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Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções

Atenção:

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Atualizado em Fevereiro de 2011

Conjuntos

• Wikipedia: – Coleção de elementos

Exemplos: Conjunto de cidades da RMC:Americana, Artur Nogueira, Campinas, Cosmópolis, Engenheiro Coelho, Holambra, Hortolândia, Indaiatuba, Itatiba, Jaguariúna, Monte Mor, Nova Odessa, Paulínia, Pedreira, Santa Bárbara d'Oeste, Santo Antônio de Posse, Sumaré, Valinhos e Vinhedo.

Conjunto de números pares maiores do que 2 e menores do que 9: 4, 6 e 8

Conjuntos numéricos

• A={0, 2, 4, 6, 8, ...}

• B={0, 2, 4, 6, 8, 10}

• C={1, 3, 5, 7, 9, ...}

• D={3, 5}

• E={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...}

Conjuntos importantes

• Conjunto vazio:

• Conjunto unitário:

• Conjunto Universo (U)– Formado por todos os elementos com os quais

estamos trabalhando numa determinada situação, ou seja, é o conjunto de todos os conjuntos considerados em um problema.

CouC {}

}78{B

Relações entre conjuntos

1 pertence a A

{1} está contido em A

{3} não está contido em B

B está contido em A

A não está contido em B

O conjunto vazio está contido em BB

BA

AB

B

A

A

CouC

B

A

}3{

}1{

1

{}

}2,1{

}4,3,2,1,0{

Conjunto das partes

• É formado por todos os subconjuntos de um conjunto dado.– B={1, 2, 3}– P(B)={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},

{1,2,3}}

Conjunto das partes

• Relação entre o número de elementos do conjunto e o número de elementos do conjunto das partes:– Ø possui 0 elementos e P(Ø)={Ø} possui 1 elemento– {1} possui 1 elemento e P({1})={Ø, {1}} possui 2

elementos– {1, 2} possui 2 elementos e P({1,2})={Ø, {1}, {2},

{1,2}} possui 4 elementos

Conjunto das partes

• Logo, dado um conjunto A com n elementos, o número de elementos do conjunto das partes de A, representado por P(A), é igual a 2n

Operações com conjuntos

Operações com conjuntos:Intersecção

• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

• A B = {x/xA e x B} (Intersecção)

• A B = {0, 2}

A

B1 3 4 5 6

0 2

Operações com conjuntos:União


• A B = {x/xA ou x B} (União)

• A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6}

A

B1 3 4 5 6

0 2

Operações com conjuntos:Diferença


• A - B = {x/xA e xB} (Diferença)

• A - B = {1, 3, 4}

A

B1 3 4 5 6

0 2

Operações com conjuntos:Complementar

• Caso especial: um conjunto está contido no outro:• A={0, 1 ,2} e B={0, 1, 2, 5, 6}, temos:

A B

0 1 25 6

• O complementar de B em relação a A:

}6,5{ ABC AB

A B = {0, 1, 2, 5 ,6} = B A B = {0, 1, 2} = A

A-B={ } B-A={5, 6}

Operações com conjuntos:Produto cartesiano


• A x B = {(x,y)/xA e yB} (Produto cartesiano)

• AxB={(0,0); (0,2); (0,5); (0,6); (1,0); (1,2); (1,5); (1,6); (2,0); (2,2); (2,5); (2,6); (3,0); (3,2); (3,5); (3,6); (4,0); (4,2); (4,5); (4,6)}

• Atenção: n(A) = 5 e n(B)=4 e n(AxB)=5 . 4 = 20

• Par ordenado: (2, 0)(0, 2)

Representação no plano cartesiano

A={0, 1 ,2, 3, 4}B={0, 2, 5, 6}

A

B

Atenção para:

•AxB: A no eixo horizontal e B no eixo vertical

• (0,2) e (2,0) são pontos distintos

• Os pontos não estão ligados por linhas contínuas, isso depende dos conjuntos e da relação!


Conjunto dos Números Naturais (N)

...3,2,1}0{

...3,2,1,0*

NN

N


Conjunto dos Números Inteiros (Z)

0,1,2,3...

...3,2,1

...3,2,1,1,2,3...}0{

...3,2,1,0,1,2,3...

*

*

Z

Z

ZZ

Z

Conjunto numéricos

Conjunto dos Números Racionais (Q)

0,1,2

3,2...

...1,2

1,

3

1

...1,2

1,

3

1,1,

2

3,2...}0{

...1,2

1,

3

1,0,1,

2

3,2...

*

*

Q

Q

QQ

Q


• Representação decimal de números racionais:– A representação decimal de um número

racional é obtida pela divisão de a por b.

– Esta divisão pode resultar em decimais exatas ou dízimas periódicas:

b

a

...1666,06

15,0

2

1

Conjunto numéricos

Conjunto dos Números Irracionais (I ou Ir)

Números decimais que não admitem representação fracionária

Exemplo: , a raiz quadrada de um número inteiro não-negativo que não é inteira, decimais infinitas e não-periódicas

...123456,275,3,2,

Conjuntos Numéricos

N Z Q I

Conjunto dos Números Reais (R)

Intervalos numéricos (reais)

-3

Intervalos numéricos (Reais)

(-3, +) = ]-3, +) ={x / x > -3}

[-3, +) = [-3, +) ={x / x -3}

-3

4

Intervalos numéricos (Reais)

(-3, 4) = ]-3, 4)=]-3, 4[ ={x / -3 < x < 4}

(-3, 4] = ]-3, 4] ={x / -3 < x 4}

-3 4

-3

• Seja o conjunto A={0, 1, 2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

• R = {(x,y)AxB / x+y>4}– R={(0,5); (0,6); (1,5); (1,6); (2,5); (2,6); (3,2);

(3,5); (3,6); (4,2); (4;5); (4,6)}– N(R)=12



• Representação gráfica:– A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6} – R = {(x,y)AxB / x+y>4}

01234

0256


• Representação gráfica:– A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6}– R = {(x,y)AxB / x+y>4}

01234

0256


Representação no plano cartesiano - Relações

A={0, 1 ,2, 3, 4}

B={0, 2, 5, 6}

A

B

R= {(x,y)AxB / x+y>4}

Representação no plano cartesiano - Relações

Observe os conjuntos A e B e a relação R para determinar se você pode traçar uma reta sobre os pontos.

Relações especiais

• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 4, 6, 8, 11}, temos:

• R = {(x,y)AxB / y = 2x}– R={(0,0); (1,2); (2,4); (3,6); (4,8)}– N(R)=5

• Representação através de diagrama:– A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 4, 6, 8, 11}– R = {(x,y)AxB / y = 2x}

01234

Relações especiaisRelações especiais

O que há de especial nesta relação?

0246811

• O que há de especial?Neste exemplo, todos os elementos do conjunto “origem” (domínio) estão relacionados uma e somente uma vez com elementos do “destino” (contradomínio)

01234

0246811

Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

ConjuntoImagem

Relações especiaisRelações especiais

Por que essa característica é especial?

A garantia de encontrar um correspondente a partir de

um número dado pode ajudar a

conhecer/entender/explicar um determinado

contexto/fenômeno.

Funções: definição

• Uma relação F de A em B é uma função se, e somente se, todo elemento de A tem um único correspondente em B.

• Em outras palavras, cada elemento do conjunto domínio possui uma, e somente uma, imagem.

Funções: Notação

• Exemplo:– Dada a função f:N N, definida para todo

natural n N, tal que f(n)=2n+1• 2n+1 é uma forma de se representar um número

ímpar!

• Para n=0 temos, f(0)=2.0+1=1 logo f(0)=1 ou (0, 1)




Representação no plano cartesiano - Funções

A={0, 1 ,2, 3}

B={0, 2, 4, 6}

A

B

R= {(x,y)AxB / y=2x}

A função é uma relação especial, logo, ser função não determina se podemos ou não traçar uma reta pelos pontos.

Funções - Classificação

Injetora, Sobrejetora e Bijetora

Função Injetora

• É a função na qual:

x1 x2 então f(x1) f(x2)

01234

0246811


ConjuntoImagem

Função Sobrejetora

• É a função na qual a todo elemento do contra-domínio está associado um elemento do domínio. Ou seja: Cd=Im

01234

0246


ConjuntoImagem

Função Bijetora

• É a função que é injetora e sobrejetora.

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02468


ConjuntoImagem

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