Conteúdo

1 Pré-Cálculo 3

1 Números e Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1 Representação decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Operações elementares da aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Adição e subtracção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Valor absoluto de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Notação com potências de base 10 . . . . . . . . . . . . . . . 8Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.4 Percentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Fracções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Operações com fracções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Conjuntos de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.1 Potências de expoente inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.2 Operações com potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Multiplicação de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Divisão de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.1 Propriedades da radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.2 Radicais escritos sob a forma de potências . . . . . . . . . . 20

1.7 Logaritmação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7.1 Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Equações e inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Igualdades e desigualdades múltiplas . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Equação da recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

3

Capítulo 1

Pré-Cálculo

1 Números e Aritmética

A Aritmética é uma área da matemática que estuda as propriedades das operações comnúmeros, como a adição, a subtracção, a multiplicação, a divisão, o cálculo de potências,raízes, logaritmos, etc. É parte fundamental de uma área de estudo mais alargadadaconhecida por Teoria de Números.

1.1 Representação decimal

Um número diz-se representado na forma decimal se está escrito como uma sequência dedígitos contendo o ponto decimal1, como por exemplo 12.34 ou 0.04 ou 1.333. A sequênciade dígitos à esquerda do ponto diz-se parte inteira do número, designando-se a sequênciade dígitos à direita do ponto por parte fraccionária (ou dízima) do número.

Exemplo 1.

12.34 parte inteira 12, parte fraccionária 0.34

0.04 parte inteira 0, parte fraccionária 0.04

A representação decimal de um número inteiro, por exemplo 25, dispensa o ponto. Pode-riamos, no entanto, escrever 25.0, que é uma representação equivalente.2 Nas �guras 1 e 2indicam-se as designações das posições dos dígitos relativamente ao ponto decimal.

1Também se pode usar um vírgula em vez do ponto decimal. Nestes apontamentos usamos o pontodecimal.

2Chama-se a atenção que, em física e na engenharia em geral, as notações 25 e 25.0 podem ter signi�cadosdistintos. A representação 25.0 pode ser o resultado de uma medição de cujo valor resultante é sabido sermaior que 25 mas menor que 25.1.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

4 1. Números e Aritmética

Figura 1: Valor posicional dos dígitos de númerosinteiros.

Figura 2: Valor posicional dos dígitos na dízima.

Representação de números por extenso

O número decimal 3.456 pode representar-se em português por 'três unidades e quatrocen-tas e cinquenta e seis milésimas'. Esta representação em português diz-se representaçãopor extenso e é uma maneira de dizer o número. Também podemos simplesmente dizer'três ponto quatro cinco seis' ou 'três ponto quatrocentos e cinquenta e seis'. Mas é maisclaro para quem ouve, dizer por exemplo o número 0.000006 da forma 'seis milionésimas'do que da forma 'zero ponto zero zero zero zero zero seis'. Nesta última a pessoa que ouvepode facilmente perder-se na quantidade de zeros que foram ditos e �car sem perceber quenúmero está a ser referido.

Exercício 1. (ver as �guras 1 e 2).Representar por extenso os seguintes números.

(a) 14.256 (b) 0.023 (c) 0.000023 (d) 3222247653

Vídeo 1. Escrita/leitura de números por extenso

1.2 Operações elementares da aritmética

As operações elementares da aritmética (também designadas por operações racionais) sãoa adição, a subtracção, a multiplicação e a divisão. São operações que devemos saberresolver para ganhar intuição sobre o seu signi�cado nas aplicações práticas. Os símbolos+,−,×,÷ designam-se por operandos (sinalizam operações). Os números ou expressõesenvolvios numa operação, sejam o número 2 e o número 3 envolvidos na soma 2 + 3,designam-se por operandos. O valor obtido depois de efectuada a operação, designa-se porresultado da operação. O operador '+' usado para adicionar dois números, diz-se operadorbinário por operar sobre dois operandos.

1.2.1 Adição e subtracção

A �gura 3 nomeia os números envolvidos numa adição (operandos e resultado).

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

1. Números e Aritmética 5

Figura 3: Os números 123 e 35 também se designam por parcelas.

A �gura 4 exempli�ca a adição de números na forma decimal. A operação decorre ignorandoos pontos decimais, que são considerados apenas no �nal.

Figura 4: Adição de números na forma decimal.

Vídeo 2. Adição/Subtracção

Propriedades da adição/subtracção3[a, b e c são números reais]

- Comutativa: a+ b = b+ a- Associativa: (a+ b) + c = a+ (b+ c)- Existência de elemento neutro (zero): a+ 0 = a- Existência de inverso aditivo a+ (−a) = 0

A �gura 5 seguinte nomeia os números envolvidos numa subtracção.

3Se considerarmos o conjunto dos números negativos juntamente com o zero e os números positivos(conjunto Z), a subtracção pode considerar-se um cado particular da adição, para efeito da validade destaspropriedades. Por exemplo, a expressão 4− 2 pode ser escrita como 4 + (−2).

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

6 1. Números e Aritmética

Figura 5

A �gura 6 exempli�ca a subtracção de números na forma decimal. A operação decorreignorando os pontos decimais, que são considerados apenas no �nal.

Figura 6: Subtracção de números na forma decimal.

Vídeo 3. Subtracção

1.2.2 Valor absoluto de um número

O valor absoluto ou módulo de um número x, corresponde ao próprio número x, se estefor positivo ou se for o número zero, ou então ao seu simétrico −x, se o número x fornegativo. O valor absoluto de um número x indica-se na forma |x|. O operador módulo éum operador unívoco já que opera sobre um só operando.

Exemplo 2. |12| = 12 |−2.5| = −(−2.5) = 2.5 |0| = 0

Exercício 2. Calcular o valor decimal das expressões numéricas.

1. (a) 2.367−1.902 (b) −2.367+1.902 (c) 2−(−3)+|3− 4| (d)∣∣|3− 6| − 4 + |3− 4|

∣∣Sol. (d)

∣∣|3− 6| − 4 + |3− 4|∣∣ =

∣∣|−3| − 4 + |−1|∣∣ = |3− 4 + 1| = |0| = 0

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

1. Números e Aritmética 7

1.2.3 Multiplicação e divisão

Multiplicação Uma das vantagens da operação de multiplicação envolvendo números in-teiros, é funcionar como um abreviador de somas. Como exemplo, é mais rápido efectuar aoperação 7×5 (= 35) do que efectuar a operação numericamente equivalente 7+7+7+7+7.4

Para podermos tirar partido desta funcionalidade é necessário conhecer a tabuada da mul-tiplicação5.

A �gura 7 seguinte nomeia os números envolvidos numa multiplicação.

Figura 7: Os números 23 e 35 também se designam por factores.

A �gura 8 exempli�ca a multiplicação de números na forma decimal. A multiplicaçãodecorre ignorando os pontos decimais, que são considerados apenas no �nal.

Figura 8: Multiplicação de números na forma decimal.

Vídeo 4. Multiplicação

Propriedades da multiplicação [a, b e c são números reais]- Comutativa: a× b = b× a

4Uma sequência de somas designa-se por adição sucessiva, soma sucessiva ou somatório.5Deves treinar-te para saber de cor os valores das expressões numéricas desde 1× 1 a 9× 9.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

8 1. Números e Aritmética

- Associativa: (a× b)× c = a× (b× c)- Existência de elemento neutro (unidade): a× 1 = a- Existência de inverso multiplicativo: a× 1

a = 1- Distributiva relativamente à adição: a× (b+ c) = a× b+ a× c

Exemplo 3. Usar as propriedades da multiplicação para demonstrar a validade das igual-dades seguintes.

(a+ b)c = ac+ bc

a× b× c× d = a× (b× (c× d))

As propriedades servem para simpli�car e esclarecer o modo como se fazem cálculos. Con-sideremos, por exemplo, o duplo produto 2×3×4. Querendo resolver estas operações, porqual operador '×' começamos? Começamos por 2 × 3, por 3 × 4, ou tanto faz? O que apropriedade associativa acima diz é que tanto faz, isto é, podemos calcular primeiro 2×3 emultiplicar em seguida o resultado por 4 - é o que signi�ca (a× b)× c - ou então podemoscalcular primeiro 3 × 4, multiplicando depois o resultado obtido por 2 - é o que signi�caa× (b× c). O resultado �nal é o mesmo.

Exercício 3. Calcular o valor decimal das expressões numéricas.1. (a) 2.367−1.902 (b) −2.367+1.909 (c) 2−(−3)+|3− 4| (d)

∣∣|3− 6| − 4 + |3− 4|∣∣

Sol. (d)∣∣|3− 6| − 4 + |3− 4|

∣∣ =∣∣|−3| − 4 + |−1|

∣∣ = |3− 4 + 1| = |0| = 0

Notação com potências de base 10 . Potências de base 10 são números na forma10n, sendo n um número inteiro.

Exemplo 4. Representação de números usando potências de base 10.

100 = 1 uma unidade (um)

101 = 10 uma dezena (dez)

102 = 100 uma centena (cem)

103 = 1000 um milhar (mil)

106 = 1000000 um milhão (mil milhares)

1012 um bilião (um milhão de milhões)

1018 uma trilião (um milhão de biliões)

10−1 = 0.1 uma décima (um décimo)

10−2 = 0.01 uma centésima (um centésimo)

10−3 = 0.001 uma milésima (um milésimo)

10−6 = 0.000001 uma milionésima (um milionésimo)

10−12 uma bilionésima (um bilionésimo)

10−18 uma trilionésima (um trilionésimo)

Nota. Na terminologia brasileira bilhão refere o número 109 , trilhão o número 1012 , etc; na língua

inglesa billion refere o número 109, trillion o número 1012, etc. Na terminologia brasileira bilioné-

sima refere o número 10−9, trilionésima o número 10−12, etc; na língua inglesa billionth refere o

número 10−9, trillionth o número 10−12, etc. A terminologia portuguesa corresponde à chamada

long scale, enquanto as terminologias brasileira e inglesa correspondem à chamada short-scale. É

preciso cuidado com algumas traduções portuguesas de textos em inglês ou em português do Brasil,

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

1. Números e Aritmética 9

que por vezes traduzem 'à letra' estas expressões, usando por exemplo 'um bilião', que signi�ca

1012, para traduzir 'one billion', que signi�ca apenas 109.

O uso de potências de base 10 simpli�ca a representação de números muito pequenos oumuito grandes e as operações entre eles.

Vídeo 5. Exemplos de representação de números usando potências de base 10

Exemplo 5. Representação e multiplicação de números usando potências de base 10.

0.002 = 2× 0.001= 2× 10−3

3000000 = 3× 1000000= 3× 106

103 × 102 = 1000× 100 = 100000= 103+2 = 105.103 × 10−2 = 1000× 0.01 = 10= 103−2 = 101 = 10.A operação 0.002× 3000000 efectua-se mais facilmente se for representada na forma2× 10−3 × 3× 106. Fica 2× 10−3 × 3× 106 = 2× 3× 10−3 × 106 = 6× 103.

Divisão A �gura 9 nomeia os números envolvidos numa divisão.

Figura 9: D = d× q + r ⇔ 13 = 4× 3 + 1.

As �guras 10 e 11 exempli�cam a divisão envolvendo apenas número inteiros, habitualmentedesignada por divisão inteira.

Figura 10: Divisão inteira.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

10 1. Números e Aritmética

Figura 11: Divisão inteira.

Dados dois números inteiros a e b, diz-se que a divide b (ou que b é divisível por a), se adivisão de a por b, a÷ b, é um número inteiro, isto é, existe um inteiro c tal que a÷ b = c.Por exemplo, 30 é divisível por 6 dado que 30÷ 6 = 5.

Vídeo 6. Divisão inteira

Vídeo 7. Divisão real

Vídeo 8. Divisão por zero

Vídeo 9. Divisão: explicação do algoritmo

A �gura 12 exempli�ca a divisão de números na forma decimal, por vezes designada pordivisão real. A divisão decorre ignorando os pontos decimais, que são considerados apenasno �nal.

Figura 12: Divisão real.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

1. Números e Aritmética 11

Exercício 4. Representar as seguintes divisões na forma Dividendo = divisor×quociente+resto (efectuar cada divisão até obter o resto indicado).

(a) 3.24÷ 100, r = 0 (b) 11÷ 12, r = 0.08 (c) 1.1÷ 0.27, r = 0.00002(d) 35.5÷ 0.29, r = 0.04 (e) 1.02÷ 234, r = 0.084 (f) 142÷ 13, r = 0.3Sol. (d) 35.5 = 0.29× 122.4 + 0.04.

A expressão a÷ b indica o valor exacto da divisão de a por b. Por exemplo 1÷3 representaa dízima in�nita 0.3333 · · · . A operação não termina.

Exercício 5. Vamos veri�car que a operação de divisão não possui nem a propriedadecomutativa, nem a propriedade associativa.

1. Mostrar com um contra-exemplo6 que a divisão não goza da propriedade comutativa.2. Utilizar a expressão 12 ÷ 4 ÷ 2 para mostrar que a operação de divisão não goza da

propriedade associativa, i.e. geralmente (a÷ b)÷ c 6= a÷ (b÷ c).3. Notar porém que, para alguns casos, a igualdade (a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b ÷ c) é válida.

Apresentar dois exemplos de números a, b, c que validam a igualdade.

Exercício 6. Indicar todas as divisões inteiras a÷b associadas a cada uma das expressões.

1. (a) 12 = 4× 3 (b) 8 = 4× 2 (c) 11 = 4× 2 + 3 (d) 13 = 4× 3 + 1 (e) 22 = 4× 3 + 10

A operação de divisão tem correspondência com vários tipos de aplicações e interpretaçõesque iremos encontrar ao longo do nosso curso.

Exemplo 6. 1. A expressão 12 ÷ 3 = 4 pode ter vários signi�cados. Por exemplo (a)um conjunto de 12 objectos pode ser dividido em 3 grupos de 4 objectos; (b) se 3unidades de um dado produto custam 12e, então cada unidade custa 4e.

2. A interpretação na alínea (b) no item anterior pode generalizar-se (ver �gura 9):D ÷ d representa a quantidade de D por cada unidade de d.

Exercício 7. Indicar as divisões sugeridas pelas perguntas.

1. Dez gramas de um produto custam 23cts. Qual o preço de uma grama do produto?2. Dez gramas de um produto custam 23cts. Quantas gramas do produto se podem

comprar com um cêntimo?3. Um carro percorre 120 quilómetros em 4.5h. Quantas horas leva a percorrer um

quilómetro?4. Um carro percorre 120 quilómetros em 4.5h. Que distância percorre em uma hora?5. Uma hora tem 60 minutos. Quantas horas correspondem a 7200 minutos?

1.2.4 Percentagens

Suponhamos a seguinte situação. O senhor Lopes aufere 1500 euros por mês e gasta 25%(por extenso escreve-se 'vinte e cinco por cento') dessa quantia para pagar a renda da casa.Qual o valor dessa renda? A expressão 25% signi�ca 25 partes em cada 100. No caso, porcada 100 euros de salário o senhor Lopes gasta 25 euros no pagamento da renda. Comoo salário é de 15 × 100 euros, então a renda deve ser 15 × 25 = 375 euros. Observa que25 = 0.25× 100, pelo que o valor da renda pode ser calculado da forma:

15× 25 = 15× (100× 0.25) = 1500× 0.25.

Em resumo, pretendiamos calcular vinte e cinco por cento de 1500 e veri�cámos que estevalor é traduzido pela expressão numérica 0.25 × 1500. Podemos pois concluir que 25%

6Um contra-exemplo é um exemplo que refuta (=nega a validade de) uma dada a�rmação. Assim, aa�rmação 'a soma de quaisquer dois números inteiros é maior que 100' é refutada pelo contra-exemplo2 + 5 = 7, dado que 2 e 5 são dois números inteiros mas a sua soma é menor que 100.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

12 1. Números e Aritmética

de um certo valor corresponde ao produto de 0.25 por esse valor. Somos levados a tomara expressão 25 por cento como sendo o número 25

100 , que por sua vez é igual a 0.25. Emresumo, temos as seguintes ideias.

x% representa o valor numérico x× 1100 = x

100

x% de um dado valor y corresponde ao número x100 × y.

Vídeo 10. Percentagens: exemplo

As percentagens são uma forma de tornar claras relações entre grandezas.• Numa a�rmação do tipo "x é igual 45% de y"(ver �gura 13) estamos a considerarque y vale 100% (= 1), sendo o valor de x = 45%y inferior a metade (= 50%) dey. Analogamente, se dizemos que'z é igual a 85% de y' �camos a saber que z érazavelmente maior que metade de y.• Saber que o custo de uma viagem de combóio entre duas cidades A e B passou de 23para 25.76 euros, e que o custo da viagem entre as cidades C e D passou de 47 para52.64 euros, fornece uma informação menos clara para o entendimento das opçõesde preços da empresa que fornece o serviço, do que saber que a empresa resolveuaumentar os preços em 12%, que é a condição que leva à variação de preços indicada(veri�car!).

Figura 13: As percentagens permitem comparar facilmente duas grandezas.

Exercício 8. Escrever o valor decimal correspondente às expressões.1. (a) 33% (b) 3.3% (c) 8.5% (d) 0.2% (e) 0.008%

Sol. (d) 0.2% = 0.2100 = 0.002.

2. (a) 33%× 25 (b) 12%× 3.43 (c) 8.5%× 8.5% (d) 0.2%× 23 + 11Sol. (d) 0.2%× 23 + 11 = 0.2

100 × 23 + 11 = 46100 + 11 = 11.46.

Exercício 9. Escrever os valores em percentagem que são equivalentes às expressões.1. (a) 0.23 (b) 1.2 (c) 8.5 (d) 0.000034 (e) 1234

Exercício 10.

1. (a) 22 que percentagem é de 36? (b) 36 que percentagem é de 22?Sol. (b) 36

22 =≈ 1.64 = 164100 = 164%.

2. (a) 2.52 que percentagem é de 36? (b) 36 que percentagem é de 2.52?3. Que valores correspondem a (a) 10% de 5; (b) 100% de 5; (c) 1000% de 5; (d)

10000% de 5?4. Mostrar que x% de y é igual a y% de x.5. Se 25% de y equivale a 1

3y, qual o valor de y?

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

1. Números e Aritmética 13

1.3 Fracções

Uma fracção é qualquer expressão na forma ab , sendo a, b números inteiros e b 6= 0. A �gura

14 nomeia os números envolvidos numa fracção.

Figura 14: Designações dos termos de uma fracção.

Sendo a, b não negativos, o valor da fracção ab é o mesmo da divisão a÷ b.

Exemplo 7.

1. 42 = 4÷ 2 = 2

2. 12 = 1÷ 2 = 0.5

3. 53 = 5÷ 3 = 1.666 · · ·Nota. Um número de dízima in�nita periódica como 1.666 · · · , também se pode representar

na forma mais compacta 1.6. Outro exemplo: 23.567567567 · · · pode escrever-se 23.567.

Veremos adiante que todos os números de dízima in�nita periódica podem ser representados

por fracções.

Vídeo 11. Fracções: signi�cado elementar

Segue uma propriedade muito importante das fracções.

O valor de uma fracção não se altera se multiplicarmos ou dividirmos onumerador e o denominador pelo mesmo número, isto é dada a fracção

a

b

e um número c 6= 0, temos

a

b=a× cb× c

.

Vídeo 12. Justi�cação da propriedade

Exemplo 8.

2 =12

6=

6× 2

3× 2=

6

3.

Dizemos que uma fracção ab , com a, b positivos, se encontra na forma reduzida se não existe

uma fracção equivalente com numerador menor que a e denominador menor que b.

Exemplo 9.

A forma reduzida da fracção9

27é

1

3

A forma reduzida da fracção47

14é

7

2

A forma reduzida da fracção − 8

18é − 4

9

Exercício 11. Escrever as fracções na forma reduzida.

(a)1

5(b)

64

16(c)

18

30

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

14 1. Números e Aritmética

Operações com fracções Qual o interesse em representar números por fracções? Quevantagens existem em escrever 1

2 em vez de 0.5? O facto é que a representação de númerosusando fracções facilita as operações aritméticas. Este ponto �cará claro depois de falar-mos de operações envolvendo fracções.

Adição/Subtracção

Exemplo 10. Efectuar operação1

20+

2

60

1. Começamos por multiplicar ambas as partes (numerador e denominador) de cadafracção de modo a dar a cada fracção o mesmo denominador.Podemos fazê-lo de muitas formas. Por exemplo, podemos multiplicar ambas as partesde 1

2 por 60 e ambas as partes de 260 por 20, obtendo-se

1

20 (×60)+

2

60 (×20)=

60

1200+

40

1200

O mais conveniente é fazer esta transformação de modo que nos denominadores �queo chamado mínimo múltiplo comum de 20 e 60, que é o menor inteiro divisível por20 e por 60. Neste caso esse número é 60 podendo escrever-se mmc(20, 60) = 60.Temos

1

20 (×3)+

2

60 (×1)=

3

60+

2

60

Obtemos expressões com números mais pequenos.2. De seguida somam-se as fracções obtidas da forma

3

60+

2

60=

3 + 2

60

5

60=

1

12.

Vídeo 13. Justi�cação da regra da adição de fracções

Multiplicação/Divisão de fracções

Exemplo 11. Efectuar a operação3

5× 7

4

A resolução é a seguinte.3

5× 7

4=

3× 7

5× 4=

21

20

Exemplo 12. Efectuar a operação

3

5÷ 7

4

Como a÷ b representa ab , podemos indicar a operação na forma

3574

resolvendo-a do modo

3574

=3× 4

5× 7

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

1. Números e Aritmética 15

Como

3× 4

5× 7=

3

5× 4

7

obtém-se

3

5÷ 7

4=

3

5× 4

7.

Em resumo, temos as seguintes regras operatórias para a multiplicação e divisão de fracções.

a

b× c

d=ac

bd

a

b÷ c

d=a

b× d

c=ad

bc.

Vídeo 14. Justi�cação das regras da multiplicação e da divisão de fracções

Vantagem da representação de números por fracções. A representação de números por frac-ções é muito conveniente para a resolução de operações aritméticas.

Exemplo 13. A soma

1

2+

1

5

é facilmente efectuada usando a notação em decimal correspondente

1

2+

1

5= 0.5 + 0.2 = 0.7

O mesmo não, porém, acontece com a operação

67

99+

49

99

que é facilmente efectuada usando a soma de fracções

67

99+

49

99=

116

99,

enquanto a mesma operação, usando a representação decimal das parcelas envolvidas, nãopode ser efectuada da forma usual, pois estas têm um número de dígitos in�nito,

67

99+

49

99= 0.676767 · · ·+ 0.494949 · · ·

Uma di�culdade análoga acontece se quisermos multiplicar ou dividir estes números usandoa sua representação decimal.

Exemplo 14. Explicar como poderia ser efectuada a soma 0.676767 · · · + 0.494949 · · ·mantendo os operandos na forma decimal.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

16 1. Números e Aritmética

1.4 Conjuntos de números

Ao longo do nosso curso vamos usar vários conjuntos de números. O conjuntos designam-segeralmente por letras maiúsculas. Por exemplo, a expressão A = {1, 2, 3} de�ne A comoo conjunto cujos elementos são os números 1, 2 e 3. Há alguns conjuntos su�cientementeimportantes (são muito utilizados) para serem designados por uma letra própria, que só éusada para designar esses conjuntos. Indicamos a seguir os mais comuns.

1. Conjunto dos números naturais: representa-se pelo símbolo N e corresponde aoconjunto dos números inteiros positivos.

N = {1, 2, 3, · · · }

Há certos autores que incluem o zero neste conjunto. Neste texto o símbolo usadoquando queremos considerar também o zero é N0.

2. Conjunto dos números inteiros: representa-se pelo símbolo Z e corresponde aoconjunto constituido pelos números inteiros positivos, pelos números inteiros negati-vos e pelo zero (o zero não tem sinal).

Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }

Para referir apenas os inteiros negativos usa-se o símbolo Z−. Para referir os inteirosnegativos juntamente com o zero, usa-se o símbolo Z−0 , etc. Como é fácil veri�car,o conjunto dos números naturais está contido (é uma parte de) no conjunto dosnúmeros inteiros. Matematicamente escreve-se esta relação da forma N ⊂ Z, que selê N está contido em Z. Também se pode escrever Z ⊃ N, que se lê Z contém N.

3. Conjunto dos números racionais: representa-se pelo símbolo Q e correspondeao conjunto dos números que se podem representar na forma de fracções, como porexemplo 2

3 ,−43 , etc (o termo racional vem de razão que em matemática signi�ca

divisão).

Q = {ab

: a, b ∈ Z, b 6= 0} (1.1)

É imediato veri�car que todos os números inteiros são também números racionais.Exemplos: (i) o número 4 pode representar-se pela fracção 4

1 , sendo da forma indicadana expressão (1.1); (ii) o número 0 pode representar-se pela fracção 0

2 . Podemosescrever Z ⊂ Q. Por ser N ⊂ Z, podemos escrever N ⊂ Z ⊂ Q. Usa-se o símboloQ− para referir apenas os números racionais negativos; usa-se também o símbolo Q+

0

para referir os números racionais positivos juntamente com o zero, etc.4. Conjunto dos números reais: representa-se pelo símbolo R e corresponde à união

do conjunto dos números racionais com o conjunto dos número irracionais. Númeroirracional é todo o número que não pode ser representado como uma fracção, i.e., éum número que não pertence ao conjunto Q.7 Exemplos deste números são

√2, e, π.

Mas como é que se sabe que estes números não são representáveis por uma fracção?Bem, é preciso prová-lo! No vídeo 41 está a prova para o caso de

√2. Para os casos

de e e π a prova não é tão simples. Existem números dos quais não se sabe se sãoracionais ou irracionais, como por exemplo (π−e) e (π+e). O conjunto dos númerosirracionais não tem um símbolo para o designar.

R = Q ∪ Irracionais

Podemos escrever N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Vídeo 15. Propriedades dos números racionais e reais

7Obs. a palavra irracional, devido ao pre�xo de negação ir, signi�ca literalmente que não é racional,isto é, que não é representável por uma divisão de inteiros.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

1. Números e Aritmética 17

1.5 Potências

1.5.1 Potências de expoente inteiro

Uma potência de expoente inteiro, como por exemplo 43 (ver �gura 15), é uma abreviaturapara a sequência de produtos 4× 4× 4.

Figura 15: Designações dos termos de uma potência.

De um modo geral temos

ab = a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸'a' aparece 'b' vezes

sendo b um inteiro positivo.

1.5.2 Operações com potências

A representação de números reais usando potências é útil porque podemos operar númerosnessa forma e algumas operações são resolvidas de forma mais e�ciente se os númerosestiverem na forma de potências. Apresentamos de seguida as propriedades de algumasoperações com potências. Todas estas propriedades são também válidas para potências deexpoentes não inteiros, de que falaremos adiante, desde que as bases sejam não-negativas(i.e., pertençam a R+

0 ).

Multiplicação de potências A multiplicação de potências é efectuada como se exem-pli�ca abaixo.

Exemplo 15. Multiplicação de potências com o mesmo expoente.

43 × 23 = (4× 4× 4)× (2× 2× 2) = (4× 2)× (4× 2)× (4× 2) = (4× 2)3

De um modo geral temos ab × cb = (ac)b.

Exemplo 16. Multiplicação de potências com a mesma base.

73 × 72 = (7× 7× 7)× (7× 7) = (7× 7× 7× 7× 7) = 75

De um modo geral temos ab × ac = ab+c.

Notar que, por exemplo, a igualdade ab × cb = (ac)b signi�ca que dados quaisquer trêsnúmeros a, b, c os números à esquerda e à direita do sinal '=' são iguais. Vamos veri�carque os cálculos no exemplo 18 estão correctos.

43︸︷︷︸64

× 23︸︷︷︸8︸ ︷︷ ︸

64× 8 = 512

= (4× 2)3︸ ︷︷ ︸83 = 512

.

Apresenta-se a seguir um exemplo de potência em que a base é uma fracção.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

18 1. Números e Aritmética

Exemplo 17. (4

5

)3

=4

5× 4

5× 4

5=

4× 4× 4

5× 5× 5=

43

53

De um modo geral temos

(a

b

)c

=ac

bc.

Divisão de potências A divisão de potências é efectuada como se exempli�ca abaixo.

Exemplo 18. Divisão de potências com o mesmo expoente.

43 ÷ 23 =

(4

2

)3

= 23

De um modo geral temos ac ÷ bc =

(a

b

)c

.

Exemplo 19. Divisão de potências com a mesma base.

75 ÷ 73 =75

73=

7× 7× 7× 7× 7

7× 7× 7=

7× 7× 7 × 7 × 77 × 7 × 7

= 75−3 = 72

De um modo geral temos ab ÷ ac = ab−c.

A regra da divisão de potências com a mesma base justi�ca a existência de potências comexpoentes negativos.

Exemplo 20. Signi�cado das potências com expoentes negativos.

73 ÷ 75 =73

75=

7× 7× 7

7× 7× 7× 7× 7=

7 × 7 × 77× 7× 7 × 7 × 7

= 73−5 = 7−2 =1

72

De um modo geral temos a−b =1

ab.

Exemplo 21. Signi�cado das potências com expoente nulo.

1 = 73 ÷ 73 =73

73= 73−3 = 70

De um modo geral temos a0 = 1, a 6= 0.

Resumo das regras para multiplicar e dividir potências

ab × cb = (ac)b (1.2)

ab × ac = ab+c (1.3)(a

b

)c

=ac

bc(1.4)

ac ÷ bc =

(a

b

)c

, b 6= 0 (1.5)

ab ÷ ac = ab−c, a 6= 0 (1.6)

a−b =1

ab(1.7)

a0 = 1, a 6= 0 (1.8)

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

1. Números e Aritmética 19

1.6 Radicais

Um radical (ou raiz) é uma expressão da forma n√a, sendo n um inteiro posiivo. A expressão

n√a lê-se raiz índice n de a (ver �gura 16), e é tal que

(n√a

)n

= a.

Figura 16: Designações dos termos de um radical.

Exemplo 22. Raiz índice n de um número.

n√a = b signi�ca bn = a, ou seja

(n√a

)n

= a

3√

8 = 2 porque 23 = 8, ou seja

(3√

8

)3

= 8

5√−32 = −2 porque (−2)5 = −32, ou seja

(5√−32

)5

= −32

2√

49 = 7 porque 72 = 49, ou seja

(2√

49

)2

= 49

Exemplo 23. Designações das raízes de números.

n√a = b lê-se b é raiz índice n de a

3√

8 = 2 lê-se 2 é raiz cúbica de 85√−32 = −2 lê-se −2 é raiz quinta de −32

2√

49 = 7 lê-se 7 é raiz quadrada de 49

Observações.1. Normalmente omite-se o índice da raiz quando este é igual 2. Por exemplo, escreve-se√

49 = 7 em vez de 2√

49 = 7.2. As expressão n

√a, com n par, representa um número real apenas quando o radicando a não

é negativo. Por consequência não são números reais as expressões√−4, 4√−6, 12

√−1.

3. Vimos acima que 2√

49 = 7 porque 72 = 49. Mas também se veri�ca (−7)2 = 49. Por isso sediz que 7 e −7 são as duas raízes quadradas de 49. A notação

√49 reserva-se, no entanto,

para a raiz quadrada positiva do número 49, i.e.√

49 = 7.

O cálculo da raiz de índice n (ou raiz enésima) de um número, também se designa porextracção da raiz de índice n do número. A designação geral para a operação de extracçãode raízes é radiciação.

Vídeo 16. Raízes de índice par de números negativos

1.6.1 Propriedades da radiciação

Exemplo 24. Exemplos de algumas propriedades da radiciação

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

20 1. Números e Aritmética

1.

3√

64 = 3√

8× 8 =3√

8× 3√

8 = 2× 2 = 4

De um modo geral temos, se b e c são não negativos,n√b× c =

n√b× n√b.

2. √16

9=

√16√9

=4

3

De um modo geral temos, se a e b são não negativos e se b 6= 0

n

√a

b=

n√a

n√b.

3. Atendendo a que 64 = 43, temos

2√

64 =2√

43 = (2√

4)3 = 23 = 8

De um modo geral temos, para n,m inteiros positivos e a ≥ 0,

n√am =

(n√a

)m

.

O que esta propriedade nos diz é que, para determinar a representação decimal donúmero n

√am tanto faz determinar primeiro o radicando b = am e depois calcular a

raiz n-ésima deste valor, n√b, ou então calcular primeiro a raiz n-ésima de a, que é

c = n√a, e depois elevar a m o número obtido cm.

4. Atendendo a que 8 =√

64, temos

3√

8 =3

√2√

64 =(

3×2√

64)

= (6√

64) = 2

De um modo geral temos, para n,m inteiros positivos e a ≥ 0,

m

√n√a = mn

√a.

Resumo das regras para operar com radicais(a, b, c são números reais não negativos; m, n sãointeiros positivos)

n√b× c =

n√b× n√c (1.9)

n

√a

b=

n√a

n√b, b 6= 0 (1.10)

n√am = ( n

√a)m (1.11)

m

√n√a = mn

√a (1.12)

Vídeo 17. Cálculo aproximado de radicais

1.6.2 Radicais escritos sob a forma de potências

Vamos mostrar que se a ≥ 0, as expressões n√am e a

mn representam o mesmo número.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

1. Números e Aritmética 21

Exemplo 25. Consideremos a expressão3√

52. Sabemos que o cubo desta expressãoé igual a 52. (

3√

52

)3

=3√

52 × 3√

52 × 3√

52 = 52. (1.13)

Se na expressão anterior substituirmos3√

52 por 523 e usarmos a regra do produto de

potências com a mesma base (ver exemplo 16, pg. 17), temos(5

23

)3

= 523 × 5

23 × 5

23 = 5

23

+ 23

+ 23 = 5

63 = 52. (1.14)

Podemos observar que na expressão 1.14 estendemos a expoentes não inteiros a regra ope-ratória de potências expressa na fórmula 1.3 (pg. 18), somando os expoentes na expressão5

23 × 5

23 × 5

23 .8 Atendendo às expressões (1.13) e (1.14), veri�camos que 3

√52 e 5

23 se

comportam como sendo o mesmo número, uma vez que o seu cubo é o mesmo.

Vídeo 18. n√am = a

mn

1.7 Logaritmação

O logaritmo na base b de um número a > 0, com b > 0, é um número denotado pelaexpressão logba, e representa o expoente a que se deve elevar a base b para obter a (ver�gura 17). A operação de cálculo de um logaritmo designa-se por logaritmação.

Figura 17: Designações dos termos de um logaritmo.

Exemplo 26. Cálculo de alguns logaritmos.

logb a = c signi�ca bc = a

log10 100 = 2 porque 102 = 100

log4 2 =1

2porque 4

12 =√

4 = 2

log2

1

2= −1 porque 2−1 =

1

2log0.1 0.01 = 2 porque 0.12 = 0.01

Exercício 12. 1. Determinar os valores dos logaritmos.

(a) log10 103 = (b) log5 53 = (c) log5 53 = (d) log2

√2 =

(e) log0.1 100 = (f) log5

1

5= (g) log2.5 6.25 = (h) log 1

4

1

2=

8Esta é um aplicação do chamado princípio de conservação de propriedades formais que a�rma, em tra-ços gerais, o seguinte: cada vez que ampliamos um certo conjunto de números com que fazemos operações,acrescentando-lhe novos números, devemos procurar conservar o maior número de propriedades formais,válidas nesse conjunto de números [?].

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

22 1. Números e Aritmética

Sol. (f) log515 = c signi�ca que 5c = 1

5 = 5−1, e por isso c = −12. Determinar os argumentos x dos logaritmos.

(a) log3 x = 2 (b) log5 x = 1.5 (c) log5 x = 1 (d) log2 x =1

4

3. Determinar as bases b dos logaritmos.

(a) logb 16 = 2 (b) logb 125 = 5 (c) logb 10 = 0.1 (d) logb e2 = 2

Podemos veri�car que o cálculo do logaritmo logb a, corresponde à resolução da equação naincógnita x, logb a = x, o que é o mesmo que resolver a equação bx = a. Esta abordagempermite-nos obter facilmente valores aproximados para logaritmos.

Exemplo 27. Determinar dois números inteiros consecutivos que enquadrem os valoresdos logaritmos.

(a) log10 8 (b) log10 55 (c) log10 300 (d) log2 34.5

(e) log0.1 2 (f) log5 12.3 (g) log2.5 7 (h) loge 12

Sol. (e) log10 55 = x. Sabemos que log10 55 = x ⇔ 10x = 55. Usando o facto da função10x ser crescente (falaremos desta função adiante no nosso curso), substituimos sucessivosvalores inteiros na variável x de modo a enquadramos o valor 55.

x = 1⇒ 10x = 101 = 10 < 55

x = 2⇒ 10x = 102 = 100 > 55

Como 10 < 55 < 100, então log10 10 < log10 55 < log10 100⇔ 1 < log10 55 < 2.

1.7.1 Propriedades dos logaritmos

Como já foi referido antes, as propriedades dos operadores servem para esclarecer o modocomo as operações que o envolvem devem ser efectuadas. Seguem-se exemplos para escla-recer algumas propriedades dos logaritmos.

1. Logaritmo de um produto.

log2(8× 4) = log2 32 = log2 25 = 5 = 3 + 2 = log2 8 + log2 4

De um modo geral temos

logb(a× c) = logb a+ logb c.

Por causa desta propriedade, costuma dizer-se que o logaritmo transforma produtos, a× c,

em somas, logb a+ logb c.

2. Logaritmo de um quociente.

log28

4= log2 2 = 1 = 2− 1 = log2 8− log2 4

De um modo geral temos

logba

c= logb a− logb c.

Por causa desta propriedade, costuma dizer-se que o logaritmo transforma divisões,a

c,

em subtracções, logb a− logb c.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

1. Números e Aritmética 23

3. Logaritmo de uma potência.

log2 43 = log2 64 = log2 26 = 6 = 3× 2 = 3× log2 4

De um modo geral temos

logb ac = c× logb a.

Por causa desta propriedade, costuma dizer-se que o logaritmo transforma potências, ac,

em multiplicações, c× logb a.

4. Vale a seguinte igualdade.

blogb a = a

Por exemplo, por ser log3 9 = 2, temos

3log3 9 = 32 = 9.

A natureza simpli�cadora do operador logaritmo, revelada por estas regras, faz com queeste operador apareça 'por toda a parte' na matemática. Teremos oportunidade de, nosassuntos que vamos estudar, constatar isto mesmo.

Todas estas propriedades podem ser demonstradas. Como exemplo, vamos demonstrara propriedade 2 enunciada acima, logb

ac = logb a− logb c.

Prova. (da propriedade logbac = logb a− logb c)

Seja logb a = x e logb c = y. Usando a de�nição de logaritmo podemos escrever

logb a = x⇒ a = bx logb c = y ⇒ c = by.

e por consequência

logba

c= logb

bx

by.

Como, pela regra da divisão de potências com a mesma base, se pode escrever

bx

by= bx−y

obtemoslogb

a

c= logb b

x−y = x− y = logb a− logb c

No quadro seguinte juntam-se as regras apresentadas acima.

Resumo das regras para operar com logaritmos(a, b, c são números reais positivos, excepto c no caso*)

logb(a× c) = logb a+ logb c (1.15)

logba

c= logb a− logb c (1.16)

logb ac = c× logb a * c é não negativo (1.17)

blogb a = a (1.18)

Vídeo 19. Provas de algumas propriedades

Vídeo 20. Não existe logb 0

Vídeo 21. Exercícios de aplicação das regras

Exercício 13. Sejam b, c dois números positivos. Mostrar que logb a = logc alogc b

.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

24 2. Equações e inequações

2 Equações e inequações

Equações Uma equação é uma igualdade na qual aparecem um ou mais termos, geral-mente letras, representando valores desconhecidos (incógnitas).

Exemplo 28. Exemplos de equações.

2x+ 3 = 5 equação na variável x (1.19)

2x+ 3y = −3x equação nas variáveis xe y

Uma equação transforma-se numa igualdade numérica verdadeira sempre que as incógnitassão substituidas por valores que tornam os dois membros da igualdade equivalentes, i.e.,com o mesmo valor numérico. Tais valores das incógnitas designam-se por soluções ouraízes da equação.

Exemplo 29. x = 1 é uma solução (neste caso a única solução) da equação (1.19), porquesubstituindo x por 1 na equação obtemos a igualdade verdadeira 2× 1 + 3 = 5.

Uma igualdade que se veri�ca para todos os valores da incógnita, designa-se por identidade.

Exemplo 30. A igualdade (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 é uma identidade (porquê?). Porvezes representam-se as identidades usando o símbolo '≡' em vez de '=', para realçar queas igualdades em causa são identidades. Assim, a igualdade anterior pode escrever-se(x+ 1)2 ≡ x2 + 2x+ 1.

Uma equação, mesmo com uma só variável, pode ter uma solução, nenhuma solução ouvárias soluções. Se uma equação tem várias soluções, então diz-se possível ou resolúvel. Senão tem soluções, diz-se impossível ou irresolúvel. O conjunto de todas as soluções de umaequação designa-se por conjunto solução da equação.

Exercício 14. Nas três equações seguintes há uma que tem uma só solução, outra que nãotem soluções e ainda outra que tem in�nitas soluções. Consegues identi�cá-las?

(a) x+ 3 = −3 (b) x+ 1 = x+ 1 (c) x+ 1 = x+ 2

Resolver uma equação é calcular todas as suas soluções. Existem equações de vários ti-pos, sendo que a resolução de equações envolve estratégias próprias do tipo de equaçãoem causa. Há, no entanto, um conjunto de princípios, i.e., técnicas de resolução, e deconceitos, que se mantêm válidos seja qual for o tipo de equação considerado.

Um desses conceitos é o de equivalência de equações. Duas equações dizem-se equivalentesse têm as mesmas soluções. Por exemplo, as equações x2 = 1 e (x − 1)(x + 1) = 0 sãoequivalentes, sendo o conjunto solução de ambas {−1, 1}.

Exercício 15. Mostrar que as equações (x2 + 1)(x− 1) = 0 e x− 1 = 0 são equivalentes.

Resolver uma equação, consiste em mudar a sua forma, obtendo sucessivas equações equi-valentes, até obter uma equação numa forma su�cientemente simples para que as soluçõespossam ser obtidas.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

2. Equações e inequações 25

Exemplo 31. Resolver a equação 5(2+2x)3 = 2x− 6.

5(2 + 2x)

3= 2x− 6⇔

⇔ 5(2 + 2x) = 3(2x− 6) (1.20)

⇔ 10 + 10x = 6x− 18 (1.21)

⇔ 10x− 6x = −10− 18 (1.22)

⇔ 4x = −28 (1.23)

⇔ x =−28

4(1.24)

⇔ x = −7 (1.25)

No exemplo acima partimos da equação 5(2+2x)3 = 2x − 6, de cuja forma não é imediato

determinar as raízes, e por transformações de equivalência obtivemos a equação x = −7,que deixa claro que a equação tem como única raiz −7 (a única forma de tornar verdadeiraa igualdade x = −7 é substituir x por −7). Uma transformação de equivalência é umatransformação em um ou em ambos os membros de uma equação, alterando a forma destamas não o seu conjunto solução. As transformações de equivalência são essencialmente de3 tipos. Elas resultam dos três princípios de equivalência seguintes.

1o Princípio de equivalência: Multiplicando ambos os membros de uma equação porum mesmo número diferente de zero, obtém-se uma equação equivalente à primeira.Na solução da equação acima, a aplicação deste princípio ocorreu, por exemplo, naobtenção da equação(1.20) � multiplicação de ambos os membros da equação inicialpor 3.2o Princípio de equivalência: Substituindo um dos membros de uma equação por umaexpressão equivalente a esse membro, obtém-se uma equação equivalente à primeira.Na solução da equação acima, a aplicação deste princípio ocorreu, por exemplo,na obtenção da equação(1.21) � o primeiro membro 5(2 + 2x) foi substituido pelaexpressão equivalente 10 + 10x e o segundo membro 3(2x − 6) foi substituido pelaexpressão equivalente 6x− 18.3o Princípio de equivalência: Se um membro de uma equação é a soma de duasou mais expressões, obtém-se uma equação equivalente à primeira passando para ooutro membro uma qualquer dessas expressões com o sinal trocado. Na solução daequação acima, a aplicação deste princípio ocorreu, por exemplo, na obtenção daequação(1.22) � a parcela 10 passou do primeiro membro para o segundo com osinal trocado; a parcela 10x passou do segundo membro para o primeiro com o sinaltrocado.

Exemplo 32. No exemplo 31, indicar quias dos três princípios foram usados para obteras equações 1.23, 1.24, 1.25.

Inequações Uma inequação é uma desigualdade envolvendo incógnitas podendo os sinaisque relacionam as expressões nos dois membros ser > (maior que), ≥ (maior ou igual a), <(menor que), ≤ (menor ou igual a).9 Notar que, por exemplo, a ≤ b é uma expressão ver-dadeira quando a representa um valor numérico menor que o valor numérico representadopor b, ou quando a representa um valor numérico igual ao valor numérico representado porb. É falsa noutros casos. Analogamente para a ≥ b.

9Há autores que designam por inequação toda a relação que envolve apenas algum dos operadores <,>.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

26 2. Equações e inequações

Exemplo 33. Exemplos de uso dos operadores relacionais >,≥, <,≤.

2 < 3 expressão verdadeira 2 < −2 expressão falsa

3 > 2 expressão verdadeira 2 > 3 expressão falsa

3 ≥ 3 expressão verdadeira 3 > 3 expressão falsa

3 ≤ 3 expressão verdadeira 3 < 3 expressão falsa

2 ≤ 3 expressão verdadeira

Exemplo 34. Exemplos de inequações.

2x+ 3 > 5 inequação na variável x (1.26)

x2 − 2x+ 1− y ≤ 2x+ 2y inequações nas variáveis xe y

Uma inequação transforma-se numa expressão relacional10 verdadeira sempre que as in-cógnitas são substituidas por valores que tornam verdadeira a relação numérica resultante.Tais valores das incógnitas designam-se por soluções ou raízes da inequação.

Exemplo 35. x = 2 e x = 3 são duas das soluções da inequação (1.26), porque substituindox por 2 obtemos a desigualdade verdadeira 2 × 2 + 3 > 5 ⇔ 7 > 5 e substituindo x por 3obtemos a desigualdade verdadeira 2× 3 + 3 > 5⇔ 9 > 5.

Tal como para as equações, uma inequação, mesmo com uma só variável, pode ter umasolução, nenhuma solução ou várias soluções. Se uma inequação tem uma ou mais soluções,então diz-se possível ou resolúvel. Se não tem soluções, diz-se impossível ou irresolúvel.

Exercício 16. Nas três inequações seguintes há uma que tem uma só solução, outra quenão tem soluções e ainda outra que tem in�nitas soluções. Consegues identi�cá-las?

(a) x+ 3 > −3 (b) 2 ≤ 2 + |x| (c) x+ 1 > x+ 2

Resolver uma inequação é um processo análogo à solução de uma equação, consistindo emmudar a sua forma, obtendo sucessivas inequações equivalentes, até obter uma inequaçãonuma forma su�cientemente simples para que as soluções possam ser obtidas. Na aplicaçãodo primeiro dos três princípios de equivalência enunciados para as equações, deve ter-se ematenção o seguinte: se o número pelo qual se multiplicam ambos os membros da inequaçãofor negativo, a orientação do operador de desigualdade muda. Consideremos a desigualdadeverdadeira 4 ≤ 5. Se multiplicarmos por −2 ambos os membros, obtemos a relação falsa−8 ≤ −10. Para continuarmosa ter uma relação verdadeira depois desta operação devemosescrever −8 ≥ −10.

Exercício 17. Resolver a inequação 3x+ 2 > x− 1.

4x+ 2 > x− 1⇔⇔ 4x− x > −1− 2

⇔ 3x > −3

⇔ x > −1

Intervalo solução =]− 1,+∞[

10Expressões relacionais são expressões do tipo a > b, a ≤ b, a = b, etc, que exprimem uma relação

('maior', 'menor ou igual a', 'igual', etc) entre os membros a e b. Uma expressão deste tipo é verdadeira

ou falsa, consoante a relação se veri�ca ou não.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

3. Equação da recta 27

Igualdades e desigualdades múltiplas Expressões como (a = b = c) ou (a > b ≥c < d) são verdadeiras somente quando é verdadeira a relação de�nida por cada operador epelos operandos imediatamente à sua esquerda e à sua direita. Por exemplo, (3 = 2+1 = 4)é falsa porque, ainda que (3 = 2 + 1) seja uma relação verdadeira, (2 + 1 = 4) não o é. Já(3 < −4 ≤ −5) é uma relação falsa, dado que tanto (3 < −4) como (−4 ≤ −5) o são.

3 Equação da recta

Na �gura 18 representa-se um segmento da recta pertencente à recta r. Suponhamos umreferencial cartesiano comum, constituido por dois eixos, sendo o eixo horizontal o eixo dosxx e o eixo vertical o dos yy. Na parte esquerda da �gura veri�camos que a uma variação∆x no eixo dos xx, corresponde a variação ∆y no eixo dos yy. O quociente ∆y

∆x representa-se geralmente pela letra m e designa-se por declive da recta. Este quociente é constante,independentemente do valor numérico de ∆x. Na parte direita da �gura exempli�ca-seisto mesmo, produzindo-se uma variação de 2∆x no eixo dos xx. Por semelhança dostriângulos envolvidos, veri�ca-se que a variação segundo o eixo dos yy é 2y, pelo que oquociente destas variações continua a ser m. Esta é uma propriedade distintiva da recta,i.e., a recta é a única curva11 com a propriedade de o quociente das variações segundo oeixo dos yy pelas correspondentes variações segundo o eixo dos xx ser constante.

Figura 18: m é a taxa de variação de y com x. É uma constante designada por declive da recta.

É agora fácil obter a equação da recta na forma reduzida, y = mx+ b. Para o fazer, consi-deremos dois pontos quaisquer da recta (x, y) e (x0, y0). É correcto o seguinte raciocínio.

1. m = ∆x∆y = y−y0

x−x0.

2. Podemos escrever sucessivamente

m =∆y

∆x=y − y0

x− x0⇔ m(x− x0) = y − y0

⇔ y = mx−mx0 + y0 ⇔ y = mx + b, sendo b = −mx0 + y0

Vídeo 22. Recta

Vídeo 23. Rgra de três simples

4 Exercícios

Exercício 18. Mostrar o seguinte.

11Em geometria, o termo curva designa qualquer linha sobre o plano. Por exemplo, as circunferências eas rectas são exemplos de curvas.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

28 4. Exercícios

1. A soma de dois números pares é um número par.2. A soma de dois números ímpares é um número par.3. O produto de dois números pares é um número par.4. O produto de dois números ímpares é um número ímpar.

Exercício 19. Seja b um número inteiro.1. Quais são os restos possíveis para a divisão inteira de b por 2?2. Quais são os restos possíveis para a divisão inteira de b por 27?3. Justi�car que a divisão a ÷ b de dois números inteiros quaisquer tem uma dízima

�nita ou in�nita periódica.

Exercício 20. Toma-se um conjunto de n objectos e veri�ca-se o seguinte: (i) formandogrupos de 3 objectos sobram 2 objectos; (ii) formando grupos de 5 objectos sobram 3objectos. Qual o menor valor possível para n?

Exercício 21. Exercício com calculadora.1. Considerar a expressão 1

x . Calcular o valor da expressão para os seguintes valores dex: 3, 30, 100.

2. Determinar o valor de x tal que 1x < 0.001.

3. Mostrar que, de um modo geral, para qualquer número real ε, não importa quãopequeno seja, se pode sempre determinar x0, tal que para valores de x > x0 se

veri�ca 1x < ε. Por esta razão escreve-se lim

x→∞

1

x= 0.

Exercício 22. Exercício com calculadora.

1. Usar a calculadora para determinar as seguintes médias aritméticas.

(a)2 + 1 + 5

3(b)−3− 1 + 5 + 19

4.

Em cada um dos casos, veri�car que o valor da média aritmética obtida é (i) menorou igual ao maior valor envolvido; (ii) maior ou iual ao menor valor envolvido.

2. Provar o resultado da alímea anterior para o caso geral da média aritmética de nnúmeros reais

r1 + r2 + · · ·+ rnn

.

Exercício 23.

Dada a média aritmética de n números reais

m =r1 + r2 + · · ·+ rn

n,

mostrar a soma das diferenças entre cada número menor quem e o próprio valorm (parcelasda forma |m− rn|), é igual à soma das diferenças entre cada número maior que m e opróprio valor m.

Exercício 24. Com 10 kg de trigo podemos fabricar 4 kg de farinha.1. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 1 kg de farinha?2. Quantos quilogramas de farinha se fabricam com 1 Kg de trigo?3. Escrever uma equação que relacione o número y de quilos de trigo necessários para

fabricar x quilos de farinha.

Exercício 25. Três homens levam duas horas a carregar um camião. Quantas horas levamcinco homens a fazer o mesmo trabalho?

Exercício 26. Um caixa bancário leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

4. Exercícios 29

1. Em quanto tempo é previsível que o caixa atenda 36 clientes?2. Escrever uma equação que relacione as grandezas `clientes' e `tempo'.

Exercício 27. A expressão taxa de variação exprime o quociente de duas grandezas.1. A taxa de variação média de uma função f(x), correspondente a um certo intervalo

intervalo de variação de x, [x0, x1], é dada por f(x1)−f(x0)x1−x0

(valor de f(x) por unidadede x no intervalo considerado). Determinar as taxas de variação da função f(x) =3x− 2 nos intervalos [−1, 4] e [x0, x1].

2. Em matérias de economia, a expressão taxa de variação é um valor que exprime, emtermos relativos (em regra percentuais), a alteração de valor de uma dada variável.Assim, por exemplo, se o preço de um instrumento �nanceiro passar de 100 para 110a taxa de variação é de 110−100

100 × 100 = 10%.12 Seguem alguns exemplos.(a) Taxa de variação homóloga: é a taxa que mede a variação entre o valor de um

determinado índice num dia e no mesmo dia exactamente um 'ano' antes.13

(b) Taxa de in�ação: Se Pt é o nível médio de preços corrente e Pt−1 é o nível médiode preços há um ano atrás, a taxa de in�ação durante o ano pode ser medidada seguinte forma: Pt−Pt−1

Pt−1× 100 .14

3. O preço médio de 1 litro de gasóleo rodoviário foi de 1.26eem 2008, 1.00eem 2009,1.15eem 2010.15 Determinar as taxas de variação homólogas do preço médio nosanos de 2008 e 2009.

Exercício 28. Um automóvel custa 30000ee desvaloriza-se à taxa de 10% ao ano.1. Qual o valor do automóvel n anos após a sua compra?2. Ao �m de quantos anos o automóvel vale 15000e?

Exercício 29. Numa determinada cidade a taxa de crescimento relativo da população é de3% ao ano. Em quantos anos a população da cidade irá duplicar se a taxa de crescimentose mantiver?

Exercício 30. Um vendedor ambulante vende os seus produtos com um lucro de 50%sobre o preço de venda. Qual o lucro sobre o preço de custo?

Exercício 31. Depois de haver comprado duas bicicletas, uma pessoa vendeu cada umapor 600. Numa das vendas teve um prejuízo de 20% e na outra obteve um lucro de 20%.Qual foi o balanço �nal das transacções?

Exercício 32. O preço de fabrico de x unidades de um produto é de 2e/unidade, acrescidode um encargo �xo de 50e. O fabricante pede um empréstimo para fabricar as x unidadespelo qual paga 5% de juros, acrescendo 2.5ede comissões.

1. Qual o custo efectivo de 10 unidades do produto?2. Qual o custo efectivo de x unidades do produto?

Exercício 33.

1. Numa promoção, numa revenda da carros, é dado um desconto de 18% para pa-gamento à vista. Se um carro é anunciado por 16.000 euros, qual o preço parapagamento à vista deste carro?

2. Uma mercadoria teve seu preço acrescido de 10%. Tempos depois o novo preço sofreuum desconto de 10%. Se P euros é o preço inicial da mercadoria, qual o seu preço�nal?

12(ver http://pt.mimi.hu/economia/taxa_de_variacao.html)13(ver http://www.fep.up.pt/docentes/pcosme/MFIG/Aula)14(ver http://economiax.blogspot.pt/2009/05/calculo-da-taxa-de-inflacao.html)15(ver http://www.pordata.pt/Portugal/)

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

30 4. Exercícios

3. Um vendedor ambulante vende um certo produto com o lucro de 50% sobre o preçode venda. Qual o lucro que obtém sobre o preço de custo deste produto?

4. Um produto tem um custo de produção de P euros. Até �car disponível para seradquirido pelo consumidor passa por três intermediários, que agravam o custo P su-cessivamente em 6%, 4% e 9%. (a) Qual o preço de venda do produto ao consumidor?(b) Que percentagem x% de agravamento do custo, igual para os três intermediaários,conduz ao mesmo preço �nal de venda ao consumidor?

Exercício 34. Um capital aplicado, a juros simples, a uma taxa de 5% ao ano:1. Quintuplica em quantos anos?2. n-uplica em quantos anos?

Exemplo 36. Determinar dois números inteiros consecutivos k, k + 1 tais que, para cadaexpressão β se tenha k ≤ β ≤ k + 1.

(a)√

82 (b)√

33 (c)3√

62 (d)3√

64−1

(e) (82)12 (f) 9

12 (g) 8

13 (h) 66

27

Exercício 35. Exercício com calculadora.1. Considerar os seguintes valores de b: 3, 1.1, 1.01, 1.001. Utilizar a calculadora para

veri�car que b× b > b.2. Seja b > 1. Mostrar que b× b > b.3. Considerar o valor de b = 2 e os seguintes valores de n: 2, 4, 8, 10, 20. Uilizar a

calculadora para veri�car que se tem n√b > 1.

4. Seja b > 1. Mostrar que para qualquer n ∈ N se tem n√b > 1.

5. Considerar o valor de b = 2 e os seguintes valores de (m,n): (3, 2), (4, 5), (4, 4). Uilizara calculadora para veri�car que se tem b

mn > 1.

6. Seja b > 1. Mostrar que para quaisquer m,n ∈ N se tem bmn > 1.

7. Usando os resultados anteriores, justi�car que se b > 1 e x > y, então bx > by (i.e., afunção exponencial bx, com b > 1, é crescente).

Exercício 36. Utilizando um argumento análogo ao do exercício 35, justi�car que se0 < b < 1 e x > y, então bx < by (i.e., a função exponencial bx, com 0 < b < 1, édecrescente).

Exercício 37. Exercício com calculadora.Usando os resultados obtidos nos exercícios 35 e ??, mostrar o seguinte.1. Se b > 1 e x > y, então logb x > logb y, i.e., a função logb x, com b > 1, é crescente.

Utilizar a calculadora para veri�car o enunciado anterior com b = 2 e os seguintesvalores do argumento:1, 2, 3, 4, 5.

2. Se 0 < b < 1 e x > y, então logb x < logb y, i.e., a função logb x, com 0 < b < 1, édecrescente.Utilizar a calculadora para veri�car o enunciado anterior com b = 0.5 e os seguintesvalores do argumento:1, 2, 3, 4, 5.

Exercício 38. Seja b > 0 e x 6= y. Mostrar que as funções bx e logb x são injectivasveri�cando que bx 6= by e logb x 6= logb y.

Exercício 39. Um cliente aplica a importância de 500enum banco que paga juros mensaisde 3.5%, no regime de juros compostos. Quantos anos após a aplicação se obtém o montantede 3500e?

Exercício 40. Resolver os seguintes exercícios.1. Uma calculadora tem uma tecla `log10x' e outra `10x'. Como usá-las para calcular

534 ?

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

4. Exercícios 31

2. Uma calculadora tem uma tecla `yx' e outra `10x'. Podemos usá-las para calcularlog102.5?

3. Veri�car, usando a calculadora, que log43 = 1log34 .

4. Mostrar que logbx = 1logxb

.

Exercício 41. Resolver em ordem a x as equações e inequações.

(a) 3x+ t = −3

4(b) x+ 1 = 2x+

2

5(c) x+ 1 ≥ 2x+

2

5(d) x2 = 4

(e) x2 < 4 (f) x2 + 3x+ 2 = 0 (g) x2 + 3x+ 2 < 0 (h) x2 + 3x+ 2 > 0

(i) 5× 2x = 4 (j) log5x = 4 (k)x− 2

x+ 3≤ 0 (l)

3x− 4

1− 6x≥ 2

(m)√x+ 2 ≥ x− 4 (n) |x| ≤ 2 (o) |5− x| ≤ 2 (p) 1 < |x− 4| ≤ 3

(a bibliogra�a utilizada para escrever estas notas é acrescentada mais tarde)

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes