RODRIGO ROMAIS Departamento de Matemática – UNEMAT/Sinop

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APLICAÇÃO DE ALGUNS MÉTODOS NUMÉRICOS DE RUNGE-KUTTA

NA RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA REFERENTE AO PROBLEMA DO

RESFRIAMENTO DE NEWTON

Equações Diferenciais Uma equação diferencial é uma igualdade que envolve uma função de uma

ou mais variáveis e suas derivadas até determinada ordem.

Pode ser encontrada em aplicações como reações químicas, decaimento radioativo e corpos em queda.

Nem toda equação diferencial apresenta solução analítica. Para se contornar esta problemática, surgem os métodos numéricos.

Em se tratando da resolução de EDO´s de primeira ordem, destacam-se os Métodos de Runge-Kutta, devido à relativa facilidade de obtenção dos seus algoritmos.

Problema Modelo O problema modelo é governado por uma equação diferencial linear de

primeira ordem. Uma equação diferencial de primeira ordem é toda equação do tipo:

em que: - função incógnita ou solução da EDO; - derivada da função incógnita; - função da variável independente ; - função da variável independente .

(1)

Problema Modelo

A lei do resfriamento de Newton é contemplada pela equação:

Figura 1 - Representação do problema modelo

(2)

A barra de ferro é aquecida em 60ºC, consequentemente submergido em um recipiente termicamente controlado à 5ºC. No decorrer de 10 minutos a temperatura da barra cai para 40ºC. Qual será a temperatura da barra no decorrer de 22 minutos.

Caracterizado um Problema de Valor Inicial(PVI), segue algumas condições iniciais:

Problema Modelo

Da equação (1) e (2):

Resolução Analítica

(3)

Fazendo analogia entre as equações (1) e (3):

(4) (5)

A solução da equação (2), segundo a técnica do fator integrante é expressa pela equação (6):

(6)

Conhecido o fator integrante U(t):

(7)

Substituindo as equações (4), (5) e (7) na equação (6) :

Resolução Analítica

(8)

com:

Assim:

Resolução Analítica A equação (8) é a solução geral da EDO. Como condição inicial admitimos que Quando o tempo é igual à zero, a temperatura do corpo é To, e dessa forma, a solução particular da equação (2) fica expressa por:

Substituindo na equação (8):

.

Encontra-se a solução particular para o problema:

(9)

Resolução Analítica Do problema modelo é conhecido que a temperatura inicial do corpo To e que a sua temperatura após 10 minutos é de , pode-se agora encontrar o valor da constante k, assim como expressa a Equação (10) :

Resolução Analítica Então, a expressão de k fica expressa:

(10)

Conhecido o valor de k, a função Temperatura do corpo fica expressa pela equação (11):

+

. (11)

A equação (11) também pode ser representada da seguinte maneira:

Resolução Analítica

Sabendo que:

Então a função Temperatura da barra fica limitada à Temperatura do Ambiente:

Resolução Analítica A Figura 2 representa a variação da temperatura da barra de ferro ao longo do tempo.

Figura 2 - Variação de temperatura do corpo (problema modelo).

Para o instante t=22 minutos, a temperatura do corpo segundo a equação (11), é de T(t=22)=25.347659907ºC

Métodos Numéricos de Runge-Kutta

Basicamente, o desenvolvimento e consequentemente, a melhoria das aproximações de métodos numéricos aplicados a resolução de equações diferenciais ordinárias fundamentam-se em séries de Taylor, cuja melhoria das aproximações ficam atreladas ao termo do truncamento da mesma.

Os Métodos de Runge-Kutta evitam essas dificuldades algébricas, utilizando expressões menos “complicadas” e fornecendo precisão igual ao da expansão da série de Taylor de mesma ordem.

A expressão geral do Método de Runge-Kutta de ordem m, é expressa pela equação (12):

(12)

Com i variando de 0 a n-1. Em que:

Constantes para cada método de ordem m

Sendo pj e r j,l , constantes para cada método de ordem m, para j>1.

Métodos Numéricos de Runge-Kutta

Seja a EDO y’=f(x,y), com condições iniciais x0 e y0. Deseja-se obter y=f(x), para que x=x.

Runge-Kutta de 1ª Ordem

(13)

Constante para o método de ordem 1

Representação Geométrica de Runge-Kutta

A Figura 3 representa o comportamento do método numérico para três partições de domínio, h=3.

Figura 3 – Método de Euler de 1ª Ordem para três partições de domínio

Representação Geométrica de Runge-Kutta

A Figura 4 representa o comportamento do método numérico para cinco partições de domínio, h=5.

Figura 4 – Método de Euler de 1ª Ordem para cinco partições de domínio

De maneira análoga, a expressão para Runge-Kutta de 2ª Ordem fica expresso pela equação (14):

Runge-Kutta de 2ª Ordem

(14)

Onde:

A expressão para Runge-Kutta de 3ª Ordem fica expresso pela equação (15):

Runge-Kutta de 3ª Ordem

(15)

Onde:

A expressão para Runge-Kutta de 4ª Ordem fica expresso pela equação (16):

Runge-Kutta de 4ª Ordem

(16)

Onde:

Por fim, a expressão de Runge-Kutta de 5ª Ordem, fica expresso pela equação (17):

Runge-Kutta de 5ª Ordem

(17)

Onde:

Para a verificação do erro gerado em ambas aproximações, utiliza-se a medida de erro percentual relativo, assim como expressa a equação (18):

Resolução Aproximada

(18)

Onde:

- Solução Analítica do Problema Modelo

- Solução Aproximada obtida pele Método Numérico

Resolução Aproximada

Para a verificação das aproximações segundo as versões de Runge-Kutta, Serão utilizadas respectivamente 5, 10 e 20 partições no intervalo do problema modelo que varia de 10 a 22 minutos, lembrando que temperatura de interesse é referente ao tempo de 22 min.

SAN = T(t=22)=25.347659907ºC

Aproximações com 5 partições de Domínio

Xn 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 5ª Ordem

10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000

12,4 36,203324961 36,073153245 36,401803839 36,402005767 36,402001476

14,8 32,818499674 32,885269528 33,173522409 33,173884749 33,173877048

17,2 29,800848150 30,024439925 30,277126404 30,277614039 30,277603675

19,6 27,110540689 27,457111019 27,678496141 27,679079482 27,679067083

22 24,712068176 25,153171732 25,347019634 25,347673848 25,347659943

Erro(%) 2,507496680 0,767282567 0,002525967 0,000054999 0,000000142

Tabela 1 - Aproximações para cinco partições e o erro encontrado.

Aproximações com 5 partições de Domínio

O gráfico da Figura 5 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.

O gráfico da Figura 5 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.

Aproximações com 10 partições de Domínio

Tabela 2 - Aproximações para dez partições e o erro encontrado.

Xn 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 5ª Ordem 10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000

11,2 38,101662480 38,069119551 38,152212950 38,152225570 38,152225435

12,4 36,306287399 36,324150643 36,401977813 36,402001722 36,402001465

13,6 34,608290257 34,671259072 34,744144443 34,744178412 34,744178047

14,8 33,002389448 33,105586165 33,173834588 33,173877489 33,173877028

16 31,483589833 31,622529625 31,686427539 31,686478334 31,686477789

17,2 30,047167198 30,217730008 30,277546532 30,277604269 30,277603649

18,4 28,688653562 28,887057907 28,943045871 28,943109674 28,943108989

19,6 27,403823281 27,626601810 27,678998725 27,679067794 27,679067052

20,8 26,188679900 26,432656607 26,481685578 26,481759177 26,481758387

22 25,039443727 25,301712695 25,347583280 25,347660740 25,347659908

Erro(%) 1,215955165 0,181268062 0,000302306 0,000003285 0,000000004

Aproximações com 10 partições de Domínio

O gráfico da Figura 6 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.

O gráfico da Figura 6 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.

Aproximações com 20 partições de Domínio Tabela 3 - Aproximações para vinte partições e o erro encontrado.

Xn 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 5ª Ordem 10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000

10,6 39,050831240 39,042695508 39,063585201 39,063585990 39,063585986 11,2 38,127403090 38,132006273 38,152223907 38,152225443 38,152225434 11,8 37,229017487 37,245679237 37,265245819 37,265248061 37,265248049 12,4 36,354995299 36,383062675 36,401998572 36,402001480 36,402001465 13 35,504675814 35,543522301 35,561847252 35,561850791 35,561850772

13,6 34,677416233 34,726440794 34,744173937 34,744178069 34,744178047 14,2 33,872591194 33,931217348 33,948377232 33,948381925 33,948381899 14,8 33,089592292 33,157267231 33,173871837 33,173877056 33,173877028 15,4 32,327827621 32,404021351 32,420088108 32,420093822 32,420093791 16 31,586721328 31,670925841 31,686471642 31,686477822 31,686477788

16,6 30,865713176 30,957441650 30,972482871 30,972489487 30,972489451 17,2 30,164258122 30,263044150 30,277596662 30,277603686 30,277603648 17,8 29,481825903 29,587222744 29,601301931 29,601309337 29,601309297 18,4 28,817900636 28,929480496 28,943101268 28,943109030 28,943108988 19 28,171980430 28,289333764 28,302510572 28,302518666 28,302518623

19,6 27,543577004 27,666311844 27,679058694 27,679067096 27,679067051 20,2 26,932215317 27,059956622 27,072287089 27,072295777 27,072295731 20,8 26,337433214 26,469822242 26,481749481 26,481758435 26,481758386 21,4 25,758781071 25,895474773 25,907011534 25,907020733 25,907020683 22 25,195821457 25,336491895 25,347650535 25,347659958 25,347659907

Erro(%) 0,599023543 0,044059342 0,000036976 0,000000201 0

Aproximações com 20 partições de Domínio

O gráfico da Figura 7 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.

O gráfico da Figura 7 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.

Conclusões O método de Runge-Kutta mostra-se como forma alternativa de resolução

de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, sendo de fundamental importância em se tratando de problemas desprovidos de solução analítica.

É importante destacar que, em se tratando de problemas sem soluções analíticas conhecidas, a solução do problema para algum valor de domínio de interesse é encontrada quando a diferença entre dois valores sucessivos calculados sobre o mesmo ponto para várias malhas (com aumento progressivo) é menor que uma tolerância (erro) pré-estabelecida.

Como era de se esperar, os resultados advindos das versões de Runge-Kutta de 5a ordem aplicados na resolução do problema modelo, independente da malha, mostrou ser o mais preciso dentre os demais.

Para finalizar, a utilização de um Método de Runge-Kutta de 1a ordem pode apresentar resultados satisfatórios a medida em que a malha do problema é aumentada, o que acarreta em um número maior de iterações e consequentemente, em trabalho computacional maior.

Conclusões

Referências BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. “Equações Diferenciais Elementares e

Problemas de Valores de Contorno”. 5ª Ed. Rio de Janeiro. Guanabara Koogan, 1994.

ROMAIS, R.; BENETTI, D.; CHRISTOFORO, A. L; REIS Jr, D. V. “ Aplicação de Alguns Métodos de Runge-Kutta na Resolução de equações diferenciais ordinárias”. II Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional da Região Centro-Oeste, UNEMAT, Sinop – MT, 2009.

RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.R. “Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais”. 2° ed. São Paulo. Pearson Makron Books, 1996.

ZILL, D.G. “Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem”. 1ª Ed. São Paulo. Thomson, 2003.