Rafael Carvalho – 7º Período Engenharia Civil

Conjuntos

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2

Definição

Noção intuitiva: São coleções de elementos da mesma espécie.

- O conjunto de todos os estudantes da UFAL.

- O conjunto de todos os brasileiros.

- O conjunto de todos os números naturais.

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Seus componentes são formados por elementos que são denotados por letras minúsculas do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Representações: formas

Compreensão

A = conjunto de alunos da UFAL

Implícita

B x / x ; x 2 N d / d é dia da semana

Explícita

C a;e;i;o;u

Diagrama de Euler-Venn

Z

Conjuntos especiais

Conjunto Vazio: o conjunto que não possui elementos Seja X um conjunto qualquer, o conjunto vazio Ø é definido por:

x X / x x

Conjunto Unitário: é um conjunto formado por um único

elemento Ex: M = {7}

Conjuntos especiais

Conjunto finito: Se for vazio ou tiver um número finito de elementos.

O conjunto das cidades de Portugal

O conjunto vazio.

O conjunto do número de habitantes de Delmiro Gouveia

Conjunto infinito: Se o conjunto tiver uma quantidade incontável de elementos.

O conjunto N dos números naturais.

O conjunto dos números primos.

O conjunto Z dos números inteiros.

Conjuntos especiais

de todos os elementos, Conjunto Universo: é o conjunto representado pela letra U

Também é admitido como restrito a uma região de interesse.

Ex.: - Conjunto Universo das letras

- Conjunto Universo dos Conjuntos

J

O M W

Notações básicas

Relação de pertinência

Relaciona elementos e conjuntos, informando se um elemento faz parte ou não de tal conjunto

x pertence ao conjunto A Simbologia:

(lê-se: “x pertence a A”)

x NÃO pertence ao conjunto A Simbologia:

x A

x A (lê-se: “x NÃO pertence a A”)

Exemplos 5 4; 5; 10; 23 6 1;2; 0;1;2

Relação de inclusão 1

A está contido em B

Simbologia:

A NÃO está contido em B.

Simbologia:

A B

A B

Exemplos

5; 23 4; 5;10; 23 0; 11 10,2; 20; 1

A B

Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto do outro

A

B A

A

Relação de inclusão 2

Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto ou superconjunto do outro:

B contém A

Simbologia:

B NÃO contém A

Simbologia:

Exemplos

B A

B A

5; 23; 4;10 4; 5;10 0; 11; 3; 15 10;18; 11; 3

A B

A

B A

A

Conjuntos: operações

A B x U ; x A x B

9

7 6

8

B A

1 2

3 4

5

•Interseção: A B (lê-se: “A interseção a B”) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A e a B. A B x U; x A x B

A

1

3

5

2

4

7

9

6

8

B

2

4

7

•União: A B (lê-se: “A união B”) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A ou a B.

Conjuntos: operações

DIFERENÇA: A - B (lê-se: “A menos B”) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A, mas NÃO a B.

A

B

A-B

Conjunto complementar

Definição: Seja B um conjunto qualquer (portanto subconjunto do universo U), o complementar de B em relação ao conjunto universo, é simbolizado por:

ou B

B x U; x B O que é equivalente a: B U B

U-B U

B

B

Bc

Dicas !!!

• Elemento neutro para a união: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a união de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

• Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

• Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

Exemplos

Vamos Praticar!

1. Julgue as proposições como verdadeira ou falsa:

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

Os Conjuntos Numéricos

Conjunto dos números naturais

Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza.

A representação matemática deste conjunto é dada da seguinte forma:

Subconjunto:

(Conjuntos dos números naturais não-nulos)

Conjunto dos números inteiros

A subtração de 1 - 4 era impossível.

A ideia do número negativo, apareceu na Índia, associada a problemas

comerciais que envolviam dívidas.

O número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.

A representação matemática dos números inteiros é dada da seguinte forma:

Conjunto dos números inteiros

Subconjuntos:

(Conjunto dos números inteiros não-nulos)

(Conjunto dos números inteiros não-negativos)

(Conjunto dos números inteiros positivos não-nulos)

Conjunto dos números inteiros (continuação)

Subconjuntos:

(Conjuntos dos números inteiros não-positivos)

(Conjuntos dos números inteiros negativos

não-nulos)

Vamos praticar!

1. Classifique como verdadeiro ou falso:

a) A soma de dois números naturais quaisquer é um número

natural.

b) A diferença entre dois números naturais quaisquer é um número natural

c) O produto de dois números naturais quaisquer é um número natural

Verdadeiro

Verdadeiro

Falso

Vamos praticar!

2. Classifique como verdadeiro ou falso:

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

Falso

Como dividir 3 ovelhas para 2 herdeiros?

Conjunto dos números racionais

b

• Para resolver problemas de divisões de números inteiros (3/2), foram criados

os números fracionários que unidos aos inteiros (Z), formam os números

racionais (Q).

A representação matemática deste conjunto é:

Q = Z {números fracionários}

Assim,

Q={x/x a

, coma Z , b Z e b 0}

Q { x / x

a , c o m a Z , b Z * }

b

Será que existe uma forma mais

compacta para Q?

Conjunto dos números racionais

- Todo número que pode ser escrito na forma de fração entre dois inteiros é um número racional. Na forma decimal podem ser representados por:

- Decimal Exata

Ex.: 3/4 = 0,75 25/8 = 3,125 -2/5 = -0,4

- Decimal Periódica

Ex.: 17/6 = 2,8333... 23/99 = 0,232323...

Onde, 17/6 e 23/99 são as geratrizes das dízimas periódicas,

que tem, respectivamente, períodos 3 e 23.

26/44

Conjunto dos números irracionais

Representam os números decimais infinitos e não-periódicos.

π = 3,1415926535...

31/2 = 1,7320508...

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

Formado a partir da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

A representação matemática deste conjunto é:

R Q I r {x / x Q ou xIr}

Intervalos reais

reais são

Notações intuitivas:

É numa reta real onde todos os infinitos números representados de maneira crescente.

30/44

0 1 2 3 -3 -2 -1

2,7

1,8

1,5 2 5

-2,7 - 2

-1,5

-1,8

- 5

-

O

Do menos infinito ao mais infinito

Intervalos reais

• O intervalo vai do -4 até o 4

• O intervalo inclui o -4 mas não inclui o 4

Um intervalo é um pedaço da reta real representado por:

Bolinha fechada Bolinha aberta

A extremidade está incluída A extremidade está excluída

(ou seja, dentro) do intervalo. (ou seja, fora) do intervalo.

-4 4

Intervalos reais

S x / x 4

S x / x 5

4 x

5 x

-5 2 x

-6 3 x

S x / 5 x 2

S x / 6 x 3

INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA

Intervalos reais

S x / 4 x 4 ou x 3

-4 4 x

3

S x / 4 x 4 4 x 3

S [ 4 , 4 ) (4 ,3)

Intervalos reais

INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA

x -4 4 3

A

B

A B

INTERVALOS REAIS

S x / 4 x 4

A B [4,4)

UNIÃO DE INTERVALOS

x -4 2

x -2 4

x -2 4 -4 2

INTERSECÇÃO DE INTERVALOS

A B

A

B

S x / 2 x 2

A B [ 2 , 2 )

INTERVALOS REAIS

x -4 2

x -2 4

x -2 2

DIFERENÇA DE INTERVALOS

A

B

A B

S x / 4 x 2

A B [4 ,2)

Intervalos reais

x -4 2

x -2 4

-4 -2 x

Vamos Praticar! 1. Dados A = [0,3] e B = [1,5], calcule:

Intervalos reais

Obrigada pela atenção!

www.ufal.edu.br

www.facebook.com/PETEngenharias