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Contribuição do sistema solo/placa de mitigação para asimpedâncias longitudinais e perdas de cabos subterrâneos

Neuza Isabel Ramalho Gomes

Dissertação para obtenção do grau de Mestre em

Engenharia Eletrotécnica e de Computadores

Orientadores: Prof. Vítor Manuel de Oliveira Maló MachadoProf. Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro

Júri

Presidente: Rui Manuel Gameiro de CastroOrientador: Vítor Manuel de Oliveira Maló Machado

Vogal: Paulo José da Costa Branco

Novembro 2015

Agradecimentos

Gostaria de agradecer ao Prof. Vitor Manuel de Oliveira Malo Machado e a Prof. Maria Eduarda de

Sampaio Pinto de Almeida Pedro pela dedicacao e disponibilidade que demonstraram durante todo

este tempo, contribuindo sempre com crıticas e sugestoes sem as quais este trabalho nao teria sido

possıvel.

Gostaria tambem de agradecer aos meus pais pela dedicacao, motivacao, esforco e valores que me

passaram, nao so nesta etapa mas tambem durante toda a minha vida, fazendo com que me tenha

tornado a pessoa que sou e chegado ate aqui. Muito obrigada.

Ao meu namorado, o meu sincero obrigado, por toda a paciencia, motivacao e animo durante todo

este percurso.

Agradeco tambem aos meus amigos, sempre presentes durante todo o meu percurso academico.

iii

Resumo

As placas de mitigacao, condutoras ou ferromagneticas, sao um dos “metodos extrınsecos” utilizados

para a mitigacao do campo magnetico de cabos subterraneos.

O objetivo deste trabalho e o estudo da influencia que estas placas tem na configuracao do campo

magnetico, na matriz de impedancias longitudinais e tambem nas perdas de transmissao.

Foi desenvolvido um programa de calculo, com recurso a ferramenta MATLAB, que permite nao

so visualizar a configuracao do campo magnetico, mas tambem calcular as perdas de transmissao e

a matriz das impedancias longitudinais, fazendo variar parametros tais como a espessura da placa

metalica, a frequencia, a permeabilidade magnetica e a condutividade eletrica da placa de mitigacao.

A formulacao do campo magnetico e baseada na solucao do potencial vetor e tem em conta as

caracterısticas das diferentes regioes: solo estratificado, placa de mitigacao e ar.

Conclui-se que a frequencia e as caracterısticas da placa, nomeadamente a permeabilidade magnetica,

a condutividade eletrica e a sua espessura sao parametros que tem uma importante influencia nos re-

sultados obtidos no que diz respeito a eficiencia de mitigacao, a configuracao do campo, as impedancias

longitudinais e as perdas de transmissao.

Palavras-chave: Mitigacao do campo magnetico, cabos subterraneos, placa de mitigacao,

impedancias longitudinais, perdas de transmissao.

v

Abstract

Conductive or ferromagnetic shielding plates constitute an “extrinsic metho” to mitigate the magnetic

field above underground power cables.

In this work, the main objective is to characterize underground power cables where the magnetic

field is mitigated using a shielding plate. Aspects like the magnetic field configuration, series-impedance

matrices and power losses are analysed.

An evaluation algorithm was developed using the mathematical tool MATLAB to obtain the referred

magnetic field quantities as functions of the frequency and the mitigation plate characteristics namely

thickness, magnetic permeability and electric conductivity.

The magnetic field formulation is based on the magnetic vector potential taking into account the

characteristics of the different regions: the layered soil, mitigation plate and air.

It is concluded that the studied parameters namely those concerning the frequency and the mitigation

plate characteristics have an important influence on the mitigation behaviour, magnetic field configura-

tion, series-impedance matrix and power losses.

Keywords: Magnetic field mitigation, underground power cables, mitigation shielding plate,

series-impedance, power losses.

vii

Indice

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

Lista de Sımbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

Glossario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Introducao 1

1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Organizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Campo Magnetico - Formulacao Analıtica 5

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Potencial vetor do campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Descricao do algoritmo utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Matriz das impedancias longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Metodo de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Perdas no sistema solo/placa e perdas na placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Analise e Discussao de Resultados 15

3.1 Caracterizacao do caso base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Potencial vetor do campo magnetico sem placa de mitigacao . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Potencial vetor do campo magnetico com placa de mitigacao . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.1 Influencia da espessura da placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.2 Influencia do material da placa de mitigacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.3 Influencia da frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.4 Influencia da profundidade a que esta enterrada a placa de mitigacao . . . . . . . 29

3.4 Matriz das Impedancias Longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.1 Sem placa de mitigacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.2 Com placa de mitigacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

ix

3.4.3 Variacao das Impedancias Longitudinais com a frequencia . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.4 Variacao das impedancias longitudinais com a espessura da placa . . . . . . . . . 33

3.5 Perdas no Sistema Solo/Placa e na Placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Conclusoes 39

Bibliografia 43

A Funcoes auxiliares ao calculo do potencial vetor do campo magnetico A.1

A.1 Regiao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2

A.2 Regiao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2

A.3 Regiao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2

x

Lista de Tabelas

3.1 Valores da profundidade de penetracao na placa para uma frequencia de 50Hz. . . . . . 21

3.2 Perdas totais do sistema para t = 3mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Perdas totais do sistema para f = 50Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Perdas totais do sistema e perdas na placa metalica para t = 3mm. . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Perdas totais do solo sem placa de mitigacao para f = 50Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . 37

xi

Lista de Figuras

2.1 Esquema ilustrativo do sistema considerado, com tres cabos subterraneos enterrados a

uma profundidade constante, h, e com a discriminacao das diferentes zonas. . . . . . . . 7

2.2 Exemplo de uma funcao generica f(x), a integrar, onde se apresentam os limites de

integracao a e b e os intervalos a considerar de largura hr. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Linhas do campo de inducao magnetica correspondentes a uma variacao do potencial

vetor do campo magnetico ∆A = 1× 10−5Wb/m com Amax = 4, 1571× 10−4Wb/m, para

uma frequencia de 50Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


vetor do campo magnetico ∆A = 1 × 10−5Wb/m, para uma placa de alumınio com

f = 50Hz e d = 1, 352m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


vetor do campo magnetico ∆A = 1 × 10−5Wb/m, para uma placa de aco 100 com f =

50Hz e d = 1, 352m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19


vetor do campo magnetico ∆A = 1 × 10−5Wb/m, para uma placa de aco 500 com f =

50Hz e d = 1, 352m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20


vetor do campo magnetico ∆A = 1 × 10−5Wb/m, para uma placa com t = 1, 5mm,

f = 50Hz e d = 1, 352m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


vetor do campo magnetico ∆A = 1 × 10−5Wb/m, para uma placa com t = 3mm, f =

50Hz e d = 1, 352m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22



50Hz e d = 1, 352m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23



50Hz e d = 1, 352m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

xiii


vetor do campo magnetico ∆A = 1 × 10−5Wb/m, para uma placa com t = 1, 5mm,

f = 50Hz e d = 1, 352m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24



50Hz e d = 1, 352m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


vetor do campo magnetico ∆A = 1 × 10−5Wb/m, para uma placa de alumınio com

t = 3mm e d = 1, 352m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


vetor do campo magnetico ∆A = 1 × 10−5Wb/m, para uma placa de aco 100 com t =

3mm e d = 1, 352m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


vetor do campo magnetico ∆A = 1 × 10−5Wb/m, para uma placa de aco 500 com t =

3mm e d = 1, 352m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27


vetor do campo magnetico ∆A = 1 × 10−5Wb/m, para uma frequencia de 200Hz, com

t = 3mm e d = 1, 352m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.15 Modulo do potencial vetor do campo magnetico para o ponto y = −0, 75 com f = 50Hz e

t = 3mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.16 Modulo do potencial vetor do campo magnetico para o ponto y = −0, 75 com f = 50Hz e

t = 3mm, para todos os materiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.17 Resistencia propria do sistema solo/placa em funcao de√f , para t = 3mm. . . . . . . . 31

3.18 Resistencia mutua do sistema solo/placa em funcao de√f , para t = 3mm. . . . . . . . . 32

3.19 Indutancia propria do sistema solo/placa em funcao de√f , para t = 3mm. . . . . . . . . 32

3.20 Indutancia mutua do sistema solo/placa em funcao de√f , para t = 3mm. . . . . . . . . . 33

3.21 Resistencia propria do sistema solo/placa em funcao de t, para f = 50Hz. . . . . . . . . 34

3.22 Resistencia mutua do sistema solo/placa em funcao de t, para f = 50Hz. . . . . . . . . . 34

3.23 Indutancia propria do sistema solo/placa em funcao de t, para f = 50Hz. . . . . . . . . . 35

3.24 Indutancia mutua do sistema solo/placa em funcao de t, para f = 50Hz. . . . . . . . . . 35

3.25 Perdas totais do sistema em funcao de√f , para uma espessura, t, de 3mm. . . . . . . . 37

3.26 Perdas totais do sistema em funcao da espessura da placa, t, para f = 50Hz. . . . . . . 38

3.27 Resistencia modal para f = 50Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

xiv

Lista de Sımbolos

Ik Corrente que circula no condutor k

I Sistema de correntes trifasico

¯Zsmk Impedancia mutua

Zsp Impedancia propria

Z Matriz das impedancias longitudinais

δ Profundidade de penetracao

η Queda de tensao por unidade de comprimento

µ Permeabilidade magnetica

ω Frequencia angular

σ Condutividade eletrica

ε Permissividade

~J Densidade de corrente vectorial

a Frequencia espacial

h Profundidade a que estao enterrados os cabos

H20 Funcao de Hankel de 2otipo e de ordem 0

H21 Funcao de Hankel de 2otipo e de ordem 1

hr Largura dos intervalos utilizados no Metodo de Romberg

Ief Corrente eficaz

k Condutor k

L Indutancia

N Numero de pontos utilizado na IFFT

Nr Numero de intervalos utilizado no Metodo de Romberg

xv

R Resistencia

rc Raio dos cabos condutores

s Distancia entre os cabos

V Potencial escalar

x Coordenada cartesiana horizontal

y Coordenada cartesiana vertical

A Potencial Vetor do Campo Magnetico

B Campo de Inducao Magnetica

D Vetor deslocamento eletrico

E Campo Eletrico

H Vetor Campo Magnetico

J Densidade de corrente

xvi

1Introducao

Indice

1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Organizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1

1.1 Motivacao

Nos paıses desenvolvidos e durante as ultimas decadas, tem-se assistido a um forte crescimento dos

centros urbanos e industriais levando a uma maior procura de energia eletrica para satisfazer as neces-

sidades crescentes destes centros. Esta necessidade de energia traduz-se numa exposicao constante

de todas as pessoas a campos eletricos e magneticos.

Foram, portanto, realizados varios estudos que determinaram os possıveis efeitos adversos destes

campos [5]. Em 1979, surgiram suspeitas de que os campos eletromagneticos de extremamente baixa

frequencia (de 3Hz a 3kHz) poderiam ter efeitos cronicos que causassem um aumento da incidencia

de leucemia infantil linfoblastica aguda. Foram tambem associadas a estes campos, pela sociedade

cientıfica, varias patologias.

Em 1997, foi publicado um relatorio, de acordo com o referido em [5], que concluiu que nao existiam

provas de que os campos eletromagneticos, de extremamente baixa frequencia, provocassem leuce-

mia. No entanto, em 2005, no Reino Unido, foi realizado um estudo que reforcou a ideia de que a

proximidade das linhas de Muito Alta Tensao estaria associada a um aumento da incidencia de leuce-

mia infantil. Em 2007, a OMS1[5] concluiu que nao existe qualquer relacao entre os campos magneticos

e as doencas cardiovasculares ou o cancro da mama.

Embora exista falta de certeza por parte de estudos cientıficos relativamente aos efeitos adversos

da exposicao a campos magneticos, este assunto tornou-se de opiniao publica causando preocupacao

e controversia, levando varios paıses a fixar valores de referencia limite para a exposicao aos campos

magneticos. A recomendacao europeia e a portaria portuguesa, para a frequencia de 50Hz, estipulam

o valor de referencia dos campos magneticos em 100µT . Existem, ainda, correntes de opiniao que

defendem uma reducao ainda maior destes limites.[5]

Embora seja importante o estudo dos campos eletricos e magneticos, o campo eletrico e aquele

que tem menos importancia quando se trata de cabos subterraneos, uma vez que pode ser muito

atenuado pela presenca das bainhas nos cabos, ou seja, o seu valor a superfıcie e reduzido. No

entanto, o campo magnetico provocado pelos cabos subterraneos tem uma elevada profundidade de

penetracao, a frequencia da rede, o que significa que penetra na maioria dos objetos, inclusive pessoas.

Assim sendo, e como os cabos subterraneos tem uma importancia crucial no abastecimento das zonas

urbanas, torna-se extremamente importante o estudo de tecnicas que permitam mitigar este campo.

1.2 Objetivos

O principal objetivo desta tese e estudar uma das tecnicas de mitigacao do campo magnetico provocado

por cabos subterraneos. Esta tecnica consiste na colocacao de uma placa metalica entre a superfıcie

1Organizacao Mundial de Saude.

2

da terra e os cabos subterraneos. A placa pode ser constituıda por materiais condutores ou por mate-

riais ferromagneticos.

Para este estudo, construiu-se um programa de calculo que determina a configuracao do campo

magnetico, a matriz das impedancias longitudinais do sistema solo/placa e as perdas no sistema

solo/placa e na placa. O estudo e feito em funcao de varios parametros (frequencia de trabalho, mate-

rial por que e constituıda a placa de mitigacao, espessura da placa, profundidade a que esta enterrada)

por forma a concluir-se sobre a sua influencia na matriz das impedancias longitudinais, na configuracao

do campo magnetico e tambem nas perdas de transmissao.

O campo magnetico tem sido calculado ou por via analıtica [13], [7] ou por via numerica, nomeada-

mente com recurso ao metodo dos elementos finitos [10], [4].

Neste trabalho o calculo do campo magnetico e feito para solo homogeneo, placa homogenea de

largura infinita e em consequencia e possıvel a utilizacao de um metodo analıtico [9], [6].

1.3 Organizacao

Esta tese esta dividida em quatro capıtulos. No primeiro capıtulo faz-se uma introducao ao campo

magnetico e aos propositos desta tese.

No segundo capıtulo apresenta-se uma formulacao analıtica do problema e descreve-se o modelo

que se utilizou para a realizacao do programa de calculo. Isto quer dizer que sao formulados, analitica-

mente, o potencial vetor magnetico, a matriz das impedancias longitudinais e as perdas. Sao tambem

apresentados os metodos de resolucao utilizados para o calculo nao so dos integrais de Fourier como

tambem dos restantes integrais.

No capıtulo tres sao apresentados, analisados e discutidos os resultados obtidos. Finalmente, no

capıtulo quatro, apresentam-se as conclusoes que este trabalho permitiu tirar.

3

2Campo Magnetico - Formulacao

Analıtica

Indice

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Potencial vetor do campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Descricao do algoritmo utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Matriz das impedancias longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Metodo de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Perdas no sistema solo/placa e perdas na placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5

2.1 Introducao

Neste capıtulo apresenta-se uma formulacao analıtica para o calculo do potencial vetor do campo

magnetico. Determinam-se, tambem, a matriz das impedancias longitudinais e as perdas no sistema

solo/placa e na placa. Sao, portanto, descritos todos os passos e aproximacoes que foram utilizadas

no programa elaborado de forma a chegar-se a solucao pretendida.

O sistema considerado e o que se apresenta na Figura 2.1. Este sistema e constituıdo por tres

cabos subterraneos com uma configuracao em esteira horizontal, sendo percorridos por um sistema

trifasico de correntes i1, i2 e i3. No sistema considerado existem quatro regioes diferentes: a regiao

1 e a regiao 3 sao solo, com permeabilidades magneticas µ1 e µ3, respetivamente, e com condutivi-

dades eletricas σ1 e σ3, respetivamente; a regiao 2 corresponde a placa metalica constituıda por um

material de permeabilidade magnetica µ2 e condutividade eletrica σ2; finalmente, a regiao 4 e o ar com

permeabilidade magnetica µ0.

Neste modelo considera-se que os cabos subterraneos tem geometria cilındrica, sao infinitamente

longos com raio finito, estao instalados paralelamente a superfıcie da terra e sao constituıdos por ma-

teriais que se consideram condutores perfeitos.

A corrente total transportada por cada cabo e dada por:

ik(t) = Re[Ikejwt] (2.1)

Em que Ik1 e a amplitude complexa da corrente ik(t) que passa no cabo k, ω e a frequencia angular e

t e o instante de tempo.

De forma a ser possıvel uma solucao analıtica para este problema foram feitas as seguintes aproximacoes:

1. Cada regiao e linear e homogenea sendo as superfıcies de separacao planas e paralelas;

2. O campo magnetico depende apenas das coordenadas (x, y) (geometria axial);

3. O campo magnetico provem de um sistema de correntes trifasico, que circula em tres cabos

subterraneos iguais;

4. Os cabos subterraneos encontram-se enterrados a uma profundidade constante, h;

5. Assume-se a hipotese de regime quase-estacionario (∂D∂t ≈ 0).

Considerando o regime quase-estacionario nos meios condutores, desprezam-se os efeitos capa-

citivos em consequencia da aproximacao de bons condutores, σ wε. Portanto, as equacoes de

1O ındice k diz respeito ao cabo que se esta a considerar, o que significa que k=1, 2 e 3.

6

Figura 2.1: Esquema ilustrativo do sistema considerado, com tres cabos subterraneos enterrados auma profundidade constante, h, e com a discriminacao das diferentes zonas.

Maxwell assumem a seguinte forma: rotE = −∂B∂tdivB = 0

rotH ' J

(2.2)

Para meios lineares e isotropicos tem-se as seguintes equacoes de constituicao:

B = µH ; J = σE (2.3)

A determinacao do campo eletrico e magnetico pode ser feita a custa do potencial escalar, V , e do

potencial vetor, A:

B = rotA

E = −gradV − ∂A∂t

(2.4)

Depois de alguma manipulacao das equacoes (2.2) e (2.4) e impondo-se a condicao de Maxwell,

divA = 0, obtem-se:

LapA = −µJ = µσ ∂A∂t + µσgradV , para meios condutores;

LapA = 0 , para meios dieletricos.(2.5)

Tendo em conta as aproximacoes feitas e as equacoes dadas, e uma vez que as linhas de trans-

missao consideradas sao percorridas por correntes axiais, o campo magnetico e TM (transversal magnetico),

7

o que significa que se pode definir o potencial vetor do campo magnetico, A, atraves de:

~J = J ~uz ⇒ A = A ~uz, A = A(x, y) (2.6)

Pode, entao, definir-se a tensao por unidade de comprimento, η:

η = −dVdz

= constante, no interior dos condutores. (2.7)

Admitindo a terra como referencia, em meios condutores, e depois de alguma manipulacao as

equacoes de Maxwell dadas em (2.5), tomam a seguinte forma:

LapA− σµ∂A∂t = −σµη

J = ση − σ ∂A∂t(2.8)

2.2 Potencial vetor do campo magnetico

Nesta seccao sera apresentada a solucao analıtica do potencial vetor do campo magnetico, A, origi-

nado por cabos subterraneos [6].

De uma forma generica, a solucao do potencial vetor do campo magnetico, quando um cabo se

encontra enterrado em solo homogeneo e sem placa de mitigacao, e dada pela soma de duas compo-

nentes lineares:

A = Ik

∫ +∞

−∞(F (a)ey

√a2−q2s +

1

πe−|y+h|

√a2−q2sG0W0(a))ejaxda (2.9)

Em que:

G0 =µs

2πqsrc

1

H(2)1 (q1rc)

(2.10)

W0(a) =j√

a2 − q2s, y > −h (2.11)

qs =√ωµsσse

−j π4 (2.12)

A variavel a representa a frequencia espacial, H21 e uma funcao de Hankel de 2otipo e ordem 1, e µs e

σs sao, respetivamente, a permeabilidade magnetica e condutividade eletrica do solo.

A funcao F (a) e determinada impondo as condicoes de fronteira na superfıcie de separacao entre

o solo e o ar. A sua deducao encontra-se em [6].

Em seguida sao discriminadas as solucoes do potencial vetor do campo magnetico para as diferen-

tes regioes.

8

Regiao 1

A forma da solucao do potencial vetor do campo magnetico, nesta regiao, tem em conta nao so a

presenca da fronteira solo/placa, mas tambem a presenca da fronteira circular solo/cabo, o que da ori-

gem a:

A1 = Ik

∫ +∞

−∞[F1(a)e(y+d+

t2 )√a2−q21 +

1

πe−|y+h|

√a2−q21G0W0(a)]ejaxda (2.13)

Em que:

q1 =√ωµ1σ1e

−j π4 (2.14)

Neste caso, G0 eW0 definem-se de forma identica a das equacoes (2.10) e (2.11) mas considerando

q1 em vez de qs, µ1 em vez de µs e σ1 em vez de σs.

Regiao 2

A forma do potencial vetor do campo magnetico e analoga a da regiao 1, mas desta vez considera-se a

fronteira placa/solo, o que leva a:

A2 = Ik

∫ +∞

−∞[D1(a)e(y+d−

t2 )√a2−q22 +D2(a)e−(y+d−

t2 )√a2−q22 ]ejaxda (2.15)

Em que:

q2 =

√2

δe−j

π4 (2.16)

δ =

√2

ωµ2σ2(2.17)

Sendo que δ e a profundidade de penetracao.

Regiao 3

Nesta regiao, o potencial vetor do campo magnetico regiao tem em conta a fronteira solo/ar:

A3 = Ik

∫ +∞

−∞[R1(a)ey

√a2−q23 +R2(a)e−y

√a2−q23 ]ejaxda (2.18)

Em que:

q3 =√ωµ3σ3e

−j π4 (2.19)

Regiao 4

A solucao do potencial vetor do campo magnetico nesta regiao e dada por:

A4 = Ik

∫ +∞

−∞U(a)e−|a|yejaxda (2.20)

9

As funcoes F1(a), D1(a), D2(a), R1(a), R2(a) e U(a) sao determinadas impondo as condicoes de

fronteira em cada superfıcie de separacao de duas regioes diferentes. Na fronteira entre dois meios

ha que impor a continuidade da componente tangencial do campo magnetico e da componente normal

do campo de inducao magnetica, esta ultima correspondendo a continuidade do potencial vetor, ou seja:

− 1µk

∂Ak∂y = − 1

µk+1

∂Ak+1

∂y

Ak = Ak+1

(2.21)

com k = 1, 2, 3.

A aplicacao das condicoes de fronteira conduz as expressoes apresentadas no Anexo A. A deducao

pormenorizada encontra-se apresentada na referencia [6].

2.2.1 Descricao do algoritmo utilizado

De forma a ser possıvel o calculo do potencial vetor do campo magnetico nas varias regioes, recorreu-

se a funcao IFFT (InverseFastFourierTransform) do Matlab, o que permitira resolver os integrais

de Fourier (2.13), (2.15), (2.18) e (2.20). Para tal e necessario definir algumas importantes relacoes:

xmax =2πN

4amax(2.22)

∆a =2amaxN

(2.23)

∆x =2xmaxN

(2.24)

Em que: N e o numero de pontos que se pretende amostrar, podendo ser menor ou maior conso-

ante a discretizacao que se pretende, xmax e o alcance maximo da coordenada x depois de aplicada a

IFFT , amax e o valor maximo da frequencia espacial que, neste caso, sera imposto para a resolucao

dos integrais, ∆a e a discretizacao do Integral de Fourier e ∆x e a discretizacao da coordenada carte-

siana x.

Posto isto, os integrais a resolver, com recurso a funcao IFFT e impondo amax como limite, terao a

seguinte forma:

A1 = Ik

∫ +amax

−amax[F1(a)e(y+d+

t2 )√a2−q21 +

1

πe−|y+h|

√a2−q21G0W0(a)]ejaxda (2.25)

A2 = Ik

∫ +amax

−amax[D1(a)e(y+d−

t2 )√a2−q22 +D2(a)e−(y+d−

t2 )√a2−q22 ]ejaxda (2.26)

A3 = Ik

∫ +amax

−amax[R1(a)ey

√a2−q23 +R2(a)e−y

√a2−q23 ]ejaxda (2.27)

A4 = Ik

∫ +amax

−amaxU(a)e−|a|yejaxda (2.28)

10

Neste caso, nao tem interesse um grande alcance de xmax uma vez que o potencial vetor do campo

magnetico longe dos cabos e pouco significativo. Assim, um aumento do valor de amax levara a uma

melhor discretizacao, mesmo que o alcance xmax seja menor. Foram fixados os valores de amax e N .

O calculo dos Integrais de Fourier e feito para cada cabo, separadamente, e para todas as regioes

consideradas, tambem separadamente, obtendo-se a matriz do potencial vetor, A, de cada cabo. Em

seguida, faz-se a sobreposicao das tres matrizes A obtendo-se o potencial vetor do campo magnetico

total, resultante do sistema dos tres cabos.

2.3 Matriz das impedancias longitudinais

Para a obtencao da contribuicao do sistema solo/placa na matriz das impedancias longitudinais considera-

se, novamente, o sistema apresentado na Figura 2.1, sendo feitas as seguintes aproximacoes:

1. A placa esta em contacto com o solo;

2. Considera-se que os condutores dos cabos sao perfeitos;

3. Os tres cabos sao paralelos entre si e paralelos a superfıcie da terra;

4. O sistema e considerado homogeneo segundo a coordenada z.

A queda de tensao por unidade de comprimento dos cabos, dada pela expressao (2.7), e dada

tambem por:

(η) = [Z](I) (2.29)

Uma vez que o sistema trifasico considerado e constituıdo por tres cabos condutores, a expresssao

(2.29) toma a seguinte forma:

η1

η2

η3

=

Z11 Z12 Z13

Z21 Z22 Z23

Z31 Z32 Z33

I1

I2

I3

(2.30)

Os elementos da diagonal principal da matriz das impedancias representam as impedancias proprias

de cada cabo, o que quer dizer que, por exemplo, a impedancia propria do cabo 1 e dada por Z11. Os

elementos que nao pertencem a diagonal principal representam as impedancias mutuas entre os ca-

bos traduzindo a sua influencia uns nos outros. Assim, por exemplo, o elemento Z12 representa a

impedancia mutua entre os cabos 1 e 2.

11

Cada elemento da matriz das impedancias longitudinais, [Z], e constituıdo por uma parte real e por

uma parte imaginaria, tendo a seguinte forma:

Zij = Rij + jwLij (2.31)

Em que Rij e a resistencia entre o cabo i e o cabo j, Lij e a indutancia entre o cabo i e o cabo j e ω e

a frequencia angular.

Uma vez que todos os cabos sao iguais, ou seja, Z11=Z22=Z33, a impedancia propria de cada cabo

devido a presenca da terra e dada por [11]:

Zsp = − q21µ1σ1

Intp −q1H

20 (rcq1)

2πσ1rcH21 (q1rc)

(2.32)

Com:

Intp =

∫ +∞

−∞F1(a)e(−h+d+

t2 )√a2−q21da (2.33)

Em que: H20 e uma funcao de Hankel de 2o tipo e ordem zero e H2

1 e uma funcao de Hankel de 2o tipo

e de ordem 1.

Os elementos que nao pertencem a diagonal principal da matriz Z representam a impedancia mutua

entre os cabos e sao dados por [11]:¯Zsmk = jwIntmk (2.34)

Com:

Intmk =

∫ +∞

−∞[F1(a)e(−h+d+

t2 )√a2−q21 +

1

πG0W0(a)]ejkasda (2.35)

Em que k = 1 para a impedancia mutua entre os cabos 1 e 2 e 2 e 3, k = 2 para a impedancia mutua

entre os cabos 1 e 3, s representa a distancia entre o cabo 1 e o eixo xx. O cabo 3 tambem se encontra

a mesma distancia do eixo xx.

Uma vez que os cabos nao se encontram todos a mesma distancia, a sua influencia uns nos outros

e diferente, o que significa que a simetria das impedancias longitudinais e a seguinte:

• Z12 = Z21 = Z23 = Z32 = ¯Zsm1;

• Z13 = Z31 = ¯Zsm2.

2.3.1 Metodo de Romberg

Com o objectivo de se realizar o calculo numerico de alguns integrais, necessarios para o desenvolvi-

mento do programa, foi utilizado o Metodo de Romberg. Os integrais a calcular apresentam a seguinte

forma generica:

I =

∫ b

a

f(x)dx (2.36)

12

Em que f(x) e a funcao a integrar e a e b sao os limites de integracao, Figura 2.2.

Figura 2.2: Exemplo de uma funcao generica f(x), a integrar, onde se apresentam os limites deintegracao a e b e os intervalos a considerar de largura hr.

Este metodo numerico consiste em obter estimativas do integral I tendo como ponto de partida a

regra dos trapezios, que sera aplicada varias vezes com sub-intervalos de larguras diferentes.

A regra dos trapezios permite calcular a area total abaixo da curva a integrar, somando a area

de varios trapezios que se encontram divididos em Nr sub-intervalos, cada vez mais pequenos, de

comprimento hr, tal como identificado na Figura 2.2. Assim, ter-se-a:

• Nr = 2m−1;

• hr = b−aN .

A estimativa obtida pelo processo apresentado acima, da origem a sucessao dos termos obtidos que

tem a seguinte forma:

T(1,1)

T(2,1) T(2,2)

...

T(m,1) T(m,2) T(m,3) T(m,m)

Os valores dos termos da primeira coluna sao dados a partir da regra dos trapezios:

T (m, 1) = hr

[1

2f(a) +

1

2f(b) + hr

Nr−1∑kr=1

f(a+ krhr)

](2.37)

Os restantes termos serao calculados utilizando uma relacao de recorrencia que se apresenta, dada

por (2.38).

T (m, j + 1) =4jT (m, j)− T (m− 1, j)

4j − 1(2.38)

O processo numerico sera efetuado linha a linha, e o criterio de paragem sera quando o erro pre-

tendido for alcancado, sendo o termo final T(m,m) o valor do integral pretendido.

13

2.4 Perdas no sistema solo/placa e perdas na placa

Nesta seccao sao apresentadas as perdas nao so no sistema solo/placa, mas tambem na placa. As

perdas sao calculadas atraves de dois processos diferentes. O primeiro e atraves da matriz das im-

pedancias longitudinais e o segundo e atraves do potencial vetor do campo magnetico nas diferentes

regioes.

Recorrendo a matriz das impedancias longitudinais para o calculo das perdas do sistema solo/placa

chega-se a:

P =1

2Re

(η)T (I)∗

=1

2Re

(I)T [Z](I)∗

(2.39)

Com:

Z =

Z11 Z12 Z13

Z21 Z22 Z23

Z31 Z32 Z33

, I =

I1

I2

I3

e I∗ =

I∗1

I∗2

I∗3

Para o calculo das perdas atraves do segundo metodo tem-se em conta a expressao (2.8) conside-

rando o sistema solo/placa como referencia, η = 0:

J = −σjwA (2.40)

Assim, as perdas na zona da placa sao dadas por:

Pplaca =1

2

1

σ2

∫Vplaca

|J |2dV (2.41)

Para as regioes 1 e 3 as perdas sao, tambem, dadas pela expressao acima, variando a condutivi-

dade eletrica da zona e o volume de integracao considerado para cada zona. Tem-se, portanto, uma

expressao para o total das perdas do sistema solo/placa:

PTotais =

3∑j=1

Pzonaj =

3∑j=1

1

σj

∫Vj

|Jj |2dVj (2.42)

14

3Analise e Discussao de Resultados

Indice

3.1 Caracterizacao do caso base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Potencial vetor do campo magnetico sem placa de mitigacao . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Potencial vetor do campo magnetico com placa de mitigacao . . . . . . . . . . . . 17

3.3.1 Influencia da espessura da placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.2 Influencia do material da placa de mitigacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.3 Influencia da frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.4 Influencia da profundidade a que esta enterrada a placa de mitigacao . . . . . . 29

3.4 Matriz das Impedancias Longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.1 Sem placa de mitigacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.2 Com placa de mitigacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.3 Variacao das Impedancias Longitudinais com a frequencia . . . . . . . . . . . . 31

3.4.4 Variacao das impedancias longitudinais com a espessura da placa . . . . . . . 33

3.5 Perdas no Sistema Solo/Placa e na Placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

15

3.1 Caracterizacao do caso base

Neste capıtulo e feita a analise e discussao dos resultados obtidos utilizando o modelo apresentado no

Capıtulo 2. O modelo que se utiliza ja foi validado [6]. Para a obtencao dos resultados considerou-se o

sistema que se apresenta na Figura 2.1, do Capıtulo 2, e utilizam-se os seguintes parametros:

• rc = 7, 4cm;

• h = 1, 5m;

• s = 21, 8cm;

• µ0 = µ1 = µ3 = 4π × 10−7H/m;

• µ2 = µ0(Alumınio) ou µ2 = 100µ0 (Aco 100) ou µ2 = 500µ0 (Aco 500);

• σ1 = σ3 = 0, 01Sm−1;

• σ2 = 3, 5× 107Sm−1(Alumınio) ou σ2 = 1× 107Sm−1(Aco);

• d = 1, 352m;

• Ik =√

2Iefe−j(k−1) 2π

3 , com k = 1, 2 e 3 e Ief = 1025A.

Nas seccoes seguintes apresentam-se os resultados obtidos para as linhas do campo de inducao

magnetica, para as impedancias longitudinais do sistema e para as perdas no sistema solo/placa e na

placa, fazendo variar a frequencia, f , e a espessura da placa de mitigacao, t. Apresenta-se tambem

a variacao do modulo do potencial vetor do campo magnetico em funcao da profundidade a que esta

enterrada a placa de mitigacao.

3.2 Potencial vetor do campo magnetico sem placa de mitigacao

Nesta seccao apresenta-se o comportamento do potencial vetor do campo magnetico sem placa de

mitigacao, de forma a que se torne evidente os efeitos que a placa de mitigacao tem na configuracao do

campo magnetico. Assim sendo, considera-se a regiao 1 o solo, com permeabilidade magnetica µ1 e

condutividade magnetica σ1 e a regiao 2 o ar, com permeabilidade magnetica µ0. A solucao para o solo

foi a que se apresenta na equacao (2.9), do capıtulo 2, e estudada em [13]. Na figura 3.1 apresenta-se

as linhas do campo de inducao magnetica sem placa de mitigacao.

16

Figura 3.1: Linhas do campo de inducao magnetica correspondentes a uma variacao do potencial vetordo campo magnetico ∆A = 1× 10−5Wb/m com Amax = 4, 1571× 10−4Wb/m, para uma frequencia de50Hz.

3.3 Potencial vetor do campo magnetico com placa de mitigacao

3.3.1 Influencia da espessura da placa

Nesta seccao estuda-se o comportamento do potencial vetor do campo magnetico quando se aumenta

a espessura da placa de mitigacao, t, e para placas de diferentes materiais. Os materiais utilizados sao

os apresentados na introducao do caso base, no inıcio deste capıtulo. Neste caso, a frequencia e fixa

e igual a 50Hz e a profundidade a que esta enterrada a placa e tambem, fixa e igual a 1, 352m.

Nas figuras 3.2, 3.3 e 3.4 representam-se as linhas equipotenciais do potencial vetor, com o intuito

de ilustrar o efeito da mitigacao do campo magnetico atraves da configuracao do campo de inducao

magnetica no instante em que a corrente na fase 1 e maxima. Esta analise e feita para tres espessuras

diferentes (3, 5 e 8mm) e para tres placa diferentes (tres materiais diferentes). E, tambem, importante

referir que sera indicado o valor de Amax em cada figura, que corresponde ao valor maximo da parte

real do potencial vetor.

17

(a) Placa de mitigacao com t = 3mm e Amax = 2, 9306× 10−4Wb/m.

(b) Placa de mitigacao com t = 5mm e Amax = 2, 9412× 10−4Wb/m.

(c) Placa de mitigacao com t = 8mm e Amax = 2, 9506× 10−4Wb/m.

Figura 3.2: Linhas do campo de inducao magnetica correspondentes a uma variacao do potencial vetordo campo magnetico ∆A = 1× 10−5Wb/m, para uma placa de alumınio com f = 50Hz e d = 1, 352m.

18




Figura 3.3: Linhas do campo de inducao magnetica correspondentes a uma variacao do potencial vetordo campo magnetico ∆A = 1× 10−5Wb/m, para uma placa de aco 100 com f = 50Hz e d = 1, 352m.

19




Figura 3.4: Linhas do campo de inducao magnetica correspondentes a uma variacao do potencial vetordo campo magnetico ∆A = 1× 10−5Wb/m, para uma placa de aco 500 com f = 50Hz e d = 1, 352m.

20

Como se pode verificar, analisando as figuras 3.2, 3.3 e 3.4, um aumento da espessura da placa

leva a uma maior mitigacao do campo magnetico, qualquer que seja o material considerado. Este

comportamento era o esperado, uma vez que o campo fica cada vez mais confinado a regiao da placa

com o aumento da sua espessura. Pode tambem verificar-se que, em geral, o material que melhor

mitiga o campo magnetico e o aco 500, pois para as espessuras da placa apresentadas e determinante

o valor da profundidade de penetracao deste material, que e menor do que nos outros materiais. O

valor da profundidade de penetracao dos diferentes materiais apresenta-se na tabela 3.1.

Tabela 3.1: Valores da profundidade de penetracao na placa para uma frequencia de 50Hz.Alumınio Aco 100 Aco 500

δ (mm) 12 2.3 1

3.3.2 Influencia do material da placa de mitigacao

Os estudos apresentados em [6] referem que comparando dois materiais diferentes, o efeito da mitigacao

depende da frequencia e da espessura da placa. Por exemplo, considerando f = 50Hz verifica-se que:

1. O aco 500 e mais eficaz que o alumınio para uma espessura da placa superior a 2, 4mm;

2. O aco 100 e mais eficaz que o alumınio para uma espessura da placa superior a 7mm.

(a) Placa de alumınio com Amax = 2, 9485× 10−4Wb/m.

(b) Placa de aco 500 com Amax = 3, 9546× 10−4Wb/m.

Figura 3.5: Linhas do campo de inducao magnetica correspondentes a uma variacao do potencial vetordo campo magnetico ∆A = 1× 10−5Wb/m, para uma placa com t = 1, 5mm, f = 50Hz e d = 1, 352m.

21

O comportamento do campo de inducao magnetica relativo ao estudo dos pontos mencionados an-

teriormente apresenta-se nas figuras 3.5, 3.6, 3.7 e 3.8.

Uma vez que o efeito da mitigacao depende da permeabilidade magnetica e da relacao entre a espes-



Figura 3.6: Linhas do campo de inducao magnetica correspondentes a uma variacao do potencial vetordo campo magnetico ∆A = 1× 10−5Wb/m, para uma placa com t = 3mm, f = 50Hz e d = 1, 352m.

sura e a profundidade de penetracao e interessante avaliar-se o comportamento das linhas do campo

de inducao magnetica no interior da placa metalica relacionando-o com estes parametros. Assim, nas

figuras 3.9 e 3.10 apresentam-se as linhas do campo de inducao magnetica no interior da placa de

mitigacao para as espessuras de 1, 5mm e 3mm, respetivamente, e para o alumınio e o aco 500.

Para a analise das figuras 3.9 e 3.10 e importante ter em conta o valor da profundidade de penetracao

dos diferentes materiais, para uma frequencia de 50Hz. Estes valores estao indicados na tabela 3.1.

Como se observa a partir da tabela 3.1, uma maior permeabilidade magnetica corresponde a um

menor valor da profundidade de penetracao, para uma frequencia constante. Neste caso, a diferenca

entre as condutividades eletricas do material e pouco significativa.

A analise das figuras 3.5 e 3.6 juntamente com as figuras 3.9 e 3.10 permite confirmar as conclusoes

referidas em [6] e enumeradas no inıcio desta seccao. Como se pode observar da figura 3.9 (b), para

a espessura t = 1, 5mm, a placa de aco tende a intensificar o campo devido a elevada permeabilidade

do material, sendo por isso menos eficiente na sua mitigacao a superfıcie da terra.

Relativamente ao comportamento do campo de inducao magnetica ao atravessar uma placa de aco

500, que se apresenta nas figuras 3.9 (b) e 3.10 (b), e possıvel notar o efeito pelicular. Para espessuras

da placa superiores a da profundidade de penetracao do material em questao, o campo tende a ficar

22




(a) Placa de alumınio com Amax = 2, 9506× 104Wb/m.



23



Figura 3.9: Linhas do campo de inducao magnetica correspondentes a uma variacao do potencial vetordo campo magnetico ∆A = 1× 10−5Wb/m, para uma placa com t = 1, 5mm, f = 50Hz e d = 1, 352m.




confinado a uma espessura igual a sua profundidade de penetracao. Este efeito e mais evidente na

figura 3.9 (b) uma vez que a espessura da placa e bastante maior do que a sua profundidade de

penetracao. No caso dos materiais que apresentam uma elevada permeabilidade magnetica, que e o

caso do aco 500 e do aco 100, o campo magnetico originado pelas correntes que circulam nos cabos

subterraneos, ao chegar a regiao da placa metalica, e desviado para o seu interior fazendo com que o

campo a sua superfıcie seja reduzido.

Assim, com a analise detalhada do que acontece no interior da placa e possıvel, mais uma vez e

para o primeiro ponto de interesse mencionado anteriormente, concluir que o aco 500 mitiga mais o

campo magnetico, do que o alumınio, para espessuras superiores a 2, 4mm.

3.3.3 Influencia da frequencia

Nesta seccao avalia-se o efeito da frequencia na mitigacao do campo magnetico. Para tal, apresentam-

se as figuras 3.11, 3.12 e 3.13, mantendo a espessura da placa de mitigacao fixa.

24

(a) f = 50Hz e Amax = 2, 9306× 10−4Wb/m.

(b) f = 500Hz e Amax = 2, 9882× 10−4Wb/m.

(c) f = 5000Hz e Amax = 2, 9944× 10−4Wb/m.

Figura 3.11: Linhas do campo de inducao magnetica correspondentes a uma variacao do potencial vetordo campo magnetico ∆A = 1× 10−5Wb/m, para uma placa de alumınio com t = 3mm e d = 1, 352m.

25

(a) f = 50Hz e Amax = 3, 5020× 10−4Wb/m.

(b) f = 500Hz e Amax = 3, 1744× 10−4Wb/m.

(c) f = 5000Hz e Amax = 3, 0469× 10−4Wb/m.

Figura 3.12: Linhas do campo de inducao magnetica correspondentes a uma variacao do potencial vetordo campo magnetico ∆A = 1× 10−5Wb/m, para uma placa de aco 100 com t = 3mm e d = 1, 352m.

26

(a) Frequencia igual a 50Hz com Amax = 3, 9590× 10−4Wb/m.

(b) Frequencia igual a 500Hz com Amax = 3, 3915× 10−4Wb/m.

(c) Frequencia igual a 5000Hz com Amax = 3, 1197× 10−4Wb/m.

Figura 3.13: Linhas do campo de inducao magnetica correspondentes a uma variacao do potencial vetordo campo magnetico ∆A = 1× 10−5Wb/m, para uma placa de aco 500 com t = 3mm e d = 1, 352m.

27

Analisando as figuras anteriores e possıvel observar que o campo de inducao magnetica se com-

porta da mesma forma, qualquer que seja o material, quando ha um aumento da frequencia. Isto quer

dizer que, a um aumento da frequencia corresponde uma diminuicao da profundidade de penetracao,

em todos os materiais, uma vez que esta e inversamente proporcional a√f . O campo magnetico ficara

entao confinado a uma camada, no interior da placa de mitigacao, que diminui com o o aumento da

frequencia permitindo uma melhor mitigacao do mesmo.

O mesmo fenomeno referido na seccao 3.3.2 para a frequencia de 50Hz, com espessura da placa

variavel, pode ser observado para a espessura de 3mm para frequencia variavel, na comparacao entre

o alumınio e o aco 100 e entre o alumınio e o aco 500. No que se refere a comparacao entre o alumınio

e o aco 100 a frequencia a que se da a alteracao de comportamento e de 300Hz[6]. Assim, para

avaliar este comportamento apresenta-se a figura 3.14 que representa as linhas do campo de inducao

magnetica para uma frequencia de 200 Hz, considerando a placa de alumınio (figura 3.14 (a)) e a placa

de aco 100 (figura 3.14 (b)).



Figura 3.14: Linhas do campo de inducao magnetica correspondentes a uma variacao do potencialvetor do campo magnetico ∆A = 1 × 10−5Wb/m, para uma frequencia de 200Hz, com t = 3mm ed = 1, 352m.

28

Os resultados apresentados na figura 3.14 podem ser comparados com os obtidos para uma frequencia

de 500Hz, ilustrados nas figuras 3.11(b) e 3.12(b) para o alumınio e o aco 100, respetivamente. Pode

verificar-se que, tal como o esperado, para uma frequencia de 200Hz a placa de alumınio mitiga mais o

campo magnetico do que a placa de aco 100, mas para uma frequencia de 500Hz verifica-se o contrario,

ou seja o aco 100 passa a ser mais eficaz do que o alumınio.

3.3.4 Influencia da profundidade a que esta enterrada a placa de mitigacao

O parametro que se varia nesta seccao e a profundidade a que esta enterrada a placa de mitigacao, d.

Para ilustrar a influencia desta variacao apresenta-se a figura 3.15, em que se apresenta o modulo do

potencial vetor do campo magnetico, A, para as diferentes placas.

(a) Placa de alumınio.

(b) Placa de aco 100.

(c) Placa de aco 500.

Figura 3.15: Modulo do potencial vetor do campo magnetico para o ponto y = −0, 75 com f = 50Hz et = 3mm.

29

Como se pode observar, na figura 3.15, os modulos do potencial vetor para d = 1.352m e d = 1m

sobrepoem-se em qualquer um dos materiais considerados.

Na figura 3.16 apresentam-se os modulos do potencial vetor do campo magnetico no ponto y =

−0.75 com tres placas diferentes e para d = 1, 352m. Mais uma vez, e possıvel verificar que para uma

frequencia de 50Hz com t = 3mm o aco 500 e o material mais eficaz na mitigacao do campo magnetico.

Figura 3.16: Modulo do potencial vetor do campo magnetico para o ponto y = −0, 75 com f = 50Hz et = 3mm, para todos os materiais.

3.4 Matriz das Impedancias Longitudinais

Nesta seccao sao apresentados os resultados obtidos relativos as impedancias longitudinais ao variar

a frequencia, f , e a espessura da placa de mitigacao, t.

3.4.1 Sem placa de mitigacao

A matriz das impedancias de um sistema em que nao existe placa de mitigacao, frequencia de 50Hz e

dada pela matriz 3.1.

[Z] =

0, 0495 + 0, 5930i 0, 0495 + 0, 5246i 0, 0495 + 0, 4812i

0, 0495 + 0, 5246i 0, 0495 + 0, 5930i 0, 0495 + 0, 5246i

0, 0495 + 0, 4812i 0, 0495 + 0, 5246i 0, 0495 + 0, 5930i

10−3Ω/m (3.1)

Como se pode verificar, a matriz (3.1) apresenta a simetria que se mencionou no capıtulo 2. Os

elementos da diagonal principal da matriz sao todos iguais, como esperado, uma vez que os cabos

estao enterrados a mesma profundidade e sao todos iguais. Os elementos nao diagonais apresentam,

tambem, a simetria esperada sendo que, por exemplo, Z12 = Z21 e Z13 = Z31, como esperado.

30

3.4.2 Com placa de mitigacao

A matriz (3.2) apresenta o valor das impedancias para uma frequencia de 50Hz e uma espessura da

placa de mitigacao igual a 3mm, constituıda por alumınio.

[Z] =

0, 0987 + 0, 8839i 0, 0671 + 0, 3257i 0, 0332 + 0, 1130i

0, 0671 + 0, 3257i 0, 0987 + 0, 8893i 0, 0671 + 0, 3257i

0, 0332 + 0, 1130i 0, 0671 + 0, 3257i 0, 0987 + 0, 8839i

10−4Ω/m (3.2)

Como se pode verificar, os elementos da diagonal principal sao identicos, o que significa que os

cabos tem todos a mesma impedancia propria, tal como esperado pois estao enterrados a mesma

distancia da placa. Os elementos fora da diagonal principal apresentam a simetria que era suposta. O

parametro que faz com que este valor se altere e a distancia a que os cabos se encontram uns dos

outros. Assim sendo, verifica-se que a impedancia mutua entre os cabos 1 e 2 nao e a mesma do que

a dos cabos 1 e 3, uma vez que este ultimo grupo de cabos esta separado por uma distancia maior do

que os primeiros.

Os resultados que se apresentam nas seccoes 3.4.3 e 3.4.4 referem-se a impedancia propria de um

dos cabos, e a impedancia mutua apresentada refere-se ao valor medio das impedancias mutuas.

3.4.3 Variacao das Impedancias Longitudinais com a frequencia

Nas figuras 3.17 e 3.18 estao ilustradas a resistencia propria e a resistencia mutua do sistema, respeti-

vamente, em funcao de√f .

Figura 3.17: Resistencia propria do sistema solo/placa em funcao de√f , para t = 3mm.

Ao analisar a figura 3.17 verifica-se que um aumento de√f leva a um aumento do valor da re-

sistencia propria do sistema. Este aumento da-se pois a profundidade de penetracao diminui com

31

Figura 3.18: Resistencia mutua do sistema solo/placa em funcao de√f , para t = 3mm.

o aumento da frequencia levando a que o campo esteja confinado a uma area cada vez menor. E

possıvel observar-se, tambem, que os valores da resistencia propria sao diferentes para os tres materi-

ais, sendo que os que apresentam valores mais elevados sao os que tem uma menor profundidade de

penetracao, que e o caso do aco 500. O alumınio apresenta uma maior profundidade de penetracao e

por isso, os valores das resistencias proprias sao mais baixos. Os resultados estao, portanto, de acordo

com o esperado.

Quanto a resistencia mutua do sistema, figura 3.18, observa-se um comportamento identico ao

registado para a resistencia propria, ou seja, a um aumento de√f corresponde um aumento da re-

sistencia mutua, sendo o valor desta tanto maior quanto menor for profundidade de penetracao do

material.

Figura 3.19: Indutancia propria do sistema solo/placa em funcao de√f , para t = 3mm.

32

Figura 3.20: Indutancia mutua do sistema solo/placa em funcao de√f , para t = 3mm.

Nas figuras 3.19 e 3.20 apresenta-se a variacao das indutancias propria e mutua do sistema, respe-

tivamente, em funcao de√f . Verifica-se que as duas indutancias apresentam a mesma evolucao, dimi-

nuindo com√f , tal como o esperado. Este comportamento e provocado pelo o aumento da frequencia

que leva a que o campo magnetico seja “expulso” do interior do condutor, ficando confinado a uma

camada superficial, com a espessura dependente da profundidade de penetracao, δ. Uma vez que a

energia magnetica armazenada tende para zero com o aumento da frequencia, a indutancia interna

da placa tambem tende para zero com o aumento da mesma, levando os valores das indutancias a

estabilizar uma vez que estes dependem, tambem, de uma indutancia externa.

3.4.4 Variacao das impedancias longitudinais com a espessura da placa

Nas figuras 3.21 e 3.22 estao representadas a evolucao da resistencia propria e da resistencia mutua,

respetivamente, com o aumento da espessura da placa metalica, t.

Para se analisar a evolucao das resistencias com a espessura e importante ter em conta as profun-

didades de penetracao, δ, para os tres materiais, que se encontram na tabela 3.1.

Pela analise das figuras observa-se que as resistencias, propria e mutua, quando a placa de mitigacao

e de alumınio apresentam menores valores do que quando a placa de mitigacao e feita de qualquer um

dos acos. Este comportamento deve-se ao facto da profundidade de penetracao do alumınio ser maior

do que a profundidade de penetracao dos outros materiais. Como a espessura da placa nunca e maior

do que a profundidade de penetracao, quando a placa e feita de alumınio, os valores das resistencias

relativas a este material estao sempre a diminuir, com o aumento da seccao pela qual o campo passa.

Nos outros materiais este comportamento tambem se verifica, no entanto, quando a espessura

da placa iguala a profundidade de penetracao do material em questao, a resistencia deixa de dimi-

nuir, entrando numa zona em que o seu valor sobe ligeiramente. Esta segunda zona, em que o valor

33

Figura 3.21: Resistencia propria do sistema solo/placa em funcao de t, para f = 50Hz.

Figura 3.22: Resistencia mutua do sistema solo/placa em funcao de t, para f = 50Hz.

da resistencia aumenta, aumenta com t/δ devido ao facto da densidade de corrente, J , nao ter uma

distribuicao uniforme na placa. Posto isto, entra-se numa zona em que os valores das resistencias, do

aco 100 e do aco 500, estabilizam uma vez que o campo magnetico penetra apenas uma espessura

igual a profundidade de penetracao.

Nas figuras 3.23 e 3.24 apresentam-se as evolucoes dos valores das indutancias, propria e mutua,

respetivamente, com o aumento da espessura da placa metalica.

O comportamento das indutancias do sistema, proprias e mutuas, e muito semelhante, uma vez sao

dependentes das caracterısticas do solo e por isso da placa de mitigacao.

Numa primeira zona e em todos os materiais, o valor das indutancias tende a diminuir com o au-

mento da espessura. Nesta zona, o campo esta cada vez mais confinado na regiao inferior a placa, com

o aumento da espessura, aumentando a relacao t/δ. A zona em que o valor das indutancias aumenta

34

Figura 3.23: Indutancia propria do sistema solo/placa em funcao de t, para f = 50Hz.

Figura 3.24: Indutancia mutua do sistema solo/placa em funcao de t, para f = 50Hz.

ligeiramente pode ser explicada pela contribuicao da permeabilidade da placa na distribuicao do campo

B pela placa e pelo condutor terra.

Quando a espessura da placa ultrapassa a profundidade de penetracao, o campo deixa de penetrar

totalmente a placa e passa apenas a penetrar ate uma espessura dependente da profundidade de

penetracao. Assim, a indutancia passa a ter um valor constante, uma vez que regiao em que o campo

penetra nao se altera com o aumento da espessura.

Pela analise das figuras e tambem possıvel concluir que o material que apresenta maiores valores

de indutancia e o aco 500 pois o valor da indutancia aumenta com permeabilidade magnetica do mate-

rial.

35

3.5 Perdas no Sistema Solo/Placa e na Placa

Nesta seccao sao analisadas as perdas, no sistema solo/placa de mitigacao e na placa de mitigacao,

que variam em funcao da frequencia, f , e da espessura da placa, t, tal como foi feito anteriormente.

Como se mencionou no capıtulo 2, as perdas foram calculadas atraves de dois metodos:

• Metodo 1: atraves da matriz das impedancias longitudinais, dadas pela equacao (2.39) do capıtulo

2;

• Metodo 2: atraves da densidade de corrente, J , dadas pela equacao (2.42) do capıtulo 2.

Nas tabelas 3.2 e 3.3 apresentam-se os resultados das perdas totais do sistema, calculadas atraves

dos dois metodos acima mencionados. As perdas estao em funcao da frequencia, f , e da espessura

da placa de mitigacao, d.

Tabela 3.2: Perdas totais do sistema para t = 3mm.Metodo 1: Ptotais[W/m] Metodo 2: Ptotais[W/m]f = 50Hz f = 500Hz f = 50Hz f = 500Hz

Alumınio 13,5106 15,6083 13,5114 15,6309Aco 100 25,1828 146,2747 25,3232 146,3875Aco 500 24,0576 215,6281 24,4156 225,9602

Tabela 3.3: Perdas totais do sistema para f = 50Hz.Metodo 1:Ptotais[W/m] Metodo 2: Ptotais[W/m]t = 3mm t = 8mm t = 3mm t = 8mm

Alumınio 13,5106 5,7877 13,5114 5,7904Aco 100 25,1828 24,2333 25,3232 24,6655Aco 500 24,0576 24,6319 24,4156 25,6222

Analisando as tabelas 3.2 e 3.3 e possıvel verificar que os valores das perdas obtidas, para os dois

metodos, sao muito proximos.

Na tabela 3.4 apresentam-se as perdas totais do sistema e as perdas na placa de mitigacao, calcu-

ladas a partir do metodo 2 para uma espessura de 3mm e frequencia de 50Hz.

Tabela 3.4: Perdas totais do sistema e perdas na placa metalica para t = 3mm.f=50Hz

Perdas Totais [W/m] Perdas na Placa [W/m]Alumınio 13,5114 13,5114Aco 100 25,3232 25,3232Aco 500 24,4156 24,4156

Como se verifica, a placa de mitigacao e responsavel pelas perdas adicionais no sistema, uma vez

que a sua presenca e responsavel pela alteracao dos parametros longitudinais do mesmo, nomeada-

mente da sua resistencia. As perdas introduzidas pela placa representam quase na totalidade as perdas

do sistema. De forma a poder verificar-se, mais uma vez, que a placa e responsavel pela introducao

36

de perdas apresenta-se a tabela 3.5 que indica o valor das perdas quando nao existe nenhuma placa

metalica enterrada no solo.

Tabela 3.5: Perdas totais do solo sem placa de mitigacao para f = 50Hz.Perdas totais [W/m]

Metodo 1 Metodo 20, 006 5, 5390× 10−5

Assim, e possıvel verificar que a placa de mitigacao e, de facto, a componente do sistema que

introduz as perdas. E tambem importante referir que, embora a matriz das impedancias (3.1) apre-

sente valores mais elevados do que a matriz das impedancias com a placa de alumınio, matriz (3.2),

as perdas sao inferiores uma vez que sao proporcionais a resistencia modal, dada pela subtracao da

resistencia mutua da resistencia propria. Os valores da resistencia propria e da resistencia mutua sao

muito proximos, o que significa que a resistencia modal e muito pequena.

Nas figuras 3.25 e 3.26 apresentam-se as perdas totais do sistema em funcao de√f , e em funcao

da espessura da placa de mitigacao, t , respetivamente.

Figura 3.25: Perdas totais do sistema em funcao de√f , para uma espessura, t, de 3mm.

Na figura 3.25 pode observar-se que as perdas aumentam com o aumento da frequencia. E evi-

dente, tambem, a relacao entre as perdas e as resistencias, em funcao de√f , tal como se esperava.

Relativamente a figura 3.26 observa-se que a evolucao das perdas tem tres zonas distintas. A pri-

meira corresponde a um aumento acentuado das perdas, seguida por uma diminuicao das mesmas. A

partir de um determinado ponto, as perdas estabilizam. Verifica-se tambem que o alumınio apresenta

maiores perdas para espessuras da placa de mitigacao pequenas, ao inves dos acos que apresentam

perdas mais elevadas para espessuras da placa mais pequenas, sendo que de entre os dois acos, o

aco 500 e o que apresenta perdas mais elevadas.

37

Figura 3.26: Perdas totais do sistema em funcao da espessura da placa, t, para f = 50Hz.

Na figura 3.27 apresenta-se a resistencia modal em funcao da espessura da placa de mitigacao que

permitira perceber melhor o comportamento das perdas.

Figura 3.27: Resistencia modal para f = 50Hz.

Como se pode verificar atraves da figura 3.27, a evolucao da resistencia modal e a mesma do que

a das perdas, ilustradas na figura 3.26, o que significa que, uma vez que a resistencia modal e dada

pela diferenca entre as resistencias propria e mutua, o comportamento das perdas deve-se ao facto de

a resistencia mutua decrescer de forma mais rapida do que a resistencia propria, numa primeira zona.

Na segunda zona as perdas diminuem, o que significa que a resistencia mutua tem um crescimento

maior do que a resistencia propria, acabando ambas por estabilizar, numa terceira zona, em que as

perdas tambem estabilizam. Assim sendo, e observando as figuras 3.26 e 3.27, conclui-se que as

perdas sao aproximadamente proporcionais a resistencia modal.

38

4Conclusoes

39

Neste capıtulo sao apresentadas as conclusoes tiradas acerca da influencia da frequencia, da espes-

sura da placa de mitigacao, da profundidade a que esta enterrada a placa e das caracterısticas da

mesma, na configuracao do campo magnetico, no valor da matriz de impedancias longitudinais e no

valor das perdas de transmissao.

De uma forma geral, foi possıvel verificar que o material que permite uma maior mitigacao do campo

magnetico quando a espessura da placa aumenta e o aco 500, sendo este o que apresenta uma maior

permeabilidade magnetica. No entanto, para espessuras da placa muito pequenas, o alumınio e o que

apresenta melhores resultados. Pode concluir-se tambem que, independentemente do material, uma

maior espessura da placa conduz a uma melhor mitigacao do campo magnetico.

Como esperado, as resistencias proprias e mutuas diminuıram com o aumento da espessura numa

primeira zona, pois a seccao da placa aumenta, estabilizando depois quando o campo magnetico fica

confinado a uma determinada profundidade na placa condutora devido a profundidade de penetracao

do campo eletromagnetico em cada material. Os coeficientes de inducao que apresentam maiores va-

lores sao aquelas em a permeabilidade magnetica da placa, µ, e mais elevada.

Relativamente a influencia da frequencia, verificou-se que o seu aumento leva a uma maior mitigacao

do campo magnetico, qualquer que seja o material. No entanto, os materiais com maior constante de

permeabilidade magnetica, µ, apresentam, no geral, uma maior reducao do campo do que os materiais

com menor permeabilidade magnetica. Isto quer dizer que o efeito de mitigacao do campo magnetico

e fortemente dependente da profundidade de penetracao dos materiais considerados.

Quanto as resistencias proprias e mutuas foi possıvel concluir que um aumento da frequencia leva

ao seu aumento, como esperado, uma vez que a resistencia e fortemente dependente da profundidade

de penetracao. No caso dos coeficientes de inducao, proprios e mutuos, verificou-se uma diminuicao

dos seus valores para um aumento da frequencia, uma vez que a energia magnetica armazenada tende

para zero com o aumento da mesma. Verificou-se tambem que sao os materiais com maior permeabi-

lidade magnetica, µ, que apresentam maiores impedancias longitudinais.

A profundidade a que esta enterrada a placa, d, nao tem influencia para a diminuicao do campo

acima da placa de mitigacao.

Demonstrou-se que a introducao da placa de mitigacao e responsavel pelas perdas adicionais do

sistema, perfazendo quase a totalidade das mesmas. As perdas totais do sistema apresentam um com-

portamento semelhante ao das resistencias, para os diferentes materiais, quando se varia a frequencia.

Os materiais que apresentam maior permeabilidade magnetica sao, tambem, aqueles que sao res-

ponsaveis pela introducao de perdas mais elevadas.

Aumentando a espessura da placa metalica, verifica-se que o alumınio e aquele que apresenta

perdas mais baixas. Quanto aos materiais de elevada permeabilidade magnetica, verifica-se que sao

40

melhores para espessuras pequenas da placa de mitigacao, onde apresentam menos perdas do que o

alumınio.

Assim sendo, a instalacao de uma placa de mitigacao tem que ter em conta nao so os aspetos

economicos sub-adjacentes a instalacao e materiais, mas tambem ao tipo de materiais que se utilizam

de forma a ser possıvel uma maior mitigacao do campo magnetico e menos perdas de transmissao.

41

Bibliografia

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element method. Master’s thesis, University of British Columbia, September 1990.

44

AFuncoes auxiliares ao calculo do

potencial vetor do campo magnetico

A.1

A.1 Regiao 1

As funcoes a seguir apresentadas sao utilizadas para as diversas condicoes fronteira existentes.

X(a) =

[ch(ν) +

µ2|a|µ0

√a2 − q22

sh(ν)

]ch(ξ) +

[µ3|a|

µ0

√a2 − q23

ch(ν) +µ2

√a2 − q23

µ3

√a2 − q22

sh(ν)

]sh(ξ) (A.1)

X ′(a) =

[sh(ν) +

µ2|a|µ0

√a2 − q22

ch(ν)

]ch(ξ) +

[µ3|a|

µ0

√a2 − q23

sh(ν) +µ2

√a2 − q23

µ3

√a2 − q22

ch(ν)

]sh(ξ) (A.2)

F1(a) =

√(a2−q21)µ1

X(a)−√

(a2−q22)µ2

X ′(a)√

(a2−q21)µ1

X(a) +

√(a2−q22)µ2

X ′(a)G1(a) (A.3)

U(a) =2

√a2−q21µ1√

(a2−q21)µ1

X(a) +

√(a2−q22)µ2

X ′(a)G1(a) (A.4)

G1(a) =1

πe−(h−d1)

√a2−q21G0W0(a) (A.5)

ν = t√a2 − q22 (A.6)

A.2 Regiao 2

D1(a) =1

2

[(1− µ2|a|

µ0

√a2 − q22

)ch(ξ) +

(µ3|a|

µ0

√a2 − q23

− µ2

√a2 − q23

µ3

√a2 − q22

)sh(ξ)

]U(a) (A.7)

D2(a) =1

2

[(1 +

µ2|a|µ0

√a2 − q22

)ch(ξ) +

(µ3|a|

µ0

√a2 − q23

+µ2

√a2 − q23

µ3

√a2 − q22

)sh(ξ)

]U(a) (A.8)

Em que:

ξ = (d− t

2)√a2 − q23 (A.9)

A.3 Regiao 3

R1(a) =1

2

(1− |a|

µ0

µ3√a2 − q23

)U(a) (A.10)

R2(a) =1

2

(1 +|a|µ0

µ3√a2 − q23

)U(a) (A.11)

A.2

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