GABARITO

1Matemática E

Matemática E – Extensivo – V. 7

Exercícios

01) B

P(x) = x³ + ax² − x + b é divisivel por x − 1. Pelo teorema do resto, x = 1 é raiz de P(x).

P(1) = 1³ + a . 1² − 1 + b ⇒ a + b = 0

Da mesma maneira, P(x) é divisível por x − 2. Pelo teorema do resto, x = 2 é raiz de P(x).

P(2) = 2³ + a . 2² − 2 + b = 0 ⇒ P(2) = 8 + 4a − 2 + b = 0 ⇒ 4a + b = −6

Resolvendo o sistema: a = −2 e b = 2. Logo, a + b = − 2 + 2 = 0.

02) A

P(x) = x³ + mx²+nx − 2 x² − 1 = (x − 1)(x + 1)

Logo: P(x) é divisível por x − 1, pelo teorema do

resto: P(1) = 1³ + m . 1²+n . 1 − 2 ⇒ 1+ m + n − 2 = 0 ⇒ m + n = 1

P(x) é divisível por x + 1, pelo teorema do resto:

P(−1) =(−1)³ + m . (−1)²+n . (−1) − 2 = 0 ⇒ −1+ m − n − 2 = 0 ⇒ m − n = 3

Resolvendo o sistema: m = 2 e n = −1.

03) Verdadeiro.

Basta fazer a divisão por Briot-Ruffini ou método tradicional, verificando que os dois restos dão zero.

04) Verdadeiro.

Se fizer duas divisões sucessivas, obser-va-se que a primeira possui Q(x) = x² + 2x − 8 com resto zero. Se dividirmos Q(x) por (x − 1) teremos resto − 5. Logo, P(x) não é divisivel por (x − 1)².

05) Q(x) = 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1

5 6 0 0 0 0 1 2 1

5 10 5 5 4 3 2

6 5 4 3 2 2

6 5 4 4 3 2

x x x x x x x x

x x x x x x x

− + + + + + − +

− + − + + + ++

− + + + +

− + −

− + + +

− +

1

4 5 0 0 0 1

4 8 4

3 4 0 0 1

3 6

5 4 3 2

5 4 3

4 3 2

4

x x x x x

x x x

x x x x

x x33 2

3 2

3 2

2

2

3

2 3 0 1

2 4 2

2 1

2 1

0

−

− + +

− + −

− +

− + −

x

x x x

x x x

x x

x x

�

06) F − F − V − V− V

(F) gr (Q) = gr(P) − gr(D) Como gr(D) = 5, logo gr(P) = gr(Q) + gr(D) ≥ 5, o que torna a

afirmativa falsa.(F) Pela questão 4, se P(x) divisível por (x − 1), não garante que é

divisível por (x − 1)².(V) P(x) é divisível por (x − 1) e por (x + 9).(V) Pela justificativa da primeira afirmativa.(V) Como P(x) é divisível por x − 3, logo x = 3 é raiz de P(x).

07) A

D(x) = x² − 6x + 5 D(x − 1) . (x − 5)

Logo, P(x) é divisível por (x − 1) e por (x − 5).

P(x) = x4 + px2 + q, pelo teorema do resto: P(1) = 14 + p . 12 + q = 0 1 + p + q = 0 p + q = − 1

P(5) = 54 + p . 52 + q = 0 625 + 25p + q = 0 25p + q = − 625

Resolvendo o sistema, temos p = −26 e q = 25, logo p + q = −1.

GABARITO

2 Matemática E

08) 5

B(x) = x² − 3x + 2 B(x) = (x −2)(x −1)

Logo, A(x) é divisível por (x −2) e por (x −1).

A(x) = x³ + ax² + bx − 6, pelo teorema do resto: A(2) = 2³ + a . 2² + b . 2 − 6 = 0 8 + 4a + 2b − 6 = 0 4a + 2b = −2

A(1) = 1³ + a . 1² + b . 1 − 6 = 0 1 + a + b − 6 = 0 a + b = 5

Resolvendo o sistema, temos a = − 6 e b = 11. Logo, a + b = 5.

09) Zero

P(x) = x4 − 3x3 + mx2 + nx − 1

Pelo teorema do resto, temos:

Para (x − 2): P(2) = 24 − 3 . 23 + m . 22 + n . 2 − 1 = 0 16 − 24 + 4m + 2n − 1 = 0 4m + 2n = 9

Para (x + 1): P(−1) = (−1)4 − 3 . (−1)3 + m . (−1)2 + n . (−1) − 1 = 0 1 + 3 + m − n − 1 = 0 m − n = − 3

Resolvendo o sistema, m = 12

e n = 72.

Logo, − 7 . m + n = − 7 . 12

+ 72 = −

72 +

72 = 0.

10) a) a = 4 e b = − 5

Como P(x) é divisível por D(x), então P(x) é divisível por (x − 1) e o quociente dessa divisão também. Por Briot-Ruffini:

1 a

a

b

a+b

o

a+b

o

a+b

Q(x)

o

a+b

I

a+b a+b+1

Logo, R(x) = a + b + 1 = 0 ⇒ a + b = − 1.

1 a

a 2a+b

a+b

3a+2b

a+b

4a+3b

a+b

5a+4b

a+b

R(x) = 5a + 4b = 0 ⇒ 5a + 4b = 0

Do sistema, temos a = 4 e b = − 5.

b) Q(x) = 4x³ + 3x² + 2x + 1

4 5 0 0 0 1 2 1

4 8 4 4 3 2 1

3 4

5 4 3 2 2

5 4 3 3 2

4 3

x x x x x x x

x x x x x x

x x

− + + + + − +

− + − + + +

− ++ + +

− + −

− + +

− + −

− +

− +

0 0 1

3 6 3

2 3 0 1

2 4 2

2 1

2

2

4 3 2

3 2

3 2

2

2

x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x−−1

0�

11) E

P(x) = x5 − 2x4 + ax3 + bx2 − 2x + 1 D(x) = x² − 2x + 1 = (x −1) (x − 1)

Como P(x) é divisível por D(x), então P(x) é divisível por (x −1) e o quociente dessa divisão também. Por Briot-Ruffini:

1 1

1

–2

–1

a

a–1

b

a+b–1

Q(x)

–2

a+b–3

1

a+b+2

resto

Logo, a + b − 2 = 0 ⇒ a + b = 2.

1 1

1

–1

0

a–1

a–1

a+b–1 a+b–3

2a+b–2 3a+2b–5

resto

Logo, 3a + 2b − 5 = 0 ⇒ 3a + 2b = 5.

Resolvendo o sistema, temos a = 1 e b = 1. Logo, a + b = 1 + 1 = 2.

12) D

I) Falso. gr(P) = n e gr(Q) = n, logo gr(P + Q) = n.II) Verdadeiro. Pelo teorema do resto: P(1) = m . 1³ + 1² −1 = m. Logo, o resto de P(x) por

(x − 1) é igual a m.III) Verdadeiro. Se gr(P) = n e gr(Q) = 1, em que Q(x) = x − a, logo gr(P . Q) = n + 1.

GABARITO

3Matemática E

13) D

P(x) = 2x4 + x3 + αx2 + βx + 2 D(x) = (x − 1)² = (x − 1) (x − 1)

Como P(x) é divisível por D(x), então P(x) é divisível por (x − 1) e o quociente dessa divisão também. Por Briot-Ruffini:

1 2

2

1

3

α

3+α

β 2

3+ +α β 5+ +α β

restoQ(x)

Logo, α + β + 5 = 0 ⇒ α + β = − 5.

1 2

2

3

5

3+α

8+α

3+ +α β

11+2 +α β

resto

Logo, 2α + β + 11 = 0 ⇒ 2α + β = − 11.

Resolvendo o sistema, temos: α = −6 e β = 1. Temos α + β = − 6 + 1 = − 5

14) B

Se P(x) = x4 e D(x) = x + 12

, podemos dividir P(x) por

D(x) pelo método de Briot-Ruffini

–1

2 1

1

0

–1

2

0

1

4

0

–1

8

0

1

16

Logo, Q(x) = x³ − 12

x² + 14x −

18.

Pelo teorema do resto, o resto da divisão de Q(x) por

x − 12

é:

Q12

=

12

3 − 1

2 .

12

2 +

14 .

12

−

18 = 0

15) E

y

7

5

3

v

Observe que xV = 5 e xV = x x1 2

2+

, em que x1 e x2 são

raízes da função. Se x1 = 3, logo x2 = 7.

Logo, se P1(x) dividido por x − 2 possui resto 3 e P2(x) dividido por x − 2 tem resto 7, a divisão de

P1(x) . P2(x) por x − 2 possui resto 3 . 7 = 21.

16) a) r(x) = − x + 3

P(x) = (x − 2) (x − 1) . Q(x) + r(x) P(1) = 0 + r(1) r(1) = 2 P(2) = 0 + r(2) r(2) = 1

r(x) = ax + b a b

a b

+ =+ =

2

2 1 ⇒ a = − 1, b = 3

Logo, r(x) = −x + 3.

b) 52

P(x) = (x − 2) (x − 1) . Q(x) + r(x) Termo independente: P(0) = 8 P(0) = (0 − 2) (0 − 1) . Q(0) + (− 0 + 3) 8 = (− 2) (− 1) . Q(0) + (+ 3) 8 = 2 . Q(0) + 3 5 = 2 . Q(0)

Q(0) = 52

17) A

18) D

x² − x + 2c = 0 4² − 4 + 2c = 0 16 − 4 + 2c = 0 12 + 2c = 0 2c = − 12 c = − 6

19)a) S = {3, 8, − 4}b) S = {1, 1, 1, 5, 5, − 10} ⇒ S = {1, 5, − 10}

GABARITO

4 Matemática E

c) S = {1 + i, 1 − i}

−− ± − −( ) ( ) . .

.

2 2 4 1 2

2 1

2

= 2 4 8

2± −

=

= 2 2

2± i

1 1

1 1

+−

i

i

d) S = {0, 4, 1} x³ − 5x² + 4x = 0 ⇒ x (x² − 5x + 4) = 0 x (x − 4) (x − 1) = 0

e) S = {2, − 2, 3i, − 3i}

Usando a mudança de variável x² = y: x4 − x² − 12 = 0 ⇒ y² − y − 12 = 0

y = −− ± − − −( ) ( ) . . ( )

.

1 1 4 1 12

2 1

2

= 1 49

2±

y = 1 7

2±

y

y

==−

4

3

x² = 4 ⇒ x = ± 2

x² = − 3 ⇒ x = ± 3i

f) S = {i, − i, 7} x³ − 7x² + x − 7 = 0 ⇒ x² . (x − 7) + x − 7 = 0 (x² + 1) (x − 7) = 0 x² + 1 = 0 x − 7 = 0 x² = − 1 x = 7 x = ± i

20) E

x4 − 3x2 − 4 = 0, pelo método da mudança de variável: y² − 3y − 4 = 0

y = −− ± − − −( ) ( ) . . ( )

.

3 3 4 1 4

2 1

2

= 3 25

2±

y = 3 5

2±

y

y

==−

4

1

Logo: x² = 4 ⇒ x = ± 2 x² = − 1 ⇒ x = ± i

Como S ⊂ R, logo S = {2, − 2}.

21) C

H1(t) = H2(t) 150t³ − 190t + 30 = 50t³ + 35t + 30 150t³ − 50t³ − 190t − 35t + 30 − 30 = 0 100t³ − 225t = 0 t (100t² − 225) = 0 t = 0 ou 100t² − 225 = 0 100t² = 225

t² = 225100

⇒ t = 1510

= 1,5

22) B

x = ( )6−x

x² = 6 − x x² + x − 6 = 0

x = − ± − −1 1 4 1 6

2 1

2 . . ( )

. = − ±1 25

2

x = − ±1 5

2

x

x

=−=

3

2

Como x > 0, logo possuímos uma solução, S = {2}.

23) D

x4 − 10x2 + 9 = 0 ⇒ y2 − 10y + 9 = 0

y = −− ± − −( ) ( ) . .

.

10 10 4 1 9

2 1

2

= 10 64

2±

y = 10 8

2±

x

x

==

9

1

x² = 9 ⇒ x = ± 3 x² = 1 ⇒ x = ± 1

Logo, x x x x12

22

32

42+ + + = 3 3 1 12 2 2 2+ − + + −( ) ( ) =

20= 2 5.

24) B

5x4 + x2 −3 = 0 ⇒ 5y2 + y − 3 = 0

y = − ± − −1 1 4 5 3

2 5

2 . . ( )

. = − ±1 61

10

Como y = x², temos:

x² = − +1 61

10

x

x

1

2

1 6110

1 6110

=− +

=−− +

x² = − −1 61

10

x

x

3

4

1 6110

1 6110

=− −

=−− −

Observe que x1 e x2 possuem radicandos positivos, pois

61 < 1.

GABARITO

5Matemática E

Da mesma maneira, x3 e x4 possuem radicandos nega-tivos, logo x3 e x4 são números complexos.

Temos, assim, duas raízes reais, x1 e x2.

25) 12

3 1

1 2

7 3

8

→→→→

multiplicidade

multiplicidade

multiplicidade

multipplicidade

grau

6

12

26) Falso.

x + x² = x³ x³ − x² −x = 0 x . (x² − x − 1) = 0 x = 0 ou

x² − x − 1 = 0 x

x

=+

=−

1 52

1 52

Observe que 1 5

2−

< 0, logo a afirmação é falsa.

27) E

3x³ − 5x² − 2x = 0 x . (3x² − 5x − 2) = 0 x = 0 3x² − 5x − 2 = 0

x = + ± − − −5 5 4 3 2

2 3

2( ) . .( )

.

x = 5 49

6±

x = 5 7

6

2

13

±=

=−

x

x

S = 0 213

, ,−

28) D

(3x − 1) (3x² − 2x − 1) = 0

3x − 1 = 0 3x² − 2x − 1 = 0

3x = 1 x = −− ± − − −( ) ( ) . . ( )

.

2 2 4 3 1

2 3

2

x = 13 x =

2 166±

x = 2 4

6

1

13

±=

=−

x

x

Logo: 13

2 + −

13

2

+ 1² = 19 +

19 + 1 =

119

.

29) C

x +1 x +1

–2 –2

1 1

0 0

x x =

–1 –1

0

0

x –2

(x + 1) . x . (x − 2) + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = − 2 (x² + x) (x − 2) = −2 x³ − x² − 2x + 2 = 0 x² (x − 1) − 2 (x − 1) = 0 (x² − 2) (x − 1) = 0

x − 1 = 0 x² − 2 = 0 x = 1 x² = 2

x = ± 2

Logo, S = {1, 2, − 2}, possuindo duas raízes irracio-

nais, 2 e − 2.

30) a) d = 10

P(x) = x³ − 2x² − 5x + d Pelo teorema do resto, P(2) = 0. Logo: P(2) = 2³ − 2 . 2² − 5 . 2 + d = 0 8 − 8 − 10 + d = 0 d = 10

b) S = {0, 1 − 6, 1 + 6}

x³ −2x² − 5x + 10 = 10 x³ −2x² − 5x = 0 x (x² −2x − 5) = 0

Temos que x = 0 ou x² −2x − 5 = 0.

x² −2x − 5 = 0 ′ = −

′′ = +

x

x

1 6

1 6

Logo, as raízes são S = {0, 1 − 6, 1 + 6}.

GABARITO

6 Matemática E

31) C

(x − 1) (x² + 1) + (x + 1) (x² − 1) = 0 x³ + x − x² − 1 + x³ − x + x² − 1 = 0 2x³ − 2 = 0 2x³ = 2 x³ = 1

x = 13

x = 1

Se x ∈ C, x = 1 + 0i. Logo, o conjugado de x é x = 1 − 0i = 1.

32) E

2x³ − x² − 2x + 1 = 0 x² (2x − 1) − 2x + 1 = 0 x² (2x − 1) − (2x − 1) = 0 (x² − 1) (2x − 1) = 0 x² − 1 = 0 2x − 1 = 0 x² = 1 2x = 1

x = ± 1 x = 12

33) P(x) = 2x³ − 8x² + 2x + 12

P(x) = ax³ + bx² + cx + d

Temos que: P(0) = a . 0³ + b . 0² + c . 0 + d = 12 Logo d = 12 P(2) = a . 2³ + b . 2² + c . 2 + 12 = 0 8a + 4b + 2c = − 12 P(3) = a . 3³ + b . 3² + c . 3 + 12 = 0 27a + 9b + 3c = − 12 P(−1) = a . (−1)³ + b . (−1)² + c . (−1) + 12 = 0 − a + b − c = − 12

Portanto, possuímos um sistema de 3 equações com três in-cógnitas. Podemos resolver de várias maneiras, uma delas pela regra de Cramer.

Temos assim, a = 2, b = − 8 e c = 2. Logo, nosso polinômio será P(x) = 2x³ − 8x² + 2x + 12.

34) a) p(x) = x4 − 81 Como 3, −3, 3i e − 3i são raízes de p, logo p(3) = 0, p(−3) = 0, p(3i) = 0 e p(− 3i) = 0 Temos que p(x) é p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.

p(3) = 81a + 27b + 9c + 3d + e = 0 p(−3) = 81a − 27b + 9c − 3d + e = 0 p(3i) = 81a − 27ib − 9c + 3id + e = 0 p(−3i) = 81a + 27ib − 9c − 3id + e = 0

Observe que temos um sistema de 4 incógnitas e 4 equações, pois a = 1 segundo o enunciado. Pelo método da soma temos:

324 + 4 e = 0 ⇒ 324 = − 4e ⇒ e = − 81

Como e = − 81, o sistema fica: 81 + 27b + 9c + 3d − 81 = 0 81 − 27b + 9c − 3d − 81 = 0 81 − 27ib − 9c + 3id − 81 = 0 81 + 27ib − 9c − 3id − 81 = 0 ⇓ 27b + 9c + 3d = 0 − 27b + 9c − 3d = 0 − 27ib − 9c + 3id = 0 27ib − 9c + 3id = 0

Resolvendo o sistema temos que: b = c = d = 0. Logo o polinômio é p(x) = x4 − 81b) r(x) = − 65 Podemos dividir p(x) por q(x) pelo método

das chaves:x x x x x x x

x x x x x

x x x

4 3 2 3 2

4 3 2

3 2

0 0 0 81 2 4 8

2 4 8 2

2 4 8 81

+ + + − − + −

− + − + +

− + −

−22 4 8 16

65

3 2x x x+ − +

−

Logo, r(x) = − 65.

35) C

Podemos resolver essa questão por elimina-ção.

Como 23 é raiz de multiplicidade 2 e 1

2 de mul-

tiplicidade 3, logo o polinômio possui 5 raízes. Temos assim um polinômio de grau 5. Com isso eliminamos as alternativas a e b.

Observe que as raízes da alternativa d são: (3x − 2) (3x − 2) (3x − 2) (2x − 1) (2x − 1) = 0

3x − 2 = 0 ⇒ x = 23 de multiplicidade 3.

2x − 1 = 0 ⇒ x = 12

de multiplicidade 2.

Temos assim descartada a alternativa d.

Com o mesmo raciocínio, obtemos na letra e

as raízes 2 de multiplicidade 3 e −

32 de multipli-

cidade 2.

Logo, resta-nos a alternativa c.

GABARITO

7Matemática E

36) C

Pelo teorema do resto, se f(x) é divisível por x e x + 2, logo:

f(0) = 0 ⇒ 0³ − 0² + k . 0 + t = 0 ⇒ t = 0 f(−2) = 0 ⇒ (−2)³ − (−2)² + k . (−2) + 0 = 0 ⇒ k = − 6

Assim, f(x) = x³ − x² − 6x. Fatorando: x³ − x² − 6x = x (x² − x − 6) = x (x + 2) (x − 3)

37) B

x x− + − =1 2 2 2

x − 1 + 2 2x− = 4

2 2x− = − x + 5

2x − 2 = (− x + 5)² 2x − 2 = x² − 10x + 25 x² − 12x + 27 = 0 Em que temos: x' = 3 e x'' = 9

Observe que x = 9 não é solução, pois:

9 1 2 9 2− + −. = 8 16+ = 8 4+ = 12 ≠ 2

Já com x = 3, temos a solução. Logo, S = {3}.

38) S= {3, −3, 4}

3 3

3 3

x x

x x

x x = –9x –4x –9x +9x +36 +x2 3

3 3

–x

–4

–3

Logo, P(x) = x³ − 4x² − 9x + 36.

Calculando as raízes: x³ − 4x² − 9x + 36 = 0 x² . (x − 4) − 9x + 36 = 0 x² . (x − 4) − 9 . (x − 4) = 0 (x² − 9) . (x − 4) = 0 x² − 9 = 0 x − 4 = 0 x² = 9 x = 4 x = ± 3

S = {3, −3, 4}

39) a) S = {2, −2, 3, −3, 1} x x x x x5 4 3 213 13 36 36− − + + −� ��� ��� � ������ ������ � ���� ���� = 0

x4 . (x − 1) − 13x² . (x − 1) + 36 . (x − 1) = 0 (x4 − 13x² + 36) . (x − 1) = 0

Temos que x4 − 13x² + 36 = 0. Resolvendo pelo método da mudança de variável, temos:

y2 − 13y + 36 = 0 y

y

==

9

4

Logo, x = ± 3 e x = ± 2.

Do outro passo, x − 1 = 0. Logo, x= 1.

S = {2, −2, 3, −3, 1}b) S = {0, 1, −1, i, −i} x5 −x = 0 x . (x4 − 1) = 0

Temos x = 0 ou x4 − 1 = 0. Pela mudança de variável: y² − 1 = 0 y = ± 1 x = ± 1 x = ± i

S = {0, 1, −1, i, −i}

40) D

x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1

Temos como raiz de multiplicidade 2, x = − 1.

–1 1

1

1

4

3

2

6

3

1

4 1

1

0

0

Q(x) = x² + 2x + 1 com raízes de Q(x) x' = − 1 e x'' = − 1.

Logo, S = {− 1, − 1, − 1, − 1}.

41) S = {1, 2, 7}

1 1

1

–10

–9

23

14

–14

0

Q(x) = x² − 9x + 14 r(x) = 0

As raízes de Q(x) = x² − 9x + 14, por Bháskara, são x' = 7 e x'' = 2

Assim, a solução para P(x) é S = {1, 2, 7}.

GABARITO

8 Matemática E

42) A

–1 1

1

1

0

–2

–2

–2

0

Q(x) = x² − 2 r(x) = 0

As raízes de Q(x) = x² − 2, são: x² − 2 = 0 x² = 2

x = ± 2

S = { 2, − 2}

Logo, duas raízes irracionais.

43) A

Rebaixando o P(x) duas vezes:

1 1

1

1

–5

–4

–3

3

–1

–4

5 –4

4

0

0

resto da divisão

resto da divisão

1º rebaixamento

2º rebaixamento

Logo, temos Q(x) = x² −3x − 4. Temos, assim, as raízes de Q(x) por Bháskara, x' = 4 e x'' = −1.

Portanto |4 − (−1)| = |5| = 5.

44) −1 e −2.

Rebaixando o P(x) duas vezes:

3 1

1

1

–3

0

3

–7

–7

2

15 18

–6

0

0

Dessa forma Q(x) = x² + 3x + 2. Temos assim que as raízes de Q(x) são, pela fórmula de Bháskara, x' = −2 e x'' = −1.

S = {−1, −2, 3, 3}

45) E

Como x = 2 é raiz da equação x³ − 4x² +mx − 4 = 0, então:

2³ − 4 . 2² +m . 2 − 4 = 0 8 − 16 + 2m − 4 = 0 − 12 + 2m = 0 2m = 12 m = 6

Logo, a equação é x³ − 4x² +6x − 4 = 0. Rebaixando essa equação para grau 2, temos:

2 1

1

–4

–2

6

2

–4

0

Q(x) = x² − 2x + 2. As raízes de Q(x), pela fórmula de Bháskara, são x' = 1 + i e x'' = 1 − i, dois números complexos.

46) C

Rebaixando P(x) para grau 2.

2 1

1

1

–4

–2

0

3

–1

–1

4 –4

2

0

0

Logo, Q(x) = x² − 1. Temos que as raízes de Q(x) são x = 1 e x = −1. Com isso, as raízes de P(x) são {2, 2, −1, 1} e P(x) pode

ser escrito como: P(x) = (x − 2) (x − 2) (x − 1) (x + 1), sendo, portanto, divisível por (x − 2)².

47) C

Como x = 1 é raiz de x³ − 2x² + ax + 6 = 0, então: 1³ − 2 . 1² + a . 1 + 6 = 0 1 − 2 + a + 6 = 0 a + 5 = 0 a = − 5

Nossa equação então é x³ − 2x² − 5x + 6 = 0. Rebai-xando essa equação para grau 2, temos:

1 1

1

–2

–1

–5

–6

6

0

Logo, Q(x) = x² − x − 6. Temos que as raízes de Q(x), pela fórmula de Bhaskara, são x' = −2, x'' = 3.

48) D

Rebaixando a equação para grau 2, temos:

2 9

9

0

18

–31

5

–10

0

Temos Q(x) = 9x² + 18x + 5. As raízes de Q(x) são, pela

fórmula de Bháskara, x' = − 13 e x'' = −

53

.

Logo, as raízes da equação são S = − −

13

53

2, , ,

chamaremos p = − 13 e q = −

53

.

p² + q² = 19 +

259

= 269

GABARITO

9Matemática E

49) a) x³ − 5 . x² = 36 6³ − 5 . 6² = 36 216 − 180 = 36 36 = 36 ou 36 − 36 = 0

b) xi

’=− +12

232

e xi

"=− −12

232

Temos a equação x³ − 5x² − 36 = 0, Rebaixando essa equação a grau 2:

6 1

1

–5

1

0

6

–36

0

Temos assim, Q(x) = x² + x + 6, onde suas raízes, pela fórmula

de Bháskara, xi

’=− +12

232

e xi

"=− −12

232

50) a) 2 é raiz.b) S = {1, −1, 2}

x x

0 0

2 2

1 1

x x = x + (2 –x) + 0 – 0 – 0 – 2x3 2

P(x) =

0 0

x

x–2

x

1

P(x) = x³ − 2x² − x + 2

a) P(2) = 2³ − 2 . 2² − 2 + 2 = 8 − 8 − 2 + 2 = 0 Logo, 2 é raiz de P(x).b) Rebaixando P(x) ao grau 2:

2 1

1

–2

0

–1

–1

2

0

Q(x) = x² − 1. Logo, as raízes de Q(x) são x² = 1 ⇒ x' = 1 e x'' = − 1. S = {1, −1, 2}

51) C

Pois toda equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar admite ao menos uma raiz real.

52) V − F − F − F − V.

Teoria.

53) 12

Raízes: 3 1 1 1 9+i

9–i

3–2 7

3+2 7

8–3i 8–3i

8+3i 8+3i

Ou seja, são 12 raízes, logo o menor grau possível é 12.

54) C

Como 1 + i e 1 − 2i são raízes do polinômio, então 1 − i e 1 + 2i também são. Como o polinômio é de grau 8, temos assim 4 raízes reais e 4 complexas.

55) B

Como −1 e 2 são raízes de P(x), então: (−1)³ + a . (−1) + b = 0 ⇒ − 1 − a + b = 0 a − b = −1 2³ + a . 2 + b = 0 ⇒ 8 + 2a + b = 0 2a + b = −8

Do sistema, tiramos a = −3 e b = − 2. Temos assim P(x) = x³ + 0x² −3x − 2. Reduzindo P(x)a grau 1, tem-se:

–1 1

1

1

0

–12

1

–3

–2

0

–2

0

Temos Q(x) = x + 1. Logo, a raiz de Q(x) é −1. c = −1

56) 06

01. Falso. P(1) = 2 . 14 – 5 . 13 + 5 . 12 – 5 . 1 – 3 P(1) = −6 ≠ 002. Verdadeiro. P(1) = 1³ + a . 1² + b . 1 + 3 = 0 1 + a + b + 3 = 0 a + b = −4 P(−1) = (−1)³ + a . (−1)² + b . (−1) + 3 = 0 −1 + a − b + 3 = 0 a − b = −2

Temos a = −3 e b = −1. Assim, x³ −3x² − x + 3 pode ser rebaixado

a grau 1.

1 1

1

1

–3

–2–1

–3

–1

–3

0

3

0

Q(x) = x − 3. Logo, a raiz de Q(x) é 3. S = {1, −1, 3}04. Verdadeiro. Pois é uma equação de grau

ímpar e coeficientes reais.08. Falso. Pelo teorema do resto f(3) = 3³ + m . 3 − 5 = 0

pois tem queser divisível

�

9 + 3m − 5 = 0 3m + 4 = 0

m = − 43

GABARITO

10 Matemática E

57) 03

x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (x − 1) (x − 1) (x + 2) (x − i) (x + i) x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = x5 − 2x3 + 2x2 − 3x + 2

Logo, a = 0, b = −2, c = 2, d = −3, e = 2. Temos assim:01. Verdadeiro.02. Verdadeiro.04. Falso.08. Falso.16. Falso.

58) C

21 – 2x

21 – x

x

V = (21 − 2x) (21 − x) x = 810 V = (441 − 21x − 42x + 2x²) x = 810 441x − 63x² + 2x³ − 810 = 0

Temos assim 2x³ − 63x² + 441x − 810 = 0, com uma das raízes x = 3, segundo o enunciado. Rebaixando a equação:

3 2

2

–63

–57

441

270

–810

0

Logo, Q(x) = 2x² − 57x + 270, em que as raízes de Q(x), pela fórmula de Bháskara, são x' = 22,5 e x'' = 6. Como x' não é possível, logo x = 6, que está no intervalo (5, 7).

59) a) i é raiz de P(x) P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 2 P(i) = i4 + 2 . i3 + 3 . i2 + 2 . i + 2 P(i) = 1 − 2i − 3 + 2i + 2 P(i) = 0

Logo, i é raiz de P(x).b) S = {i, −i, − 1 + i, − 1 − i} Como i é raiz de P(x), temos que − i também é raiz de P(x).

Rebaixando P(x) para grau 2, temos:

i 1

1

1

2

2+i–i

2

3

2i+2

2 0

2 2

2i 0

Temos Q(x) = x² + 2x + 2. Logo, as raízes de Q(x) pela fórmula de Bháskara, são x' = − 1 + i e x'' = − 1 − i.

60) C

P(x) = x5 − ax3 + ax2 − 1 P(−i) = 0

(−i)5 − a . (−i) 3 + a . (−i) 2 − 1 = 0 −i − ai − a − 1 = 0 (− a − 1) + (− a − 1) . i = 0 − a − 1 = 0 a = − 1

Logo: P(x) = x5 + x3 − x2 − 1 P(x) = x³ . (x² + 1) − (x² + 1) P(x) = (x³ − 1) (x² + 1) P(x) = (x − 1) (x² + x + 1) (x² + 1)

Para P(x) = 0 x − 1 = 0 ⇒ x = 1

x² + x + 1 = 0 ⇒ x' = − 12

+ 3

2i e x'' = − 1

2 −

32

i

x² + 1 = 0 ⇒ x' = i e x'' = − i

61) x= ( )7 37

3−

x

4 – 3/2x

8 – 2x

V = 432

−

x . (8 − 2x) . x

V = 432

−

x . (8x − 2x²)

V = 32x − 12x² − 8x² + 3x³ ⇒ V = 3x³ − 20x² + 32x

Vamos determinar o valor de x, além do valor 2, em que V = 8 dm³

3x³ − 20x² + 32x = 8 ⇒ 3x³ − 20x² + 32x − 8 = 0, em que 2 é raiz da

equação. Rebaixando a equação para uma de 2o grau:

2 3

3

–20

–14

32

4

–8

0

Q(x) = 3x² − 14x + 4. As raízes de Q(x), pela

fórmula de Bháskara, são x' = ( )7 37

3−

e

x'' = 7 37

3+

. Observe que x'' ≅ 4,36, e

8 − 2x = − 0,36.

Logo, x = ( )7 37

3−

.

GABARITO

11Matemática E

62) S = {1, 2, 3}

x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 Divisores de − 6: p = ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 Divisores de 1: q = ± 1

Candidatos a raiz da equação: {1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6}.

Observamos que uma das raízes é x = 1. Rebaixando a equação:

1 1

1

–6

–5

11

6

–6

0

Q(x) = x² − 5x + 6. Temos como raízes de Q(x), x = 2 e x = 3.

S = {1, 2, 3}

63) S = 132

,

2x³ − 7x² + 8x − 3 = 0 Divisores de − 3: p = ± 1, ± 3 Divisores de 2: q = ± 1, ± 2

Candidatos a raiz: 1 1 3 332

32

12

12

, , , , , , ,− − − −

Sabemos que x = 1 é raiz da equação. Rebaixando:

1 2

2

–7

–5

8

3

–3

0

Q(x) = 2x² − 5x + 3. Logo, as raízes de Q(x) são x' = 1

e x'' = −

32.

S = 132

,

64) S = 1 313

, ,

3x³ − 13x² + 13x − 3 = 0 Divisores de − 3: p = ± 1, ± 3 Divisores de 3: q = ± 1, ± 3

Possíveis raízes da equação: 1 1 3 313

13

, , , , ,− − −

Observamos que x = 1 é raiz da equação. Rebaixando a equação:

1 3

3

–13

–10

13

3

–3

0

Q(x) = 3x² − 10x + 3, com raízes x' = 3 e x'' = 13.

S = 1 313

, ,

65) S = {−3, 3, − 3}

x³ + 3x² − 3x − 9 = 0 Divisores de − 9: p = ± 1, ± 3, ± 9 Divisores de 1: q = ± 1

Possíveis raízes: {1, −1, 3, −3, 9, −9}

Observamos que x = −3 é raiz da equação. Rebaixando:

–3 1

1

3

0

–3

–3

–9

0

Q(x) = x² − 3, com raízes x = ± 3.

S = {−3, 3, − 3}

66) Falso.

3x4 − 9x3 + 17x2 − 88x + 7 = 0

Observamos que uma raiz racional, da forma pq, será:

Divisores de 7: p = ± 1, ± 7 Divisores de 3: q = ± 1, ± 3

Possíveis raízes: 1 113

13

7 773

73

, , , , , , ,− − − −

Notamos que x = 12 não está na lista.

GABARITO

12 Matemática E

67) D

x x

–1 –1

2 2

–1 –1

0 0 =P =

–x2 –x2

x+1

1

1

0 − 2 + x³ + x² − 1 + x³ + 0 ⇒ P = 2x³ + x² − 3

2x³ + x² − 3 = 0 Divisores de − 3: p = ± 1, ± 3 Divisores de 2: q = ± 1, ± 2

Possíveis raízes: 1 112

12

3 332

32

, , , , , , , ,− − − −

Rebaixando a equação, sabendo que x= 1 é raiz:

1 2

2

1

3

0

3

–3

0

Q (x) = 2x² + 3x + 3, e suas raízes são x' = − +3 15

4i e x'' =

− −3 154

i.

Logo, temos uma única raiz real.

68) C

P(x) = x³ − 7x² + 14x − 6

Pelo teorema do "chute", x = 3 é raiz de P(x). Rebaixando a equação:

3 1

1

–7

–4

14

2

–6

0

Q(x) = x² − 4x + 2, com raízes x' = 2 + 3 e x'' = 2 − 3. Temos assim, x' + x'' = 2 + 3 + 2 − 3 = 4.

69) Verdadeiro.

x x

1 1

1 1

1 1

x x = 0 x – 2 + x – x + 2x –x = 0⇒ 3 2

x x

1

–2

x

x³ + 2x² − x − 2 = 0 Divisores de − 2: p = ± 1, ± 2 Divisores de 1: q = ± 1

Possíveis raízes: {1, −1, 2, −2}

Observe que x = 1 é raiz da equação. Rebaixando:

1 1

1

2

3

–1

2

–2

0

Q(x) = x² + 3x + 2, em que suas raízes são x' = −2 e x'' = −1.

Logo, S = {1, −1, −2} ⊂ [−2, 1].

GABARITO

13Matemática E

70) E

f(x) = 9x³ + 15x² − 32x + 12 Divisores de 12: p = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 Divisores de 9: q = ±1, ±3, ±9

Observamos que x = 23 é raiz da equação.

Reduzindo-a, temos:

2

3 9

9

15

21

–32

–18

12

0

Q(x) = 9x² + 21x − 18, onde as raizes são

x' = − 3 e x'' = − 23.

71) C

3x4 − 7x3 + 14x2 − 28x + 8 = 0

Temos, pelo teorema do "chute", que:

P13

2 = 3 .

13

4 − 7 .

13

3 + 14 .

13

2 − 28 .

13

2 + 8

P13

2 = 3 .

181

− 7 . 1

27 + 14 .

19 −

283

+ 8

P13

2 =

127

− 7

27 +

149

− 283

+ 8

P13

2 = 0

72) E

2x4 − 3x3 −3x2 + 6x − 2 = 0 Divisores de − 2: p = ± 1, ± 2 Divisores de 2: q = ± 1, ± 2

Possíveis raízes: 1 112

12

2 2, , , , ,− − −

Observamos que x = 12

é raiz da equação. Observamos

também que x = 1 é raiz da equação. Logo, podemos reduzir a equação até o grau 2.

1

1

2

2

2

2

–3

–1

0

–3 –2

–4 0

–4

6

2

0

Q(x) = 2x² − 4, com raízes x' = 2 e x'' = − 2.

S = 12

1 2 2, , ,−

73) E

24x4 − 50x3 + 35x2 − 10x + 1 = 0 Divisores de 1: p = ±1 Divisores de 24: q = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ± 12, ±24

Observe que, de todas as possibilidades de raízes, não há nenhuma com denominador 5.

74) B

x4 + x3 − 4x2+ x + 1 = 0 Divisores de 1: p = ±1 Divisores de 1: q = ±1

Possíveis raízes: {1, −1}.

Observe que, segundo o enunciado, temos mais de uma raiz inteira. Como −1 não é raiz, logo x = 1 é de multiplicidade de 2. Reduzindo a equação:

1

1

1

1

1

1

2

3

–4 1

–2 0

1

1

–1

0

Temos assim Q(x) = x² + 3x + 1, em que suas raízes

são x' = − +3 5

2 e x'' =

− −3 52

.

Logo, − +3 5

2 +

2

3 5− + = − 3.

75) E

P(x) = x5 − 5x3 + 4x2 − 3x −2

Como 2 é raiz de P(x), vamos rebaixar a equação:

2 1

1

0

2

–5 –3

–1 1

4 –2

2 0

Q(x) = x4 + 2x3 − x2 +2x + 1. Para acharmos as raízes de Q(x), temos:

x x x x

x x

4 3 2

2 2

2 2 1 0+ − + +=

x² + 2x − 1 + 2x +

12x = 0

xx

22

1+

+ 2 . x

x+

1 − 1 = 0

Vamos chamar de xx

+

1 = y (1)

GABARITO

14 Matemática E

xx

y

22

2

1

2

+

−� ���� ����

+ 2 . xx

y

+

1

� ��� ��� − 1 = 0

(y² − 2) + 2y − 1 = 0

y² + 2y − 3 = 0 y

y

’

’’

=−=

3

1

Em (1):

y = 1 ⇒ xx

+

1 = 1 ⇒ x =

1 32± i

y = − 3 ⇒ xx

+

1 = − 3 ⇒ x =

− ±3 52

S = 21 3

21 3

23 5

23 5

2, , , ,+ − − + − −

i i