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1 O PLANO 31.1 Equação Geral do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Determinação de um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Equação Paramétrica do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Ângulo de Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Planos Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Plano Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . 171.6 Reta contida em Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Interseção de Dois Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8 Interseção de Reta com Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 DISTÂNCIAS 212.1 Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Distância de um Ponto a uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Distância de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Distância entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1 Retas Concorrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.2 Retas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 COORDENADAS POLARES 243.1 Mudança de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Mudança de Coordenadas Cartesianas para Polares . . . . . . . . . 243.1.2 Mudança de Coordenadas Polares para Cartesianas . . . . . . . . . 26

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GEOMETRIA ANALÍTICA II

Ementa: O plano. Distâncias. Coordenadas polares. Cônicas. Superfícies Quádricas.

Bibliogra�a Básica:Boulos, P. Camargo, I. Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial, São

Paulo: MAKRON Books, 1987.Winterle, P. Vetores e Geometria Analítica, São Paulo, MAKRON Books, 2000.Caroli, A. Callioli, C.A. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica: Teoria e

Exercícios, Nobel, São Paulo,1984.

Bibliogra�a Complementar:

Murdoch, David C. Geometria Analítica. Editora LTC, Rio de Janeiro, 1980.Kletenik, D. Problemas de Geometria Analítica. Editora Mir Moscu, Belo Hori-

zonte, 1967.Machado, A. S.Álgebra Linear e Geometria Analítica. Editora Atual, São Paulo,

1982.Riguetto, A. Vetores e Geometria Analítica. Editora IBLC. São Paulo, 1988.

Professor Ms. Renan Fernandes Capellette

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Capítulo 1

O PLANO

1.1 Equação Geral do Plano

Seja um vetor formado pelos pontos A (x1, y1, z1) e P (x, y, z) pertencentes a um plano πe um vetor

→n= (a, b, c) normal (ortogonal) ao plano, como ilustra a �gura abaixo:

Qualquer vetor→AP representado em π (ou seja A e P ∈ π) é ortogonal a →n, então:

→n ×

→AP = 0

→n × (P − A) = 0

(a, b, c)× (x− x1, y − y1, z − z1) = 0

ax+ by + cz − ax1 − by1 − cz1 = 0

Assim, a equação geral do plano π é:

ax+ by + cz + d = 0

onde d = −ax1 − by1 − cz1

Observações:

3

• (i) Assim, como→n é um vetor normal, qualquer vetor k

→n, k 6= 0, é normal ao plano.

• (ii) Considere a equação geral do plano π : 3x+ 2y − z + 1 = 0 os componentes dovetor normal

→n ao plano π é (3, 2,−1).

• (iii) Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral do plano, bastaatribuir valores aleatórios a duas variáveis e calcular. Tome o exemplo anterior efaça x = 4 e y = −2, tem-se

3(4) + 2(−2)− z + 1 = 0

z = 9

portanto, o ponto A(4,−2, 9) pertence a este plano

Exercícios Resolvidos:

1 - Obter um equação geral do plano π que passa pelos ponto A(2,−1, 3) e tem→n= (3, 2,−4) como vetor normal.

Solução:

Como→n é normal ao plano tem-se

3x+ 2y − 4z + d = 0

Como A é um ponto do plano, suas coordenadas devem satisfazer a equação:

3x+ 2y − 4z + d = 0

3(2) + 2(−1)− 4(3) + d = 0

6− 2− 12 + d = 0

−8 + d = 0

d = 8

Logo, uma equação geral do plano π é:

π : 3x+ 2y − 4z + 8 = 0

É possível calcular a equação do plano utilizando a seguinte equação:

4

→n ×

→AP= a(x− x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0

Substituindo as coordenadas do ponto A(2,−1, 3) e →n= (3, 2,−4), tem-se

a(x− x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0

3(x− 2) + 2(y − (−1)) + (−4)(z − 3) = 0

3x− 6 + 2y + 2− 4z + 12 = 0

3x+ 2y − 4z + 8 = 0

com isso a equação do plano é: π : 3x+ 2y − 4z + 8 = 0

2 - Escreva uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é paraleloao plano:

α : 3x− 4y − 2z + 5 = 0

Solução: Como os planos são paralelos, o vetor nomal→n do plano α também é normal

ao plano π, assim, a equação geral do plano π é da forma:

3x− 4y − 2z + d = 0

Como A pertence ao plano π, suas coordenadas devem veri�car a equação:

3x− 4y − 2z + d = 0

3(2)− 4(1)− 2(3) + d = 0

6− 4− 6 + d = 0

d = 4

Dessa forma uma equação de π é

π : 3x− 4y − 2z + 4 = 0

5

3 - A reta

r :

{x = 5 + 3ty = −4 + 2tz = 1 + t

é ortogonal ao plano π que passa pelo ponto A(2, 1,−2). Determinar uma equaçãogeral de π e representá-lo gra�camente.

Solução: Como r⊥π, qualquer vetor diretor de r é um vetor normal ao plano. Sendo→n= (3, 2, 1) um destes vetores, uma equação de π é da forma:

3x+ 2y + z + d = 0

Como A pertence ao plano π, deve-se veri�car:

3x+ 2y + z + d = 0

3(2) + 2(1) + (−2) + d = 0

6 + 2− 2 + d = 0

d = −6

Porntanto, uma equação de π é

π : 3x+ 2y + z − 6 = 0

Em resumo, para determinar a equação geral de um plano é necessário umponto do plano e um vetor normal a ele.

Exercício 1: Determinar a equação geral do plano que é paralelo ao plano π : 2x −3y − z + 5 = 0 e que contenha o ponto A(4,−2, 1).

Resposta: π1 : 2x− 3y − z − 13 = 0

Exercício 2: Determine a equação geral do plano π sabendo que ele é perpendicular areta:

r :

{x = 2 + 2ty = 1− 3tz = 4t

e que contenha o ponto A(−1, 2, 3)

Resposta: π : 2x− 3y + 4z − 4 = 0.

6

1.2 Determinação de um Plano

Anteriormente viu-se que a equação geral de um plano pode ser determinada por um ponto∈ ao plano π e um vetor normal a ele, porém, exitem outras maneiras de se determinarum plano, pois, existe apenas um plano que:

(i) Passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores→v1 e

→v2 não colineares.

Neste caso:→n=

→v1 ×

→v2

Exemplo Resolvido: Determinar a equação geral do plano que passa pelo pontoA(1,−3, 4) e é paralelo aos vetores v1 = (3, 1,−2) e v2 = (1,−1, 1).

Solução: Um vetor normal ao plano obtido a partir dos vetores-base→v1 e

→v2 é:

→n=

→v1 ×

→v2=

∣∣∣∣∣∣∣→i

→j

→k

3 2 −11 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (−1,−5,−4)

Assim, um vetor normal ao plano é:→n= (−1,−5,−4)

A equação do plano é dada pela seguinte equação: −x − 5y − 4z + d = 0, e paraencontrar o valor de d, tem-se:

−x− 5y − 4z + d = 0

−(1)− 5(−3)− 4(4) + d = 0

−1 + 15− 16 + d = 0

d = 2

Assim, a equação do plano é: −x− 5y − 4z + 2 = 0 ou x+ 5y + 4z − 2 = 0

(ii) Passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor→v não colinear ao vetor

→AB

Colinear: pertencem a mesma reta e/ou são paralelos.

Neste caso:→n=

→v ×

→AB.

Exemplo Resolvido: Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontosA(1,−3, 4) e B = (3, 1,−2) e é paralelo ao vetor v = (1,−1, 1).

Solução: Um vetor normal ao plano obtido a partir dos vetores-base→AB= (2, 4,−6) e

→v é:

7

→n=

→v ×

→AB=

∣∣∣∣∣∣∣→i

→j

→k

2 4 −61 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (−2,−8,−6)

Assim, um vetor normal ao plano é:→n= (−2,−8,−6)

A equação do plano é dada pela seguinte equação: −2x − 8y − 6z + d = 0, e paraencontrar o valor de d, tem-se:

−x− 5y − 4z + d = 0

−2(1)− 8(−3)− 6(4) + d = 0

−1 + 15− 16 + d = 0

d = 2

Assim, a equação do plano é: −2x− 8y − 6z + 2 = 0 ou 2x+ 8y + 6z − 2 = 0

(iii) Passa por três pontos A B e C que não pertencem a mesma reta (não colineares).

Nesta caso:→n=

→AB ×

→AC.

Exemplo resolvido: Estabelecer a equação geral do plano determinado pelo pontosA(2, 1,−1), B(0,−1, 1) e C(1, 2, 1).

Solução: Os vetores base do plano são:→AB= (−2,−2, 2) e

→AC= (−1, 1, 2) e, portanto,

um vetor,normal do plano é:

→n=

→v1 ×

→v2=

∣∣∣∣∣∣∣→i

→j

→k

−2 −2 2−1 1 2

∣∣∣∣∣∣∣ = (−6, 2,−4)

Assim, o vetor normal ao plano é:→n= (−6, 2,−4)

A equação do plano é dada pela seguinte equação: −6x + 2y − 4z + d = 0, e paraencontrar o valor de d, tem-se:

−6x+ 2y − 4z + d = 0

−6(2) + 2(1)− 4(−1) + d = 0

−12 + 2 + 4 + d = 0

d = 6

8

Então a equação do plano é: −6x+ 2y − 4z + 6 = 0 ou 3x− y + 2z − 3 = 0

(iv) Contém duas retas concorrentes r1 e r2 (concorrentes: que se cruzam).

Neste caso os vetores diretores das retas r1 e r2 são v1 e v2 e vale→n=

→v1 ×

→v2 (vetor

normal ao plano).

Vetores diretores da reta: Tem a mesma direção e determinam o sentido da reta

(v) Contém duas retas paralelas r1 e r2. Neste caso tem-se que o vetor normal é:

→n=

→v1 ×

→A1A2

Assim v1 é um vetor diretor de r1 (ou r2) e A1 ∈ r1 e A2 ∈ r2.

Exemplo resolvido: Determinar a equação geral do plano que contém as retas

r1 :{y = 2x+ 1z = −3x− 2

e r2 :

{x = −1 + 2ty = 4tz = 3− 6t

Solução: Primeiramente deve-se determinar os vetores diretores das retas r1 e r2.

Vetor diretor de r1Dois pontos pertencentes a reta r1 são os pontos A1(0, 1,−2) e B1(1, 3,−5). Utilizando

o ponto A1, obtem-se as equações paramétricas de r1:

r1 :

{x = 0 + tay = 1 + tbz = −2 + tc

o vetor diretor da reta r1 é→v1= (a, b, c), cuja coordenadas são encontradas fazendo

t = 1 e utilizando as coordanas do ponto B.

a = x = 1

b = y − 1 = 3− 1 = 2

c = z + 2 = −5 + 2 = −3

Assim o vetor diretor de r1 é→v1= (1, 2,−3)

9

O vetor diretor da reta r2 é→v2= (2, 4,−6)

Observe que as retas são paralelas, pois→v2= 2

→v1

Um ponto pertencente a reta r2 é A2(−1, 0, 3).

Então:→

A1A2= (−1,−1, 5)

pode-se determinar o vetor normal→n ao plano em questão:

→n=

∣∣∣∣∣∣∣→i

→j

→k

1 2 −3−1 −1 5

∣∣∣∣∣∣∣ = (7,−2, 1)

Após alguns cálculos tem-se que a equação geral do plano é: 7x− 2y + z + 4 = 0

(vi) É determinado por uma reta r e um ponto B 6∈ r (não pertence a reta).

O vetor normal a este plano é determinado pela expressão:→n=

→v ×

→AB.

onde→v é um vetor diretor de r e A ∈ r.

Exemplo resolvido: Determine a equação do plano que contém a reta

r :

{x = 4y = 3

e o ponto B(−3, 2, 1)

Solução: Primeiramente deve-se encontrar o ponto A ∈ r e o vetor diretor→v .

Como não aparece a variável z o plano é paralelo a este eixo, assim, pode-se escolherqualquer valor real para representar z, neste caso, por conveniencia escolhe-se z = 0,assim, o ponto A(4, 3, 0) ∈ r .

O vetor diretor é:→v= (0, 0, 1)

→AB= (−7,−1, 1).

Cálculo do vetor normal.

→n=

→v1 ×

→v2=

∣∣∣∣∣∣∣→i

→j

→k

0 0 1−7 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (1,−7, 0)

Assim, um vetor normal ao plano é:→n= (1,−7, 0)

A equação do plano é dada pela seguinte equação: x−7y−0z+d = 0, e para encontraro valor de d, tem-se:

10

x− 7y + d = 0

4− 7(3) + d = 0

4− 21 + d = 0

d = 17

Assim, a equação do plano é: x− 7y + 17 = 0

Outra forma de obter a equação geral de um plano é utilizando a de�nição de vetorescoplanares, ou seja, o produto misto entre eles é nulo.

Considere o exemplo do item (iv), neste problema temos um ponto A(1,−3, 4) que éparalelo aos vetores v1 = (3, 1,−2) e v2 = (1,−1, 1). Assim, tome um ponto P (x, y, z) ∈ao plano, dessa forma os vetores

→AP,

→v1,→v2 são coplanares, ou seja, o produto misto entre

eles é igual a zero.

(→AP,

→v1,→v2) = 0

Ou seja: ∣∣∣∣∣∣x− 1 y + 3 z − 43 1 −21 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = −x− 5y − 4z + 2

Dessa forma, a equação geral do plano é x+ 5y + 4z − 2 = 0

Este método é aplicável a todos os outros exemplos.

Exercício: Encontre a equação geral do plano dos exemplos anteriores embasando-sena de�nição de vetores coplanares.

1.3 Equação Paramétrica do Plano

Dado um ponto A(x0, y0, z0) petencente ao plano π e→u= (a1, b1, c1) e

→v= (a2, b2, c2) não

paralelos, porém, paralelos ao plano. Qualquer que seja o ponto P ∈ π, ou vetores→AP,

→u

e→v são coplanares.O ponto P (x, y, x) pertence ao plano se, e somente se existem números reais tais que:

11

P − A = h→u +t

→v

P = A+ h→u +t

→v

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2)

onde h, t ∈ R, e os vetores u e v são vetores diretores do plano π.Dessa maneira a Equação Paramétrica do plano é:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2)

podendo ser escrita como: {x = x0 + a1h+ a2ty = y0 + b1h+ b2tz = z0 + c1h+ c2t

Exemplo: Seja o plano π que passa pelo ponto A(2, 2,−1) e é paralelo aos vetores→u= (2,−3, 1) e →v= (−1, 5,−3). Obter uma equação vetorial, um sistema de equaçõesparamétricas e uma equação geral de π.

Solução:

Equação vetorial: (x, y, z) = (2, 2,−1) + t(2,−3, 1) + v(−1, 5,−3)

Equações paramétricas {x = 2 = 2t− vy = 2− 3t+ 5vz = −1 + t− 3v

Para obter a equação geral do plano é necessário calcular o vetor normal ao plano ouutilizar a idéia de vetores coplanares, ou seja, o produto misto entre os vetores é igualzero.

Considere o ponto P (x, y, z) ∈ π, assim o vetor→AP= (P − A) = (x− 2, y − 2, z + 1)∣∣∣∣∣∣

x− 2 y − 2 z + 12 −3 1−1 5 −3

∣∣∣∣∣∣ = 0

9x− 5x− y + 6y + 10z − 3z − 6− 5 = 0

Assim a equação geral de π é: 4x+ 5y + 7z − 11 = 0.

Exercício 1: Dado um plano π determinado pelos pontos A(1,−1, 2), B(2, 1,−3) eC(−1,−2, 6) não alinhados.

Encontre um sistema de equações paramétricas e uma equação geral do plano π.

12

Dica: Encontrar os vetores diretores de π. Os pontos A, B e C ∈ π e não estãoalinhados, dessa maneira, de�ne-se os dois vetores diretores como segue:

→u=

→AB= (1, 2,−5) e

→v=

→AC= (−2,−1, 4).

os vetores acima são vetores diretores de π.

Resposta:

Equações paramétricas:

{x = 1 + h− 2ty = −1 + 2h− tz = 2− 5h+ 4t

Equação geral do plano: π : 3x+ 6y + 3z − 3 = 0 ou π : x+ 2y + z − 1 = 0.

Exercício 2: Dado o plano π de equação 2x − y − z + 4 = 0, determinar um sistemade equações paramétricas de π.

Dica: Encontrar três pontos distintos A,B e C não alinhados e encontrar os vetoresdiretores.

A(0, 0, 4), B(1, 0, 6) e C(0, 1, 3)

Equações paramétricas:

{x = hy = tz = 4 + 2h− t

1.4 Ângulo de Dois Planos

Dados dois planos π1 e π2 e n1 = (a1, b1, c1) e n2 = (a2, b2, c2) vetores normais aos planosπ1 e π2 respectivamente, como ilustra a �gura abaixo:

O Ângulo entre esses dois planos é o menor ângulo formado entre os seus respectivosvetores normais. Denominando este ângulo de θ, tem-se:

13

cos(θ) =

∣∣∣→n1 ×→n2

∣∣∣∣∣∣→n1

∣∣∣ ∣∣∣→n2

∣∣∣com 0 ≤ θ ≤ π

2

Exemplo: Determine o ângulo entre os planos:

π1 : 2x+ y − z + 3 = 0 e π2 : x+ y − 4 = 0

Solução:n1 = (2, 1,−1) e n2 = (1, 1, 0)

cos(θ) =|(2, 1,−1)× (1, 1, 0)||(2, 1,−1)| × |(1, 1, 0)|

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√

(22 + 1 + (−1)2)×√

(12 + 12 + 02)

cos(θ) =|3|√

12×√

(12 + 12 + 02)

cos(θ) =

√3

2

θ = arccos

(√3

2

)θ =

π

6

1.4.1 Planos Perpendiculares

Dois planos são perpendiculares se, e somente se o ângulo formado entre seus respectivosvetores diretores for igual a noventa graus (θ = 90◦), ou seja,

π1⊥π2 ⇔→n1 ⊥

→n2⇔

→n1 ×

→n2= 0

14

Exemplo: Veri�que se os planos

π1 : 3x+ y − 4z + 2 = 0 e π2 : 2x+ 6y + 3z = 0

ou

π1 : x+ y − 4 e π2 :

{x = 2− h+ 2ty = h+ tz = t

são perpendiculares.

Solução:

(i) π1 : 3x+ y − 4z + 2 = 0 e π2 : 2x+ 6y + 3z = 0

→n1= (3, 1,−4) e →n2= (2, 6, 3) são vetores normais aos planos π1 e π2 respectivamente.

→n1 ×

→n2 = (3, 1,−4)× (2, 6, 3)

→n1 ×

→n2 = 3.2 + 1.6 + (−4).3

→n1 ×

→n2 = 0

Portanto os planos π1 e π2 são perpendiculares.

(ii) π1 : x+ y − 4 e π2 :

{x = 2− h+ 2ty = h+ tz = t

Em π1 tem-se o vetor normal→n1= (1, 1, 0) .

Porém em π2 tem-se os vetores diretores:→u= (−1, 1, 0) e

→v= (2, 1, 1), através do

produto misto entre eles determina-se o vetor normal ao plano π2.

→n2=

→u × →v=

∣∣∣∣∣∣∣→i

→j

→k

−1 1 02 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (1, 1,−3)

15

Assim:

→n1 ×

→n2 = (1, 1, 0)× (1, 1,−3)

→n1 ×

→n2 = 1.1 + 1.1 + 0.(−3)

→n1 ×

→n2 = 2 6= 0

portanto os planos π1 e π2 não são perpendiculares.

1.4.2 Plano Paralelos

Considere os planos π1 e π2, estes planos serão paralelos se, e somente se, seus respectivosvetores normais forem paralelos:

π1//π2 ⇔→n1 //

→n2 portanto

a1a2

=b1b2

=c1c2.

Dois planos são coincidentes se:

a1a2

=b1b2

=c1c2

=d1d2.

Porém, se a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2 e d1 6= d2, os planos também são paralelos.

Exemplo: Calcule os valores de m e n para que o plano:

π1 : (2m− 1)x− 2y + nz − 3 = 0

seja paralelo ao plano

π2 : 4x+ 4y − z = 0

Solução:

Os vetores normais são:→n1= (2m− 1,−2, n) e →n2= (4, 4,−1).

2m− 1

4=−24

=n

−1,

isto é:

2m− 1

4= −1

2

m = −1

2

16

e

−n = −1

2

n =1

2

Assim os planos π1 : −2x− 2y +1

2z − 3 = 0 e π2 : 4x+ 4y − z = 0 são paralelos.

Note que:→n1= −

1

2

→n2

1.5 Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano

Considere uma reta r na direção de um vetor→v e um plano π, seja

→n o vetor normal ao

plano, como ilustram as �guras abaixo:

(i) Se r//π ⇔→v ⊥ →n⇒→v × →n= 0

(ii) Se r⊥π ⇔→v // →n⇒→v= α→n

Exemplo: A reta r :

{x = 1 + 2ty = −3tz = t

é paralela ao plano π : 5x+ 2y − 4z − 1 = 0?

Se a reta é paralela ao plano, implica que o vetor diretor da reta r,→v= (2,−3, 1) é

ortogonal ao vetor normal→n= (5, 2,−4) veja:

(2,−3, 1)× (5, 2,−4) = 0.

17

Porém, esta mesma reta é perpendicular ao plano π1 : 4x − 6y + 2z − 5 = 0, pois ovetor diretor

→v= (2,−3, 1) de r é paralelo ao vetor nomal

→n1= (4,−6, 2) de π, veja:

→v=

1

2

→n1

para isso basta dividir as componente de→v e

→n1:

(2

4=−3−6

=1

2

)=

(1

2=

1

2=

1

2

).

1.6 Reta contida em Plano

Uma reta r esta contida em uma plano π se:

(i) Dois pontos A e B da reta r pertencerem ao plano π, ou

(ii) Dado vetor diretor→v da reta r e o vetor normal

→n do plano π satisfazer a seguinte

igualdade:

→v × →n= 0

ou seja, se r está contida em π o vetor diretor de r é normal ao vetor normal de π.

Exemplo: Determinar os valores de m e n para que a reta:

r :

{x = 3 + ty = −1− tz = −2− t

esteja contida no plano π : 2x+my + nz − 5 = 0

Solução:Fazendo t = 0 e t = 1 e substituindo na equação paramétrica de r obtem-se os pontos

A(3,−1,−2) e B(4,−2,−3), e substituindo na equação do plano tem-se o seguinte sistemalinear: {

2(3) +m(−1) + n(−2)− 5 = 02(4) +m(−2) + n(−3)− 5 = 0

donde m = 3 n = −1.

Observação: Se a reta esta contida no plano, então os pontos da reta pertencem aoplano, portanto eles devem satisfazem a igualdade da equação geral do plano.

18

1.7 Interseção de Dois Plano

A interseção de dois planos não paralelos é uma reta r cuja equações reduzidas ou para-métricas deve-se determinar.

Para determinar uma reta é necessário conhecer dois de seus pontos, ou um ponto eum vetor diretor de r.

Exemplo: Consideremos os planos não paralelos

π1 : 5x− y + z − 5 = 0 e π2 : x+ y + 2z − 7 = 0

Um ponto da reta determinada pela intereseção entre os dois planos, é o ponto cujacoordenadas satisfazem o sistema{

5x− 2y + z + 7 = 03x− 3y + z + 4 = 0

Resolvendo o sistema, tem-se in�nitas soluções em função de x.{y = −2x− 3z = −9x− 13

ou seja, a solução acima são as equações reduzidas da reta obtida pela intersecçãodos planos π1 e π2. Seus pontos são:

(x, y, z) = (x,−2x− 3,−9x− 13)

Para determinar as equações paramétricas da reta r atribui-se dois valores distintospara x de modo a determinar os pontos A e B, assim se x = 0 e x = 1, tem-se respecti-vamente A(0,−3,−13) e B(1,−5,−22), com isso é possível determinar o vetor diretor dareta r:

→v=

→AB= B − A = (1,−2,−9)

As equações paramétricas de r utilizando o ponto A e o vetor diretor são:

r :

{x = ty = −3− 2tz = −13− 9t

19

1.8 Interseção de Reta com Plano

Neste caso deseja-se encontrar um ponto da reta r em comum com o plano π.

Exemplo 1: Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π, onde:

{x = −1 + 2ty = −1 + 3tz = 4− 2t

e π : 2x− y + 3z − 4 = 0

Solução:

Qualquer ponto de r é da forma: (x, y, z) = (−1 + 2t, 5 + 3t, 3− t), estas coordenadasdeve satisfazer a equação do plano, assim, este ponto será a interseção entre r e π:

2x− y + 3z − 4 = 0

2(2t− 1)− (5 + 3t) + 3(3− t)− 4 = 0

donde resulta t = −1.

Substituindo esses valores nas equações paramétricas de r tem-se as coordenadas dainterseção de r com π.

r ∩ π = (−3, 2, 4)

Exemplo 2: Determinar a interseção da reta r com o plano π onde:

r :

{x− 2y − 2z + 2 = 02x+ y − z = 0

e π : x+ 3y + 2z − 5 = 0

Nesse caso deve-se solucionar o sistema:{x− 2y − 2z + 2 = 02x+ y − z = 0x+ 3y + 2z − 5 = 0

obtendo-se x = 2, y = −1 e z = 3.

Logo a interseção (I) é I(2,−1, 3).

20

Capítulo 2

DISTÂNCIAS

2.1 Distância entre dois pontos

A distância d entre dois pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) é dada pela expressão:

∣∣∣ →P1P2

∣∣∣ = P2 − P1 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

d(P1, P2) =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

Exemplo: Calcular a distância entre P1(2,−1, 3) e P2(1, 1, 5).

d(P1, P2) =

√(1− 2)2 + (1− (−1))2 + (5− 3)2 =

√9 = 3

2.2 Distância de um Ponto a uma Reta

Para calcular a distância de um ponto P a uma reta r utiliza-se a expressão:

d(P, r) =

∣∣∣→v × →AP∣∣∣∣∣∣→v ∣∣∣

onde→v é o vetor diretor da reta r e A e um ponto petencente a reta.

Exemplo: Calcular a distância do ponto P (2, 1, 4) à reta

21

r :

{x = −1 + 2ty = 2− tz = 3− 2t

Soluçao: A reta r passa pelo ponto A(−1, 2, 3) e tem direção do vetor→v= (2,−1,−2).

O vetor→AP é (3,−1, 1).

→v ×

→AP=

∣∣∣∣∣∣∣→i

→j

→k

2 −1 −23 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (−3,−8, 1)

Assim:

d(P, r) =|(−3,−8, 1)||(2,−1,−2)|

=

√(−3)2 + (−8)2 + 12√22 + (−1)2 + (−2)2

=

√74

3u.c.

2.3 Distância de Ponto a Plano

A distância de um ponto P0 a um plano π, ou seja d(P0, π) é dado pela expressão:

d(P0, π) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2

onde (a, b, c) são as coordenadas do vetor normal→n.

Exemplo: Calcular a distância do ponto P0(4, 2,−3) ao planoπ : 2x+3y− 6z+3 = 0

Solução:

d(P0, π) =|2(4) + 3(2)− 6(−3) + 3|√

22 + 32 + (−6)2= 5

2.4 Distância entre Duas Retas

2.4.1 Retas Concorrentes

A distância d entre duas retas r e s concorrentesé nula, por de�nição.

22

2.4.2 Retas Paralelas

A distância entre duas retas paralelas se reduz ao cálculo da distância de um ponto a umareta.

A fórmula apresentada anteriormente é:

d(r, s) =

∣∣∣→v × →AP∣∣∣∣∣∣→v ∣∣∣

onde→v é o vetor diretor da reta e A e um ponto desta mesma reta, P é um ponto

pertencente a outra reta.

Exemplo: Calcular a distância entre as retas:

r :{y = −2x+ 3z = 2x

e s :

{x = −1− 2ty = 1 = 4tz = −3− 4t

Solução: O vetor diretor da reta s é→v2= (−2, 4,−4) e A(3, 2,−1) um ponto pertencente

a esta reta. P (0, 3, 0) é um ponto ∈ r, então→AP= (1, 2, 3).

→v ×

→AP=

∣∣∣∣∣∣∣→i→j

→k

1 2 32 4 −4

∣∣∣∣∣∣∣ = (−20,−2, 8)

d(r, s) =

√(−20)2 + (−2)2 + 82√(−2)2 + 42 + (−4)2

d(r, s) =

√400 + 4 + 64√4 + 16 + 16

d(r, s) =

√468

36

d(r, s) =6√13

6

d(r, s) =√13u.c.

23

Capítulo 3

COORDENADAS POLARES

3.1 Mudança de Coordenadas

3.1.1 Mudança de Coordenadas Cartesianas para Polares

Vimos anteriormente que dado um ponto P no plano, utilizando as coordenadascartesianas, ou retangulares é possível descrever sua localização no plano P (x, y), porémtambém representar este mesmo ponto a partir da distância da origem 0 do sistemacartesiano até o ponto P e o ângulo formado pelo eixo x, denotado P (r, θ), onde r é adistância da origem do plano até o ponto P e θ é o ângulo formado com o eixo x.

A partir das propriedades aplicadas no triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras,tem-se:

r =√x2 + y2

θ = arctang(yx

)Exemplo 1: Transforme as coordenadas cartesianas em coordenadas polares os seguin-

tes pontos:

24

(a) P

(5√3

2

5

2

)(b) Q(1,−1).

Solução. (a)

r =

√√√√(5√3

2

)2

+

(5

2

)

r =

√25 · 34

+25

4

r =

√100

4r = 5

θ = arcTg

5√3

25

2

θ = arcTg

(5√3

2· 25

)θ = arcTg

(√3)= 60

Assim, P (5, 60◦)

Solução (b): De maneira análoga ao anterior, tem-se: Q(√2,−45◦)

Exemplo 2: A circunferência de centro na origem e raio 3 tem equação cartesianax2 + y2 = 9, encontre a equação polar:

Solução:Sabe-se:

x = rcos(θ)

y = rsen(θ)

assim,

(rcos(θ))2 + (rsen(θ))2 = 9

r2(cos2(θ) + sen2(θ)

)= 9

r2 = 9

r = 3

25

ou seja, a equação polar dessa circunferência é r = 3.

3.1.2 Mudança de Coordenadas Polares para Cartesianas

Seja P um ponto com coordenadas polares (r, θ). Considerando inicialmente 0 < θ <π

2do triângulo retangulo OPX , obtem-se as seguintes relações:

x = rcos(θ)

y = rsen(θ)

Se θ = 0 tem-se P no eixo das abscissas, portanto P tem coordenadas cartesianas(x, 0), para os casos em que θ =

π

2, tem-se P no eixo das ordenadas, portanto P tem

coordenadas cartesianas (0, y).

Exemplo: Se P tem coordenadas polares(−2, π

3

), então:

x = −2cos(π3) = −1

y = −2sen(−π3) = −

√3

logo P tem coordenadas cartesianas (−1,−√3).

26