Congruencia de triangulos

Monica Moulin Ribeiro MerkleInstituto de Matematica, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil

monica@im.ufrj.br

9 de setembro de 2016

Monica Merkle - IM/UFRJ 1 / 8

Congruencia

Encontrar uma nocao apropriada de equivalencia e uma preocupacaodos matematicos. Em geometria, a nocao sera a de congruencia.

DEF. Dizemos que dois segmentos AB a CD sao congruentes(iguais) quando AB = CD.

DEF. Dizemos que dois angulos A a B sao congruentes (iguais)quando tem mesma medida.

DEF. Dois triangulos sao congruentes quando e possıvel fazer umacorrespondencia biunıvoca entre os vertices de modo que os angulos elados correspondentes sejam congruentes - Euclides usou o ’metododa superposicao’ (usando o espaco).

Repare que a relacao de congruencia e reflexiva, simetrica e transitiva.

O que precisamos conhecer de um triangulo para determina-lo amenos de congruencia? Por exemplo, se AB = EF e A = E teremosABC ≡ EFG? Nao, pois...

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Congruencia

Encontrar uma nocao apropriada de equivalencia e uma preocupacaodos matematicos. Em geometria, a nocao sera a de congruencia.

DEF. Dizemos que dois segmentos AB a CD sao congruentes(iguais) quando AB = CD.

DEF. Dizemos que dois angulos A a B sao congruentes (iguais)quando tem mesma medida.

DEF. Dois triangulos sao congruentes quando e possıvel fazer umacorrespondencia biunıvoca entre os vertices de modo que os angulos elados correspondentes sejam congruentes - Euclides usou o ’metododa superposicao’ (usando o espaco).

Repare que a relacao de congruencia e reflexiva, simetrica e transitiva.

O que precisamos conhecer de um triangulo para determina-lo amenos de congruencia? Por exemplo, se AB = EF e A = E teremosABC ≡ EFG? Nao, pois...

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Congruencia

Encontrar uma nocao apropriada de equivalencia e uma preocupacaodos matematicos. Em geometria, a nocao sera a de congruencia.

DEF. Dizemos que dois segmentos AB a CD sao congruentes(iguais) quando AB = CD.

DEF. Dizemos que dois angulos A a B sao congruentes (iguais)quando tem mesma medida.

DEF. Dois triangulos sao congruentes quando e possıvel fazer umacorrespondencia biunıvoca entre os vertices de modo que os angulos elados correspondentes sejam congruentes - Euclides usou o ’metododa superposicao’ (usando o espaco).

Repare que a relacao de congruencia e reflexiva, simetrica e transitiva.

O que precisamos conhecer de um triangulo para determina-lo amenos de congruencia? Por exemplo, se AB = EF e A = E teremosABC ≡ EFG? Nao, pois...

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Congruencia

Encontrar uma nocao apropriada de equivalencia e uma preocupacaodos matematicos. Em geometria, a nocao sera a de congruencia.

DEF. Dizemos que dois segmentos AB a CD sao congruentes(iguais) quando AB = CD.

DEF. Dizemos que dois angulos A a B sao congruentes (iguais)quando tem mesma medida.

DEF. Dois triangulos sao congruentes quando e possıvel fazer umacorrespondencia biunıvoca entre os vertices de modo que os angulos elados correspondentes sejam congruentes - Euclides usou o ’metododa superposicao’ (usando o espaco).

Repare que a relacao de congruencia e reflexiva, simetrica e transitiva.

O que precisamos conhecer de um triangulo para determina-lo amenos de congruencia? Por exemplo, se AB = EF e A = E teremosABC ≡ EFG? Nao, pois...

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Congruencia

Encontrar uma nocao apropriada de equivalencia e uma preocupacaodos matematicos. Em geometria, a nocao sera a de congruencia.

DEF. Dizemos que dois segmentos AB a CD sao congruentes(iguais) quando AB = CD.

DEF. Dizemos que dois angulos A a B sao congruentes (iguais)quando tem mesma medida.

DEF. Dois triangulos sao congruentes quando e possıvel fazer umacorrespondencia biunıvoca entre os vertices de modo que os angulos elados correspondentes sejam congruentes - Euclides usou o ’metododa superposicao’ (usando o espaco).

Repare que a relacao de congruencia e reflexiva, simetrica e transitiva.

O que precisamos conhecer de um triangulo para determina-lo amenos de congruencia? Por exemplo, se AB = EF e A = E teremosABC ≡ EFG? Nao, pois...

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Congruencia

Encontrar uma nocao apropriada de equivalencia e uma preocupacaodos matematicos. Em geometria, a nocao sera a de congruencia.

DEF. Dizemos que dois segmentos AB a CD sao congruentes(iguais) quando AB = CD.

DEF. Dizemos que dois angulos A a B sao congruentes (iguais)quando tem mesma medida.

DEF. Dois triangulos sao congruentes quando e possıvel fazer umacorrespondencia biunıvoca entre os vertices de modo que os angulos elados correspondentes sejam congruentes - Euclides usou o ’metododa superposicao’ (usando o espaco).

Repare que a relacao de congruencia e reflexiva, simetrica e transitiva.

O que precisamos conhecer de um triangulo para determina-lo amenos de congruencia? Por exemplo, se AB = EF e A = E teremosABC ≡ EFG? Nao, pois...

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Se AB = EF , A = E e AC = EG teremos ABC ≡ EFG? Nemsempre, pois...

Exemplo na geometria do motorista de taxi.

AXIOMA (Congruencia LAL). Dados dois triangulos ABC e EFG , seAB = EF , A = E e AC = EG entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia ALA). Dados dois triangulos ABC e EFG ,se AB = EF , A = E e B = F entao ABC ≡ EFG .

DEF. Dizemos que um triangulo e isosceles quando possui dois ladoscongruentes (iguais). Estes lados sao chamados de laterais e oterceiro lado e chamado de base.

PROPOSICAO (Pons asinorum). Em um triangulo isosceles osangulos da base sao congruentes. (prova de Pappus)

PROPOSICAO (recıproca de pons asinorum). Se em um triangulotemos dois angulos congruentes entao ele e isosceles.

TEOREMA (Congruencia LLL). Dados dois triangulos ABC e EFG ,se AB = EF , BC = FG e AC = EG entao ABC ≡ EFG .

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Se AB = EF , A = E e AC = EG teremos ABC ≡ EFG? Nemsempre, pois...

Exemplo na geometria do motorista de taxi.

AXIOMA (Congruencia LAL). Dados dois triangulos ABC e EFG , seAB = EF , A = E e AC = EG entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia ALA). Dados dois triangulos ABC e EFG ,se AB = EF , A = E e B = F entao ABC ≡ EFG .

DEF. Dizemos que um triangulo e isosceles quando possui dois ladoscongruentes (iguais). Estes lados sao chamados de laterais e oterceiro lado e chamado de base.

PROPOSICAO (Pons asinorum). Em um triangulo isosceles osangulos da base sao congruentes. (prova de Pappus)

PROPOSICAO (recıproca de pons asinorum). Se em um triangulotemos dois angulos congruentes entao ele e isosceles.

TEOREMA (Congruencia LLL). Dados dois triangulos ABC e EFG ,se AB = EF , BC = FG e AC = EG entao ABC ≡ EFG .

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Se AB = EF , A = E e AC = EG teremos ABC ≡ EFG? Nemsempre, pois...

Exemplo na geometria do motorista de taxi.

AXIOMA (Congruencia LAL). Dados dois triangulos ABC e EFG , seAB = EF , A = E e AC = EG entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia ALA). Dados dois triangulos ABC e EFG ,se AB = EF , A = E e B = F entao ABC ≡ EFG .

DEF. Dizemos que um triangulo e isosceles quando possui dois ladoscongruentes (iguais). Estes lados sao chamados de laterais e oterceiro lado e chamado de base.

PROPOSICAO (Pons asinorum). Em um triangulo isosceles osangulos da base sao congruentes. (prova de Pappus)

PROPOSICAO (recıproca de pons asinorum). Se em um triangulotemos dois angulos congruentes entao ele e isosceles.

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Se AB = EF , A = E e AC = EG teremos ABC ≡ EFG? Nemsempre, pois...

Exemplo na geometria do motorista de taxi.

AXIOMA (Congruencia LAL). Dados dois triangulos ABC e EFG , seAB = EF , A = E e AC = EG entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia ALA). Dados dois triangulos ABC e EFG ,se AB = EF , A = E e B = F entao ABC ≡ EFG .

DEF. Dizemos que um triangulo e isosceles quando possui dois ladoscongruentes (iguais). Estes lados sao chamados de laterais e oterceiro lado e chamado de base.

PROPOSICAO (Pons asinorum). Em um triangulo isosceles osangulos da base sao congruentes. (prova de Pappus)

PROPOSICAO (recıproca de pons asinorum). Se em um triangulotemos dois angulos congruentes entao ele e isosceles.

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Se AB = EF , A = E e AC = EG teremos ABC ≡ EFG? Nemsempre, pois...

Exemplo na geometria do motorista de taxi.

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TEOREMA (Congruencia ALA). Dados dois triangulos ABC e EFG ,se AB = EF , A = E e B = F entao ABC ≡ EFG .

DEF. Dizemos que um triangulo e isosceles quando possui dois ladoscongruentes (iguais). Estes lados sao chamados de laterais e oterceiro lado e chamado de base.

PROPOSICAO (Pons asinorum). Em um triangulo isosceles osangulos da base sao congruentes. (prova de Pappus)

PROPOSICAO (recıproca de pons asinorum). Se em um triangulotemos dois angulos congruentes entao ele e isosceles.

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TEOREMA (Congruencia ALA). Dados dois triangulos ABC e EFG ,se AB = EF , A = E e B = F entao ABC ≡ EFG .

DEF. Dizemos que um triangulo e isosceles quando possui dois ladoscongruentes (iguais). Estes lados sao chamados de laterais e oterceiro lado e chamado de base.

PROPOSICAO (Pons asinorum). Em um triangulo isosceles osangulos da base sao congruentes. (prova de Pappus)

PROPOSICAO (recıproca de pons asinorum). Se em um triangulotemos dois angulos congruentes entao ele e isosceles.

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Se AB = EF , A = E e AC = EG teremos ABC ≡ EFG? Nemsempre, pois...

Exemplo na geometria do motorista de taxi.

AXIOMA (Congruencia LAL). Dados dois triangulos ABC e EFG , seAB = EF , A = E e AC = EG entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia ALA). Dados dois triangulos ABC e EFG ,se AB = EF , A = E e B = F entao ABC ≡ EFG .

DEF. Dizemos que um triangulo e isosceles quando possui dois ladoscongruentes (iguais). Estes lados sao chamados de laterais e oterceiro lado e chamado de base.

PROPOSICAO (Pons asinorum). Em um triangulo isosceles osangulos da base sao congruentes. (prova de Pappus)

PROPOSICAO (recıproca de pons asinorum). Se em um triangulotemos dois angulos congruentes entao ele e isosceles.

TEOREMA (Congruencia LLL). Dados dois triangulos ABC e EFG ,se AB = EF , BC = FG e AC = EG entao ABC ≡ EFG .

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Se AB = EF , A = E e AC = EG teremos ABC ≡ EFG? Nemsempre, pois...

Exemplo na geometria do motorista de taxi.

AXIOMA (Congruencia LAL). Dados dois triangulos ABC e EFG , seAB = EF , A = E e AC = EG entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia ALA). Dados dois triangulos ABC e EFG ,se AB = EF , A = E e B = F entao ABC ≡ EFG .

DEF. Dizemos que um triangulo e isosceles quando possui dois ladoscongruentes (iguais). Estes lados sao chamados de laterais e oterceiro lado e chamado de base.

PROPOSICAO (Pons asinorum). Em um triangulo isosceles osangulos da base sao congruentes. (prova de Pappus)

PROPOSICAO (recıproca de pons asinorum). Se em um triangulotemos dois angulos congruentes entao ele e isosceles.

TEOREMA (Congruencia LLL). Dados dois triangulos ABC e EFG ,se AB = EF , BC = FG e AC = EG entao ABC ≡ EFG .

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

Transportar um segmento para uma reta.Construir um angulo com vertice num ponto O de uma reta r , quetenha medida igual a α.Construir um triangulo equilatero de lados com comprimento l .Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, B = β e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e AB = c .DEF. Duas retas r e s sao perpendiculares quando se intersectam eformam um angulo de 90◦ nesse ponto.Dados uma reta r e um ponto A, construir uma reta perpendicular ar passando por A.Quando o ponto A nao pertence a reta r , o ponto P que e intersecaoda perpendicular com r e chamado de pe da perpendcular baixadade A a r .OBS. Ainda nao conseguimos provar que esta reta perpendicular eunica.

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

Transportar um segmento para uma reta.Construir um angulo com vertice num ponto O de uma reta r , quetenha medida igual a α.Construir um triangulo equilatero de lados com comprimento l .Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, B = β e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e AB = c .DEF. Duas retas r e s sao perpendiculares quando se intersectam eformam um angulo de 90◦ nesse ponto.Dados uma reta r e um ponto A, construir uma reta perpendicular ar passando por A.Quando o ponto A nao pertence a reta r , o ponto P que e intersecaoda perpendicular com r e chamado de pe da perpendcular baixadade A a r .OBS. Ainda nao conseguimos provar que esta reta perpendicular eunica.

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

Transportar um segmento para uma reta.Construir um angulo com vertice num ponto O de uma reta r , quetenha medida igual a α.Construir um triangulo equilatero de lados com comprimento l .Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, B = β e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e AB = c .DEF. Duas retas r e s sao perpendiculares quando se intersectam eformam um angulo de 90◦ nesse ponto.Dados uma reta r e um ponto A, construir uma reta perpendicular ar passando por A.Quando o ponto A nao pertence a reta r , o ponto P que e intersecaoda perpendicular com r e chamado de pe da perpendcular baixadade A a r .OBS. Ainda nao conseguimos provar que esta reta perpendicular eunica.

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

Transportar um segmento para uma reta.Construir um angulo com vertice num ponto O de uma reta r , quetenha medida igual a α.Construir um triangulo equilatero de lados com comprimento l .Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, B = β e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e AB = c .DEF. Duas retas r e s sao perpendiculares quando se intersectam eformam um angulo de 90◦ nesse ponto.Dados uma reta r e um ponto A, construir uma reta perpendicular ar passando por A.Quando o ponto A nao pertence a reta r , o ponto P que e intersecaoda perpendicular com r e chamado de pe da perpendcular baixadade A a r .OBS. Ainda nao conseguimos provar que esta reta perpendicular eunica.

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

Transportar um segmento para uma reta.Construir um angulo com vertice num ponto O de uma reta r , quetenha medida igual a α.Construir um triangulo equilatero de lados com comprimento l .Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, B = β e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e AB = c .DEF. Duas retas r e s sao perpendiculares quando se intersectam eformam um angulo de 90◦ nesse ponto.Dados uma reta r e um ponto A, construir uma reta perpendicular ar passando por A.Quando o ponto A nao pertence a reta r , o ponto P que e intersecaoda perpendicular com r e chamado de pe da perpendcular baixadade A a r .OBS. Ainda nao conseguimos provar que esta reta perpendicular eunica.

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

Transportar um segmento para uma reta.Construir um angulo com vertice num ponto O de uma reta r , quetenha medida igual a α.Construir um triangulo equilatero de lados com comprimento l .Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, B = β e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e AB = c .DEF. Duas retas r e s sao perpendiculares quando se intersectam eformam um angulo de 90◦ nesse ponto.Dados uma reta r e um ponto A, construir uma reta perpendicular ar passando por A.Quando o ponto A nao pertence a reta r , o ponto P que e intersecaoda perpendicular com r e chamado de pe da perpendcular baixadade A a r .OBS. Ainda nao conseguimos provar que esta reta perpendicular eunica.

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

Transportar um segmento para uma reta.Construir um angulo com vertice num ponto O de uma reta r , quetenha medida igual a α.Construir um triangulo equilatero de lados com comprimento l .Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, B = β e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e AB = c .DEF. Duas retas r e s sao perpendiculares quando se intersectam eformam um angulo de 90◦ nesse ponto.Dados uma reta r e um ponto A, construir uma reta perpendicular ar passando por A.Quando o ponto A nao pertence a reta r , o ponto P que e intersecaoda perpendicular com r e chamado de pe da perpendcular baixadade A a r .OBS. Ainda nao conseguimos provar que esta reta perpendicular eunica.

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Transportar um segmento para uma reta.Construir um angulo com vertice num ponto O de uma reta r , quetenha medida igual a α.Construir um triangulo equilatero de lados com comprimento l .Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, B = β e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e AB = c .DEF. Duas retas r e s sao perpendiculares quando se intersectam eformam um angulo de 90◦ nesse ponto.Dados uma reta r e um ponto A, construir uma reta perpendicular ar passando por A.Quando o ponto A nao pertence a reta r , o ponto P que e intersecaoda perpendicular com r e chamado de pe da perpendcular baixadade A a r .OBS. Ainda nao conseguimos provar que esta reta perpendicular eunica.

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

Transportar um segmento para uma reta.Construir um angulo com vertice num ponto O de uma reta r , quetenha medida igual a α.Construir um triangulo equilatero de lados com comprimento l .Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, B = β e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e AB = c .DEF. Duas retas r e s sao perpendiculares quando se intersectam eformam um angulo de 90◦ nesse ponto.Dados uma reta r e um ponto A, construir uma reta perpendicular ar passando por A.Quando o ponto A nao pertence a reta r , o ponto P que e intersecaoda perpendicular com r e chamado de pe da perpendcular baixadade A a r .OBS. Ainda nao conseguimos provar que esta reta perpendicular eunica.

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

Transportar um segmento para uma reta.Construir um angulo com vertice num ponto O de uma reta r , quetenha medida igual a α.Construir um triangulo equilatero de lados com comprimento l .Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, B = β e C = γ.Construir um triangulo ABC com BC = a, AC = b e AB = c .DEF. Duas retas r e s sao perpendiculares quando se intersectam eformam um angulo de 90◦ nesse ponto.Dados uma reta r e um ponto A, construir uma reta perpendicular ar passando por A.Quando o ponto A nao pertence a reta r , o ponto P que e intersecaoda perpendicular com r e chamado de pe da perpendcular baixadade A a r .OBS. Ainda nao conseguimos provar que esta reta perpendicular eunica.

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

OBS. Poderemos definir a distancia do ponto A a reta r comosendo o comprimento do segmento AP.

DEF. A bissetriz de um angulo ∠AOB e a semirreta−→OC que divide o

angulo em angulos iguais.

Construir a bissetriz de um angulo dado.

DEF. A bissetriz interna relativa ao lado BC (ou ao vertice A) deum triangulo ABC e o segmento AP, contido na bissetriz do angulointerno ∠A, onde P ∈ BC ; o ponto P e chamado de pe da bissetrizinterna relativa a BC .

DEF. O ponto medio de um segmento e o ponto que o divide emduas partes de mesmo comprimento.

Construir o ponto medio de um segmento AB dado.

DEF. A mediana relativa ao lado BC (ou ao vertice A) de umtriangulo ABC e o segmento que liga o ponto A ao ponto medio deBC .

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

OBS. Poderemos definir a distancia do ponto A a reta r comosendo o comprimento do segmento AP.

DEF. A bissetriz de um angulo ∠AOB e a semirreta−→OC que divide o

angulo em angulos iguais.

Construir a bissetriz de um angulo dado.

DEF. A bissetriz interna relativa ao lado BC (ou ao vertice A) deum triangulo ABC e o segmento AP, contido na bissetriz do angulointerno ∠A, onde P ∈ BC ; o ponto P e chamado de pe da bissetrizinterna relativa a BC .

DEF. O ponto medio de um segmento e o ponto que o divide emduas partes de mesmo comprimento.

Construir o ponto medio de um segmento AB dado.

DEF. A mediana relativa ao lado BC (ou ao vertice A) de umtriangulo ABC e o segmento que liga o ponto A ao ponto medio deBC .

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OBS. Poderemos definir a distancia do ponto A a reta r comosendo o comprimento do segmento AP.

DEF. A bissetriz de um angulo ∠AOB e a semirreta−→OC que divide o

angulo em angulos iguais.

Construir a bissetriz de um angulo dado.

DEF. A bissetriz interna relativa ao lado BC (ou ao vertice A) deum triangulo ABC e o segmento AP, contido na bissetriz do angulointerno ∠A, onde P ∈ BC ; o ponto P e chamado de pe da bissetrizinterna relativa a BC .

DEF. O ponto medio de um segmento e o ponto que o divide emduas partes de mesmo comprimento.

Construir o ponto medio de um segmento AB dado.

DEF. A mediana relativa ao lado BC (ou ao vertice A) de umtriangulo ABC e o segmento que liga o ponto A ao ponto medio deBC .

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OBS. Poderemos definir a distancia do ponto A a reta r comosendo o comprimento do segmento AP.

DEF. A bissetriz de um angulo ∠AOB e a semirreta−→OC que divide o

angulo em angulos iguais.

Construir a bissetriz de um angulo dado.

DEF. A bissetriz interna relativa ao lado BC (ou ao vertice A) deum triangulo ABC e o segmento AP, contido na bissetriz do angulointerno ∠A, onde P ∈ BC ; o ponto P e chamado de pe da bissetrizinterna relativa a BC .

DEF. O ponto medio de um segmento e o ponto que o divide emduas partes de mesmo comprimento.

Construir o ponto medio de um segmento AB dado.

DEF. A mediana relativa ao lado BC (ou ao vertice A) de umtriangulo ABC e o segmento que liga o ponto A ao ponto medio deBC .

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OBS. Poderemos definir a distancia do ponto A a reta r comosendo o comprimento do segmento AP.

DEF. A bissetriz de um angulo ∠AOB e a semirreta−→OC que divide o

angulo em angulos iguais.

Construir a bissetriz de um angulo dado.

DEF. A bissetriz interna relativa ao lado BC (ou ao vertice A) deum triangulo ABC e o segmento AP, contido na bissetriz do angulointerno ∠A, onde P ∈ BC ; o ponto P e chamado de pe da bissetrizinterna relativa a BC .

DEF. O ponto medio de um segmento e o ponto que o divide emduas partes de mesmo comprimento.

Construir o ponto medio de um segmento AB dado.

DEF. A mediana relativa ao lado BC (ou ao vertice A) de umtriangulo ABC e o segmento que liga o ponto A ao ponto medio deBC .

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OBS. Poderemos definir a distancia do ponto A a reta r comosendo o comprimento do segmento AP.

DEF. A bissetriz de um angulo ∠AOB e a semirreta−→OC que divide o

angulo em angulos iguais.

Construir a bissetriz de um angulo dado.

DEF. A bissetriz interna relativa ao lado BC (ou ao vertice A) deum triangulo ABC e o segmento AP, contido na bissetriz do angulointerno ∠A, onde P ∈ BC ; o ponto P e chamado de pe da bissetrizinterna relativa a BC .

DEF. O ponto medio de um segmento e o ponto que o divide emduas partes de mesmo comprimento.

Construir o ponto medio de um segmento AB dado.

DEF. A mediana relativa ao lado BC (ou ao vertice A) de umtriangulo ABC e o segmento que liga o ponto A ao ponto medio deBC .

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OBS. Poderemos definir a distancia do ponto A a reta r comosendo o comprimento do segmento AP.

DEF. A bissetriz de um angulo ∠AOB e a semirreta−→OC que divide o

angulo em angulos iguais.

Construir a bissetriz de um angulo dado.

DEF. A bissetriz interna relativa ao lado BC (ou ao vertice A) deum triangulo ABC e o segmento AP, contido na bissetriz do angulointerno ∠A, onde P ∈ BC ; o ponto P e chamado de pe da bissetrizinterna relativa a BC .

DEF. O ponto medio de um segmento e o ponto que o divide emduas partes de mesmo comprimento.

Construir o ponto medio de um segmento AB dado.

DEF. A mediana relativa ao lado BC (ou ao vertice A) de umtriangulo ABC e o segmento que liga o ponto A ao ponto medio deBC .

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

DEF. A altura relativa ao lado BC (ou ao vertice A) de umtriangulo ABC e o segmento que liga o ponto A ao pe daperpendicular baixada de A a reta que contem os vertices B e C .

DEF. Os suplementos dos angulos internos de um triangulo saochamados de angulos externos do triangulo.

Existe alguma relacao entre os angulos externos e internos de umtriangulo?

Como construir uma reta paralela a uma reta dada, passando por umponto fora da mesma?

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DEF. A altura relativa ao lado BC (ou ao vertice A) de umtriangulo ABC e o segmento que liga o ponto A ao pe daperpendicular baixada de A a reta que contem os vertices B e C .

DEF. Os suplementos dos angulos internos de um triangulo saochamados de angulos externos do triangulo.

Existe alguma relacao entre os angulos externos e internos de umtriangulo?

Como construir uma reta paralela a uma reta dada, passando por umponto fora da mesma?

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

DEF. A altura relativa ao lado BC (ou ao vertice A) de umtriangulo ABC e o segmento que liga o ponto A ao pe daperpendicular baixada de A a reta que contem os vertices B e C .

DEF. Os suplementos dos angulos internos de um triangulo saochamados de angulos externos do triangulo.

Existe alguma relacao entre os angulos externos e internos de umtriangulo?

Como construir uma reta paralela a uma reta dada, passando por umponto fora da mesma?

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Construcoes geometricas com regua e compasso e algumasdefinicoes

DEF. A altura relativa ao lado BC (ou ao vertice A) de umtriangulo ABC e o segmento que liga o ponto A ao pe daperpendicular baixada de A a reta que contem os vertices B e C .

DEF. Os suplementos dos angulos internos de um triangulo saochamados de angulos externos do triangulo.

Existe alguma relacao entre os angulos externos e internos de umtriangulo?

Como construir uma reta paralela a uma reta dada, passando por umponto fora da mesma?

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Teorema do angulo externo e retas paralelas

Todo angulo externo de um triangulo mede mais do que qualquer dosangulos internos nao adjacentes.

Agora conseguimos a construcao da reta paralela.

Esta reta e unica? Nem sempre...

AXIOMA DAS PARALELAS. Dado um ponto A nao pertencente auma reta r dada, existe uma unica reta s paralela a r e passando porA.

DEF. Veja o esquema com angulos alternos internos e anguloscolaterias internos.

CRITERIO. Duas retas sao paralelas se e somente se angulos alternosinternos sao iguais ou se e somente se a soma de angulos colateraisinternos e igual a 180◦.

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Teorema do angulo externo e retas paralelas

Todo angulo externo de um triangulo mede mais do que qualquer dosangulos internos nao adjacentes.

Agora conseguimos a construcao da reta paralela.

Esta reta e unica? Nem sempre...

AXIOMA DAS PARALELAS. Dado um ponto A nao pertencente auma reta r dada, existe uma unica reta s paralela a r e passando porA.

DEF. Veja o esquema com angulos alternos internos e anguloscolaterias internos.

CRITERIO. Duas retas sao paralelas se e somente se angulos alternosinternos sao iguais ou se e somente se a soma de angulos colateraisinternos e igual a 180◦.

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Teorema do angulo externo e retas paralelas

Todo angulo externo de um triangulo mede mais do que qualquer dosangulos internos nao adjacentes.

Agora conseguimos a construcao da reta paralela.

Esta reta e unica? Nem sempre...

AXIOMA DAS PARALELAS. Dado um ponto A nao pertencente auma reta r dada, existe uma unica reta s paralela a r e passando porA.

DEF. Veja o esquema com angulos alternos internos e anguloscolaterias internos.

CRITERIO. Duas retas sao paralelas se e somente se angulos alternosinternos sao iguais ou se e somente se a soma de angulos colateraisinternos e igual a 180◦.

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Teorema do angulo externo e retas paralelas

Todo angulo externo de um triangulo mede mais do que qualquer dosangulos internos nao adjacentes.

Agora conseguimos a construcao da reta paralela.

Esta reta e unica? Nem sempre...

AXIOMA DAS PARALELAS. Dado um ponto A nao pertencente auma reta r dada, existe uma unica reta s paralela a r e passando porA.

DEF. Veja o esquema com angulos alternos internos e anguloscolaterias internos.

CRITERIO. Duas retas sao paralelas se e somente se angulos alternosinternos sao iguais ou se e somente se a soma de angulos colateraisinternos e igual a 180◦.

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Teorema do angulo externo e retas paralelas

Todo angulo externo de um triangulo mede mais do que qualquer dosangulos internos nao adjacentes.

Agora conseguimos a construcao da reta paralela.

Esta reta e unica? Nem sempre...

AXIOMA DAS PARALELAS. Dado um ponto A nao pertencente auma reta r dada, existe uma unica reta s paralela a r e passando porA.

DEF. Veja o esquema com angulos alternos internos e anguloscolaterias internos.

CRITERIO. Duas retas sao paralelas se e somente se angulos alternosinternos sao iguais ou se e somente se a soma de angulos colateraisinternos e igual a 180◦.

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Teorema do angulo externo e retas paralelas

Todo angulo externo de um triangulo mede mais do que qualquer dosangulos internos nao adjacentes.

Agora conseguimos a construcao da reta paralela.

Esta reta e unica? Nem sempre...

AXIOMA DAS PARALELAS. Dado um ponto A nao pertencente auma reta r dada, existe uma unica reta s paralela a r e passando porA.

DEF. Veja o esquema com angulos alternos internos e anguloscolaterias internos.

CRITERIO. Duas retas sao paralelas se e somente se angulos alternosinternos sao iguais ou se e somente se a soma de angulos colateraisinternos e igual a 180◦.

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Soma de angulos internos de um triangulo e mais casos decongruencia

A soma dos angulos internos e igual a 180◦.

A medida de um angulo externo de um triangulo e igual a soma dosangulos internos nao adjacentes a ele.

DEF. Um triangulo e acutangulo quando todos os angulos internossao agudos.

DEF. Um triangulo e retangulo quando um angulo interno e reto.

DEF. Um triangulo e obtusangulo quando um angulo e obtuso.

TEOREMA (Congruencia LAAoposto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia LLAreto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

A congruencia LLA nao e valida em geral !!!!

OBS. Poderıamos provar os dois ultimos casos de congruenciasomente com o teorema do angulo externo.

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Soma de angulos internos de um triangulo e mais casos decongruencia

A soma dos angulos internos e igual a 180◦.

A medida de um angulo externo de um triangulo e igual a soma dosangulos internos nao adjacentes a ele.

DEF. Um triangulo e acutangulo quando todos os angulos internossao agudos.

DEF. Um triangulo e retangulo quando um angulo interno e reto.

DEF. Um triangulo e obtusangulo quando um angulo e obtuso.

TEOREMA (Congruencia LAAoposto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia LLAreto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

A congruencia LLA nao e valida em geral !!!!

OBS. Poderıamos provar os dois ultimos casos de congruenciasomente com o teorema do angulo externo.

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Soma de angulos internos de um triangulo e mais casos decongruencia

A soma dos angulos internos e igual a 180◦.

A medida de um angulo externo de um triangulo e igual a soma dosangulos internos nao adjacentes a ele.

DEF. Um triangulo e acutangulo quando todos os angulos internossao agudos.

DEF. Um triangulo e retangulo quando um angulo interno e reto.

DEF. Um triangulo e obtusangulo quando um angulo e obtuso.

TEOREMA (Congruencia LAAoposto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia LLAreto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

A congruencia LLA nao e valida em geral !!!!

OBS. Poderıamos provar os dois ultimos casos de congruenciasomente com o teorema do angulo externo.

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Soma de angulos internos de um triangulo e mais casos decongruencia

A soma dos angulos internos e igual a 180◦.

A medida de um angulo externo de um triangulo e igual a soma dosangulos internos nao adjacentes a ele.

DEF. Um triangulo e acutangulo quando todos os angulos internossao agudos.

DEF. Um triangulo e retangulo quando um angulo interno e reto.

DEF. Um triangulo e obtusangulo quando um angulo e obtuso.

TEOREMA (Congruencia LAAoposto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia LLAreto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

A congruencia LLA nao e valida em geral !!!!

OBS. Poderıamos provar os dois ultimos casos de congruenciasomente com o teorema do angulo externo.

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Soma de angulos internos de um triangulo e mais casos decongruencia

A soma dos angulos internos e igual a 180◦.

A medida de um angulo externo de um triangulo e igual a soma dosangulos internos nao adjacentes a ele.

DEF. Um triangulo e acutangulo quando todos os angulos internossao agudos.

DEF. Um triangulo e retangulo quando um angulo interno e reto.

DEF. Um triangulo e obtusangulo quando um angulo e obtuso.

TEOREMA (Congruencia LAAoposto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia LLAreto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

A congruencia LLA nao e valida em geral !!!!

OBS. Poderıamos provar os dois ultimos casos de congruenciasomente com o teorema do angulo externo.

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Soma de angulos internos de um triangulo e mais casos decongruencia

A soma dos angulos internos e igual a 180◦.

A medida de um angulo externo de um triangulo e igual a soma dosangulos internos nao adjacentes a ele.

DEF. Um triangulo e acutangulo quando todos os angulos internossao agudos.

DEF. Um triangulo e retangulo quando um angulo interno e reto.

DEF. Um triangulo e obtusangulo quando um angulo e obtuso.

TEOREMA (Congruencia LAAoposto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia LLAreto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

A congruencia LLA nao e valida em geral !!!!

OBS. Poderıamos provar os dois ultimos casos de congruenciasomente com o teorema do angulo externo.

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Soma de angulos internos de um triangulo e mais casos decongruencia

A soma dos angulos internos e igual a 180◦.

A medida de um angulo externo de um triangulo e igual a soma dosangulos internos nao adjacentes a ele.

DEF. Um triangulo e acutangulo quando todos os angulos internossao agudos.

DEF. Um triangulo e retangulo quando um angulo interno e reto.

DEF. Um triangulo e obtusangulo quando um angulo e obtuso.

TEOREMA (Congruencia LAAoposto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia LLAreto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

A congruencia LLA nao e valida em geral !!!!

OBS. Poderıamos provar os dois ultimos casos de congruenciasomente com o teorema do angulo externo.

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Soma de angulos internos de um triangulo e mais casos decongruencia

A soma dos angulos internos e igual a 180◦.

A medida de um angulo externo de um triangulo e igual a soma dosangulos internos nao adjacentes a ele.

DEF. Um triangulo e acutangulo quando todos os angulos internossao agudos.

DEF. Um triangulo e retangulo quando um angulo interno e reto.

DEF. Um triangulo e obtusangulo quando um angulo e obtuso.

TEOREMA (Congruencia LAAoposto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

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OBS. Poderıamos provar os dois ultimos casos de congruenciasomente com o teorema do angulo externo.

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Soma de angulos internos de um triangulo e mais casos decongruencia

A soma dos angulos internos e igual a 180◦.

A medida de um angulo externo de um triangulo e igual a soma dosangulos internos nao adjacentes a ele.

DEF. Um triangulo e acutangulo quando todos os angulos internossao agudos.

DEF. Um triangulo e retangulo quando um angulo interno e reto.

DEF. Um triangulo e obtusangulo quando um angulo e obtuso.

TEOREMA (Congruencia LAAoposto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

TEOREMA (Congruencia LLAreto) Dados dois triangulos ABC eEFG , se AB = EF , A = E e C = G entao ABC ≡ EFG .

A congruencia LLA nao e valida em geral !!!!

OBS. Poderıamos provar os dois ultimos casos de congruenciasomente com o teorema do angulo externo.

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