controlabilidade e observabilidade

Eduardo Lobo Lustosa Cabral

1

CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE

1. Motivação

� Em um sistema na forma do espaço dos estados podem existir dinâmicas que não são vistas

pelas saídas do sistema ou não são influenciadas pelas entradas do sistema.

� Se pensarmos em termos de função de transferência fica fácil entender que um

cancelamento de um pólo com um zero implica que alguma dinâmica no sistema deixa de

ser vista pela saída e nem pode ser alterada pela entrada.

� Dinâmicas “escondidas” são causadas por cancelamentos de pólos e zeros ⇒ dinâmicas

escondidas geram perda de controlabilidade e/ou observabilidade.

� Na forma do espaço dos estados não é simples verificar se ocorre um cancelamento de pólo

e zero.

� Para podermos controlar um sistema ele deve ser controlável e observável ⇒ existem testes

para verificar se um sistema é controlável e observável.

2. Controlabilidade

Definição:

Um sistema LIT é controlável se existe um vetor de entrada u(t) para 0 ≤ t ≤ T, com T > 0 e

finito, tal que o sistema vai da condição inicial x(0) = 0 para qualquer estado x no intervalo

de tempo T.

Observações:

� Iniciar em t = 0 não é um caso especial. Se puder ir para qualquer estado em tempo finito,

iniciando em t = 0, então se pode de qualquer condição inicial alcançar qualquer estado em

tempo finito.

� Para controlabilidade basta considerar a solução forçada do sistema, ou seja:

∫−=

t

tdet

0

)()()( τττ Bux A

. (1)

� A controlabilidade está associada à capacidade de influenciar todos os estados através

das entradas do sistema.


2

Teste de controlabilidade:

Seja um sistema de ordem n, dado por:

)()()( ttt BuAxx +=& , (2)

onde x(t) ∈ Rn e u(t) ∈ R

m. Observe que para um sistema ser controlável basta analisar a

equação dos estados, ou seja, o par de matrizes A e B.

Definindo a matriz de controlabilidade MC:

[ ]BABAABBMC12 −= n

L . (3)

O sistema definido pelas matrizes (A, B) é controlável se posto(MC) = n. Posto de uma

matriz representa o número de colunas ou linhas linearmente independentes da matriz.

Observa-se que para qualquer matriz o número de linhas linearmente independentes coincide

com o número de colunas linearmente independentes.

Posto de uma matriz:

Seja uma matriz M de dimensão (lxc), o seu posto é dado por:

1. Posto(M) = número de colunas linearmente independente de M;

2. Posto(M) = número de linhas linearmente independente de M;

3. Posto(M) ≤ Min(l, c).

3. Observabilidade

Definição:

Um sistema LIT é observável se qualquer condição inicial x(0) pode ser obtida conhecendo-

se as entradas u(t) e as saídas y(t) do sistema para todo instante de tempo t entre 0 e T > 0.

Observações:

� Se a condição inicial dos estados x(0) pode ser calculada, então se pode reconstruir o

vetor de estados x(t) em qualquer instante de tempo. Note que se conhecendo a condição

inicial x(0) e o vetor de entradas u(t) a todo instante, então se pode calcular x(t) em

qualquer instante de tempo t.

� Para estudar observabilidade basta considerar o caso de u(t) = 0, ou seja, a solução

homogênea, assim:


3

)0()( xCy Atet = . (4)

� A observabilidade está associada à capacidade de “ver” todos os estados por meio das

saídas do sistema.

Teste de observabilidade:

Seja um sistema de ordem n, com o vetor de entradas u(t) = 0, então tem-se:

=

=

);()(

);()(

tt

tt

Cxy

Axx&, (5)

onde x(t) ∈ Rn e y(t) ∈ R

p. Observe que para um sistema ser observável basta analisar o par

de matrizes A e C.

Definindo a matriz de observabilidade MO:

=

−1

2

nCA

CA

CA

C

MO

M

. (6)

O sistema definido pelas matrizes (A, C) é observável se posto(MO) = n.

4. Estabilizabilidade e Dectectabilidade

Para o controle de um sistema dinâmico podem-se usar condições mais fracas do que a

controlabilidade e a observabilidade.

Sistema estabilizável. Um sistema é estabilizável se todos os seus modos dinâmicos instáveis forem controláveis.

Sistema detectável. Um sistema é detectável se todos os seus modos dinâmicos instáveis

forem observáveis.

Nessas condições existem dinâmicas no sistema que não se conhece e se podem influenciar via

controle, mas se sabe que são pelo menos estáveis, ou seja, decaem para zero quando t → ∞.

� A verificação se um modo do sistema é controlável e observável será analisada no item 5.


4

5. Exemplos

Exemplo 1:

Dado o seguinte sistema dinâmico:

[ ]

=

+

−

−=

).(01)(

);(1

2)(

11

02)(

tt

ttt

xy

uxx&

• Teste de controlabilidade:

[ ]

−==

11

42ABBMC .

O número de colunas e linhas linearmente independente da matriz MC é 2, portanto:

Posto(MC) = 2.

• Teste de observabilidade:

−=

=

02

01

CA

CMO .

O número de colunas e linhas linearmente independente da matriz MO é 1, portanto:

Posto(MO) = 1.

• Portanto, tem-se que ⇒

.observável é não sistema O

l;controláve é sistema O

• Em termos de função de transferência, a perda de controlabilidade e/ou observabilidade

pode ser vista como se segue.

( ) [ ]

+−

+=−=

−−

1

2

11

0201)(

1

1

s

sssG BAIC

[ ]2

2

)2)(1(

)1(2

4

)1(2

)2)(1(

01)(

+=

+++

=

+

+

++=

sss

s

s

s

sssG

Ou seja, ocorreu um cancelamento de pólo e zero no sistema fazendo com que ele seja

não observável.


5

Exemplo 2:


[ ]

=

+

−

−=

).(12)(

);(2

0)(

11

02)(

tt

ttt

xy

uxx&


[ ]

−==

22

00ABBMC .

O número de colunas e linhas linearmente independente da matriz MC é 1, portanto:

Posto(MC) = 1.


−=

=

13

12

CA

CMO .

O número de colunas e linhas linearmente independente da matriz MO é 2, portanto:

Posto(MO) = 2.

• Portanto, tem-se que ⇒

.observável é sistema O

l;controláve é não sistema O

• Em termos de função de transferência, tem-se:

( ) [ ]

+−

+=−=

−−

2

0

11

0212)(

1

1

s

sssG BAIC

[ ]1

2

)2)(1(

)2(2

)2(2

0

)2)(1(

12)(

+=

+++

=

+++=

sss

s

ssssG

Ou seja, ocorreu um cancelamento de pólo e zero no sistema fazendo com que ele seja

não controlável.

� Porque no exemplo 1 o cancelamento do pólo com o zero fez o sistema ser não

observável e no exemplo 2 o cancelamento do pólo com o zero fez o sistema ser não

controlável? O que faz essa diferença?


6

6. Teste modal de controlabilidade e observabilidade

Dado um sistema dinâmico LIT de ordem n,

+=

+=

)()()(

)()()(

ttt

ttt

DuCxy

BuAxx& (7)

onde x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ R

m e y(t) ∈ R

p.

Na forma modal o sistema é escrito como:

+=

+=

)()()(

)()()(

ttt

ttt

DuCVzy

WBuΛzz& (8)

onde,

==

nλ

λ

λ

L

MOMM

L

L

00

00

00

2

1

WAVΛ ⇒ matriz dos autovalores da matriz A.

↓↓↓

↑↑↑

=

L

L

L

ν21 vvvV ⇒ matriz dos autovetores da direita da matriz A.

→←

→←

→←

=

n

2

1

w

w

w

WMMM

⇒ matriz dos autovetores da esquerda da matriz A.

Observa-se que o sistema na forma modal a matriz ΛΛΛΛ é diagonal e, portanto, não existe

acoplamento entre os estados zi(t).

Na forma modal ⇒

↓↓↓

↑↑↑

==

→←

→←

→←

==

L

L

L

MMM

ν21

n

2

1

vvvCCV

B

w

w

w

WB

saída de matriz

entrada de matriz


7

Controlabilidade:

� Se wiB = 0 ⇒ estado zi(t) não é controlável pelo vetor de entrada u(t). Se qualquer um dos

modos do sistema (estado zi) não for controlável então o sistema não é controlável.

� Se wiB ≠ 0 para todo i =1,...,n, então o sistema (A, B) é controlável.

Observabilidade:

� Se Cvi = 0 ⇒ estado zi(t) não é observável pelas saídas y(t). Se qualquer um dos modos do

sistema (estado zi) não for observável então o sistema não é observável.

� Se Cvi ≠ 0 para todo i =1,...,n, então o sistema (A, C) é observável.

7. Cancelamento de pólos e zeros em sistemas MIMO

� Um cancelamento de pólo e zero significa perda de controlabilidade e/ou observabilidade.

Fatos:

• O modo dinâmico (λi, wi) do sistema (A, B) é não controlável se o sistema tem um zero

com freqüência generalizada igual ao pólo λi e direção esquerda igual a [wi, 0]t.

• O modo dinâmico (λi, vi) do sistema (A, C) é não observável se o sistema tem um zero com

freqüência generalizada igual ao pólo λi e direção igual a [vi, 0]t.

• Quando um zero em um sistema MIMO causa perda de controlabilidade ou observabilidade,

então ocorre um cancelamento de pólo e zero.

• Um cancelamento de pólo e zero em sistemas MIMO, a freqüência generalizada do zero (zi)

tem que ser igual a um pólo (λi) e a direção do zero tem que ser a mesma direção do

autovetor da esquerda ou da direita ([wi, 0]t, [vi, 0]

t) associados ao pólo.

8. Exemplos

Exemplo 1:



8

[ ]

=

+

−

−=

).(01)(

);(1

2)(

11

02)(

tt

ttt

xy

uxx&

• Autovalores do sistema:

−=

−=⇒=++⇒=

+−

+

.1

;20)1)(2(0

11

02det

2

1

λ

λ

λ

λss

• Autovetores da direita:

Para λ1 = –2 ⇒

−=⇒

−=⇒

−=

=⇒=

−− 1

1

2

2

1

1

.

;000

11

00

121112

11

11 vvvvv

v

Para λ2 = –1 ⇒

=⇒

=−

=⇒=

− 1

0

.0

;00

01

01

21

21

22

21

2vv

v

v

v

Portanto,

−=

122

022V

• Autovetores da esquerda:

== −

11

021VW


Para o modo dinâmico 1 ⇒ [ ] 221

202 =

⇒ Esse modo é controlável.


211 =


� Como todos os modos dinâmicos do sistema são controláveis ⇒ então o sistema é

controlável.



2201 =

− ⇒ Esse modo é observável.


9


001 =

⇒ Esse modo não é observável.

� Como o modo dinâmico 2 do sistema é não observável ⇒ então o sistema é não

observável.

• Zeros de transmissão:

10)1(20

001

111

202

det −=⇒=+⇒=

−+−

−+

zzz

z

Direção à direita do zero:

.

=⇒

=

=−−

=−

⇒=

−+−−

−+−

0

1

0

0

0

02

0

001

1111

2021

1

31

31

1

1

1

ξ

ξ

ξξ

ξξ

ξ

ξ

ξ

Direção à esquerda do zero:

[ ] [ ]121

02

00

0

0

001

1111

2021

21

321

321 −−=⇒

=−−

=

=+−

⇒=

−+−−

−+−

ζ

ζζ

ζζζ

ζζζ

� Observe que o valor do zero é igual ao pólo do modo dinâmico 2 e a direção à

direita desse pólo (v2) é a mesma direção à direita do zero ⇒ portanto ocorre um

cancelamento de pólo e zero causando uma perda de observabilidada.

Exemplo 2:


[ ]

=

+

−

−=

).(12)(

);(2

0)(

11

02)(

tt

ttt

xy

uxx&

• Como a matriz A desse sistema é a mesma do exemplo anterior os autovalores e

autovetores do sistema são os mesmos, assim:


10

[ ]

[ ]

=

=⇒−=

=

−=⇒−=

.11 e 1

01

;02 e 1

1

2

22

2

1

22

11

wv

wv

λ

λ



002 =

⇒ Esse modo não é controlável.


011 =


� Como o modo dinâmico 1 do sistema é não controlável ⇒ o sistema não é

controlável.



2212 =

− ⇒ Esse modo é observável.


012 =

⇒ Esse modo é observável.

� Como todos os modos dinâmicos do sistema são observáveis ⇒ o sistema é

observável.

• Zeros de transmissão:

20)2(20

012

211

002

det −=⇒=+⇒=

−+−

+

zzz

z

Direção a direita do zero:

−

=⇒

=+

=−−−

=

⇒=

−+−−

+−

4/1

1

2/1

02

02

00

0

012

2121

0022

21

331

1

1

1

ξ

ξξ

ξξξ

ξ

ξ

ξ

Direção a esquerda do zero:


11

[ ] [ ]001

02

0

02

0

012

2121

0022

2

32

32

321 =⇒

=−

=+−

=+−

⇒=

−+−−

+−

ζ

ζ

ζζ

ζζ

ζζζ

� Observe que o valor do zero é igual ao pólo do modo dinâmico 1 e a direção à

esquerda desse pólo (w1) é a mesma direção à esquerda do zero ⇒ portanto ocorre

um cancelamento de pólo e zero causando uma perda de controlabilidade.

9. Exercícios

1) Dado sistema na forma de espaço dos estado abaixo:

+

=

+

−−=

).(00

01)(

10

01)(

);(10

01)(

01

127)(

ttt

ttt

uxy

uxx&

Pede-se (não use o Matlat para resolver esse problema):

� Verifique se o sistema é controlável e observável utilizando as matrizes de

controlabilidade e observabilidade.

� Verifique se o sistema é controlável e observável utilizando os testes modais de

controlabilidade e observabilidadel

� Calcule os zeros do sistema e as suas direções associadas resolvendo o problema de

autovalor generalizado.

� Ocorre algum cancelamento de pólo e zero que cause perda de controlabilidade e/ou

observabilidade?

� Calcule a matriz de funções de transferência desse sistema e analise se ocorre algum

cancelamento de pólo e zero que cause uma perda de controlabilidade e/ou

observabilidade.

2) Seja o avião F8 cuja dinâmica longitudinal é dada por:

=

−−

−−+

−−

−−−

−=

)(0010

0001)(

)(

0087,00115,0

5,219

6,016,0

00

)(

0140,002904,08524,0

0344,08,01212

0057,005,15,1

0100

)(

tt

ttt

xy

uxx&

Pede-se usando o Matlab:


12

a) Verifique se o sistema é controlável e observável utilizando as matrizes de

controlabilidade e observabilidade.

b) Verifique se o sistema é controlável e observável utilizando os testes modais de

controlabilidade e observabilidadel

c) Calcule os zeros de transmissão e as suas direções.

d) Ocorre algum cancelamento de pólo e zero que cause perda de controlabilidade e/ou

observabilidade?

e) Calcule a matriz de funções de transferência desse sistema e analise se ocorre algum

cancelamento de pólo e zero que cause uma perda de controlabilidade e/ou

observabilidade.

controlabilidade e observabilidade

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