Controle Adaptativo Robusto para um Modelo Desacoplado de ... · Divisão de Serviços Técnicos...

UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E

DE COMPUTAÇÃO

Controle Adaptativo Robusto para um ModeloDesacoplado de um Robô Móvel

Samaherni Morais Dias

Orientador: Prof. DSc. Aldayr Dantas de Araújo.

Co-orientador: Prof. DSc. Pablo Javier Alsina.

Tese de Doutorado apresentada ao Programa

de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de

Computação da UFRN (área de concentração:

Automação e Sistemas) como parte dos requi-

sitos para obtenção do título de Doutor em Ci-

ências.

Número de ordem PPgEEC: D054

Natal, RN, Fevereiro de 2010

Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Dias, Samaherni Morais.

Controle adaptativo robusto para um modelo desacoplado de um robô móvel

/ Samaherni Morais Dias - Natal, RN, 2010.

121 f.

Orientador: Aldayr Dantas de Araújo.

Co-orientador: Pablo Javier Alsina.

Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de

Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Compu-

tação.

1. Estrutura variável - Tese. 2. Controle adaptativo - Tese. 3. Robô móvel

- Tese. I. Araújo, Aldayr Dantas de. II. Alsina, Pablo Javier. III. Universidade

Federal do Rio Grande do Norte. IV. Título.

RN/UF/BCZM CDU 004.823(043.3)

Resumo

Esta tese apresenta o desenvolvimento de uma nova estrutura de controlador adapta-tivo robusto aplicado a sistemas robóticos móveis com rodas (robô móvel de superfície)e restrições não-holonômicas de movimento. Este controlador atua tanto na dinâmicacomo na cinemática do robô, e pode ser dividido em duas partes distintas. A primeiraparte controla a dinâmica, através da utilização de controladores adaptativos por modelode referência e estrutura variável. A segunda parte controla a cinemática do robô atravésde um controlador de posição, cujo objetivo é fazer com que o robô seja capaz de atingirum ponto qualquer no plano cartesiano, sendo que este controlador cinemático é baseadoapenas em informações da configuração do robô.

O trabalho aplica um método de desacoplamento para transformar o modelo linear dorobô móvel, que é um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas, em dois sistemasdesacoplados com apenas uma entrada e uma saída cada um, para reduzir a complexidadedo projeto do controlador. Em seguida, aplica-se um controlador adaptativo por modelode referência e estrutura variável a cada um dos sistemas resultantes. Um controladorserá responsável pelo posicionamento e o outro pela orientação do robô, sendo que estescontroladores utilizam como referências sinais provenientes do controlador cinemático deposição.

Para comprovar o funcionamento da estrutura proposta, obteve-se resultados simula-dos e experimentais para o robô móvel com acionamento diferencial de um kit de futebolde robôs. O simulador possui as principais características do sistema físico real, den-tre as quais podem-se destacar os ruídos de entradas e as não-linearidades como zonamorta e saturação. Os resultados experimentais foram obtidos através de um programadesenvolvido em C++ e aplicado a um kit de futebol de robôs da empresa Microrobot noLaboratório de Acionamento, Controle e Instrumentação da Universidade Federal do RioGrande do Norte (LACI/UFRN). Os resultados simulados e experimentais são apresenta-dos e discutidos ao final da tese.

Palavras-chave: Sistemas com Estrutura Variável, Controle Adaptativo, Desacopla-mento, Robô Móvel Não-Holonômico.

Abstract

This thesis presents a new structure of robust adaptive controller applied to mobilerobots (surface mobile robot) with nonholonomic constraints. It acts in the dynamics andkinematics of the robot, and it is split in two distinct parts. The first part controls the robotdynamics, using variable structure model reference adaptive controllers. The second partcontrols the robot kinematics, using a position controller, whose objective is to make therobot to reach any point in the cartesian plan. The kinematic controller is based only oninformation about the robot configuration.

A decoupling method is adopted to transform the linear model of the mobile robot,a multiple-input multiple-output system, into two decoupled single-input single-outputsystems, thus reducing the complexity of designing the controller for the mobile robot.After that, a variable structure model reference adaptive controller is applied to each oneof the resulting systems. One of such controllers will be responsible for the robot positionand the other for the leading angle, using reference signals generated by the positioncontroller.

To validate the proposed structure, some simulated and experimental results usingdifferential drive mobile robots of a robot soccer kit are presented. The simulator usesthe main characteristics of real physical system as noise and non-linearities such as dead-zone and saturation. The experimental results were obtained through an C++ programapplied to the robot soccer kit of Microrobot team at the LACI/UFRN. The simulated andexperimental results are presented and discussed at the end of the text.

Keywords: Variable Structure Systems, Adaptive Control, Decoupling, Nonholono-mic Mobile Robot.

Lista de Figuras

1.1 Sistema inverso à esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Sistema inverso à direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Plataforma de desenvolvimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Estacionamento de um robô móvel: (a) sem restrições; (b) com restrições

não-holonômicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Diagrama de blocos do robô móvel com duas rodas tracionadas . . . . . . 61.6 Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Sistema inverso à direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Sistema físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Sistemas inverso e físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1 Exemplo do comportamento da superfície de deslizamento . . . . . . . . 203.2 Filtro de valor médio (τ→ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Deslizamento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Diagrama de blocos de um controlador MRAC . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Diagrama de blocos de um controlador VS-MRAC compacto (n∗=2) . . . 263.6 Planta com distúrbio de entrada e dinâmica não modelada . . . . . . . . . 29

4.1 Cinemática do robô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2 Diagrama esquemático de um motor c.c. controlado pela armadura . . . . 33

5.1 Diagrama de blocos simplificado da estrutura do controlador proposto . . 395.2 Diagrama de blocos do robô móvel com duas rodas tracionadas . . . . . . 405.3 Diagrama de blocos do robô móvel com abordagem linear . . . . . . . . 405.4 Introdução do sistema inverso do robô móvel com abordagem linear . . . 405.5 Robô móvel desacoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.6 Robô desacoplado com incertezas paramétricas e dinâmica não modelada 425.7 Sistema desacoplado com distúrbios de entrada . . . . . . . . . . . . . . 435.8 Controladores VS-MRAC aplicados ao sistema desacoplado . . . . . . . 435.9 Diagramas de blocos dos controladores VS-MRAC . . . . . . . . . . . . 445.10 Plantas desacopladas devido ao uso dos controladores VS-MRAC . . . . 445.11 Robô móvel no espaço cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.12 Distúrbio ds no robô móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.13 Diagrama de blocos detalhado do controlador proposto . . . . . . . . . . 46

6.1 Diagrama de blocos do funcionamento do kit de futebol de robôs . . . . . 516.2 Sistema inverso à direita para o robô móvel utilizando parâmetros nominais 53

v

6.3 Considerações sobre a simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4 Robô simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.5 Diagrama de blocos do robô móvel com duas rodas tracionadas . . . . . . 556.6 Simulação do robô móvel em malha aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.7 Diagrama de blocos do desacoplamento do robô móvel . . . . . . . . . . 566.8 Simulação do desacoplamento do robô móvel (translação) . . . . . . . . 576.9 Simulação do desacoplamento do robô móvel (rotação) . . . . . . . . . . 576.10 Diagrama de blocos detalhado do controlador proposto . . . . . . . . . . 586.11 Controlador de posição do robô móvel (xd = 1,yd = 0) . . . . . . . . . . 586.12 Controlador de posição do robô móvel (xd = 1,yd = 1) . . . . . . . . . . 596.13 Controlador de posição do robô móvel (xd = 0,yd = 1) . . . . . . . . . . 606.14 Controlador de posição do robô móvel (xd =−1,yd = 1) . . . . . . . . . 606.15 Gráfico da estabilidade (ωr× eθ) entre 0s e 1s . . . . . . . . . . . . . . . 616.16 Gráfico da estabilidade (ωr× eθ) entre 1s e 4s . . . . . . . . . . . . . . . 616.17 Gráfico da estabilidade (ωr× eθ) entre 5s e 8s . . . . . . . . . . . . . . . 626.18 Resultado experimental do robô móvel em malha aberta . . . . . . . . . . 636.19 Resultado experimental do desacoplamento do robô móvel (translação) . . 636.20 Resultado experimental do desacoplamento do robô móvel (rotação) . . . 646.21 Controlador de posição do robô móvel (xd = 1,10,yd = 0,33) . . . . . . 656.22 Controlador de posição do robô móvel (xd = 1,12,yd = 0,71) . . . . . . 666.23 Controlador de posição do robô móvel (xd = 0,73,yd = 1,10) . . . . . . 666.24 Controlador de posição do robô móvel (xd = 0,32,yd = 0,70) . . . . . . 67

A.1 Estrutura do controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

B.1 Campo vetorial no modo deslizante (solução de Filippov) . . . . . . . . . 84

H.1 Desacoplamento sem incertezas paramétricas com zona morta (translação) 100H.2 Sinais de tensão aplicados aos motores c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100H.3 Desacoplamento sem incertezas paramétricas e zona morta (translação) . 101H.4 Sinais de tensão aplicados aos motores c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101H.5 Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera . . . . . . . . . . . . . . 102H.6 Simulação para o ponto desejado em (xd = 1, yd = 0) . . . . . . . . . . . 102H.7 Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera . . . . . . . . . . . . . . 103H.8 Simulação para o ponto desejado em (xd = 1, yd = 0) . . . . . . . . . . . 103H.9 Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera . . . . . . . . . . . . . . 104H.10 Simulação para o ponto desejado em (xd = 1, yd = 1) . . . . . . . . . . . 104H.11 Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera . . . . . . . . . . . . . . 105H.12 Simulação para o ponto desejado em (xd = 0, yd = 1) . . . . . . . . . . . 105H.13 Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera . . . . . . . . . . . . . . 106H.14 Simulação para o ponto desejado em (xd =−1, yd = 1) . . . . . . . . . . 106H.15 Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera . . . . . . . . . . . . . . 107H.16 Simulação para o ponto desejado em (xd =−1, yd = 0) . . . . . . . . . . 107H.17 Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera . . . . . . . . . . . . . . 108H.18 Simulação para o ponto desejado em (xd =−1, yd =−1) . . . . . . . . . 108

H.19 Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera . . . . . . . . . . . . . . 109H.20 Simulação para o ponto desejado em (xd = 0, yd =−1) . . . . . . . . . . 109H.21 Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera . . . . . . . . . . . . . . 110H.22 Simulação para o ponto desejado em (xd = 1, yd =−1) . . . . . . . . . . 110H.23 Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera . . . . . . . . . . . . . . 111H.24 Simulação para o ponto desejado em (xd = 1, yd = 0) . . . . . . . . . . . 111H.25 Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera . . . . . . . . . . . . . . 112H.26 Simulação para o ponto desejado em (xd = 0, yd = 1) . . . . . . . . . . . 112H.27 Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera . . . . . . . . . . . . . . 113H.28 Simulação para o ponto desejado em (xd =−1, yd = 0) . . . . . . . . . . 113

I.1 Campo do kit de futebol de robôs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115I.2 Identificação dos erros de posição e orientação do robô móvel . . . . . . 116

J.1 Identificação dos modelos para posição e para orientação (caso 1) . . . . 117J.2 Identificação dos modelos para posição e para orientação (caso 2) . . . . 118J.3 Identificação dos modelos para posição e para orientação (caso 3) . . . . 118

K.1 Tela principal do software desenvolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Lista de Tabelas

3.1 Algoritmo do controlador MRAC convencional . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Algoritmo do controlador VS-MRAC compacto . . . . . . . . . . . . . . 28

J.1 Desvio padrão dos parâmetros do modelo identificado . . . . . . . . . . . 119

ix

Nomenclatura

J momento de inércia do robô

Jd,e momentos de inércia dos rotores

Kbd,be constantes de força-contra-eletromotriz

Kd,e constantes de torque dos motores

Rd,e resistências dos enrolamentos dos motores

S deslocamento linear

ST espaço linear a ser percorrido

Sre f espaço linear de referência

∆ distância entre o centro do robô e o ponto desejado

βang coeficiente de atrito entre o solo e o robô durante movimentos angulares

βd,e coeficientes de atrito dos motores

βlin coeficiente de atrito entre o robô e o solo durante movimentos lineares

ωd,e velocidades angulares das rodas direita e esquerda

ωr velocidade angular do robô

τd,e torques nas rodas direita e esquerda

τr torque resultante no robô

θ∗ parâmetros em condição de Matching

θnom parâmetros nominais do controlador adaptativo

θp ângulo do robô

θre f ângulo da reta (∆) que conecta o centro do robô ao ponto desejado

d distância entre as rodas do robô

eS erro de posição

xi

eθ erro de orientação

ed,e tensões de armadura dos motores

fr força resultante no robô

id,e correntes nas armaduras dos motores

m massa do robô

nin número de entradas do sistema

nout número de saídas do sistema

rd,e raios das rodas direita e esquerda

u sinal de controle

vr velocidade linear do robô

xd posição desejada do robô no eixo x

xp posição do robô no eixo x

yd posição desejada do robô no eixo y

yp posição do robô no eixo y

ω vetor regressor

θ vetor de parâmetros adaptativos

ERP Estritamente Real Positivo

LACI Laboratório de Acionamento, Controle e Instrumentação

MIMO Sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas

MRAC Controlador Adaptativo por Modelo de Referência

PCI Interconector de Componentes Periféricos

SISO Sistemas com uma entrada e uma saída

UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte

VS-MRAC Controlador Adaptativo por Modelo de Referência e Estrutura Variável

VSC Controlador por Estrutura Variável

Sumário

Sumário i

Lista de Figuras v

Lista de Tabelas ix

Lista de Símbolos e Abreviaturas xi

1 Introdução 11.1 Sistema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Controladores adaptativos robustos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Definição do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Aspectos da não-holonomia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Considerações sobre as incertezas do sistema . . . . . . . . . . . 51.3.3 Controle do robô móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Organização da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Sistema inverso 92.1 Apresentação do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Algoritmo de inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Reprodutibilidade funcional assintótica . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Inversão de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Modificação do sistema inverso à direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Comentários finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Controladores adaptativos 193.1 Sistemas a estrutura variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Controle adaptativo por modelo de referência . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Controlador VS-MRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Comentários finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Modelagem do robô móvel 314.1 Modelagem cinemática do robô móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Modelagem dinâmica de um motor c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3 Modelagem dinâmica do robô móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 Modelo em variáveis de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5 Análise de estabilidade do modelo utilizado para descrever o robô móvel . 36

i

4.6 Determinação dos parâmetros do robô móvel . . . . . . . . . . . . . . . 374.7 Comentários finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Estrutura do controlador 395.1 Desacoplamento do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2 Controlador VS-MRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 Controlador de posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3.1 Análise de estabilidade do controlador proposto . . . . . . . . . . 465.3.2 Análise de estabilidade para o caso geral . . . . . . . . . . . . . 48

5.4 Comentários finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Resultados 516.1 Descrição do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Projeto do controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.3 Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.3.1 Robô móvel em malha aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.3.2 Desacoplamento do robô móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.3.3 Controlador proposto aplicado ao robô móvel . . . . . . . . . . . 586.3.4 Estabilidade do controlador proposto . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.4 Resultados experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4.1 Robô móvel em malha aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4.2 Desacoplamento do robô móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4.3 Controlador proposto aplicado ao robô móvel . . . . . . . . . . . 65

6.5 Comentários finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7 Conclusões e trabalhos futuros 69

Referências bibliográficas 72

A Dedução do erro na forma entrada/saída - MRAC 81

B Solução no sentido de Filippov 83

C Detalhes da lei de controle a estrutura variável 87

D Determinação de θ∗ 89

E Análise de um sistema MIMO 91

F Análise de estabilidade 93F.1 Análise de estabilidade do erro de orientação . . . . . . . . . . . . . . . 93F.2 Análise de estabilidade do erro de posição . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

G Controlador cinemático (prova de estabilidade) 97

H Resultados 99H.1 Simulação do desacoplamento sem incertezas . . . . . . . . . . . . . . . 100H.2 Simulação do desacoplamento para o caso ideal . . . . . . . . . . . . . . 101H.3 Simulação (xd = 1, yd = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102H.4 Simulação (xd = 1, yd = 0) sem zona morta . . . . . . . . . . . . . . . . 103H.5 Simulação (xd = 1, yd = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104H.6 Simulação (xd = 0, yd = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105H.7 Simulação (xd =−1, yd = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106H.8 Simulação (xd =−1, yd = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107H.9 Simulação (xd =−1, yd =−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108H.10 Simulação (xd = 0, yd =−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109H.11 Simulação (xd = 1, yd =−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110H.12 Simulação 01 com desacoplamento por (s2)−1 . . . . . . . . . . . . . . . 111H.13 Simulação 02 com desacoplamento por (s2)−1 . . . . . . . . . . . . . . . 112H.14 Simulação 03 com desacoplamento por (s2)−1 . . . . . . . . . . . . . . . 113

I Sistema de visão 115

J Identificação dos parâmetros do robô móvel 117

K Software desenvolvido 121

Capítulo 1

Introdução

O avanço da tecnologia embarcada tem permitido uma maior confiabilidade e auto-nomia no controle de sistemas multivariáveis (sistemas com muitas entradas e/ou saídas,MIMO -Multiple Input Multiple Output). Consequentemente, estes sistemas mais confiá-veis são cada vez mais aceitos e absorvidos pelo mercado industrial, militar, residencial,dentre outros. Por outro lado, o amadurecimento da teoria de sistemas adaptativos tempermitido a aplicação deste tipo de controladores aos mais diversos sistemas.

O foco deste trabalho está em apresentar uma nova estrutura de controle adaptativoaplicado a um sistema com múltiplas entradas / múltiplas saídas (MIMO). Esta estruturautiliza desacoplamento através de uma técnica por sistema inverso, que transforma umsistema MIMO em um conjunto de sistemas com uma entrada e uma saída (sistemasSISO - Single Input Single Output), associados a controladores adaptativos para garantiro perfeito desacoplamento, o que pode ser interpretado como um desacoplador adaptativo.

O controlador proposto é aplicado a um robô móvel com acionamento diferencial,para a verificação de suas propriedades. A escolha por robôs móveis se deu por sua pre-sença nas mais variadas tarefas, tais como exploração de terrenos, execução de atividadesem ambientes hostis, tarefas de auxílio em ambientes hospitalares e residenciais, etc.Robôs móveis aplicados a estas atividades resultam em sistemas com múltiplas entradase múltiplas saídas, com incertezas paramétricas e distúrbios. Por isso, faz-se necessário autilização de uma técnica de controle capaz de se adaptar para compensar estas incertezase distúrbios. A técnica de controle utilizada na tese será o VS-MRAC, o qual, por utilizarestrutura variável, leva a um transitório mais rápido que os controladores adaptativos queutilizam leis integrais de adaptação.

1.1 Sistema inverso

Para um sistema qualquer pode-se associar conceitos de inversibilidade à esquerdae/ou à direita. O sistema inversível à esquerda (Figura 1.1) geralmente é utilizado ondea entrada u(t) para o sistema não é mensurável ou é muito difícil de ser medida. Comoexemplo, pode-se citar alguns sistemas biológicos [Hsu & Mohler 1981].

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

SistemaFísico

SistemaInverso

u(t) y(t) u(t)

x0 x0

Figura 1.1: Sistema inverso à esquerda

O sistema inverso à direita (Figura 1.2) é utilizado quando se deseja que a saída dosistema físico siga uma determinada função analítica f (t). Esta forma de aplicação temespecial importância em controle de sistemas com rastreamento da saída. Soluções destetipo foram adotadas em problemas aeronáuticos e em sistemas de potência [Araújo 1983].

SistemaInverso

SistemaFísico

f (t) u(t) y(t) = f (t)

x0 x0

Figura 1.2: Sistema inverso à direita

Esta tese trata particularmente da aplicação de sistemas inversos à direita no controlede sistemas MIMO. Assim, ao longo de todo o texto, sempre que o autor se referir a umsistema inverso ele estará se referindo a um sistema inverso à direita.

1.2 Controladores adaptativos robustosUma visão geral sobre controle adaptativo pode ser obtida em um conjunto de livros

disponíveis na literatura [Ioannou & Sun 1995, Aström & Wittenmark 1994, Sastry &Bodson 1989, Narendra & Annaswamy 1989]. A teoria de controle adaptativo pode serdividida em duas áreas básicas: uma supõe que as variáveis de estado são mensuráveis[Landau 1979], e a outra supõe que somente medições da entrada e saída da planta sãodisponíveis [Narendra & Valavani 1978, Goodwin & Sin 1984, Goodwin & Mayne 1987].

Devido à dificuldade de medição das variáveis de estado do robô, a técnica utilizadaneste trabalho será a segunda, com uma abordagem por modelo de referência. Nestaabordagem, a função do modelo de referência é especificar o comportamento desejadopara a planta. O erro entre as saídas da planta e do modelo de referência é utilizado porum algoritmo de adaptação para ajustar os parâmetros do controlador, de tal forma queeste erro tenda a zero, permitindo, assim, o rastreamento assintótico do modelo.

O controlador adaptativo por modelo de referência MRAC, foi sugerido por Whita-ker e outros [1958, 1961] para solucionar o problema de controle no piloto automáticodas aeronaves. Em 1966, Parks e outros aplicaram a teoria de Lyapunov às leis adap-tativas baseadas nas regras do MIT(Massachusetts Institute of Technology) e utilizadas

1.2. CONTROLADORES ADAPTATIVOS ROBUSTOS 3

nos controladores MRAC dos anos 50. Assim, apresentaram provas de estabilidades maisrigorosas para os controladores adaptativos.

Alguns destes controladores foram acompanhados por diversas aplicações bem su-cedidas [Harris & Billings 1981, Narendra & Monopoli 1980, Unbehauen 1980]. Notrabalho de Egardt [1979] demonstrou-se que os controladores MRAC poderiam ser ins-táveis na presença de pequenos distúrbios, fato esse somente corrigido com a propostados controladores adaptativos robustos [Egardt 1979, Ioannou & Sun 1988, Ioannou &Datta 1991].

Nos dias de hoje, ainda se busca um controlador adaptativo robusto com um bomcomportamento tanto no transitório como no regime permanente. Bons resultados estãosendo obtidos integrando-se duas ou mais técnicas distintas, explorando o que cada umatem de melhor.

Um exemplo bem sucedido de associação de técnicas distintas é o VS-MRAC (Contro-lador Adaptativo por Modelo de Referência e Estrutura Variável), o qual associa o controlea estrutura variável (VSC - Controlador por Estrutura Variável) com o controlador MRAC.Proposto na década de 50 na extinta União Soviética por Emelyanov [1967], o VSC possuibom comportamento transitório, quando comparado ao controlador MRAC convencional,que usa leis integrais de adaptação para fazer com que a saída da planta siga um mo-delo de referência desejado [Ioannou & Sun 1995, Aström & Wittenmark 1994, Sastry &Bodson 1989, Narendra & Annaswamy 1989] (em geral o MRAC possui um transitóriolento e oscilatório).

O controlador VS-MRAC foi proposto por Hsu e Costa [1989], e utiliza a estrutura docontrole por modelo de referência MRAC, substituindo as leis integrais de adaptação porleis chaveadas, resultando, assim, em um sinal de controle chaveado, como nos sistemasa estrutura variável (em alguns artigos [Araújo et al. 1994, Hsu et al. 1997, Cunha et al.2003] são apresentadas aplicações). Apesar do bom desempenho transitório, em geraltem-se a presença do fenômeno de chattering1.

O chattering pode deteriorar o desempenho do sistema pela introdução de um errooscilatório na saída da planta. Além disso, este chaveamento rápido das variáveis decontrole não é admissível em muitas aplicações, podendo levar a significativas perdas tér-micas em sistemas elétricos de potência e a desgastes excessivos em sistemas mecânicos.Para superar o problema do chattering pode-se modifcar a função relé por uma aproxi-mação contínua que é linear em uma vizinhança da superfície de deslizamento [Slotine &Sastry 1983].

1Chattering é o fenômeno originado pelas imperfeições nos mecanismos reais de chaveamento e/ou peladinâmica não modelada da planta, que faz o chaveamento das variáveis de controle em uma taxa rápida,porém finita, e pode deteriorar o desempenho do sistema pela introdução de um erro oscilatório na saída daplanta.


1.3 Definição do problema

Esta seção é dedicada a apresentar o problema que se deseja solucionar, bem comouma visão geral da solução proposta na tese. Para iniciar, deve-se apresentar a plataforma2

onde serão desenvolvidos os estudos sobre o controlador proposto (ver Figura 1.3).

Figura 1.3: Plataforma de desenvolvimento

O item 1 da Figura 1.3 é o robô o qual se deseja controlar. O item 2 é a câmera, quefunciona como sensor de posição e orientação do robô. Por fim, o item 3 é um computadorno qual a estratégia de controle será embarcada.

O robô é um cubo com aresta de 7cm e duas rodas laterais com acionamentos in-dependentes através de dois motores de corrente contínua (motor c.c.) semelhantes. Omesmo possui uma placa de processamento embarcada e um sistema de comunicação.A comunicação serve para a troca de informações entre o robô e o computador, o qualé responsável por realizar os cálculos dos sinais de tensão de armadura que devem seraplicados aos motores c.c. do robô.

Para realizar o cálculo da tensão a ser aplicada a cada motor, o computador executao algoritmo de controle proposto nesta tese, o qual gera as tensões com base no erro daposição do robô, que por sua vez é obtida a partir da análise das imagens capturadas poruma câmera (sistema de visão [Aires et al. 2001]) localizada acima do campo, no qual orobô se deslocará.

Sobre o robô ainda é necessário comentar dois aspectos importantes. O primeiro estárelacionado com uma restrição no movimento do robô (restrição não holonômica) queé apresentada na subseção 1.3.1. O segundo aspecto está relacionado com as incertezasparamétricas e não linearidades do robô, que são comentadas na subseção 1.3.2

2A plataforma de desenvolvimento deste trabalho está de acordo com as regras da MiroSot/Fira (MicroRobot World Cup Soccer Tournament / Federation of International Robot-Soccer Association).

1.3. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA 5

1.3.1 Aspectos da não-holonomiaUma das características importantes dos robôs móveis dotados de rodas é a presença

de restrições não-holonômicas. O termo holonômico pode ser de origem tanto grega (ho-los = inteiro), como latina (holos = completo ou integrável). Portanto, os sistemas não-holonômicos possuem algum tipo de restrição a um ou mais estados do sistema. Robôsmóveis com acionamento diferencial possuem restrições ao tentar movimentar-se em to-das as direções, pelo fato de seus atuadores serem incapazes de realizarem tais movimen-tos. Ao se considerar que não há derrapagem, um robô dotado de rodas, semelhante a umcarro, é um exemplo clássico de um robô móvel não-holonômico. A Figura 1.4, ilustrauma restrição que impede o robô de realizar movimentos normais à superfície do corpode suas rodas.

(a) (b)

Figura 1.4: Estacionamento de um robô móvel: (a) sem restrições; (b) com restriçõesnão-holonômicas

Na Figura 1.4, a trajetória mais simples para estacionar o robô seria composta pordois segmentos de reta perpendiculares (ver Figura 1.4(a)). Porém, esta trajetória é deimpossível realização pelo sistema de locomoção. Desta forma torna-se necessário geraruma trajetória levando-se em consideração as restrições inerentes a este sistema, comomostra a Figura 1.4(b). Na seção 4.1, será descrita matematicamente a restrição não-holonômica do robô móvel utilizado neste trabalho.

1.3.2 Considerações sobre as incertezas do sistemaPara o sistema que descreve o robô móvel, as incertezas paramétricas são oriundas

principalmente da dificuldade em se obter alguns parâmetros dinâmicos e cinemáticos,tais como os valores das resistências dos enrolamentos das armaduras dos motores, asconstantes de torque dos motores, os coeficientes de atrito, diferença entre os lados es-querdo e direito do robô móvel, entre outros.

Segundo Canudas de Wit e outros [1995], o atrito é um fenômeno bastante aleatóriodevido às formas irregulares das superfícies. Este artigo também apresenta um outro itemfundamental a ser considerado, que é o atrito seco ou atrito estático, observado quandodois corpos deslizam um sobre o outro, com superfícies não lubrificadas. Neste caso, aforça de atrito estático permanece quase inalterada após o início do deslocamento, carac-terizando a não linearidade do tipo zona morta, ou seja, um comportamento quando estáparado e outro diferente quando está em movimento.

As não-linearidades de entrada constituem um outro grupo de fatores que deve serconsiderado e geralmente é desprezado. Porém, estas não-linearidades podem produzir


uma grande diferença no funcionamento do sistema. Como exemplo de não-linearidadesde entrada pode-se citar a zona morta e a saturação.

A zona morta é a faixa operacional do atuador que não produz resposta dinâmica nosistema, em função do sinal de controle aplicado, em qualquer instante de tempo, e estárelacionada com a modelagem do atrito existente no subsistema mecânico. Já a satura-ção ocorre devido às características físicas do subsistema eletrônico de acionamento dosmotores de corrente contínua. São restrições de limites máximo e mínimo impostas aoatuador, existentes em todos os sistemas, e que atuam de forma a deteriorar o seu desem-penho, fazendo com que existam estados inalcançáveis e comportamentos dinâmicos nãorastreáveis [Laura et al. 2006].

1.3.3 Controle do robô móvelO robô poderá ser representado por um sistema com duas entradas e três saídas (ver

Figura 1.5), ou seja um sistema MIMO.

Robô

ee

ed

xp

yp

θp

Figura 1.5: Diagrama de blocos do robô móvel com duas rodas tracionadas

O controle de posição de um robô móvel com acionamento diferencial deve, a par-tir dos sinais de controle ee,d (tensões de armadura nos motores c.c.), deslocar o robôde um ponto qualquer (xp,yp) sobre uma superfície para um outro ponto qualquer dese-jado (xd ,yd). É importante lembrar que o controle de posição não garante um caminhoespecífico a ser realizado entre estes dois pontos (ver Figura 1.6).

xp

yp

xd

yd

Figura 1.6: Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera

Na literatura há controladores cinemáticos [d’Andrea Novel et al. 1995, Luca et al.1998, Luca et al. 2002, Lizarralde 1998, Gaudiano et al. 1996, Yang & Kim 1999] e

1.4. ORGANIZAÇÃO DA TESE 7

dinâmicos [Tounsi et al. 1995a, Tounsi et al. 1995b, Pereira 2000, Oliveira & Lages2001, Tanner & Kyriakopoulos 2002] que se propõem a controlar um robô móvel, algunssendo lineares e outros não-lineares [Samson 1993, Aicardi et al. 1995]. O uso de téc-nicas adaptativas também já foi apresentado [Bugeja et al. 2009, Chen et al. 2009, Wuet al. 2009, Bugeja & Fabri 2008, Bugeja & Fabri 2006, Oubbati et al. 2005, Alba-gul & Wahyudi 2004, Liu et al. 2004, Feng et al. 1994, Shim & Kim 1994, Stotsky& Hu 1998, Lefeber & Nijmeijer 1999, Lee et al. 1999, Lages & Hemerly 2000, Kimet al. 2000, Aguiar et al. 2000, Fukao et al. 2000, Ge & Zhou 2000, Dixon et al. 2001],porém esta tese abordará o controle do robô móvel em duas etapas. A primeira será ocontrole de sistemas MIMO, através de uma técnica de desacoplamento associada a umconjunto de controladores adaptativos. Esta técnica poderá ser utilizada por todos os sis-temas MIMO de uma classe específica (ver Capítulo 2). A segunda etapa será projetar umcontrolador cinemático para controlar a posição do robô móvel.

Atualmente há vários trabalhos que propõem controladores que se adaptam, utilizandoredes neurais e/ou lógica fuzzy, para rejeitar as incertezas paramétricas existentes nos mo-delos dos robôs móveis [Bugeja et al. 2009, Chen et al. 2009, Wu et al. 2009, Bugeja &Fabri 2008, Bugeja & Fabri 2006]. Este trabalho proprõe um controlador com o mesmointuito, porém, ao invés das redes neurais e lógica fuzzy, ele utiliza um controlador adap-tativo robusto.

1.4 Organização da teseA tese está estruturada da seguinte forma: no Capítulo 2 é apresentada a teoria de

Hirschorn para inversão de sistemas, e uma modificação proposta a essa teoria. O sis-tema inverso será utilizado para desacoplar o modelo do robô, transformando um sistemaoriginalmente MIMO em dois sistemas com uma entrada / uma saída (SISO), enquantoo Capítulo 3 tem como destaque uma breve revisão sobre os controladores adaptativos(MRAC e VS-MRAC). A obtenção do modelo do robô é descrita no Capítulo 4 e a es-tratégia de controle proposta para o robô é apresentada no Capítulo 5. Já no Capítulo6 são discutidos um exemplo de um projeto utilizando o controlador proposto e os resul-tados de simulação e experimentais obtidos com este controlador. Por fim, o Capítulo7 apresenta as principais conclusões deste trabalho, além de algumas perspectivas paratrabalhos futuros.

Capítulo 2

Sistema inverso

Este capítulo destina-se a apresentar o algoritmo de inversão de sistemas não linearesmultivariáveis proposto por Hirschorn [1979, 1981], e propor uma modificação na obten-ção deste sistema inverso para o caso de sistemas lineares. O algoritmo será utilizadopelo controlador proposto nesta tese para desacoplar o modelo do robô, que é um sistemaMIMO, representando-o como dois sistemas SISO desacoplados.

Observação: As variáveis definidas neste capítulo são restritas ao mesmo.

2.1 Apresentação do sistemaUma classe de sistemas não lineares pode ser descrita por

x = A(x)+B(x)u; x ∈My = C(x)

(2.1)

onde M ⊂ℜn, A,B1, . . . ,Bm são funções vetoriais analíticas reais em M, u = [u1, . . . ,um]Tonde ui é uma função analítica real1 de [0,∞) em ℜ e C : M →ℜl .

Para o sistema 2.1 pode-se associar inversibilidade à esquerda e/ou inversibilidade àdireita, sendo que esta última, por ser utilizada neste trabalho, será detalhada. O algoritmooriginal para inversão de sistemas não lineares multivariáveis desenvolvido por Hirschorn[1979, 1981], será apresentado de forma simplificada, utilizando os conhecimentos usuaisda álgebra matricial e da resolução de equações diferenciais.

Definição 2.1 O sistema não linear é inversível à direita se, para qualquer saída desejá-vel yre f (.) = f (.) definida em [0,∞), existe um controle u(.) e uma escolha de x0, tal quey(t) = yre f (t) = f (t) para todo t ∈ [0,∞).

Se for desejado que a saída y(.,u,x0) siga uma determinada função analítica f (t),deve-se construir um sistema inverso ao sistema original, dirigido por derivadas apropria-das de f (t), que seja capaz de gerar a entrada u(t) necessária para o rastreamento de f (t)

1Uma função analítica em um ponto x é uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem nesseponto. Nesse caso a função pode ser representada por uma série de potências convergente em x.

10 CAPÍTULO 2. SISTEMA INVERSO

pela saída do sistema original. O sistema inverso utilizado desta forma é denominado desistema inverso à direita (ver Figura 2.1).

SistemaInverso

SistemaFísico

f(t) u(t) y(t)=f(t)

x0 x0

Figura 2.1: Sistema inverso à direita

Para investigar se um sistema é ou não inversível à direita, pode-se aplicar o algoritmode inversão de Hirschorn.

2.1.1 Algoritmo de inversão

O algoritmo será aplicado ao caso em estudo neste trabalho, no qual o número desaídas do sistema nout estudado é igual ao número de entradas nin. Para aplicar o algoritmoserá necessário derivar o sinal de saída y do sistema 2.1 consecutivamente, obtendo umaseqüência de sistemas. Este procedimento continuará até que se obtenha uma matriz Di(x)em função dos sinais de entrada (u), que tenha pseudo-inversa.

Derivando-se o sinal de saída do sistema 2.1, obtém-se

dydt

= y(1) =dC(x)

dt= C1(x)+D1(x)u. (2.2)

A associação da equação 2.2 ao sistema 2.1 resulta em um sistema 1 dado por

x = A(x)+B(x)u; x ∈M1z1 = C1(x)+D1(x)u

(2.3)

ondez1 = R0

dydt

C1(x) = R0(x)C1(x)D1(x) = R0(x)D1(x)

e R0 é uma matriz elementar nout×nout a qual reordena as linhas dependentes de D1(x) detal maneira que as primeiras r1 linhas sejam linearmente independentes para algum x∈Me M1 é um subconjunto de M. Denomina-se r1 de índice de inversibilidade do sistema 1.

Constrói-se, então, indutivamente uma seqüência de sistemas não lineares, tal que ok-ésimo sistema seja:

Sistema k: x = A(x)+B(x)u; x ∈Mk

zk = Ck(x)+Dk(x)u

2.1. APRESENTAÇÃO DO SISTEMA 11

onde Mk é um subconjunto de M, Ck(x) e Dk(x) são matrizes nout ×1 e nout ×nin, respec-tivamente, cujos elementos são funções analíticas reais em Mk, e

Dk(x) =

Dk1(x)0

com Dk1(x) sendo uma matriz rk×nin de posto rk para todo x ∈Mk.Na construção acima, é produzida uma seqüência de inteiros não negativos r1,r2, . . .,

onde rk é denominado índice de inversibilidade do k-ésimo sistema. Por construção,0≤ r1 ≤ r2 ≤ r3 ≤ . . .≤ nout .

Definição 2.2 A ordem de rastreamento β do sistema 2.1 é o mínimo inteiro positivo k,tal que rk = nout ou β = ∞ se rk < nout para todo k > 0.

Para continuar o desenvolvimento da teoria de inversão de sistemas, deve-se garantirque a saída zk do k-ésimo sistema, para todo k > 0, é dependente da entrada u(.) impli-citamente e não explicitamente. Esta verificação torna-se necessária ao caso não lineartendo em vista que as reduções de linhas usadas na criação da seqüência de sistemas sãodependentes de x(t). Considera-se β < ∞ (esta condição é relevante no desenvolvimentoposterior).

Teorema 2.1 Seja o sistema não linear 2.1 com ordem de rastreamento β < ∞.

Se β≥ 2 eBiA jRk(.)≡ 0 em M (2.4)

para 0 ≤ k ≤ β−2, 0 ≤ j ≤ β−2− k e i = 1, . . . ,nin, então, a saída do k-ésimo sistema2.1 pode ser decomposta como

zk =

zkzk

=

Hk(x)Jk(x)

Yk = Kk(x)Yk

onde

Yk =

y(1)

...y(k)

y(i) =dyi

dti

Isto significa dizer que a saída zk do k-ésimo sistema, onde k = 1, . . . ,β, é dependenteimplicitamente da entrada u(.). Tem-se, então,

zk(x) =

Hk(x)Jk(x)

Yk =

Ck(x)Ck(x)

+

Dk1(x)

0

u(t)

Observa-se que, para β < ∞, o β-ésimo sistema é dado por

Sistema β: x = A(x)+B(x)u; x ∈Mβzβ = Cβ(x)+Dβ(x)u


onde a matriz Dβ(x)nout×nin de posto nout , tem a pseudo-inversa dada por

D∗β(x) = DT

β (DβDTβ )−1

com DβD∗β = I em Mβ e

zβ = Kβ(x)Yβ = Hβ(x)Yβ

onde Hβ(x) é uma matriz nout ×βnout .

2.1.2 Reprodutibilidade funcional assintóticaDefinição 2.3 Diz-se que uma função f (t) definida em [0,∞) pode ser reproduzida funci-onalmente pela saída y(t) do sistema 2.1, para uma dada condição inicial x(0), se existealgum controle u(.), tal que y(t) = f (t) para todo t ∈ [0,∞).

Hirschorn [1981] deduziu uma condição suficiente para a reprodutibilidade funcional.

Teorema 2.2 Seja o sistema não linear 2.1 com ordem de rastreamento β < ∞ e, paraβ≥ 2, supõe-se que a condição 2.4 seja satisfeita.

Seja f (t) uma função analítica real e o estado inicial x(0) = x0 ∈ Mβ. Então, f (.) =y(.,u,x0) para algum controle admissível u, se e somente se,

f (0) = C(x0) eJk(x0)Fk(0) = Ck(x0), para k = 1, . . . ,β−1

onde

Fk(t) =

f (1)(t)

...f (k)(t)

Corolário 2.1 Seja o sistema não linear 2.1 com ordem de rastreamento β < ∞ e, paraβ≥ 2, supõe-se que a condição 2.4 seja satisfeita. Então o sistema

x = A(x)+ B(x)u; x ∈Mβy = C(x)+ D(x)u

(2.5)

onde x(0) = x0 e

A(x) = A(x)−B(x)D∗β(x)Cβ(x)

B(x) = B(x)D∗βHβ(x)

C(x) =−D∗β(x)Cβ(x)

D(x) = D∗β(x)Hβ(x)

2.2. INVERSÃO DE UM SISTEMA LINEAR 13

atua como um sistema inverso à direita para o sistema 2.1. Em particular, se f (.) podeser reproduzida por y(.,u,x0) para algum u e x0 ∈ Mβ, então, f (.) = y(.,u f ,x0) ondeu f = y(.,Fβ,x0).

2.2 Inversão de um sistema linear

Para se obter um sistema inverso utilizando o algoritmo de inversão de Hirschorn,basta derivar as saídas do sistema físico até obter uma relação inversível entre as deriva-das das saídas e as entradas. Assim, se

x = Ax+Buy = Cx , (2.6)

onde x ∈ ℜn, y ∈ ℜm e u ∈ ℜm (caso específico do número de entradas igual ao númerode saídas), derivando-se cada saída obtém-se

x = Ax+Bu

zβ = Cβx+Dβu ,

onde (Dβ : ℜm →ℜm) é uma relação inversível entre as entradas e saídas do sistema físicoe

zβ = Hβy(1) . . . y(β)T (2.7)

com Hβ sendo uma matriz m×βm.Desta forma, seguindo o algoritmo de Hirshorn, é possível obter-se um sistema inverso

para o sistema linear da equação (2.6) dado por

x = Ax+ BuY = Cx+ Du

ondeA = A−BD−1

β Cβ C = −D−1β Cβ

B = BD−1β Hβ D = D−1

β Hβu = [U1 . . . Un]T

Para finalizar a inversão do sistema é importante ressaltar que as saídas do sistemainverso serão as entradas do sistema físico u = Y e as saídas do sistema físico rastreiamas entradas u escolhidas para o sistema inverso.

Como o caso em estudo se trata de um sistema linear, será possível obter uma matrizde transferência para o sistema inverso dada por

G(s) = C(sI− A)−1 B+ D, (2.8)

uma para o sistema físicoG(s) = C(sI−A)−1B (2.9)


e uma outra para o sistema desacoplado

W (s) = G(s) ·G(s) = diag

1sk(i)

, i = 1, . . . ,m (2.10)

onde k(i) é o índice de inversibilidade de cada par entrada/saída.

Exemplo

Seja um sistema linear dado por

x =

A 02×2

I2×2 02×2

x+

B

02×2

u

y = Cx,

onde x ∈ ℜ4, y ∈ ℜ2, u ∈ ℜ2 e C = [02×2 I2×2]. Derivando-se duas vezes cada saídaobtém-se

x =

A 02×2

I2×2 02×2

x+

B

02×2

u

z2 = C2x+D2u,

onde D2 = B é uma relação inversível entre as entradas e saídas do sistema físico e C2 =[A 02×2]. Desta forma, é possível se obter um sistema inverso para o sistema linear daequação (2.11), semelhante ao sistema da equação (2.8), onde

A = A−BD−12 C2 C = −D−1

2 C2B = BD−1

2 H2 D = D−12 H2

u = [0 0 U1 U2]T

H2(2×4) =

0 0 1 00 0 0 1

Por fim, a matriz de transferência para o sistema desacoplado será

W (s) = G(s) ·G(s) =

1s2 0

01s2

(2.11)

2.3 Modificação do sistema inverso à direita

Este trabalho propõe uma forma alternativa para obtenção da matriz G(s) (equação2.8), a qual funcionará como um sistema inverso ao sistema físico. Reescrevendo o sis-tema (2.11) através de sua matriz de transferência, obtém-se

y1 = G11u1 +G12u2y2 = G21u1 +G22u2

,

2.3. MODIFICAÇÃO DO SISTEMA INVERSO À DIREITA 15

o qual é apresentado na Figura 2.2 através de diagramas de blocos.

G11

G12

G21

G22

y1

y2

u1

u2

+

+

+

+

Figura 2.2: Sistema físico

A proposta é adicionar um outro sistema à direita do sistema físico, para que o mesmofuncione como um sistema inverso e desacople o sistema físico de forma semelhante aoalgoritmo de inversão de Hirshorn (ver Figura 2.3).

G11

G12

G21

G22

y1

y2

u1

u2

G11

G12

G21

G22

U1

U2

+

+

+

+

+

+

+

+

Figura 2.3: Sistemas inverso e físico

Seja um sistema linear qualquer com duas entradas (U1,U2) e duas saídas (u1,u2)descrito por

u1 = G11U1 + G12U2u2 = G21U1 + G22U2

Aplicando-se as saídas (u1,u2) como entradas para um outro sistema linear qualquer, comduas entradas e duas saídas (y1,y2), a relação entre as entradas (U1,U2) do primeiro sistemae as saídas (y1,y2) do segundo sistema será

y1 = (G11 G11 +G12 G21)U1 +(G11 G12 +G12 G22)U2y2 = (G21 G11 +G22 G21)U1 +(G21 G12 +G22 G22)U2

(2.12)

Para desacoplar as saídas (y1,y2) com relação às entradas (U1,U2) e garantir que amatriz de transferência G(s) se comporte como o sistema inverso de Hirschorn, a solução


para o conjunto de equações em (2.12) deverá ser

G11 G11 +G12 G21 = 1/s2

G21 G11 +G22 G21 = 0(2.13)

G11 G12 +G12 G22 = 0G21 G12 +G22 G22 = 1/s2 (2.14)

Pode-se observar que a solução para as equações dadas em (2.13) e (2.14) implica em[Silverman 1969]

G = G−1 ·

1s2 0

01s2

,

ou seja, as saídas (y1,2) rastreiam as entradas (U1,2) com dinâmica 1/s2 (duplo integrador).

A modificação do sistema inverso à direita proposta por este trabalho será importantena implementação do controlador (ver seção 5.3), pois permitirá utilizar em substituiçãoaos integradores 1/s2, qualquer planta com a mesma ordem deste integrador, por exemplo

G = G−1 ·

1s2 +αas+αb

0

01

s2 +αas+αb

,

simplificando o projeto do controlador e reduzindo a amplitude do sinal de controle comopode ser comprovado comparando-se as Figuras H.23 até H.28 com as Figuras H.5 atéH.16 do Apêndice H.

• Generalizando o desacoplamentoSeja um sistema linear qualquer dado por

x = Ax+Buy = Cx , (2.15)

onde x∈ℜn, y∈ℜm e u∈ℜm (caso específico do número de entradas igual ao número desaídas). Como G(s) = C(sI−A)−1B, para desacoplar o sistema (2.15) deve-se encontrarum sistema inverso à direita G(s) no qual

G(s) = G−1(s) ·W (s) (2.16)

ondeW (s) = diag

1

gi(s)

, i = 1, . . . ,m (2.17)

e gi é um polinômio qualquer com grau igual ao grau relativo de Gi,i, para i, . . . ,m.

2.4. COMENTÁRIOS FINAIS 17

2.4 Comentários finaisNeste capítulo foram apresentados os principais passos do algoritmo de inversão de

Hirschorn e proposta uma modificação no algoritmo para a aplicação ao caso do robômóvel. No trabalho de Araújo [1983], o algoritmo de inversão de Hirschorn é apresentadode forma detalhada, com o enfoque na área de controle e também são apresentadas asprovas dos teoremas utilizados.

É importante lembrar que o desacoplamento é realizado através do cancelamento entrepólos e zeros e, desta forma, não é viável utilizar uma técnica de desacoplamento quandoo sistema possuir incertezas paramétricas e for de fase não mínima pois, neste caso, paracancelar o zero do sistema físico no semi-plano direito, o sistema inverso utilizará umpólo, o qual pode tornar o sistema desacoplado instável.

Capítulo 3

Controladores adaptativos

Este capítulo destina-se a apresentar, de forma resumida, algumas das técnicas decontrole adaptativo relacionadas com o controlador adaptativo utilizado na tese.

Na seção 3.1 é introduzido o conceito de sistemas a estrutura variável, na seção 3.2são apresentadas as principais características de um controlador adaptativo por modelode referência (MRAC) e, por fim, na seção 3.3 o controlador adaptativo por modelo dereferência e estrutura variável (VS-MRAC), que será implementado no controle do robômóvel, tem sua teoria discutida.

Observação: As variáveis definidas neste capítulo são restritas ao mesmo. Para facilitaro entendimento das técnicas apresentadas neste capítulo, as variáveis aqui definidas utili-zam a mesma simbologia da grande maioria das publicações em controle adaptativo pormodelo de referência.

3.1 Sistemas a estrutura variávelCom origem no estudo dos controladores a relé desenvolvido na Rússia [Emelyanov

& Taran 1963a, Emelyanov & Taran 1963b, Taran 1964a, Taran 1964b, Itkis 1976, Utkin1978], a teoria de sistemas a estrutura variável tem sido aplicada a problemas de sistemasde controle, especialmente na forma conhecida como controle por modos deslizantes.Este nome é devido ao fato de se restringir a dinâmica desejada a uma superfície deslizanteno espaço de estados. Assim, as trajetórias do sistema tendem a alcançar e manter-se nasuperfície de deslizamento, tornando-se, então, insensíveis às incertezas da planta.

O objetivo desta seção consiste em apresentar alguns aspectos fundamentais da teoriade sistemas a estrutura variável para facilitar a compreensão do controlador VS-MRAC.

Considere o seguinte sistema:

x = Ax+bu; A =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

...0 0 0 . . . 1a1 a2 a3 . . . an

; b =

00...01

(3.1)

20 CAPÍTULO 3. CONTROLADORES ADAPTATIVOS

onde xT = [x1,x2, . . . ,xn] e ai ∈ℜ(i = 1, . . . ,n). Deseja-se que a dinâmica para o sistemaesteja restrita à superfície de chaveamento S definida como:

S = x : s(x) =n−1

∑i=1

(cixi)+ xn = 0; ci > 0 (i = 1, . . . ,n−1) (3.2)

Para o sistema 3.1, definindo-se

u(x) =

u+(x); se s(x) > 0u−(x); se s(x) < 0

; u+(x) = u−(x)

como o sinal de controle, isto transforma o sistema em

x =

f +(x); se s(x) > 0f−(x); se s(x) < 0

Se a condição ss < 0 é satisfeita em uma vizinhança de s(x) = 0, os campos vetoriaisrepresentados por f + e f− apontam para S nesta vizinhança (Figura 3.1(a)). Portanto, seuma trajetória alcança S, ela é forçada a deslizar sobre esta superfície, ou seja, é definidoum modo deslizante em S (Figura 3.1(b)).

x2

x1

s(x)=x1+cx2=0

f+

f−

(a) Condição de deslizamento

x2

x1

s(x)=0

x(0)

(b) Deslizamento ideal

Figura 3.1: Exemplo do comportamento da superfície de deslizamento

Pode-se observar uma redução de ordem na dinâmica do sistema durante o desliza-mento, ou seja,

n−1

∑i=1

(cixi)+ xn = 0; x ∈ S

xi = xi+1; i = 1, . . . ,n−2; xn−1 = xn =−n−1

∑i=1

(cixi).

Observe que, durante o deslizamento, a dinâmica do sistema depende apenas das cons-tantes ci > 0 e, assim, estas devem ser escolhidas para que o sistema de ordem reduzidaapresente um desempenho desejado.

Para o sistema 3.1, com superfície de deslizamento 3.2 e utilizando como sinal de

3.1. SISTEMAS A ESTRUTURA VARIÁVEL 21

controle u =n∑

i=1(θixi), tem-se (mais detalhes ver Apêndice C)

ss = s

(a1 +θ1)x1 +

n

∑i=2

(ci−1 +ai +θi)xi

,

e, para que se possa atender a condição ss < 0, deve-se fazer

θi =−θi sgn(sxi); i = 1, . . . ,n

onde

sgn(x) =

1, se x > 0−1, se x < 0

eθ1 > |a1|; θi > |ai + ci−1|; i = 2, . . . ,n

Para o sistema a estrutura variável ser robusto às variações paramétricas da planta, énecessário que a condição de deslizamento ss < 0 seja sempre satisfeita, ou seja, os pa-râmetros θi devem ser convenientemente dimensionados conforme as variações previstaspara ai(t). Assim θ1 > sup

t>0|a1(t)| e θi > sup

t>0|ai(t)+ ci−1| (i≥ 2).

No deslizamento, s≡ 0, onde

s =n−1

∑i=1

(cixi)+ xn = a1x1 +n

∑i=2

(ci−1 +ai)xi +u,

e, desta forma, o controle equivalente ueq [Utkin 1978], associado com a superfície desli-zante s = 0, é o controle contínuo que garantiria o deslizamento na ausência de imperfei-ções (perturbações, por exemplo) e pode ser obtido fazendo s = 0, ou seja,

ueq =−

a1x1 +n

∑i=2

(ci−1 +ai)xi

; s(x) = 0

O controle equivalente pode ser interpretado fisicamente como o valor médio (uav)do sinal de controle u obtido através de um filtro passa baixa com freqüência de cortesuficientemente alta (τ→ 0) (Figura 3.2), na ausência de dinâmica não modelada da plantae de incertezas no chaveamento real [Utkin 1978].

1τs+1

u uav

Figura 3.2: Filtro de valor médio (τ→ 0)

Os controladores a estrutura variável possuem algumas dificuldades para implemen-tação. Dentre elas, pode-se destacar: os parâmetros devem ser uniformemente limitados


e mensuráveis (esta última condição nem sempre é possível), e há o surgimento de umfenômeno chamado chattering, que consiste na ocorrência de sinais de alta freqüênciaindesejáveis e excessiva atividade de controle. O chattering ocorre ao longo da superfíciede deslizamento devido às imperfeições introduzidas pelos mecanismos de chaveamentoreais, tais como zona morta, histerese, atraso, etc, e/ou à presença de dinâmica não mode-lada da planta (Figura 3.3).

x2

x1

s(x)=0

Figura 3.3: Deslizamento real

Um das dificuldades da prova de estabilidade de sistemas a estrutura variável é o fatodas equações diferenciais apresentarem o lado direito descontínuo (devido à lei de con-trole utilizada). Para estas equações não se pode determinar uma constante de Lipschitzpara garantir a existência e unicidade de uma solução para o sistema. Esta dificuldade foisuperada por uma abordagem feita por Filippov [1964]. Basicamente, as soluções no sen-tido de Filippov (ver Apêndice B) são absolutamente contínuas como funções do tempoe, também, contínuas em relação às condições iniciais. Isto torna possível a extensão dométodo direto de Lyapunov para a análise de estabilidade de sistemas a estrutura variável.

3.2 Controle adaptativo por modelo de referênciaO controlador adaptativo por modelo de referência (MRAC), o qual tem sido aplicado

a plantas com incertezas paramétricas e/ou plantas com uma dinâmica complexa, tevenos trabalhos de Narendra, Lin e Valavani [1980] um grande desenvolvimento, sendoconsolidado por Sastry [1984].

O algoritmo do MRAC utiliza um modelo de referência para determinar o compor-tamento desejado para a planta (ver Figura 3.4). O erro entre as saídas da planta e domodelo é utilizado para ajustar os parâmetros do controlador. Desta forma, o MRAC uti-liza somente informações da entrada e saída da planta, fato que o torna uma boa opçãopara implementação (utiliza um número reduzido de sensores).

Considere uma planta linear, monovariável, invariante no tempo, com incertezas pa-ramétricas e função transferência estritamente própria (grau[np(s)]<grau[dp(s)])

W (s) = kpnp(s)dp(s)

, (3.3)

3.2. CONTROLE ADAPTATIVO POR MODELO DE REFERÊNCIA 23

Controlador Planta

Adaptação

Modelo

ru y

erroθ

ym

-

+

Figura 3.4: Diagrama de blocos de um controlador MRAC

sendo u o sinal de entrada e y o sinal de saída. Considere, também, um modelo

M(s) = kmnm(s)dm(s)

(3.4)

o qual possui r como sinal de entrada e ym como sinal de saída.De posse dessas considerações, o objetivo é encontrar uma lei de controle u(t) que

faça o erro

e0 = y− ym (3.5)

tender a zero assintoticamente, para uma condição inicial arbitrária e com sinal de refe-rência r(t) uniformemente limitado.

É importante destacar algumas hipóteses assumidas no estudo dos controladores adap-tativos por modelo de referência [Ioannou & Sun 1995, Sastry & Bodson 1989]:

1. A planta deve ser controlável e observável, de fase mínima (dp(s) é Hurwitz), sendodp(s) e np(s) polinômios mônicos1 com graus [dp(s)] = nd e [np(s)] = nn conheci-dos e incertezas paramétricas uniformemente limitadas;

2. O modelo de referência dever ser estável (dm(s) é Hurwitz), sendo dm(s) e nm(s)polinômios mônicos com o mesmo grau relativo (n∗ = nd−nn) da planta (em geralgrau [dp(s)]= grau [dm(s)]) e sinal(kp) = sinal(km), positivos por simplicidade;

3. A entrada e a saída da planta devem ser mensuráveis e são utilizadas para gerar osinal de controle.

Como o número de parâmetros da planta é igual a 2nd , e os sinais disponíveis são r ey, faltam 2nd−2 sinais para a implementação do sinal de controle. Estes são obtidos pela

1Polinômio mônico é um polinômio em que o coeficiente do termo de grau mais alto é 1.


filtragem dos sinais de entrada e saída como segue

v1 = Λv1 +guv2 = Λv2 +gy (3.6)

onde v1,v2 ∈ ℜnd−1 e Λ é escolhido de tal forma que nm(s) é um fator de det(sI−Λ). Ovetor regressor é definido como

ωT = [vT1 y vT

2 r] (3.7)

A equação de controle é então definida como

u = θT (t)ω(t) (3.8)

ondeθT (t) = [θT

v1 θn θTv2 θ2n] (3.9)

é o vetor de parâmetros adaptativos [Narendra & Annaswamy 1989].Baseado nas hipóteses anteriores, segundo Ioannou e Sun [1995], existirá um único

vetor constante θ∗ capaz de fazer com que a função de transferência da planta em malhafechada (com u = θ∗T ω) se comporte exatamente como o modelo (condição de Matching).Porém, para se conhecer o vetor θ∗, deve-se conhecer todos os parâmetros da planta, oque é bastante difícil na prática. Assim, o vetor θ(t) será adaptado até que e0(t) → 0quando t → ∞ e, eventualmente sob alguma condição de riqueza de sinal, θ(t)→ θ∗. Oapêndice D apresenta como se determinar o vetor θ∗.

O erro (dedução no Apêndice A) na forma entrada/saída pode ser dado por:

e0 =1

θ∗2nM(u−θ∗T ω) (3.10)

Para o caso de grau relativo n∗ ≥2, torna-se necessária a introdução de um sinal auxi-liar

ya = MLθ2n+1(L−1u−θT L−1ω) (3.11)

no sistema de controle [Monopoli 1974], conhecido por predição do erro e0, interpretaçãofeita por Goodwin e Mayne[1987], onde L(s) é um polinômio de grau N = n∗ − 1, deforma que M(s)L(s) seja ERP (Estritamente Real Positiva). θ2n+1 e θ são estimativaspara 1/θ∗2n e θ∗ (parâmetros da condição de Matching), respectivamente.

Este sinal auxiliar é introduzido com a finalidade de obter um erro aumentado

ea = (y− ym)− ya = e0− ya (3.12)

regido por um operador ERP.No artigo de Narendra e outros [1980] foi proposta uma modificação em ya, com o

objetivo de tornar o sistema adaptativo globalmente estável, onde

ya = ML[θ2n+1(L−1θT −θT L−1)ω+αea(L−1ω)T (L−1ω)], α > 0. (3.13)

3.3. CONTROLADOR VS-MRAC 25

As leis integrais de adaptação utilizadas para atualizar θ(t) e θ2n+1(t) são

θ = −ea(L−1ω)θ2n+1 = ea(L−1θT −θT L−1)ω (3.14)

O algoritmo do MRAC, para ser globalmente estável na presença de perturbaçõese dinâmica não modelada, necessita da introdução de normalização, o que pode levaros transitórios de adaptação a serem demasiadamente lentos [Ioannou & Tsakalis 1986,Ortega & Yu 1987, Rohrs et al. 1989]. Mesmo com a excitação rica em freqüências, aqualidade do transitório de adaptação (quando θ(t) está distante de θ∗) não é uniformee a convergência dos parâmetros adaptativos é muito lenta. Apesar do comportamentotransitório não ser totalmente aceitável, em algumas situações, o sinal de controle é suave,tornando-o adequado para a condição de regime permanente.

A Tabela 3.1 resume o algoritmo de um controlador MRAC convencional

u = θT ωea = (y− ym)− ya = e0− ya

ya = ML[θ2n+1(L−1θT −θT L−1)ω+αea(L−1ω)T (L−1ω)], α > 0

θ = −ea(L−1ω)

θ2n+1 = ea(L−1θT −θT L−1)ω

Tabela 3.1: Algoritmo do controlador MRAC convencional

3.3 Controlador VS-MRACO controlador VS-MRAC foi desenvolvido por Hsu e Costa [1989] e Hsu [1988, 1990]

utilizando uma estrutura semelhante ao MRAC, porém substituindo as leis integrais porum conjunto de leis chaveadas. O VS-MRAC teve como motivação o interesse em secriar um controlador que, fazendo apenas medições da entrada e saída da planta, tornasseo sistema, em malha fechada, robusto às incertezas paramétricas, distúrbios externos,dinâmica não-modelada, além de fazer com que ele apresentasse um bom desempenhotransitório. O algoritmo para plantas de ordem superior a 1, assim como a prova deestabilidade, pode ser encontrado nos trabalhos de Araújo e Hsu [1993, 1994, 1990].

O algoritmo apresentado por Hsu [1990] foi modificado por Araújo e Hsu [1990],o que reduziu o número de relés e possibilitou a obtenção de um melhor desempenhotransitório. Aqui será apresentada a versão compacta do VS-MRAC, proposta por Araújoe Hsu [1990] e denominada de VS-MRAC compacto.

Para o desenvolvimento do controlador VS-MRAC é necessário que se considere asequações (3.3-3.10) da planta, do modelo e dos sinais filtrados v1 e v2, as hipótese (1-


3) da página 23 e algumas definições auxiliares introduzidas durante a apresentação docontrolador.

O controlador VS-MRAC será aplicado a uma planta com grau relativo 2 (n∗=2), des-crita por

W (s) =kp

s2 +α1s+α2M(s) =

km

s2 +αm,1s+αm,2(3.15)

onde M(s) é o modelo de referência e W(s) é uma planta com característica semelhante àplanta utilizada na tese. O diagrama de blocos do controlador VS-MRAC para uma plantacomo W(s) pode ser visualizado na Figura 3.5.

Modelo

Planta

Relé

κnomML

1L

(.)eqRelé

1L

θTnomω

f0

f1

r ym

y

e0 u0e0

ya

uequ1 e1

-

+

+

-

+

-

+

-

+

-

Figura 3.5: Diagrama de blocos de um controlador VS-MRAC compacto (n∗=2)

Seja L(s) um polinômio com grau N=n∗-1, de forma que M(s)L(s) seja ERP e estrita-mente própria, ou seja,

L(s) = s+α, α > 0

Em seguida, definem-se novos sinais filtrados

χ0 = L−1uξ0 = L−1ω (3.16)

onde, por convenção, ξ1 = ω e χ1 = u.


Sejau =−u1 +θT

nomω

o novo sinal de controle, onde θnom ∈ℜ2nd é um vetor de parâmetros nominais obtidos domodelo nominal da planta (idealmente, θnom = θ∗ para a condição de Matching). O erroda equação 3.10 será redefinido como

e0 = k∗M(u−θ∗T ω−θTnomω) (3.17)

onde o termo −θnomT ω foi acrescido para facilitar a implementação das leis chaveadas e

k∗ = 1/θ∗2n.

Seja knom > 0 o valor nominal de k∗. Assim, pode-se redefinir o erro e0 como

e0 = knomML(k∗

knomL−1u− k∗

knomθ∗T L−1ω− k∗

knomθT

nomL−1ω) (3.18)

Agora, serão definidos alguns novos parâmetros:

ρ =k∗

knom> 0

κ > |κ| =k∗ − knom

knom

→ ρ = κ+1

θ0J > ρ |θ∗J −θnom,J| (J = 1, . . . ,2n)θ1J > |θ∗J −θnom,J| (J = 1, . . . ,2n)

(3.19)

e κ0, κ0 + 1, θ0 como estimativas para κ, ρ e ρθ∗, respectivamente. O sinal de prediçãopode ser apresentado como

ya = knomML((κ0 +1)χ0 −θT0 ξ0 − (κ0 +1)θT

nomξ0)ya = knomML(κ0(χ0 −θT

nomξ0)−θT0 ξ0 +(χ0 −θT

nomξ0))(3.20)

ou, escrevendo de forma mais simples,

ya = knomML(u0−L−1u1) (3.21)

ondeχ0 −θT

nomξ0 = L−1(u−θTnomω)

= L−1(−u1 +θTnomω−θT

nomω)= L−1(−u1)

eu0 = κ0(χ0 −θT

nomξ0)−θT0 ξ0

Sejau0 = f0 sgn(e0)


onde e0 = e0− ya é o erro de predição e

f0 = κ|χ0 −θTnomξ0|+

2n

∑j=1

θ0 j|ξ0 j | (3.22)

é a função de modulação que deve ser escolhida de forma a garantir que e0 → 0 em tempofinito. Seja

u1 = f1 sgn(e1)

onde e1 = (u0)eq−L−1u1 e

f1 =2n

∑j=1

θ1 j|ω j| (3.23)

é escolhido de forma a garantir que e1 → 0 em tempo finito.O algoritmo do controlador VS-MRAC compacto encontra-se resumido na Tabela 3.2.

u = −u1 +θTnomω

ya = knomML[u0−L−1u1]

e0 = e0− ya

e1 = (u0)eq−L−1(u1)

f0 = κ|χ0 −θTnomξ0|+θT

0 |ξ0|

f1 = θT1 |ξ1|

ui = fi · sgn(ei), i = 0,1

Tabela 3.2: Algoritmo do controlador VS-MRAC compacto

No desenvolvimento da estratégia de controle, introduziu-se uma cadeia de erros au-xiliares (e0,e

1), duas cadeias de parâmetros auxiliares (θ0,θ1) e (κ) para o rastreamento

do modelo.As leis de adaptação a estrutura variável são escolhidas de forma que os erros auxilia-

res ei(i = 0,1) atinjam modos deslizantes em um tempo finito. O controlador equivalente(u0)eq é obtido assintoticamente de (u0) por meio de um filtro passa baixa (1/F) comfreqüência de corte suficientemente elevada.

A malha de realimentação é constituída por um filtro em avanço a estrutura variável,cuja função consiste em obter (u)eq = (−u1 + unom)eq → u∗ = θ∗T ω (condição de Mat-ching). Este filtro é necessário devido à introdução do sinal adicional ya, que é regidopelo operador ML.


• Robustez do controlador VS-MRACNesta seção são apresentados os resultados obtidos por Costa e Hsu [1992] sobre a

robustez do controlador VS-MRAC às perturbações e dinâmica não modelada.Considere um distúrbio d uniformemente limitado na entrada da planta (ver Figura

3.6) e uma dinâmica não modelada ∆µ estável

∆µ =−µs+1µs+1

, (3.24)

ou seja, µ ∈ (0,µ] com µ > 0 suficientemente pequeno.

W (s)u+

+

d

y

Figura 3.6: Planta com distúrbio de entrada e dinâmica não modelada

Se um distúrbio uniformemente limitado desconhecido d(t), |d(t)| ≤ d, atua na en-trada da planta e ∆µ = 0, todos os sinais no sistema permanecem uniformemente limita-dos e o erro de saída é ulteriormente limitado por kdd, kd ≥ 0. Se, além disso, ||ξ|| > cid,∀t ≥ ti, ti finito e ci uma constante positiva adequada, então o erro de saída convergeexponencialmente a zero.

Já no caso de ∆µ = 0, se ||ω||≥ c1√µ+c2d +δ para algumas constantes positivas c1,

c2 e δ arbitrariamente pequenas, ∀t ≥ t0, t0 finito, então o erro de saída e0 é da ordem deµ.

3.4 Comentários finaisNeste capítulo foram apresentados os conceitos básicos para um bom entendimento

do controlador VS-MRAC de grau relativo 2, o qual será o controlador utilizado ao longodeste trabalho. Ao final, foram apresentados os principais resultados de robustez do con-trolador VS-MRAC.

Capítulo 4

Modelagem do robô móvel

O modelo matemático de um robô móvel pode ser dividido em duas partes distintas:Cinemática e Dinâmica. A primeira é caracterizada pela representação do movimento edas suas restrições, não incluindo as forças dinâmicas que atuam sobre o robô. A segundarepresenta a resposta do robô à excitação externa no decorrer do tempo, levando em con-sideração as forças dinâmicas atuando sobre sua estrutura, sua massa e seu momento deinércia, o modelo dinâmico dos atuadores (motores c.c.) do sistema e as forças de atritoenvolvidas. O modelo que será utilizado neste trabalho é o dinâmico, no qual, quandocomparado ao modelo cinemático, é mais simples modelar as perturbações existentespermitindo impor maiores velocidades ao robô móvel.

Alguns artigos [Yang & Kim 1999, Pereira et al. 2000, Lages & Hemerly 2000, Oli-veira & Lages 2001, Tanner & Kyriakopoulos 2002, Lizarralde 1998] encontrados naliteratura utilizam uma modelagem dinâmica do robô móvel para o desenvolvimento desuas técnicas de controle. Outros trabalhos apresentam abordagens baseadas apenas nomodelo cinemático.

Este capítulo é dedicado a descrever como foi obtido o modelo do robô utilizado1.Na seção 4.1 é apresentado o modelo cinemático do robô. A dinâmica dos motores c.c.utilizados pelo robô é descrita na seção 4.2. A seção 4.3 traz o modelo dinâmico do robôe, por fim, a seção 4.4 apresenta o modelo, em variáveis de estado, utilizado na tese, oqual associa a dinâmica dos motores c.c. à dinâmica e cinemática do robô.

4.1 Modelagem cinemática do robô móvelEsta seção descreve o modelo matemático de um robô móvel de formato cúbico com

aresta de 70mm, uma bateria (NiMh), dois motores c.c. independentes, um acoplado acada roda, e uma placa de processamento embarcado, a qual controla o acionamento dosmotores e a comunicação com a central de controle (computador).

A Figura 4.1(a) exibe a configuração do robô modelado em relação à sua posição noespaço cartesiano (xp e yp, são as coordenadas do ponto central do robô) e sua orien-tação θp (ângulo entre o vetor de orientação do robô e o eixo x). As informações deposicionamento e orientação são obtidas a partir de um sistema de visão.

1O robô deste trabalho está de acordo com as regras da MiroSot/Fira (Micro Robot World Cup SoccerTournament / Federation of International Robot-Soccer Association).

32 CAPÍTULO 4. MODELAGEM DO ROBÔ MÓVEL

ωr,τr

vr, fr

yp

xp

θp

(a) Robô móvel com duas rodas tracionadas (b) Restrições não-holonômicas

Figura 4.1: Cinemática do robô

Nomenclatura adotada para o robô da Figura 4.1(a):

ωr = velocidade angular do robô;vr = velocidade linear do robô;τr = torque resultante no robô;fr = força resultante no robô;

De acordo com a Figura 4.1(a), os deslocamentos incrementais do robô são expressospor

xp = vr · cos(θp)yp = vr · sen(θp)θp = ωr

(4.1)

um conjunto de equações que corresponde ao modelo cinemático do robô.O robô modelado está sujeito a uma restrição não-holonômica (ver Figura 4.1(b)), a

qual impede que as rodas deslizem lateralmente. Desta forma, o robô somente se deslocana direção em que está orientado.

A velocidade linear (vr) e a angular (ωr) do robô estão relacionadas com as velocida-des angulares das rodas direita (ωd) e esquerda (ωe) através de

ωdωe

= ωTv

vrωr

onde ωTv =

1/rd d/2rd1/re −d/2re

(4.2)

onde d é a distância entre as rodas e rd,e são os raios das rodas direita e esquerda. A relaçãodada pela equação 4.2 servirá para interligar a cinemática do robô com a dinâmica dosmotores.

4.2. MODELAGEM DINÂMICA DE UM MOTOR C.C. 33

4.2 Modelagem dinâmica de um motor c.c.A Figura 4.2 apresenta o diagrama esquemático2 [Ogata 1997] utilizado para modelar

o motor de corrente contínua (motor c.c.) controlado pela armadura.

Rd,e

id,e Jd,e

Rotorβd,e

Carga

ed,e ebd,be τd,e

Figura 4.2: Diagrama esquemático de um motor c.c. controlado pela armadura

Nomenclatura adotada para o motor da Figura 4.2:

ed,e = tensões de armadura dos motores;Rd,e = resistências dos enrolamentos;Jd,e = momentos de inércia dos rotores;βd,e = coeficientes de atrito dos motores;id,e = correntes nas armaduras dos motores;τd,e = torques nas rodas direita e esquerda.

Por questão de simplicidade toda dedução realizada para um motor será válida paraos dois motores.

No motor c.c. controlado pela armadura, a corrente de campo é mantida constante, oque resulta em um fluxo constante. Assim, o torque torna-se diretamente proporcional àcorrente de armadura, subtraído das perdas pelo atrito viscoso e momento de inércia dorotor, de modo que

τd,e = Kd,eid,e− (Jd,eωd,e +βd,e ωd,e) (4.3)

onde Kd,e são as constantes de torque dos motores.Quando a armadura está girando, é induzida na mesma uma tensão proporcional ao

produto do fluxo e da velocidade angular. Para um fluxo constante, a tensão induzida éebd.be = Kbd,beωd,e onde Kbd,be é a constante de força-contra-eletromotriz.

Com a intenção de relacionar a tensão de armadura com o torque, deve-se obter aequação para o circuito de armadura em função da corrente

id,e = (Rd,e)−1ed,e− (Rd,e)−1Kbd,beωd,e (4.4)

2A indutância do motor c.c. foi desprezada.


Substituindo 4.4 em 4.3 tem-se

τd,e = Kd,e(R−1d,eed,e−R−1

d,eKbd,beωd,e)− (Jd,eωd,e +βd,e ωd,e) (4.5)

onde os torques dos motores serão utilizados para relacionar as dinâmicas dos motorescom a dinâmica do robô.

4.3 Modelagem dinâmica do robô móvel

A equação de movimento do robô pode ser obtida a partir das leis de Newton [Hallidayet al. 2000]. Desta forma, a força do robô é dada por

fr = mvr +βlinvr (4.6)

onde m é a massa do robô e βlin o coeficiente de atrito entre o robô e o solo durantemovimentos de translação. O torque do robô será

τr = Jωr +βangωr (4.7)

onde J é o momento de inércia do robô e βang é o coeficiente de atrito entre o solo e orobô durante movimentos angulares.

4.4 Modelo em variáveis de estado

O modelo do robô, em variáveis de estado, deverá relacionar a dinâmica dos atuadores(motores c.c.) com a dinâmica e cinemática do robô.

Para obter o modelo em variáveis de estado, é necessário que a dinâmica do robô(equações 4.6 e 4.7) seja representada de forma matricial por

frτr

=

m 00 J

vrωr

+

βlin 00 βang

vrωr

(4.8)

ou de forma simplificada por

frτr

= Jr

vrωr

+β

vrωr

(4.9)

O torque das rodas (equação 4.5) na forma matricial é dado por

τdτe

=

Kd

Rd0

0Ke

Re

edee

−

KdKbd

Rd+βb 0

0KeKbe

Re+βe

ωdωe

−

Jd 00 Je

ωdωe

(4.10)

4.4. MODELO EM VARIÁVEIS DE ESTADO 35

e esta equação pode ser simplificada fazendo

τdτe

= K

edee

−C

ωdωe

− Jτ

ωdωe

(4.11)

A relação entre a dinâmica dos motores e a dinâmica do robô na forma matricial édada por

frτr

= ωT T

v

τdτe

(4.12)

a qual será modificada aplicando-se as equações 4.11 e 4.9 na equação 4.12

Jr

vrωr

+β

vrωr

= ωT T

v

K

edee

−C

ωdωe

− Jτ

ωdωe

(4.13)

Neste instante deve-se utilizar a relação 4.2 para montar um sistema de equações diferen-ciais ordinárias de primeira ordem, o que resulta em

Jr

vrωr

+β

vrωr

= ωT T

v

K

edee

−CωTv

vrωr

− Jτ

ωTv

vrωr

(4.14)

Agrupando os termos tem-se

(Jr + ωT Tv Jτ

ωTv)

vrωr

=−(ωT T

v CωTv +β)

vrωr

+ ωT T

v K

edee

(4.15)

e, de forma simplificada,

vrωr

=−M−1

v Bv

vrωr

+M−1

v Kv

edee

. (4.16)

Seja

−M−1v Bv =−(Jr + ωT T

v JτωTv)−1(ωT T

v CωTv +β) =

k1 k2k3 k4

(4.17)

eM−1

v Kv = (Jr + ωT Tv Jτ

ωTv)−1(ωT Tv K) =

k5 k6k7 k8

(4.18)

Reunindo a dinâmica e a cinemática, um modelo simplificado em variáveis de estadoque representa o robô móvel será

x = Ax+Be (4.19)

onde

A =

k1 k2 0 0 0k3 k4 0 0 0

sen(θp) 0 0 0 0cos(θp) 0 0 0 0

0 1 0 0 0

, B =

k5 k6k7 k80 00 00 0

, x =

vdωrxpypθp

,


A fim de reduzir a complexidade do modelo pode-se reescrever a cinemática do robô(sistema 4.1) em termos do deslocamento linear S e do ângulo do robô θp, o que resultaem

S = vr

θp = ωr(4.20)

Um problema inerente a esta representação é o fato de que S não é mensurável devidoao sistema de visão utilizado para obter o posicionamento do robô (a posição é obtidaapenas em instantes de tempo determinado). O modelo obtido em variáveis de estadoserá

vrωrSθp

=

k1 k2 0 0k3 k4 0 01 0 0 00 1 0 0

vrωrSθp

+

k5 k6k7 k80 00 0

edee

(4.21)

ou de forma simplificada

x = Ax+Be

y = Cx =

Sθp

(4.22)

Este modelo foi proposto no trabalho de Guerra [2003].

4.5 Análise de estabilidade do modelo utilizado para des-crever o robô móvel

A matriz de transferência para o sistema da equação (4.22) é G(s) = C(sI−A)−1B, aqual pode ser descrita por

G(s) =

G1,1 G1,2G2,1 G2,2

· 1

D(4.23)

Como a técnica de inversão à direita desacopla utilizando cancelamento de pólos ezeros, é recomendado que o polinômio

D = s(s2− (k1 + k4)s+ k2k3 + k1k4) (4.24)

possua raízes no semi-plano esquerdo.Aplicando a fórmula de Bhaskara na equação 4.24, tem-se

(k1 + k4)±

(−(k1 + k4))2−4(k2k3 + k1k4)2

< 0 (4.25)

(−(k1 + k4))2−4(k2k3 + k1k4) < (−(k1 + k4))2 (4.26)

−4(k2k3 + k1k4) < 0, ∀t > 0, (4.27)

onde k1k4 > 0, ∀t > 0. Assim, para garantir que as raízes do polinômio D estejam nosemi-plano esquerdo basta que k1k4 > k2k3, o que é esperado pois k2 e k3 representam a

4.6. DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DO ROBÔ MÓVEL 37

influência da assimetria do robô, a qual, na grande maioria dos casos, será pequena comrelação aos parâmetros k1 e k4.

4.6 Determinação dos parâmetros do robô móvelPara o uso em simulações, os valores nominais dos diversos parâmetros físicos do

modelo foram levantados para um robô específico3. Este levantamento se deu atravésde um procedimento de identificação de parâmetros utilizando uma técnica de mínimosquadrados ponderados [Martins et al. 2009], e resultou no seguinte conjunto de valores(ver Apêndice J):

k1 k2k3 k4

=

−6,098 0,04682−4,491 −57,52383

k5 k6k7 k8

=

0,012799 0,010618−1,624859 1,683278

(4.28)

4.7 Comentários finaisO modelo foi obtido a partir de equações dinâmicas simples, as quais não consideram

um vasto conjunto de fenômenos inerentes ao robô, tais como saturação, zona-morta,atrito seco, entre outros. Estes fenômenos não considerados na modelagem, bem como oproblema de S não ser mensurável, serão considerados no desenvolvimento da estruturado controlador (ver Capítulo 5).

O modelo, em variáveis de estado (equação 4.21), apresentado possui o mesmo núme-ro de entradas (ed ,ee) e saídas (S,θp) e será desacoplado utilizando o método de Hirschornmodificado (ver seção 5.1).

3Os parâmetros foram obtidos para o robô móvel da Microrobot, o mesmo que será utilizado na obtençãode resultados experimentais.

Capítulo 5

Estrutura do controlador

Este capítulo destina-se a apresentar a estrutura do controlador proposto na tese. Ointeresse é controlar a posição de um robô móvel e, para tanto, será utilizado um modelolinear do mesmo. Este modelo linear será desacoplado por um sistema inverso à direita,o qual, quando há incertezas paramétricas e/ou dinâmicas não modeladas, não conseguirádesacoplar perfeitamente o modelo linear do robô. Assim, para corrigir a perda do de-sacoplamento, será introduzido um conjunto de controladores VS-MRAC, os quais seadaptam às variações paramétricas e dinâmicas não modeladas de forma rápida (devido àestrutura variável). Com a garantia do desacoplamento, será proposto um controlador paracontrolar a posição do robô. Esta estrutura pode ser visualizada de forma simplificada nodiagrama de blocos da Figura 5.1

Controlede

PosiçãoVS-MRAC

Sistema

InversoRobô

Figura 5.1: Diagrama de blocos simplificado da estrutura do controlador proposto

Na seção 5.1 é demonstrado o desacoplamento do sistema, ou seja, a transformação dosistema originalmente MIMO em dois sistemas SISO e uma análise sobre os casos ondeocorrerá a perda do desacoplamento. Já na seção 5.2 é demonstrado como são aplicadosos controladores VS-MRAC. Na seção 5.3 é descrito como os controladores são aplicadosaos sistemas SISO para que os mesmos controlem a posição do robô. Por fim, a seção 5.4faz uma análise geral da estrutura do controlador.

40 CAPÍTULO 5. ESTRUTURA DO CONTROLADOR

5.1 Desacoplamento do sistemaO robô descrito no Capítulo 4 possui como entradas as tensões aplicadas aos motores

das rodas e como saídas a posição e orientação do robô, as quais são obtidas por umsistema de visão (ver Figura 5.2).

Robô

ee

ed

xp

yp

θp


Uma modificação na cinemática do robô foi realizada a fim de se reduzir a complexi-dade do modelo (ver Figura 5.3).

Robô

ee

ed

S

θp

Figura 5.3: Diagrama de blocos do robô móvel com abordagem linear

Esta modificação transforma o modelo do robô em um sistema linear com o mesmonúmero de entradas e saídas. Como a intenção é aplicar um conjunto de controladoresSISO a um sistema MIMO, um novo sistema, adequadamente calculado, será introduzidoà direita do sistema físico (ver Figura 5.4) para que a entrada US esteja somente relacio-nada com a saída S e, de forma semelhante, Uθ com θp.

SistemaInverso Robô

US

Uθ

ee

ed

S

θp

Figura 5.4: Introdução do sistema inverso do robô móvel com abordagem linear

A equação (4.22) representa o robô em variáveis de estado, o qual possui matriz detransferência G(s) dada por

G(s) = C(sI−A)−1B =

G1,1 G1,2G2,1 G2,2

· 1

D(5.1)

Para desacoplar qualquer sistema linear, de acordo com a seção (2.3), é necessárioobter os graus dos polinômios G1,1(s) e G2,2(s), os quais serão utilizados no calculo de

5.1. DESACOPLAMENTO DO SISTEMA 41

G(s), através da equação (2.16), resultando em

G(s) = G(s)−1 ·W1 00 W2

, (5.2)

onde W1 e W2 são escolhidos como

W1 =kw1

s2 +αa1 +αb1, grau[W1] = grau[G1,1(s)]

W2 =kw2

s2 +αa2 +αb2, grau[W2] = grau[G2,2(s)]

(5.3)

Após a aplicação do sistema inverso, no caso ideal (parâmetros totalmente conheci-dos), o sistema estará perfeitamente desacoplado. Isso significa dizer que o robô podeser considerado como duas plantas totalmente distintas (ver Figura 5.5), e, desta forma,é possível tratar o controle do robô utilizando dois controladores (SISO), um para cadaplanta resultante.

W1

W2

US

Uθ

S

θp

Figura 5.5: Robô móvel desacoplado

As funções de transferência W1 e W2 serão as plantas para os movimentos de transla-ção e de orientação, respectivamente.

• Análise da perda do desacoplamentoO desacoplamento do sistema somente será perfeito (ver Figura 5.5) se os parâmetros

forem totalmente conhecidos, o que é praticamente impossível. Duas situações de perdado desacoplamento são analisadas a seguir.

Antes de iniciar a análise, faz-se necessário definir que parâmetros nominais do robôsão os parâmetros conhecidos do robô, ou seja, parâmetros obtidos através de cálculose/ou medições. O desejo é fazer com que os parâmetros nominais sejam exatamenteiguais aos parâmetros reais do robô, embora em raras ocasiões isto seja possível.

O desacoplamento sempre será feito utilizando-se a matriz de transferência nominalG(s) (equação 5.1), o que significa que G(s) (equação 5.2) é a matriz de transferência quedesacopla o robô com parâmetros nominais. A análise do que ocorrerá quando a matrizG(s) possuir incertezas paramétricas e/ou dinâmica não modelada é apresentada a seguir.


• Incertezas paramétricas

As incertezas paramétricas no robô produzirão uma matriz G(s) com o formato (verApêndice E)

G(s) =

G1,1 +∆Gd1,1 G1,2 +∆Gd1,2G2,1 +∆Gd2,1 G2,2 +∆Gd2,2

· 1

D+∆Dd(5.4)

Ao se desacoplar G(s) (equação 5.4) com a matriz G(s), o resultado será uma matrizde transferência dada por

Sθp

=

W1 +∆W1 Wz1

Wz2 W2 +∆W2

·USUθ

, (5.5)

no qual ∆Wi representa as incertezas paramétricas em Wi, Wz1 é interpretada como sendoa perturbação adicionada a S e Wz2 é interpretada como sendo a perturbação adicionada aθp.

• Incertezas paramétricas e dinâmicas não modeladas

Ao se acrescentar dinâmica não modelada à matriz da equação 5.4, a matriz de trans-ferência G(s) do robô torna-se (ver Apêndice E)

G(s) =(G1,1 +∆Gd1,1)µd1,1 (G1,2 +∆Gd1,2)µd1,2(G2,1 +∆Gd2,1)µd2,1 (G2,2 +∆Gd2,2)µd2,2

· 1(D+∆Dd)µd

, (5.6)

onde µdi, j

µd, i = 1,2; j = 1,2 (5.7)

representa a influência da dinâmica não modelada em cada um dos elementos da matrizde transferência.

Novamente, ao se desacoplar G(s) (equação 5.6) com a matriz G(s), o resultado seráuma matriz de transferência dada por

Sθp

=

(W1 +∆W1)µ1 Wx1

Wx2 (W2 +∆W2)µ2

·USUθ

, (5.8)

na qual (Wi + ∆Wi)µi representa as incertezas paramétricas e dinâmicas não modeladasem Wi, Wx1 é interpretada como sendo a perturbação adicionada a S e Wx2 é interpretadacomo sendo a perturbação adicionada a θp (ver Figura 5.6).

(W1 +∆W1)µ1

(W2 +∆W2)µ2

US

Uθ

S

θp

Figura 5.6: Robô desacoplado com incertezas paramétricas e dinâmica não modelada


Assim, as funções de transferência W1,2 possuirão dinâmicas não modeladas e serãosubmetidas a distúrbios provenientes do sinal de controle aplicado. No caso de W1, odistúrbio será de = Wx1Uθ e o distúrbio para W2 será dθ = Wx2US (ver Figura 5.7)

(W1 +∆W1)µ1

(W2 +∆W2)µ2

US

Uθ

+ +

+ +

de

dθ

S

θp

Figura 5.7: Sistema desacoplado com distúrbios de entrada

Para contornar a perda do desacoplamento devido às perturbações do sistema, seráintroduzido um par de controladores adaptativos VS-MRAC, os quais são projetados pararejeitar estas perturbações, garantindo assim, o desacoplamento perfeito (ver Figura 5.8).

VS-MRAC1

VS-MRAC2

(W1 +∆W1)µ1

(W2 +∆W2)µ2

Sre f

θre f

US

Uθ

+ +

+ +

de

dθ

S

θp

Figura 5.8: Controladores VS-MRAC aplicados ao sistema desacoplado

Quando os controladores VS-MRAC rejeitam por completo as incertezas paramétri-cas, as dinâmicas não modeladas e os distúrbios de entrada, o sistema resultante se torna

Sθp

=

M1 00 M2

·

Sre fθre f

, (5.9)

5.2 Controlador VS-MRAC

Cada planta desacoplada W1,2 (Figuras 5.9(a) e 5.9(b)) possuirá um controlador es-pecífico, o qual utilizará modelos de referência M1,2 escolhidos pelo projetista, sendoque estes modelos de referência são responsáveis pelo comportamento resultante para omovimento de translação e de rotação do robô móvel.


M1

W1

Relé

κnom,1M1L1

1L1

1F1

Relé

1L1

θTnom,1ω1

f01

f11

Sre f ym,1

S

-

+

+

-

+

-

+

-

+

-

(a) Controlador VS-MRAC1

M2

W2

Relé

κnom,2M2L2

1L2

1F2

Relé

1L2

θTnom,2ω2

f02

f12

θre f ym,2

θp

-

+

+

-

+

-

+

-

+

-

(b) Controlador VS-MRAC2

Figura 5.9: Diagramas de blocos dos controladores VS-MRAC

A estrutura proposta associa um conjunto de controladores VS-MRAC, os quais pos-suem transitório rápido (significa dizer que o controlador rapidamente rejeita as pertur-bações fazendo com que a saída da planta siga o modelo de referência), a um sistemainverso para desacoplar o sistema linear MIMO (ver Figura 5.8). Esta técnica funcionarápara qualquer sistema linear MIMO, garantindo que as saídas do sistema serão obtidas apartir das entradas impostas, com suas dinâmicas determinadas pelos modelos de referên-cia M1,2 escolhidos (ver Figura 5.10).

M1

M2

Sre f

θre f

S

θp

Figura 5.10: Plantas desacopladas devido ao uso dos controladores VS-MRAC

Após a garantia, dada pelos controladores VS-MRAC, de que o sistema MIMO estádesacoplado em duas plantas (M1,2), será apresentado o controlador de posição para orobô móvel.

5.3. CONTROLADOR DE POSIÇÃO 45

5.3 Controlador de posiçãoAntes de iniciar a descrição do controlador de posição proposto para o robô móvel, é

necessário apresentar algumas considerações realizadas e exibidas nas Figuras 5.11(a) e5.11(b).

xp

ypθp

(xd ,yd)

∆

θre f

eθ

(a) Variáveis utilizadas

(xd ,yd)

Sp

S ∆

(b) Ponto na direção do robô

Figura 5.11: Robô móvel no espaço cartesiano

Nomenclatura:

xd Posição desejada do robô no eixo xyd Posição desejada do robô no eixo y∆ Distância entre o centro do robô e o ponto desejadoθre f Ângulo da reta (∆) que conecta o centro do robô ao ponto desejadoeθ Erro entre os ângulos θre f e θpS Distância a ser percorridaSp Distância percorrida

O robô foi desacoplado em dois subsistemas representados por

S = M1 ·Sre f (5.10)

eθp = M2 ·θre f , (5.11)

Desta forma, M1,2 são escolhidos de tal forma que S = Sre f após o transitório de M1e θp = θre f após o transitório de M2. Para o caso do subsistema de orientação (equação5.11), não haverá nenhum problema em projetar um controlador para garantir erro deorientação nulo (eθ = 0), pois θp é medido. Já no caso do sistema de posição (equação5.10), devido não ser possível medir S, haverá problema para se projetar um controlador


que garanta erro de posição nulo (eS = 0), onde

es = · cos(eθ). (5.12)

Para superar esta dificuldade, será assumida a hipótese que eθ = 0 [Dias et al. 2007,Dias et al. 2006] (ver Figura 5.11(b)), o que implica, somente para este caso, em um errode posição

es = = S, (5.13)

o qual pode ser medido a cada instante. Como a medida de S só é obtida na condiçãoassumida, quando tal condição não for verdadeira será considerado que a medida de Sestá acrescida de um distúrbio de entrada ds (ver Figura 5.12).

M1

M2θre f

S = es

θp

Sre f

ds

+

+

Figura 5.12: Distúrbio ds no robô móvel

Para demonstrar de forma mais detalhada as técnicas utilizadas no controlador pro-posto, faz-se necessária a visualização da Figura 5.13, a qual apresenta o diagrama deblocos do sistema completo.

VS-MRAC1

VS-MRAC2


L/E

L/θ

Sre f

xd

yd

θre f

Us

Uθ

ee

ed

xp

yp

θp

es

Figura 5.13: Diagrama de blocos detalhado do controlador proposto

O controlador de posição deverá calcular Sre f e θre f que garanta eS = 0 e eθ = 0quando t → ∞. A fim de reduzir a influência do distúrbio ds deve-se escolher a dinâmicade M2 mais rápida que a de M1. Os blocos L/θ e L/E servem para calcular o ângulo θre fe o erro de posição es, respectivamente.

O controlador proposto deverá impor θre f tal que o erro de orientação eθ → 0 quandot → Tθ e terá de impor Sre f tal que o erro de posição es → 0 quando t → ∞, sendo Tθo tempo necessário para fazer o robô apontar para o ponto (xd,yd), ou seja, corrigir suaorientação.

5.3.1 Análise de estabilidade do controlador propostoUtilizando as provas de estabilidade do controlador VS-MRAC [Hsu 1990, Costa &

Hsu 1992], as quais garantem que o movimento de translação do robô móvel será dado

5.3. CONTROLADOR DE POSIÇÃO 47

por M1 e o movimento de orientação por M2, basta o projetista escolher os modelos dereferência M1,2 estáveis para que o controlador proposto também seja estável, o que nãogarante que o robô móvel será assintoticamente estável para o ponto desejado, pois paraisso ocorrer é necessário garantir que eθ = 0.

Observe que se M2 é estável e θre f permanece constante, eθ → 0 em um tempo finito.Porém, a variação de θre f depende do movimento de translação do robô móvel. Assim,deve-se fazer uma escolha adequada para M2, para fazer com que o robô móvel vá para oponto desejado.

Para realizar a escolha adequada de M2 será investigada a estabilidade do erro deorientação eθ(t), com o intuito de estabelecer uma relação entre M1 e M2 onde

eθ(t) = θre f (t)−θp(t). (5.14)

Uma forma de analisar a estabilidade do erro de orientação é aplicar o segundo métodode Lyapunov. Utilizando a função candidata de Lyapunov

V (eθ(t)) = e2θ(t) > 0, ∀t > 0, (5.15)

para comprovar que o erro de orientação é assintoticamente estável deve-se garantir que

V (eθ(t)) =ddt

(e2θ(t)) < 0, ∀t > 0, (5.16)

Simplificando a notação, tem-se

V (eθ) = 2eθ · (θre f − θp) < 0 (5.17)

o que resulta em (mais detalhes no Apêndice F.1)

V (eθ) = 2eθ ·−vr(sen(−eθ))

−ωr

< 0. (5.18)

Como a senóide é uma função ímpar, tem-se que

V (eθ) = 2eθ ·

vr sen(eθ)

−ωr

< 0. (5.19)

Neste momento é definido que o robô poderá realizar movimento para frente e paratrás, sendo considerado que o ponto desejado está à frente do robô móvel quando o erro deorientação (eθ) estiver entre −π/2 e π/2 e para os demais valores de eθ o ponto desejadoestá atrás do robô móvel. Devido a esta definição, a distância entre o centro do robô e oponto desejado é modificada para

= sgn(cos(eθ)) ·

(xd − xp)2 +(yd − yp)2 (5.20)

De acordo com as hipóteses (1-3) assumidas para o controlador VS-MRAC (página23), o projetista deverá escolher M1,2 de fase mínima. Desta forma, o controlador VS-


MRAC2 garante sgn(ωr) = sgn(eθ) e o VS-MRAC1 garante sgn(vr) = sgn().Com as garantias dadas pelos controladores VS-MRAC1,2, o erro de orientação será

assintoticamente estável (equação 5.19) se for garantida a seguinte relação

ωr(t) >vr(t)sen(eθ(t))

(t)(5.21)

Ao se garantir uma dinâmica mais rápida para M2 em comparação a M1, garante-se que a relação da equação 5.21 é verdadeira, pois nos instantes iniciais vr(t) será pe-queno quando comparado a ωr(t) e, desta forma, o controlador VS-MRAC2 garantirá queeθ(t)→ 0. Quando vr(t) aumentar, o erro de orientação (eθ(t)) será pequeno, o que aindagarantirá o cumprimento da equação 5.21.

5.3.2 Análise de estabilidade para o caso geral

O controlador proposto será assintoticamente estável para qualquer ponto desejado se,e somente se, os erros de posição (eS) e de orientação (eθ) tenderem para zero quando otempo tender para infinito. A ideia fundamental do controlador proposto é fazer com queo robô rapidamente aponte para o ponto desejado e, em seguida, busque o ponto desejado.Na seção anterior foi apresentada a condição na qual o robô convergirá assintoticamentepara o ponto desejado, e esta condição assume que os controladores VS-MRAC1,2 conse-guem impor uma dinâmica M1,2 para os movimentos de translação e rotação, respectiva-mente.

Nesta seção será apresentada uma análise para a estabilidade do robô no caso geral, ouseja, sem a garantia dos controladores VS-MRAC1,2 imporem as dinâmicas M1,2. Sejamos erros de posição (eS) e orientação (eθ) dados por

eS(t) = (t) · cos(eθ(t))eθ(t) = θre f (t)−θp(t)

onde é a distância entre o centro do robô (xp,yp) e um ponto desejado (xd,yd), θp é oângulo do robô e

θre f = tg−1

yd − yp

xd − xp

.

A equação do erro de posição

eS(t) =(t) · cos(eθ(t)) (5.22)

é definida positiva, exceto na condição não holonômica, pois eS(t) > 0 (considere a equa-ção 5.20), ∀t > 0. Por este motivo a função do erro de posição se torna uma funçãocandidata de Lyapunov

V (eS(t)) =(t) · cos(eθ(t)) > 0, ∀t > 0 (5.23)

Assim, para comprovar que o sistema, excluindo a condição não holonômica, será


assintoticamente estável, deve-se garantir que

V (eS(t)) < 0, ∀t > 0, (5.24)

Simplificando a notação, tem-se que

V (eS) =ddt

( · cos(eθ)) < 0 (5.25)

e, manipulando-se a expressão (mais detalhes no Apêndice F.2), obtém-se uma relaçãoentre as velocidades linear e angular dada por

ωr(t) <vr(t)

(t) · sen(eθ(t))(5.26)

A união da condição para o erro de orientação da equação 5.21 e a condição para oerro de posição da equação 5.26 resulta em

vr(t) · sen(eθ(t))(t)

< ωr(t) <vr(t)

(t) · sen(eθ(t)), (5.27)

a qual é uma condição necessária para que os erros de posição e de orientação sejamassintoticamente estáveis.

Observe que esta condição (equação 5.27) varia ao longo do tempo. Assim, todocontrolador proposto para o robô móvel deverá agir de forma a torná-la verdadeira. Apartir da equação 5.27, foi proposto um controlador cinemático assintoticamente estável(ver Apêndice G). Este controlador é a base de uma nova linha de trabalhos derivadosdesta tese, os quais utilizam controladores embarcados para controlar as velocidades dasrodas do robô móvel [Dias et al. 2009].

5.4 Comentários finaisEste capítulo possui duas importantes contribuições. A primeira foi a condição esta-

belecida na equação 5.27, a qual serve para comprovar a estabilidade de qualquer contro-lador proposto para um robô móvel semelhante ao apresentado nesta tese. A segunda foicomprovar que o controlador proposto nesta tese garante que o robô móvel irá convergirpara o ponto desejado sempre que os controladores VS-MRAC1,2 garantirem que os mo-vimentos de translação e rotação possuam dinâmicas dadas por M1,2 e M2 tenha dinâmicamais rápida que M1 de forma a tornar verdadeira a condição para o erro de orientação daequação 5.21.

Capítulo 6

Resultados

Este capítulo apresenta os resultados simulados e experimentais obtidos para o con-trolador proposto. O capítulo apresenta, na seção 6.1, a descrição do kit de futebol derobôs no qual serão obtidos os resultados experimentais. Na seção 6.2 são definidos ecalculados os parâmetros para o controlador proposto. Os resultados simulados, quandoo controlador proposto é aplicado ao robô móvel, são discutidos na seção 6.3, enquantona seção 6.4 são apresentados os resultados experimentais. Por fim, alguns comentáriosfinais são apresentados na seção 6.5.

6.1 Descrição do sistemaNa Figura 6.1 é exibido o diagrama da blocos simplificado do funcionamento do kit

de futebol de robôs.

Computador

ProgramaC++

Placa PCI

RS232

Rádio

Câmera

Figura 6.1: Diagrama de blocos do funcionamento do kit de futebol de robôs

Baseado na Figura 6.1, inicialmente deve-se apresentar o subsistema de visão, o qualé composto por uma câmera de vídeo (com resolução de 640×480 pixels e amostragemde 30 quadros por segundo, ou seja, 33ms de intervalo entre as imagens) conectada auma placa PCI (Peripheral Component Interconnect) de aquisição de imagens. Em se-guida, pode-se destacar o subsistema de comunicação, o qual é composto por um rádiotransmissor com freqüência de 433 MHz. O kit de futebol de robôs ainda conta com um

52 CAPÍTULO 6. RESULTADOS

robô móvel com processador embarcado e um computador que deve processar todas asinformações provenientes dos demais subsistemas.

De acordo com a Figura 6.1, o controlador proposto foi implementado por um pro-grama em C++ que, em conjunto com uma biblioteca fornecida pelo fabricante, processaa imagem enviada pela câmera e fornece o ponto central e o ângulo θp do robô móvel. Deposse deste ponto e ângulo atuais, o controlador deve enviar, através do rádio transmissor,os valores de tensão que serão aplicados aos motores das rodas direita e esquerda do robômóvel.

6.2 Projeto do controladorBaseado na Figura 5.13, o projeto do controlador proposto deverá definir o sistema

inverso e os controladores VS-MRAC1,2. Para o cálculo do sistema inverso, é necessárioo conhecimento dos parâmetros nominais1 do robô móvel e escolher W1,2 da equação 5.3.

Utilizando os parâmetros da equação 4.28 como os parâmetros nominais do modelodo robô móvel (sistema 4.21), o sistema inverso (equação 5.2) para este modelo será

G(s) = G(s)−1 ·W1 00 W2

,

onde G(s) é a matriz de transferência do sistema 4.21 e W1,2 são escolhidos como

W1 = W2 =1

s2 +2s+1, (6.1)

duas plantas criticamente amortecidas (sem sobre sinal) com tempo de acomodação (comtolerância de 2%) de aproximadamente 4s.

A descrição em variáveis de estado de G(s) é dada por

x = Ax+ BUe = Cx+ DU

(6.2)

onde x ∈ℜ4,

A =

−2 −1 0 01 0 0 00 0 −2 −10 0 1 0

, B =

32 00 00 80 0

, e =

eeed

, U =

USUθ

C =

8,872 −2,065 −2,157 0,03548,687 −1,997 2,038 −0,04012

, D =

66,08 −0,283263,91 −0,3209

.

O sistema da equação 6.2 servirá como sistema inverso (ver Figura 6.2) para o robômóvel, e será utilizado tanto nos resultados simulados como nos resultados experimentais.

1Parâmetros nominais são os parâmetros conhecidos de um sistema, e, devido a possíveis incertezas,estes parâmetros não são necessariamente os parâmetros exatos do sistema.

6.2. PROJETO DO CONTROLADOR 53

SistemaInverso

Us

Uθ

ee

ed

Figura 6.2: Sistema inverso à direita para o robô móvel utilizando parâmetros nominais

Os controladores VS-MRAC1,2 são implementados de acordo com as Figuras 5.9(a) e5.9(b), respectivamente. As plantas W1,2 são as mesmas escolhidas na equação 6.1, e osmodelos de referência M1,2 são escolhidos como

M1 =0,25

s2 +1s+0,25

eM2 =

16s2 +8s+16

,

onde foi escolhido para M1 um modelo com transitório lento (aproximadamente 8s detempo de acomodação com tolerância de 2%) e sem oscilações para evitar a saturaçãono sinal de controle e devido à taxa de amostragem da câmera (33ms). Já para M2 seráescolhido também um modelo sem oscilações, porém com transitório mais rápido (1s)que o modelo M1. As escolhas dos modelos de referência dependem do projetista, sendoimportante lembrar que o transitório de M2 deve ser mais rápido que o transitório de M1para atender à hipótese assumida no desenvolvimento do controlador proposto (equação5.12). Os controladores VS-MRAC1,2 foram implementados utilizando o algoritmo daTabela 3.2, e assim se faz necessário realizar a escolha dos filtros F1(s) = (s + 12)−1

e F2(s) = (s + 42)−1 e dos polinômios auxiliares L1 = s + 0,5 e L2 = s + 4. Agora,o projetista deve calcular os vetores de parâmetros nominais θ1,nom e θ2,nom através daequação D.2 no Apêndice D, o que resulta em

θ1,nom =1,0 −0,1 −0,0225 0,25

eθ2,nom =

−6 −27 54 16

.

Por fim, deve-se calcular, utilizando a equação 3.19, os parâmetros

θ1,0 =0,4 0,4 0,4 0,4

θ1,1 =0,5 0,5 0,5 0,5

para o controlador VS-MRAC1 e

θ2,0 =0,8 0,8 0,8 0,8

θ2,1 =1,0 1,0 1,0 1,0

para o controlador VS-MRAC2.


6.3 Simulação

A simulação contará com as principais não linearidades (zona morta e saturação) exis-tentes no kit, onde a zona morta corresponde à faixa de valores de -1V até 1V (ver Figura6.3(b)), na qual os motores das rodas não produzem movimento no robô, e saturação de±7V (ver Figura 6.3(b)), ou seja, o maior valor da tensão (positiva ou negativa) que podeser aplicada aos motores.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50

y

x

(a) Campo visto pela câmera

1

7

-1

-7

u1,2

ed,e

(b) Simulação das não lineari-dades no acionamento dos mo-tores c.c.

(xd ,yd )

Ø 2cm

(c) Robô móvel aproximando-se de um ponto desejado (xd ,yd)

Figura 6.3: Considerações sobre a simulação

A Figura 6.3(a) apresenta como será definido o sistema de coordenadas para o campodo kit de futebol de robôs, o qual tem 1,5m de comprimento ao longo do eixo x e 1,3mao longo do eixo y. O canto inferior esquerdo do campo será definido como a origemdo sistema de coordenadas, ou seja, ponto (0,0). A simulação do sistema de visão deveconsiderar as dificuldades existentes em obter a posição e o ângulo do robô no caso real.Para o ângulo haverá uma incerteza de ±4 e para a posição do centro do robô um errodado por uma circunferência de raio 1cm (ver Figura 6.3(c), para mais detalhes de comoforam obtidos os valores de erro ver Apêndice I).

As não linearidades e dificuldades em obter a posição e o ângulo do robô móvel sãointroduzidas na simulação do robô de acordo com a Figura 6.4, ou seja, as não linearidades(ver Figura 6.3(b)) são introduzidas em cada uma das entradas do robô e são adicionadosruídos dx,dy à posição e dθP ao ângulo do robô móvel.

O sistema da Figura 6.4 é semelhante ao da equação 4.19 (modelo do robô móvel emvariáveis de estado), e é descrito por

x = Ax+Bu, (6.3)

6.3. SIMULAÇÃO 55

x = Ax+Bu

Robô

xrp yrp

θrp

dx

dy

dθP

xp

yp

θp

ed

ee

u1

u2

es

+

+

+

+

+

+L/E

Figura 6.4: Robô simulado

onde

A =

kr1 kr2 0 0 0kr3 kr4 0 0 0

sen(θrp) 0 0 0 0cos(θrp) 0 0 0 0

0 1 0 0 0

, B =

kr5 kr6kr7 kr80 00 00 0

, x =

vdωrxrpyrpθrp

,

kr1 kr2kr3 kr4

=

−5,7250 0,0253−4,9468 −60,0460

e

kr5 kr6kr7 kr8

=

0,0089 0,0077−1,5694 1,6945

.

Os valores das constantes kr1,r2,...,r8 são ligeiramente diferentes dos obtidos na equa-ção 4.28 para simular as incertezas paramétricas existentes no sistema físico real. Osruídos dx,dy são valores uniformemente distribuídos entre -1cm e 1cm, o ruído dθP é umvalor uniformemente distribuído entre −4 e 4, sendo que os ruídos são adicionados àposição e ângulo do robô móvel a cada passo de integração da simulação (33ms).

6.3.1 Robô móvel em malha abertaA simulação do robô em malha aberta consiste em impor uma tensão constante nos

motores das rodas direita (ed) e esquerda (ee) do robô e observar como o mesmo se desloca(ver Figuras 6.5 e 6.6 para um melhor entendimento da simulação).

Robô

ee

ed

xp

yp

θp


Foi aplicado 1,1V em cada um dos motores do robô (ed = ee = 1,1V)2 durante 10s, e2Observe, através da análise das Figuras 6.3(a) e 6.4, que exceto nas regiões de saturação e zona morta

u1 = ed e u2 = ee.


o resultado da simulação é apresentado na Figura 6.6

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0

Sinais de tensão aplicados aos motores c.c.

u1

u2

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5

Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera

Figura 6.6: Simulação do robô móvel em malha aberta

A partir da simulação (Figura 6.6) é possível concluir que o robô móvel é assimétrico,pois ao aplicar as mesmas tensões em ambas as rodas (direita e esquerda) se espera queo robô realize somente movimento de translação e nenhum movimento de rotação, ouseja, o robô deveria deslocar-se em uma linha reta. A assimetria do robô móvel é umacaracterística já esperada, devido ao fato de não ser possível construir um robô com o ladodireito perfeitamente igual ao lado esquerdo (entenda por lado direito todos os itens queestão contidos no lado direito do robô móvel, tais como motor, roda, eixo da roda, corpodo robô, entre outros).

6.3.2 Desacoplamento do robô móvelA simulação do desacoplamento do robô móvel consiste em impor um sinal constante

em apenas uma das entradas desacopladas (US,Uθ - ver Figura 6.7), mantendo a outra emzero e observar como o robô móvel se desloca.


L/EUs

Uθ

ee

ed

xp

yp

θp

es

Figura 6.7: Diagrama de blocos do desacoplamento do robô móvel

Serão realizadas duas simulações diferentes, uma na qual US = 1 durante 10s, manten-do Uθ = 0 (ver Figura 6.8), e a outra com US = 0 durante 10s, mantendo Uθ = 8 (ver Figura6.9).

A simulação da Figura 6.8 apresenta além do movimento de translação esperado, ummovimento de rotação inesperado, o qual é produzido por incertezas paramétricas exis-tentes no modelo do robô móvel. O desacoplamento somente é possível se houver o

6.3. SIMULAÇÃO 57

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5


Figura 6.8: Simulação do desacoplamento do robô móvel (translação)

conhecimento exato dos parâmetros do robô móvel, o que raramente é possível. Assim,para a maioria dos casos sempre haverá perda do desacoplamento entre os movimentosde translação e de rotação. (A simulação do desacoplamento sem incertezas paramétri-cas pode ser visualizada na Figura H.1 do Apêndice H. Já na simulação da Figura H.3 odesacoplamento para o caso ideal, ou seja, sem incertezas paramétricas e zona morta, éapresentado. A diferença entre elas é que na Figura H.1 existe um erro de posição devidoa zona morta do atuador).

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

−0.5 0.0 0.5 1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0


Figura 6.9: Simulação do desacoplamento do robô móvel (rotação)

A simulação da Figura 6.9 apresenta, além do movimento de rotação esperado, ummovimento de translação muito pequeno (aproximadamente 0,01cm) e inesperado, o qualé produzido por incertezas paramétricas existentes no modelo do robô móvel.

Para o modelo utilizado na simulação do robô móvel parar, após percorrer uma dis-tância e/ou girar, deve-se garantir que os sinais de tensão aplicados aos motores das rodas,em um tempo finito, sejam nulos. Para ambas as simulações isto ocorreu, pois os sinais


de tensão enviados aos motores das rodas direita e esquerda, após um período de tempo(entre 2s e 4s), entraram na região de zona morta.

Para superar a perda do desacoplamento devido às incertezas paramétricas, as quaispodem variar ao longo do tempo, é que será introduzido um par de controladores adapta-tivos por modelo de referência e estrutura variável (VS-MRAC).

6.3.3 Controlador proposto aplicado ao robô móvelA simulação para comprovar o correto funcionamento do controlador proposto con-

siste em impor um ponto desejado (xd ,yd) para o robô móvel atingir em um tempo finito.

VS-MRAC1

VS-MRAC2


L/E

L/θ

Sre f

xd

yd

θre f

Us

Uθ

ee

ed

xp

yp

θp

es

Figura 6.10: Diagrama de blocos detalhado do controlador proposto

O valor de referência para o movimento de translação será zero (Sre f =, ver Figura6.10) e os sinais de tensão ed e ee dos motores tornam-se nulos quando o robô móvel atin-gir uma circunferência de 2cm de raio centrada no ponto desejado (devido ser impossívelobter do sistema de visão o ponto exato onde o robô está). Serão realizadas simulaçõespara quatro diferentes pontos desejados (xd ,yd), todas com duração de 10s e com o robôpartindo do mesmo ponto inicial (xp = 0,yp = 0).

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5


Figura 6.11: Controlador de posição do robô móvel (xd = 1,yd = 0)

A simulação da Figura 6.11 (mais detalhes nas Figuras H.5 e H.6 do Apêndice H)apresenta como o robô móvel utilizando o controlador proposto se comporta para umponto desejado à sua frente. O robô móvel deveria se deslocar em uma linha reta, porém,

6.3. SIMULAÇÃO 59

devido à zona morta no sinal de tensão, ele realiza um pequeno movimento de rotação(para conferir esta mesma simulação sem zona morta veja a Figura H.7, do Apêndice H),o qual é corrigido pelo controlador de orientação. Em aproximadamente 8s o robô atingeo ponto desejado.

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5



A simulação da Figura 6.12 (mais detalhes nas Figuras H.9 e H.10 do Apêndice H)apresenta o desempenho do controlador proposto aplicado ao robô móvel quando se de-seja atingir um ponto em (xd = 1,yd = 1). Esta simulação destaca a relação entre oscontroladores de posição e orientação. Fica evidente que o controlador de orientação pos-sui um transitório mais rápido que o transitório do controlador de posição, pois é possívelverificar que o robô móvel gira rapidamente de forma a apontar para o ponto desejado an-tes do controlador de posição produzir um grande deslocamento, desta forma atendendoà hipótese feita para a equação 5.12. Uma vez que o ponto desejado se encontra à frentedo robô móvel, este apresenta o mesmo comportamento da simulação da Figura 6.11, ouseja, um deslocamento praticamente direto, com um pequeno movimento de rotação pro-duzido devido à zona morta do sinal de controle. Em aproximadamente 8s o robô móvelsai da origem a atinge o ponto desejado (xd = 1,yd = 1).

A Figura 6.13 (mais detalhes nas Figuras H.11 e H.12 do Apêndice H) apresentauma simulação na qual o robô móvel, partindo da origem com ângulo nulo, consegueatingir, em aproximadamente 8s, o ponto desejado (xd = 0,yd = 1) na sua condição denão holonomia. Isto só é possível devido ao fato do controlador proposto desacoplar omovimento de translação e de rotação, o que elimina a não holonomia do modelo do robômóvel utilizado pelo controlador. Semelhante à simulação da Figura 6.12, o robô móvelgira rapidamente de forma a apontar para o ponto desejado e, em seguida, desloca-se atéeste ponto. Novamente pode-se perceber que a zona morta do sinal de controle prejudicao desempenho do controlador, fazendo com que o robô não se desloque em uma linhareta.

A simulação da Figura 6.14 (mais detalhes nas Figuras H.13 e H.14 do Apêndice H)apresenta a trajetória percorrida pelo robô móvel para um ponto desejado com um erro de


0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5

0

0.5

1.0

1.5



0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5

0

0.5

1.0

1.5


Figura 6.14: Controlador de posição do robô móvel (xd =−1,yd = 1)

orientação superior à π/2. Esta simulação dá ênfase ao fato do controlador ser capaz deatingir um ponto desejado com qualquer erro de orientação. Mais uma vez é possível ob-servar que o controlador de orientação tem transitório rápido, quando comparado com ocontrolador de posição, o que faz com que o robô gire rapidamente e aponte para o pontodesejado e, em seguida, se desloque de forma quase direta em direção a este ponto. Tam-bém é possível verificar que o movimento de translação foi prejudicado pela zona mortado sinal de controle. O robô móvel atinge o ponto desejado em aproximadamente 8s.Outras simulações para pontos desejados diferentes dos apresentados nesta seção podemser visualizadas nas Figuras H.15,H.16,H.17,H.18,H.19,H.20,H.21 e H.22 do ApêndiceH.

6.3. SIMULAÇÃO 61

6.3.4 Estabilidade do controlador propostoNesta subseção será apresentado um estudo de caso para a análise de estabilidade do

controlador proposto. Este estudo visa demonstrar como a condição necessária (equação5.27) se comportará ao longo do tempo para a simulação da Figura 6.12. A análise doestudo de caso será realizada através de um conjunto de doze gráficos, nos quais exis-tirá uma área na qual é garantida a estabilidade assintótica do robô móvel para o pontodesejado. Um pequeno círculo indica quais são os valores do erro de orientação e davelocidade do robô naquele instante.

ωr

− π2

π2

(a) t=0,033s

ωr

− π2

π2

(b) t=0,25s

ωr

− π2

π2

(c) t=0,5s

ωr

− π2

π2

(d) t=0,75s

Figura 6.15: Gráfico da estabilidade (ωr× eθ) entre 0s e 1s

De acordo com os resultados dos gráficos da Figura 6.15, à medida que a velocidadeangular aumenta, o erro de orientação diminui. Desta forma, o controlador proposto tendea fazer com que a condição necessária seja cumprida.

ωr

− π2

π2

(a) t=1s

ωr

− π2

π2

(b) t=2s

ωr

− π2

π2

(c) t=3s

ωr

− π2

π2

(d) t=4s


Nos resultados dos gráficos da Figura 6.16, pode-se verificar que o controlador pro-posto garantiu a condição necessária no intervalo entre 1s e 4s, o que garante que o robô


móvel está deslocando-se assintoticamente para o ponto desejado.

ωr

− π2

π2

(a) t=5s

ωr

− π2

π2

(b) t=6s

ωr

− π2

π2

(c) t=7s

ωr

− π2

π2

(d) t=8s


Por fim, os dois primeiros resultados dos gráficos da Figura 6.17 continuam garantindoque a condição necessária da equação 5.27 ainda é cumprida. Já nos dois últimos, devidoà proximidade do robô móvel ao ponto desejado, os sinais de controle para garantir acondição necessária são pequenos e, assim, entram na região de zona morta. Uma vezque os sinais de controle estão na zona morta, a condição necessária que garante o robômóvel apontar para o ponto desejado deixa de ser verídica, porém a condição que garantea estabilidade para o erro de posição ainda é cumprida e, assim, pode-se garantir que orobô se aproximará do ponto desejado.

6.4 Resultados experimentaisEsta seção apresenta os resultados experimentais obtidos para cada um dos casos si-

mulados na seção 6.3, o que permitirá realizar uma comparação entre resultados simula-dos e experimentais. Os resultados experimentais foram obtidos com um kit de futebol derobô da Microrobot no Laboratório de Acionamento, Controle e Instrumentação (LACI)da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN). Todos os resultados experi-mentais utilizam o mesmo sistema de coordenadas, o qual é apresentado na Figura 6.3(a).

6.4.1 Robô móvel em malha abertaDe forma semelhante à simulação da subseção 6.3.1, foi aplicado 1,1V em cada um

dos motores do robô (ed = ee = 1,1V) durante 4s. O resultado experimental para esteensaio pode ser visualizado na Figura 6.18

Do resultado da Figura 6.18, pode-se destacar dois fatos interessantes. O primeiroé a assimetria do robô, o que já era esperado. O segundo é o fato do robô móvel realpercorrer, em apenas 4s, uma distância maior que o simulado durante os mesmos 4s. Istoocorre devido às incertezas paramétricas e simplificações existentes no modelo do robô

6.4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 63

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


ed

ee

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5


Figura 6.18: Resultado experimental do robô móvel em malha aberta

móvel. Observe que um pequeno erro em algum dos parâmetros de velocidade (linear ouangular) será integrado, fazendo com que exista uma diferença entre a posição do robômóvel simulado e o robô móvel real em apenas alguns instantes. A integral deste erroserá uma das dificuldades a ser superada pelo controlador proposto.

6.4.2 Desacoplamento do robô móvel

Para analisar o desacoplamento do robô móvel, serão realizados seis experimentos3,sendo três para o caso de translação e três para o caso de rotação. No caso de translaçãofoi aplicado como sinal de referência US = 0,1 durante 2s (ver Figura 6.19).

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


ed

ee

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5


Figura 6.19: Resultado experimental do desacoplamento do robô móvel (translação)

3Os sinais de tensão apresentados nos gráficos das Figuras 6.19 e 6.20 são referentes à trajetória repre-sentada pela linha contínua.


Já no caso de rotação, foi aplicado um sinal de referência Uθ = 3 durante 1,75s (verFigura 6.20).

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


ed

ee

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5


Figura 6.20: Resultado experimental do desacoplamento do robô móvel (rotação)

O resultado da Figura 6.19 apresenta além do movimento de translação esperado,um movimento de rotação inesperado e diferente para os três casos. Na Figura 6.20, oresultado experimental para o desacoplamento angular também apresenta além do movi-mento de rotação esperado, um movimento de translação inesperado e diferente para ostrês casos. Em ambos os casos, este movimento inesperado é produzido por incertezasparamétricas, variantes no tempo, existentes no modelo do robô móvel.

Observe novamente que a simulação difere bastante dos resultados experimentais4,parte devido à integral do erro ao longo do tempo e parte devido à grande variação pa-ramétrica no modelo adotado para o robô móvel (a variação nos parâmetros do modeloadotado fica melhor evidenciada no Apêndice J).

Devido à grande variação paramétrica, deve-se utilizar novos parâmetros

θ1,0 =1,0 1,0 1,0 1,0

θ1,1 =1,5 1,5 1,5 1,5

para o controlador VS-MRAC1 e

θ2,0 =3,0 3,0 3,0 3,0

θ2,1 =3,5 3,5 3,5 3,5

para o controlador VS-MRAC2. Este aumento na amplitude dos relés dos controladoresVS-MRAC1,2 permitirá fazer com que as plantas reais W1,2(t) convirjam para os modelosM1,2. Porém, também ocorrerá um aumento na amplitude do sinal de controle, o que poderesultar em arrancadas e paradas bruscas do robô móvel.

4A posição do robô móvel simulado é completamente diferente da posição do robô móvel real após 1,5spara todos os casos apresentados.

6.4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 65

6.4.3 Controlador proposto aplicado ao robô móvelO correto funcionamento do controlador proposto será comprovado através do ensaio

experimental utilizando quatro diferentes pontos desejados (xd ,yd) para o robô atingir emum tempo finito. Assim como na simulação, os sinais de tensão ed e ee dos motorestornam-se nulos quando o robô móvel atinge uma circunferência de 2cm de raio, centradano ponto desejado (devido ser impossível obter do sistema de visão o ponto exato ondeo robô está). Os ensaios com o robô móvel possuem uma duração de 10s (com exceçãodo resultado da Figura 6.22), considerando diferentes pontos iniciais. Todos os pontosdesejados nos ensaios serão representados pela interseção de duas retas tracejadas.

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


ed

ee

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5


Figura 6.21: Controlador de posição do robô móvel (xd = 1,10,yd = 0,33)

O resultado da Figura 6.21 apresenta como o robô móvel, utilizando o controladorproposto, se comporta para um ponto desejado à sua frente. O robô móvel deveria sedeslocar em uma linha reta, porém, devido as suas não-linearidades e incertezas paramé-tricas, ele apresenta um movimento de rotação, o qual é corrigido pelo controlador deorientação. Em aproximadamente 8s o robô atinge o ponto desejado.

Comparando-se o resultado da Figura 6.21 com a simulação da Figura 6.11, pode-seconcluir que apesar da distância entre o ponto inicial do robô móvel e o ponto desejadoser maior na simulação, o controlador proposto utiliza um tempo menor na simulaçãopara garantir que o robô móvel atinja o ponto desejado. Isto ocorre devido às bruscasvariações das incertezas paramétricas5 ao longo do tempo. Este comportamento faz comque os controladores adaptativos (VS-MRAC1,2), durante alguns períodos de tempo, nãogarantam a convergência de W1,2 para M1,2 prejudicando o desempenho do controladorproposto.

O resultado da Figura 6.22 apresenta o desempenho do controlador proposto aplicadoao robô móvel quando se deseja atingir um ponto localizado na diagonal esquerda à frente

5Fatores que podem ocasionar uma variação paramétrica brusca são: os erros na comunicação (via rádio)entre o computador e o robô móvel; o deslizamento de uma das rodas do robô móvel; a imagem distorcidaobtida pela câmera (ver Apêndice I), a qual torna não linear todos os movimentos realizados pelo robô,entre outros.


0 6 12

−7.0

0.0

7.0

0 6 12−7.0

0.0

7.0


ed

ee

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5



do robô, e este ensaio destaca a relação entre os controladores de posição e de orientação.Semelhante à simulação da Figura 6.12, o controlador de orientação fez o robô móvelgirar rapidamente para, em seguida, deslocar-se diretamente até o ponto desejado. Épossível verificar o intenso chaveamento do sinal de controle. Este chaveamento aumentao deslizamento das rodas do robô, ou seja, aumenta a variação paramétrica e, desta forma,dificulta a ação dos controladores adaptativos VS-MRAC1,2, prejudicando o desempenhodo controlador proposto, o qual, em pouco mais de 10s, faz o robô móvel atingir o pontodesejado.

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


ed

ee

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5



O resultado da Figura 6.23 apresenta o desempenho do controlador proposto para umponto desejado localizado perpendicularmente ao ângulo inicial do robô (condição de nãoholonomia). Mais uma vez, o robô móvel gira rapidamente, de forma a apontar para oponto desejado, e, em seguida, desloca-se até este ponto. O robô móvel atinge o pontodesejado em apenas 4s, o que significa dizer que novamente os controladores adaptativos


VS-MRAC1,2 tiveram dificuldade em garantir a convergência de W1,2 para M1,2. Nesteresultado específico, os sinais de tensão dos motores (ed,e) foram para zero quando o robôestava acelerando, o que pode indicar uma possível ocorrência de oscilações em torno doponto desejado, caso não ocorresse o desligamento dos motores do robô.

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


ed

ee

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5



O resultado da Figura 6.24 apresenta a trajetória percorrida pelo robô móvel para umponto desejado com um erro de orientação superior a π/2. Este ensaio dá ênfase ao fatodo controlador ser capaz de atingir um ponto desejado com qualquer erro de orientaçãoinicial. Observe-se que o controlador proposto pode movimentar o robô móvel para frenteou para trás. Novamente o controlador de orientação teve transitório rápido, quando com-parado com o controlador de posição, o que faz com que o robô gire rapidamente e apontepara o ponto desejado, e, em seguida, se desloque de forma direta em direção a este ponto.

6.5 Comentários finaisBaseando-se nas simulações das Figuras 6.11, 6.12, 6.13 e 6.14, o controlador pro-

posto apresentou exatamente o comportamento desejado, pois em todas as simulações ocontrolador de orientação girou rapidamente o robô móvel de forma a fazer com que esteaponte para o ponto desejado, procedimento que garante a hipótese assumida. Uma vezque o robô móvel está apontando para o ponto desejado, o deslocamento linear S a serrealizado será igual ao erro de posição (es) medido, assim, superando a dificuldade deimplementar um controlador para o deslocamento linear, pois não é necessário medir ovalor do deslocamento linear percorrido.

Nos resultados experimentais das Figuras 6.21, 6.22, 6.23 e 6.24, o robô móvel atingeo ponto desejado, porém em todos os resultados os controladores VS-MRAC1,2 apresen-taram dificuldades para fazer com que as plantas W1,2 seguissem os modelos de referênciaM1,2, o que depreciou o desempenho do controlador proposto em comparação às simula-ções das Figuras 6.11, 6.12, 6.13 e 6.14.


O principal fator para a diferença entre os resultados simulados e experimentais é agrande variação paramétrica ao longo do tempo existente nos ensaios, a qual pode ser ob-servada nos ensaios para a obtenção dos parâmetros nominais (ver Apêndice J). Devidoàs grandes variações paramétricas do robô, a utilização de qualquer outro controlador ba-seado em leis integrais, adaptativo ou não, em substituição aos VS-MRAC1,2, se tornaextremamente difícil, fato que garante o controlador VS-MRAC como uma escolha ade-quada para essa estrutura.

Para melhorar o desempenho do controlador proposto duas medidas podem ser ado-tadas. A primeira é utilizar uma câmera com 60 quadros por segundo, o que influenciadiretamente o desempenho dos controladores VS-MRAC. A segunda é utilizar um mo-delo com menores variações paramétricas, o que é possível ao se modelar o robô móvellevando-se em conta um controlador PI, embarcado no robô móvel, para cada motor [Diaset al. 2009]. Este controlador embarcado garante uma menor variação paramétrica o queirá auxiliar no desempenho do controlador proposto.

Capítulo 7

Conclusões e trabalhos futuros

Nesta tese foi proposta uma nova técnica de controle adaptativo robusto aplicada aum robô móvel de superfície levando em conta sua dinâmica. Como foi apresentado nocapítulo 4, o modelo do robô móvel que relaciona as tensões dos motores com a posição eângulo do robô é um sistema MIMO não linear, e o projeto de controladores não-linearespara este modelo é complexo. Desta forma, para simplificar o projeto do controladorproposto, utilizou-se um modelo MIMO linear em substituição ao modelo MIMO nãolinear, o que somente é possível se for utilizado o deslocamento linear, ao invés da posiçãodo robô, como a saída do modelo. Apesar de agora se dispor de um modelo MIMO linear,o projeto de um controlador para este modelo ainda é complexo, por não ser possívelmedir o deslocamento linear realizado pelo robô móvel utilizando uma câmera de vídeo epor ser complexo o projeto de controladores para um sistema MIMO linear acoplado.

Para contornar estes problemas, o controlador proposto na tese fez uso de um sistemainverso (Capítulo 2) para desacoplar o sistema MIMO em um conjunto de controlado-res SISO. O projeto de controladores para plantas SISO é mais simples que o projetopara plantas MIMO. Porém, o desacoplamento somente será possível se os parâmetros daplanta forem conhecidos, o que raramente é verdade. Para superar a dificuldade introdu-zida pelas incertezas paramétricas da planta foi introduzido um conjunto de controladoresadaptativos VS-MRAC, os quais garantem um perfeito desacoplamento com transitóriorápido. A união da técnica de desacoplamento aos controladores VS-MRAC pode serchamada de desacoplador adaptativo.

Por fim, no capítulo 5 foi apresentado um controlador de posição para o robô mó-vel que considera a hipótese de substituir o deslocamento linear pela medida do erro deposição, as quais possuem o mesmo valor quando o robô está apontando para o ponto de-sejado e, assim, superando a dificuldade de medir o deslocamento linear. Quando o robômóvel não estiver apontando para o ponto desejado haverá um distúrbio no movimentode translação, o qual pode ser reduzido fazendo-se com que a dinâmica do modelo dereferência do movimento de rotação seja mais rápida que a dinâmica do movimento detranslação. A equação que relaciona a dinâmica do movimento de rotação com a dinâmicado movimento de translação foi formalmente apresentada, resultando em uma condiçãonecessária para qualquer controlador candidato a controlar a posição de um robô móvel.

A avaliação do controlador proposto se deu através da análise dos resultados simu-lados e experimentais apresentados no capítulo 6. Apesar do grau de acoplamento dosistema, ruídos, incertezas paramétricas e não-linearidades presentes, nas simulações e

70 CAPÍTULO 7. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS

em experimentos realizados, o controlador demonstrou robustez, sendo capaz de adaptarseus parâmetros para as mais diversas condições paramétricas iniciais e fez com que orobô móvel sempre atingisse o ponto desejado.

O maior obstáculo ao controlador proposto, devido a intensa variação paramétrica,foi garantir o desacoplamento perfeito através dos controladores VS-MRAC. Para supe-rar esta dificuldade faz-se necessária a utilização de uma câmera de vídeo com taxa deamostragem mais rápida que a utilizada nesta tese (30 quadros por segundo).

O projeto do controlador proposto pode ser considerado simples, pois cabe ao pro-jetista escolher duas plantas (W1,2) para o cálculo do sistema inverso, inverter a matrizde transferência do modelo do robô móvel e projetar os dois controladores adaptativosVS-MRAC para as plantas resultantes do sistema inverso.

Fazendo um resumo, as principais contribuições foram:

• Aplicação de uma técnica de desacoplamento, a qual, através da introdução de umsistema inverso à direita do sistema físico, transforma um sistema MIMO em múl-tiplos sistemas SISO desacoplados.

• Desenvolvimento do desacoplador adaptativo, o qual serve para desacoplar umaplanta física MIMO linear ou não-linear1 com incertezas paramétricas e dinâmicasnão modeladas, transformando-a em um conjunto de plantas SISO com a dinâmicaescolhida pelo projetista.

• Desenvolvimento de uma nova estrutura de controle para sistemas MIMO com omesmo número de entradas e saídas. Esta estrutura consiste em aplicar um conjuntode controladores lineares a um sistema não-linear e multivariável (robô móvel).

• Desenvolvimento de um controlador de posição para um robô móvel com rodas eacionamento diferencial.

• Análise de estabilidade do controlador proposto.• Desenvolvimento de uma lei de controle cinemático assintoticamente estável.• Aplicação do controlador proposto em um kit de futebol de robôs.• Desenvolvimento de um software para aplicação e simulação do controlador pro-

posto quando aplicado ao robô móvel (ver Apêndice K).

No processo de desenvolvimento do controlador proposto nesta tese algumas outraspossibilidades se apresentaram e merecem ser investigadas. Dentre elas, deve-se destacaras alternativas ao desacoplamento apresentado. Uma dessas alternativas seria realizar umdesacoplamento parcial do sistema, ou seja, desacoplar somente a matriz de ganhos deentrada e, assim, deixar os controladores adaptativos VS-MRAC compensarem o acopla-mento da dinâmica do sistema. Outra possibilidade é a utilização de controladores PIDembarcados para reduzir a variação paramétrica e a ordem do sistema a ser desacoplado.

Relacionado ainda com o desacoplamento, deve-se realizar estudos na técnica de de-sacoplamento de Hirschorn, com o intuito de garantir ao projetista a possibilidade deescolher as dinâmicas resultantes para os sistemas SISO desacoplados quando o modelodo sistema físico for não linear.

1Para o caso não linear será utilizado o algoritmo de Hirschorn para inversão de sistemas e, devido àutilização deste algoritmo, o projetista não poderá escolher a dinâmica resultante para os sistemas SISO.

71

A substituição dos controladores adaptativos VS-MRAC por VS-APPC (ControladorAdaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável), os quais aguardam provade estabilidade para o caso geral, permitirá a aplicação da técnica proposta a uma classemais abrangente de sistemas MIMO, pois os VS-APPC podem ser aplicados a plantasestáveis, instáveis, de fase mínima ou de fase não mínima.

Também será importante explorar a possibilidade de transportar a estrutura do contro-lador proposto para outros sistemas com características similares (sistema MIMO com omesmo número de entradas e saídas) ao robô móvel, tais como braços robóticos e controlede processos na indústria.

Por fim, para controlar a posição do robô móvel, com uma câmera de vídeo de 30quadros por segundo, a melhor alternativa será explorar mais a utilização de controladoresPID auxiliares para reduzir a variação paramétrica. O estudo desta técnica já foi iniciadocom seus primeiros resultados já publicados em congresso de âmbito nacional [Dias et al.2009] e prova de estabilidade do controlador cinemático proposta no Apêndice G.

72 CAPÍTULO 7. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS

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Unbehauen, H. (1980), ‘Methods and applications in adaptive control’, Lecture Notes inControl and Information Sciences, Springer-Verlag, Berlin,.

Utkin, V. I. (1978), Sliding Modes and Their Applications in Variable Structure Systems,Mir Publishers, Moscou.

Whitaker, H. P., J. Yamron e A. Kezer (1958), ‘Design of model reference adaptive controlsystems for aircraft’, M. I. T. Press, Cambridge, Massachusetts R-164.

Wu, Jinbo, Guohua Xu e Zhouping Yin (2009), ‘Robust adaptive control for a nonho-lonomic mobile robot with unknown parameters’, Journal of Control Theory andApplications 7(2), 212 – 218.

Yang, J. M. e J. H. Kim (1999), Sliding mode motion control of nonholonomic mobilerobots, IEEE Control Systems Magazine, April, pp. 15–23.

Apêndice A

Dedução do erro na formaentrada/saída - MRAC

Considere as equações da planta, do modelo e dos sinais filtrados v1 e v2 (3.3-3.8),e as hipóteses (1-3) da página 23. Para estas considerações, a estrutura do controlador éapresentada na Figura A.1.

θ2n(t)

θTv1(t)

θTv2(t)

θn(t)

(sI−Λ)−1g

(sI−Λ)−1g

Plantar u y+

+

+

+

+

+

Figura A.1: Estrutura do controlador

Seja [A b hT ] uma realização mínima da planta, e x ∈ ℜn o respectivo vetor deestado. Então, a planta com os filtros podem ser representados como

X = AcX + k∗bc(u−θ∗T ω)+bcr; X ∈ℜ3n−2

y = hTc X (A.1)

onde XT = [xT vT1 vT

2 ], k∗ = (θ∗2n)−1 = kp/km > 0 e

Ac =

A 0 00 Λ 0

ghT 0 Λ

+

bg0

θ∗nhT θ∗T

v1 θ∗Tv2

; bc = θ∗2n

bg0

; hc =

h00

;

82 APÊNDICE A. DEDUÇÃO DO ERRO NA FORMA ENTRADA/SAÍDA - MRAC

Nota-se que ω = ΩX +brr com

Ωc =

0 I 0hT 0 00 0 I0 0 0

br =

0001

(A.2)

(Ac,bc,hTc ) é uma realização não mínima (detectável e estabilizável) de M(s) [Sastry

1984], ou seja, o modelo de referência pode ser representado como

Xm = AcXm +bcr, Xm ∈ℜ3n−2

ym = hTc Xm

(A.3)

Definindo o vetor de erro por e = X−Xm, tem-se a seguinte equação de erro

e = Ace+ k∗bc(u−θ∗T ω)e0 = hT

c e (A.4)

e na forma entrada/saídae0 = k∗M(u−θ∗T ω)

Apêndice B

Solução no sentido de Filippov

Considere a equação diferencial

dxdt

= f (x, t) (B.1)

onde f : ℜn×ℜ → ℜn é definida para quase todo (x,t) e mensurável (no sentido de Le-besgue) em um domínio M ⊂ ℜn+1. Além disso, para qualquer subconjunto compactoD⊂M, ∃ A(t) localmente integrável tal que f (x, t) ≤ A(t) para quase todo (x,t) em D.

Definição B.1 [Filippov 1964]: Uma função vetorial x(.) é denominada uma solução de(B.1) em [t0, t1] se x(.) é absolutamente contínua em [t0, t1] e se para quase todo t ∈ [t0, t1]

dxdt∈ K[ f (x, t)] (B.2)

comK[ f (x, t)] =

\

δ>0

\

µN=0conv f [B(x,δ)−N, t] (B.3)

ondeT

µN=0representa a intersecção de todos os conjuntos N de medida nula (no sentido de

Lebesgue), B(x,δ) é uma bola de raio δ centrada em x e “conv” denota o fecho convexo.

Em cada ponto da superfície de descontinuidade, o campo vetorial que determina asolução de (B.1) pertence ao conjunto convexo fechado mínimo que contém todos osvalores de f(x), quando x varia em quase toda a vizinhança δ (com δ → 0) do ponto sobconsideração (a vizinhança completa exceto um conjunto de medida nula). A relação(B.2) é denominada uma inclusão diferencial.

A possibilidade de rejeitar um conjunto de medida nula é que permite a definição docampo vetorial em uma superfície de chaveamento. Na verdade embora o campo vetorialnos pontos da superfície de descontinuidade seja incerto, para uma dada trajetória estespontos constituem um conjunto de medida nula em uma vizinhança da superfície e, então,podem ser desprezados.

Se ocorrer deslizamento em uma dada superfície S, o campo vetorial f* em cada pontodesta superfície pode ser determinado a partir dos campos vetoriais f + e f− direcionadosconforme a Figura (B.1). Desta maneira é obtido um fecho convexo mínimo que é a

84 APÊNDICE B. SOLUÇÃO NO SENTIDO DE FILIPPOV

x2

x1

s(x)=0

f−

f+f*

Figura B.1: Campo vetorial no modo deslizante (solução de Filippov)

base do método de Filippov. Uma vez que, por definição, o deslizamento ideal ocorrena superfície de deslizamento, o campo vetorial permanece em um plano tangencial àsuperfície. Assim, a equação para o deslizamento ideal, definida de acordo com Filippov,para o sistema (B.1) é dada por

x = f ∗(x, t) (B.4)

f ∗ = α f + +(1−α) f−; 0≤ α≤ 1 (B.5)

onde α é um parâmetro que depende das direções e magnitudes dos campos vetoriais f +,f− e do gradiente da função s(x).

A definição acima permite garantir a existência e unicidade da solução em equaçõesdiferenciais com lado direito descontínuo e é muito útil em problemas de engenharia.Suponha que f(x,t) seja função de um relé não ideal, por exemplo, com um pequenoatraso de chaveamento. A solução de Filippov corresponde ao limite da solução de (B.1)com o atraso do relé tendendo a zero [Utkin 1978].

Para sistemas da forma x = f (x, t)+ B(x, t)u, onde a equação diferencial é linear emrelação à variável de controle u, a solução obtida pelo método do controle equivalentecoincide com a solução no sentido de Filippov, ou seja, ao se substituir u por ueq naequação de x, a solução obtida para x no modo deslizante é a solução no sentido deFilippov [Utkin 1978].

Um primeiro passo para usar a teoria de Lyapunov em sistemas descontínuos foi dadopor Filippov [1964]. Considere um sistema representado por x = f (x), x ∈ℜ, e, para umdada função V (x) = x2, obtém-se V (x) = 2x f (x). Quando ocorre deslizamento, f(x) nãoé definida, mas segundo Filippov, V (x) = 2x f ∗(x). Tem-se, então, o seguinte Lema quepermite estender a teoria de Lyapunov para sistemas descontínuos do tipo (B.1).

Lema B.1 [Bailey e Arapostathis 1987]: Considere (B.1) definida em um domínio M.Seja V (x, t) uma função continuamente diferenciável e w(x, t) um função contínua tal que

∂∂t

V (x, t)+ f (x, t)xV (x, t)≤ w(x, t) (B.6)

85

para quase todo (x,t) em M. Então, se x(t) é uma solução de (B.1) no sentido de Filippov,tem-se para quase todo t

dVdt

=∂∂t

V (x, t)+ f (x, t)xV (x, t)≤ w(x(t), t) (B.7)

Para finalizar, um último lema deve ser apresentado:

Lema B.2 Considere as equações diferenciais

dxdt

= f (x, t); x(t0) = x0

dydt

= g(y, t); y(t0) = y0

onde f(x,t) e g(x,t) são definidas para quase todo (x,t) e mensuráveis (no sentido de Le-besgue) em um domínio M ⊂ ℜn+1. Além disso, para qualquer subconjunto compactoD ⊂ M, ∃A(t) e B(t) integráveis tais que f (x, t)| ≤ A(t) e g(x, t)| ≤ B(t) para quasetodo (x,t) em D. Se y0 ≤ x0 e g(x, t)≤ f (x, t) para quase todo (x,t) em D, então, y(t)≤ x(t)para quase todo t ≥ t0.

86 APÊNDICE B. SOLUÇÃO NO SENTIDO DE FILIPPOV

Apêndice C

Detalhes da lei de controle a estruturavariável

Considere o seguinte sistema

x = Ax+bu; A =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

...0 0 0 . . . 1a1 a2 a3 . . . an

; b =

00...01

(C.1)

onde xT = [x1,x2, . . . ,xn] e ai ∈ℜ(i = 1, . . . ,n). Deseja-se que a dinâmica para o sistemaesteja restrita à superfície de chaveamento

S = x : s(x) =n−1

∑i=1

(cixi)+ xn = 0; ci > 0 (i = 1, . . . ,n−1) (C.2)

e garantir que fora da superfície de chaveamento (s(x) = 0) a condição de deslizamentoseja satisfeita, ou seja, ss < 0 onde

s(x) =n−1

∑i=1

(cixi)+ xn = 0, (C.3)

xi = xi+1; i = 1, . . . ,n−2 (C.4)

e

xn =−n

∑i=1

(aixi)+u. (C.5)

Definindo o sinal de controle u do sistema (C.1) como

u =n

∑i=1

(θixi) (C.6)

88 APÊNDICE C. DETALHES DA LEI DE CONTROLE A ESTRUTURA VARIÁVEL

e aplicando (C.4), (C.5) e (C.6) na equação (C.3) obtém-se

s(x) =n

∑i=2

(ci−1xi)+n

∑i=1

(aixi)+n

∑i=1

(θixi),

ou de forma simplificada

s(x) = (a1 +θ1)x1 +n

∑i=2

(ci−1 +ai +θi)xi.

Para atender a condição de deslizamento ss < 0, deve-se fazer

θi =−θi sgn(sxi); i = 1, . . . ,n

onde

sgn(x) =

1, se x > 0−1, se x < 0

eθ1 > |a1|; θi > |ai + ci−1|; i = 2, . . . ,n

Para o sistema a estrutura variável ser robusto às variações paramétricas da planta, énecessário que a condição de deslizamento ss < 0 seja sempre satisfeita, ou seja, os pa-râmetros θi devem ser convenientemente dimensionados conforme as variações previstaspara ai(t). Assim θ1 > sup

t>0|a1(t)| e θi > sup

t>0|ai(t)+ ci−1| (i≥ 2).

Apêndice D

Determinação de θ∗

Seja uma planta G(s) de grau relativo 2 e um modelo M(s) com o mesmo grau relativo,descritos da seguinte forma:

G(s) =kp

s2 +α1s+α2M(s) =

km

s2 +αm,1s+αm,2(D.1)

Para o cálculo do vetor Θ∗ = [(Θ∗v1)

T Θ∗n (Θ∗

v2)T Θ∗

2n]T basta fazer:

Θ∗v1 =

α1−αm,1

g

Θ∗n =

Λ(α1−αm,1)+(α2−αm,2)−α1gΘ∗v1

kp

Θ∗v2 =

Λ(α2−αm,2)−α2gΘ∗v1− kpΛΘ∗

nkp ·g

Θ∗2n =

km

kp

(D.2)

onde Λ e g são oriundos dos filtros dos sinais de entrada (equação 3.6 aplicada a umaplanta com o formato de G(s) - equação D.1). Para o cálculo do vetor Θnom, aplica-se asequações D.2 para os parâmetros nominais da planta.

90 APÊNDICE D. DETERMINAÇÃO DE θ∗

Apêndice E

Análise de um sistema MIMO

O conhecimento exato dos parâmetros de um sistema real é muito defícil de ser ob-tido e algumas vezes impossível. Mediante esta dificuldade, será realizada uma análisedas modificações ocorridas na matriz de transferência do sistema quando há incertezasparamétricas e dinâmicas não modeladas.

Dado um sistema linear qualquer

x = Ax+Buy = Cx (E.1)

onde, escolhendo x ∈ ℜ2, u ∈ ℜ2 e y ∈ ℜ2 por simplicidade, os parâmetros do sistemasão

A =

k1 k2k3 k4

, B =

k5 k6k7 k8

, C =

1 00 1

(E.2)

A matriz de transferência para o sistema da equação (E.1) é G(s) = C(sI−A)−1B, aqual pode ser descrita por

G(s) =

G1,1 G1,2G2,1 G2,2

· 1

D(E.3)

Acrescentando-se incertezas aos parâmetros da equação (E.1), tem-se

A =

k1 +∆k1 k2 +∆k2k3 +∆k3 k4 +∆k4

, B =

k5 +∆k5 k6 +∆k6k7 +∆k7 k8 +∆k8

, C =

1 00 1

(E.4)

A matriz de transferência para o sistema da equação (E.1) utilizando os parâmetrosdefinidos em E.4 será

G(s) =

G1,1 +∆Gi1,1 G1,2 +∆Gi1,2G2,1 +∆Gi2,1 G2,2 +∆Gi2,2

· 1

D+∆Di(E.5)

Outra análise importante é acrescentar dinâmica não modelada ao sistema da equação(E.1), onde, se x ∈ℜ3, u ∈ℜ2 e y ∈ℜ2, os parâmetros do sistema são

A =

k1 +∆k1 k2 +∆k2 kek3 +∆k3 k4 +∆k4 kd

ka kb kc

, B =

k5 +∆k5 k6 +∆k6k7 +∆k7 k8 +∆k8

k f kg

, CT =

1 00 10 0

(E.6)

92 APÊNDICE E. ANÁLISE DE UM SISTEMA MIMO

A matriz de transferência para o sistema da equação (E.1) utilizando os parâmetrosdefinidos em E.6, ou seja, acrescido de incertezas paramétricas e dinâmica não modelada,será

G(s) =(G1,1 +∆Gd1,1)µd1,1 (G1,2 +∆Gd1,2)µd1,2(G2,1 +∆Gd2,1)µd2,1 (G2,2 +∆Gd2,2)µd2,2

· 1(D+∆Dd)µd

(E.7)

Apêndice F

Análise de estabilidade

Neste apêndice serão apresentados os detalhes da análise de estabilidade do controla-dor proposto nesta tese.

F.1 Análise de estabilidade do erro de orientação

Baseado na equação do erro de orientação

eθ(t) = θre f (t)−θp(t) (F.1)

ondeθre f = tg−1

yd − yp

xd − xp

(F.2)

Utilizando como função candidata a Lyapunov (com notação simplificada)

V (eθ) = e2θ > 0, ∀t > 0, (F.3)

para comprovar que o erro de orientação seja assintoticamente estável, deve-se garantirque

V (eθ) = 2eθ · (θre f − θp) < 0, ∀t > 0, (F.4)

Assim,

V (eθ) = 2eθ ·

ddt

tg−1

yd − yp

xd − xp

−ωr

V (eθ) = 2eθ ·

ddt

yd − yp

xd − xp

1+(yd − yp)2

(xd − xp)2

−ωr

94 APÊNDICE F. ANÁLISE DE ESTABILIDADE

V (eθ) = 2eθ ·

(−xp)(yd − yp)− (−yp)(xd − xp)(xd − xp)2

1+(yd − yp)2

(xd − xp)2

−ωr

V (eθ) = 2eθ ·

(−xp)(yd − yp)− (−yp)(xd − xp)(xd − xp)2

(xd − xp)2 +(yd − yp)2

(xd − xp)2

−ωr

V (eθ) = 2eθ ·

(−xp)(yd − yp)− (−yp)(xd − xp)(xd − xp)2 +(yd − yp)2 −ωr

V (eθ) = 2eθ ·

(−xp) · sen(θre f )− (−yp) · cos(θre f )()2 −ωr

V (eθ) = 2eθ ·

(−vr cos(θp))sen(θre f )− (−vr sen(θp))cos(θre f )

−ωr

V (eθ) = 2eθ ·−vr(cos(θp)sen(θre f )− sen(θp)cos(θre f ))

−ωr

o que resulta em

V (eθ) = 2eθ ·−vr(sen(−eθ))

−ωr

< 0 (F.5)

F.2 Análise de estabilidade do erro de posição

A equação do erro de posição

eS(t) =(t) · cos(eθ(t)) (F.6)

é definida positiva, exceto na condição não holonômia, pois eθ(t) > 0, ∀t > 0 quando seconsidera que possui o mesmo sinal de cos(eθ). Por este motivo a função do erro deposição se torna uma função candidata a Lyapunov

V (eS(t)) > 0, ∀t > 0 (F.7)

Assim, para comprovar que o sistema será assintoticamente estável, deve-se garantirque

V (eS(t)) < 0, ∀t > 0, (F.8)

F.2. ANÁLISE DE ESTABILIDADE DO ERRO DE POSIÇÃO 95

Simplificando a notação tem-se

V (eS) =ddt

( · cos(eθ)) < 0, (F.9)

e manipulando-se a expressão obtém-se

V (eS) = · cos(eθ)+ · ddt

cos(eθ)

V (eS) = · cos(eθ)− · sen(eθ) · eθ

onde =

ddt

(xd − xp)2 +(yd − yp)2

=12·

ddt

((xd − xp)2 +(yd − yp)2)

(xd − xp)2 +(yd − yp)2

=12·

2(xd − xp)(−xp)+2(yd − yp)(−yp)

=(xd − xp)(−xp)+(yd − yp)(−yp)

=(cos(θre f ))(−xp)+(sen(θre f ))(−yp)

= cos(θre f )(−xp)+ sen(θre f )(−yp) = cos(θre f )(−vr cos(θp))+ sen(θre f )(−vr sen(θp)) = −vr(cos(θre f )cos(θp)+ sen(θre f )sen(θp)) = −vr cos(θre f −θp) = −vr cos(eθ)

Substituindo-se por (−vr cos(eθ)) em V (eS) tem-se

V (eS) = (−vr cos(eθ))cos(eθ)− · sen(eθ) ·

vr sen(e0)

−ωr

V (eS) = −vr(cos(eθ)2 + sen(eθ)2)+ ·ωr · sen(eθ)V (eS) = −vr + ·ωr · sen(eθ)

Assim, sempre que a relação

ωr <vr

· sen(eθ)(F.10)

for verdadeira, o erro de orientação será assintoticamente estável.

96 APÊNDICE F. ANÁLISE DE ESTABILIDADE

Apêndice G

Controlador cinemático (prova deestabilidade)

Sejam ∆φ = eθ(t) = φ(t)−θp(t)

eS(t) = (t)cos(eθ(t))(G.1)

os erros de posição (eS) e de orientação (eθ).A seguir, uma análise de estabilidade para os erros de posição e de orientação será

realizada com o intuito de elaborar leis de controle que garantam que o robô móvel vápara o ponto desejado. Para o erro de orientação (eθ(t)), considere como função candidatade Lyapunov

V (eθ(t)) = e2θ(t) > 0, ∀t > 0, (G.2)

cuja derivada primeira é

V = 2eθ(t) ·

vr(t)sin(eθ(t))(t)

−ωr(t)

< 0 (G.3)

Assim, para a equação (G.3) ser uma função definida negativa é necessário que

|ωr(t)| >vr(t)sin(eθ(t))

(t)

(G.4)

esgn(ωr(t)) = sgn(eθ) (G.5)

Levando-se em conta apenas os pontos que se encontram à frente do robô móvel, ouseja, pontos desejados com cos(eθ) > 0, considere

V (eS(t)) =(t)cos(eθ(t)) > 0, ∀t > 0 (G.6)

como a função candidata de Lyapunov para o erro de posição do robô móvel. A derivadaprimeira de V (eS(t)) resulta em

V =−vr(t)+ωr(t)(t)sin(eθ(t)) < 0 (G.7)

98 APÊNDICE G. CONTROLADOR CINEMÁTICO (PROVA DE ESTABILIDADE)

Para a equação G.7 ser definida negativa é necessário considerar a equação (G.5) e

|ωr(t)| <

vr(t)(t)sin(eθ(t))

(G.8)

Finalmente, uma condição necessária, baseada nas equações (G.4, G.5 e G.8), podeser obtida através de

vr(t)sin(eθ(t))(t)

< ωr(t) <vr(t)

(t)sin(eθ(t)), (G.9)

a qual é uma condição necessária para qualquer robô móvel com acionamento diferencial.Neste instante, um controlador cinemático, respeitando a equação (G.9), será pro-

posto. Define-se a referência para a velocidade linear como

vre f = κ(t) (G.10)

onde κ > 0 serve para ajustar o ganho da velocidade linear para o robô móvel e define-se

ωre f = (κ+ρ)sin(eθ(t)) (G.11)

como a referência para a velocidade angular, onde ρ > 0 serve para ajustar o ganho davelocidade angular.

Por fim, é importante notar que ρ > 0 garante que o controlador do ângulo será assin-toticamente estável, isto é, eθ → 0. Quando eθ = 0, qualquer valor para o controlador deposição garante ∆→ 0. Desta forma, pode-se concluir que o controlador proposto seráassintoticamente estável para qualquer ponto desejado entre −π/2 and π/2.

Apêndice H

Resultados

Neste apêndice serão apresentados, de forma detalhada, todas as simulações realizadase comentadas nesta tese.

.

100 APÊNDICE H. RESULTADOS

H.1 Simulação do desacoplamento sem incertezas

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5

Figura H.1: Desacoplamento sem incertezas paramétricas com zona morta (translação)

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0u1

u2

Figura H.2: Sinais de tensão aplicados aos motores c.c.

H.2. SIMULAÇÃO DO DESACOPLAMENTO PARA O CASO IDEAL 101

H.2 Simulação do desacoplamento para o caso ideal

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5

Figura H.3: Desacoplamento sem incertezas paramétricas e zona morta (translação)

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0u1

u2

Figura H.4: Sinais de tensão aplicados aos motores c.c.


H.3 Simulação (xd = 1, yd = 0)

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5

Figura H.5: Trajetória realizada pelo robô vista pela câmera

0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 2.5 5

0

0.5

1.0

1.5

Erro de posição do robô ao longo do tempo

Figura H.6: Simulação para o ponto desejado em (xd = 1, yd = 0)

H.4. SIMULAÇÃO (XD = 1, YD = 0) SEM ZONA MORTA 103

H.4 Simulação (xd = 1, yd = 0) sem zona morta

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5


0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 2.5 5

0

0.5

1.0

1.5





0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5


0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 2.5 5

0

0.5

1.0

1.5



H.6. SIMULAÇÃO (XD = 0, YD = 1) 105


−1.0 −0.5 0.0 0.5

0

0.5

1.0

1.5


0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 2.5 5

0

0.5

1.0

1.5




H.7 Simulação (xd =−1, yd = 1)

−1.0 −0.5 0.0 0.5

0

0.5

1.0

1.5


0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 2.5 5

0

0.5

1.0

1.5


Figura H.14: Simulação para o ponto desejado em (xd =−1, yd = 1)

H.8. SIMULAÇÃO (XD =−1, YD = 0) 107

H.8 Simulação (xd =−1, yd = 0)

−1.0 −0.5 0.0 0.5

0

0.5

1.0

1.5


0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 2.5 5

0

0.5

1.0

1.5




H.9 Simulação (xd =−1, yd =−1)

−1.0 −0.5 0.0 0.5

−1.0

−0.5

0.0

−0.5


0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 2.5 5

0

0.5

1.0

1.5


Figura H.18: Simulação para o ponto desejado em (xd =−1, yd =−1)

H.10. SIMULAÇÃO (XD = 0, YD =−1) 109

H.10 Simulação (xd = 0, yd =−1)

−1.0 −0.5 0.0 0.5

−1.0

−0.5

0.0

−0.5


0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 2.5 5

0

0.5

1.0

1.5


Figura H.20: Simulação para o ponto desejado em (xd = 0, yd =−1)


H.11 Simulação (xd = 1, yd =−1)

0 0.5 1.0 1.5

−1.0

−0.5

0.0

−0.5


0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 2.5 5

0

0.5

1.0

1.5


Figura H.22: Simulação para o ponto desejado em (xd = 1, yd =−1)

H.12. SIMULAÇÃO 01 COM DESACOPLAMENTO POR (S2)−1 111

H.12 Simulação 01 com desacoplamento por (s2)−1

0 0.5 1.0 1.5

0

0.5

1.0

1.5


0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 2.5 5

0

0.5

1.0

1.5





−1.0 −0.5 0.0 0.5

0

0.5

1.0

1.5


0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 2.5 5

0

0.5

1.0

1.5



H.14. SIMULAÇÃO 03 COM DESACOPLAMENTO POR (S2)−1 113


−1.0 −0.5 0.0 0.5

0

0.5

1.0

1.5


0 5 10

−7.0

0.0

7.0

0 5 10−7.0

0.0

7.0


u1

u2

0 2.5 5

0

0.5

1.0

1.5



Apêndice I

Sistema de visão

Neste apêndice será apresentada uma análise sobre as dificuldades existentes no sis-tema de visão que comprometem o desempenho do controlador proposto.

(a) Campo visto pela câmera (b) Bordas do campo

Figura I.1: Campo do kit de futebol de robôs

A imagem da Figura I.1(a) foi obtida pela câmera de vídeo do sistema de visão. Nestaimagem pode-se observar algumas deformidades em suas extremidades, as quais ficammais evidenciadas na Figura I.1(b) que apresenta apenas o contorno da imagem a partirde ponto da imagem original. Essas deformidades juntamente com a resolução e alturada câmera impõe ao sistema de visão limitações para identificar a posição e o ângulo dorobô.

Para identificar estas limitações foi realizado um ensaio, o qual consistia de por o robômóvel em uma posição e ângulo previamente conhecidos e obter do sistema de visão asua posição e ângulo medidos. Com isso é possível verificar a média e o desvio padrãoexistentes nas identificações da posição e ângulo do robô móvel através do sistema devisão.

Uma demonstração dos ensaios realizados para identificar os erros no sistema de visãopode ser visualizado na Figura I.2, onde são demonstrados o posicionamento do robômóvel em uma posição conhecida. Na Figura I.2(b) é apresentado um conjunto de trintapontos obtidos pelo sistema de visão, sendo divididos em seis grupos de cinco amostras.

Para calcular o erro da posição, calculou-se o desvio padrão para o conjunto formadopelo erro existente entre a posição exata do robô móvel e as posições obtidas das trintas

116 APÊNDICE I. SISTEMA DE VISÃO

(a) Robôs móveis posicionados no campo (b) Posições obtidas pelo sistema de visão

Figura I.2: Identificação dos erros de posição e orientação do robô móvel

amostras. O desvio padrão foi de aproximadamente 1cm de raio. O mesmo procedimentofoi realizado para o ângulo do robô móvel, o qual obteve um desvio padrão de 8.

Apêndice J

Identificação dos parâmetros do robômóvel

Este apêndice apresenta alguns resultados dos ensaios utilizados para identificar os pa-râmetros do robô móvel. As Figuras J.1, J.2 e J.3 mostrou três ensaios com as velocidadeslinear e angular do robô móvel e do modelo identificado pelo ensaio.

0 8 16

−1.5

0.0

1.5

0 8 16−15

0.0

15

ωr

vr

Figura J.1: Identificação dos modelos para posição e para orientação (caso 1)

Todos os ensaios contam com a velocidade linear medida (linha tracejada) e a veloci-dade resultante do modelo identificado. Ao todo foram realizados quinze ensaios e paracada um dos ensaios identificou-se um modelo diferente, a média dos modelos identifica-dos é dada pela equação 4.28. A tabela J.1 apresenta os desvios padrão (em percentual)para cada um dos parâmetros do modelo.

118 APÊNDICE J. IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DO ROBÔ MÓVEL

0 8 16

−1.5

0.0

1.5

0 8 16−15

0.0

15

ωr

vr


0 8 16

−1.5

0.0

1.5

0 8 16−15

0.0

15

ωr

vr


119

Parâmetro Valor nominal Desvio padrão (%)k1 -6,098 7,99k2 0,04682 253,04k3 -4,491 1743,24k4 -57,52383 120,70k5 0,012799 36,18k6 0,010618 20,05k7 -1,624859 33,61k8 1,683278 39,61

Tabela J.1: Desvio padrão dos parâmetros do modelo identificado

120 APÊNDICE J. IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DO ROBÔ MÓVEL

Apêndice K

Software desenvolvido

Figura K.1: Tela principal do software desenvolvido

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