temos:

a) O Curso Pr-Fiscal fica em So Paulo um proposio verdadeira.b) O Brasil um Pas da Amrica do Sul uma proposio verdadeira.c) A Bahia um estado do sul do Brasil, uma proposio falsa.

ProposioO que no uma Proposio?

Sentenas exclamativas: Caramba!, Feliz aniversrio!, Feliz Ano Novo!.Sentenas interrogativas: Como seu nome?, O jogo saiu de quanto?Sentenas imperativas: Estude mais, Leia aquele livro.

Princpios das Proposies

1 Princpio da identidadeUma proposio verdadeira verdadeira; uma proposio falsa falsa.

2- Princpio da no-contradio:Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

3 Princpio do Terceiro Excludo:Uma proposio ou ser verdadeira, ou ser falsa : no h outra possibilidade.

ProposioProposies SIMPLES: aquelas que vm sozinhas, desacompanhadas de outras proposies: So geralmente designadas por letras minsculas p, q, r ...Ex: p = Todo homem mortal / q = O novo papa alemo.

Proposies COMPOSTAS: duas ou mais proposies conectadas entre si, formando uma s sentena. Habitualmente designadas por letras maisculas P, Q, R ...Ex: Joo mdico e Pedro dentista.

Os conectivos so representados da seguinte forma: corresponde a no corresponde a e corresponde a ou corresponde a ento corresponde a se e somente se

ProposioA partir de uma proposio podemos construir uma outra com a sua negao;Ex: Maria mdica. / Maria no mdica.

Com duas proposies ou mais, podemos formar:Conjunes: a b (l-se: a e b)Disjunes: a b (l-se: a ou b)Disjunes exclusiva: a V b (l-se: ou a ou b)Condicionais: a b (l-se: se a ento b)Bicondicionais: a b (l-se: a se e somente se b)

Exerccio

Seja p a proposio est chovendo e seja q a proposio est ventando. Escreva uma sentena verbal simples, em portugus, que descreva cada uma das seguintes proposies lgicas:

~~pp qq ~p~p~qp q

Tabela-Verdade um instrumento usado para determinar os valores lgicos das proposies compostas, a partir de atribuies de todos os possveis valores lgicos das proposies simples componentes.A primeira das tabelas abaixo apresenta duas proposies simples: p e q e a segunda, trs proposies simples: p, q e r. As clulas de ambas as tabelas so preenchidas com valores lgicos V e F, de modo a esgotar todas as possveis combinaes. O nmero de linhas da tabela pode ser previsto efetuando o clculo: 2 elevado ao nmero de proposies simples. Nos exemplos abaixo tem-se 22 = 4 linhas e 23 = 8 linhas.

pqVV VFFVFF

pqrVVVVVFVFVVFFFVVFVFFFVFFF

Operaes LgicasDepende de duas coisas:Valor lgico das proposies componentes;Tipo de conectivo que as une.

Conectivo e: ConjunoProposies compostas em que est presente o conectivo e;Simbolicamente representado por .A sentena:

Marcos mdico e Maria estudante

... pode ser representada apenas por: p q. Onde: p = Marcos mdico e q = Maria estudante.

Como se revela o valor lgico de uma proposio conjuntiva? Da seguinte forma: uma conjuno s ser verdadeira, se ambas as proposies componentes forem tambm verdadeiras.

Conjuno Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposies componentes seja falsa, e a conjuno ser toda ela falsa. Obviamente que o resultado falso tambm ocorrer quando ambas as proposies componentes forem falsas.

pqpqVVVVFFFVFFFF

Para assimilar... Uma maneira de assimilar bem essa informao seria pensarmos nas sentenas simples como promessas de um pai a um filho: eu te darei uma bola E te darei uma bicicleta. Ora, pergunte a qualquer criana! Ela vai entender que a promessa para os dois presentes. Caso o pai no d nenhum presente, ou d apenas um deles, a promessa no ter sido cumprida. Ter sido falsa! No entanto, a promessa ser verdadeira se as duas partes forem tambm verdadeiras!

Representao Matemtica Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjuno p e q corresponder interseo do conjunto p com o conjunto q. Teremos:

Conectivo ou: DisjunoProposies compostas em que est presente o conectivo ou;Simbolicamente representado por V.A sentena:

Marcos mdico ou Maria estudante

... pode ser representada apenas por: p V q. Onde: p = Marcos mdico e q = Maria estudante.

Como se revela o valor lgico de uma proposio disjuntiva?

Disjuno Uma disjuno ser falsa quando as duas partes que a compem forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjuno ser verdadeira!

pqpVqVVVVFVFVVFFF

Para assimilar... Lembremos da promessa de um pai a um filho: eu te darei uma bola OU te darei uma bicicleta. Neste caso, a criana j sabe, de antemo, que a promessa por apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai j valeu! J foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicssimo! A promessa foi mais do que cumprida. S haver um caso, todavia, em que a bendita promessa no se cumprir: se o pai esquecer o presente, e no der nem a bola e nem a bicicleta. Ter sido falsa toda a disjuno.

Representao Matemtica Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a disjuno p ou q corresponder unio do conjunto p com o conjunto q. Teremos:

Disjuno ExclusivaVejamos:

Te darei uma bola OU uma bicicleta.OU te darei uma bola OU te darei uma bicicleta.

Qual a diferena? A segunda estrutura apresenta duas situaes mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante ser necessariamente falsa. Ambas nunca podero ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca podero ser, ao mesmo tempo, falsas.

Proposies compostas em que est presente o conectivo Ou ... ou ...;Simbolicamente representado por V.Como se revela o valor lgico de uma disjuno exclusiva? Uma disjuno exclusiva s ser verdadeira se obedecer mtua excluso das sentenas. Falando mais fcil: s ser verdadeira se houver uma das sentenas verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjuno exclusiva ser falsa.Conectivo Ou ... ou ...: Disjuno Exclusiva

Disjuno Exclusiva Vejamos a tabela-verdade de uma disjuno exclusiva.

pqpVqVVFVFVFVVFFF

Para assimilar... Lembremos da promessa de um pai a um filho: OU te darei uma bola OU te darei uma bicicleta. Neste caso, a criana j sabe, que se for verdade que te darei uma bola, ento teremos que no ser dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que te darei uma bicicleta, ento teremos que no ser dada a bola.

Conectivo Se ... ento ...: CondicionalProposies compostas em que est presente o conectivo Se ... ento ....;Simbolicamente representado por .A sentena:

Se nasci em Fortaleza ento sou cearense

... pode ser representada apenas por: p q. Onde: p = Nasci em Fortaleza e q = Sou cearense.

Como se revela o valor lgico de uma proposio condicional?

Condicional S ser falsa esta estrutura quando houver a condio suficiente, mas o resultado necessrio no se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional ser verdadeira.

pqpqVVVVFFFVVFFV

DicasPedro ser rico condio suficiente para Maria ser mdica,

Podemos reescrever essa sentena, usando o formato da condicional. Teremos:

Pedro ser rico condio suficiente para Maria ser mdica igual a:Se Pedro for rico, ento Maria mdica

Se algum disser que: Maria ser mdica condio necessria para que Pedro seja rico, tambm poderemos traduzir isso de outra forma:Maria ser mdica condio necessria para que Pedro seja rico igual a:Se Pedro for rico, ento Maria mdica

No esqueam:Uma condio suficiente gera um resultado necessrio.

Representao Matemtica Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a condicional se p ento q corresponder incluso do conjunto p no conjunto q (p est contido em q).

Conectivo ... se e somente se ...: BicondicionalProposies compostas em que est presente o conectivo ... se e somente se ....;Simbolicamente representado por .Consiste em uma CONJUNO entre duas CONDICIONAIS:

Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri=Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri E Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre=Se Eduardo fica alegre ento Mariana sorri e se Mariana sorri ento Eduardo fica alegre

BicondicionalHaver duas situaes em que a bicondicional ser verdadeira: quando antecedente e consequente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional ser falsa.

pqpqVVVVFFFVFFFV

Representao Matemtica Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a bicondicional p se e somente se q corresponder igualdade dos conjuntos p e q.

Perguntas???

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