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Ano 2018
CONJUNTOS Aulas 01 a 06
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
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Sumrio CONJUNTOS ............................................................................................................................................................ 1
CONCEITOS PRIMITIVOS ......................................................................................................................................... 1
REPRESENTAO DE UM CONJUNTO ..................................................................................................................... 1
RELAO DE PERTINNCIA ..................................................................................................................................... 1
EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1
CONJUNTOS NOTVEIS ........................................................................................................................................... 1
TIPOS DE CONJUNTOS ............................................................................................................................................. 1
NMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO ........................................................................................................ 2
EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
SUBCONJUNTOS ...................................................................................................................................................... 2
RELAO DE INCLUSO .......................................................................................................................................... 2
EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
SUBCONJUNTO PRPRIO ........................................................................................................................................ 2
IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS ............................................................................................................................. 3
EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
CONJUNTO DAS PARTES.......................................................................................................................................... 3
PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 3
NMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO ......................................................................................... 3
OPERAES ............................................................................................................................................................. 4
CONJUNTO COMPLEMENTAR ................................................................................................................................. 4
EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
NMERO DE ELEMENTOS DA UNIO ..................................................................................................................... 5
PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 5
ALGUMAS REPRESENTAES .................................................................................................................................. 5
EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 6
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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 1
AULA 01
CONJUNTOS CONCEITOS PRIMITIVOS Os conceitos primitivos da teoria de conjuntos so
conjunto, elemento e pertinncia.
Um elemento pertence a um conjunto .
Ex.: Uma carteira parte de uma sala de aula.
REPRESENTAO DE UM CONJUNTO 1. Tabular elementos listados entre chaves e
separados por vrgula (ou ponto e vrgula).
= {, , , } = {, , , }
2. Diagrama de Venn elementos dispostos no
interior de uma figura plana fechada.
3. Propriedade elementos descritos por meio
de uma propriedade em comum.
= { | divisor de }
RELAO DE PERTINNCIA Determina se um elemento pertence () ou no
pertence () a um conjunto.
Exemplo 1.1: Seja = {0; 1; {3,4}}. As seguintes
relaes so verdadeiras:
0 {3,4}
1 3
4 {4}
EXERCCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. Dado = {, 1, 3, {4}}, julgue os itens a seguir.
a) 1 b) c) 4
d) 3 e) {4}
AULA 02
CONJUNTOS NOTVEIS Conjunto Vazio( { }) - no possui
nenhum elemento.
Conjunto Unitrio - possui um nico
elemento.
Obs.1: e {} no tem o mesmo significado, de modo
geral {}, para todo .
Conjunto Universo () contm todos os
elementos do objeto de estudo.
TIPOS DE CONJUNTOS Finito podemos contar seus elementos,
chegando ao fim da contagem.
Infinito no finito.
Tablet: Ler as Obs. 1 e 2; e os exemplos seguintes.
Um conjunto fazendo papel de elemento
Um conjunto listado dentro de outro conjunto
deve ser visto apenas como um de seus elementos:
= {0, 1, {3,4}} {3,4} um elemento de . Isso
no significa que 3 ou 4 sejam elementos de .
DICA: Considerando o conjunto que contm as
estaes do ano, tem-se que , mas o sol,
que um elemento do vero, no pertence a .
1 2 5 10
Tablet: Ler a obs. 4 e os exemplos seguintes.
Como transformar de propriedade para tabular
Quando um conjunto estiver descrito na
forma = { | }, interprete a primeira parte
como os candidatos a elementos de , enquanto a
segunda parte (aps a barra) a sua restrio. Se um
candidato satisfaz a restrio ele est eleito e,
portanto, elemento de .
Exemplo: Seja = { | + 2 = 0}
: diz que todos os reais so candidatos
+ 2 = 0 : restrio
-2 o nico candidato que satisfaz a
restrio, portanto eleito. Logo = {2}
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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 2
NMERO DE ELEMENTOS DE UM
CONJUNTO O nmero de elementos de um conjunto finito,
cardinalidade, denotado por (), # ou ||.
Exemplo 2.1: Sejam = = {2}, segue que
() = 0; () = 1;
Obs.2: Elementos repetidos em um conjunto so
considerados como apenas um elemento.
EXERCCIOS FUNDAMENTAIS
2.1. Dado = {; 1; 3; {0; 4}}, julgue os itens a
seguir.
a) () = 4
b) infinito
c) {4}
d) 0
e) 4
2.2. Classifique os conjuntos a seguir em unitrio,
vazio, finito ou infinito.
a) = { | 2 + 24 + 3 = 0}
b) = { |2 = 1}
c) = { |2 > 2}
d) = { | ( + 2) ( 1
2) (2 1) = 0}
AULA 03
SUBCONJUNTOS RELAO DE INCLUSO A relao de incluso uma relao entre dois
conjuntos.
A subconjunto de B (ou A est contido em B), se
todo elemento de A tambm elemento de B.
(l-se est contido em )
(l-se contm )
Exemplo 3.1: Sejam = {0, 2, 3} e = {1, 0, 2, 3},
observe que
Assim, temos que .
Obs.3: Basta que um elemento de no pertena a
para que no esteja contido em B ( ).
Exemplo 3.2: Sejam = {1, 2, 4} e = { |
um nmero par}, como 1 e 1 temos que
.
Obs.4: Lembre-se que e , para qualquer
conjunto .
EXERCCIOS FUNDAMENTAIS
3.1. Dado = {, 1, 2, {4}} e = {2, 4, {1}},
julgue os itens a seguir.
a) {1} f) {2, 1}
b) 1 g) e
c) {4} h) {}
d) {1, 2} i)
e) {2, {1}} j)
SUBCONJUNTO PRPRIO Um conjunto A, tal que , chamado de
subconjunto prprio de B, se e .
TAREFA 2 Ler, no tablet, at a pgina 9 e fazer os
PRATICANDO EM SALA 10 a 14, 15(1 a 4) e 16.
Tablet: Ler as obs. 7 e 8 e os exemplos seguintes.
Pertinncia e incluso
Pertinncia: relao entre elemento e conjunto
(Lembre-se que um conjunto pode ter outro conjunto
como um de seus elementos).
Incluso: relao entre dois conjuntos
(sendo um deles subconjunto do outro).
ATENO! Para que um elemento seja promovido a
subconjunto, necessrio coloc-lo entre chaves. Se
esse elemento j for um conjunto, ento ele receber
um segundo par de chaves.
Tablet: Ler os exemplos que seguem a observao
11 e o exerccio 1.
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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 3
AULA 04 IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS Sendo e conjuntos, temos que
=
Exemplo 4.1: Sejam os conjuntos = {1, 2, 3},
= {2, 1, 3} e = {1, 2, 3, 3, 3}, tem-se ento
= = .
Obs.5: Dois conjuntos que diferem apenas na ordem
de seus elementos so iguais.
EXERCCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Determine se os conjuntos = {1, 2, 4, 5} e
= {1, (1
2)
1, 22,
125
5} so iguais.
CONJUNTO DAS PARTES PRELIMINAR 1 Dado o conjunto = {1, 2, 3, 4}, temos que:
possui um subconjunto com zero
elementos: .
possui quatro subconjuntos com um
elemento: {1}, {2}, {3} e {4}.
possui seis subconjuntos com dois
elementos:
{1, 2}, {1, 3}, {1,4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.
possui quatro subconjuntos com trs
elementos: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}.
possui um subconjunto com quatro
elementos: {1, 2, 3, 4} =
Estes so todos os subconjuntos de .
O conjunto das partes de , (), , por
definio, o conjunto cujos elementos so todos os
subconjuntos de .
Exemplo 4.2: Sendo = {1, 2, 3, 4}, tem-se que o
conjunto das partes de dado por
() = {, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4},
{2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4},
{1, 2, 3, 4}}
Obs.6: O conjunto das partes tambm um
CONJUNTO.
NMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM
CONJUNTO O nmero de subconjuntos de um conjunto
igual ao nmero de elementos do conjunto das
partes de . possvel demonstrar que esse nmero
obtido pela frmula a seguir:
(()) = 2()
Tablet: PRATICANDO EM SALA 17
TAREFA 3: Ler, no tablet, o exemplo 27; e fazer os
PRATICANDO EM SALA 18(a) e 19.
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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 4
AULA 05
OPERAES Estudaremos, primeiramente, as trs operaes
seguintes: Unio, Interseo e Diferena.
CONJUNTO COMPLEMENTAR Sejam e dois conjuntos, tais que . O
conjunto complementar de em relao a , por
definio, o conjunto . Note que
=
Exemplo 5.4: Sejam = {1; 2; 3} e = {1; 2; 3; 4; 5},
ento o conjunto complementar de em relao a
= {4, 5}
Obs.12: = , onde o conjunto universo dado
na questo.
Para os exemplos a seguir, considere os conjuntos
= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7} , = {1; 2; 3} , = {3; 4; 5} e
= {7}.
EXERCCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Considere os conjuntos = {1, 2, 3},
= {{1, 2, 3}}, = {1, 2, 3, 4} e = {0, 2, 4, 6}.
Complete a tabela (TABELA FEITA EM SALA).
TAREFA 4: Ler as pginas 11 a 23; Fazer os
PRATICANDO EM SALA 21, 22, 25, 26, 27, 28.
Tablet: Ler observao 15
UNIO = {| }
EXEMPLOS:
= {1, 2, 3, 4, 5}
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} =
OBSERVAES:
Obs.7: Um elemento no pertence
unio de dois conjuntos se no
pertencer a nenhum deles.
( )
Tablet: Ler observao 18
INTERSEO = {| }
EXEMPLOS:
= {3}
= {3, 4, 5} =
=
OBSERVAES:
Obs.8: Dados os conjuntos e ,
dizemos que e so disjuntos se
os conjuntos e no tm
elementos em comum, isto
= .
Obs.9: Para que um elemento no
pertena interseo entre dois
conjuntos, basta que ele no
pertena a um deles.
( )
DIFERENA = {| }
EXEMPLOS:
= {1; 2}
= {4, 5}
=
OBSERVAES:
Obs.10: Ao calcular a diferena
entre dois conjuntos, voc est
respondendo seguinte pergunta:
Quais so os elementos do
primeiro conjunto que no so
elementos do segundo conjunto?.
Obs.11: Em geral, .
Tablet: Ler observao 23
Complementar
A palavra complementar atribuda a tal operao
para passar a ideia de complemento. O conjunto
complementar de em relao a o conjunto que
contm os elementos que faltam a um subconjunto
de , no caso, , para que tenhamos = .
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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 5
AULA 06
NMERO DE
ELEMENTOS DA UNIO
PRELIMINAR 1 Sejam e dois conjuntos finitos, representados
pelo diagrama de Venn abaixo:
Note que,
( ) = + +
() = + ;
() = +
Se calcularmos () + () teremos:
() + () = ( + ) + ( + )
= + 2 +
Observe que os elementos da interseo ( )
esto sendo contados duas vezes. Portanto, precisam
ter sua quantidade subtrada da soma obtida. Isto :
Sendo e dois conjuntos finitos, o nmero de
elementos da sua unio dado pela relao a seguir.
( ) = () + () ( )
Exemplo 6.1: Dados os conjuntos = {{1, 2}; 3; 4; 5}
e = {3, 4, 1, {1}}, tem-se que
() = 4, () = 4; ( ) = 2
Ento
( ) = () + () ( )
( ) = 4 + 4 2
( ) = 6
Lembrando que = {{1, 2}; 3; 4; 5; 1; {1}}
Obs.13: Se e so disjuntos (( ) = 0), ento
( ) = () + ()
ALGUMAS REPRESENTAES A seguir, voc ver alguns diagramas de Venn.
Eles representam algumas das possveis relaes
entre dois conjuntos A e B.
Note que eles tm uma ou mais de suas partes
escurecidas, que ilustram a expresso que os
antecede.
Somente em ou ( )
{3, 4}
Problemas e diagramas
Para resolver grande parte dos problemas que
envolvem contagem de elementos ou nmero de
elementos, deve-se recorrer ao diagrama de Venn.
Porm, no interior dos diagramas, muitas vezes no
sero listados os elementos de cada conjunto, mas
sim a quantidade de elementos que cada pedao do
conjunto possui.
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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 6
Somente em ou ( )
(Trs conjuntos) Somente em B ou
B A C
EXERCCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Sejam e conjuntos, tais que ( ) = 68,
() = 30 e ( ) = 12. Determine o nmero de
elementos do conjunto .
6.2. Em uma pesquisa sobre preferncia musical,
foram entrevistadas 40 pessoas. Elas optaram entre
rock, pop ou sertanejo, podendo escolher nenhuma,
uma, duas ou trs entre as opes. Sabendo que,
5 pessoas escolheram os trs estilos musicais
10 pessoas escolheram rock e pop
Nenhuma escolheu apenas rock e sertanejo
7 escolheram pop e sertanejo
20 escolheram rock
20 escolheram pop
12 escolheram sertanejo
Determine o nmero de pessoas que no escolheu
nenhum dos trs estilos musicais.
6.3. Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre
as disciplinas Matemtica, Fsica e Qumica. Sabendo
que:
o nmero de alunos que cursam apenas
Matemtica e Fsica excede em 5 o nmero de
alunos que cursam as trs disciplinas;
existem 7 alunos que cursam Matemtica e
Qumica, mas no cursam Fsica;
existem 6 alunos que cursam Fsica e Qumica,
mas no cursam Matemtica;
o nmero de alunos que cursam exatamente
uma das disciplinas 150;
o nmero de alunos que cursam pelo menos
uma das trs disciplinas 190.
Com base nessas informaes, determine o
nmero de alunos que cursam as trs disciplinas.
EXTRA
CAIU NO VEST 1. As preferncias musicais so referncia para o
conhecimento das pessoas, j que essas preferncias
revelam quem as pessoas so e o que querem ou no
ser. Assim, as escolhas nem sempre se ligam a
critrios musicais, mas ao que a msica representa
para cada pessoa ou para o grupo sociocultural em
que ela se insere. Em uma pesquisa sobre gosto
musical, foram obtidos os dados apresentados na
tabela a seguir:
1. Os dados na tabela mostram que, entre os
jovens participantes da pesquisa, o nmero
de alunos que revelaram preferncia por mais
de um tipo musical 59.
2. Mais de 135 jovens revelaram preferncia por
apenas um dos tipos de msica pesquisados.
3. O nmero total de jovens participantes da
mencionada pesquisa 205.
2. Para preencher vagas disponveis, o departamento
de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44
TAREFA 5: Ler as pginas 33 a 44; Fazer os
PRATICANDO EM SALA 29, 30, 32, 33, 34, 35 e 37
EXTRA: CONHECENDO AVALIAES 1, 2, 6, 8, 12,
14, 16, 19 e 20
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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 7
candidatos, solicitando, entre outras informaes, que
o candidato respondesse se j havia trabalhado:
I em setor de montagem eletromecnica de
equipamentos;
II em setor de conserto de tubulaes urbanas;
III em setor de ampliaes e reformas de
subestaes de baixa e de alta tenso.
Analisados os testes, o departamento concluiu que
todos os candidatos tinham experincia em pelo
menos um dos setores citados anteriormente e que
tinham respondido afirmativamente:
28 pessoas alternativa I;
4 pessoas somente alternativa I;
1 pessoa somente alternativa III;
21 pessoas s alternativas I e II;
11 pessoas s alternativas II e III;
13 pessoas s alternativas I e III.
1. Apenas 10 candidatos tm experincia nos 3
setores.
2. Somente 36 candidatos tm experincia no
setor de conserto de tubulaes urbanas.
3. Apenas 15 candidatos tm experincia no
setor de ampliaes e reformas de
subestaes.
3. Um posto de abastecimento de combustveis vende
gasolina comum(GC), lcool anidro (AA) e leo diesel
(OD). Em uma pesquisa realizada com 200 clientes,
cada entrevistado declarou que seus veculos
consomem pelo menos um dos produtos citados, de
acordo com a tabela abaixo. Considere que no
existem carros bicombustveis.
Produto Proprietrios de veculos que consomem o
produto
GC 120
AA 75
GC e OD 60
AA e OD 50
GC e AA 30
GC, AA e OD 20
1. 35 clientes possuem apenas veculos que
consomem OD.
2. Pelo menos dois produtos so consumidos
pelos veculos de mais de 120 clientes.
3. 10 clientes possuem mais de um veculo,
sendo que pelo menos um desses veculos
consome GC e o outro consome AA, mas no
possuem nenhum veculo que consome OD.
QUESTES EXTRAS
1. Acerca do conjunto = {0; ; 1; {3; 1; 1}}.
correto afirmar que
a) {} .
b) {1} .
c) {3; 1; 1} .
d) o nmero de subconjuntos unitrios de 5.
e) o nmero de elementos do conjunto das partes de
8.
2. Cada um dos 51 professores de uma escola leciona
em, pelo menos, um dos trs prdios, , e , que a
escola possui. A distribuio de aulas aos professores
foi feita de seguinte modo:
32 professores lecionam no prdio ;
30 professores lecionam no prdio ;
29 professores lecionam no prdio ;
17 professores lecionam nos prdios e ;
18 professores lecionam nos prdios e
13 professores lecionam nos prdios e .
Quantos professores lecionam nos trs prdios da
escola?
a) 8
b) 14
c) 27
d) 31
e) 43
3. O nmero de elementos de um conjunto pode
ser denotado por (). Sendo , e conjuntos tais
que ( ) = 23, ( ) = 12, ( ) = 10,
( ) = 6 e ( ) = 4, tem-se que
( ) ( ) igual a
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
4. Uma pesquisa que foi realizada com 200 jovens
com o objetivo de identificar como anda a prtica
esportiva identificou que:
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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 8
Dos 120 jovens que no praticam esportes,
75% so do sexo feminino;
Dos 200 jovens que responderam pesquisa,
o nmero de homens igual ao nmero de
jovens que praticam esportes.
Com base nessas informaes, determine o nmero
de jovens do sexo masculino que praticam esportes.
GABARITO
EXERCCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. CCCEC
2.1. CEEEC
2.2. a) VAZIO b) FINITO c) INFINITO d) FINITO
3.1. CCECCECCEC
4.1. So iguais
5.1. EM SALA
6.1. () = 50
6.2. 5
6.3. 11
CAIU NO VEST 1. ECC
2. CCC
3. CEC
QUESTES EXTRAS 1. C
2. A
3. C
4. 50