Conjuntos Aproximados sob a Perspectiva deFunção de Pertinência

Maria do Carmo NicolettiJoaquim Quinteiro Uchôa

UFSCar-DCDepartamento de Computação

Universidade Federal de São Carlos - UFSCarCaixa Postal 676 - CEP 13.565-905 - São Carlos (SP)

e-rnail : [carmo.joaquimj Odc.ufscar.br

Resumo: A Teoria de Conjuntos Aproximados (TCA) desempenha um papel relevante no aprendizadoautomático de máquina por duas razões: é um formalismo alternativo à representação de conhecimentoincerto e subsidia técnicas de aprendizado proposicional supervisionado. Esse artigo apresenta osconceitos básicos dessa teoria, abordando-os através de funções de pertinência, de maneira similar àTeoria de Conjuntos Fuzzy,Abstract: The Rough Set Theory plays a relevant role in automatic machine learning for two reasons:is an alternative formalism for representing uncertain knowledge and subsidizes supervisionedproposicional learning techniques. This paper presents the basic concepts of this theory, approachingthem through membership functions, similarly to the Fuzzy Set Theory.

1 - IntroduçãoComo acontece com qualquer software, SistemasBaseados em Conhecimento (SBC) devem ser capazesde representar, manipular e comunicar dados . É fatoque tais sistemas devem estar preparados para modelare tratar dados considerados imperfeitos; muitas vezeso que se convenciona chamar de dados imperfeitosabrange dados imprecisos, inconsistentes,parcialmente ignorados e mesmo incompletos.

Como apontado em [Bonissone (1991), p. 854],"a presença da incerteza em SBCs pode se originar devárias fontes : da confiabilidade parcial que se tem nainformação, da imprecisão inerente da linguagem derepresentação na qual a informação é expressa, da nãocompleteza da informação e da agregação/sumarizaçãoda informação que provêm de múltiplas fontes".Existem vários modelos formais disponíveis para otratamento de incertezas; apesar disso, muitas vezes otratamento da incerteza em SBCs tem sido feitoatravés de abordagens ad hoc, baseadas em-representações e combinações de regras que não sãofundamentadas em uma teoria formal e tampouco têmo respaldo de uma semântica bem definida.

Deve ser lembrado também que problemasrelacionados com incerteza acontecem em todo SBC.Durante o projeto de bases de conhecimento, porexemplo, deve se ter sempre em mente que oconhecimento com o qual se trabalha raramente estácompleto ou é exato e que maneiras de lidar com essasituação devem ser implementadas. Assim sendo,

bases de conhecimento se constituem numa dasprincipais fontes de informações incertas em SBCs.Como comentado em [Ng-Abramson (1990), p. 30],"se toda informação pudesse ser representada demaneira completa e precisa, ·qualquer sistema robustode inferência lógica poderia ser utilizado para aextração de conclusões válidas".

Entre as abordagens mais tradicionais existentespara a modelagem e tratamento de incertezas,encontram-se:• Regra de Bayes [Duda et aI. (1976), Pearl (1982)]• Fator de Certeza [Shortliffe-Buchanan (1975)]• Teoria de Dernpster-Shafer [Shafer (1976)]• Teoria de Conjuntos Fuzzy [Zadeh (1978)]• Raciocínio Default [Reiter (1980)]• Teoria de Endorsements [Cohen (1985)]

A Teoria de Conjuntos Aproximados (TCA) foiproposta por Pawlak [Pawlak (1982)] como uma novaferramenta matemática para tratar incerteza eimprecisão, tendo sido usada, posteriormente, . parasubsidiar o desenvolvimento de técnicas paraclassificação aproximada em aprendizado indutivo demáquina. De uma maneira simplista, conjuntosaproximados podem ser considerados conjuntos com. fronteiras nebulosas, ou seja, conjuntos que nãopodem ser caracterizados precisamente como funçãodo conjunto de atributos disponível. Esse formalismotem sido utilizado em Inteligência Artificial comênfase particular nas áreas de:• representação de conhecimento incerto

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indutivo e redução do número deatributos do conjunto de treinamento

-descoberta de conhecimento em bases dedados- sistemas de suporte à decisão- sistemas de controle em manufatura

Uma das principais vantagens apontadas na TCA'é a dessa teoria não necessitar de qualquer informaçãoadicional ou preliminar a respeito de dados, tais comosão necessários a distribuição de probabilidade emEstatística, a atribuição de probabilidade na Teoria deDempster-Shafer e na Teoria de Bayes, e o grau depertinência ou valor de possibilidade na Teoria deConjuntos Fuzzy (TCF). Pode ser verificado naliteratura [Ziarko (1994)] que a TCA tem subsidiadoinvestigações que buscam o desenvolvimento desistemas lógicos e métodos dedutivos para arepresentação e manipulação de informaçãoincompleta e de raciocínio na presença deincompleteza.

A abordagem da TCA para conceitos vagos epara a incerteza tem relações e alguns paralelos com aTeoria de Conjuntos Fuzzy e com a Teoria deDempster-Shafer. A abordagem de conjuntosaproximados é objetiva no sentido que os valores dasmedidas de incerteza são calculáveis. No caso, porexemplo, da Teoria de Dernpster-Shafer, esses valoresdevem ser fornecidos por um especialista.

O objetivo deste artigo é discutir a TCA sob aperspectiva de funções de pertinência nos moldes daTCF. Embora sejam duas teorias para o tratamento daincerteza, que têm características próprias e distintas,determinados conceitos são partilhados até um certograu por ambas e podem ser expressos nos doisformalismos.

O artigo está organizado da seguinte maneira: naSeção 2 são apresentados os principais conceitos daTCA e da TCF que serão tratados aqui. A Seção 3apresenta duas versões de função de pertinênciaaproximada e discute a representatividade dessasversões para a expressão de conceitos da TCA. Alémdisso discute a não validade das operações depertinência aproximada de união e intersecção deconjuntos. Na Seção 4 são apresentadas conclusões eas próximas tarefas como continuidade deste trabalho.

2 - Conjuntos Aproximados e Conjuntos FuzzyEsta seção inicialmente define as noções básicas deTCA, i.e., o espaço aproximado, as aproximaçõessuperior e inferior de um conjunto e a família deconjuntos chamada de conjunto aproximado. A seguir,apresenta conjuntos fuzzy, através da sua função depertinência, e define as principais operações sobreesses conjuntos. Essas noções básicas das duas teoriasencontram-se em várias referências, por exemplo[Pawlak (1982), Klir-Yuan (1995)].

2.1· Conjuntos AproximadosSeja U um conjunto universo. Um espaço aproximadoé um par ordenado A=(V,R), onde R é uma relação deequivalência sobre V, denonominada relação deindiscemibilidade. Dados x,YER, se xRy, então x e ysão indiscerniveis em A, ou seja, a classe deequivalência definida por x é a mesma que a definidapor y, i.e., [X]R = [Y]R. As classes de equivalênciainduzidas por R em V são denominadas conjuntoselementares. Se X é um conjunto elementar, des(X)denota a descrição dessa classe de equivalência. Essadescrição é função do conjunto de atributos que defineR.

Note que, dados X,YEE, onde E é um conjuntoelementar em A, x e y são indiscerníveis, i.e., noespaço A=(V,R) não se consegue distinguir x de y,pois des(x) = des(y) = des(E). Assume-se que oconjunto vazio 0 é um conjunto elementar para todoespaço aproximado A. Um conjunto definível em A équalquer união finita de conjuntos elementares.

Exemplo 1: Seja V = {xl'x2,X"X4,xS,xr,} e sejaR uma relação sobre V tal queV/R = {{x"x,},{x2,xS,Xr,},{x4 } } . A = (U,R) é umespaço aproximado, pois R é uma relação deequivalência sobre V. Assim sendo, são conjuntoselementares em A:DI ={xpx,}, D2 = {x2,XS 'x(,}, D, = {x4 } e D4 =0

Os conjuntos definíveis em A, além dos própriosconjuntos elementares, são:

Ds = {x"x2,x"XS, xr,}, Dr, = {XpX 2 , X 4 } ,

D7 ={X2 , X4 , XS ' X6 } e Dx ={x"x2 , X" X4'xS'x(,} =VSeja A=(V,R) um espaço aproximado e seja

X ç V um subconjunto arbitrário de objetos de U.Com o objetivo de verificar quão bem o conjunto dedescrições, {des([x]R)'x E V}, reflete as funções depertinência de objetos a X, são definidas :1. a aproximação inferior de X em A. notadapor Ainf (X) , como a união de todos os conjuntoselementares que estão contidos em X, -ern símbolos,

A inf (X) = {x E VI[X]R ç X}2. a aproximação superior de X em A. notada por

Asup(X), como a: união de todos os conjuntos quepossuem intersecção não vazia com X, ou seja, é omenor conjunto definível em A contendo X, emsímbolos,

Asup(X) = [x E VI[X]R n X =0}Dado um espaço aproximado A = (V, R) e

X ç V , podem ser identificadas as seguintes regiões:I. a região positiva de X em A, POSA (X), formada

pelas classes de equivalência de V contidasintegralmente no conjunto X, sendo equivalente àaproximação inferior de X em A, i.e.,

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cUcll-> x.

. / )(2. ... ...-.- .-/. XI /' - , . """ /'/ '\i.... ");'

/.,T.. -- -

claramente definidas em função das descrições dosconjuntos elementares de A. Isso leva ao conceito deconjuntos aproximados: um conjunto aproximado emA (ou conjunto aproximado, se A é conhecido) é afarrulia de todos os subconjuntos de V que possuem amesma aproximação inferior e a mesma aproximaçãosuperior em A. Ou seja, possuem a mesma regiãopositiva, negativa e duvidosa.

A = fU.R]

II-i--li-i---::::==l--XcU

A = (U.R)

Figura 4: A farrnlia de conjuntos{X"X2 , .. . ,Xn } , todos tendo a mesma Ainf eAsup, definem um conjunto aproximado X noespaço aproximado A=(V,R)

Figura 3: Regiões de X em A

A definição anterior, por sua vez, leva aoconceito de igualdade aproximada: dois ou maisconjuntos são aproximadamente iguais se e somente sepossuem a mesma região positiva, negativa eduvidosa, i.e., pertencem ao mesmo conjuntoaproximado.Exemplo 3: Todos os conjuntos mostrados na Figura 4são aproximadamente iguais. Nesse espaço, qualquerum deles representa o conjunto original X. Por essarazão, são chamados de conjuntos aproximados (roughsets).

(X)

(X)

iversoUcU

Juntomantor

A/

0, ',,,i ••'" J"-" ;I)' • '" .:./V .' li:?" I"-.. ti .

I . '\)'i ' '' ,"

l ., J.\. /

r-; -: v

/x...- -... 1"-.././A/ , ----I I" "

\ .,

\ " '] / JeonEle. :'-:

I'--. -./ /[X}. /

Figura 1: Aproximação Inferior de X em A

A = [U.R}

A = [U.R}

POSA(X) =Ainf(X)2. a região negativa de X em A; neg; (X) , formada

pelas classes de equivalência de V que nãopossuem nenhum elemento em X, sendo formada,portanto, pelos conjuntos elementares de A que nãopertencem à aproximação superior de X, i.e.,

negA(X) = V -Asup (X)3. a região duvidosa de X em A, duvA(X), também

chamada de fronteira de X, frontA(X) , é formadapelos elementos de V que pertencem àapróxlmação superior mas não pertencem àaproximação inferior. Dado um, elemento dessaregião, não se pode ter certeza de sua pertinênciaao conjunto X com base -apenas nas classes deequivalência de A. Em

duvA(X) =Asup (X) - (X)Quando A é conhecido e não há risco de

confus ão, escreve-se pos(X), neg(X) e duv(X) ao invésde POSA(X) , negACx) e duvA(X)'Exemplo 2: Seja V um conjunto universo e R umarelação de equivalência em V, definindo o espaçoaproximado A = (V,R). Seja X c V. A aproximaçãoinferior e a aproximação superior de X em Aencontram-se ilustradas nas Figuras 1 e 2,respectivamente. A Figura 3 exibe as três regiõesdeterminadas por X, no espaço aproximadoA=(V ,R) .

Figura 2: Aproximação Superior de X em A

Seja A=(V,R) um espaço aproximado e seja X çU. O conjunto X pode ou não ter suas fronteiras

2.2 - Conjuntos FuzzySejam V um conjunto universo e A ç V. O conjunto Apode ser representado através de uma função depertinência A:V {O,I} definida por:

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-- - --- - -----

2. união/lx(X) = I-/l x (x)

(1)

3 - A Função de Pertinência Associada a umConjunto AproximadoConsidere um conceito cuja fronteira não estejaprecisamente de finida, isto é, um conceito vago.Devem existir instâncias, em torno de sua fronteira,que não podem ser classificadas, com base nainformação existente, nem como instâncias .doconceito e nem como instâncias do seu complementocom relação ao universo, ou seja, determinadoselementos do universo não podem ser classificadoscom certeza, como elementos do conjunto. Naabordagem da TCA, o fato de um conceito ser vago écon seqüência da falta de informação a respeito deelementos do universo . Como na TCA a única maneirade "ver" os elementos de um conjunto é através dainformação existente, é perfeitamente plausível queessa informação que existe possa não ser suficientepara discriminá-los . Assim sendo, sob a ótica daínformação existente, elementos podem serconsiderados idênticos. A incerteza na TCA estárelacionada à questão da pertinência (ou não) deelementos a conceitos.

Para a abordagem da incerteza sob a perspectivade conjuntos aproximados, é fundamental que sedefina uma função de pertinência relacionada aoconceito de conjuntos aproximados; essa função échamada de função de pertinência aproximada, nosmoldes da função de pertinência fuzzy . Em [Pawlak(1985)], essa função é proposta como: dados umespaço aproximado A=(U,R) e X um conjuntoaproximado em A, X pode ser expresso através de umafunção de pertinência definida em U, assumindovalores em {0,0.5, I}, da seguinte maneira:

11 sex E pos(X)

I-lx(x)= 05 sexEduv(X)O sexElleg(X )

Esta proposta de "tradução" dos principaisconceitos associados a um conjunto aproximado, i.e.,sua aproximação inferior, sua aproximação superior esua fronteira, para uma função de pertinência comvalores no conjunto {0,0.5, I} não reflete, comodeveria, a situação de elementos pertencentes àfronteira do conjunto. Dependendo da informaçãoexistente, da granularidade da partição induzida por Rem U, bem como da própria expressão de X, emfunção das classes de equivalência induzidas por R, o

As funções max e min são as mais utilizadas emSBCs e sistemas de controle. Outras funções,entretanto, podem ser utilizadas para representaraquelas operações [Klir-Yuan (1995»).

Na próxima seção será investigada apossibilidade de "reescrita" dos conceitos da TCAutilizando-se funções de pertinência, de maneirasemelhante à adotada na caracterização de conjuntosfuzzy.

18 Comp1mento[crn)

13 158 10o 5

x _ {I sex E A/lA()-O Asex lt:

Essa função de pertinência que descreve oconjunto crisp A atribui o valor°ou I a cada elementodo universo U, discriminando, com esta atribuição, oselementos que são de A daqueles que não são de A; éuma maneira alternativa de descrever A.

Essa função pode ser generalizada de maneiraque os valores atribuídos aos elementos do conjuntouniverso U pertençam a um intervalo específico devalores e indiquem o grau de pertinência daqueleselementos ao conjunto em questão. Valores maioresindicam um maior grau de pertinência .ao conjunto.Essa função é chamada função de pertinência e oconjunto definido por ela de conjunto fuzzy [Klir- Yuan(1995»). O intervalo de valor mais comumente usadona literatura é o [O, I]. Neste caso, cada função depertinência associa elementos de um dado conjuntouniverso U, o qual é sempre crisp , a valores nointervalo [0,1].

Dado então um conjunto universo U, a função depertinência que caracteriza um conjunto fuz zy A énotada por:

/l XuY(x ) =max[/l x (x), /ly(x)]3. intersecção

/l xnY(x ) =min[/l x (x),/l y(x)]

Exemplo 4: A Figura 5 ilustra conjuntos fu zzyrepresentando os conceitos de pequeno, médio egrande para um dado objeto. No caso foram utilizadasas funções /l I'(x) = e-2.5(X- 7 ,5l' , /l",(x) = e-J·5I ' - I I.5l' e

() -2.5(x-15.5)' d ( ) ( ) ( )/l g x =e , on e /l" x , /lm x e /l g xrepresentam as funções de pertinência aos conjuntospequeno, médio e grande, respectivamente. Note que,dessa forma, a TCF possibilita a transposição devariáveis lingüísticas para SBCs.

Pertinência

Figura 5: Exemplos de 'conjuntos fuzzy

Dados X e Y conjuntos fu zzy em U, podem serdefinidas as seguintes operações:1. complemento

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grau de pertinência de um elemento de X à fronteira,quando esta não for vazia, pode variar entre quase Oequase 1. Defini-lo como 0.5 é assumir o risco de estar,deliberadamente, introduzindo mais incerteza.

Além da função de pertinência aproximada (1)não refletir precisamente os conceitos da TCA, podeser facilmente verificado que ela não satisfaz asoperações de união e intersecção, como definidas nasSeção 2:2, para funções de pertinência fuzzy. Elaentretanto satisfaz à operação de complemento. AsFiguras 6 e 7 mostram pontos para os quais taispropriedades não se verificam.

Se, entretanto, as operações de pertinência àunião e à intersecção forem redefinidas, tendo emmente que as situações mostradas nas Figuras 6 e 7devam ser tratadas à parte, a função de pertinência (1)pode ser estendida à união e à intersecção deconjuntos. Em [Wygralak (1989)] a definiçãodaquelas operações é proposta como:

jmin(l ,Il X(X) + Il Y(X» se Il X(X) =Il y(x) =05

Il xv r (X) = e[xl.!::XvY

maxtu , (x) ,lly(x» caso contrário

(2)

jmax(O, 11 x (x)+llr(x)-l) se Ilx (x) =Ilr(x) =05

11 XnY (x) = e [xl. n(X nY)=0min(1l x (x), Ilr (xl) caso contrário

Note que as expressões em (2) são as mesmasdescritas na Seção 2.2, acrescidas de um "tratamento"extra para situações como as exibidas nas Figura 6 eFigura 7,

Em [Pawlak (1994)] é proposta uma nova funçãode pertinência aproximada, que traduz mais fielmentea pertinência de um ponto do universo U a qualque;das regiões definidas por um conjunto X ç;;; U. Edefinida como:

equivalência R, Para ambas as definições, é verdadeque:• O$;Jlx(x)$;1• Jlx(x) =O <=> x E neg(x)• Jl x (x) =1 <=> x E post x)• J.1. x(x)=I-J.1.x(x)A definição (3), entretanto, fornece um grau depertinência um pouco mais refinado para os elementosda fronteira que o valor 0.5 fornecido pela definição(1). Observe na Figura 3, por exemplo, que o grau depertinência aproximada dos elementos pertencentes àregião duv(X) , calculado usando (3), é um valor maisrefinado que 0,5, uma vez que leva em consideração onúmero de elementos comuns a X e [X]R' Quantomenor for esse número, menor é o grau de pertinênciaaproximada de um elemento daquela classe deequivalência a X.

A= (U,R)

Figura 6: Para qualquer ponto x da áreasombreada, JlXvy (x) :;t:max(J.1. .r (x), Jly (x)) ,pois Jl.xvY (x) = 1 e max(J.1. x (x), J.1.y (x)) =05

A= (U,R)

(3)" J<:

...........<,XI X \Y\

/\r-,

,Figura 7: E óbvio que JlX"y (x) deve ser O enão 05 = min(J.1. x (x), J.1.y (x)) =min(05,05) ,para qualquer ponto das áreas sombreadas

Com a função de pertinência aproximada (3), oque se verifica é que :i. JlxvY(x) max(Jlx(x),J.1.y(x)),Vx E Uii-;-J.1.X"y(x) mintji x (x), J..:-y(x)),Vx EUou seja, o problema das propriedades da união e dainterseção (válidas para as funções de pertinência que

I[xl. 1\ xlll x(x) = l[xl.1

onde [X]R denota a classe de equivalência induzidapela relação de equivalência R...que contén; o elementox (e todos os seus equivalentes, por R), E importanteobservar que a função de pertinência, por sua vez, éfunção do conhecimento existente a respeito doselementos do universo, ou seja, de seu conjunto deatributos R. Essa definição permite apenas que se faleem pertinência aproximada de um elemento x douniverso, ao conjunto X, dado o conhecimento R, Elaserve para medir a que extensão os elementos daclasse de equivalência [x] estão em X, com relação aoconjunto de atributos R, num espaço aproximadoA=(U,R). Essa função pode ser redefinida para umsubconjunto qualquer do conjunto inicial de atributosque define R,

É importante notar que assim como a função depertinência aproximada (I), a função de pertinênciaaproximada (3) é dependente da relação de

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caracterizam os conjuntos fuzzy) não valerem para afunção de pertinência aproximada, ainda persiste.Ainda, como provado em [Pawlak-Skowron (1994)] ,tais operações para as funções min e max são válidasapenas quando X ç Y ou Y ç X . Em situações ondetais relações de continência não se verificam, não épossível computar os valores de Il X v I' (x) e Il x,..,y (x) ,conhecendo-se os valores de Il X (x) e u, (x) apenas.Esses autores provam que não existe funçãof:[O,I] x [0,1] [0,1], com a qual seja possíveldefinir IlxuY(x) = f(llx(x),ll y(x)) independente dapartição R efetuada em U, ou seja, independente doespaço aproximado em questão. Argumentosemelhante é dado para IlXnY' Entretanto, dada apartição, é possível definir funções para aquelasoperações que, em circunstâncias específicas,satisfariam as propriedades da união e intersecção.

4 - ConclusãoNeste trabalho buscou-se caracterizar os principaisconceitos da Teoria de Conjuntos Aproximados eanalisá-los sob a perspectiva de funções depertinência, nos moldes da TCF. A TCF é umformalismo para representação de incerteza jáconsolidada que vem sido utilizada com relativosucesso em algumas áreas do conhecimento. Aexpressão dos principais conceitos da TCA sob aperspectiva de funções de pertinência pode permitirque alguns dos resultados da TCF possameventualmente ser utilizados na TCA.

Entretanto, é importante notar que a noção depertinência fuzzy foi criada para a expressão de umconceito vago, através de uma função que associa oselementos de um conjunto, a um valor do conjunto[0,1] , que representa o grau com que o elementopertence ao conceito em questão. Já o conceito depertinência aproximada, foi criado para a expressãode um conceito que não está definido precisamenteatravés da informação disponível; existe um certo graude "indefinição" do conceito, como função dainformação disponível.

Pretende-se, como continuidade do trabalho,implementar um algoritmo para a determinação dapertinência aproximada .de elementos, seguindo aproposta apresentada em [Pawlak-Skowron (1994)].

5 • AgradecimentosÀ FAPESP, pelo apoio financeiro Proc. N. 96/10119-8 eProc. N. 96/12750-7 .6 • BibliografiaP. Bonissone. Plausible Reasoning, In: S. C. Shapiro;

D. Eckroth; G.A. Vallasi (eds.) Encyclopedia ofArtificialIruelligence, John Wiley & Sons , N.Y.,1991, pp. 854-863 ,

P. R. Cohen. Heuristic Reasoning About Uncertainty:an AI Approcach. Boston, Mass., Pitman, 1985.

R. O. Duda, P. E. Hart, N. J. Nilsson. SubjectiveBayesian Methods for Rule-Based InferenceSystems. In: AFIPS Conference Proceedings,N.Y., June 1976, pp. 1075-1082.

J. G. Klir, B. Yuan . Fuzzy Sets and Fuzzy Logic:Theory and Applications. New Jersey, PrenticeHall, 1995.

K. C. Ng , B. Abramsom. Uncertainty Management inExpert Systems. IEEE Expert, April 1990, pp .29-47 .

Z. Pawlak. Rough Sets . International Journal ofComputer and Information Sciences, 11(5) ,1982, pp. 341-356.

Z. Pawlak. Rough Sets and Fuzzy Sets . Fuzzy Sets andSystems , 17,1985, pp. 99-102.

Z. Pawlak. Hard and Soft Sets . Rougli Sets, Fuzzy Setsand Knowledge Discovery, W. P. Ziarko (ed .),Springer-Verlag, 1994, pp. 130- 135

Z. Pawlak,A. Skowron. Rough Membership Functions.Advances in the Dempster-Shafer Theory ofEvidence, R. Yager; M. Fedrizzi; J. Kacprzyk(eds .), John Wiley & Sons, 1994, pp . 251-271.

1. Pearl. Reverend Bayes on Inference Engines: aDistributed Hierarchical Approach. In:Proceedings of the Second National Conferenceon Artificial Intelligence, Pittsburgh, PA, 1982,pp. 133- 136.

R. Reiter. A Logic for Default Reasoning. ArtificialInteLLigence 13, 1980, pp. 81-132.

G. Shafer. A Mathematical Theory of Evidence.Princeton, NJ, Princeton University Press, 1976.

E. H. Shortliffe, B. G. Buchanan. A Model of InexactReasoning in Medicine. Math. Biosci., 23, 1975,pp.351-379.

M. Wygralak, M. Rough Sets and Fuzzy Sets - SomeRemarks on Interrelations. Fuzzy Sets andSystems 29, 1989, pp. 241 -243.

L. A. Zadeh. Fuzzy Sets as a Basis for a Theory ofPossibility. In : Fuzzy Sets and Systems 1, 1978,pp 3-28 .

W. P. Ziarko (ed.). Rough Sets, Fuzzy Sets andKnowledge Discovery. Springer-Verlag, 1994.

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