Controle Avan ado para Nanoposicionamento r pido e...

CONTROLE AVANÇADO PARA NANOPOSICIONAMENTO RÁPIDO E

PRECISO

Alexandre Seixas Soares

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia de Controle e Automação

da Escola Politécnica, Universidade Federal

do Rio de Janeiro, como parte dos

requisitos necessários à obtenção do título

de Engenheiro.

Orientadores: Liu Hsu

José Paulo Vilela Soares da

Cunha

Rio de Janeiro

Abril de 2011

CONTROLE AVANÇADO PARA NANOPOSICIONAMENTO RÁPIDO E

PRECISO

Alexandre Seixas Soares

PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO

CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO DA ESCOLA

POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO

PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO.

Examinado por:

Prof. Liu Hsu, Docteur D’Eat

Prof. José Paulo Vilela Soares da Cunha, D.Sc.

Prof. Antonio Candea Leite, M.Sc.

Prof. Eduardo Vieira Leão Nunes, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

ABRIL DE 2011

Soares, Alexandre Seixas

Controle Avançado para Nanoposicionamento rápido

e preciso/Alexandre Seixas Soares. – Rio de Janeiro:

UFRJ/Escola Politécnica, 2011.

XVI, 107 p.: il.; 29,7cm.Orientadores: Liu Hsu

José Paulo Vilela Soares da Cunha

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/

Curso de Engenharia de Controle e Automação, 2011.

Referências Bibliográficas: p. 101 – 104.

1. Nanoposicionamento. 2. Atuador Piezoelétrico.

3. Histerese. 4. Controle Avançado. I. Hsu,

Liu et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

Escola Politécnica, Curso de Engenharia de Controle e

Automação. III. Título.

iii

Este trabalho é dedicado

primeiramente a Deus pela

oportunidade da existência.

Agradeço o apoio da minha família

e em especial da minha namorada

pela paciência e pelas infinitas

conversas que me deram folêgo para

concluir a graduação. Obrigado

também turma de Engenharia de

Controle e Automação de 2006 da

UFRJ, sem essa segunda família

seria impossível caminhar, hoje,

como Engenheiro.

Obrigado por ajudar a formar o

meu caráter, Tio Nicolau (in

memoriam).

iv

Agradecimentos

Agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

(CNPq) e ao Centro de Pesquisas da Petrobrás (CENPES) não somente pelas

oportunidades de desenvolver atividades na área de pesquisa como também

pelo apoio financeiro que me foi concedido.

v

Resumo

Transdutores piezoelétricos são dispositivos de alta resolução e de ampla

banda passante, aplicados nas mais diversas áreas, tais como medicina, óp-

tica, mecânica de precisão e microeletrônica. Porém, o controle preciso desse

atuador torna-se difícil na medida em que os efeitos das não-linearidades as-

sociadas à sua dinâmica, tais como creep e histerese, se tornam aparentes. Não

obstante à essa dificuldade, o controlador ainda precisa estabilizar o sistema

mesmo na presença de atraso causado predominantemente pelo processamento

nos circuitos eletrônicos de acionamento do piezoelétrico e de medição da sua

posição.

Este trabalho consiste da apresentação individual dos dispositivos que com-

põem o sistema experimental utilizado, acompanhado de sua modelagem e

do projeto de um controlador adaptativo robusto capaz de obter um desem-

penho satisfatório ainda que a frequência do sinal de referência seja grande. O

termo robusto empregado juntamente com a adaptação paramétrica atua no sen-

tido de compensar as incertezas associadas ao modelo e distúrbios de variação

lenta. Esse controlador tem seu desempenho comparado um controlador com

ações proporcional e integral, um controlador adaptativo baseado no modelo

de referência e um controlador proporcional-integral com feedforward baseado

no modelo de referência identificado. Para a comparação são usadas métricas

do erro de rastreamento. O estudo comparativo entre os resultados obtidos com

esses indicadores comprova a eficiência e precisão do esquema proposto para

operações em alta frequência.

vi

Abstract

Piezoelectric transducers are devices of high resolution and wide bandwidth,

applied in several areas, such as medicine, optics, precision engineering and

microelectronics. However, the precisely control of the actuator can be diffi-

cult in that the effects of nonlinearities associated with their dynamics, such

as creep and hysteresis become perceptible. Notwithstanding this difficulty,

the controller still needs to stabilize the system even in the presence of rela-

tively time delay predominantly to the electronic processing existing on the

piezoelectric`s activation driver.

This work consists of an individual presentation of devices that compose the

experimental system used, together with its modelling and the project of a

robust adaptive controller that can satisfactory achieve a performance even

at high frequencies. The robust term applied mutually with the parametric

adaptation acts to compensate uncertainties associated to the model and slow

variation disturbances. Such controller has its performance compared with

other designs like proporcional and integral controller, adaptative controller

and proportional-integral with feedforward based on the identified reference

model, using metrics associated with the tracking error. The comparative study

between the results obtained by these indicators proves the efficiency and

accuracy for high frequency operations.

vii

Sumário

Agradecimentos v

Resumo vi

Abstract vii

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xvi

1 Introdução 1

1.1 Aplicações dos Nanoposicionadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Microscopia de Força Atômica . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Microscopia de Tunelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Estrutura do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Fundamentos Físicos 7

2.1 Efeito Piezoelétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Apresentação das Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Fundamentos Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Fundamentos Mecânicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Sistemas de Nanoposicionamento 13

3.1 Atuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Magnetoestritivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2 Baseados em sistemas microeletromecânicos eletrostáticos . 14

3.1.3 Baseados em sistemas microeletromecânicos com superfície

eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.4 Baseados em sistemas microeletromecânicos shuffle . . . . . 16

3.1.5 Baseados em sistemas microeletromecânicos eletromagnéticos 17

3.1.6 Baseados em sistemas microeletromecânicos térmicos . . . . 17

viii

3.1.7 Piezoelétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Sistemas de Amplificação do Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Amplificação do Deslocamento por mecanismo de alavanca 19

3.2.2 Amplificação do Deslocamento por elemento flexitensional 20

3.3 Sensores de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1 Sensores Capacitivos de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.2 Sensores Térmicos de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Aparato Experimental 25

4.1 Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.1 Piezoatuador P-753.1C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.2 Amplificador E-665.CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.3 Sistema de Aquisição de Dados Quanser Q8 . . . . . . . . . . 30

4.1.4 Instrumentos de Controle e Comunicação . . . . . . . . . . . 31

4.2 Digitalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Calibração do Sensor de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Modelagem do Sistema de Posicionamento 34

5.1 Procedimentos de Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Identificação dos blocos do Modelo do Sistema . . . . . . . . . . . . 35

5.2.1 Bloco Linear do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2.2 Histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.3 Creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.4 Atraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Controle do Nanoposicionador 57

6.1 Controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.1.1 Lei de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.1.2 Resultados de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.1.3 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2 Controlador Adaptativo por modelo de referência baseado no erro

de rastreamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2.1 Lei de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63



6.3 Controlador PI com termo Feedforward . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.3.1 Lei de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71



6.4 Controlador Adaptativo Robusto (ARC) . . . . . . . . . . . . . . . . 77

ix

6.4.1 Lei de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77



6.5 Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7 Conclusões e Perspectivas 99

7.1 Contribuições do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2 Sugestões para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Referências Bibliográficas 101

A Procedimentos Experimentais 105

A.1 Fixação do Piezoelétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

A.2 Ajuste do Amplificador E-665.CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

A.3 Configuração do Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

x

Lista de Figuras

1.1 Esquemas de varredura. Em (a) sem contato e em (b) com contato. 3

2.1 Arranjo cristalino do titano-zirconato de chumbo. . . . . . . . . . . 9

2.2 Disposição dos domínios de Weiss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Microatuadores eletrostáticos: (a) de pentes interdigitados e (b) de

placas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Microatuador com superfície eletrostática. Um exemplo de padrão

de tensão é mostrado nos eletrodos. A variação de tensão faz o

transdutor se movimentar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Ciclo ABCDA‘ de movimento de um atuador shuffle de uma dimen-

são. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Atuador piezoelétrico usado na injeção de combustível em au-

tomóveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5 Sistema de amplificação do deslocamento por alavanca. . . . . . . . 19

3.6 Esquema da configuração em paralelogramo do elemento flexiten-

sional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.7 Arquitetura do sensor capacitivo de deslocamento. . . . . . . . . . 22

3.8 Em (a) a arquitetura do sensor térmico de posição e em (b) o fluxo

de corrente representado por setas no mesmo. . . . . . . . . . . . . 23

3.9 Em (a) a condução de calor pelo ar em direção a superfície inferior.

Em (b) deslocamento da superfície inferior, implicando o aumento

da resistência elétrica do mesmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Diagrama de blocos da configuração experimental. . . . . . . . . . . 25

4.2 Atuador piezoelétrico P-753.1CD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Amplificador de potência E-665.CR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4 Diagrama de blocos do amplificador E-665.CR. . . . . . . . . . . . . 29

4.5 Resposta frequencial do amplificador E-665.CR. . . . . . . . . . . . 30

4.6 Placa de conversão Analógica/Digital Q8. . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.7 Ruído do sistema. Leitura da saída na ausência de um sinal de

entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

xi

5.1 Diagrama de blocos referente à modelagem do sistema. . . . . . . . 34

5.2 Janela do System Identification Toolbox. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3 Tela inicial de estimação, carregamento dos iddatas e identificação

do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.4 Gráfico de respostas simulada e medida. . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.5 Experimento com frequência de corte do sensor capacitivo em

1 kHz. Resposta do nanoposicionador a um degrau negativo de

1 V de amplitude aplicado em 1 segundo. . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.6 Resposta em frequência medida para a frequência de corte de 1 kHz

do sensor capacitivo. Observa-se o pólo do sistema em 541 Hz. . . . 40

5.7 Experimento com frequência de corte do sensor capacitivo em

3 kHz. Resposta ao degrau negativo de 1 V de amplitude aplicado

em 1 segundo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.8 Resposta frequencial: em vermelho a resposta frequencial simu-

lada; em azul a resposta frequencial experimental. . . . . . . . . . . 42

5.9 Diagrama de blocos base para modelagem da histerese. . . . . . . . 42

5.10 Gráfico entrada(u) × saída(y) para variação de amplitude com fre-

quência de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.11 Gráfico entrada(u) × saída(y) para variação de frequência com am-

plitude de 0,5 V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.12 Gráfico entrada(u) × saída compensada por Bode para a variação

de amplitude(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.13 Gráfico entrada(u) × saída compensada por Bode para a variação

de frequência(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.14 Gráfico entrada(u) × saída compensada iterativamente para a vari-

ação de amplitude(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.15 Gráfico entrada(u) × saída compensada iterativamente para a vari-

ação de frequência(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.16 Diagrama de blocos do modelo de histerese de Bouc Wen. . . . . . . 50

5.17 Resposta experimental, em azul, e simulada, em cinza, para as

referências de 0,1 V, 0,3 V, 0,5 V e 1,0 V. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.18 Resíduos das referências de 0,1 V, 0,3 V, 0,5 V e 1,0 V. . . . . . . . . . 52

5.19 Respostas frequenciais: experimental, do modelo linear e do mod-

elo linear com histerese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.20 Análise no domínio do tempo. Em azul a resposta simulada com o

modelo completo e em cinza a resposta experimental medida. . . . 55

6.1 Resultado de simulação do controlador PI para o sinal de referência

de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

xii


de 50 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


de 100 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


de 200 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.5 Resultado experimental do controlador PI para a referência de fre-

quência de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


quência de 50 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


quência de 100 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


quência de 200 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.9 Resultado de simulação do controlador adaptativo para o sinal de

referência de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


referência de 50 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


referência de 100 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


referência de 200 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.13 Resultado experimental do controlador adaptativo para o sinal de

referência de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


referência de 50 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


referência de 100 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


referência de 200 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.17 Resultado de simulação obtido com o controlador baseado no erro

de rastreamento para a referência de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . 73




de rastreamento para a referência de 100 Hz. . . . . . . . . . . . . . 74



xiii

6.21 Resultado experimental obtido com o controlador baseado no erro








6.25 Diagrama de blocos do sistema de simulação do controlador adap-

tativo robusto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.26 Filtro de segunda ordem do sinal de referência. . . . . . . . . . . . . 83

6.27 Diagrama de blocos do controlador adaptativo robusto. . . . . . . . 84

6.28 Resultado de simulação com o ARC para a referência de 10 Hz. . . 85

6.29 Estimativa de simulação dos parâmetros do ARC para a referência

de 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85



de 50 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86



de 100 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87



de 200 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.36 Resultado experimental com o ARC para a referência de 10 Hz, com

θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.37 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 10 Hz, com

θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.38 Resultado experimental com o ARC para a referência de 50 Hz, com

θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.39 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 50 Hz, com

θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.40 Resultado experimental com o ARC para a referência de 100 Hz,

com θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.41 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 100 Hz,

com θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.42 Resultado experimental com o ARC para a referência de 200 Hz,

com θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

xiv

6.43 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 200 Hz,

com θ3 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.44 Resultado experimental com o ARC para a referência de 10 Hz. . . 93

6.45 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 10 Hz. . . . 93


6.47 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 50 Hz. . . . 94


6.49 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 100 Hz. . . 95


6.51 Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 200 Hz. . . 96

A.1 Exemplo de diagrama de blocos utilizados nos experimentos. In-

terface entre o Simulink e a máquina virtual da Quanser. . . . . . . . 107

xv

Lista de Tabelas

2.1 Apresentação dos parâmetros físicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1 Especificações Técnicas do P-735.1CD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Especificações do Material do P-735.1CD. . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 Especificações do Conversor Analógico/Digital Quanser Q8. . . . . 31

5.1 Acerto percentual do modelo para as diversas referências. . . . . . 38

5.2 Parâmetros da histerese segundo o modelo de Bouc Wen. . . . . . . 51

5.3 Erro de modelagem da histerese segundo o modelo de Bouc Wen. . 51

5.4 Parâmetros do creep segundo o modelo não-linear. . . . . . . . . . . 53

6.1 Tabela de parâmetros do controlador adaptativo robusto. . . . . . . 83

6.2 Tabela de Indicadores do Erro de Rastreamento. . . . . . . . . . . . 97

xvi

Capítulo 1

Introdução

Conforme sugere seu prefixo, a nanotecnologia é uma ciência que trata da ma-

nipulação de estruturas da matéria em escala inferior a 100 nanômetros. Esse

processo consiste do dimensionamento, do posicionamento, da modelagem e

do controle do sistemas que utilizam nanotecnologia. Embora o termo nan-

otecnologia seja considerado novo, a existência de dispositivos funcionais e

estruturas nanométricos é tão antiga quanto a própria vida no planeta. Por

exemplo, o molusco da família Haliotidae constrói sua concha de maneira re-

sistente por meio da organização de tijolos nanoestruturados de carbonato de

cálcio unidos por uma cola feita de uma mistura de proteína e carboidrato [1].

A fim de se alcançar a precisão e a acurácia exigidas para a operação desses

dispositivos em dimensão atômica, são utilizados nanoposicionadores normal-

mente acionados por atuadores piezoelétricos. Esses sistemas são mecanica-

mente projetados para atingir um controle ultra-preciso de movimento. Sendo

empregados principalmente em aplicações de microscopia. As principais metas

de nanoatuação são a alta banda passante, resposta rápida, alta resolução e esta-

bilidade. Se o sistema de posicionamento atinge as metas mencionadas a priori,

a exatidão e a repetibilidade da operação em escala nanométrica são garantidas.

Um transdutor piezoelétrico consiste de um elemento de cerâmica ou cristal

capaz de converter energia elétrica em mecânica e vice-versa, de maneira quase

que imediata, por meio do efeito piezoelétrico inverso. A dinâmica relacionada

à essa conversão de energia apresenta consideráveis fenômenos não-lineares.

Como o creep e a histerese, os quais revelam sua influência de maneira mais

marcante quando o sistema é submetido a sinais de referência com amplitudes

elevadas e frequências baixas. Se operado em malha aberta, o nanoatuador

1

sofre perdas na repetibilidade em função de suas dinâmicas não-lineares. No

entanto, para sinais de referência com amplitudes baixas, a parcela dinâmica

predominante é linear e apresenta um par de pólos pouco amortecidos que irá

gerar um modo ressonante [2].

Em termos de aplicação da nanotecnologia, o que se destaca nesse contexto

é a vasta gama de possibilidades existentes. As principais áreas que fazem

uso desses instrumentos de precisão atômica são: tecnologia de semicondu-

tores, biotecnologia, microscopia, automação, aeronáutica, processamento de

imagens, astronomia, óptica adaptativa, metrologia, sistemas a laser, usinagem

de precisão, torneamento de diamantes, óptica integrada, fotônica, telecomuni-

cações e nanorobótica. Uma vez exposto o panorama geral, na próxima seção

serão tratadas algumas aplicações com mais profundidade.

1.1 Aplicações dos Nanoposicionadores

Os microscópios de escaneamento consistem de uma família composta por uma

ampla gama de instrumentos baseados em AFM (Atomic Force Microscope) e

SPM (Scanning Probe Microscope), desenvolvidos para vários tipos de apli-

cações científicas e industriais. Alguns tipos de microscopia que empregam

nanoposicionadores são:

1. STM Scanning Tunneling Microscopy,

2. AFM Atomic Force Microscopy,

3. FFM Friction Force Microscopy,

4. SEFM Scanning Electrostatic Force Microscopy,

5. SFAM Scanning Force Acoustic Microscopy,

6. SMM Scanning Magnetic Microscopy,

7. SNOM Scanning Near Field Optical Microscopy,

8. SThM Scanning Thermal Microscopy,

9. SEcM Scanning Electrochemical Microscopy,

10. SKPM Scanning Kelvin Probe Microscopy,

11. SCPM Scanning Chemical Potencial Microscopy,

2

12. SICM Scanning Ion Conductance Microscopy e

13. SCM Scanning Capacitance Microscopy.

Para a vasta família de microscópios de escaneamento (SPMs) que surgiram

após a descoberta do microscópio de tunelamento (Scanning Tunneling Micro-

scope, STM) e do microscópio de força atômica, (Atomic Force Microscopy) AFM,

o nanoposicionamento é um aspecto chave, pois determina diretamente o de-

sempenho do microscópio [3],[4],[5],[6],[7],[8] e [9]. Por exemplo, ao se escanear

uma superfície utilizando-se um AFM, a imagem é gerada em função da inter-

ação do elemento sensor (probe) com a superfície da amostra. Quão mais preciso

for o controle de posição do sensor, maior será a resolução da imagem gerada.

O esquema referente ao STM pode ser observado na Figura 1.1(a) enquanto que

o do AFM é evidenciado na Figura 1.1(b).

Figura 1.1: Esquemas de varredura. Em (a) sem contato e em (b) com contato.Figura extraída e modificada de [2].

Desse modo, o posicionamento preciso é também um fator determinante para a

manutenção da integridade do dispositivo de escaneamento e da superfície da

amostra. Tal fato é decorrente da possibilidade de danos tanto na probe quanto

na superfície da amostra se a força de interação entre essas for elevada. Como

medida preventiva, usa-se o controle realimentado da força entre a amostra e

o elemento sensor. Esse fenômeno vai ao encontro da observação do amplo

alcance das aplicações que fazem uso da nanotecnologia.

3

Neste contexto, sistemas com nanoposicionadores são utilizados, por exem-

plo, em litografia no alinhamento das máscaras de materiais foto-resistivos

tanto positivos (polímeros solúveis quando expostos à luz) quanto negativos

(polímeros insolúveis quando expostos à luz). No preciso posicionamento de

wafers (camadas de material semicondutor) podendo ser dopadas ou não. E por

fim na inspeção de semicondutores, verificando se a sua construção foi feita de

maneira adequada para garantir as propriedades necessárias à sua operação.

1.1.1 Microscopia de Força Atômica

Microscópios de força atômica podem ser utilizados para estudar tanto superfí-

cies condutoras de eletricidade quanto isolantes. São comumente empregados

na manipulação individual de átomos de xenônio. Esse instrumento é capaz

de medir forças demasiadamente pequenas, menores que um micro Newton,

presentes entre a superfície de sua ponta de prova ou probe e a da amostra [10].

Primeiramente, a força é estimada com base na deflexão do elo entre o AFM

e sua probe, que é proporcional a força, por meio de detectores ópticos como

apresentado em [10]. Após esse procedimento, a informação estimada é inje-

tada na malha de realimentação a fim de ajustar a posição vertical da probe

almejando manter a deflexão do elo no valor desejado. Uma vez mantida uma

pequena deflexão constante no elo, a força de interação do elemento sensor com

a superfície da amostra é mantida constante durante o escaneamento. Assim, o

posicionamento preciso da ponta de prova é necessário à manutenção da força

no nível desejado durante o escaneamento por meio do microscópio de força

atômica.

Existem diversas variantes do princípio apresentado acima que utilizam outras

propriedades físico-químicas do material para inferir a força de interação entre

a probe e a superfície da amostra [11], [12] e [13]. Contudo, o cerne comum

entre todas essas maneiras de se realizar o escaneamento é a dependência do

posicionamento preciso da ponta de prova em relação ao substrato analisado.

1.1.2 Microscopia de Tunelamento

O microscópio de tunelamento, que foi desenvolvido por Gerd Binnig e sua

equipe em 1981 no laboratório de pesquisas da IBM em Zurique na Suíça, é

4

o primeiro instrumento capaz de obter de maneira direta uma imagem tridi-

mensional de superfícies sólidas com resolução atômica. Tais dispositivos só

podem ser utilizados para estudar apenas superfícies que possuam algum grau

de condutividade elétrica [14].

Esses instrumentos são utilizados na formação de nanocaracterísticas por meio

da localização de calor ou da indução de reações químicas na área de atuação

de sua ponta de prova. A ampliação capaz de ser realizada por SMPs e AFMs

é da ordem de mil a um bilhão de vezes em sua faixa de trabalho, obtendo da

amostra imagens de alta resolução e informações de espectroscopia [14]. Em

escaneamentos realizados utilizando microscopia de tunelamento, a vibração

natural do dispositivo utilizado implica a distorção da imagem formada [3].

Em função de sua dualidade onda-partícula, o elétron pode sofrer o fenômeno

de tunelamento. Tal fenômeno consiste da probabilidade de um elétron atraves-

sar uma barreira potencial em situações em que, segundo a mecânica clássica,

ele deveria ser totalmente impedido. Esse fenômeno, é utilizado como princípio

de funcionamento do microscópio de tunelamento. Ao se aproximar a sonda

da amostra, se ambos forem condutores, uma corrente de tunelamento pode ser

medida. É constatado que a corrente de tunelamento permanece constante uma

vez mantida a distância entre ambos. Conforme a sonda percorre a amostra, a

variação dessa corrente se torna proporcional à topografia do objeto de estudo

e ao potencial elétrico empregado entre esses [15]. Por fim, essa informação é

utilizada na composição da imagem tridimensional da amostra.

1.2 Objetivos

As principais metas do estudo desenvolvido neste trabalho são realizar a mod-

elagem do nanoatuador e o projetar um controlador que apresente um bom

desempenho para operações rápidas e precisas. Sabendo que a chave para o

sucesso do nanoposicionamento é a acurácia e a precisão no sensoreamento da

posição e o controle em malha-fechada do sistema [2], a proposta deste trabalho

é avaliar as melhorias advindas do emprego de algoritmos de controle avançado

(e.g., controle adaptativo, controle robusto), na presença de dinâmicas não lin-

eares como a histerese, o creep e as vibrações, que contribuem para a degradação

do desempenho do sistema.

5

1.3 Estrutura do Texto

A organização do conteúdo desse trabalho é feita segundo a descrição atribuída

a cada capítulo pelos itens abaixo:

• No Capítulo 2 os conceitos físicos associados a dinâmica do nanoatuador

são apresentados. Tanto os fundamentos mecânicos quanto os elétricos

são colocados de forma a explicar como a dinâmica que será descrita na

modelagem pode ser embasada fisicamente.

• A classificação dos atuadores piezoelétricos é considerada no Capítulo 3.

Descrevem-se nesse capítulo, os mecanismos de amplificação do movimento

e o sistema de medição desse deslocamento.

• No Capítulo 4 é apresentado o sistema experimental bem como os procedi-

mentos de configuração que devem preceder a sua operação.

• A modelagem experimental do sistema exposta no item acima é detalhada

no Capítulo 5. Tal procedimento analisa o problema de modelagem segundo

uma composição da contribuição de três parcelas fundamentais, a dinâmica

linear, o creep e a histerese, considera-se que o efeito do ruído de medição é

desprezível.

• No Capítulo 6 o projeto de quatro controladores é realizado. As etapas de

desenvolvimento das leis de controle, bem como os resultados de simulação

do modelo encontrado no Capítulo 5 e os resultados experimentais são

apresentados.

• O Capítulo 7 apresenta as conclusões obtidas a partir do estudo desen-

volvido.

• No Apêndice, detalhes sobre a montagem dos experimentos, a utilização

dos equipamentos e dos softwares são descritos.

6

Capítulo 2

Fundamentos Físicos

O termo piezo deriva da palavra grega que significa pressão. Em 1880, Jacques

e Pierre Curie descobriram que um potencial elétrico pode ser gerado ao se

pressionar um cristal de quartzo. A partir dessa descoberta foi possível inferir

a existência de um fenômeno físico associado a alguns materiais, denominado

efeito piezoelétrico.

Historicamente, eram utilizados cristais de quartzo acoplados a massas metáli-

cas, porém era necessária alta tensão para excitar os transdutores. Após a

primeira guerra mundial, as principais cerâmicas piezoelétricas utilizadas eram

o titano-zirconato de chumbo ou PZT (nos EUA) e o titanato de bário (pela URSS

e pelo Japão). O ponto de partida das análises posteriores é a utilização de en-

saios com cristais de quartzo constituídos de microestruturas com propriedades

ferroelétricas [2].

Este capítulo trata dos fenômenos associados à dinâmica do atuador

piezoelétrico sob a perspectiva da física. Os fundamentos aqui apresentados

estão descritos em [16].

2.1 Efeito Piezoelétrico

De acordo com a descoberta dos irmãos Curie, é possível definir o efeito do

principal fenômeno associado ao PZT como efeito piezoelétrico. Esse efeito diz

respeito à propriedade de que um potencial elétrico pode ser gerado por meio

da aplicação de pressão em cristais com propriedades ferroelétricas. O efeito

piezoelétrico inverso descreve o comportamento da mudança das dimensões do

cristal quando submetido a um potencial elétrico.

7

2.2 Apresentação das Constantes

Os parâmetros físicos utilizados para descrever a dinâmica do atuador

piezoelétrico são apresentados na Tabela 2.1. Os seus significados físicos são

descritos a seguir.

Tabela 2.1: Apresentação dos parâmetros físicos.Parâmetros Significado Físico

s [m] distensãol0 [m] comprimento da cerâmica

E [V/m] intensidade do campo elétricoI0 [m] comprimento do atuadords [m] distância entre os eletrodos

n número de camadas I0/ds

A [m2] área de superfície do eletrodo de uma camadaε As

Vm constante dielétricadi j [m/V] coeficiente de distensão do material piezoelétrico∆l0 [m] distensão máxima sem força externa

kt [N/m] constante elástica do piezoelétricoks [N/m] constante elástica da mola externaFmax [N] máxima força

Fmax−e f f [N] máxima força efetivaFdyn [N] força dinâmica∆l [m] distensão pico a picof0 [Hz] frequência de ressonância do atuador sem carga

Me f f [kg] massa efetiva (1/3 da massa da cerâmica com o invólu-cro mais a massa de qualquer peça instalada)

M′e f f

[kg] Massa adicional M+Me f f

ϕ ângulo de fase (graus)f [Hz] frequência de operação

Tmin [s] tempo em segundosia [A] corrente média da saída do amplificador

imax [A] corrente de pico da saída do amplificadorfmax [A] frequência de operação máximaC [F] capacitância do piezo atuador

Up−p [V] voltagem pico a pico aplicadaPa [W] potência média

Pmax [W] potência de picoUmax [V] Voltagem nominal máxima do amplificador

8

2.3 Fundamentos Elétricos

Antes da polarização, cristais de PZT tem células unitárias cúbicas simétricas.

Para valores de temperatura inferiores à temperatura de Curie (ou ponto de

Curie), suas estruturas cristalinas tornam-se deformadas e assimétricas. As

células unitárias apresentam polarização instantânea. Os grupos de células

que possuem a mesma orientação são denominados domínios de Weiss. Por ser

um fenômeno estocástico, a distribuição aleatória da orientação dos domínios

não pode ter seus efeitos observáveis macroscopicamente. O efeito descrito em

termos de arranjo cristalino é observado na Figura 2.1.

Figura 2.1: Arranjo cristalino do titano-zirconato de chumbo em (a) arranjo

simétrico, acima da temperatura de Curie e em (b) arranjo assimétrico, abaixo

da temperatura de Curie. Figura extraída de [16].

Devido à natureza ferroelétrica do material, é possível forçar um alinhamento

permanente dos domínios de Weiss por meio do uso de um campo elétrico

forte. Esse processo é denominado poling. Após esse procedimento, a cerâmica

9

apresenta propriedades piezoelétricas uma vez que possui uma polarização

remanescente. Essa cerâmica passa a mudar de dimensão quando submetida

a um potencial elétrico. O efeito do poling sobre os domínios é ilustrado na

Figura 2.2.

Figura 2.2: Disposição dos domínios de Weiss: (a) antes do poling, (b) durante o

poling e (c) após o poling. Figura extraída de [16].

Com respeito à análise da dinâmica do piezoatuador sob o ponto de vista de

fenômenos elétricos, é possível apontar seis equações principais capazes de

descrevê-la sucintamente. Quando operado abaixo da frequência de ressonân-

cia, o piezoatuador se comporta como um capacitor. Sua distensão é propor-

cional à carga armazenada. A capacitância do atuador depende não somente da

área (A) e da espessura da cerâmica (ds) como também das propriedades desse

material [16].

A capacitância do atuador (C) para sinais pequenos é estimada pela expressão:

C = n εAds. (2.1)

A corrente média em operação com referência senoidal é dada por:

ia = f C Up−p. (2.2)

Por meio da equação (2.2), é derivada a equação do pico de corrente para a

operação senoidal:

imax = π f C Up−p. (2.3)

10

A frequência máxima de operação ( fmax) com uma onda triangular é determinada

pela expressão:

fmax = imax (2 C Up−p)−1. (2.4)

As potências média (Pa) e de pico (Pmax) necessárias para a operação com refer-

ência senoidal são calculadas respectivamente pelas expressões:

Pa = C Umax Up−p f , (2.5)

Pmax = π C Umax Up−p f . (2.6)

2.4 Fundamentos Mecânicos

Os atuadores piezoelétricos têm suas distensões primariamente dependentes

do campo elétrico aplicado, de seu comprimento, das forças aplicadas sobre

esse e das propriedades do material piezoelétrico utilizado em sua fabricação.

Nesta seção são apresentadas as principais equações que governam a dinâmica

de atuadores piezoelétricos sob o ponto de vista da mecânica [16].

Quando não é aplicada uma carga ao transdutor, a alteração de sua distensão é

estimada pela equação:

∆l s l0 ≈ E di j l0. (2.7)

A força efetiva que o piezoatuador gera é dada pela equação:

Fmax−e f f = kt ∆l0

[

1− kt

(kt+ ks)

]

. (2.8)

Todas as vezes que uma tensão é aplicada a um piezoelétrico, esse muda de

dimensão. Em função da inércia da massa do piezoatuador e de qualquer carga

sobre o mesmo, a movimentação rápida irá gerar uma força agindo nesse [16].

A máxima força disponível para acelerar a massa do piezo e qualquer massa

adicional:

Fmax = ±kt ∆l0. (2.9)

11

A força dinâmica que atua em um piezoelétrico em operação senoidal com

frequência f é obtida pela seguinte expressão:

Fdyn = ±4 π2 Me f f

(

∆l2

)

f 2. (2.10)

Em geral, a frequência de ressonância de qualquer sistema massa-mola é uma

função da massa efetiva e da constante elástica do sistema. No entanto, nos

dados técnicos do material, a frequência de ressonância refere-se à operação

do atuador sem carga e com uma de suas extremidades rigidamente fixada.

Considerando os sistemas de nanoposicionamento, o atuador sem carga é fixado

de maneira firme a uma massa significantemente maior que a sua própria. Assim

a frequência de ressonância é calculada pelas equações que seguem, tanto com

massa adicional acoplada ao atuador piezoelétrico:

f0 = (1/(2 π))(

ktMe f f

)1/2, (2.11)

quanto sem massa adicional,

f = f0

Me f f

M′e f f

1/2

. (2.12)

Um piezoelétrico pode alcançar a distensão nominal de aproximadamente um

terço do período da sua frequência de ressonância, se o controlador puder

fornecer a corrente necessária, o que é demonstrado pela expressão a seguir:

Tmin =1

(3 f0). (2.13)

12

Capítulo 3

Sistemas de Nanoposicionamento

Neste capítulo são descritas as principais partes de sistemas de nanoposiciona-

mento: atuadores, amplificação de deslocamento e sensores de posição.

3.1 Atuadores

A seguir são descritas as principais classes de atuadores.

3.1.1 Magnetoestritivos

Em materiais magnetoestritivos ou piezomagnéticos, a magnetização em um

campo externo induz uma alteração dimensional do material [17]. Diversos

tipos de materiais magnetoestritivos são empregados na indústria na forma

de atuadores, em função de sua capacidade de converter energia elétrica em

mecânica.

Normalmente, a passagem de corrente através de uma bobina localizada ao

redor de uma haste magnetostrictiva produz o campo magnético necessário

para a atuação. O posicionamento de precisão pode ser alcançado mediante

um bom desempenho no controle da corrente. Esse mecanismo de atuação é

importante quando grandes forças devem ser obtidas em pequenas distâncias.

Terfenol-D é um material bem conhecido com um alto coeficiente de magne-

tostricção que foi desenvolvido em 1960. Filmes magnetoestritivos depositados

por pulverização catódica se apresentam como uma oportunidade interessante

para atuação em micromáquinas que requerem uma operação de alta frequên-

cia sem contato. Os requisitos de energia para a magnetostricção são maiores

do que para materiais piezoelétricos, mas a atuação oferece uma maior faixa de

13

deslocamento e a relação massa por unidade de força é maior do que com um

atuador PZT.

Atuadores magnetoestritivos assim como atuadores piezoelétricos, apresentam

a histerese como uma dinâmica que dificulta o controle de posição [18] e [19].

De maneira alternativa, uma outra proposta de atuação se dá por meio da

utilização de levitação eletromagnética [20] que é capaz de alcançar precisão em

escala nanométrica.

3.1.2 Baseados em sistemas microeletromecânicos eletrostáticos

Microatuadores eletrostáticos são bem estabelecidos no campo dos MEMS (sis-

temas microeletromecânicos) em função de sua facilidade de fabricação e a

única condição é que seu material estrutural precisa ser condutor. Os atuadores

eletrostáticos são compostos por duas estruturas de pente interdigitados, sendo

uma fixa e outra móvel. Um potencial elétrico aplicado entre os dois pentes gera

uma força tanto no sentido que aumenta a sobreposição dos mesmos quanto na

direção em que aumenta a distância entre os eletrodos, conforme ilustrado na

Figura 3.1.

Figura 3.1: Microatuadores eletrostáticos: (a) de pentes interdigitados e de (b)placas paralelas. Figura extraída e modificada de [2].

O primeiro é denominado atuador de pentes interdigitados, já o último é o

atuador de placas paralelas. Ambos são, em princípio, fáceis de fabricar. Um

único nível de máscara e uma camada de DRIE (deep-reactive-ion-etch) são

suficientes para delinear todo o sistema. Para controle de posição em malha

fechada, a posição da estrutura móvel é estimada por meio da capacitância

entre o par de pentes. Microatuadores eletrostáticos têm sido intensamente

explorados como atuadores secundários em sistemas de discos rígidos com dois

14

estágios, especialmente no controle do elo e nas configurações dos cabeçotes

acionados [14]. Como desvantagens, esses atuadores necessitam de alta tensão

em seu acionamento e a força que são capazes de gerar é baixa.

3.1.3 Baseados em sistemas microeletromecânicos com superfície

eletrostática

Este tipo de atuador se baseia num princípio semelhante ao do motor de passo.

Também consiste de dois eletrodos, um fixo e outro móvel. Em oposição à

unidade de pentes interdigitados, os eletrodos são planares e se posicionam

um de frente para o outro. Ao se mover o transdutor (estrutura móvel) para

posições estáveis, em que as sequências de eletrodos estão alinhadas, as forças

no plano são geradas entre elas. Essas forças são determinadas pela relação

de fase espacial entre os dois conjuntos de eletrodos periódicos e as tensões

aplicadas neles, conforme a Figura 3.2.

Figura 3.2: Microatuador com superfície eletrostática. Um exemplo de padrãode tensão é mostrado nos eletrodos. A variação de tensão faz o transdutor semovimentar. Figura extraída e modificada de [2].

Para o movimento contínuo, cada superfície tem vários eletrodos intercalados

que podem ser sucessivamente ativados para criar uma onda de tensão a fim

de mover o transdutor no sentido desejado. No entanto, esse tipo de atuador

também exerce forças no eixo vertical, o que deve ser considerado na concepção

das molas usadas para prender o transdutor acima do estator. Aqui, como no

caso de outros atuadores de passo, a posição do transdutor é conhecida dentro

de um único passo sem um sensor de posição independente a menos que a

força de atuação seja superada por uma força externa. Para um atuador com

sete eletrodos uma precisão de cinco nanômetros pode ser alcançada [21].

A força eletrostática em cada passo de posição age como uma força restauradora.

Na operação, a rigidez no plano global do transdutor pode ser muito maior do

15

que a rigidez das molas necessárias para mantê-lo no seu lugar. Assim, mo-

las relativamente macias podem ser utilizadas para uma melhor eficiência en-

ergética se uma grande força de retenção é mantida para combater perturbações

externas.

3.1.4 Baseados em sistemas microeletromecânicos shuffle

O atuador shuffle (também conhecido como atuador lagarta) é um projeto ele-

trostático com base em uma proposta de fixação e deslizamento. Este projeto

consiste de dois pés, independentemente fixados ao substrato por meio de força

eletrostática, e uma membrana que pode ser recolhida reversamente por outra

força de mesma natureza [22]. Seu ciclo de movimentos é ilustrado na Figura 3.3.

Figura 3.3: Ciclo ABCDA‘ de movimento de um atuador shuffle de uma dimensão.Figura extraída e modificada de [2].

A medida que o elemento móvel é sempre preso por pelo menos um pé, esse ex-

ibe alta imunidade a distúrbios externos, tanto dentro quanto fora do plano de

rigidez, sem requerer uma haste mais rígida ou aumento do consumo de potên-

cia. Até agora, somente dispositivos em uma dimensão foram construídos,

porém versões em duas dimensões são concebíveis. Um dos potenciais prob-

lemas dessa abordagem é o desgaste da haste em função do seu movimento de

flexão.

16

3.1.5 Baseados em sistemas microeletromecânicos eletromag-

néticos

Aqui, a atuação gera uma força por meio do fluxo de corrente através de uma

bobina de fio condutor, na presença de um campo magnético. Este conceito é am-

plamente utilizado devido à sua força e eficiência em atuadores macroscópicos

convencionais. Métodos convencionais de fabricação com bobinas de fio enro-

lado podem ser utilizados para construir miniaturas eletromagnéticas eficientes

de motores e atuadores, mesmo para dispositivos pequenos com dimensão de

um milímetro [23]. Embora do ponto de vista de fabricação, bobinas planares

integradas e ímãs criados por deposição de filmes magnéticos parecem ser mais

adequados para Scanners MEMS (não obstante à limitação de espaço físico do

sistema), o projeto e a fabricação desses dispositivos com o número suficiente

de enrolamentos e com a massa de material magnético suficiente para gerar

grandes forças de maneira eficiente é difícil. Portanto soluções híbridas de

fabricação são frequentemente empregadas. As técnicas MEMS são utilizadas

na fabricação dos elementos mecânicos passivos ao passo que as técnicas con-

vencionais se dedicam aos elementos eletromagnéticos ativos [24], [25] e [26].

3.1.6 Baseados em sistemas microeletromecânicos térmicos

O mecanismo de condução na atuação térmica é tanto o efeito bilaminar ou o uso

de braços quente-frio [27], [28] e [29]. Na última abordagem, microestruturas

com material de camada única podem produzir movimento no plano por causa

da diferença de dilatação de um estreito braço quente e um largo braço frio. Sis-

temas microeletromecânicos térmicos para aplicações de nanoposicionamento

têm seu interesse renovado na pesquisa não somente porque geram grande de-

flexão e força como também porque o seu processo de fabricação é compatível

com o do circuito CMOS (Complementary metal-oxide-semiconductor) padrão.

Por exemplo, o projeto da estrutura do atuador em forma de U oferece maior de-

formação e maior eficiência elétrica do que o atuador vertical tradicional, graças

a utilização de um caminho de retorno da corrente ativa. Independentemente

do efeito físico empregado no mecanismo de atuação, transdutores baseados em

sistemas microeletromecânicos térmicos são, em princípio, sensíveis à tempe-

ratura ambiente e, portanto, seu uso em aplicações nanoposicionamento pode

ser limitado.

17

3.1.7 Piezoelétricos

Atuadores piezoelétricos são onipresentes em aplicações de nanoposiciona-

mento tais como SPMs e micromotores. Eles têm considerável largura de banda

operacional, podem gerar grandes forças mecânicas com pequenas quantidades

de energia e são compactos, como é evidenciado na figura 3.4. Contudo os mes-

mos têm a desvantagem de possuir uma faixa de deslocamento relativamente

pequena. Dispositivos piezoelétricos baseados na cerâmica de titano-zirconato

de chumbo já são usuais. Recentemente começaram a aparecer várias aplicações

com dispositivos de filme fino (thin-film-based) [30] e [31].

Figura 3.4: Atuador piezoelétrico usado na injeção de combustível em au-tomóveis. Figura extraída e modificada de http://global.kyocera.com.

3.2 Sistemas de Amplificação do Deslocamento

As excursões do movimento que sistemas piezoatuados alcançam são demasi-

adamente pequenas. De maneira a se atingir uma boa resolução por meio do

uso desses dispositivos em adição ao aumento de sua faixa de operação, são em-

pregados sistemas de amplificação do seu deslocamento. Mediante a utilização

desses amplificadores, é possível construir dispositivos mais compactos, que

demandam menor corrente de operação para um determinado deslocamento e

ainda melhorar a amplitude de saída dos mesmos.

Em contrapartida, a adição desses mecanismos de amplificação diminui a

rigidez do dispositivo e faz com que a sua frequência de ressonância torne-

se menor, o que complica sua operação em frequências altas. Dois são os

principais métodos de amplificação utilizados comercialmente, por alavanca e

por elemento flexitensional, que são descritos a seguir.

18

3.2.1 Amplificação do Deslocamento por mecanismo de alavanca

Piezoatuadores podem ser projetados de maneira a serem integrados com o

mecanismo de alavanca de amplificação do deslocamento. Para manter a reso-

lução subnanométrica com a faixa de deslocamento aumentada, o mecanismo

de alavanca deve ser extremamente rígido, sem folga nem atrito, o que exclui

a utilização de rolamentos. Hastes flexíveis são ideais como elementos de li-

gação. Por meio do seu uso é possível projetar sistemas de posicionamento de

múltiplos eixos com excelentes características de deslocamento guiado.

Nenhuma rigidez é perdida na interface de ligação entre a pilha do piezoelétrico

e a alavanca. Um equilíbrio entre rigidez, massa e custos deve ser encontrado,

mantendo o atrito nulo e sem condições de folga entre o mecanismo de alavanca

e o atuador piezoelétrico em zero. O engate deve ser muito duro na direção que

empurra a alavanca, porém deve ser macio em todos os outros graus de liberdade

a fim de evitar danos à cerâmica. Uma ilustração esquemática desse conceito

segue na Figura 3.5.

Figura 3.5: Sistema de amplificação do deslocamento por alavanca. Figura ex-traída de [16].

Contudo, a adição do mecanismo de amplificação do deslocamento tem suas

vantagens e desvantagens em relação ao atuador padrão. Como vantagens se

encontram: faixa de deslocamento maior, tamanho compacto comparado aos

atuadores de mesma faixa de deslocamento e capacitância reduzida. Já as

19

desvantagens são: rigidez reduzida e frequência de ressonância inferior, uma

vez que a frequência de ressonância padrão é dividida pela razão de transmissão

da alavanca [16].

3.2.2 Amplificação do Deslocamento por elemento flexitensional

Elementos flexitensionais se apresentam como soluções satisfatórias para apli-

cações em que o movimento é retilíneo em um ou mais eixos e apenas nanômet-

ros ou microradianos de desvio são tolerados em relação à trajetória ideal. O el-

emento flexitensional é um dispositivo que não apresenta atrito pois é baseado

na deformação elástica de um material sólido e os efeitos de deslizamento e

rolamento são completamente eliminados. Em adição, esses dispositivos de

flexão podem ser projetados com elevada rigidez, alta capacidade de carga e

baixo desgaste. Esses elementos são menos sensíveis a choques e vibrações

do que outros sistemas de amplificação. Como vantagem, não necessitam de

manutenção, podem ser fabricados a partir de materiais não-magnéticos, não

necessitam de lubrificantes ou combustíveis e, portanto, ao contrário dos man-

cais de almofada de ar, são adequados para o funcionamento a vácuo [16].

Figura 3.6: Esquema da configuração em paralelogramo do elemento flexiten-sional. Figura extraída de [16].

Elementos flexitensionais dispostos em configuração de paralelogramo,

Figura 3.6, possuem excelentes características de orientação e direcionamento

do deslocamento. Dependendo de sua complexidade e de suas tolerâncias,

eles possuem valores de retidão/nivelamento em escala nanométrica ou ainda

menor. Essa configuração em paralelogramo fornece uma movimentação em

arco que introduz um erro de fuga do plano de movimento da ordem de 0,1%

20

da faixa de distenção [16]. Esse erro pode ser estimado pela equação que segue

a partir das distâncias definidas pelas cotas da figura 3.6:

∆H ≈(

±∆L2

)2 12H. (3.1)

3.3 Sensores de Posição

A velocidade e a acurácia do posicionamento absoluto em vários sistemas de

nanoposicionamento depende crucialmente do mecanismo sensor de posição.

No entanto, a geração de informação sobre o posicionamento em escala

nanométrica é por si um desafio, particularmente em operações em banda larga

e com ampla faixa dinâmica que são requisitos indispensáveis para várias apli-

cações em nanotecnologia, como por exemplo a litografia e o armazenamento

de dados [2]. Diversas técnicas são empregadas na realização desse sensoria-

mento, dentre elas encontram-se a indutiva, a piezoresistente, extensométrica,

a capacitiva e por meio de medidas ópticas.

Neste trabalho são focadas duas técnicas de sensoreamento de posição,os sen-

sores capacitivos e térmicos devido à sua facilidade em serem integrados com

matrizes de nanoatuadores MEMS. Principalmente, o piezoatuador PI-753 uti-

lizado neste trabalho, descrito no Capítulo 4 a seguir, dotado de um sensor

capacitivo. A detecção capacitiva é uma das técnicas mais populares no sensori-

amento de posição de microatuadores e é capaz de atingir resoluções nanométri-

cas. Recentemente, os sensores de posição feitos de silício, baseados na con-

dução de calor entre duas superfícies através do ar ambiente, têm apresentado

resoluções inferior a 1nm.

3.3.1 Sensores Capacitivos de Posição

Transdutores de posição capacitivos são muito populares na indústria, pois

fornecem uma técnica simples de se implementar a medição da posição sem

contato. O princípio de funcionamento desse método é baseado em dois eletro-

dos, um móvel e outro fixo.

Ao se medir a variação de capacitância, a posição do eletrodo móvel em relação

ao fixo pode ser determinada. Convertendo-se a capacitância para tensão por

meio de um circuito eletrônico, a variação da capacitância devido ao movimento

do eletrodo fornece uma tensão de saída que é função do deslocamento tratado

conforme segue no esquema da Figura 3.7.

21

Figura 3.7: Arquitetura do sensor capacitivo de deslocamento. Figura extraída de[16].

É possível provar que, para a configuração de pentes interdigitados do elemento

sensor, a relação entre a tensão e o deslocamento é linear. Contudo, para a

configuração em arranjo de placas paralelas dos sensores capacitivos, a tensão

de saída e o deslocamento estão relacionados de maneira não-linear. Esse

comportamento não-linear pode ser linearizado até certa medida utilizando-se

uma configuração diferencial de placas paralelas [2].

Para microatuadores eletrostáticos que fazem uso de sensores capacitivos no

controle de posição, a variação da capacitância é da ordem de 100 f F/µm. No

sentido de alcançar resolução nanométrica, o circuito deve ser capaz de detectar

variações da ordem de 0,1 f F mesmo na presença de capacitâncias parasitas. No

que diz respeito aos sensores de posição capacitivos o circuito de detecção é o

componente mais importante.

3.3.2 Sensores Térmicos de Posição

A concepção básica do sensor térmico de posição é o uso de um filamento

alongado em forma de U livre para se deslocar, conforme a Figura 3.8. Os

dispositivos são feitos de silício monocristalino usando a tecnologia de micro-

usinagem padrão global. O elemento sensor é um aquecedor resistivo feito de

silício pouco dopado apoiado por pernas feitas do mesmo material altamente

dopado as quais atuam como condutores elétricos. A aplicação de tensão entre

as pernas do dispositivo resulta numa corrente que flui através do aquecedor, o

que ocasiona um aumento de temperatura do mesmo [2].

22

Figura 3.8: Em (a) a arquitetura do sensor térmico de posição e em (b) o fluxo decorrente representado por setas no mesmo. Figura extraída e modificada de [2].

Para usar o dispositivo descrito no parágrafo anterior como um sensor de deslo-

camento, ele deve ser posicionado diretamente acima de uma borda ou um

degrau sobre o objeto de interesse com o eixo longo alinhado paralelamente ao

eixo do movimento. Além disso, a lâmina deve ser perpendicular à direção do

movimento a ser medido e a superfície do sensor deve ser paralela à do objeto

de interesse, da maneira que é evidenciada na Figura 3.9.

Figura 3.9: Em (a) a condução de calor pelo ar em direção a superfície inferior.Em (b) deslocamento da superfície inferior, implicando o aumento da resistênciaelétrica do mesmo. Figura extraída de [2].

23

No sentido de medir o deslocamento do objeto, o fenômeno explorado é a

correlação entre a temperatura e a resistência elétrica do material de silício.

Uma fração do calor gerado pelo aquecimento resistivo é conduzido através do

ar ambiente para uma tabela de escaneamento, que atua como um dissipador

de calor. O deslocamento dessa tabela sensível ao calor dá origem a mudanças

na eficiência desse mecanismo de arrefecimento. Essa variação na eficiência do

mecanismo resulta na mudança de temperatura do aquecedor e portanto, uma

alteração da sua resistência elétrica.

Os sensores são acionados por uma tensão constante, sendo medidas as mu-

danças na corrente resultante por meio de um conversor de corrente para tensão.

Para reduzir os efeitos do drift, os sensores são operados aos pares usando uma

configuração diferencial. Entretanto, esses dispositivos são bastante simples e

a linearidade, o limite de ruído e o desempenho do drift que podem ser alcança-

dos são satisfatórios. Em particular, uma resolução de deslocamento inferior a

1 nm e uma faixa dinâmica de mais de 100µm foram obtidos em uma largura

de banda de 10 kHz. O consumo de potência do dispositivo é da ordem de

10mW por sensor e o tempo de resposta medido é descrito por uma exponencial

simples com uma constante de tempo de cerca de 100µs [2].

24

Capítulo 4

Aparato Experimental

4.1 Componentes

A configuração experimental é descrita pela Figura 4.1, na qual são expostas

todas as conexões entre os dispositivos que compõem o sistema de nanoposi-

cionamento. Os seguintes sinais são definidos: a referência (r), o sinal de

controle (u) e o sinal de saída medido (y).

Sinal de

ReferênciaControlador D/A

A/D

x 10 Atuador

Sensor

Microcomputador

Q8 Amplificador

E-665.CR

P-753.1CD

u

y

r

Figura 4.1: Diagrama de blocos da configuração experimental.

4.1.1 Piezoatuador P-753.1C

O P-753.1CD (Figura 4.2) é um atuador linear de alta velocidade. Esse é equipado

com sensor capacitivo, sem atrito, sistema orientador de flexão de duas hastes e

drives que proporcionam um desempenho de varredura na faixa de 12µm, com

tempo de assentamento rápido e erro de orientação da extremidade pequeno.

25

Figura 4.2: Atuador piezoelétrico P-753.1CD [16].

O projeto de tração direta em conjunto com a atenção especial dedicada à re-

dução de massa resultam na significativa redução das forças inerciais de recol-

himento aplicadas nas estruturas de suporte. Com isso, a resposta geral do

sistema melhora, sua banda passante aumenta, e se obtém um tempo de assen-

tamento da ordem de milissegundos. Os dados técnicos estão na Tabela 4.1:

Tabela 4.1: Especificações Técnicas do P-735.1CD.Eixo Ativo X

Tipo de Sensor Integrado CapacitivoExcursão máxima em malha fechada 12µm

Resolução 0,05nmLinearidade em Malha Fechada 0,03%

Rigidez 45 N/µmCapacidade de Carga 100N(Compressão) e 20N(Extensão)

Carga Máxima 10kgCarga Lateral Máxima 2kg

Inclinação da extremidade ±5µradCapacitância Elétrica 1,5µF±20%

Coeficiente dinâmico de corrente operacional 12µA/(Hz µm)Frequência de ressonância sem carga 5,6kHz±20%

Frequência de ressonância com carga de 200 g 2,5kHz±20%Temperatura de operação −20C a +80C

O P-753.1CD é um atuador monolítico de cerâmica em multicamadas. Por ser um

atuador da categoria PICMA [16], o mesmo é feito de um material cerâmico no

qual as propriedades físicas tais como a rigidez, a capacitância, o deslocamento,

a sensibilidade à temperatura e a vida útil são combinadas.

26

As camadas de cerâmica mencionadas anteriormente são do tipo 252 do fabri-

cante (Physik Instrumente) a qual tem suas características físicas muito próximas

as do tipo 255, o que consiste de um material PZT modificado com elevada tem-

peratura de Curie, alta permissividade, elevado fator de acoplamento e alta

carga constante. Esse material foi otimizado para aplicações dinâmicas em

temperatura ambiente elevada. Suas constantes físicas são evidenciadas na

Tabela 4.2.

Tabela 4.2: Especificações do Material do P-735.1CD.Propriedades Físicas e Dielétricas Parâmetros

Densidade 7,80(g/cm3)Temperatura de Curie 350(C)

Permissividade na direção da polarização (ǫT33/ǫ0) 1750Permissividade perpendicular à polarização (ǫ/ǫ) 1650

Fator de Perdas Dielétricas (tanδ) 20Fator de Acoplamento (kp) 0,62Fator de Acoplamento (kt) 0,47Fator de Acoplamento (k31) 0,35Fator de Acoplamento (k33) 0,69Fator de Acoplamento (k15) 0,66

Constante Piezoelétrica de Carga (d31) −180(10−12 ·C/N)Constante Piezoelétrica de Carga (d33) 400(10−12 ·C/N)Constante Piezoelétrica de Carga (d15) 550(10−12 ·C/N)Constante Piezoelétrica de Tensão (g31) −11,3(10−3 ·V ·m/N)Constante Piezoelétrica de Tensão (g33) 25(10−3 ·V ·m/N)

Constante de Frequência (Np) 2000(Hz ·m)Constante de Frequência(N1) 1420(Hz ·m)Constante de Frequência (Nt) 2000(Hz ·m)

Constante Elástica (SE11) 16,1(10−12 ·m2/N)

Constante Elástica (SE33) 20,7(10−12 ·m2/N)

Fator Mecânico de Qualidade (Qm) 80Coeficiente de Temperatura de ǫ33 4( 10−3/K)Constante Dielétrica Relativa (C) −1,0% por década

Fator de Acoplamento (CK) −1,0% por década

4.1.2 Amplificador E-665.CR

O E-665.CR é um equipamento de bancada para a operação de transdutores

piezoelétricos de baixa tensão (em inglês: low voltage lead zirconate titanate

LVPZT) que é apresentado na Figura 4.3. Esse equipamento possui interfaces

RS-232 e analógica para a conexão com o microcomputador, um amplificador

27

de potência, um condicionador de sinais para um sensor capacitivo de deslo-

camento, um sistema de leiturados sinais de entrada (tensão) e saída (posição),

um filtro notch e um servo controlador proporcional-integral.

Figura 4.3: Amplificador de potência E-665.CR. Figura extraída de [16].

O amplificador integrado pode fornecer pico de corrente de 360 mA e corrente

média de 120 mA por uma faixa de tensão de -20 a 120 V. O sistema conectado a

esse amplificador pode operar tanto em malha aberta quanto em malha fechada.

Visto que os transdutores LVPZTs têm capacitâncias grandes, o acionador é pro-

jetado adequadamente para suprir os elevados picos de corrente para aplicações

dinâmicas.

O modo de operação escolhido para este trabalho é o analógico. Nesse tipo de

utilização do equipamento, a tensão de saída é controlada pela tensão aplicada

na entrada do dispositivo somada com à tensão DC de offset. Tal offset é

ajustado pelo potenciômetro no painel frontal do amplificador. A faixa de

tensão do sinal de comando do PZT é estritamente positiva, variando de 0 a

100 V. Contudo, a excursão total do amplificador é de -2 a 12 V com um fator

de amplificação do sinal de entrada do amplificador de potência de 10 vezes.

Assim, durante o projeto desenvolvido, as entradas no amplificador do sistema

de nanoposicionamento são saturadas de 0 a 10 V a fim de não danificar o

equipamento.

O diagrama de blocos referente à dinâmica eletrônica embarcada no E-665.CR

é observada na Figura 4.4.

28

Figura 4.4: Diagrama de blocos do amplificador E-665.CR [16].

29

Enquanto que sua resposta frequencial é apresentada na Figura 4.5, para difer-

entes valores de capacitâncias acopladas ao amplificador.

Figura 4.5: Resposta frequencial do amplificador E-665.CR para diferentes valoresde capacitâncias acopladas. Figura extraída e modificada de [16].

4.1.3 Sistema de Aquisição de Dados Quanser Q8

O amplificador E-665.CR é conectado ao sistema de aquisição de dados do

fabricante Quanser modelo Q8 (Figura 4.6). Esse é responsável por realizar a

interface entre o microcomputador, os sinais de tensão analógicos enviados ao

transdutor piezoelétrico e os sinais de tensão recebidos do sensor capacitivo.

Figura 4.6: Placa de conversão Analógica/Digital Q8. Figura extraída dehttp://www.quanser.com.

30

As principais características do conversor A/D que são pertinentes de serem

abordadas nesse trabalho são apresentadas na Tabela 4.3.

Tabela 4.3: Especificações do Conversor Analógico/Digital Quanser Q8.Características Valores

Entradas Analógicas 8Resolução da entrada analógica 14 bits

Faixa de Tensão das entradas analógicas ±10 VMáxima Frequência de Amostragem das entradas analógicas 192 kHz

Resolução da entrada analógica em tensão 2,4 mVTempo de Conversão da entrada analógica 5,2µs

Saídas Analógicas 8Resolução da saída analógica 12 bits

Faixa de Tensão das saídas analógicas ±10VSlew Rate 2,5V/µs

Tempo de Conversão da saída analógica 0,62µs

A operação do Q8 em tempo real faz uso de uma máquina virtual. O sistema de

controle é descrito pelo usuário por meio de um diagrama de blocos no Simulink.

Os arquivos gerados no The MathWorks Inc. são compilados via linguagem

de programação C e depois carregados na máquina virtual desenvolvida pela

Quanser. Uma vez compilado, o algoritmo de controle pode ser inicializado na

máquina virtual e executado normalmente por intermédio do Simulink.

4.1.4 Instrumentos de Controle e Comunicação

A conexão entre o conversor A/D e o amplificador E-665.CR é feita por meio de

dois cabos coaxiais nos quais em uma extremidade existe um conector BNC e

na outra um conector RCA. A extremidade referente ao conector BNC é ligada

ao amplificador E-665.CR, ao passo que o conector RCA é conectado à placa

Q8. Observou-se que o ruído presente nesse sistema pode ser aumentado ou

reduzido de acordo com a qualidade do cabo que é utilizado nessa conexão.

Os algoritmos de controle, implementados por meio do Simulink, são realizados

num microcomputador com processador Intel Core 2 Quad, com 2,99 GB de

memória RAM e espaço físico em disco rígido de 300 GB. O sistema operacional

utilizado é o Windows XP.

31

4.2 Digitalização

A fim de abordar os elementos básicos referentes à digitalização, nesta seção

é tratada de maneira objetiva a maneira como a amostragem e a quantização

são realizadas no sistema de nanoposicionamento. A amostragem é sempre

realizada em intervalos de 50µ s. Mesmo estando abaixo da capacidade máxima

do conversor, a frequência de amostragem de 20 kHz se mostrou compatível

tanto com os atrasos de processamento do Matlab/Simulink, no gerenciamento

das suas filas de dados quanto com as constantes de tempo associadas à dinâmica

do nanoposicionador identificada no Capítulo 5.

Já no que diz respeito à quantização, as operações são sempre realizadas com

tensões de polaridade positiva. No entanto, o conversor A/D está configurado

para a excursão máxima do sinal de tensão de ±10V, o que ao se associar com

os 14 bits de resolução fornece o resultado de que cada bit pode representar

uma faixa de 1,2 mV. Contudo, como é evidenciado na Figura 4.7, os dois bits

menos significativos estão sempre flutuando. Assim, a resolução percebida

pelo usuário do conversor decai pela metade, sendo essa a referenciada pelo

fabricante de 2,4 mV.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.026

0.027

0.028

0.029

0.03

0.031

0.032

Ten

são

em v

olts

aqu

isita

da p

ela

Q8

Tempo em segundos

Figura 4.7: Ruído do sistema. Leitura da saída na ausência de um sinal de entrada.

O valor pico a pico do ruído é 2,4 mV, já o valor RMS do mesmo se encontra

na faixa de 0,85 mV. Dessa maneira, para os experimentos realizados neste

estudo, essa faixa de ruído não deteriora significativamente os resultados a

serem alcançados, contudo não pode ser desprezada.

32

4.3 Calibração do Sensor de Posição

Nesse trabalho, tentou-se realizar um procedimento de calibração. Porém, uma

vez que o amplificador havia sido calibrado para outro atuador piezoelétrico e

não havia acesso a equipamentos de precisão necessários à calibração da saída

de volts para microns, não foi possível se realizadar a calibração. Contudo,

segundo o fabricante, é garantido que a tensão lida pelo amplificador é linear-

mente relacionada com o deslocamento do sensor.

Assim, tomando como hipótese a garantia dada pelo fabricante, os procedimen-

tos experimentais realizados nesse trabalho tratam a saída do sistema como uma

tensão proporcional ao deslocamento a menos de um ganho. Para a análise do

controle baseada em variações, as influências desse coeficiente linear não têm

impacto sobre o desempenho dos controladores que são implementados.

33

Capítulo 5

Modelagem do Sistema de

Posicionamento

Neste capítulo é descrito o procedimento para determinar um modelo dinâmico

do sistema de nanoposicionamento. A estratégia adotada é a de estruturar

separadamente os principais fenômenos lineares e não-lineares envolvidos,

estimando os parâmetros referentes a cada parte de maneira independente. O

modelo proposto é representado no diagrama de blocos na Figura 5.1, conforme

a dissertação [32].

Figura 5.1: Diagrama de blocos referente à modelagem do sistema.

Pode-se observar na Figura 5.1 que a histerese mencionada no Capítulo 1 é in-

cluída no modelo como um distúrbio de entrada dependente do sinal de entrada

aplicado. A dinâmica linear tratada será identificada por meio de um método de

estimação. Já o fenômeno de creep mencionado no Capítulo 1 é incluído como

um distúrbio aditivo da saída do sistema. Nas seções seguintes são descritos os

procedimentos empregados na identificação dos blocos do modelo.

34

5.1 Procedimentos de Estimação

O software utilizado na modelagem do sistema é o Matlab. Mais especifica-

mente dois procedimentos são empregados na estimação dos parâmetros. O

System Identification Toolbox é utilizado no tratamento dos dados experimen-

tais a fim de determinar os parâmetros que por simulação tentam aproximar ao

máximo a resposta do modelo simulado com a resposta da planta. Por meio do

uso da ferramenta de estimação de parâmetros do Simulink, é realizada a busca

dos valores que modelam os fenômenos não-lineares associados.

Tanto o System Identification Toolbox quanto a estimação de parâmetros do

Simulink se baseiam no erro entre os dados que são simulados a partir da

entrada dada e a saída que é fornecida para os seus processamentos. A dife-

rença básica é que o segundo, no ambiente do Simulink se utiliza de rotinas

tradicionais de busca por métodos tradicionais tais quais: mínimos quadrados

não-lineares, simplex, dentre outros, podendo ser utilizado para a busca de

qualquer parâmetro. Já o primeiro é orientado à busca por modelos, ou seja é

voltado ao procedimento de identificação. Assim, informações sobre a ordem,

a presença de atraso e o objetivo do modelo são ponderados na estimação. O

objetivo do modelo deve ser entendido como a meta de o mesmo ser melhor

para prever o comportamento futuro ou para aproximar ao máximo as respostas

da simulação e da planta.

5.2 Identificação dos blocos do Modelo do Sistema

5.2.1 Bloco Linear do Modelo

Identificação pela resposta ao degrau

A parte linear do modelo do sistema de posicionamento é estimada pela resposta

ao degrau do sistema e pelo programa System Identification Toolbox do Matlab.

Na realidade, utiliza-se um trem de pulsos do sistema, por meio dos métodos

clássicos de análise dos mesmos e a ordem do modelo é estimada. O sinal

empregado na estimação se justifica por ter todas as componentes de frequência,

o que é capaz de excitar todos os modos naturais presentes no sistema. Ao

se observar a resposta do sistema ao trem de degraus, é possível notar que

aproxima-se satisfatoriamente da resposta de um sistema de primeira ordem,

pois não apresenta sobrepasso, oscilações ou algum ponto de inflexão durante o

transiente, o que é apresentado na figura 5.4. Em conjunção ao que foi exposto,

35

ainda observa-se que durante um período de 0,2 ms o sistema não responde à

entrada, sendo esse fenômeno caracterizado como um atraso.

Em uma determinada janela desse Toolbox, apresentada na Figura 5.2, o usuário

é capaz de repassar os dados referentes aos números de pólos e zeros, bem como

se há atraso ou não. Ainda à respeito dos pólos é possível dizer se os mesmos

são sub-amortecidos ou não. A opção de estimar a covariância entre a resposta

simulada obtida e a saída fornecida faz menção ao fato de que a incerteza do

modelo estimado também será computada e a sua região de confiança poderá

ser exibida pelo usuário.

Figura 5.2: Janela do System Identification Toolbox.

Os dados que formam o conjunto de amostras a ser utilizado na identificação

são as saídas bem como as referências de trens de pulsos com as seguintes

características: 0,2 V, 0,3 V e 0,6 V de amplitude com 4 ms de período e 0,2 V, 0,3 V

e 0,6 V com 8 ms de período, optou-se por utilizar tais amplitudes consideradas

36

pequenas a fim de que a histerese não tenha efeitos consideráveis na estimação

do bloco linear. Ao se observar o comportamento das respostas do sistema

aos trens de pulsos aplicados, pode-se inferir que o comportamento da planta

se assemelha ao de um modelo de primeira ordem com atraso. A partir dessa

inferência, a janela de identificação com base no modelo de processo, Figura 5.2,

é configurada.

Figura 5.3: Tela inicial de estimação, carregamento dos iddatas e identificação domodelo.

O modelo é estimado com base na minimização da discrepância entre a reposta

experimental passada ao Toolbox e a resposta simulada que o algoritmo realiza

por meio do teste de valores para os parâmetros já mencionados. Os dados são

transmitidos para o System Identification Toolbox por meio de uma estrutura

que organiza os arrays de valores de tensão na forma de iddata. Assim, ao se

iniciar a identificação, essas iddatas são os valores experimentais das respostas

da planta bem como as referências aplicadas na mesma o que é observado na

Figura 5.3. Tal procedimento consiste de aproximações para os valores dos

parâmetros do ganho da planta, de seu pólo e do valor do atraso, mediante a

informação fornecida de que o processo a ser identificado é de primeira ordem

e com atraso. Nesse sentido, a estimativa para a função de transferência que

melhor representa a planta é:

P(s) = e−0,0002 s 1172s+3400

. (5.1)

37

Desse modo é cabível retratar o percentual de acerto ([saída-simulação]/saída)

desse modelo na reprodução da resposta do sistema a cada referência que foi

citada no parágrafo anterior, essa informação é fornecida na Tabela 5.1. A

maneira como os gráficos da resposta simulada versus resposta experimental

são apresentados pode ser ilustrada na Figura 5.4, tendo em mente que esse é o

exemplo para a referência de 0,2 V de amplitude e período de 4 ms.

Tabela 5.1: Acerto percentual do modelo para as diversas referências.Acerto Percentual Referência

93,55% Trem de Pulsos 0,2V com 4ms93,43% Trem de Pulsos 0,3V com 4ms92,10% Trem de Pulsos 0,6V com 4ms93,62% Trem de Pulsos 0,2V com 8ms94,93% Trem de Pulsos 0,3V com 8ms94,52% Trem de Pulsos 0,6V com 8ms

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Tempo em segundos

Ten

são

[V]

Resposta ExperimentalResposta Simulada

Figura 5.4: Gráfico de respostas simulada e medida.

Resposta Frequencial

De posse do modelo estimado para a dinâmica linear da planta, o passo seguinte

foi de analisar a sua resposta em frequência. Ao se comparar a resposta em fre-

quência experimental estimada usando o chirp de acordo com [32] com a do

bloco linear identificado, é possível comprovar a qualidade do modelo obtido

38

em termos de resposta em frequência. Ao fim desse da identificação do bloco lin-

ear, as duas respostas frequenciais são comparadas, tanto a identificada quanto

a da planta.

Para obter a resposta em frequência experimentalmente, foi aplicado na entrada

do sistema um sinal rico em variadas frequências, do tipo chirp [33, pp. 478–482],

e de baixa amplitude a fim de que se possa desprezar os efeitos da histerese. Por

meio do processamento das transformadas discretas de Fourier da referência e

de saída é possível que a resposta em frequência seja obtida [32]. A função de

transferência é:

G( jω) =y( jω)u( jω)

. (5.2)

As faixas de frequência de interesse desse procedimento são realizadas por

etapas, considerando diferentes janelas de frequências para serem analisadas,

a fim de que não ocorram problemas com o gerenciamento de dados em fila

(perda de dados) na máquina virtual da Quanser utilizada pelo Matlab. Em

suma, as janelas consideradas foram:

• 1-10 Hz;

• 10-100 Hz;

• 100-1000 Hz;

• 1000-3000 Hz.

Sabendo que a frequência de amostragem do experimento é de 20 kHz todas

as janelas, a partir do módulo e do ângulo de fase fornecidos pelos dados

da transformada de Fourier é possível reconstruir a resposta em frequência

da planta. Em frequências mais elevadas, o resultado se torna mais ruidoso

em função da deterioração da relação sinal-ruído. A amplitude da referência

diminui com o aumento da frequência por questões associadas à saturações

dos mecanismos de acionamento, tanto da placa Q8 quanto do amplificador

E-665.CR, fazendo com que o efeito do ruído se torne mais evidente.

É observado que nessa parte do estudo do sistema de posicionamento as con-

figurações eletrônicas do amplificador E-665.CR são vitais para a coerência dos

resultados. O fator mais importante dessas configurações para tais experimen-

tos é a configuração da banda passante do sensor que é ajustada a partir do

amplificador. Se essa banda estiver configurada para 1 kHz os resultados po-

dem chegar a induzir no sistema uma resposta de fase não-mínima [32], exposto

39

na Figura 5.5 e ainda impossibilitar o acesso à informações sobre a dinâmica

do sistema acima dessa frequência (Figura 5.6). Cabe mencionar que todos os

experimentos desse trabalho são realizados para a frequência de corte da banda

passante do sensor em 3 kHz, exceto aqueles que forem explicitados no texto.

Figura 5.5: Experimento com frequência de corte do sensor capacitivo em 1 kHz.

Resposta do nanoposicionador a um degrau negativo de 1 V de amplitude apli-

cado em 1 segundo.

101

102

103

−80

−60

−40

−20

0

Frequência [Hz]

Mód

ulo

em d

B

101

102

103

−600

−400

−200

0

Frequência [Hz]

Fas

e em

Gra

us

Figura 5.6: Resposta em frequência medida para a frequência de corte de 1 kHz

do sensor capacitivo. Observa-se o pólo do sistema em 541 Hz.

40

O atuador piezoelétrico utilizado em [32], apresenta três fundamentais diferen-

ças em relação ao que compõe o sistema de nanoposicionamento deste estudo.

A faixa de excursão do atuador P-753.1CD, utilizado no presente trabalho, é

cinco vezes menor do que a do P-620.ZCD. Além disso, a resposta dinâmica do

P-753.1CD é mais rápida e não apresenta o fenômeno de fase não-mínima. A

explicação comprovada nesse estudo para a dinâmica de fase não-mínima en-

contrada no processo de identificação em [32] é a utilização da banda passante

do sensor capacitivo em 1 kHz.

Ao se utilizar a frequência de corte de 3 kHz para a banda passante do sensor, os

efeitos de fase não-mínima desaparecem e a resposta frequencial para valores

acima de 1 kHz se torna clara (em contraposição ao ruído no outro caso). Tais

fatos podem ser observados nas Figuras 5.7 e 5.8.

Figura 5.7: Experimento com frequência de corte do sensor capacitivo em 3 kHz.Resposta ao degrau negativo de 1 V de amplitude aplicado em 1 segundo.

Nesse sentido, é abordada a comparação entre as respostas frequenciais do

modelo e do experimento descrito anteriormente. A partir da Figura 5.8, é

possível evidenciar a proximidade entre as duas respostas o que deve se tornar

ainda mais evidente conforme são modeladas as não-linearidades associadas,

tais como histerese e creep.

41

101

102

103

−400

−300

−200

−100

0

Frequência [Hz]

Fas

e em

Gra

us

101

102

103

−40

−30

−20

−10

0

Frequência [Hz]

Mód

ulo

em d

B

Resposta Frequencial ExperimentalResposta Frequencial Simulada

Figura 5.8: Resposta frequencial: em vermelho a resposta frequencial simulada;em azul a resposta frequencial experimental.

5.2.2 Histerese

Para simplificar essa análise as notações são apresentadas no diagrama de blocos

da Figura 5.9, em que u é a tensão de entrada na planta, u é a entrada adicionada

ao efeito da histerese, y é a saída de tensão da planta e u é a saída compensada, ou

seja multiplicada pelo inverso da dinâmica linear da planta. Esse diagrama de

blocos é basicamente composto pelo elemento de modelagem associado à não-

linearidade de histerese, podendo ser desprezado o creep mediante a aplicação

de sinais periódicos rápidos [2].

P(s)

P-1(s)

u

û

yu_

Histerese

+

Figura 5.9: Diagrama de blocos base para modelagem da histerese.

42

O modelo da parte linear tratado no texto é:

P(s) = e−0,0002·s 1172s+3400

. (5.3)

Nesse caso, como os experimentos são realizados em malha aberta, u é igual a

referência e o sinal u só difere do sinal de referência pela dinâmica relativa à

histerese. Esse fato é considerado e trabalhado nas análises posteriores.

Neste capítulo apresentam-se as figuras entrada × saída (u× y) da planta em

malha aberta inicialmente para deixar as análises posteriores mais claras. O

modelo de histerese utilizado nesse trabalho (Bouc Wen) tem a sintonia de

seus parâmetros baseada em características das curvas de entrada × saída. A

inclinação e a deformação nas extremidades são exemplos dos padrões que

determinam as relações entre os parâmetros. Por essa razão, de maneira prelim-

inar são realizados experimentos que apresentam essas curvas para o sistema

experimental tratado.

Primeiramente, para um frequência fixa em 10 Hz varia-se a amplitude do sinal

de referência de 0,1 a 2 V e observam-se as saídas para essa variação. A poste-

riori, mantem-se uma amplitude fixa em 0,5 V e a frequência é modificada de

5 a 200 Hz. Segundo a notação do diagrama de blocos já apresentado o grá-

fico corresponde a u× y. Os respectivos resultados podem ser observados nas

Figuras 5.10 e 5.11.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tensão da Entrada [V]

Ten

são

de S

aída

[V]

0,1 V de Amplitude0,3 V de Amplitude0,5 V de Amplitude1,0 V de Amplitude1,5 V de Amplitude2,0 V de Amplitude

Figura 5.10: Gráfico entrada(u) × saída(y) para variação de amplitude com fre-quência de 10 Hz.

43

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4


Ten

são

de S

aída

[V]

Variando−se a Frequência do sinal de referência com 0.5 V

05 Hz de Frequência10 Hz de Frequência20 Hz de Frequência50 Hz de Frequência100 Hz de Frequência200 Hz de Frequência

Figura 5.11: Gráfico entrada(u) × saída(y) para variação de frequência com am-plitude de 0,5 V.

Sendo o efeito do creep desprezível para referências com sinais periódicos rápi-

dos, ao se considerar que a dinâmica linear da planta já foi modelada, é possível

refinar os resultados apresentados a priori a fim de que seja considerado um grá-

fico da estimativa u× u. Assim, o efeito da histerese é evidenciado de maneira

mais clara, excetuando-se outros efeitos presentes na dinâmica do sistema.

Vale ressaltar que duas métricas existentes para modelar o efeito da histerese

sobre um sistema se baseiam nos gráficos de u× y que estão sendo apresentados.

Uma métrica consiste do cálculo do perímetro da elipse gerada no gráfico. Outra

métrica se baseia na área dessa elipse. A partir desse raciocínio é possível

constatar a importância da figura u× y para a análise do fenômeno de histerese.

Para realizar essa estimativa de u utizam-se dois métodos, o primeiro consiste

apenas da compensação do atraso de fase e da distorção do ganho extraído

do diagrama de Bode da parte linear do modelo pela equação (5.4). Visto

que a saída é compensada offline é possível que a mesma seja adiantada e

dividida pelo ganho referente a frequência fundamental que compõe a mesma.

O resultado gerado por esse procedimento é evidenciado nas Figuras 5.12 e 5.13

que seguem:

u( jω) = P−1( jω) y( jω) . (5.4)

44

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

4

5

6


Ten

são

de S

aída

Com

pens

ada

pelo

Bod

e [V

]


Figura 5.12: Gráfico entrada(u) × saída compensada por Bode para a variação deamplitude(u).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Ten

são

de S

aída

Com

pens

ada

pelo

Bod

e [V

]


Figura 5.13: Gráfico entrada(u) × saída compensada por Bode para a variação defrequência(u).

45

Outro caminho para se estimar u foi a implementação de um método iterativo

baseado na aproximação de Tustin para derivadas e integrais. Essa abordagem

foi considerada a fim de explorar uma alternativa ao procedimento adotado

em [32]. Contudo o ganho com a sua utilização será avaliado a posteriori.

Considera-se a função de transferência e a aproximação de Tustin (trapezoidal)

com os seguintes valores para os parâmetros:

h = 5 ·10−5 s , a = 1172 , b = 3400rad/s .

Ao se passar (5.3) para o tempo discreto pela aproximação de Tustin obtém-se:

u(z)y(z)= z4 ·

2·z−2+h·z·b+h·bh·z+h

a, (5.5)

Por conseguinte, o método se baseia em isolar o u(z) atual em função de y(z) e

dos u(z′) anteriores, o que é feito nas equações:

u(z)y(z)=

z4

a ·h·2 · (z−1)+b ·h · (z+1)

z+1, (5.6)

u(z) · (1+ z−1) = (y(z) ·z4

a ·h) · ((2+b ·h)+ (b ·h−2) · z−1) . (5.7)

Sendo a recursão do algoritmo de estimação de u(k ·h) dada pela equação:

u(k ·h) = y(k ·h+4 ·h) ·2+b ·h

a ·h+ y(k ·h+3 ·h) ·

b ·h−2a ·h

− u(k ·h−h) . (5.8)

Uma vez implementada a iteração não-causal acima, possível visto que é reali-

zada de maneira offline, os resultados obtidos são filtrados de maneira que não

se altera a fase dos dados. Essa diferença entre o número de amostras é oriunda

do fato de que esse filtro tem sua frequência de corte reduzida ao passo que se

aumenta o número de amostras utilizadas. Após essa etapa, o resultado do u

gerado é traçado contra a referência fornecendo os resultados apresentados nas

Figuras 5.14 e 5.15.

46

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8


Ten

são

de S

aída

com

pens

ada

itera

tivam

ente

[V]


Figura 5.14: Gráfico entrada(u) × saída compensada iterativamente para a vari-ação de amplitude(u).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4


Ten

são

de S

aída

com

pens

ada

itera

tivam

ente

[V]


Figura 5.15: Gráfico entrada(u) × saída compensada iterativamente para a vari-ação de frequência(u).

47

Observa-se que no gráfico da Figura 5.15 o sinal de saída se torna demasiada-

mente ruidoso. O fenômeno que gera esse efeito é a derivação de um sinal

com ruído, o que faz com que o mesmo se amplifique. Visto que o processo

de derivação se encontra inserido na recursão demonstrada previamente com o

método de Tustin. Assim, não se obtém vantagem por meio da utilização desse

procedimento iterativo e os resultados são melhores apenas compensando a

dinâmica linear pelos gráficos de Bode.

Após essa etapa inicial de determinação dos efeitos da histerese conforme mo-

delado no diagrama de blocos o passo seguinte consistirá da escolha de um mo-

delo matemático para a representar a histerese do atuador de maneira compacta

e fiel. Devido à simplicidade e facilidade de implementação computacional, o

modelo de Bouc Wen foi escolhido para representar o bloco de histerese [34].

O modelo de histerese de Bouc Wen faz uso de uma representação da his-

terese por meio de uma equação diferencial não-linear. Esse modelo teve

sua proposição feita por R. Bouc e foi generalizado por Y. K. Wen e outros

pesquisadores. Predominantemente, na literatura, a dinâmica desse modelo se

assemelha a de um sistema massa-mola com amortecedor viscoso, relacionando

a força restauradora com a deformação da mola [32].

A descrição da dinâmica desse modelo tem sua base na equação (5.9), que segue

abaixo.

x = f (x, x,z,u) = u−2ξωnx−αω2nx− (1−α)ω2

nz, (5.9)

determinando as constantes da equação (5.9) como:

x é a posição da massa;

z é a variável de histerese;

u é a força de excitação normalizada (N/kg);

ξ é a fator de amortecimento viscoso elástico linear (0 ≤ ξ ≤ 1);

α é a fator de rigidez (0 ≤ α ≤ 1);

ωn é a frequência natural do sistema (rad/s).

Sabendo que a variável de histerese z é proporcional à força restauradora que

atua no oscilador, a equação diferencial não-linear de primeira ordem (5.10) é

formada:

z = ax−βx|z|n−γ ˙|x||z|n−1z, (5.10)

48

em que as constantes são:

a é o parâmetro de controle da amplitude da histerese;

β,γ,n são parâmetros de controle da forma de curva da histerese (n ≥ 1).

A variável z de histerese mencionada é um deslocamento virtual que se rela-

ciona com o real no sentido em que considera a dependência linear da força

restauradora com a memória de todo o movimento em questão. Já os parâme-

tros α, n, β e γ, determinam as características da curva de histerese, desde o seu

escalamento até a sua forma. Na equação (5.10), ao se tomar n = 1, a dinâmica

de histerese é reescrita com uma equação diferencial ordinária cuja resolução é

dada por x e z. Desse modo, quando se considera n→ 1, os laços de histerese

convergem para a solução (5.11):

z =12

x[

sgn (z+ a)− sgn (z− a)]

. (5.11)

Em se tratando da modelagem de sistemas piezoatuados é comum a reformu-

lação da equação (5.10) para (5.14) ao se considerar que na literatura é usual

escrever a modelagem (5.12), como é referenciado em [33]. Contudo, para o

modelo identificado neste trabalho, a dinâmica do piezoatuador é de primeira

ordem. Neste caso, a equação válida para esse estudo é (5.13). As fórmulas

auxiliares são:

mx+bx+ kx+dx = k (ru− z)+ kx0, (5.12)

x+px+dx = K [ru(t− td)− z(t− td)]+Kx0, (5.13)

z = αu−βu|z|n−γ|u||z|n−1z. (5.14)

Tomando a variação de posição como função somente da entrada aplicada, os

parâmetros e as variáveis são definidas da maneira que segue:

m é a massa;

b é o coeficiente de amortecimento;

k é o coeficiente elástico;

x0 é o deslocamento inicial para u = 0;

dx é a perturbação na posição em função do acoplamento de uma carga externa

ao atuador;

r é a razão de deslocamento por tensão de entrada aplicada;

49

K é o ganho do sistema de primeira ordem identificado;

td é o atraso identificado para o sistema de nanoposicionamento;

p é a frequência do pólo da dinâmica de primeira ordem identificada;

α,β,γ e n são os parâmetros de forma e escala das curvas de histerese.

Ao se considerar n = 1 na equação (5.14), a fim de que z tenha uma solução da

forma expressa em (5.11), o modelo de Bouc Wen se reduz à equação diferencial

que trata o fenômeno de histerese como uma perturbação na entrada do sistema

dependente da dinâmica do sinal u, tanto para o sistema de primeira ordem

quanto para o de segunda ordem. O sistema experimental tem sua dinâmica de

histerese descrita pela equação que segue, conforme [34]:

vh(t) = αu(t)−βu(t)|vh(t)| −γ|u(t)|vh(t), (5.15)

na qual:

vh(t) é a tensão de histerese na entrada do sistema;

u(t) é a tensão de entrada do sistema;

α,β,γ são os parâmetros de forma e escala das curvas de histerese.

A fim de implementar computacionalmente o modelo de histerese de Bouc Wen,

o diagrama de blocos da Figura 5.16 é utilizado. No mesmo, evidencia-se que a

histerese é tratada como uma perturbação de entrada dependente da dinâmica

do sinal que é enviado ao piezoelétrico u(t).

Figura 5.16: Diagrama de blocos do modelo de histerese de Bouc Wen.

50

O algoritmo usado para a sintonia dos parâmetros de histerese é o de busca

pelo gradiente. Sabendo-se que o gradiente fornece a maior taxa de variação

de uma função, a sua direção orienta a busca pelo mínimo erro entre a saída ex-

perimental e a simulada. A mudança dos valores correntes dos parâmetros α, β

e γ, que é definida pelo Matlab como algoritmo do active-set, equivale a noção

de um algoritmo com um conjunto ativo o qual consiste de diferentes grupos

de valores para serem testados no lugar desses parâmetros. Esse algoritmo é

empregado em conjunção com o método de busca pelo gradiente a fim de que

sejam sintonizados os parâmetros citados acima.

Os parâmetros desse modelo são utilizados para aproximar os dados gerados

por esse das curvas de histerese do sistema a ser modelado. Por meio de

simulações que têm como base os sinais experimentais enviados ao atuador e

recebidos do mesmo, os parâmetros α,β e γ são ajustados e seus valores seguem

na Tabela 5.2.

Tabela 5.2: Parâmetros da histerese segundo o modelo de Bouc Wen.Parâmetros da histereseAlpha (α) −0,035Beta (β) 1,294V−1

Gama (γ) 0,000V−1

O procedimento de ajuste consiste da busca pelo menor erro de modelagem

entre o sinal de saída experimental e o simulado que é gerado pelos valores

atribuídos aos parâmetros. Assim, a Tabela 5.3 apresenta os resultados desse

procedimento.

Tabela 5.3: Erro de modelagem da histerese segundo o modelo de Bouc Wen.Referência Erro percentual máximo

0,1 V de Amplitude e 10 Hz de Frequência 8,5%0,3 V de Amplitude e 10 Hz de Frequência 4,7%0,5 V de Amplitude e 10 Hz de Frequência 5,4%1,0 V de Amplitude e 10 Hz de Frequência 9,3%

51

Os gráficos referentes aos resíduos do modelo em relação aos experimentos

retratados na Tabela 5.3 segue na Figura 5.18. Já as respostas experimental e

simulada utilizadas para a estimação dos parâmetros do modelo seguem na

figura 5.17. Ambos comprovando os valores inseridos na tabela que fazem

menção aos erros de modelagem da histerese por meio do uso do modelo de

Bouc Wen.

0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.90,1

Out

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0,3

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0,5

0 0.05 0.1 0.15 0.2

1

Tempo em segundos (sec)

Am

plitu

de [V

]

Figura 5.17: Resposta experimental, em azul, e simulada, em cinza, para asreferências de 0,1 V, 0,3 V, 0,5 V e 1,0 V.

0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.07

−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.010,1

Out

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0,3

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0,5

0 0.05 0.1 0.15 0.2

1

Tempo em segundos (sec)

Err

o [V

]

Figura 5.18: Resíduos das referências de 0,1 V, 0,3 V, 0,5 V e 1,0 V.

52

5.2.3 Creep

O Creep é uma propriedade indesejável inerente aos atuadores piezoelétri-

cos. Esse fenômeno acarreta perdas significativas de precisão quando se deseja

manter a posição do atuador fixa por longos períodos de tempo. Em operações

lentas, SPMs têm sua imagem gerada significativamente distorcida em função

do efeito de creep [2].

Creep piezoelétrico está relacionado ao efeito de se aplicar tensão na piezo-

cerâmica que possui uma polarização remanescente. Se a tensão de operação

se eleva, a polarização remanescente do atuador piezoelétrico também é incre-

mentada. Tal fenômeno se manifesta macroscopicamente como um lento creep

após o término da mudança na tensão de operação. Essa dinâmica ocorre tanto

para tensões positivas quanto para negativas [2].

Modelo de Creep Não-Linear

Diversas abordagens foram propostas para lidar com esse tipo de fenômeno.

Uma dessas abordagens é baseada na descrição aproximada do efeito do creep

pela equação não-linear (5.16) como em [16], que segue abaixo.

y(t) = y0

1+γ log10

( tt0

)

; na qual t > t0. (5.16)

Em que t0 representa o tempo a partir do qual o efeito do creep se torna aparente,

y0 é o valor da distensão no nanoatuador no tempo t0 e γ é a taxa de creep a qual

se apresenta como uma constante sendo identificada observando-se a resposta

ao degrau do atuador.

Após executar as simulações com base nos dados experimentais, os parâmetros

do modelo do creep são estimados. O método de busca utilizado para esses val-

ores foi o Simplex com base na função de custo SAE (Soma de Erros Absolutos),

também baseado na minimização do resíduo entre o resultado experimental e

o simulado. Seus respectivos resultados seguem na Tabela 5.4.

Tabela 5.4: Parâmetros do creep segundo o modelo não-linear.Parâmetros do creep

Tempo inicial (t0) 1 msGama (γ) 0,015

53

No tocante a análise frequencial do modelo completo, segue na Figura 5.19 o

resultado experimental em contraposição ao obtido por simulação com o modelo

linear associado ao de histerese. Observa-se que, ao encontro do ocorrido

com a resposta ao degrau no domínio do tempo, no domínio da frequência os

resultados se apresentam de maneira consistente.

101

102

103

−40

−30

−20

−10

0

Frequência [Hz]

Mód

ulo

em d

B

Resposta Frequencial

101

102

103

−400

−300

−200

−100

0

Frequência [Hz]

Fas

e em

Gra

us

Resposta Frequencial ExperimentalResposta Frequencial do Modelo LinearResposta Frequencial do Modelo Linear associado ao modelo de Histerese de Bouc Wen

Figura 5.19: Respostas frequenciais: experimental, do modelo linear e do modelolinear com histerese.

O creep não foi considerado no levantamento dessa resposta frequencial pois

o mesmo pode ser desprezado para sinais de referência periódicos rápidos[16].

Esse modelo de creep não é considerado na obtenção da resposta frequencial

do sistema identificado completo. Isso ocorre porque para incluir o creep nesse

levantamento seria necessário reiniciar o contador de tempo associado à esse, a

cada transição na amplitude do sinal de entrada, o que torna o modelo inviável

para essa operação.

Por fim, segundo a análise temporal do modelo completo estimado, segue a

Figura 5.20 a resposta ao degrau experimental em contraposição à do modelo

estimado. A consistência do modelo completo é comprovada, não somente no

domínio frequência como na Figura 5.19 como também no domínio do tempo

com erros da ordem de 2,86% em relação ao valor da resposta ao degrau consi-

derada.

54

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Tempo [s]

Ten

são

[V]

Respostas ao degrau: Experimental e Simulada

Resposta ao Degrau ExperimentalResposta ao Degrau do Modelo Completo

Figura 5.20: Análise no domínio do tempo. Em azul a resposta simulada com omodelo completo e em cinza a resposta experimental medida.

A parte linear do modelo é utilizada no projeto dos controladores, contudo o

modelo com a histerese é utilizado em adição para gerar um erro de rastreamento

mais próximo do que ocorre na planta, podendo também o seu inverso ser

empregado na compensação do fenômeno de histerese. Assim, para efeitos de

comparação entre erros esperado e medido, os modelos linear e de histerese

são utilizados em conjunção. O modelo de Creep não é muito empregado visto

que os sinais de referência testados são periódicos rápidos, o que diminui a

relevância do seu efeito.

5.2.4 Atraso de fase

Durante o procedimento de identificação da parcela linear da dinâmica do

sistema de nanoposicionamento, é observado um atraso. Possíveis explicações

para esse atraso são levantadas, contudo nenhuma delas se apresenta de maneira

conclusiva. Cabe mencionar que dentre as causas mais prováveis de atraso são:

• Processamento eletrônico feito no amplificador E-665.CR ao receber o sinal

de tensão oriundo do sensor capacitivo;

• Conversão A/D realizada pela placa da Quanser Q8 ou ainda;

• O processamento eletrônico do amplificador e o tempo de resposta do cristal

piezoelétrico.

55

Em relação ao processamento eletrônico embarcado no amplificador de potência

E-665.CR, não há muito como evitar uma vez que o mesmo não fornece a opção

de bypass do seu polinômio linearizador de segunda ordem e do seu filtro

notch. Já no que diz respeito à suspeita de atraso gerado pelo conversor A/D

um teste simples foi realizado, e ao se visualizar apenas o seu sinal de tensão

gerado pelo próprio conversor no seu terminal de entrada, apenas um passo de

amostragem de atraso foi evidenciado. Descartando assim, a hipótese de que a

fonte de atraso estaria na placa Q8.

Por fim, na literatura, não é encontrado nenhuma menção de que haja atraso

em relação à dinâmica de contração e distensão do cristal piezoelétrico, ou

seja, pelo menos esse fenômeno não é considerado pelos autores em quaisquer

artigos sobre o assunto. Ao que tudo indica, o atraso encontrado de 0,2ms está

concentrado no caminho que o sinal de tensão percorre entre o nanoatuador e

a interface do amplificador de potência com o conversor A/D.

56

Capítulo 6

Controle do Nanoposicionador

Nesse capítulo são apresentados os projetos de quatro controladores distintos.

O controlador proporcional e integral (PI) utilizado pelo fabricante, o con-

trolador adaptativo proposto por [35], o projeto de controle linear com termo

estabilizante e o controlador adaptativo robusto. O PI tem um desempenho

aquém do desejado em altas frequências, o adaptativo apresenta um transiente

pior que o primeiro contudo em regime rastreia a referência com um menor

erro. Já o controlador linear supera o desempenho dos anteriores mas ainda

apresenta margem para melhorias. Nesse contexto, o projeto do controlador

adaptativo robusto é inserido resultando em rastreamentos de elevada precisão

para frequências altas de operação (100 e 200 Hz).

6.1 Controlador PI

A motivação para o uso do controlador com ações proporcional e integral é sua

facilidade de implementação e adequação ao controle de sistemas de primeira

ordem. A sua ação proporcional ao erro age no sentido de eliminar o erro

de rastreamento ao passo que a parcela integral, além de eliminar o erro em

regime, contribui para anular o efeito do drift. Provavelmente por estas razões,

o fabricante do sistema de nanoposicionamento (Physik Instrumente) inclui nos

módulos de acionamento do PZT um controlador PI.

No projeto do compensador proporcional integral não se considerou as não-

linearidades inerentes ao sistema de nanoposicionamento nem o seu atraso. A

dinâmica linear identificada para o sistema é dada pela função de transferência

G(s) = 1172s+3400 e sendo utilizada para o projeto do controlador. Uma vez que

os sinais de referência aplicados nos experimentos são periódicos e rápidos, o

efeito do Creep não influi de maneira considerável sobre a resposta do sistema e

57

pode ser compensado pela ação integral do controlador. Contudo sua histerese

e o atraso (de tempo) introduzem atrasos de fase nas respostas obtidas.

6.1.1 Lei de Controle

Para ajustar os parâmetros do controlador, o seu zero é posicionado de maneira

a ocupar a mesma frequência do pólo da função de transferência do nanoposi-

cionador. Assim, o único parâmetro do compensador a ser sintonizado é o

ganho proporcional. Esse valor é aproximado, primeiramente, de maneira a

fazer com que o sistema composto pela parte linear do modelo e pelo contro-

lador tenha uma margem de fase de 60, desprezando o atraso representado

na função de transferência (5.3). Após esse procedimento, um ajuste fino do

mesmo via simulação, em que se considera o atraso e a histerese, é realizado a

fim de melhorar o seu desempenho (diminuir o erro de rastreamento).

A lei de controle é apresentada da maneira que segue:

u = K ·s+3400

s. (6.1)

A priori, o valor encontrado para o ganho K definido na equação (6.1) é de 2,2.

No entanto, durante o processo de ajuste fino, por meio do uso de simulações,

esse ganho é reduzido até 1,4.

6.1.2 Resultados de Simulação

As simulações são realizadas para os sinais de referência de 10, 50, 100 e 200 Hz,

desprezando-se as ações de distúrbios. Os resultados são obtidos com o modelo

completo identificado no Capítulo 5. A seguir são apresentados os resultados da

ação de controle, do erro e da resposta medida em comparação com a referência.

58

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4C

ontr

ole

[V]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.1

0

0.1

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]

Sinal de referênciaSaída Medida

Figura 6.1: Resultado de simulação do controlador PI para o sinal de referênciade 10 Hz.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.5

0

0.5

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



59

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

2

4C

ontr

ole

[V]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.5

0

0.5

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.5

0

0.5

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



60

6.1.3 Resultados Experimentais

Os resultados experimentais são organizados de acordo com as frequências das

referências que são aplicadas na planta. De acordo com a orientação seguida

pelos experimentos descritos na literatura como em [2] e [32] os ensaios são

realizados para referências de 10, 50, 100 e 200 Hz. A seguir são apresentados

os resultados da ação de controle, do erro e da resposta medida em comparação

com a referência.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.1

0

0.1

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]

Saída MedidaSinal de referência

Figura 6.5: Resultado experimental do controlador PI para a referência de fre-quência de 10 Hz.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.2

0

0.2

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



61

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

2

4C

ontr

ole

[V]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.2

0

0.2

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

1

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Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.5

0

0.5

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



62

As Figuras de 6.5 a 6.8 representam os resultados experimentais para os sinais de

referência de 10, 50, 100 e 200 Hz. Tais resultados são obtidos ao se implementar

o controle PI na planta.

Conforme pode ser observado pelas Figuras 6.5, 6.6, 6.7 e 6.8, o desempenho

de rastreamento do controlador se deteriora de maneira considerável com o

aumento da frequência do sinal de referência. Isso ocorre porque quão mais

elevada é a frequência de operação, maior é o efeito de defasagem da saída em

função do atraso, uma vez que a histerese, por experimentos, não é dependente

da frequência.

Nesse sentido ocorre a necessidade de se investir em novas estratégias de con-

trole para que a operação em alta frequência seja viável. Nas seções que seguem,

essas novas abordagens são tratadas tais como: o termo de feedforward em

adição ao controle PI, a adaptação de parâmetros da planta e da ação de controle

e, por fim, a consideração de um termo robusto.

Comprova-se que os resultados de simulação vão ao encontro dos resultados

experimentais. Dessa maneira, é cabível comprovar a concordância do modelo

identificado no Capítulo 5 com o sistema experimental. A dinâmica modelada

é a que a planta apresentou durante os experimentos realizados nessa Seção 6.1.

6.2 Controlador Adaptativo por modelo de referência

baseado no erro de rastreamento

Nessa seção é avaliado o desempenho do controlador adaptativo para um sis-

tema de primeira ordem. A referência bibliográfica utilizada para a sua imple-

mentação é [35]. A estratégia se baseia no método de controle adaptativo por

modelo de referência (MRAC), levando em consideração a adaptação de dois

termos que descrevem a dinâmica da planta.


Supondo que os parâmetros que modelam a dinâmica de primeira ordem sejam

constantes e dados por:

y = −apy+bpu, (6.2)

63

em que y é a saída da planta, u é a sua entrada e ap e bp são parâmetros constantes

da mesma.

No problema de controle adaptativo assume-se que os termos ap e bp são des-

conhecidos. O desempenho desejado para o sistema adaptativo de controle é

especificado por um modelo de referência de primeira ordem:

ym = −amym+bmr(t), (6.3)

na qual am e bm são parâmetros constantes e r(t) é um sinal de referência limitado.

O parâmetro am deve ser positivo para que o modelo de referência seja estável.

Já o parâmetro bm pode ser tomado como positivo sem perda de generalidade.

O modelo de referência pode ser representado por:

ym =M(s)r, (6.4)

em que

M(s) =bm

s+ am, (6.5)

sendo s a variável de Laplace.

O objetivo da arquitetura de controle adaptativo é formular uma lei de controle

e uma lei de adaptação tais que o erro de rastreamento do modelo resultante

y(t)− ym convirja assintoticamente para zero. Nesse sentido, assume-se que o

sinal de b é conhecido. Essa hipótese é frequentemente satisfeita na prática.

Como primeiro passo no controle adaptativo, define-se a lei de controle da

maneira que segue:

u = ar(t)r+ ay(t)y, (6.6)

em que ar e ay são ganhos de realimentação variáveis. Com essa lei de controle,

a dinâmica resultante em malha fechada é:

y = −(ap− aybp)y+ (arbp)r(t). (6.7)

A razão da escolha da lei de controle expressa em (6.6) se torna evidente ao se

analisar a expressão (6.7), possibilitando casamento perfeito do modelo. De

64

fato, se os parâmetros da planta são conhecidos, os parâmetros ideais podem

ser calculados por:

a∗r =bm

bp, a∗y =

ap− am

bp, (6.8)

o que leva a seguinte dinâmica em malha fechada:

y = −amym+bmr, (6.9)

que é idêntica ao modelo de referência e leva o erro de rastreamento para zero.

Nesse caso, o primeiro termo da lei de controle apresentada em (6.6) resulta

no ganho DC certo, enquanto que o segundo termo atinge dois objetivos, o de

cancelar o termo (−apy) e impor o pólo desejado em −amy.

No problema de controle adaptativo adotado, como ap e bp são desconhecidos, o

controle atinge esses objetivos adaptando esses parâmetros. A lei de adaptação

vai continuamente buscar os ganhos certos, baseada no erro de rastreamento

y− ym, fazendo com que y tenda a ym assintoticamente.

Para escolher a lei de adaptação de ar e ay, define-se o erro de rastreamento

como:

e = y− ym. (6.10)

O erro de adaptação paramétrica é definido como a diferença entre os parâmetros

estimados pela lei de adaptação e os valores ideais dos mesmos.

a(t) =

ar

ay

=

ar− a∗ray− a∗y

. (6.11)

A dinâmica do erro de rastreamento pode ser obtida subtraindo-se a equação

(6.7) de (6.3),

e = −am(y− ym)+ (am− ap+bpay)+ (bpar−bm)r (6.12)

= −ame+bp(arr+ ayy),

que pode ser convenientemente representada por,

e =bp

s+ am(arr+ ayy) =

1a∗r

M(arr+ ayy). (6.13)

65

Tendo em mente a expressão (6.13) a lei de adaptação sugerida em [35] é:

˙ar = −sgn(bp)γer ; ˙ay = −sgn(bp)γey, (6.14)

em que γ é uma constante positiva representando o ganho de adaptação. De

(6.14) é possível observar que o termo sgn(bp) determina a direção de busca para

os parâmetros adequados do controlador.

Com as leis de controle e adaptação escolhidas anteriormente, a análise de

estabilidade e convergência usando a teoria de Lyapunov é feita tomando-se a

seguinte candidata a função potencial:

V(e,φ) =12

e2+1

2γ|bp|(a2

r + a2y). (6.15)

Derivando-se a função potencial acima, é facilmente demonstrado que:

V = −ame2. (6.16)

Assim, o sistema resultante é globalmente estável, os sinais e, ar e ay são limita-

dos. Então, a convergência global assintótica para o sinal e(t) é garantida pelo

Lema de Barbalat. Portanto a limitação de e, ar e ay implica a limitação de e e

assim, a continuidade uniforme de V.

Lema de Barbalat. Se uma função diferenciável f possui um limite finito a medida que

t→∞, e se ˙f é uniformemente contínua, então ˙f (t)→ 0 para t→∞.

Os parâmetros de sintonia do controlador usado nos experimentos e nas sim-

ulações são: am = 3400, bm = 3400 e γ = −5000 e foram escolhidos a fim de que

o modelo responda com a mesma velocidade que a identificação do Capítulo 5

apontou para a planta e para que o ganho DC seja unitário. Assim, o modelo

de referência age no sentido de fazer o sistema em malha fechada responder

o mais rápido possível segundo a identificação e sem distorcer a amplitude do

sinal de referência aplicado.


Mantendo a orientação seguida anteriormente de simulação com o modelo com-

pleto e desprezando os distúrbios, as simulações são feitas para as referências

de 10, 50, 100 e 200 Hz. A seguir são apresentados os resultados da ação de

controle, do erro e da resposta medida em comparação com a referência.

66

As Figuras de 6.9 a 6.12 evidenciam os resultados obtidos por simulação para

o controlador adaptativo baseado no erro de rastreamento. O desempenho

desse compensador é melhor do que o do PI por apresentar um menor erro de

rastreamento, principalmente para operações em frequências mais elevadas.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.05

0

0.05

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

Tempo [s]

Ten

são

[V]


Figura 6.9: Resultado de simulação do controlador adaptativo para o sinal dereferência de 10 Hz.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.05

0

0.05

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.5

1

Tempo [s]

Ten

são

[V]



67

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

2

4C

ontr

ole

[V]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.1

0

0.1

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.5

1

Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.2

0

0.2

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



68


Ao encontro da seção experimental do compensador PI, os resultados experi-

mentais são organizados de acordo com as frequências das referências que são

aplicadas na planta. Os ensaios são realizados para referências de 10, 50, 100 e

200 Hz, apresentados respectivamente nas Figuras 6.13, 6.14 , 6.15 e 6.16.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5

0

0.5

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]


Figura 6.13: Resultado experimental do controlador adaptativo para o sinal dereferência de 10 Hz.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.5

0

0.5

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

1

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Tempo [s]

Ten

são

[V]



69

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

2

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Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.5

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o [V

]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

1

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Tempo [s]

Ten

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[V]



0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.5

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o [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



70

Observa-se, em comparação com o compensador de ação proporcional e integral,

que o controlador adaptativo, para a frequência de 200 Hz apresenta 25% de

erro do sinal de referência, já o PI apresenta 62,5% de erro. Assim a melhora é

consistente, no entanto ainda não fornece o erro desejado de rastreamento. Por

essa razão, ainda é necessária uma investigação de novas técnicas de controle.

Os resultados de simulação e os resultados experimentais se apresentaram de

maneira consistente a menos do transiente, em função do nível que o sinal de

saída do sensor capacitivo possui. Dessa maneira, no início do rastreamento

ocorre a maior discrepância entre os resultados esperados entre a simulação e

o experimento. Ambos estão próximos mesmo ao se considerar as incertezas

inerentes à identificação.

6.3 Controlador PI com termo Feedforward

O projeto desse controlador é baseado na dinâmica linear de primeira ordem

que compõe parte da dinâmica da planta. Assim, o atraso de tempo, o creep

e a histerese não são considerados explicitamente. Contudo, o efeito do creep

é compensado pela ação integral proposta, bem como incertezas da planta e

distúrbios com variação lenta.


Considerando que há um distúrbio aditivo na entrada do sistema que se soma

a ação de controle, a equação que rege a dinâmica linear do sistema é:

y = −apy+Kp(u+d). (6.17)

O sinal de erro é definido:

e = y− yd. (6.18)

De (6.17), subtraindo-se a derivada da referência de ambos os termos da equação

e ainda somando-se u∗ a ação de controle e subtraindo esse fator da mesma, de

maneira a não alterá-la, tem-se:

y− yd = −yd− apy+Kp(u∗+u−u∗+d). (6.19)

71

Dessa maneira, definindo-se u = u−u∗ e K1 como o ganho proporcional ao erro

do controlador, a seguinte equação é escrita:

e = −KpK1e+Kp(u), (6.20)

mediante a atribuição da seguinte expressão para u∗:

u∗ = K−1p (apy+ yd)−d−K1e. (6.21)

A fim de tornar a lei de controle capaz de se sobrepor a distúrbios de variação

lenta e a incertezas na modelagem dos parâmetros da planta, um termo integral

é introduzido, modificando a lei de controle para:

u∗ = K−1p (apy+ yd)−d−K1e+Ki

∫

e dt. (6.22)

Tomando-se u+Ki

∫

e dt = u∗ a equação do erro é:

e = −KpK1e−Ki

Kp

∫

e dt. (6.23)

Pelo processo de modelagem descrito no Capítulo 5, os parâmetros da parcela

linear da dinâmica da planta são definidos como Kp = 1172 e ap = 3400. A partir

desses valores e dos ajustes dos ganhos proporcional e integral, os parâmetros

do controlador são sintonizados, a expressão da lei de controle após a sintonia

segue, considerando o distúrbio desprezível:

u =1

1172(3400y+ yd)−8e−10000

∫

e dt. (6.24)


As Figuras de 6.17 a 6.20 evidenciam os resultados obtidos por simulação para o

controlador de rastreamento de trajetórias. O desempenho desse compensador

é melhor do que o do PI por apresentar um menor erro de rastreamento, e

ainda supera, para operações em frequências, o desempenho do controlador

adaptativo.

72

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4C

ontr

ole

[V]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5

0

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o [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]


Figura 6.17: Resultado de simulação obtido com o controlador baseado no errode rastreamento para a referência de 10 Hz.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.5

0

0.5

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

1

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Tempo [s]

Ten

são

[V]



73

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

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Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.5

0

0.5

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o [V

]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.5

0

0.5

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o [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



74


Mantendo a mesma avaliação dos resultados anteriores, os resultados experi-

mentais são organizados de acordo com as frequências das referências que são

aplicadas na planta. Os ensaios são realizados para referências de 10, 50, 100 e

200 Hz. A seguir, nas Figuras 6.21, 6.22, 6.23 e 6.24, são apresentados os resul-

tados da ação de controle, do erro e da resposta medida em comparação com a

referência.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5

0

0.5

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]


Figura 6.21: Resultado experimental obtido com o controlador baseado no errode rastreamento para a referência de 10 Hz.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.5

0

0.5

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



75

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

2

4C

ontr

ole

[V]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.5

0

0.5

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.5

0

0.5

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



76

Os resultados de simulação e experimentais se apresentam de maneira coer-

ente. Contudo, durante o transiente, a oscilação apresentada pelo sistema de

nanoposicionamento é mais acentuada do que a evidenciada na simulação. Isso

ocorre porque o modelo possui incertezas em relação à planta e ainda o exper-

imento ocorre na presença de ruídos. Desse modo, conforme as Seções 6.1.3 e

6.2.3, o modelo identificado apresenta previsões coerentes para os resultados

esperados por parte da planta, mas ainda sim, discrepâncias são encontradas.

6.4 Controlador Adaptativo Robusto (ARC)

A estratégia de controle utilizada nessa seção consiste da adaptação da lei de

controle de rastreamento de trajetórias, eliminando a sua ação integral e adicio-

nando um termo robusto dependente da adaptação. A ação integral é retirada da

lei de controle pois atrasa o procedimento de adaptação, e se torna redundante

uma vez que a adaptação possui um caráter integral. Já o termo robusto atua

principalmente durante o transiente, permitindo que o ganho proporcional ao

erro seja elevado até certo ponto que será discutido a posteriori sem causar o

efeito oscilatório na ação de controle [36].


Tendo como base a modificação da lei PI com termo Feedforward (6.22) com

a retirada de sua ação integral, a seguinte lei de controle é proposta para ser

adaptada:

u = −K1e+ apK−1p y+K−1

p yd−d, (6.25)

em que, K1 é o ganho proporcional do compensador, ap é a frequência em que

se encontra o pólo da dinâmica linear da planta, d é a variável que representa

o distúrbio, a ser tratada a posteriori, Kp é o ganho da planta e yd é a trajetória

desejada (de referência).

A partir da equação (6.25), é possível definir o vetor regressor ω e a partir dos

valores encontrados em (6.24) o valor inicial dos parâmetros a serem adaptados

também é escolhido. Dessa maneira, seguem tanto o vetor regressor quanto os

77

valores iniciais para a estimação dos parâmetros.

ω =

−y

−yd

1

, θ0 =

ap/Kp

1/Kp

0,3

. (6.26)

Observou-se experimentalmente que o sinal de tensão proporcional ao deslo-

camento apresentava um nível médio. Uma vez que esse nível médio pode

atrapalhar a adaptação, primeiramente, optou-se por considerá-lo no parâmetro

θ3 e deixá-lo fixo a fim de eliminá-lo. Logo, o parâmetro θ3 não é adaptado, no

primeiro conjunto de experimentos, já no segundo a sua adaptação é realizada.

Em adição a esse desenvolvimento, um termo robusto dependente do método

de adaptação adotado também é considerado. A lei de controle proposta até o

presente momento é definida por:

u = −K1e+ apK−1p y+K−1

p yd−d+vs,

que pode ser reorganizada como:

u = −θTω−K1e+vs+∆, (6.27)

em que vs é a parcela de controle robusto, ∆ é o limite superior dos efeitos

relacionados a distúrbios e θ é o vetor de parâmetros estimados. Os efeitos

de parâmetros desconhecidos e distúrbios limitados de variação lenta são com-

pensados pela estratégia de controle adaptativo robusto. Utiliza-se a projeção

descontínua baseada no método de estimação de parâmetros em tempo real,

como ferramenta para a realização da adaptação [37].

O projeto da lei de controle tratada em (6.27) difere do apresentado em [36]

basicamente por duas hipóteses. A primeira é de que em [36] a planta é mode-

lada por meio de uma dinâmica de grau relativo zero, o que é contradito pelo

estudo realizado no Capítulo 5. O segundo ponto de discordância entre os dois

projetos é que a ação de controle no artigo ZHONG e YAO [36] é integrada

antes de ser aplica à planta, o que não é feito no projeto de controle adaptativo

robusto aqui descrito. Dessa maneira, o vetor regressor do projeto dessa seção

é distinto do apresentado pela referência mencionada.

78

O algoritmo ARC utiliza estratégias robustas para atenuar os efeitos das in-

certezas do modelo no sentido de garantir um transitório suave e com erro

de rastreamento pequeno e acurácia no rastreamento final da trajetória. Já a

adaptação de parâmetros é usada para reduzir as incertezas do modelo [36].

A seguinte hipótese é assumida nesse desenvolvimento, a medida das in-

certezas paramétricas são conhecidas, o que é descrito matematicamente pela

condição expressa a seguir:

θ ∈Ωθ∆= θ : θmin < θ < θmax, (6.28)

∆ ∈Ω∆∆= ∆ : ‖∆‖ ≤ δ∆.

Em que:

θmin =

θ1min

θ2min

θ3min

, θmax =

θ1max

θ2max

θ3max

e δ∆ (6.29)

são todos conhecidos.

Se a hipótese acima é válida, a projeção descontínua baseada na técnica adap-

tativa robusta de controle pode ser aplicada para resolver o problema de ras-

treamento de trajetórias.

Considerando a estimativa deθ, ou seja θ, então o erro de estimação é θ= (θ−θ).

O parâmetro estimado θ é atualizado segundo a lei de adaptação paramétrica

que segue:˙θ = Projθ(Γτe), (6.30)

na qual Γ é a matriz positiva definida simétrica da taxa de adaptação (assumida

como diagonal nesse projeto) e τe é a função de adaptação.

79

O operador de projeção é definido da maneira descrita a seguir:

Projθ(•) =

Projθ1(•1)

Projθ2(•2)

Projθ3(•3)

Projθi(•i) =

0 , se

θi = θimax e •i > 0

ou

θi = θimin e •i < 0

•i , nos demais casos

. (6.31)

[37] Tal projeção possui as propriedades descritas:

(P1) θ ∈ Ωθ =

θ : θmin < θ < θmax

(P2) θT(Γ−1 Projθ(Γ•)−•) ≤ 0 , ∀• . (6.32)

A arquitetura do controlador adaptativo robusto é definida pelo seguinte de-

senvolvimento matemático com base no erro de rastreamento apresentado pelo

sistema. Definindo-se o erro como:

e = y− yd, (6.33)

a dinâmica do erro é dada por:

e = KpωTθ+Kpu+Kp∆. (6.34)

Reescrevendo a lei de controle em função do vetor regressor e dos parâmetros

estimados, a dinâmica do erro obtida é:

e = KpωTθ+Kp(−ωTθ−K1e+vs+∆), (6.35)

organizando a expressão anterior em termos do erro de estimação, tem-se:

e = −KpωTθ−KpK1e+Kpvs+Kp∆, (6.36)

Diante dessa lei de controle expressa em (6.27) duas condições devem ser obe-

decidas:

Condição (1): e [−ωT θ+vs] ≤ ǫ

Condição (2): evs ≤ 0,

80

na qual ǫ é igual ao parâmetro positivo que representa o nível de atenuação das

incertezas do modelo. Na condição 1 está presente o fato de que o parâmetro

vs deve ser sintetizado para dominar as incertezas do modelo, sejam essas de

origem paramétrica ou das não-linearidades. Esse parâmetro garante que o

nível de atenuação ǫ seja atingido. A condição 2 é imposta a fim de assegurar

que vs é um termo dissipativo e não interfere na convergência do processo de

adaptação paramétrica.

Diversas formas específicas de vs satisfazem as condições impostas. Dentre

essas, uma das formas mais simples do ponto de vista da implementação com-

putacional é a que segue em:

vs = −1

4ǫh2 e, (6.37)

em que:

h ≥ ‖θmax−θmin‖‖ω‖+δ. (6.38)

A arquitetura ARC desenvolvida até agora nesse estudo fornece em teoria o

seguinte desempenho:

Teorema 1: Se a função de adaptação em (6.30) é escolhida como:

τe = ωe, (6.39)

então a lei de adaptação de parâmetros garante as propriedades A e B.

A. Comumente, a magnitude do erro de rastreamento é limitada superiormente

por:

|e|2 ≤ exp(

−2KpK1 t)

2Kp|e(0)|2+ǫ

2KpK1

[

1−exp(

−2KpK1 t)]

. (6.40)

A taxa de convergência exponencial é (2KpK1) e o tamanho do erro de rastrea-

mento final (|e(∞)| ≤√

(ǫ/2KpK1)) pode ser livremente ajustado pelos parâmetros

do controlador ǫ e KpK1.

B. Se após um tempo finito, somente existir incertezas paramétricas (ex., ∆ =

0,∀t ≥ t0), então em adição aos resultados da propriedade A, o erro nulo de

rastreamento é alcançado (ex., e→ 0 ao passo que t→∞). A prova para essa

afirmação é observada em (6.43).

81

Prova: Adotando a função positiva definida Vs = (1/2)e2 e a diferenciando, ao

passo que se considera a condição 1, tem-se:

Vs = (1/2Kp)e2 (6.41)

Vs = (1/Kp)ee

= e[

−K1e+vs+∆−ωTθ

]

≤ −K1e2+ǫ

= −2KpK1Vs+ǫ.

Assim, sabendo que Vs ≤ exp−(2KpK1)tVs(0) + (ǫ/2KpK1)[1 − exp−(2KpK1)t] e

|e|2 = 2KpVs, ao se substituir uma equação na outra, chega-se a propriedade

A. Quando ∆ = 0 define-se outra função positiva definida Va, isto é:

Va = (1/2Kp)e2+ (1/2)θTΓ−1θ (6.42)

Va = ee+ θTΓ−1 ˙θ

= e[

−K1e+vs−ωTθ

]

+ θTΓ−1 ˙θ.

Notando a condição 2 e a função de adaptação de (6.39) tem-se:

Va = −K1e2+vse+ θT(Γ−1 ˙θ−ωe) (6.43)

≤ −K1e2+ θT(Γ−1 ˙θ−ωe)

= −K1e2+ θT(Γ−1Projθ(Γωe)−ωe)

≤ −K1e2

≤ 0,

o que leva ao rastreamento assintótico da propriedade B que é provado

aplicando-se o Lema de Barbalat [37]. Os parâmetros que são utilizados pelo

controlador adaptativo robusto são apresentados na Tabela 6.1 com a matriz de

ganhos de adaptação dada por:

Γ =

7 ·103

0,4

1 ·103

. (6.44)

82

Tabela 6.1: Tabela de parâmetros do controlador adaptativo robusto.Parâmetros Valores

K1 6,5h 5

θ0

[

2 3 ·10−3 0,3]T

θmin

[

0 0 −1]T

θmax

[

5 5 ·10−2 1]T

ǫ 8 ·106

δ 2


O diagrama de blocos desenvolvido do sistema para implementar o contro-

lador adaptativo robusto segue na Figura 6.25. Em que se encontram os blocos

de referência, um bloco de filtro para a mesma, o compensador e o modelo de

primeira ordem, considerado no desenvolvimento do ARC. O sinal de referên-

cia é obtido filtrando-se a trajetória desejada por um filtro de segunda ordem a

fim de se reduzir o erro de rastreamento. Os valores dos parâmetros desse filtro

são ζ = 1 e ωn = 100 e esse pode ser observado na Figura 6.26.

Figura 6.25: Diagrama de blocos do sistema de simulação do controlador adapta-tivo robusto.

Figura 6.26: Filtro de segunda ordem do sinal de referência.

Com respeito ao projeto do controlador, seu bloco pode ser expandido, possibil-

itando a apresentação de seus componentes principais. Dentre esses destacam-

83

se: em azul as projeções dos parâmetros estimados, em verde o cálculo do termo

robusto e em laranja o vetor regressor. O diagrama de blocos do controlador

adaptativo robusto segue na Figura 6.27.

Figura 6.27: Diagrama de blocos do controlador adaptativo robusto.

Em acordo com as apresentações anteriores, os resultados de simulação são

organizados de acordo com as frequências das referências que são aplicadas

no modelo. A seguir, nas Figuras 6.28, 6.30, 6.32 e 6.34, são apresentados os

resultados da ação de controle, do erro e da resposta medida em comparação

com a referência. Adicionalmente, as informações sobre as adaptações estão

expressas nas Figuras 6.29, 6.31, 6.33 e 6.35.

84

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

Con

trol

e [V

]Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.05

0

0.05

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]


Figura 6.28: Resultado de simulação com o ARC para a referência de 10 Hz.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

3

4

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.01

0

0.01

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

0

2

Tempo [s]

θ F

ixo

θ3

Figura 6.29: Estimativa de simulação dos parâmetros do ARC para a referência de 10 Hz.

85

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

Con

trol

e [V

]Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.05

0

0.05

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.22

3

4

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.01

0

0.01

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ2

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−2

0

2

Tempo [s]

θ F

ixo

θ3


86

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

2

4

Con

trol

e [V

]Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.1

0

0.1

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.5

1

Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.12

3

4

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.005

0.01

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ2

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−2

0

2

Tempo [s]

θ F

ixo

θ3


87

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

2

4

Con

trol

e [V

]Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.1

0

0.1

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

0.5

1

Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.052

3

4

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ1

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

5x 10

−3

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ2

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−2

0

2

Tempo [s]

θ F

ixo

θ3



Os resultados experimentais são organizados de acordo com as frequências das

referências que são aplicadas na planta. A seguir, nas Figuras de 6.36 a 6.42, são

apresentados os resultados da ação de controle, do erro e da resposta medida

em comparação com a referência. Adicionalmente, as informações sobre as

adaptações estão expressas nas Figuras de 6.37 a 6.43. Essas informações são

referentes ao primeiro conjunto de experimentos em que não se adapta o θ3.

88

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4C

ontr

ole

[V]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.05

0

0.05

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]


Figura 6.36: Resultado experimental com o ARC para a referência de 10 Hz, comθ3 fixo.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12.2

2.4

2.6

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

4

6x 10

−3

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

0

2

Tempo [s]

θ F

ixo

θ3

Figura 6.37: Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 10 Hz, comθ3 fixo.

89

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4C

ontr

ole

[V]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.05

0

0.05

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.22.2

2.4

2.6

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4x 10

−3

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ2

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−2

0

2

Tempo [s]

θ F

ixo

θ3


90

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

2

4C

ontr

ole

[V]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.05

0

0.05

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.5

1

Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.12.2

2.4

2.6

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.11

2

3x 10

−3

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ2

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−2

0

2

Tempo [s]

θ F

ixo

θ3


91

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

1

2

Con

trol

e [V

]Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.05

0

0.05

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

0.5

1

Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.052.2

2.4

2.6

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ1

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.051

2

3x 10

−3

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ2

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−2

0

2

Tempo [s]

θ F

ixo

θ3


Observa-se que os resultados do controlador adaptativo robusto são superiores

aos demais controladores principalmente em operação com frequências mais

elevadas. Para uma referência de 100 Hz, o erro obtido é da ordem de 1,2% do

sinal de referência e para 200 Hz o erro é da ordem de 2,5%. Tais medidas tão

reduzidas revelam o bom desempenho para o problema servo do controlador

ARC.

92

Ao passo que para o segundo conjunto de experimentos em que se adapta o

parâmetro θ3, os resultados experimentais são apresentados nas Figuras de 6.44

a 6.51.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.05

0

0.05

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]


Figura 6.44: Resultado experimental com o ARC para a referência de 10 Hz.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

2

3

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.005

0.01

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ3

Figura 6.45: Estimativa dos parâmetros do ARC para a referência de 10 Hz.

93

Nota-se na Figura 6.45 que a adaptação dos parâmetros não converge. Tal

limitação do controlador robusto adaptativo pode ser explicada pela pouca

excitação do sistema nessa frequência de 10 Hz. O parâmetro referente ao

distúrbio não é capaz de ser adaptado, o que interfere também no processo de

adaptação dos demais parâmetros. No restante dos experimentos, a adaptação

tem sucesso e os parâmetros convergem, pois com o aumento da frequência da

referência, a excitação do sistema é aumentada.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

Con

trol

e [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.05

0

0.05

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

1

2

Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.21

2

3

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.005

0.01

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ2

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.2

0.4

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ3


94

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

2

4

Con

trol

e [V

]Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.1

0

0.1

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.5

1

Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.11

2

3

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.005

0.01

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ2

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.2

0.4

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ3


95

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

1

2

Con

trol

e [V

]Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−0.1

0

0.1

Err

o [V

]

Tempo [s]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

0.5

1

Tempo [s]

Ten

são

[V]



0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.051

2

3

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ1

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

5x 10

−3

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ2

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

0.2

0.4

Tempo [s]

Est

imat

iva

de θ

θ3


No caso das simulações para o controlador adaptativo robusto, o modelo apre-

senta o maior grau de erro pois o mesmo não considera o nível do sinal da saída.

Contudo, esse nível é adaptado pelo controlador. Ao se adaptar uma dinâmica

inexistente no modelo, a simulação acaba apresentando maior discrepância em

relação ao resultado experimental.

96

6.5 Análise dos Resultados

É cabível inferir que os modelos estimados para a dinâmica da planta são con-

sistentes, uma vez que os resultados das simulações, a menos de incertezas

aceitáveis de modelagem, vão ao encontro dos experimentos. Não há ne-

nhuma discrepância considerável entre os resultados simulados e experimen-

tais mesmo na presença de ruído no segundo caso.

Como discussão central do trabalho, encontra-se a questão do desempenho de

rastreamento dos controladores apresentados no Capítulo 6. A fim de tornar

a análise dessa performance mais consistente, três métricas (indicadores) de

análise do erro são a seguir consideradas:

L[2] =

√

(1/T f )∫ T f

0|e(t)|2dt, (6.45)

eM =maxt|e(t)|, (6.46)

eF = maxT f−2T≤t≤T f

|e(t)|. (6.47)

em que: T f é o tempo em que se encerra o experimento (tempo final), e(t) é o

erro de rastreamento apresentado pela planta, t é o tempo em segundos no qual

o experimento se encontra e T é o tempo de um período do sinal de referência

aplicado na planta.

Em meio a ampla gama de ensaios realizados para cada controlador, buscando

a concisão, a análise do erro se dará para a referência de 100 Hz de frequência.

Os quatro controladores têm seu erro avaliado pelas métricas acima expostas.

Dessa maneira, na Tabela 6.2 os valores dos indicadores são observados.

Tabela 6.2: Tabela de Indicadores do Erro de Rastreamento.Métricas PI Adaptativo PI + FF ARC (θ3 f ixo) ARC

L[2] 0,1211V3/2 0,0929V3/2 0,0283V3/2 0,0103V3/2 0,0243V3/2

eM 0,1797 V 0,4668 V 0,2764 V 0,0669 V 0,1967 VeF 0,1779 V 0,1118 V 0,0273 V 0,0174 V 0,0276 V

É possível concluir, a partir dos indicadores, que o desempenho evolui na

medida em que os controladores se tornam mais complexos. Em relação ao erro

97

máximo observado é possível inferir que o controlador adaptativo apresenta um

desempenho inferior ao PI, o que é compensado ao se analisar o erro final (do

último período analisado). Dessa maneira, mesmo apresentando um transiente

pior do que o do PI, o adaptativo no geral consegue atingir um desempenho

melhor depois que a adaptação de seus parâmetros é realizada.

A estrutura do compensador baseado no rastreamento de trajetórias se diferen-

cia do PI pela presença de um termo de feedforward. Em meio ao fornecimento

de mais informações sobre como a sua referência se comporta para o contro-

lador, o mesmo consegue melhorar a sua capacidade de rastreamento. Contudo,

a contrapartida evidenciada é o detrimento do transiente, como é evidenciado

por eM.

Em suma, para encerrar a análise de desempenho dos compensadores, cabe

mencionar que o controlador adaptativo robusto tem a capacidade de contornar

o problema da adaptação que é a deterioração do transiente. Essa robustez no

transiente é oriunda da utilização do termo vs que considera a dinâmica do

vetor regressor e os limites das projeções em que ocorre a adaptação. O melhor

desempenho é de fato do controlador adaptativo robusto entre os demais estu-

dados. Contudo, a sua complexidade de projeto também deve ser considerada

como um aspecto negativo de sua utilização.

98

Capítulo 7

Conclusões e Perspectivas

Neste trabalho foi modelada a dinâmica não-linear (com creep e histerese) de

sistemas piezoatuados, e foram implementadas e comparadas algumas estraté-

gias de controle para o posicionamento preciso e rápido: PI, adaptativo e PI

com feedforward e adaptativo robusto. A lei de controle que obtém o melhor

desempenho em alta frequência é a adaptativa robusta.

7.1 Contribuições do Trabalho

As principais contribuições deste trabalho são:

• Estudo do controle do nanoposicionamento por computador.

• Modelagem da dinâmica de um sistema experimental de nanoposicionamento com

atuador piezoelétrico, incluindo as dinâmicas lineares e não-lineares envolvidas.

• Identificação da origem da dinâmica de fase não-mínima em [32] que é dependente

do ajuste da frequência de corte da eletrônica associada ao processamento do sinal

do sensor capacitivo.

• Implementação da estratégia de controle adaptativo robusto, a partir dos seguintes

elementos: lei de controle de rastreamento, projeção descontínua, síntese de um

termo robusto conforme [36] e sintonia deste controlador de acordo com a dinâmica

do nanoposicionador.

• Comparação por simulação e experimento entre as diversas estratégias de controle

estudadas.

O aumento da frequência de corte do sensor capacitivo, permitiu uma grande

melhoria do desempenho. Não somente eliminou a dinâmica de fase não-

mínima apontada por [32], como também a resposta frequencial obtida forneceu

99

informações sobre a dinâmica do sistema em uma faixa maior do que com

frequência de 1 kHz.

O erro de rastreamento diminui consideravelmente na medida em que são

utilizados controladores de maior complexidade. No Capítulo 6, Seção 6.5, são

apresentados os resultados de métricas associadas aos erros de rastreamento.

Mais especificamente na Tabela 6.2, essa diminuição do erro de rastreamento se

torna evidente. Assim, o esforço empregado na sofisticação dos controladores

se justificou.

7.2 Sugestões para trabalhos futuros

• Avaliação dos efeitos de perturbações sobre o sistema controlado pela estratégia

adaptativa robusta.

• Determinar a fonte do ruído de medição no sistema de nanoposicionamento.

• Estudar os efeitos da adaptação de leis de controle sobre plantas não-lineares, e.g.

[37].

• Estudar a viabilidade da elaboração de uma lei de controle que não dependa do termo

de feedforward baseado em sinais de referência que comumente não estão disponíveis

para as operações de posicionamento da ponta de prova dos AFM.

Um horizonte a ser trabalhado futuramente é a adição de perturbação e avaliação

da capacidade de o controlador compensar os efeitos desse sinal indesejado.

Essa abordagem se justifica quando se orienta o nanoposicionamento para a

operação de microscopia, pois, a força entre a ponta de prova e a superfície deve

ser mantida constante independentemente da topografia do substrato analisado.

Assim, as rugosidades do substrato podem ser tratadas como perturbações por

parte do controlador que atua para manter a força constante.

O estudo sobre as possíveis fontes de ruído pode ser detalhado de maneira

mais profunda. Esse procedimento poderia melhorar as condições de operação

do sistema de nanoposicionamento de forma que, sempre que possível, sejam

isoladas e reduzidas as fontes do ruído no ambiente em que o piezoelétrico

executa suas tarefas.

100

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104

Apêndice A

Procedimentos Experimentais

Nessa seção são descritos os procedimentos que envolvem a preparação do

equipamento experimental que deve ser realizada antes de qualquer utiliza-

ção do sistema de nanoposicionamento. Os equipamentos envolvidos nesses

ajustes são: a massa em que o piezoelétrico se encontra fixado, o amplificador

E-665.CR e o microcomputador (Matlab).

A.1 Fixação do Piezoelétrico

Uma vez que a dinâmica do piezoelétrico é sensível a vibrações, é necessário

que o equipamento esteja fixado a uma massa bem maior que a dele. Essa

fixação funciona como um suporte à operação do piezoelétrico no sentido de

amenizar os efeitos das vibrações a que o P-753.1CD possa estar sujeito. Cabe

mencionar que as edificações vibram, as mesas de laboratório também, e por

isso, essas vibrações se comportam como fonte de ruído para os sinais referentes

ao posicionamento do nanoatuador.

A.2 Ajuste do Amplificador E-665.CR

O amplificador de potência necessita de uma alimentação de 220 V. Após ser

alimentado, é necessário realizar o ajuste do zero do sensor capacitivo. Para isso,

um potenciômetro que é acessado pelo painel frontal do equipamento deve ser

sintonizado da melhor maneira possível. Esse ajuste é responsável por retirar

quaisquer níveis que estejam presente na saída de tensão (proporcional ao

deslocamento) do sensor capacitivo.

Como a repetibilidade desse ajuste não é garantida, tal fator se apresenta como

uma razão adicional ao uso da adaptação no controlador. Essa característica é

105

explorada no Capítulo 6.

Por razões referentes à velocidade de atuação e disponibilidade da placa de

conversão analógico/digital Q8, a interface de operação do amplificador esco-

lhida é a analógica. Mediante essa opção de operação, os sinais de controle

são enviados via cabo RCA/Coaxial da saída 7 da placa Q8 para o amplificador

E-665.CR. Já os sinais de tensão oriundos do sensor capacitivo saem via cabo

coaxial/RCA do amplificador para a entrada 7 da placa Q8.

Para todos os experimentos são utilizados os mesmos cabos e as mesmas en-

tradas e saídas da placa Q8. Esse cuidado foi tomado a fim de garantir a maior

repetibilidade possível entre os experimentos.

A.3 Configuração do Matlab

A interface entre o microcomputador e a placa de conversão analógica/digital é

o programa Matlab/Simulink. Na janela inicial do Simulink, para que este se co-

munique com a Q8, é necessário que os blocos de configuração da Quanser sejam

adicionados, bem como os blocos de envio do sinal de controle e recebimento

do sinal de tensão da placa. Um ponto crucial é que os blocos selecionados para

a comunicação sejam do tipo HIL - Hardware in the loop, que representam para

o programa e para a placa, a maior velocidade de comunicação possível. Sem

essa escolha, não é possível realizar operações em alta frequência.

Seguindo as orientações aqui descritas, o diagrama de blocos montado no

Simulink deve ter a seguinte aparência evidenciada na Figura A.1. Por questões

relacionadas à dinâmica do sistema de nanoposicionamento, a frequência de

amostragem escolhida para todos os experimentos foi de 20 kHz. A qual, além

de fornecer um passo de 50µs, suficientemente menor do que a constante de

tempo relacionada à dinâmica linear do sistema de 294µs, ainda se encontra

dentro da faixa em que a máquina virtual da Quanser e o microcomputador

conseguem trocar informações sem perda de dados.

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Figura A.1: Exemplo de diagrama de blocos utilizados nos experimentos. Inter-face entre o Simulink e a máquina virtual da Quanser.

O fundo de escala da tensão que pode ser gerada a partir da Q8 é de ±10V.

Contudo para o amplificador E-665.CR a faixa de tensão utilizada para atuar no

piezoelétrico é de 0 a 10 V, o que é garantido ao se adicionar uma saturação à

entrada da planta. A quantização é feita de maneira automática pela Q8, não

fornecendo ao usuário acesso aos seus parâmetros.

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Controle Avan ado para Nanoposicionamento r pido e...

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